Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA H€ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI–N
*

NGUYỄN VĂN TH€NH

D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRœNH ĐẠO H€M RI–NG NGẪU NHI–N

LUẬN •N TIẾN SĨ TO•N HỌC

H Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA H€ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI–N
*

NGUYỄN VĂN TH€NH

D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRœNH ĐẠO H€M RI–NG NGẪU NHI–N

Chuy¶n ng nh: Phương tr¼nh vi ph¥n v t½ch ph¥n
M¢ số: 9460101.03

LUẬN •N TIẾN SĨ TO•N HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS Cung Thế Anh

H Nội - 2019


1

LỜI CAM ĐOAN

Tæi xin cam đoan đ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cứu của tæi dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS. Cung Thế Anh. C¡c kết quả được ph¡t biểu trong luận ¡n l ho n to n trung
thực v chưa từng được ai cæng bố trong bất cứ một cæng tr¼nh n o kh¡c.

Nghi¶n cứu sinh

Nguyễn Văn Th nh


2

LỜI CẢM ƠN

Luận ¡n được ho n th nh dưới sự hướng dẫn nghi¶m khắc, tận t¼nh, cẩn thận
của PGS.TS. Cung Thế Anh. T¡c giả xin b y tỏ láng k½nh trọng v biết ơn s¥u sắc
PGS.TS. Cung Thế Anh, người Thầy đ¢ dẫn dắt t¡c giả l m quen với nghi¶n cứu
khoa học từ những ng y sau khi tốt nghiệp thạc sĩ. Ngo i những chỉ dẫn về mặt khoa
học, sự động vi¶n v láng tin tưởng của Thầy d nh cho t¡c giả luæn l động lực lớn
gióp t¡c giả say m¶ trong nghi¶n cứu v học tập.
T¡c giả xin tr¥n trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Gi¡m hiệu, Pháng Sau Đại học,
Ban Chủ nhiệm Khoa To¡n - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n, Đại
học Quốc gia H Nội, đặc biệt l GS.TS. Nguyễn Hữu Dư v c¡c thầy cæ gi¡o trong Bộ

mæn Phương tr¼nh vi ph¥n v Hệ động lực của Khoa To¡n - Cơ - Tin học đ¢ luæn
gióp đỡ, động vi¶n, tạo mæi trường học tập nghi¶n cứu thuận lợi cho t¡c giả. Ngo i
ra, t¡c giả xin cảm ơn c¡c thầy cæ gi¡o, đặc biệt l PGS.TS. Trần Đ¼nh Kế, Bộ mæn
Giải t½ch, Khoa To¡n - Tin, Trường Đại học Sư phạm H Nội, v PGS.TSKH. Đo n
Th¡i Sơn, Viện To¡n học, đ¢ luæn động vi¶n, chỉ bảo, hướng dẫn những kiến thức cơ
sở bổ ½ch cho hướng nghi¶n cứu của t¡c giả.
T¡c giả xin được b y tỏ láng biết ơn đến Ban Gi¡m hiệu, c¡c thầy cæ v c¡c anh
chị đồng nghiệp cæng t¡c tại Tổ Tự nhi¶n, Trường THPT Chuy¶n Ngoại ngữ, đ¢
luæn tạo điều kiện thuận lợi, gióp đỡ v động vi¶n t¡c giả trong suốt qu¡ tr¼nh học
tập v nghi¶n cứu.
Lời cảm ơn sau còng, t¡c giả xin d nh cho gia đ¼nh, đặc biệt l người vợ y¶u quþ
v hai b¶n nội ngoại, những người luæn y¶u thương, chia sẻ, động vi¶n t¡c giả vượt
qua khâ khăn để ho n th nh luận ¡n.


3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Một số k½ hiệu dòng trong luận ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
MỞ ĐẦU ...............................................................
1.

7

LỊCHSỬVẤNĐỀV€L•DOCHỌNĐỀT€I . . . . . . . . . 7

2.

TỔNGQUANVẤNĐỀNGHI–NCỨU . . . . . . . . . . . . . 10

3.

MỤC Đ•CH, ĐỐI TƯỢNG V€ PHẠM VI NGHI–N CỨU . . . 15

4.

PHƯƠNGPH•PNGHI–NCỨU. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.

KẾTQUẢCỦALUẬN•N.................... 18

6.

CẤUTRÓCCỦALUẬN•N................... 19

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.C•CKHÆNGGIANH€M..........
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.

1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ GIẢI

KHÆNGGIANHILBERT .......
1.2.1.


1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.

1.3. MỘT SỐ KH•I NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ ĐỘNG LỰC
NHI–NV€TẬPHÓTNGẪUNHI–N . . . . . . . . . . . . . .
1.4. MỘTSỐKẾTQUẢBỔTRỢ ..................
1.4.1. Một số bất đẳng thức thường dòng . . . . . . . . .
1.4.2.
Chương 2. D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG
TRœNH PARABOLIC NỬA TUYẾN T•NH SUY BIẾN NGẪU NHI–N 37
2.1. T•NH TRƠN CỦA TẬP HÓT
2.1.1.

