5 De thi HSG Toan 8(Co dap an)

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 (lần 2)

Năm học 2009 - 2010
Bài 1: Cho biểu thức M =






+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:









+
−
+−
2
10
2
2
x
x
x
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi
x
=
2
1
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c

2
a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Bài 3:
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = x
2
- 2xy + 2y
2
- 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
Bài 4:
Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một đường
thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G.
a) Chứng minh: AE
2
=EF.EG
b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG
không đổi.
Bài 5:

Chứng minh rằng nếu
)1()1(
22
xzy
xzy
yzx
yzx
−
−
=
−
−
Với x
≠
y ; xyz
≠
0 ; yz
≠
1 ; xz
≠
1.
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
HD:
Bài 1:
a) Rút gọn M
M=







+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:








+
−
+−
2

10
2
2
x
x
x
=






+
+
−
−
+− 2
1
)2(3
6
)2)(2(
2
xxxxx
x
:
2
6
+x
M =

6
2
.
)2)(2(
6 +
+−
− x
xx
=
x−2
1
b)Tính giá trị của M khi
x
=
2
1
x
=
2
1
⇔
x =
2
1
hoặc x = -
2
1

Với x =
2

1
ta có : M =
2
1
2
1
−
=
2
3
1
=
3
2
Với x = -
2
1
ta có : M =
2
1
2
1
+
=
2
5
1
=
5
2

Bài 2a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
Ta có : A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
= ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- (2bc)
2
= ( b
2
+ c
2

- a
2
-2bc)( b
2
+ c
2
- a
2
+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
Vậy A< 0
Bài 3:
a)
Ta có : A = x
2
- 2xy + y
2
+y
2
- 4y +4 + 1
= (x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 1
Do (x-y)

2

≥
0 ; (y - 2)
2

≥
0
Nên A= (x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 1
≥
1
Dấu ''='' xãy ra
⇔
x = y và y = 2
Vậy GTNN của A là 1
⇔
x = y =2
b) B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
=

1)1(
)1(3
2
+++
+
xxx
x
=
)1)(1(
)1(3
2
++
+
xx
x
=
1
3
2
+x
Do x
2
+1>0 nên B =
1
3
2
+x
≤
3
Dấu ''='' xãy ra

⇔
x = 0
Vậy GTLN của B là 3
⇔
x = 0
Bài 4:
a)
Do AB//CD nên ta có:

ED
EB
EG
EA
=
=
DG
AB
(1)
Do BF//AD nên ta có:

ED
EB
EA
EF
=
=
FB
AD
(2)
Từ (1) và (2)

⇒
EA
EF
EG
EA
=
Hay AE
2
= EF. EG
b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG
không đổi.
Từ (1) và (2)
⇒
AD
FB
DG
AB
=
Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)
Bài 5:
Từ GT
⇒
(x
2
-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y
2
- xz)
⇔
x
2

y- x
3
yz-y
2
z+xy
2
z
2
= xy
2
-x
2
z - xy
3
z +x
2
yz
2

⇔
x
2
y- x
3
yz - y
2
z+ xy
2
z
2

- xy
2
+x
2
z + xy
3
z - x
2
yz
2
= 0
⇔
xy(x-y) +xyz(yz +y
2
- xz - x
2
)+z(x
2
- y
2
) = 0
⇔
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
⇔
(x -y)
[ ]
yzxzzyxxyzxy ++++− )(
= 0
Do x - y
≠

0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)

E

F

A

B

D

C

G

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
Năm học 2009 - 2010
Bài 1: Cho biểu thức M =
nn
aa
aa
3
2
1
2
−
−+
+

.






−
−
−
−+
aaa
aa
22
22
3
44
)2(
(n
∉
N*)
a) Rút gọn M
b) Với a>2. Chứng minh rằng 0 < M < 1
Bài 2:
. Chứng minh rằng với m là số nguyên lẻ thì:
a) (m
3
+3m
2
- 3m -3)


48
b) ( 7.5
2n
+12.6
n
)

19; Với n là số nguyên dương
Bài 3:
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn
0=++
z
c
y
b
x
a
và
1=++
c
z
b
y
a
x
. Chứng minh rằng
1
2
2

2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Bài 4:
Cho hình vuông ABCD, cạnh a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh C cắt tia AB ở
E và tia AD ở F.
a) Chứng minh: BE.DF = a
2
b) Chứng minh đẳng thức
2
2
AF
AE
DF
BE
=
c) Xác định vị trí của điểm E trên tia AB sao cho diện tích tam giác EAF có giá
trị nhỏ nhất? Biết rằng " Hai số dương có tích không đổi tổng của chúng nhỏ
nhất khi hai số đó bằng nhau"
Bài 5:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2

)2010( +x
x
HD:
Bài 1: a) Rút gọn M
Ta có: M =
nn
aa
aa
3
2
1
2
−
−+
+
.






