HH8 Tu dinh ly Talet den chung minh cac duongthang dong qui

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (222.39 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

chun đề

ph¸t triĨn t duy to¸n häc cho häc sinh líp 8

từ định lý ta lét đến chứng minh các đờng thẳng đồng quy
nhằm phát hiện và bồi dỡng hs khá, giỏi

a/ Đặt vấn đề :

Bớc vào thế kỷ XXI, cuộc cách mạng khoa học công nghệ tiếp tục phát triển với bớc
tiến nhảy vọt, trở thành động lực đầu tầu cho sự phát triển kinh tế – xã hội, đa xã
hội loài ngời bớc sang thời đại văn minh mới mà nền tảng của nó là văn minh tri thức
.

Việt Nam là nớc thuộc khu vực Châu á - Thái bình dơng là khu vực phát triển năng
động, có tốc độ tăng trởng kinh tế cao và ổn định. Điều đó đặt đật nớc ta đứng trớc
cơ hội và thách thức mới trong xu thế quốc tế hố tồn cầu , cạnh tranh , hội nhập
hoá kinh tế quốc tế mà cốt lõi là trí tuệ lồi ngời – nền văn minh trí tuệ, đồng thời
cũng tác động mạnh mẽ đến nền kinh tế xã hội nớc ta .

Ngày nay sức mạnh của một quốc gia không chỉ đo bằng giá trị thặng d, bằng nguồn
ngoại tệ và những toà nhà cao trọc trời, sức mạnh tiềm lực ấy đợc đo bằng tri thức,
bằng nội lực chất xám thể hiện qua mặt bằng giáo dục , trình độ dân trí . Do đó Đảng
ta đã nhận định :” Cùng với khoa học và công nghệ cần phải đa giáo dục thành quốc
sách hàng đầu trong công cuộc phát triển đất nớc . Giáo dục phải trở thành chiến lợc
phát triển quốc gia ,nâng cao dân trí ,đào tạo nhân lực,bồi dỡng nhân tài cho đất
n-ớc .Giáo dục phải đào tạo những con ngời có trình độ cao về tri thức , phát triển cao
về trĩ tuệ, thích ứng nhanh với sự phát triển mạnh mẽ của xã hội”. Đảng cũng chỉ rõ
giáo dục phải

“ đa nớc ta ra khỏi tình trạng kém phát triển, nâng cao rõ rệt đời sống vật chất , tinh

thần của nhân dân, tạo nền tảng đến năm 2010 nớc ta cơ bản trở thành nớc
CNH-HĐH”

( trích văn kiện đại hội Đảng IX).

Sự nghiệp CNH-HĐH đất nớc muốn thành cơng địi hỏi ngời Việt Nam phải có năng
lực mới ,có kiến thức, có thể chất ,tinh thần phong phú , Đạo đức trong sáng mới có
khả năng tham gia góp sức vào cơng cuộc xây dựng nớc nhà , mới là động lực của sự
phát triển đáp ứng moi yêu cầu của xã hội cả về nhân cách và tài năng . Đó là nguồn
nhân lực cần thiết giúp Việt Nam có thể đi tắt , đón đầu, rút ngắn khoảng cách lạc
hậu so với các nớc phát triển trong khu vực và triên thế giới. Giáo dục –Đào tạo
phải đợc u tiên, phải đi trớc đón đầu cho sự phát triển.

Vậy làm thế nào để ngời Việt Nam đáp ứng đợc nhu cầu của sự phát triển xã hội ?
Tiếp thu trí thức, làm chủ trí thức trong thời đại bùng nổ thơng tin. Điều đó đã đặt ra
cho ngành giáo dục đào tạo nớc ta nhiệm vụ mới – thay đổi phơng pháp dạy học .
Đây là việc làm cấp thiết hiện nay của ngành giáo dục và của xã hội đợc Đảng và
nhà nớc quan tâm và ban hành thành luật ở điều 24.2 – Luật giáo dục : Phơng pháp
giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực , tự giác chủ động sáng tạo của học
sinh phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện
kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn tác động đến tình cảm đem lại niềm vui
hứng thú trong học tập cho học sinh .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

