Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

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u|∂O = 0, t > 0,

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u|t=0 = u0 .

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d(u 2 u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p]dt
= f (x, t)dt + h(x, t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0,
∇ · u = 0,
u(x, t) = 0,

x ∈ O, t > 0,
x ∈ ∂O, t > 0,

u(x, 0) = u0 (x),
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x ∈ O,

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d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + f (x, u) + ∇p]dt
= g(x)dt + h(x, t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0,
∇ · u = 0,

x ∈ O, t > 0,
x ∈ ∂O, t > 0,

u(x, t) = 0,

u(x, 0) = u0 (x),
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u = (u1 , u2 , u3 )

ν > 0
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x ∈ O,

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✻

•

✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞→♥❣ ✤✐➺✉ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❝ỉ♥❣
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❈❻❯ ❚❘Ó❈ ❈Õ❆ ▲❯❾◆ ⑩◆
◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ố
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✼


❈❤÷ì♥❣ ✶
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✶✳✶✳ ❈⑩❈ ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❍⑨▼
✶✳✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝â trå♥❣
❈❤♦

O

❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣

RN ✳

●✐↔ sû

α ∈ (0, 2)

✈➔

σ:O→R

❧➔ ❤➔♠

✤♦ ✤÷đ❝ ▲❡❜❡s❣✉❡✱ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✭①❡♠ P✳ ❈❛❧❞✐r♦❧✐ ❛♥❞
❘✳ ▼✉s✐♥❛ ✭✷✵✵✵✮✮✿

(Hα ) : σ ∈ L1❧♦❝ (O)
❑❤✐ ✤â✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

✈➔

lim inf |x − z|−α σ(x) > 0
x→z

D01 (O, σ)

❧➔ ❜ê s✉♥❣ ✤õ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥

❝❤✉➞♥

u

σ

✈ỵ✐ ♠å✐

σ(x)|∇u|2 dx

:=

z ∈ O.
C0∞ (O)

✤è✐ ✈ỵ✐

1
2

.

✭✶✳✶✮

O
❑❤✐ ✤â✱

D01 (O, σ)

❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈ỵ✐ t ổ ữợ

((u, v)) :=

(x)uvdx.
O

●■❷■ ❚➑❈❍ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆ ❚❘❖◆●
❑❍➷◆● ●■❆◆ ❍■▲❇❊❘❚
✶✳✷✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳
❤✐➺✉

✐✮ ❑➼ ❤✐➺✉

LpFt (0, T ; X)

Lp (Ω, Ft , P, L2 (0, T ; X))

tr♦♥❣ ♥❣ú ❝↔♥❤

t➜t ❝↔ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉
s tữỡ t ợ ở ồ

(, Ft , P)

❤♦➦❝ t❛ ❝ơ♥❣ ❞ị♥❣ ❦➼

✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤✮ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥

F × B([0, T ])− ✤♦ ✤÷đ❝ u : Ω × [0, T ] → X

(Ft )t∈[0,T ]

✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥

p/2

T

u

2
Lp (Ω,Ft ,P,L2 (0,T ;X))

:= E

u(t)
0

✽

2
X dt

< ∞.


✐✐✮ ❑➼ ❤✐➺✉

t ≤ T}

Lp (Ω, Ft , P, C([0, T ]; X)) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ {u(t); 0 ≤
♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣

u

X✱

❧✐➯♥ tö❝✱

p

Lp (Ω,Ft ,P,C([0,T ];X))

Ft −

✤♦ ✤÷đ❝ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥

:= E sup

p
X

u(t)

t∈[0,T ]

< ∞.

✶✳✷✳✷✳ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
❱ỵ✐

K0 , H

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ t❛ ①➨t

Φ : [0, T ] × Ω → L2 (K0 , H)

t❤ä❛

♠➣♥ ❝→❝ t t s

ã

ữủ tữỡ t ợ ❜ë ❧å❝

• Φ

❧➔ ❦❤↔ t➼❝❤ ❝➜♣ ❤❛✐ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ s❛✉

Ft ❀

T

Φ

2
T ;H

Φ(s, ·)

:= E
0

2
L2 (K0 ,H) ds

< +∞.

✭✶✳✷✮

❚ø ❦➳t q✉↔ ỵ q tr r tr ổ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱

t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

∞

T

Φ(t, ω)dW (t) :=
0

√

T

Φ(t, ω)en dWn (t).