2.1.2. Sự tồn tại của tập hót ng

2.1.3. Sự tồn tại tập hót ngẫu n
2.2. ỔN ĐỊNH HÂA NGHIỆM DỪ

NH…NT•NH...........................
2.2.1.

2.2.2. Ổn định hâa nghiệm dừ

Chương 3. D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKESVOIGT NGẪU NHI–N ...............................................

3.1. SỰ TỒN TẠI V€ T•NH DUY
3.1.1.
3.1.2.

3.2. T•NH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NG


3.2.1.

3.2.2. Ổn định mũ b¼nh phương trung b¼nh . . . . . . . . . . .
3.2.3.
3.3. ỔN ĐỊNH HÂA NGHIỆM 0 BẰNG ĐIỀU KHIỂN CÂ GI• ĐỦ
LỚNB–NTRONGMIỀN.....................
3.3.1.
3.3.2.

3.3.3. Ổn định hâa bằng điều khiển phản hồi câ gi¡ đủ lớn b¶n

Chương 4. D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ KELVIN-VOIGTBRINKMAN-FORCHHEIMER NGẪU NHI–N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.1.Đặt b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.T½nh ổn định mũ của nghiệm dừng . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN.............................................................121
1.

KẾTQUẢĐẠTĐƯỢC...................... 121

2.

KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHI–N CỨU TIẾP THEO . 122

DANH MỤC C•C CÆNG TRœNH CÆNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN
•N............................................................ 123
T€I LIỆU THAM KHẢO ............................................... 124


6

MỘT SỐ K• HIỆU THƯỜNG DÒNG TRONG LUẬN •N

H; V

V

′

j jp
( ; ); j j
(( ; ));∥ ∥
∥∥

;

Id
A; B
D(A)
⇀
Y

X

dist(A; B)
2

L (K0; H)


7

MỞ ĐẦU

1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ V€ L• DO CHỌN ĐỀ T€I
Phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu nhi¶n xuất hiện trong nhiều qu¡ tr¼nh của
vật l½, hâa học v sinh học, chẳng hạn trong qu¡ tr¼nh truyền nhiệt hoặc khuếch t¡n,
qu¡ tr¼nh truyền sâng trong cơ học chất lỏng, c¡c mæ h¼nh quần thể trong sinh học
khi m sự t¡c động của ngoại lực l li¶n tục v ngẫu nhi¶n. Việc nghi¶n cứu những lớp
phương tr¼nh n y câ þ nghĩa quan trọng trong khoa học v cæng nghệ. Ch½nh v¼
vậy nâ đ¢ v đang thu hót được sự quan t¥m của nhiều nh khoa học tr¶n thế giới.
Một trong những vấn đề định t½nh quan trọng khi nghi¶n cứu những lớp
phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu nhi¶n câ ứng dụng l x²t t½nh đặt đóng của b i
to¡n v sau đâ nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian t ! 1: Đ¥y l
một việc l m câ þ nghĩa thực tiễn, v¼ nghiệm của phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu
nhi¶n thường mæ tả trạng th¡i của c¡c mæ h¼nh thực tế. Do đâ, khi biết d¡ng điệu
tiệm cận của nghiệm, ta câ thể dự đo¡n được xu thế ph¡t triển của hệ trong tương lai
v đưa ra những đ¡nh gi¡, điều chỉnh th½ch hợp để đạt được kết quả mong muốn. Về
mặt to¡n học, điều n y l m nảy sinh một hướng nghi¶n cứu mới, được ph¡t triển
mạnh mẽ trong khoảng v i thập kỉ gần đ¥y l l½ thuyết về d¡ng điệu tiệm cận nghiệm
của c¡c phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu nhi¶n.

Hai hướng nghi¶n cứu cơ bản về d¡ng điệu tiệm cận nghiệm của c¡c phương
tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu nhi¶n:
Nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm của c¡c hệ động lực ngẫu nhi¶n


8
bằng c¡ch sử dụng l½ thuyết tập hót ngẫu nhi¶n. B i to¡n cơ bản của l½ thuyết
n y l nghi¶n cứu sự tồn tại v c¡c t½nh chất của tập hót ngẫu nhi¶n, chẳng hạn
t½nh trơn của tập hót, đ¡nh gi¡ số chiều của tập hót, nghi¶n cứu sự phụ thuộc
li¶n tục của tập hót v o tham số, ...
Nghi¶n cứu t½nh ổn định nghiệm của phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu
nhi¶n. Nâi ri¶ng l nghi¶n cứu sự tồn tại v t½nh ổn định của nghiệm dừng
của hệ tất định tương ứng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhi¶n. Trong
trường hợp nghiệm dừng n y khæng ổn định, nghi¶n cứu b i to¡n ổn định hâa
nghiệm dừng bằng c¡ch sử dụng nhiễu ngẫu nhi¶n phò hợp hoặc sử dụng điều
khiển phản hồi câ gi¡ tr¶n bi¶n hoặc b¶n trong miền.
Dưới đ¥y chóng tæi điểm qua một số kết quả ti¶u biểu của hai hướng nghi¶n cứu
nghi¶n cứu n y, li¶n quan đến nội dung của luận ¡n.
Kh¡i niệm tập hót ngẫu nhi¶n l một sự mở rộng của kh¡i niệm tập hót to n cục
của hệ động lực tất định, được giới thiệu bởi H. Crauel, A. Debussche, F. Flandoli
trong [29, 30]. Từ khi ra đời đến nay, hướng nghi¶n cứu về tập hót ngẫu nhi¶n v
t½nh chất của nâ đ¢ thu hót được sự quan t¥m của nhiều nh to¡n học tr¶n thế giới.
Sau hơn hai thập kỉ ph¡t triển, sự tồn tại v c¡c t½nh chất cơ bản của tập hót ngẫu
nhi¶n đ¢ được nghi¶n cứu cho một lớp kh¡ rộng c¡c phương tr¼nh đạo h m ri¶ng
phi tuyến. Nâi ri¶ng, trong [29, 30] c¡c t¡c giả đ¢ x²t lớp phương tr¼nh phản ứng
khuếch t¡n với nhiễu ngẫu nhi¶n cộng t½nh dạng