[ Nghị định 02/2003 của chính phủ ] Điều đó đặt ra cho giáo dục nhiều vấn đề cần
phải giải quyết , vấn đề về truyền thống – hiện đại ; vấn đề toàn cầu – quốc gia và
cá thể . Để đáp ứng sự phát triển hiện nay Giáo dục Đào tạo nớc ta phải đổi mới và
hiện đại hố khơng chỉ về phơng pháp dạy học mà còn đổi mới cả về nội dung và
ph-ơng tiện dạy học trên nền tri thức khoa học - công nghệ mới tiên tiến và hiện đại hoá
với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin , giáo dục phải tiếp thu bằng nhiều cách khác
nhau và bằng chính thái độ chủ động , tích cực sáng tạo của ngời học .

Trong cuộc cách mạng về giáo dục , quan trọng hơn cả là sự đổi mới về phơng pháp .
Giáo dục đợc cải tiến theo xu hớng phát triển của phơng pháp dạy học hiện đại :
Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung
tâm hợp lý hơn là đặt ngời học vào trung tâm của quá trình dạy học , coi học sinh là
trung tâm của nhà trờng . Giáo dục phải chuyển từ “ cung cấp kiến thức “ sang mục
đích “ luyện cách tự mình tìm ra kiến thức” bằng con đờng tự học , tự nghiên cứu , tự
trau dồi nghề nghiệp (ba tự) trong sự cạnh tranh và ‘bùng nổ thông tin’ của thời đại ,
sự t duy năng động sáng tạo nổi lên hàng đầu . Vì vậy, giáo dục phải đề cao việc rèn
óc thơng minh sáng tạo , giảm sự “nhồi nhét” ,”bắt trớc”,”ghi nhớ” . giáo viên từ vị
trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí ngời hớng dẫn học trị tự tìm lấy kiến
thức , cịn học trị từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức phải trở thành ngời chủ động
tìm học , tự học tự nghiên cứu . Theo nhà giáo ngời Đức- Distetverg đã nói “ Ngời
thầy tồi truyền đạt tâm lý , ngời thầy giỏi dạy cách tìm ra chân lý” . Khắc phục loại
bỏ lối dạy học thụ động “ độc giảng” , “kinh viện” , ( thầy nói là chủ yếu, trị nghe và
ghi chép). Dạy kiến thức phải phát huy lòng say mê ham thích học tập của ngời học .
Xét cho cùng giáo dục là quá trình cung cấp kiến thức , hớng dẫn tìm kiến thức mới
để làm cơ sở cho sự phát triển năng lực t duy và hành động .

Đổi mới phơng pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cực trong dạy
học , tích cực hố hoạt động của ngời học . Q trình giáo dục là một quá trình nhận
biết- thuyết phục- vận dụng để tiếp thu những kiến thức mới từ cha biết, cha biết sâu
sắc đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực tiễn ,”phải biết kết hợp giữa học đi
đôi với hành , học hành phải kết hợp với nhau ; học và hành ở mọi lúc mọi nơi” , lý
thuyết phải gắn với thực tế . Ngời giáo viên phải thực hiện chủ trơng đa hơi thở của
cuộc sống vào bài giảng , phải cập nhật “ thông tin” thờng xuyên, liên

tục đổi mới nội dung , phơng pháp phù hợp với sự phát triển , những biến đổi to lớn
của thời đại .

Mỗi giáo viên cần phải tự xây dựng cho mình một phong cách dạy học thích hợp với
nội dung bài học không thể dạy học theo kiểu “ dạy chay”,và biến thầy giáo thành
“ thợ dạy” nhất là trong dạy học các môn khoa học ứng dụng các phơng pháp dạy
học tích cực hố ngời học để nâng cao chất lợng dạy và học.

Hơn nữa ,toán học ở trờng trung học cơ sở là mơn khoa học có vị trí quan trọng trong
hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho thế hệ trẻ - đội ngũ những ngời lao
động trong tơng lai những kiến thức tốn học phổ thơng cơ bản , hiện đại gần gũi với
đời sống làm cơ sở cho việc tiếp thu những kiến thức về khoa học công nghệ hiện đại
tiên tiến trên thế giới .

Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới phơng pháp dạy học nói chung
và dạy mơn tốn nói riêng , nhằm nâng cao chất lợng dạy và học mơn tốn học , đào
tạo những con ngời yêu lao động có vốn kiến thức hiểu biết sâu sắc về hững thành
tựu khoa học mới nhất ,tiên tiến nhất trên thế giới hoà nhập với quốc tế trong xu
h-ớng hiện nay .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

B/ c¬ së khoa häc :

 C¬ së lý luËn:

- Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng
.Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay khơng , có bền vững hay khơng
cịn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể .

- Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hớng vơn lên làm ngời lớn ,
muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trình nhận thức . ở lứa tuổi học sinh
trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập
và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau . Các em có nguyện vọng muốn
có các hình thức học tập mang tính chất “ Ngời lớn ” tuy nhiên nhợc điểm của các

em là cha biết cách thực hiện nguyện vọng của mình , cha nắm đợc các phơng thức
thực hiện các hình thức học tập mới .

V× vậy cần có sự hớng dẫn , điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của
các thầy cô .

Trong lý luận về phơng pháp dạy học cho thấy . Trong mơn tốn sự thống nhất giữa
điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trị có thể thực hiện đợc bằng cách
quán triệt quan điểm hoạt động , thực hiện dạy học toán trong và bằng hoạt động .
Dạy học theo phơng pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn , làm
nhiều hơn , tham gia nhiều hơn trong q trình chiếm lĩnh tri thức tốn học .

Dạy học tốn thơng qua kiến thức phải dạy cho học sinh phơng pháp t duy quan điểm
này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ , dạy bộ óc của học sinh thành thạo các
thao tác t duy phân tích , tổng hợp , trừu tợng hố , khái qt hố .. . . . Trong đó
phân tích tổng hợp có vai trị trung tâm . Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tịi
, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đốn đợc các kết quả , tìm đợc hớng giải
quyết một bài toán ,hớng chứng minh một định lý . . . . .

- Hình thành và phát triển t duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học
sinh là một q trình lâu dài , thơng qua từng tiết học , thông qua nhiều năm học ,
thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khố cũng nh ngoại khố

 C¬ së thùc tiÔn :

- Hiện nay trong nhà trờng phổ thông nói chung còn nhiÒu häc sinh lêi häc , lêi t

duy trong quá trình học tập .

- Học sinh cha nắm đợc phơng pháp học tập , cha có những hoạt động đích thực
của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm qua các
trờng trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi mới phơng
pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9 . Học sinh cũng
đã chủ động nghiên cứu tìm tịi khám phá kiến thức xong mới chỉ dừng lại những bài
tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa .

Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em , đặc biệt là khi vận dụng
vào giải quyết các bài tập .

- Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã đợc học trong sách giáo khoa vào giải
bài tập cịn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào
các bài tập có nội dung mở rộng , nâng cao .

Ví dụ : Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt
nhau thì đờng thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đờng chéo sẽ đi qua trung 
điểm của các đáy của hình thang”

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp khơng xác định đợc dùng kiến thức gì để chứng
minh . Do đó các em khơng giải đợc . Sau đó tơi gợi ý rằng “ Bài tốn đề cập đến
hình thang mà khơng phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có đợc gợi ý gì ?” lúc này
đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét ( vì hình thang có 2
cạnh đáy song song ) . Nhng các em cũng không thể giải đợc , bởi vì để giải đợc bài
tập này khơng phải dùng trực tiếp định lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà gián
tiếp thơng qua tính chất của chùm đờng thẳng đồng quy .

+ Sau đó tơi nghiên cứu, hớng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh
trong lớp đã xác định đợc ngay hớng chứng minh bài tốn và có khoảng 60%- 70%

học sinh chứng minh đợc . Ngoài ra các em cịn có khả năng áp dụng chùm

đờng thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó hơn , phức tạp hơn . Đặc biệt các
em còn biết áp dụng vào giải những bài tập nh chứng minh đờng thẳng vng
góc,các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, đặc biệt là các đờng thẳng đồng
quy ... Sau đây là phần trình bày nội dung và các bớc tiến hành chuyên đề của tôi :

C/ Giải quyết vấn đề :
I-B

ớc thứ nhất : Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra
kiến thức mới tiềm ẩn trong kiến thức của sách giáo khoa mà các em đã biết :

1. Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa ó chng minh c l :

a/ Định lý Talét :

 Định lý thuận : Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt
hai cạnh cịn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ.
 Định lý đảo : Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên

hai cạnh này những đoạn thẳg tơng ứng tỷ lệ thì đờng thẳng đó song song với 
cạnh cịn lại của tam giác .