µn
0

n=1

✶✳✸✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❈❒ ❇❷◆ ❱➋ ❍➏ ✣❐◆● ▲Ü❈ ◆●❼❯
◆❍■➊◆ ❱⑨ ❚❾P ❍Ó❚ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

▼ët t➟♣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝õ❛
✭✐✮
✭✐✐✮

A(ω)

φ

♥➳✉ ✈ỵ✐

P✲❤➛✉

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✱ ✈➔ →♥❤ ①↕

{A(ω)}ω∈Ω

{A(ω)}ω∈Ω ∈ D(ω)

❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱

ω → d(x, A(ω))

{A(ω)}ω∈Ω

❧➔ ữủ ợ ồ

út ồ t tr

lim

t

D

ợ ồ

tự ợ ♠å✐

x ∈ X❀

t ≥ 0;

{B(ω)}ω∈Ω ∈ D✱

❞✐stX (φ(t, θ−t ω, B(θ−t ω)), A(ω))

ð ✤➙② ❞✐stX ❧➔ ♥û❛ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❍❛✉s❞♦r❢❢ tr♦♥❣
❞✐stX (A, B)

= sup inf x − y
x∈A y∈B

✾

X ✈ỵ✐

D✲t➟♣

t❛ ❝â

❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥✱ tù❝ ❧➔✱

φ(t, ω, A(ω)) = A(θt ω)
✭✐✐✐✮

ω ∈ Ω✱

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

= 0,

X✱
A, B ⊂ X.


ữỡ
ế P Pì
P❆❘❆❇❖▲■❈ ◆Û❆ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❙❯❨ ❇■➌◆
◆●❼❯ ◆❍■➊◆

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✶✱ ✸❪ tr♦♥❣ ❉❛♥❤ ♠ư❝
❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳

✷✳✶✳ ❚➑◆❍ ❚❘❒◆ ❈Õ❆ ❚❾P ❍Ó❚ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆
✷✳✶✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤
s✉② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥

m

hj dWtj , x ∈ O, t > 0,

du + [−❞✐✈(σ(x)∇u) + f (u) + λu]dt = gdt +
j=1

u|∂O = 0, t > 0,

✭✷✳✶✮

u|t=0 = u0 ,
tr♦♥❣ ✤â
trì♥✱

u0 L2 (O)

trữợ

> 0 {Wtj }m
j=1

O RN (N ≥ 2)

❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ ❜✐➯♥

❧➔ ♠ët q✉→ tr➻♥❤ ❲✐❡♥❡r ❤❛✐ ♣❤➼❛ ✤ë❝ ❧➟♣

m

❝❤✐➲✉✳ ✣➸

♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✮✱ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t✿

(Hα )

❍➔♠

σ:O→R

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤♦ ✤÷đ❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥

α ∈ (0, 2)✱ lim inf x→z |x − z|−α σ(x) > 0

✭❋✮

❙è ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥
❧➔✱ ❝â ♠ët sè

f ∈ C 1 (R, R)

p≥2

✈ỵ✐ ♠å✐

σ ∈ L1❧♦❝ (O)

✈➔

z ∈ O❀

t✐➯✉ ❤❛♦ ✈➔ t➠♥❣ tr÷ð♥❣ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝✱ tù❝

s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐

u ∈ R✱

f (u)u ≥ C1 |u|p − C2 ,

✭✷✳✷✮

|f (u)| ≤ C3 |u|p−1 + C4 ,

✭✷✳✸✮

(f (u) − f (v))(u − v) ≥ − (u − v)2 ,

✭✷✳✹✮

✈➔

ð ✤➙②

Ci , i = 1, 2, 3, 4,

✈➔

❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣❀

✶✵


✭●✮ g ∈ L2 (O)❀
✭❍✮

❈→❝ ❤➔♠

hj , j = 1, . . . , m, t❤✉ë❝ L∞ (O)∩❉♦♠(A)✱ ✈ỵ✐ Au = −❞✐✈(σ(x)∇u)✱

❉♦♠(A)

= {u ∈ D01 (O, σ) : Au ∈ L2 (O)}✳

P❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥

v(t) := u(t) − z(θt ω)

s➩ ❝❤✉②➸♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ t❤➔♥❤

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉

vt + Av + f (v + z(θt ω)) + λv = g − Az(θt ω),
✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉

v(x, 0) = v0 (ω) = u0 z()





Au = ((x)u)

ỹ tỗ t ừ t ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp (O)

●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ (Hα) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✣➦t B = {B(ω)}ω∈Ω ∈ D ✈➔

u0 (ω) ∈ B(ω)✳ ❑❤✐ õ P tỗ t T = T (B, ω) > 0✱
✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T



ỗ t t tử tr♦♥❣

Lp (O)✮✳

|u(t, θ−t ω, u0 (θ−t ω))|pp ≤ c(1 + r(ω)).

✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❝❤♦ ω ∈ Ω, K0(ω) = {u ∈ Lp(O) : |u|pp ≤ c(1 + r(ω))} ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣
t❤ö ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp(O) ❝õ❛ φ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛
♠➣♥✳ ✣➦t B = {B(ω)}ω∈Ω ∈ D✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ > 0 ✈➔ ω ∈ P
tỗ t số T = T ( , B, ω) > 0, M = M ( , B, ω) s❛♦ ❝❤♦
|u(t, θ−t ω, u0 (θ−t ω))|p dx ≤ .

✭✷✳✻✮

O(|u(t,θ−t ω,u0 (θ−t ω))|≥M )

✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T ✳
❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✵ tr♦♥❣ ❲❡♥q✐❛♥❣ ❩❤❛♦ ✈➔
❨❛♥❣r♦♥❣ ▲✐ ✭✷✵✶✷✮✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉

●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛
♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ φ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ✭✷✳✺✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët t➟♣
❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ {Ap(ω)}ω∈Ω✱ t➟♣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t➠♥❣ ❝❤➟♠ ♥➔② ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❜➜t
❜✐➳♥ ❝õ❛ Lp(O) ❤ót ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ t➠♥❣ ❝❤➟♠ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ L2(O)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱

Ap (ω) = A(ω)✱ ð ✤➙② {A(ω)}ω∈Ω ❧➔ t➟♣ ❤ót tr♦♥❣ L2 (O)✳
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳

✶✶


ỹ tỗ t ừ t út tr ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ D01 (O, σ)

●✐↔ sû {B ∗(ω)}ω∈Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤➜♣ t❤ö ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ Lp(O) ∩
D01 (O, σ) tữỡ ự ợ ở ỹ ✤â φ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t✐➺♠
❝➟♥ ❧ị✐ ✈ỵ✐ ω ∈ Ω, P✲❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ tù❝ ❧➔✱ {φ(tn, θ−t ω, xn)} ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣
✤è✐ ❦❤✐ tn → +∞ ✈➔ xn ∈ B (t )
ờ ợ ộ > 0 tỗ t↕✐ t0 > 0 ✈➔ m ∈ N∗ s❛♦ ❝❤♦
❇ê ✤➲ ✷✳✶✳

n

n

(IdD01 (O,σ) − Pm )v(t, θ−t ω, v0 (θ−t ω))

2
σ

≤ η, ∀t ≥ t0 , ∀u0 (θ−t ω) ∈ B ∗ (θ−t ω),
✭✷✳✼✮

ð ✤➙② Pm ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ tø D01(O, σ) ✈➔♦ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥
m✲❝❤✐➲✉✳
✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛

♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✶✮ ❝â ♠ët t➟♣ ❤ót ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❝♦♠♣❛❝t A = {A(ω)}ω∈Ω tr♦♥❣ D01(O, σ)✳

✷✳✷✳ ✃◆ ✣➚◆❍ ❍➶❆ ◆●❍■➏▼ ❉Ø◆● ❇➀◆● ◆❍■➍❯ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆
◆❍❹◆ ❚➑◆❍✳
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ■t♦ ✤è✐ ✈ỵ✐ sü ê♥ ✤à♥❤

u0 ∈ L2 (O)✱

❝õ❛ ứ ừ ữỡ tr ợ




du + [ div((x)u) + f (u)]dt = g(x)dt, x ∈ O, t > 0,



u(x, t) = 0,
x ∈ ∂O, t > 0,




u(x, 0) = u0 (x),
x O.