du = ∆udt + f(u)dt +

∑

m

hj(x)dWj;
j=1

ở đâ số hạng phi tuyến f(u) tăng trưởng v ti¶u hao kiểu đa thức, v đ¢ chứng minh sự
tồn tại tập hót ngẫu nhi¶n của hệ động lực ngẫu nhi¶n sinh bởi phương tr¼nh. Tiếp
tục ph¡t triển vấn đề n y, trong những năm gần đ¥y, nhiều nh
to¡n học đ¢ quan t¥m nghi¶n cứu sự tồn tại v

t½nh chất của tập hót ngẫu

nhi¶n cho lớp phương tr¼nh parabolic với nhiễu cộng t½nh

∑

m

j=1 hj(x)dWj hoặc


9
∑m
nhiễu nh¥n t½nh j=1 bjc(x)udWj, trong miền bị chặn (xem [11, 23, 54, 55]) v miền
khæng bị chặn (xem [16, 71, 75]).
Một hướng kh¡c để t¼m hiểu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm của c¡c phương tr¼nh
ngẫu nhi¶n l nghi¶n cứu sự tồn tại v t½nh ổn định của nghiệm v trong trường hợp
nghiệm khæng ổn định ta câ thể ổn định hâa bằng điều khiển phò hợp. Ổn định hâa
phương tr¼nh tiến hâa bởi nhiễu ngẫu nhi¶n được bắt đầu từ những năm 60 của thế

kỉ trước với c¡c kết quả đầu ti¶n cho hệ hữu hạn chiều v hiện nay l cho c¡c hệ væ
hạn chiều. Câ kh¡ nhiều cæng tr¼nh nghi¶n cứu ổn định hâa về 0 của lớp phương
tr¼nh vi ph¥n hữu hạn chiều (xem, chẳng hạn, [10, 38, 61]) v væ hạn chiều (xem
[25], b i b¡o tổng quan [24] v cuốn chuy¶n khảo [53]). Nâi ri¶ng, b i to¡n ổn định v
ổn định hâa đ¢ được nghi¶n cứu cho một số lớp phương tr¼nh parabolic v một số
lớp phương tr¼nh trong cơ học chất lỏng. Ti¶u biểu, năm 2000, T. Caraballo, J.
Langa v J. Robinson (xem [23]) đ¢ x²t t½nh ổn định hầu chắc chắn của phương
tr¼nh khuếch t¡n với nhiễu nh¥n t½nh một chiều u(t)dW (t) v h m phi tuyến dạng đa
thức bậc ba. Năm 2002, T. Caraballo, J.A. Langa v T. Taniguchi đ¢ nghi¶n cứu d¡ng
điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương tr¼nh Navier-Stokes ngẫu nhi¶n hai chiều
(xem [26]). Năm 2006, T. Caraballo, A. M. M¡rquez-Dur¡n v J. Real nghi¶n cứu sự
ổn định mũ trung b¼nh b¼nh phương v ổn định hầu chắc chắn của lớp phương
tr¼nh LANS- ngẫu nhi¶n ba chiều (xem [27]). Xem th¶m một số kết quả gần đ¥y
theo hướng nghi¶n cứu thời sự n y trong [58, 63, 64, 65]. Tuy nhi¶n, theo như hiểu
biết của chóng tæi, vẫn cán ½t cæng tr¼nh nghi¶n cứu ổn định hâa c¡c phương
tr¼nh đạo h m ri¶ng phi tuyến trong khæng gian væ hạn chiều với trường hợp
nghiệm dừng kh¡c 0.
Sự tồn tại v duy nhất nghiệm của một số lớp phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu
nhi¶n trong cơ học chất lỏng, đặc biệt l c¡c phương tr¼nh kiểu Navier-Stokes, cũng
thu hót được sự quan t¥m của nhiều nh khoa học tr¶n thế giới (xem, chẳng hạn, [13,
19, 20, 28]). Tuy nhi¶n, đối với nhiều lớp phương tr¼nh