ΔABC

a// BC

⇔

AB'

AB =
AC'

AC
¿
AB'

BB' =

AC'

CC'

¿
BB'

AB =
CC'

AC
¿
¿
¿
¿
¿
¿

{

¿
¿ ¿

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b/ Hệ quả của định lý Talét : Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và
song song với cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ 
lệ với ba cạnh của tam giác đã cho .

ΔABC

a// BC

⇒AB'

AB =

AC'

AC =

B ' C '

¿{

2. T×m hiĨu thÊy r»ng :

Từ định lý Talét , đã chứng minh đợc hệ quả , vậy thì một vấn đề đặt ra là : Từ
đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đờng thẳng cùng cắt đờng thẳng a
và đờng thẳng BC thì có những điều gì xảy ra . Chẳng hạn từ A ta vẽ thêm AD ,D
đờng thẳng BC và AD cắt đờng thẳng a tại D’

Ta cã thÓ suy ra B ' C '

BC =

C ' D '

vì cùng bằng AC'

Ngợc l¹i : NÕu cã
B ' C '

BC =

C ' D '

CD =k(k ≠1) thì ba đờng thẳng BB’ , CC’ , DD’ đồng quy tại một điểm A

hay không?

Nếu C là trung điểm của BD thì C có là trung điểm của BC hay không ?

T những suy nghĩ đó tơi thấy có thể giúp học sinh giải đợc những bài tập về đờng
thẳng đồng quy , các điểm thẳng hàng ...

Nhng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có
thể tích cực ,độc lập suy nghĩ , tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thức cần
thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

II. B íc thø hai :

Xây dựng hệ thống bài tập , giúp cho học sinh t duy phân tích tổng hợp, khái quát 
hố kiến thức mới , từ đó làm cơ sở cho việc vận dụng khi giải bài tập .

Bài số 1: Cho ba tia 0a, 0b, 0c cắt hai đờng thẳng song song m, m lần l’ ợt tại A, 
A ’ 0a ; B, B ’ 0b ; C, C’ 0c .

A ' B '=

B ' C ' Chøng minh r»ng :

Chøng minh

- xÐt tam gi¸c 0AB ta cã AB
A ' B '=

0B

0B ' ( Hệ quả của định lý Talét)

- xÐt tam gi¸c 0BC ta cã BCB ' C '= 0B

0B ' (Hệ quả của định lý Talét)
từ đó suy ra : AB

A ' B '=

B ' C ' (®pcm)

Bài số 2 : Vấn đề đặt ra là :

Bài tốn trên cịn đúng khơng nếu có bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d cát hai đờng thẳng
song song m và m’ ? Hãy phát biểu và chứng minh bài toán .

Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài tốn 1 để trả lời ; “ cho bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d
cắt hai đờng thẳng song song m và m tại các điểm theo thứ tự tại A, A ’ ’ 0a ; B, 
B ’ 0b ; C, C’ 0c ; D,D’ 0d .

Chøng minh r»ng :

A ' B '=

B ' C '=

C ' D'

Chøng minh :

A ' B '=

B ' C ' Tacã ( nh bµi sè 1)

B ' C '=

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

( chứng minh tơng tự bài 1)

A ' B '=

B ' C '=

C ' D'

từ đó suy ra (đpcm)

Đến đây đặt câu hỏi ? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành một tính chất ?
Hs trả lời : “ Nếu các đờng thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đờng thẳng song
song thì chúng định ra trên hai đờng thẳng song song ấy các đoạn thẳng tơng ứng tỷ 
lệ ”

Gv giới thiệu với học sinh tính chất trên chính là tính chất của ba đờng thẳng đồng
quy . Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng minh ( phát biểu
thành bài toán đảo của bài toán trên ) chính là nội dung của bài tốn 3 sau đây :