ỹ tỗ t t ờ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

t➜t ✤à♥❤
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ▼ët ❤➔♠ u∗
♥➳✉

u∗ ∈ D01 (O, σ) ∩ Lp (O)✱

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮

✈➔

σ(x)∇u∗ · ∇ϕdx +
O
✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û

f (u∗ )ϕdx =
O

ϕ ∈ D01 (O, σ) ∩ Lp (O)✳
✶✷

g(x)ϕdx
O


✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✸✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ❜➔✐

t♦→♥ ✭✷✳✽✮ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ②➳✉ u∗✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉
λσ1 > ,

t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ t♦➔♥ ❝ư❝✱ tù❝

❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ u(t) ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✽✮✱ t õ ữợ ữủ
|u(t) u |22 |u(0) u∗ |22 e−2(λσ1 − )t , ∀t ≥ 0.

✷✳✷✳✷✳ ✃♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥❤➙♥ t➼♥❤
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠
❞ö♥❣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❞↕♥❣

u∗

❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû

h(t, u)dW (t)




du + [− div(σ(x)∇u) + f (u)]dt = g(x)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0,



u(x, t) = 0,
x ∈ ∂O, t > 0,




u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ O.
✭✷✳✾✮
❚❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣✱

((Ft )t≥0 )
✭

h(t, ·) : L2 (O) L2 (O)

õ

h(t, u ) = 0

tữỡ t ợ ❜ë ❧å❝

✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

❊✶✮ |h(t, u) − h(t, v)|22 ≤ γ(t)|u − v|22 , t > 0, u, v ∈ L2 (O)✱

✈ỵ✐

γ(t)

❧➔ ♠ët ❤➔♠

❧✐➯♥ tư❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥

1
lim sup
t→∞ t
✭

t

γ(s)ds ≤ γ0 ,

✈ỵ✐

γ0

❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣❀

0

❊✷✮ (h(t, u), u − u∗ )2 ≥ ρ(t)|u − u∗ |42 , u ∈ L2 (O)✱

✈ỵ✐

ρ(·)

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝

❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥

1
lim inf
t→∞ t
▼ët ✈➼ ❞ư ✤ì♥ ❣✐↔♥ ừ
tr

t

(s)ds 0 ,

ợ

0

ởt số ữỡ

0

h(t, u)

t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

h(t, u) = c(u − u∗ ), c ∈ R✳

✶✸

✭❊✶✮ ✲ ✭❊✷✮ ð ♣❤➼❛


✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Hα ) − (F) − (G) − (H) ✈➔ (E1) − (E2)

✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ♥➳✉

1
λσ1 + ρ0 > + γ0 ,
2

✭✷✳✶✵✮

❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ ❝õ❛ ✭✷✳✾✮ ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ ♠ô t♦➔♥ ❝ư❝✳ ❈ư t❤➸ ❤ì♥✱ ✈ỵ✐ ♠é✐
♥❣❤✐➺♠ t♦➔♥ ❝ư❝ u(t) ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✾✮✱ t❛ ❝â
1
lim sup log |u(t) − u∗ |22 ≤ 2 + γ0 − 2λσ1 − 2ρ0
t→∞ t

P✲❤➛✉

❝❤➢❝ ❝❤➢♥

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ h(t, u)dW (t) =
c(u − u∗ )dW (t), c ∈ R✱

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ê♥ ✤à♥❤ ✭✷✳✶✵✮ trð t❤➔♥❤

1
λσ1 + c2 > .
2
ú ỵ r tr trữớ ủ tt ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣
✈ỵ✐

λσ1 ≤

❞ø♥❣

u∗

u∗

❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ê♥ ✤à♥❤

✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❲✐❡♥❡r t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤➣ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ♥❣❤✐➺♠

✈ỵ✐

1
λσ1 , λσ1 + c2 ✳ ❑❤✐ t❤❛♠ sè c ❝➔♥❣ ợ t
2
ợ ộ
> 0 trữợ t ổ õ t❤➸ ❝❤å♥ c ✤õ ❧ỵ♥

tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣

♥➔② s➩ ❞➔✐ ❤ì♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱
s❛♦ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣

u∗

✤÷đ❝ ê♥ ✤à♥❤✳

✶✹


❈❤÷ì♥❣ ✸
❉⑩◆● ✣■➏❯ ❚■➏▼ ❈❾◆ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏
◆❆❱■❊❘✲❙❚❖❑❊❙✲❱❖■●❚ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹✱ ✺❪ tr♦♥❣ ❉❛♥❤ ♠ư❝
❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳

✸✳✶✳ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❱⑨ ❚➑◆❍ ❉❯❨ ◆❍❻❚ ◆●❍■➏▼
✸✳✶✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥
❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜❛ ❝❤✐➲✉ tr➯♥

O

❝â ❞↕♥❣ s❛✉✿

d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p]dt
= f (x, t)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0,
∇ · u = 0,

x ∈ O, t > 0,

u(x, t) = 0,

x ∈ ∂O, t > 0,

u(x, 0) = u0 (x),
tr♦♥❣ ✤â

W (t)

✭✸✳✶✮

x ∈ O,

❧➔ ♠ët q✉→ tr➻♥❤ ❲✐❡♥❡r tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t

(Ω, F, P)

K0 := Q1/2 K ✳

❑➼ t❤✐➺✉

✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t→❝❤ ✤÷đ❝

u = (u1 , u2 , u3 )✱ p = p(x, t) tữỡ ự
>0
ọ

số ợt

u0

>0

tè❝ ❜❛♥ ✤➛✉ ✈➔

❧➔ ✈❡❝tì ✈➟♥ tè❝ ✈➔ ❤➔♠ →♣ s✉➜t ❝➛♥ t➻♠✱

❧➔ t❤❛♠ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝❤♦ t➼♥❤ ✤➔♥ ỗ ừ t

h(t, u)W (t)



số ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿

❍✶✮ u0

✭

❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣

E u0

4
V

V ✱ F0 −✤♦

✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥

< ∞;

❍✷✮ f ∈ L2❧♦❝ (R+ , V )❀

✭

❍✸✮ h : Ω × [0, T ] × V → L2 (K0 ; H) t❤ä❛ ♠➣♥

✭

✭❍✸✳✶✮ ❱ỵ✐ ♠å✐

t > 0, u ∈ V, h(t, u) : Ω → L2 (K0 ; H)
✶✺

❧➔ ❤➔♠ ✤♦ ✤÷đ❝✳

ợ ồ

u V h(Ã, u)

ỗ t

∈ L∞
❧♦❝ (R+ ), γ(t) ≥ 0,

h(t, u) − h(t, v)
ợ ồ

T > 0,



Ft

2
L2 (K0 ;H)

q tr ữủ
tọ ♠➣♥

≤ γ(t) u − v

2
V,

✈ỵ✐ ♠å✐

u, v ∈ V, t > 0.

t❛ ❝â

2

T

h(s, 0)

E
0

2
L2 (K0 ;H) ds

< ∞.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ▼ët q✉→ tr➻♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ (u(t))t∈[0,T ] ♥❤➟♥ ❣✐→ tr♦♥❣ V
❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣
✭✶❛✮

[0, T ]

u ∈ L2 Ω, Ft , P; L2 (0, T ; V )

✤÷đ❝

❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✮ ♥➳✉

❀ tù❝ ❧➔

T

u(s)

E

2
V

ds

< ∞.

0

t ∈ [0, T ],

✭✶❜✮ ợ ồ

ữỡ tr s ú ợ

((u, ))ds +
0

B(u, u), ds

0



t

=(u0 , φ)V +



t

h(s, u(s))dW (s), φ ,

f (s), φ ds + 
0

0
✈ỵ✐ ♠å✐

❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱

t

t

(u(t), φ)V +ν

P✲❤➛✉

φ ∈ V.

✸✳✶✳✷✳ ❙ü tỗ t t t

sỷ ữủ tọ õ tỗ t
t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ u ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✮✱ ❤ì♥ ♥ú❛✱
u ∈ L4 (Ω, Ft , P; C([0, T ]; V )) , ✈ỵ✐ ♠å✐ T > 0.

✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✶✳

✸✳✷✳ ❚➑◆❍ ✃◆ ễ ế ỉ
t sỹ tỗ t↕✐ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣✱ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ♥❣♦↕✐ ❧ü❝
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✮ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ tù❝ ❧➔
sû

✭❍✷✮ s➩ trð t❤➔♥❤
✭❍✷❜✐s✮ f ∈ V .
✶✻

f = f (x).

f

tr♦♥❣

❑❤✐ ✤â ❣✐↔


ỹ tỗ t t ờ ừ ❞ø♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t t➜t ✤à♥❤

❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t t➜t ✤à♥❤

ut + α2 Aut + νAu + B(u, u) = f.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳

▼ët ❤➔♠

u∗ ∈ V

✭✸✳✷✮

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤ ✭✸✳✷✮ ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥

ν((u∗ , v)) + b(u∗ , u∗ , v) = f, v ,
✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û

✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✷✳
u∗

t❤ä❛ ♠➣♥

✭✸✳✸✮

v ∈V✳

●✐↔ sû f ∈ V ✳ ❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✷✮ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉
u∗

2

≤

1
f
ν2

2
V

.

❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥
ν>

c0 f

−1/4

V

λ1

,

✭✸✳✹✮

ð ✤➙② c0 ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✱ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ u∗ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ♠ơ t♦➔♥

❝ư❝✱ tự ợ ồ u(t) ừ ữỡ tr ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t t➜t
✤à♥❤ ✭✸✳✷✮✱ t❛ ❝â
u(t) − u∗

V

≤ e−λt u(0) − u∗

✈ỵ✐ λ > 0 ♥➔♦ ✤â ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ t > 0.

2
V,

✸✳✷✳✷✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ơ t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣

u∗ ✱

♥❣❤✐➺♠ ♥➔② ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ✭✸✳✶✮✳
✣➸ ❧➔♠ ✤✐➲✉ ♥➔②✱ t❛ ❣✐↔ sû t❤➯♠ ♠ët ✈➔✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♠↕♥❤ ❤ì♥ ❝❤♦

❍✸❜✐s✮✿

✭

✤➙②

❈❤♦

h(t, u∗ ) = 0

γ : R+ → R+

1
lim sup
t→+∞ t

✈ỵ✐ ♠å✐

t ≥ 0✱ h

h(t, u).

t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

✭❍✸✮✱

❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤ä❛ ♠➣♥

t

|γ(s) − γ0 |ds = 0,

ợ

0



0

ởt số ố ữỡ.




ú ỵ r tứ ỳ tt t õ

u

ụ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✭✸✳✶✮✳

✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳

●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✷❜✐s✮ ✲ ✭❍✸❜✐s✮✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ✈➔ ♥➳✉
ν>

c0 f

−1/4

λ1

V

+ η12 + η1 ,

✭✸✳✺✮

γ0
✈ỵ✐ c0 ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ ✈➔ η1 = 4λ
✱ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❜➜t ❦➻ u(t) ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
1
tr➻♥❤ ✭✸✳✶✮ ❤ë✐ tư ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ❝õ❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣
❜➻♥❤✳ ❚ù❝ tỗ t ởt số tỹ a > 0 T (a) > 0 t❤ä❛ ♠➣♥
E u(t) − u∗

2
V

≤ E u(0) − u∗

2 − a2 t
,
Ve

✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T (a).

✸✳✷✳✸✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ô ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥
✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✹✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❍✷❜✐s✮ ✲ ✭❍✸❜✐s✮ ✈➔

✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱
❦❤✐ ✤â ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ u(t) ❝õ❛ ✭✸✳✶✮ ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ô
❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✳
✭✸✳✺✮

✸✳✸✳ ✃◆ ✣➚◆❍ ❍➶❆ ◆●❍■➏▼ 0 ❇➀◆● ✣■➋❯ ❑❍■➎◆ ❈➶ ●■⑩
❇➊◆ ❚❘❖◆● ▼■➋◆

✸✳✸✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ ♠ët ✈➔✐ ❦➳t q✉↔
❳➨t

O

❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ tở

R3

ợ trỡ

O

ự ữỡ

tr rtst ♥❤✐➯♥ ✸ ❝❤✐➲✉ ❝â ❞↕♥❣




d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u+










∇·u=0





u(x, t) = 0





u(x, 0) = u (x)
0
✈ỵ✐

O0

(u · ∇)u + ∇p]dt
= udW (t) + 1O0 Xdt,

u = u(t, x)

✭✸✳✻✮

x ∈ O, t > 0,
x ∈ ∂O, t > 0,
x ∈ O,

✐s ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❝õ❛

❝õ❛ ♥â ✈➔

x ∈ O, t > 0,

O

ợ trỡ

1O0

ởt trữ

ởt tữỡ t ợ ở ồ tỹ



{Ft }


✈➔

W (t)