10
ngẫu nhi¶n quan trọng trong cơ học chất lỏng, t½nh đặt đóng vẫn l vấn đề mở cần
được nghi¶n cứu.
B¶n cạnh những kết quả đ¢ đạt được ở tr¶n, vẫn cán ½t kết quả li¶n quan đến
d¡ng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương tr¼nh parabolic suy biến v một số lớp
phương tr¼nh ngẫu nhi¶n kh¡c trong cơ học chất lỏng như hệ Navier-Stokes-Voigt,
hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer, . . . . Ch½nh v¼ vậy, chóng tæi chọn

hướng nghi¶n cứu "D¡ng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương tr¼nh đạo h
m ri¶ng ngẫu nhi¶n" để l m đề t i cho luận ¡n tiến sĩ của m¼nh.
2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHI–N CỨU
Một trong những lớp phương tr¼nh parabolic được nghi¶n cứu nhiều trong những
năm gần đ¥y l lớp phương tr¼nh parabolic suy biến kiểu Caldiroli-Musina câ dạng

du + [ div( (x)∇u) + f(u) + u]dt = gdt + nhiễu ngẫu nhi¶n; x 2 O; t > 0;
uj@O = 0; t > 0;
ujt=0 = u0:
Trong trường hợp tất định, phương tr¼nh n y câ thể xem l mæ h¼nh đơn giản
của qu¡ tr¼nh khuếch t¡n nơtron (điều khiển phản hồi của phản ứng hạt nh¥n) (xem
[33]). Trong trường hợp n y, u v tương ứng chỉ thæng lượng nơtron v hệ số khuếch
t¡n nơtron. C¡c điều kiện về lớp trọng được đưa ra bởi Caldiroli-Musina trong b i
b¡o [21]; nâi ri¶ng, hệ số khuếch t¡n l h m khæng ¥m, đo được v câ thể bằng khæng
tại hữu hạn điểm. Một v½ dụ điển h¼nh l (x) = jxj ; 2 (0; 2), trong trường hợp miền
bị chặn. Trong cæng tr¼nh [21], Caldiroli v Musina đ¢ giới thiệu khæng gian năng
lượng tự nhi¶n
1

1

D0 (O; ) được định nghĩa l bổ sung đủ của C0 (O) đối với chuẩn

(∫

2

∥u∥D01(O; ) := O (x)j∇uj dx

)

11
v chứng minh một số định l½ nhóng tương ứng. Dựa tr¶n những kết quả n y, trong
những năm gần đ¥y, đ¢ câ nhiều kết quả nghi¶n cứu về d¡ng điệu tiệm cận nghiệm
của lớp phương tr¼nh n y.
Năm 2005 v 2006, c¡c t¡c giả N.I. Karachalios v N.B. Zographopoulos
đ¢ nghi¶n cứu sự tồn tại v d¡ng điệu tiệm cận thæng qua sự tồn tại của tập hót
to n cục của nghiệm b i to¡n Cauchy-Dirichlet đối với lớp phương tr¼nh tr¶n
2

trong trường hợp đặc biệt f(u) = u+juj u; g(x) =
2
0 với 0

N

2+

(xem [40], [41]).

Năm 2008, c¡c t¡c giả C.T. Anh v P.Q. Hưng (xem [4]) đ¢ chứng minh sự tồn
tại tập hót to n cục đối với b i to¡n Cauchy-Dirichlet trong trường
1

2

hợp dữ kiện ban đầu u0 2 D0 (O; ); g 2 L (O) cho trước v f thỏa m¢n điều
kiện Lipschitz địa phương v tăng trưởng kiểu Sobolev. Kết quả n y mở rộng
đ¡ng kể c¡c kết quả trước đâ của N.I. Karachalios v N.B Zographopoulos.

Trong c¡c năm từ 2010 đến 2013, c¡c t¡c giả C.T. Anh, N.D. B¼nh, T. Q. Bảo
v L.T. Thóy đ¢ chứng minh được sự tồn tại v t½nh trơn của tập hót, đ¡nh
gi¡ số chiều fractal của tập hót của lớp phương tr¼nh parabolic suy biến tr¶n
khi số hạng phi tuyến ti¶u hao v tăng trưởng kiểu đa thức, trong cả hai trường
hợp ngoại lực khæng phụ thuộc v phụ thuộc thời gian (xem [1, 2, 3]). Xem
th¶m c¡c kết quả li¶n quan gần đ¥y trong [18, 48, 49, 50].

Trong trường hợp ngẫu nhi¶n, đối với phương tr¼nh parabolic suy biến ngẫu nhi¶n
câ dạng

∑m
du + [

div( (x)∇u) +

u]dt = [f(x; u) + g(x)]dt +

j=1

hj(x)dWj(t);

năm 2011, c¡c t¡c giả M. Yang v P.E. Kloeden đ¢ chứng minh được sự tồn tại tập hót
2

ngẫu nhi¶n trong L (O) với O l một miền bị chặn (xem [72]). Một


12
số vấn đề về t½nh trơn của tập hót ngẫu nhi¶n, sự tồn tại nghiệm dừng, t½nh ổn

định v ổn định hâa của nghiệm dừng đối với lớp phương tr¼nh (1) vẫn cán l vấn đề
mở v sẽ được chóng tæi nghi¶n cứu trong luận ¡n n y.
Tiếp theo, một lớp phương tr¼nh trong cơ học chất lỏng được nhiều nh to¡n học
nghi¶n cứu trong những năm gần đ¥y l hệ phương tr¼nh Navier-Stokes-Voigt câ
dạng
d(u