−
−
−
−+
aaa
aa
22
22

3
44
)2(
=
)3(
)1)(2(
−
−+
aa
aa
n
.
)1(4
)3(4
−
−
aa
a
=
1
2
+
+
n
a
a
b) Với a>2
⇒
a + 2 > 0 và a
n+1

> 0
Do đó
1
2
+
+
n
a
a
> 0 (1)
Với a>2
⇒
a + 2 < 2a và a
n+1
≥
a
2

Do đó
1
2
+
+
n
a
a
< 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1
Bài 2:
a) (m

3
+3m
2
- 3m -3)

48
Ta có: m
3
+3m
2
- 3m -3 = m
2
(m+3) -(m+3) = (m+3)(m-1)( m+1)
Do m lẻ nên (m+3);(m-1) ;( m+1) là các số chẵn
Vậy (m
3
+3m
2
- 3m -3)

48 +
b) Chứng minh ( 7.5
2n
+12.6
n
)

19; Với n là số nguyên dương
7.5
2n

+12.6
n
= 7.5
2n
+12.6
n
+7.6
n
- 7.6
n
=( 7.25
n
- 7.6
n
) + 19.6
n
= 7(25
n
- 6
n
)
+19.6
n
Do 7(25
n
- 6
n
)

19 và 19.6

n

19
Nên ( 7.5
2n
+12.6
n
)

19
Bài 3:
Từ
0=++
z
c
y
b
x
a
⇒
0=
++
xyz
cxybxzayz
⇒
ayz + bxz + cxy = 0
Từ
1=++
c
z

b
y
a
x
⇒
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
+
ab
xy2
+
bc
yz2
+
ac
xz2
= 1
⇒
2

2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
+
abc
xyc2
+
abc
yza2
+
acb
xzb2
=1
Mà ayz + bxz + cxy = 0
⇒
2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc
≠
0)
Hay
1
2

2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
(đpcm)
Bài 4:
a) Chứng minh: BE.DF = a
2

∆
BEC ~
∆
DCF
⇒
DF
BC
DC
BE
=
Hay BE.DF = BC.DC = a
2

A

F

C

B

D

E
b) Chứng minh đẳng thức
2
2
AF
AE
DF
BE
=

∆
BEC ~
∆
AEF
⇒
FA
AE
BC
BE
=

(1)

∆
DCF ~
∆
AEF
⇒
FA
AE
DF
DC
=
(2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có:

2
2
.
AF
AE
DF
DC
BC
BE
=
Hay
2
2
AF
AE

DF
BE
=
c) Ta có: S
FAE
=
2
F.AAE
Mặt khác BE.DF = a
2
(không đổi)
⇒
BE +DF nhỏ nhất khi BE = DF
⇒
BE+a =
DF+a
Hay AE = AF.Vậy để diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất thì E phải là
điểm đối xứng của A qua B.
Bài 5:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2
)2010( +x
x
HD: Dùng (a+b)
2
- (a-b)
2
= 4ab để giải
UBND HUYỆN CẦU KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
PHÒNG GIÁO DỤC NĂM HỌC: 2006 – 2007

(Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Thí sinh làm tất cả các bài toán sau đây:
Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
1. 4x
2
– 8x + 3
2. x
2
– y
2
+ 10 x – 6y + 16
3. x
5
+ x + 1
4. a (b
2
– c
2
) + b (c
2
– a
2
) + c (a
2
– b
2
)
Bài 2: (5 điểm)
1. Xác đònh hệ số a, b sao cho đa thức: x