❧➔ ♠ët q✉→ tr➻♥❤ ❲✐❡♥❡r ❝â ❞↕♥❣

∞

µj ej (x)Wj (t), t 0, O,

W (t) =
j=1
ợ

àj



{Wj }
j=1

❝→❝ sè t❤ü❝✱

{ej }∞
j=1

❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛

L2 (O)✱ {ej } ⊂ C 2 (O)✱

❧➔ ♠ët ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❇r♦✇♥ ✤ë❝ ❧➟♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t

{Ω, F, Ft , P}

t❤ä❛ ♠➣♥

∞

µ2j |ej |2∞ < ∞,
j=1

ð ✤➙②

| · |∞

❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣

L∞ (O)✳

✸✳✸✳✷✳ ❙ü ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s✲❱♦✐❣t ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥

d(u + α2 Au) + [νAu + Bu]dt = udW (t).
❈❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣

✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✺✳

0

✭✸✳✼✮

❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✼✮✳

●✐↔ sû ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥
1
νλ1 >
2(1 + α2 1 )

à2j |ej |2 .



j=1

õ ợ ộ u0 V trữợ u tữỡ ự ừ ữỡ tr ✭✸✳✼✮
✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ u0 ❤ë✐ tư ✤➳♥ 0 t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ❝õ❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✱
tù❝ ❧➔✱ tỗ t ởt số a > 0 tọ
E u(t)

2
V

u0

2 −at
,
Ve

✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ 0.

✸✳✸✳✸✳ ✃♥ ✤à♥❤ ❤â❛ ❜➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❣✐→ ❜➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥
❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣

O1 = O\O0 ,
V1 = y ∈ (C0∞ (O1 ))3 : ∇ · y = 0 .
✶✾

❑➼ ❤✐➺✉

H1

(H01 (O))3 ✱
✣➦t

A1

V1

❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛

✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

| · |1

·

✈➔

tr♦♥❣

(L2 (O))3 ✱

✈➔

V1

V1

tr♦♥❣

λ∗1 (O1 )

❧➔ ❣✐→

❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣

1 ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳

O1 ✳

❧➔ t♦→♥ tû ❙t♦❦❡s ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥

❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉

A1 ✿

trà r✐➯♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû
❳➨t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❞↕♥❣

X = −ηu, η > 0,

✭✸✳✾✮

✈➔ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❞↕♥❣



d(u + α2 Au) + [νAu + Bu]dt + ηP (1O u)dt = P (udW )
0
u(0) = u ∈ V.
0

✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✻✳

●✐↔ sû r➡♥❣
νλ∗1 (O1 )

1
>
2(1 + α2 λ1 )

∞

µ2j |ej |2∞ .

✭✸✳✶✵✮

j=1

❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ u0 ∈ V ❝❤♦ trữợ 0 ừ ợ ữ ở ợ u0
tữỡ ự u ừ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✭✸✳✾✮ t❤ä❛ ♠➣♥
∞

eγt E u(t)

2
V

eγs E u(s)

+

2
V ds

≤ C u0

2
V,

0

✈➔

❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ,
✈ỵ✐ γ > 0, C > 0. ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✻✮ ✤÷đ❝ ê♥ ✤à♥❤ ❤â❛ tø O0✳
lim eγt u(t)

t→∞

◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✶✳

2
V

= 0, P −

✭✸✳✶✶✮

❚ø ❜➜t ✤➡♥❣ t❤ù❝ P♦✐♥❝❛r➨✱ t❛ ❝â

−2

λ∗1 (O1 )
❉♦ ✤â

λ∗1 (O1 )

C

sup

st(u0 , O)

.

u0 O1

õ t ợ tũ ỵ ✈➔♥❤ ❦❤➠♥

O1 = O \ O0

❧➔ ✤õ ♠ä♥❣✳

◆â✐ ❝❤✉♥❣✱ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✻ ❝â t❤➸ ♥â✐ r➡♥❣ sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➵✉ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣
✭✸✳✻✮ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❜ị ✤➢♣ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â ❣✐→ ❜➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ✈ỵ✐ ❤é trđ ✤õ
❧ỵ♥✳

✷✵


❈❤÷ì♥❣ ✹
❉⑩◆● ✣■➏❯ ❚■➏▼ ❈❾◆ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ ❑❊▲❱■◆ ✲ ❱❖■●❚
✲❇❘■◆❑▼❆◆ ✲ ❋❖❘❈❍❍❊■▼❊❘ ◆●❼❯ ◆❍■➊◆