2

∆u + (u ∇)u + ∇p]dt

∆u) + [

=

f(x; t)dt + nhiễu ngẫu nhi¶n; x 2 O; t > 0;

∇ u = 0; x 2 O; t > 0;
u(x; t) = 0;
x 2 @O; t > 0;
u(x; 0) = u0(x);

x 2 O;

trong đâ O l một miền bị chặn với bi¶n @O trơn.
Trong trường hợp tất định, hệ phương tr¼nh n y được giới thiệu bởi Oskolkov
trong [62] để mæ tả chuyển động của chất lỏng loại Kelvin-Voigt khæng n²n được,
nhớt, đ n hồi (với tham số đặc trưng cho t½nh đ n hồi ). Chó þ rằng khi = 0; hệ
Navier-Stokes-Voigt trở th nh hệ Navier-Stokes cổ điển v khi
= 0 ta được mæ h¼nh Bardina dạng đơn giản hâa, mæ tả chuyển động của c¡c

chất lỏng khæng nhớt. Hệ (2) đ¢ được E.S. Titi v c¡c cộng sự sử dụng như l một
chỉnh hâa của hệ Navier-Stokes ba chiều, khi nhỏ, gióp mæ phỏng số trực tiếp
nghiệm của hệ Navier-Stokes trong cả trường hợp điều kiện bi¶n tuần ho n v điều
kiện bi¶n Dirichlet (xem [22]). Thực tế, hệ Navier-Stokes-Voigt thuộc lớp -mæ
h¼nh trong cơ học chất lỏng (xem [39] cho c¡c trường hợp kh¡c của mæ h¼nh n y).
Trong những năm gần đ¥y, sự tồn tại v d¡ng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ
Navier-Stokes-Voigt ba chiều tất định thu hót được sự chó þ của nhiều nh to¡n học
(xem [8, 36, 42, 44, 62, 74]). Sự tồn tại v t½nh duy nhất nghiệm được chứng minh
đầu ti¶n bởi A.P. Oskolkov trong [62]. Sau đâ, khi ngoại lực


13
g khæng phụ thuộc v o biến thời gian, V.K. Kalantarov đ¢ chứng minh sự tồn tại của
tập hót to n cục của nửa nhâm sinh bởi hệ n y (xem [42]). Trong c¡c cæng tr¼nh
[43, 44], V.K. Kalantarov v cộng sự đ¢ ph¡t triển kết quả tr¶n, đ¡nh gi¡ được số
chiều fractal của tập hót to n cục, chứng minh được t½nh determining modes v t½nh
ch½nh quy Gevrey của tập hót to n cục (xem th¶m [31]). Trong trường hợp ngoại
lực phụ thuộc thời gian, năm 2013 c¡c t¡c giả C.T. Anh v P.T. Trang đ¢ chứng minh
sự tồn tại v duy nhất nghiệm v sự
tồn tại tập hót lòi hữu hạn chiều khi miền x²t phương tr¼nh câ thể khæng bị chặn
nhưng thỏa m¢n bất đẳng thức Poincar² (xem [8]), kết quả n y mở rộng kết quả
trước đâ trong [36] khi miền x²t phương tr¼nh l bị chặn.
Trong trường hợp ngẫu nhi¶n, năm 2012, H. Gao v C. Sun đ¢ chứng minh sự
tồn tại v đ¡nh gi¡ số chiều Hausdorff của tập hót ngẫu nhi¶n đối với lớp phương
tr¼nh n y với nhiễu ngẫu nhi¶n dW (t) (xem [37]). Năm 2013, T.Q. Bảo đ¢ chứng
minh t½nh trơn v t½nh li¶n tục của tập hót ngẫu nhi¶n với nhiễu ngẫu nhi¶n dạng
"h(x)dW (t) (xem [17]).
Tuy nhi¶n, số hạng ngẫu nhi¶n trong c¡c b i b¡o n y cán kh¡ đơn giản, nâ
chỉ l nhiễu cộng t½nh hữu hạn chiều. Do đâ, sự tồn tại v duy nhất nghiệm của mæ
h¼nh n y l đơn giản bởi v¼ nâ được suy ra từ kết quả của phương tr¼nh tất định

tương ứng sau một ph²p biến đổi phò hợp. Tuy nhi¶n, khi nhiễu ngẫu nhi¶n l
qu¡ tr¼nh Wiener væ hạn chiều th¼ vấn đề nghi¶n cứu sự tồn tại v duy nhất nghiệm
khâ khăn hơn nhiều. Khâ khăn gặp phải khi nghi¶n cứu (2), trước hết l sự xuất hiện
2

của số hạng ∆ut; l m mất đi t½nh chất parabolic (giống như hệ Navier-Stokes ban
đầu) của hệ phương tr¼nh v ¡p dụng cæng thức Ito cũng khâ khăn hơn. Cụ thể,
nghiệm của hệ khæng trơn hơn điều kiện ban đầu, tương tự t½nh chất của phương
tr¼nh hyperbolic v hệ quả l hệ động lực tương ứng chỉ câ t½nh chất ti¶u hao yếu.
Tiếp theo, do x²t lớp phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu nhi¶n n¶n c¡c bổ đề compact
Aubin-Lions khæng sử dụng được v do đâ c¡c phương ph¡p thường dòng cho hệ
phương tr¼nh tất