4
+ ax
3
+ b chia hết cho x
2
– 1.
2. Cho biểu thức:
a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trò của x để P = 1.
c. Tìm các giá trò của x để P > 0.
Bài 3: (4 điểm)
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc.
2. Cho và x, y, z khác 0. Tính giá trò của biểu thức:
Bài 4: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm đối xứng là điểm O. trên
đường chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung
điểm của AM. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác HEKC là hình chữ nhật.
2. OM // CM.
3. HK // AC.
4. Ba điểm M, H, K thẳng hàng.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A. Điểm E nằm trong
tam giác sao cho: . Tính số đo góc AEB ?
HẾT

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2006 - 2007
BÀI
CÂ
U
NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM
1
(4
đ)
1
2
3
4
4x
2
– 8x + 3 = 4x
2
– 2x – 6x + 3
= 2x(2x – 1) – 3(2x – 1)
= (2x – 1)(2x – 3)
x
2
– y
2
+ 10x – 6y +16 = x
2
+ 10x + 25 – y

2
– 6y – 9
= (x
2
+ 10x + 25) – (y
2
+ 6y + 9)
= (x + 5)
2
– (y + 3)
2
= (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3)
= (x + y + 8)(x – y + 2)
x
5
+ x + 1 = x
5
– x
2
+ x
2
+ x + 1
= x
2
(x
3
– 1) + (x
2
+ x + 1)
= x

2
(x – 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)( x
3
- x + 1)
a (b
2
– c
2
) + b (c
2
– a
2
) + c (a
2
– b
2
) =
= a (b
2
– c
2
) + b(c
2

– b
2
+ b
2
– a
2
) + c (a
2
– b
2
)
= (b
2
– c
2
)(a – b) + (a
2
– b
2
)(c – b)
= (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c)
= (a – b)(b – c)(c – a)
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

Câu
2
(5
đ)
1
2
Thực hiện phép chia đa thức x
4
+ ax
3
+ b cho đa thức
x
2
-1 ta được thương là x
2
+ ax + 1, số dư là ax + (b + 1)
Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi x
Do đó: a = 0 và b + 1 = 0
Vậy: a = 0 và b = - 1
a.
1
0.5
0.5
0.5
BÀI
CÂ
U
NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM

=
b. ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ - 3; x ≠ ± 2
P = 1 <=> = 1 <=> x + 4 = 6 <=> x = 2 (không
thỏa mãn)
Vậy không có giá trò nào của x để P = 1.
c. P > 0 <=> > 0 <=> x + 4 > 0 (vì 6 > 0)
<=> x > - 4 (và x ≠ 0 ; x ≠ - 3 ; x ≠ ± 2)
1
0.5
0.5
0.5
Câu
3
(4đ)
1
2
a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = a
3
+ (b + c)
3
– 3bc (b + c) – 3abc
= (a + b + c){a
2
– a(b + c) + (b + c)

2
} – 3bc (a + b + c)
= (a + b + c) (a
2
– ab – ac + b
2
+ 2bc + c
2
– 3bc)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac – bc)
Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Ta co ù: 
Vậy: A = xyz = 3
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5
Câu
4
(4
đ)
1
2
2
2
I
1
1
B
E
K
O
M
H
C
D
A
Ta có: => tứ giác HEKC là hình chữ nhật
(vì có 3 góc vuông).
Gọi I là giao điểm của HK và CE, O là giao điểm của
Hình
vẽ
0.5
0.5

BÀI
CÂ
U
NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM
3
4
AC và BD.
Ta có: OM là đường trung bình của ACE
Vậy: OM // CE.
Ta có: = (góc đồng vò) (1)
COD cân tại O; CIK cân tại I
Do đó: = (2)
= (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : =
Vậy: HK // AC
Xét ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I
của CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung
điểm của AE, tức đi qua điểm M.
Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
5
K
E

C
B
A
Trong ABC lây điểm K sao cho
⇒ KAB = EAC (c – g – c)
Do đó: AK = AE ⇒ AKE cân tại A
= 90
0
– 2. 15
0
= 60
0
Nên AKE là tam giác đều
Mà = 360
0
– (150
0
+ 60
0
) = 150
0
⇒
Ta có: BAK = BEK (c – g – c)
⇒
Vậy: = 60
0
+ 15
0
= 75
0

Hình
vẽ
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
Năm học 2009 - 2010
Bài 1: Cho biểu thức M =
nn
aa
aa
3
2
1
2
−
−+
+
.