Bài số 3 : Cho ba đờng thẳng a, b, c cắt hai đờng thẳng song song m, m lần l’ ợt tại 
A, A ’ a ; B, B ’ b ; C, C’ c sao cho AC

A ' C '=

B ' C '=k(k ≠1)
 Chứng minh rằng các đờng thẳng a,b,c đồng quy tại một điểm

Chøng minh :

Giả sử hai đờng thẳng a, b cắt nhau tại 0
ta cần chứng minh đờng thẳng c đi qua 0
Gọi giao điểm của đờng thẳng 0C với m’
là C” . Khi đó , theo định lý thuận ,ta có :

AC
AC ''=

B ' C ' Mặt khác theo GT

A ' C '=

B ' C '

Từ đó suy ra A’C”=A’C’ và B’C’=B’C”

⇒C ' ≡ C'' Vậy c đi qua 0 hay a, b, c đồng quy tại 0
Đến đây Gv cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên

Hs “ Nếu ba đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song và định ra trên hai đờng
thẳng đó những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì ba đờng thẳng đó đồng quy ”
Nh vậy học sinh đã đợc phát triển t duy độc lập, khái quát lên hai nội dung kiến thức
cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lý Talét. Đến đây
Gv cho học sinh làm bài tập vận dụng những điều vừa chứng minh đợc vào giải quyết
bài tập .

Bài số 4 : Chứng minh rằng hai đờng thẳng chứa hai cạnh bên và đờng thẳng nối 
trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy .

Chứng minh :

Vì M là trung ®iĨm cđa AB nªn :
MA = MB

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

từ đó suy ra : AM

DN =
MB
NC

Theo kết quả bài 3 ta đợc AD,BC,MN đồng quy
đến đây Gv cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau đây.

Bài số 5 : Chứng minh rằng :Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên ,giao điểm
hai đờng chéo và trung im ca hai ỏy thng hng .

Giải:

Gọi giao điểm của AD và BC là 0 ; giao điểm của AC
và BD là I . Gọi M là trung điểm của AB, N là trung
điểm của CD.

Ta có : 0,M,N thẳng hàng (áp dụng bài 4)
Ta có I,M,N thẳng hàng (tơng tự bài 4)
Suy ra : 0 ,M,N,I thẳng hàng (đpcm)

õy l bi toỏn sau khi ó lm c bài 4 học sinh làm
đợc một cách dễ dàng mà khơng cần phải gợi ý thêm
gì cả .Sau đó tơi cho học sinh làm bài tốn mà tơi đã
đặt vấn đề ở trên :

Bµi sè 6 :

a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đờng thẳng đi
qua giao điểm đó và giao điểm hai đờng chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của 
hình thang .

b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thớc ( không dùng com pa) để dựng trung điểm 
của đoạn thẳng AB cho trớc khi cho một đờng thẳng d song song với AB và dựng qua
điểm M cho trớc một đờng thẳng song song với đoạn thẳng AB cho trớc mà đã biết 
trung điểm I của AB

Lêi gi¶i:

a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD,BC
Cắt nhau tại E và hai đờng chéo AC,BD cắt nhau tại F .

Gọi giao điểm của EF với AB ,CD

theo thứ tự là M,N . Với hai đờng thẳng song song
AB,CD và ba đờng thẳng đồng quy ED,

EN,EC ta cã AM

DN =
MB

NC , do đó
AM

MB =
DN

NC (1) . Với hai đờng thẳng song song AB,CD

và ba đờng thẳng đồng quy AC,MN,BD ta có AM

NC =
MB

DN , do đó
AM
MB=

ND (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra DN

NC=
NC

DN do đó DN=NC nên N là trung điểm của CD . Từ

DN=Nc vµ (2) suy ra AM=MB nên M là trung điểm của AB .

b/ Nếu có đờng thẳng d song song ví đoạn thẳng AB thì ta lần lợt nối A,B với cùng
một điểm E nào đó ở ngồi D và khác phía đối với A .Gọi giao điểm của d với EA,EB
theo thứ tự là C,D .Nối AD,BC và gọi giao điểm của hai đờng thẳng đó là F. Nối F
với E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

thì khơng thể có đờng thẳng song song

với AB và đi qua M. Nếu điểm M không nằm trên đờng thẳng AB thì ta chọn một
điểm 0 tuỳ ý

trên đờng thẳng AM (không trùng với A,M)

gọi K là giao điểm của 0I và MB ,gọi N là giao điểm của
AK và 0B .Khi đó MN // AB . Thật vậy giả sử đờng thẳng
song song với AB sẽ qua M cắt 0B tại N’và hai đờng thẳng
MB, AN’ cắt nhau tại K’ . khi đó , theo chứng

minh ở phần a đờng thẳng 0K’phải đi qua

trung điểm I của AB. Do đó K’ trùng với K và vì vậy

N’ trùng với N nên MN//AB.