14
định khæng cán th½ch hợp nữa. Để khắc phục, chóng ta cần sử dụng kĩ thuật đ¡nh
gi¡ ti¶n nghiệm bằng c¡c bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy, c¡c bất đẳng thức
phi tuyến v qu¡ tr¼nh dừng.
Một số vấn đề về hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhi¶n m chóng tæi quan t¥m
nghi¶n cứu trong luận ¡n n y l :
Nghi¶n cứu sự tồn tại v duy nhất nghiệm.
Nghi¶n cứu t½nh ổn định của nghiệm dừng của hệ tất định tương ứng, dưới
ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhi¶n (với giả thiết nghiệm dừng n y vẫn l nghiệm
của hệ ngẫu nhi¶n).
Một lớp hệ li¶n quan đến hệ Navier-Stokes-Voigt ở tr¶n l hệ phương tr¼nh
3

Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong miền O R với bi¶n trơn @O

d(u

2

∆u + (u ∇)u + f(x; u) + ∇p]dt

∆u) + [

=
∇ u = 0;
u(x; t) = 0;

g(x)dt + nhiễu ngẫu nhi¶n; x 2 O; t > 0;

x 2 O; t > 0;

(3)

x 2 @O; t > 0;

u(x; 0) = u0(x);

x 2 O;

ở đ¥y u = (u1; u2; u3) l h m vectơ vận tốc, p = p(x; t) l h m ¡p suất cần t¼m, > 0 l hệ
số nhớt, > 0 l tham số đặc trưng cho t½nh đ n hồi của chất lỏng, u0 l vận tốc ban
đầu, f(x; u) l h m phi tuyến v nhiễu ngẫu nhi¶n
nhận gi¡ trị trong khæng gian H. Ngo i những khâ khăn do sự xuất hiện của to¡n tử
2

∆ut như khi nghi¶n cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, sự xuất hiện của số hạng phi tuyến

f(x; u) cũng l m việc nghi¶n cứu hệ (3) trở n¶n phức tạp hơn. Lóc n y, trong hệ
phương tr¼nh xuất hiện còng lóc hai số hạng phi tuyến (u ∇)u v f(x; u) cần xử l½,
đái hỏi chóng ta phải kết hợp kh²o l²o c¡c kĩ thuật đ¡nh gi¡. Chó þ rằng khi f 0 ta câ
hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhi¶n


15
tương ứng, v khi = 0 ta câ hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu (xem [45]). Trong
trường hợp tất định, b i b¡o [7] của C.T. Anh v P.T. Trang l cæng tr¼nh nghi¶n cứu
đầu ti¶n về hệ (3), ở đâ đ¢ chứng minh c¡c kết quả về sự tồn tại duy nhất của
nghiệm yếu, sự tồn tại tập hót lòi v t½nh ổn định mũ của nghiệm dừng. Cho đến
nay, theo sự hiểu biết của chóng tæi, chưa câ kết quả
n o về b i to¡n n y trong trường hợp câ nhiễu ngẫu nhi¶n. Trong luận ¡n n y, chóng
tæi sẽ nghi¶n cứu ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhi¶n l¶n t½nh ổn định của nghiệm
dừng của hệ tất định.
3. MỤC Đ•CH, ĐỐI TƯỢNG V€ PHẠM VI NGHI–N CỨU
Mục đ½ch luận ¡n: Nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương
tr¼nh parabolic suy biến ngẫu nhi¶n v một số lớp phương tr¼nh đạo h m
ri¶ng ngẫu nhi¶n trong cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-Voigt v
hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer.
Đối tượng nghi¶n cứu: D¡ng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương tr¼nh
parabolic suy biến ngẫu nhi¶n, của hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhi¶n v của
hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhi¶n.
Phạm vi nghi¶n cứu: Nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận thæng qua sự tồn tại v
t½nh chất của tập hót ngẫu nhi¶n, sự tồn tại v t½nh ổn định của nghiệm dừng
dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhi¶n v vấn đề ổn định hâa nghiệm dừng
bằng nhiễu ngẫu nhi¶n hoặc điều khiển phản hồi phò hợp.

◦

Nội dung 1: Phương tr¼nh parabolic suy biến ngẫu nhi¶n

du + [ div( (x)∇u) + u]dt = [f(x; u) + g(x)]dt + h(x; t; u)dW (t);
(4)
tr¶n miền bị chặn O

N

R ;N

2, với bi¶n @O trơn,

> 0:


16
Trước ti¶n, chóng tæi x²t nhiễu ngẫu nhi¶n l

∑m

h (x)dW (t)

j=1 j

j

m

với fWjg j=1; m 1; m 2 N l c¡c qu¡ tr¼nh Wiener độc lập hai ph½a

nhận gi¡ trị trong tập số thực. Trong trường hợp n y, sự tồn tại của
2

tập hót ngẫu nhi¶n trong L (O) cho hệ động lực ngẫu nhi¶n sinh bởi
(4) đ¢ được nghi¶n cứu bởi P.E. Kloeden
v M. Yang trong [72]. Mục đ½ch của chóng tæi ở đ¥y l nghi¶n
cứu t½nh trơn của tập hót ngẫu nhi¶n thu được trong [72], cụ
thể l chứng minh sự tồn tại sự tồn tại của tập hót ngẫu nhi¶n trong
p