−
−

−
−+
aaa
aa
22
22
3
44
)2(
(n
∉
N*)
a) Rút gọn M
b) Với a>2. Chứng minh rằng 0 < M < 1
Bài 2:
. Chứng minh rằng với m là số nguyên lẻ thì:
a) (m
3
+3m
2
- 3m -3)

48
b) ( 7.5
2n
+12.6
n
)

19; Với n là số nguyên dương

Bài 3:
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn
0=++
z
c
y
b
x
a
và
1=++
c
z
b
y
a
x
. Chứng minh rằng
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y

a
x
Bài 4:
Cho hình vuông ABCD, cạnh a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh C cắt tia AB ở
E và tia AD ở F.
a) Chứng minh: BE.DF = a
2
b) Chứng minh đẳng thức
2
2
AF
AE
DF
BE
=
c) Xác định vị trí của điểm E trên tia AB sao cho diện tích tam giác EAF có giá
trị nhỏ nhất? Biết rằng " Hai số dương có tích không đổi tổng của chúng nhỏ
nhất khi hai số đó bằng nhau"
Bài 5:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2
)2010( +x
x
HD:
Bài 1: a) Rút gọn M
Ta có: M =
nn
aa
aa
3

2
1
2
−
−+
+
.






−
−
−
−+
aaa
aa
22
22
3
44
)2(
=
)3(
)1)(2(
−
−+
aa

aa
n
.
)1(4
)3(4
−
−
aa
a
=
1
2
+
+
n
a
a
b) Với a>2
⇒
a + 2 > 0 và a
n+1
> 0
Do đó
1
2
+
+
n
a
a

> 0 (1)
Với a>2
⇒
a + 2 < 2a và a
n+1
≥
a
2

Do đó
1
2
+
+
n
a
a
< 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1
Bài 2:
a) (m
3
+3m
2
- 3m -3)

48
Ta có: m
3
+3m

2
- 3m -3 = m
2
(m+3) -(m+3) = (m+3)(m-1)( m+1)
Do m lẻ nên (m+3);(m-1) ;( m+1) là các số chẵn
Vậy (m
3
+3m
2
- 3m -3)

48 +
b) Chứng minh ( 7.5
2n
+12.6
n
)

19; Với n là số nguyên dương
7.5
2n
+12.6
n
= 7.5
2n
+12.6
n
+7.6
n
- 7.6

n
=( 7.25
n
- 7.6
n
) + 19.6
n
= 7(25
n
- 6
n
)
+19.6
n
Do 7(25
n
- 6
n
)

19 và 19.6
n

19
Nên ( 7.5
2n
+12.6
n
)


19
Bài 3:
Từ
0=++
z
c
y
b
x
a
⇒
0=
++
xyz
cxybxzayz
⇒
ayz + bxz + cxy = 0
Từ
1=++
c
z
b
y
a
x
⇒
2
2
2
2

2
2
c
z
b
y
a
x
++
+
ab
xy2
+
bc
yz2
+
ac
xz2
= 1
⇒
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y

a
x
++
+
abc
xyc2
+
abc
yza2
+
acb
xzb2
=1
Mà ayz + bxz + cxy = 0
⇒
2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc
≠
0)
Hay
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b

y
a
x
(đpcm)
Bài 4:
a) Chứng minh: BE.DF = a
2

∆
BEC ~
∆
DCF
⇒
DF
BC
DC
BE
=
Hay BE.DF = BC.DC = a
2
b) Chứng minh đẳng thức
2
2
AF
AE
DF
BE
=

∆

BEC ~
∆
AEF
⇒
FA
AE
BC
BE
=
(1)

∆
DCF ~
∆
AEF
⇒
FA
AE
DF
DC
=
(2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có:

2
2
.
AF
AE
DF

DC
BC
BE
=
Hay
2
2
AF
AE
DF
BE
=
c) Ta có: S
FAE
=
2
F.AAE

A

F

C

B

D

E
Mặt khác BE.DF = a

2
(không đổi)
⇒
BE +DF nhỏ nhất khi BE = DF
⇒
BE+a =
DF+a
Hay AE = AF.Vậy để diện tích tam giác EAF có giá trị nhỏ nhất thì E phải là
điểm đối xứng của A qua B.
Bài 5:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2
)2010( +x
x
HD: Dùng (a+b)
2
- (a-b)
2
= 4ab để giải