Đến đây giáo viên đặt câu hỏi : Hãy phát biểu khái quát
phần a của bài toán trên :

“ Nếu ba đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song song ,
tạo ra trên đờng thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì
cũng tạo ra trên đờng thẳng thứ hai hai đoạn thẳng bằng nhau”
.

Làm xong bài tập trên học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đờng thẳng đồng
quy .Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu cầu cao hơn , phức
tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đờng thẳng đồng quy mà các em đã
đợc chứng minh ở trên .

III. B íc thø ba : Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng

Vi mc tiờu giúp học sinh hiểu sâu hơn về định lý Talét và áp dụng tính chất của ba
đờng thẳng đồng quy , phần bài tâp vận dụng tôi chỉ xin đa ra những ý chính của việc
chứng minh :

Bài số 7 : Cho tam giác nhọn ABC ,các đờng cao AD,BE,CF. Gọi I,K,M,N theo thứ
tự là chân các đờng vng góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn 
điểm I,K,M,N thẳng hàng .

Giải :

Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF

ta cã BI

IF =
BD
DC=

KE ⇒IK // FE (1)

T¬ng tù MN//FE (2)
Ta l¹i cã IF

FA=
DH
HA=

EA⇒IN // FE (3)

Tõ (1),(2) vµ (3) suy ra I,K,M,N thẳng hàng

Bi s 8 : Cho hình thang ABCD(AB//CD; AB,CD). Đờng thẳng qua A song song 
với BC cắt BD tại E, đờng thẳng qua B song song với AD cắt CD tại H, đờng thẳng 
qua H song song với BD cắt BC tại I. Chứng minh rằng

a/ EI//AB b/ Ba đờng thẳng EI,BH,ACđồng quy

Gi¶i :

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a/ V× HI // BD ==> BI

IC=
DH

HC (1)

V× DG // AB ==> BE

ED=
AE
EG=

DG (2)

các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành nên DH = AB = GC suy ra DG = HC
thay vµo (1) ==> BI

IC=
AB

DG (3) Tõ (2) vµ (3) ==>
BI
IC=

BE
ED

từ đó suy ra EI // DC hay EI // AB (4)
b/ Từ (2) và (3) ta có BI

IC=
BE
ED=
AB
DG=
AB
HC

l¹i cã HC // AB ==> AB

HC=
AF

FC do đó
BI
IC=

FC suy ra FI // AB hay FI // CD (5)

từ (4) và (5) ==> EI, BH, AC đồng quy

Bài số 9 : Cho M,N,P lần lợt nằm trên ba cạnh AB,BC,CA( hoặc trên các đờng 
thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 
M,N,P thẳng hàng là MA

MB .
NB
NC .

PA=1 ( định lý Mờlờnaỳyt)

Giải :

Điều kiện cần : Giả sử M,N,P thẳng hàng
Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q ta cã :
Tõ Δ MBN ==> MA

MB =
AQ
NB

Tõ Δ PNC ==> PC

PA=
NC
AQ

Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta đợc

MA
MB .

NB
NC=

NB nh©n 2 vÕ víi
NB
NC

ta cã MA

MB .
NB
NC .

PC
PA=1

iu kin :

Cho ba điểm M,N,P trên ba cạnh tam giác thoả mÃn điều kiện

MA
MB .

NB
NC.

PC
PA=1

MB .

N ' B
N ' C.

PA=1

Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cmt) thì
Từ đó suy ra N ' B

N ' C=

NC Vì N và N cùng ở trong đoạn BC nên N N, tức là

M,P,N thẳng hàng .

