CAC BAI TOAN LIEN QUAN GOC 2 MAT PHANG TRONG HINH HOP

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b> MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN </b></i>

<b>GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG trong HÌNH HỘP.</b>

Gv : VŨ HỮU VIÊN .Trường THPT chuyên Lê Quý Đơn.

---1. <i>Trước hết ta xét các bài tốn quen thuộc:</i>

<b>BT1</b>. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh <i>a</i>.

a) Tính số đo góc



của hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD) :

* Gọi O là tâm hình vng ABCD, ta có <i>AOA</i>' &<i>COC</i> ' là
góc tạo bởi (ABCD) với hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD).

* Ta tính số đo hai góc <i>AOA</i>' &<i>COC</i> ':

    0

tan<i>AOA</i>' tan <i>COC</i>' 2 1  <i>AOA</i>'<i>COC</i>' 45 _{, vậy}

 _' _{' 90}

<i>A OC</i>  _và



<i>A OC</i>' '_{; suy ra}

 

tan



tan(<i>AOA</i>'<i>COC</i>') 2 2

.
b) Hai điểm M, N lần lượt thuộc cạnh AA’,CC’. Tính góc



tạo bởi hai mặt phẳng (MBD) và

(NBD) theo <i>a</i>, <i>AM</i> <i>x CN</i>; <i>y</i>( 0<i>x y a</i>;  ):
* Ta có :

 2  2

tan<i>MOA</i> <i>x</i> ; tan<i>NOC</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>a</i>

 

. Nếu 2<i>xy a</i> 2: tan<i>MOA</i> .tan<i>NOC</i>  1



90

Nếu 2<i>xy a</i> 2:

2

( ) 2

tan

2

<i>a x y</i>

<i>a</i> <i>xy</i>



 



.

<b>BT2.</b> Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c.
Tính góc



tạo bởi hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD) theo a, b, c.

* Trong (ABCD) dựng AH, CK vng góc với BD ( H,K thuộc BD) ; ta có <i>A HA C KC</i>' , ' là góc
tạo bởi mp(ABCD) và hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD) .

*

 

2 2

1 1

tan '<i>A HA</i> tan '<i>C KC</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i>

  

.

Nếu 2 2 2

1 1 1

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> _:

  0

A'HA<i>C KC</i>' 45  (A'BD)  (C'BD) & =90





Nếu 2 2 2

1 1 1

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> _:

2 2

2 2 2

2 1 1

tan

1 1 1

<i>c a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>






 

.
A

B C

D
A'

B' _C'

D'

O
M

N

A

B

C

D
A'

B' C'

D'

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2. <i>Qua hai bài toán trên, vai trò trung gian của mặt phẳng “ nền” (ABCD) là rất quan trọng cho việc xác</i>
<i>định và tính số đo các góc “ bù”hoặc “phụ” với góc cần xác định. Do đó, với mỗi bài tốn mà việc xác</i>
<i>định và tính trực tiếp số đo góc (được u cầu) gặp khó khăn, ta có thể “ cầu cứu” đến mặt phẳng “nền”.</i>
<i>Ta xét thêm một vài bài toán khác:</i>

<b>BT3.</b> Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh <i>a</i>, tâm I. Lấy hai điểm E, F lần lượt trên đường thẳng
BB’, CC’ sao cho EF đi qua I.

1. Tính số đo góc



_{của hai mặt phẳng (A’EF),(AEF) trong hai trường hợp:}
a) EF // BD b) EF vng góc BD’.

2. Có hay khơng vị trí EF sao cho hai mặt phẳng (A’EF),(AEF) vng góc?

* Rõ ràng mặt phẳng “ nền” ở đây là
mặt phẳng (BDD’B’).

Trường hợp a) EF ở vị trí MN, thực hiện tương tự BT1, ta có kết quả

tan



2 2_.

Trường hợp b) dựng OH, O’K vng góc với EF ( H, K thuộc EF). Ta có

3
'

6

<i>a</i>

<i>OH</i> <i>O K</i> 

,

2 6
tan

5





.

* Đặt <i>x</i>(<i>EF OO</i> , '), với 0  <i>x</i>90_{. Dựng OP , O’Q vng góc EF}

( P,Q thuộc EF). Ta có

  2

tan tan ' '

sin

<i>APO</i> <i>A QO</i>

<i>x</i>

 

.

