ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRĂNG ĐỂ CHỨNG MINH BĐT HÀM

Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm
I. Định lý Larange: Cho hàm số
)(xfy
=
liên tục trên
[ ]
ba;
và có đạo hàm trên
( )
ba;
khi đó
( )
bac ;
∈∃

sao cho:
ab
afbf
cf
−
−
=
)()(
)('
II. Bài toán: Cho hàm số
)(xfy
=
xác định và có đạo hàm cấp hai trên
( )
ba;
CMR:

a. Nếu
0)("
≥
xf

( )
bax ;
∈∀
( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên
( )
ba;
) thì:
)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+
≥
+
b. Nếu
0)("
≤
xf

( )

bax ;
∈∀
( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên
( )
ba;
) thì:
)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+
≤
+
• Chứng minh :
Không mất tính tổng quát giả sử
21
xx
<
Xét hàm số
)(xf
liên tục trên
( )
ba;
chứa
( )

21
; xx
. Theo định lý Larange ta có:

( )
21
; xxt
∈∃
sao cho:
2
)('
)()
2
(
)('
2
)()
2
(
12
1
21
1
21
1
21
tf
xx
xf
xx

f
tf
x
xx
xf
xx
f
=
−
−
+
⇔=
−
+
−
+
(1)

( )
21
; xxk
∈∃
sao cho:
2
)('
)
2
()(
)('
2

)
2
()(
12
21
2
21
2
21
2
kf
xx
xx
fxf
kf
xx
x
xx
fxf
=
−
+
−
⇔=
+
−
+
−
(2)
Trừ (1) cho (2) suy ra:

2
)(')(')()(
12
21
tfkf
xx
xfxf
−
=
−
+
(3)
+) Nếu
0)("
≥
xf

( )
bax ;
∈∀

⇒

)(' xf
đồng biến trên
( )
ba;
)(')(' tfkf
>⇒
kết hợp với (3) suy ra:

)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+
≥
+
+) Nếu
0)("
≤
xf

( )
bax ;
∈∀

⇒

)(' xf
nghịch biến trên
( )
ba;
)(')(' tfkf
<⇒
kết hợp với (3) suy ra:

)
2
(
2
)()(
2121
xx
f
xfxf
+
≤
+
III. Mở rộng
+) Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số:
a.
)(
)(
11
n
x
f
n
xf
n
i
i
n
i
i
∑∑

==
≥
b.
)(
)(
11
n
x
f
n
xf
n
i
i
n
i
i
∑∑
==
≤
IV. Ứng dụng:
1.
xxf sin)(
=
trên







2
;0
π
Ta có:
0sin)("
<−=
xxf







∈∀
2
;0
π
x
Vậy:
)
2
sin(
2
sinsin
2121
xxxx +
≤
+

2.
xxf cos)(
=
trên






2
;0
π
Ta có:
0cos)("
<−=
xxf







∈∀
2
;0
π
x
Vậy:

)
2
cos(
2
coscos
2121
xxxx +
≤
+
3.
xxf tan)(
=
trên






2
;0
π
Ta có:
0
sin2
)("
2
>=
xcox
x

xf







∈∀
2
;0
π
x
Vậy:
)
2
tan(
2
tantan
2121
xxxx
+
≥
+
4.
xxf cot)(
=
trên







2
;0
π
Ta có:
0
sin
cos2
)("
2
>=
x
x
xf







∈∀
2
;0
π
x
Vậy:

)
2
cot(
2
cotcot
2121
xxxx +
≥
+
5.
xxf ln)(
=

0
>∀
x
Ta có:
0
1
)("
1
)('
2
<−=⇒=
x
xf
x
xf

0

>∀
x
Vậy:
)
2
ln(
2
lnln
2121
xxxx
+
≤
+
Tổng quát:
)ln(
lnlnln
2121
n
xxx
n
xxx
nn
+++
≤
+++


)ln(ln
21
21

n
xxx
xxx
n
n
n
+++
≤⇔


Do hàm
xxf ln)(
=
đồng biến nên suy ra:
n
xxx
xxx
n
n
n
+++
≤


21
21
(BĐT Cauchy)
6.
α
xxf

=
)(

0
>∀
x
Ta có:
2
)1()("
−
−=
α
αα
xxf
+) Nếu
0<
α
hoặc
1
>
α

0)("
>⇒
xf

0
>∀
x
Vậy

α
αα
)
2
(
2
2121
xxxx
+
≥
+
Tổng quát:
α
ααα
)(
2121
n
xxx
n
xxx
nn
+++
≥
+++

+) Nếu
10
≤≤
α

0)("
≤⇒
xf

0
>∀
x
Vậy
α
αα
)
2
(
2
2121
xxxx
+
≤
+
Tổng quát:
α
ααα
)(
2121
n
xxx
n
xxx
nn
+++

≤
+++