Bài số 10 : Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm tơng 
ứng M,N . Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của 
BN với MD. Chứng minh rằng ba điểm C,P,Q

thẳng hàng .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vì ba điểm N,Q,B thẳng hàng nên theo bài 3 ta có NA

ND .
QD
QM .

MA=1 Gäi K lµ

giao điểm của CD với đờng thẳng MP . Khi đó BCKM , NDKP là các hình bình hành
nên NA

ND=
PM
PK vµ
BM

BA =
CK

CD Do đó 1=
NA
ND .
QD
QM .
BM
BA =
PM
PK .
QD
QM .

CK
CD=
PM
PK .
CK
CD .
QD
QM

Vì C,P,Q nằm trên các đờng thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo bài toán 9
và đẳng thức trên suy ra C,P,Q thẳng hàng .

Bài số 11: Cho ba điểm P,Q,R theo thứ tự ở trên các cạnh BC,CA,AB ( hay các đờng
thẳng chứa các cạnh ) của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó
. Điều kiện cần và đủ để ba đờng thẳng AP,BQ,CR đồng quy là PB

PC.
QC
QA .

RA
RB=1

(định lý Céva)

Gi¶i :

Giả sử ba đờng thẳng AP,BQ,CR đồng quy tại I
theo bài số 9 vào tam giác ABP và đờng thẳng RIC
ta có CB

CP .
IP
IA.

RB=1 , áp dụng định lý đó vào tam

giác ACP và đờng thẳng BIQ, ta có BP

BC.
QC
QA.

IA
IP =1

Nhân các vế tơng ứng của hai đẳng thức đó với nhau, ta
đợc
CB
CP .
IP
IA .
RA
RB .
BP
BC.
QC
QA .

IP =1 Từ đó suy ra
PB
PC.

QC
QA .

RA
RB=1

Ngợc lai, giả sử ba đờng thẳng AP,BQ,CR thoả mãn điều kiện PB

PC.
QC
QA .

RA
RB =1

Khi đó, hai trờng hợp có thể xảy ra .

Trờng hợp hai trong ba đờng thẳng AP,BQ,CR cắt nhau ; chẳng hạn AP cắt BQ tại 
I .Khi đó CI phải cắt AB tại điểm R’ nào đó . Theo kết quả (cmt) ta có

PB
PC.

QA .

R ' A

R ' B=1 từ hai đẳng thức trên suy ra
R ' A

R ' B=

RB nªn R’ trïng víi R

.Do đó ba đờng thẳng AP,BQ,CR đồng quy .

Trờng hợp còn lại là trờng hợp ba đờng thẳng AP,BQ,CR song song với nhau ,trờng 
hợp này không thể xảy ra.

Bài số 12: Chứng minh rằng các đờng thẳng đi qua
đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với
đờng trịn nội tiếp thì đồng quy .

Gi¶i : Gọi P,Q,R theo thứ tự là tiếp điểm của

BC,CA,AB vi đờng trịn nội tiếp tam giác ABC . Khi
đó PB = RB, PC = QC, QA = RA nên :

PB
PC.
QC

QA .
RA
RB =
RB
QC .
QC
RA .
RA

RB=1 do đó ba đờng thẳng

AP,BQ,CR đồng quy

Bµi sè 13 : Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Giải :

Vì M là trung điểm của BC nên MB

MC=1 . Do đó

DA
DB .
MB
MC.
EC
EA=
DA
DB .
EC

EA . Vì vậy, ba đờng thẳng

AM,BE,CD đồng quy khi và chỉ khi

DA
DB .
MB
MC.
EC
EA=
DA
DB .
EC

EA=1 hay
DA
DB=

EA
EC

tøc lµ DE//BC

Bài số 14 : Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều
ABD, BCE, CAFnằm phía ngồi tam giác ABC thì
ba đờng thẳng AE,BF,CD đồng quy .

Gi¶i :

Gọi P là giao điểm của AE và BC, Q là giao điểm
của BF và CA, R là giao điểm của CD và AB . Hai
tam giác ABE và ACE có chung cạnh AE nên tỷ số
diện tích của chúng bằng tỉ số các khoảng cách từ B
và C đến cạnh chung AE. Theo định lý Talét trong
tam giác, tỉ số khoảng cách đó bằng PB

PC . Do đó
PB

PC=

SΔABE
SΔACE

. T¬ng tù, ta cã

QC
QA=

SΔFCB
SΔAFB

,RA

RB=

SΔCAD
SΔDBC

. Do đó PB

PC.
QC
QA .