1

c¡c khæng gian L (O) v D0 (O; ).
Tiếp theo, chóng tæi nghi¶n cứu sự tồn tại v duy nhất của
nghiệm dừng của phương tr¼nh tất định. Sau đâ, với nhiễu ngẫu
nhi¶n dạng h(t; u)dW (t); ở đ¥y l W (t) l qu¡ tr¼nh Wiener một
chiều nhận gi¡ trị thực, chóng tæi nghi¶n cứu sự ảnh hưởng của
nhiễu ngẫu nhi¶n n y đối với sự ổn định của nghiệm dừng của b i
to¡n (4). Chóng tæi sẽ chỉ ra rằng một nhiễu ngẫu nhi¶n nh¥n t½nh
với cường độ đủ lớn sẽ ổn định hâa được nghiệm dừng đ¢ cho.

◦ Nội dung 2: Hệ phương tr¼nh Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhi¶n ba
chiều
8d(u

2

∆u) + [ ∆u + (u ∇)u + ∇p]dt

>

>
>
>
>
>
>
>
>
>

∇

>
>

<
u(x; t) = 0; x 2 @ O; t > 0;
>

>
>
>


>u(x; 0) = u (x); x:
>
>
>
>
>

>
>

:
Trong phần n y, lấy þ tưởng từ một số nghi¶n cứu gần đ¥y (xem [26, 27,
28]), chóng tæi nghi¶n cứu sự tồn tại v duy nhất nghiệm, t½nh ổn định v
ổn định hâa nghiệm dừng của hệ Navier-Stokes-


17
Voigt ba chiều với nhiễu ngẫu nhi¶n dạng h(t; u)dW (t). Những nội dung
nghi¶n cứu của chóng tæi trong phần n y gồm:
Nghi¶n cứu sự tồn tại v duy nhất nghiệm;
Nghi¶n cứu t½nh ổn định của nghiệm dừng bao gồm ổn định theo
nghĩa b¼nh phương trung b¼nh v ổn định hầu chắc chắn;
Nghi¶n cứu sự ổn định hâa nghiệm dừng bằng điều khiển câ gi¡ đủ
lớn b¶n trong miền.
◦

Nội dung 3: Hệ phương tr¼nh Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

ngẫu nhi¶n ba chiều
8
>
>

>d(u
>
>
>

>
>
>
>
>
>

2

∆u)

<

+[ ∆u + (u ∇)u + f(x; u) + ∇p]dt = g(x)dt
+ h(t; u)dW (t); x 2 O; t > 0;
∇ u = 0; x 2 O; t > 0;
>
u (x; t ) = 0; x 2 @O; t > 0 ;

>
>
>

>u(x; 0) = u (x); x:
>0
>
>
>
>
>

:
>

Những nội dung trong phần n y l sự ph¡t triển c¡c kết quả về t½nh ổn
định của nghiệm dừng của hệ tất định trong cæng tr¼nh [7]. Cụ thể,
chóng tæi nghi¶n cứu sự ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhi¶n l¶n t½nh ổn
định của nghiệm dừng.
4. PHƯƠNG PH•P NGHI–N CỨU


Để nghi¶n cứu sự tồn tại v duy nhất nghiệm, chóng tæi sử dụng c¡c phương
ph¡p v cæng cụ của Giải t½ch h m v Giải t½ch ngẫu nhi¶n: phương ph¡p xấp
xỉ Galerkin, phương ph¡p hội tụ yếu trong Giải t½ch h m, sử dụng c¡c t½nh
chất của thời điểm dừng, c¡c bổ đề xử l½ số hạng phi tuyến v c¡c bất đẳng
thức để xử l½ nhiễu ngẫu nhi¶n.
Để nghi¶n cứu sự tồn tại v t½nh trơn của tập hót, chóng tæi sử dụng c¡c


18
phương ph¡p của l½ thuyết hệ động lực væ hạn chiều, nâi ri¶ng l phương
ph¡p đ¡nh gi¡ ti¶n nghiệm tiệm cận.
Để nghi¶n cứu t½nh ổn định nghiệm v vấn đề ổn định hâa nghiệm, chóng tæi
sử dụng c¡c cæng cụ v phương ph¡p của L½ thuyết ổn định, Giải t½ch ngẫu
nhi¶n v c¡c kĩ thuật của L½ thuyết điều khiển.
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN •N
Luận ¡n đạt được những kết quả ch½nh sau đ¥y:
Đối với lớp phương tr¼nh parabolic suy biến nửa tuyến t½nh ngẫu nhi¶n:
Chứng minh được sự tồn tại của tập hót ngẫu nhi¶n trong c¡c khæng
p

1

gian L (O) v D0 (O; ). Thiết lập được điều kiện đủ cho sự tồn tại v t½nh ổn
định của nghiệm dừng của phương tr¼nh tất định, v điều kiện để ổn định hâa
nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhi¶n phò hợp trong trường hợp nghiệm dừng
n y l khæng ổn định.
Đối với hệ phương tr¼nh Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhi¶n: Chứng minh được
sự tồn tại v duy nhất nghiệm. Thiết lập được điều kiện đủ cho t½nh ổn định
của nghiệm dừng tất định dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhi¶n v điều kiện
ổn định hâa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi câ gi¡ b¶n trong miền.