Vậy (A'EF)(AEF)  APO A'QO' 45     sin<i>x</i> 2: vô nghiệm.
Vậy không tồn tại vị trí nào của E, F thoả u cầu bài tốn.

<b>BT4</b>. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ đáy hình bình hành tâm O, tam giác ABC đều cạnh a, AA’ = a và
vuông góc (ABCD). M là trung điểm AA’ và I là tâm của mặt CDD’C’. Tính góc



tạo bởi hai mặt phẳng
(MBC’) và (IMO).

* Gọi N là trung điểm A’D’, vì BC’ và OI cùng song song với AD’ nên sử
dụng định lý về phương giao tuyến của hai mặt phẳng ta có

(<i>MBC</i>') ( <i>IMO</i>)<i>MN</i> _.

* Chọn mặt phẳng “nền” là (AA’D’D), ta có C’N vng góc với (AA’D’D)
nên (MBC’) vng góc với (AA’D’D).

Gọi E trung điểm DN, suy ra IE // C’N nên IE vng góc với (AA’D’D) trong
(AA’D’D) dựng EH vng góc MN tại H, (EH // A’D do AA’D’D là hình
vng). Ta có góc giữa (IMO) và (AA’D’D) là góc <i>IHE</i> nên



tan cot<i>IHE</i> <i>EH</i>
<i>EI</i>



 

Ta tính được

3 3 3 2

; '

4 8 8

<i>a</i> <i>a</i>

<i>IE</i>  <i>EH</i>  <i>A D</i>

. Vậy

6
tan

2

<i>a</i>





.
<b>3. Các bài tốn áp dụng:</b>

<b>BT5</b>. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh <i>a</i>. Hai điểm M, N lần lượt thuộc cạnh AA’,CC’.
a) Chứng minh rằng: (<i>MBD</i>)(<i>NBD</i>) (<i>BMN</i>)(<i>DMN</i>).

A

B

C

D
A'

B' C'

D'
O'

O
I

N
M
E

F

A'

A
B

C D

C'

B'

D'

M
N

O
I

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện MNBD khi M, N di động và thoả mãn
(BMN) vng góc (DMN).

* Áp dụng kết quả bài tốn 1, ta có (<i>MBD</i>)(<i>NBD</i>) 2<i>xy a</i> 2 (1) , trong đó <i>x</i> = AM, <i>y</i> = CN và

0<i>x y a</i>;  _.

* Gọi P là hình chiếu của O trên MN, ta có (BDP) vng góc MN và tam giác BDP cân tại P. Vậy

 

(<i>BMN</i>)(<i>DMN</i>) <i>BDP</i>90  <i>BPO</i>45  <i>OP OB</i> _{. (2)}

Mà 2 2 2

2
.
2

<i>a</i> <i>x y</i>

<i>OP</i>

<i>a</i> <i>x</i> <i>y</i>




  _và

2
2

<i>a</i>

<i>OB</i>

nên (2)  2<i>xy a</i> 2 (3). Từ (1) và (3) suy ra:

(<i>MBD</i>)(<i>NBD</i>) (<i>BMN</i>)(<i>DMN</i>)_.

* Ta có <i>MN</i>  2<i>a</i>2(<i>x y</i> )2  <i>a</i>2<i>x</i>2<i>y</i>2 ( do 2<i>xy a</i> 2).

Thể tích khối tứ diện MNBD là V =

2

1 1 1

. . . ( )

3<i>MN SBOD</i> 6<i>MN OP BD</i>6<i>a x y</i> _.

Điều kiện
2
2
2 ₂
0 ;
2
<i>a</i>
<i>y</i>

<i>xy a</i> <i>_x</i>

<i>x y a</i> <i>a</i>

<i>x a</i>



 _
 

 
 
 _
 _{ }


 _.

Xét hàm số

2

( ) ; [ ; ]

2 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>a</i>

<i>x</i>

  

.

2
2

'( ) 1 ; '( ) 0

2
2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>f x</i> <i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

    

; Lập bảng biến thiên của
hàm số, từ đó ta có:

3
3
2
; .
6 2
; ; ;

4 2 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>MinV</i> <i>khi x</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>MaxV</i> <i>khi x a y</i> <i>x</i> <i>y a</i>

  

     

<b>BT6. </b>Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = c khơng đổi. Đáy là hình chữ nhật ABCD thay
đổi và thoả mãn hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD) vuông góc. Tính theo c giá trị nhỏ nhất của thể tích
khối tứ diện A’BC’D.