RA
RB =

SΔABE
SΔACE

.SΔFCB

SΔFAB

.SΔCAD

SΔDBC

.
V× Δ ABE = Δ DBC (c.g.c) , Δ ACE = Δ FCB (c.g.c) , Δ FAB = Δ
CAD (c.g.c)

nªn PB

PC.
QC
QA .

RA
RB=

SΔABE
SΔACE

.SΔFCB

SΔFAB

.SΔCAD

SΔDBC

=1 theo định lý Céva , ba đờng thẳng
AE,BF,CD đồng quy .

d/ KÕt qu¶ :

Qua phần trình bày trên đây ,ta thấy ở nhiều bài tập khi chứng minh rất cần đến việc
áp dụng tính chất của các đờng thẳng đồng quy . Những kiến thức này giúp cho học
sinh phát triển đợc t duy và kĩ năng chứng minh hình .

Do đợc trang bị những kiến thức về đờng thẳng đồng quy nên việc chứng minh và
trình bày ngắn gọn hơn và dễ hiểu hơn làm cho học sinh hứng thú trong học tập , giải
các bài tập khó .Qua thử nghiệm tơi nhận thấy có một số kết quả rất phấn khởi nh
sau :

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

- Sau đó, tơi nghiên cứu sắp xếp hệ thống bài tập ,câu hỏi nh đẫ trình bày ở trên
và áp dụng dạy cho học sinh lớp 8 thì thấy rằng : Học sinh hiểu bài hơn, có

hứng thú say mê với loại bài chứng minh ba đờng thẳng đồng quy . Các em tự
mình có thể giải quyết đợc các bài tập , đồng thời các em cịn trình bày ngắn
gọn hơn ,xúc tích hơn ngồi những bài tập tơi đa ra ở trên còn nhiều bài nữa từ
70% đến 80% các em làm đợc

- Bớc đầu xây dựng cho học sinh phong cách say sa tìm tịi khám phá những
điều mới, điều hay qua từng bài tập ,các em nắm chắc kiến thức cơ bản và kĩ
năng giải toán của các em đợc nâng lên ở mức độ cao hơn và sâu sắc hơn . Học
sinh khơng cịn hiểu vấn đề một cách máy móc dập khn .

- Vì khơng có điều kiện trình bày hết tất cả các bài tập, tơi chỉ xin trình bày một
số bài tập trên đây làm ví dụ minh hoạ cho chun đề của mình .

e/ Bµi häc rót ra :

- Đổi mới phơng pháp dạy học là một quá trình, song mỗi giáo viên cần có ý
thức thờng trực tìm tịi những phơng pháp, phù hợp với từng loại bài tập và từng
đối tợng học sinh theo phơng hớng tích cực hố hoạt động của học sinh trong
q trình học tập .

- Học sinh trung học cơ sở còn ở tuổi thiếu niên, việc t duy của các em, khả năng
khái qt hố cịn rất hạn chế . Do đó để giải các bài tập khó là cả một công
việc nặng nề đối với các em, nhất là các bài tập hình vì vậy địi hỏi ở ngời giáo
viên một sự đầu t lớn trong việc nghiên cứu chơng trình của sách giáo khoa, hệ
thống bài tập áp dụng và bài tập nâng cao, từ đó xây dựng thành những chuyên
đề nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập t duy, khái quát hố các kiến thức .
Từ đó mà năng lực và trí tuệ của các em mới đợc rèn luyện và nâng cao .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Quang Trung, ngµy10 tháng12 năm 2007
Ngời viÕt

Bùi Đình Đông

ý kin ỏnh giỏ xp loi ca t chuyờn mụn

...
...
...
...

Quang Trung, ngày12 tháng12 năm 2007
TM tổ chuyên môn

ý kiến đánh giá xếp loại của Ban giám hiệu

...
...
...
...
...

Quang Trung, ngày15 tháng12năm 2007
Ban gi¸m hiƯu

ý kiến đánh giá xếp loi ca pgd &t

...
...

...
...
...