Đối với hệ phương tr¼nh Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhi¶n:
Thiết lập được điều kiện đủ cho t½nh ổn định của nghiệm dừng của phương
tr¼nh tất định dưới t¡c động của nhiễu ngẫu nhi¶n.
C¡c kết quả của luận ¡n l mới, câ þ nghĩa khoa học, v gâp phần v o việc ho n
thiện việc nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm của c¡c phương tr¼nh đạo h m
ri¶ng ngẫu nhi¶n phi tuyến, cụ thể ở đ¥y l phương tr¼nh parabolic suy biến nửa
tuyến t½nh ngẫu nhi¶n, hệ phương tr¼nh Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhi¶n v hệ
phương tr¼nh Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhi¶n.


19
C¡c kết quả ch½nh của luận ¡n đ¢ được cæng bố trong 04 b i b¡o khoa học tr¶n
c¡c tạp ch½ chuy¶n ng nh quốc tế, 01 b i b¡o ho n thiện đang gửi đăng
v

đ¢ được b¡o c¡o tại:
Seminar của Bộ mæn Giải t½ch, Khoa To¡n-Tin, Trường Đại học Sư phạm H
Nội;

Seminar tại Viện Nghi¶n cứu cao cấp về To¡n, H Nội, 21/12/2017;
Hội nghị to n quốc lần thứ V, X¡c suất Thống k¶: nghi¶n cứu, ứng dụng v
giảng dạy , Đ Nẵng, 23-25/5/2015;
Hội nghị to¡n học to n quốc lần thứ 9, Nha Trang, 14-18/8/2018.
International mini-workshop in CIMPA- IMH-VAST research school on
"Recent developments in stochastic dynamics and stochastic analysis", Viện
To¡n học, H Nội, 5-18/3/2018.
6. CẤU TRÓC CỦA LUẬN •N
Ngo i phần mở đầu, kết luận, danh mục c¡c cæng tr¼nh được cæng bố v danh mục t
i liệu tham khảo, luận ¡n gồm 4 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương n y tr¼nh b y c¡c kh¡i niệm v c¡c
kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong luận ¡n.
Chương 2. D¡ng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp phương tr¼nh parabolic
nửa tuyến t½nh suy biến ngẫu nhi¶n. Tr¼nh b y c¡c kết quả về t½nh trơn của
tập hót ngẫu nhi¶n; sự tồn tại, t½nh ổn định v ổn định hâa nghiệm dừng bằng
nhiễu ngẫu nhi¶n phò hợp.
Chương 3. D¡ng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu
nhi¶n. Tr¼nh b y c¡c kết quả về sự tồn tại v duy nhất nghiệm, sự tồn tại v
t½nh ổn định của nghiệm dừng theo nghĩa b¼nh phương trung b¼nh


20
v hầu chắc chắn. Ổn định hâa nghiệm dừng bằng điều khiển phản hồi câ
gi¡ đủ lớn b¶n trong miền.
Chương 4. D¡ng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer ngẫu nhi¶n. Tr¼nh b y c¡c kết quả về t½nh ổn định mũ của
nghiệm dừng theo nghĩa b¼nh phương trung b¼nh v hầu chắc chắn.


21

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương n y, chóng tæi nhắc lại c¡c khæng gian h m cần dòng để nghi¶n cứu
c¡c phương tr¼nh trong luận ¡n. Chóng tæi cũng tr¼nh b y một số kh¡i niệm v kết
quả của Giải t½ch ngẫu nhi¶n trong khæng gian Hilbert, c¡c kết quả tổng qu¡t về l½
thuyết tập hót ngẫu nhi¶n, v một số kết quả bổ trợ sẽ được dòng trong c¡c chương
sau.
1.1.

C•C KHÆNG GIAN H€M

1.1.1. Khæng gian Sobolev
N

Cho O l một miền bị chặn trong R với bi¶n trơn @O. Sau đ¥y chóng tæi nhắc lại
kh¡i niệm khæng gian c¡c h m khả t½ch bậc p, khæng gian Sobolev tr¶n miền O:
p

L (O); 1 p < 1, l khæng gian Banach bao gồm tất cả c¡c h m khả
t½ch Lebesgue bậc p tr¶n O với chuẩn, k½ hiệu l
định nghĩa như sau:

∥u∥Lp(O) :=
p

Chó þ rằng L (O) l khæng gian Banach phản xạ khi 1 < p < 1.
2

Đặc biệt, khi p = 2; L (O) l khæng gian Hilbert với t½ch væ hướng
∫
(u; v) =
u vdx:
O

1

L (O) l

khæng gian Banach bao gồm tất cả c¡c h m đo được v

bị