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✷❪ tr♦♥❣ ❉❛♥❤ ♠ư❝
❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳

✹✳✶✳ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥
❚❛ ①➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❑❡❧✈✐♥ ✲ ❱♦✐❣t ✲ ❇r✐♥❦♠❛♥ ✲ ❋♦r❝❤❤❡✐♠❡r ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❜❛ ❝❤✐➲✉

d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u + f (x, u) + ∇p]dt
= g(x)dt + h(t, u)dW (t), x ∈ O, t > 0,
∇ · u = 0,

x ∈ O, t > 0,

u(x, t) = 0,

✭✹✳✶✮

x ∈ ∂O, t > 0,
x ∈ O.

u(x, 0) = u0 (x),

✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥✱ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t

❑✶✮

✭

▼✐➲♥

O

❧➔ ♠ët ♠✐➲♥

♠ët ❤➡♥❣ sè

λ1 > 0

✭❑✷✮ f : O × R3 → R3

R3 ✱

t❤ä❛ ♠➣♥ t tự Pr tự tỗ t

s



2

1 |φ|2 , ∀φ ∈ H01 (O).

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔

f (x, ·) ∈ C 1 (R3 , R3 )

t❤ä❛ ♠➣♥

❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉




(1)f (x, u) · u ≥ µ|u|p+1 − ψ1 (x),



(2)|f (x, u)| ≤ β|u|p + ψ2 (x),




(3)fu (x, u)v · v ≥ (−K + κ|u|p−1 )|v|2 ,
✈ỵ✐

ψ1 , ψ2

❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥

p∗ = (p + 1)/p, K, à, ,
t ổ ữợ ừ

g ∈ V

u

✈➔

v

❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✱
tr♦♥❣

R3 .

✳

✷✶

∗

ψ1 ∈ L1 (O), ψ2 ∈ Lp (O)
p≥1

✈➔

u·v

✈ỵ✐

❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉

✹✳✷✳ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♠ô ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣
✹✳✷✳✶✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ơ t❤❡♦ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳

▼ët ❤➔♠

u∗ ∈ V ∩ Lp+1 (O)

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

νAu + B(u, u) + f (x, u) = g,

✭✹✳✷✮

♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥

ν((u∗ , v)) + b(u∗ , u∗ , v) +

f (x, u∗ ) · vdx = g, v

✭✹✳✸✮

O
✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ t❤û

v ∈ V ∩ Lp+1 (O)✳

✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû

h(t, u) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉

❦✐➺♥ ✭❍✸✳✶✮✱ ✭❍✸✳✷✮ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ t❤➯♠ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭

❑✹✮ h(t, u∗ ) = 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ 0✱ ✈➔ h(t, u)
γ : R+ → R+

ð ✤➙②

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝✱ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤ä❛ ♠➣♥

1
lim sup
t→+∞ t

t

|γ(s) − γ0 |ds = 0,

✈ỵ✐

γ0

❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ số ữỡ.

0

ợ ỳ tt t t



γ(t)|u − u∗ |2 , t ≥ 0✱

2
L2 (K0 ;H)

u∗

❝ô♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✶✮✳

●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (K1) − (K4) ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ ♥➳✉
λ1 ν > K +

3/4
Cλ1

g 2V
2 ψ1
+
2
ν
ν

1/2
L1

+

γ0
,
2

✭✹✳✹✮

❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ u(t) ❝õ❛ ✭✹✳✶✮ s➩ ❤ë✐ tư t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ơ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣
u∗ t ữỡ tr ự tỗ t ♠ët sè t❤ü❝ a > 0 ✈➔
T (a) > 0 t❤ä❛ ♠➣♥
E u(t) − u∗

2
V

≤ E u(0) − u∗

2 − at
2 ,
Ve

✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ T (a).

✹✳✷✳✷✳ ✃♥ ✤à♥❤ ♠ơ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥
✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✷✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (K1) − (K4) ✈➔

✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❦❤✐ ✤â
♥❣❤✐➺♠ u(t) ❝õ❛ ✭✹✳✶✮ s➩ ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞ø♥❣ u∗ t❤❡♦ tè❝ ✤ë ♠ô ❤➛✉ ❝❤➢❝
❝❤➢♥✳

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