* Áp dụng kết quả BT2, ta có 2 2 2

1 1 1

( '<i>A BD</i>) ( '<i>C BD</i>)

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

   

.
* Thể tích khối tứ diện A’BC’D là <i>V</i> = . ' ' ' '

1 1

3<i>VABCD A B C D</i> 3<i>abc</i>_.

* Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si, ta có

2

2 2

1 1 2

2

<i>ab</i> <i>c</i>

<i>ab</i>

<i>a</i> <i>b</i>   

* Vậy

3
2

; 2

3

<i>MinV</i>  <i>c khi a b c</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

* Chú ý: Ta có thể chứng minh dễ dàng tính chất ( '<i>A BD</i>)( '<i>C BD</i>) (<i>DA C</i>' ')(<i>BA C</i>' ')

<b>BT7. </b>Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai cạnh AB’,

CD’ sao cho ' ' ;(0 1)

<i>AM</i> <i>CN</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>AB</i> <i>CD</i>    <b>_.</b>_Tìm _{giá trị của}<i>_k</i>_{sao cho hai mặt phẳng (BMN) và ( DMN)}

vuông góc.

* Giả thiết ' '

<i>AM</i> <i>CN</i>

<i>AB</i> <i>CD</i> _{suy ra MN song song với hai đáy lập phương.}

Dựng mặt phẳng chứa MN và song song với (ABCD) cắt AA’, BB’, CC’,
DD’ tại P, Q, R, S. Ta có PQRS là hình vng và MN đi qua tâm hình vng
này. Mặt phẳng “nền” ở đây chính là (PQRS).

* Đặt <i>x</i> = AP, ta có ' '

<i>x</i> <i>AP</i> <i>AM</i>

<i>k</i>

<i>a</i> <i>AA</i> <i>AB</i>  _{. ( 0 <}<i>_x</i>_<<i>_a</i>₎

Dựng QH, SK vng góc MN tại H, K. Ta có <i>BHQ DKS</i> ; là góc của (BMN), (DMN) và mặt phẳng
(PQRS); đồng thời <i>BHQ DKS</i> 

2 2

2

2 2

( 2 )

1 1 ( )

.

2 2 2 ₍ _{2 )}

<i>MNRQ</i> <i>MNQ</i> <i>NRQ</i>

<i>MN</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>x</i>

<i>a</i> <i>a a x</i>

<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>MN QH</i> <i>ax</i> <i>QH</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>x</i>

  



      

 

Suy ra



2

2 ₍ _{2 )}2 1 (1 2 ) _{1 (1 2 )}2

tan

( ) ₁ 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x a</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>BQ</i> <i>_a</i> <i>_a</i>

<i>BHQ</i>

<i>x</i>

<i>HQ</i> <i>a a x</i> <i>k</i>

<i>a</i>

 

   

   

 _ 

* Vậy (<i>BMN</i>)(<i>DMN</i>) <i>BHQ</i>45<i>o</i>  <i>k</i> 1 (1 2 )  <i>k</i> 2  1 <i>k</i>

Giải phương trình ta tìm được giá trị duy nhất

1
2

<i>k</i> 

. Khi đó M, N là trung
điểm AB’, CD’.

<b>4. Các bài tập đề nghị:</b>

<b>BT8.</b> Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai cạnh AB’,

CD’ sao cho ' ' ;(0 1)

<i>AM</i> <i>CN</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>AB</i> <i>CD</i>    <b>_.</b>

a) Tìm giá trị của <i>k</i> sao góc giữa hai mặt phẳng (BMN) và ( DMN) bằng góc giữa hai mặt phẳng
(MBD) và (NBD).

b) Khi k thay đổi trong khoảng (0;1) tính giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện BDMN.
A'

B' C'

D'
A

B _C

D

O

P N

M Q R

S

P

Q R

S

O
M

N

H

K

x

a-x

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>BT9</b>. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh <i>a</i>. Hai điểm M, N lần lượt thuộc cạnh AA’,CC’.
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện MNBD khi M, N di động và thoả mãn góc giữa
hai mặt phẳng (BMN), (DMN) là 600_.

<b>BT10. </b>Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c. Tìm điều kiện của a, b, c
sao cho mặt phẳng (ABC’D’) tạo với hai mặt phẳng (A’BD), (C’BD) các góc bằng nhau? Phụ nhau?

Vũng tàu, tháng 05 năm 2012
Nguời viết

</div>

<!--links-->