Dùng mathematica để thiết kế phần mềm trợ giúp cho việc giảng dạy và học tập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

TRỊNH ĐỨC HỮU
Đề tài:

Dùng Mathematica để thiết kế phần mềm trợ giúp
cho việc giảng dạy và học tập

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
CHUYÊN NGÀNH TOÁN TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS –TSKH : LÊ HÙNG SƠN

Hà Nội, năm 2013


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này là kết quả của sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại
học Bách Khoa Hà Nội, bản thân tôi đã được tiếp cận với những kiến thức chuyên
sâu về các môn học trong toán ứng dụng, đặc biệt là biết được cách áp dụng công
nghệ thông tin để giải quyết các bài tốn liên quan, từ đó đưa vào ứng dụng trong
thực tiễn.
Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy cơ giáo đã
tham gia giảng dạy lớp cao học khoá 11A Toán- Tin Hà Tĩnh. Các phòng ban liên
quan của Viện Đào tạo sau đại học Bách Khoa Hà Nội, các đồng nghiệp, bạn bè và
gia đình đã tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trong q trình học tập và
hồn thành đề tài luận văn này.

Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS-TSKH Lê Hùng Sơn,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh luận
văn.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn khơng tránh khỏi
những thiếu sót, rất mong được nhận những ý kiến đóng góp bổ sung của q thầy
cơ giáo , ý kiến trao đổi của các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 25 tháng 03 năm 2013
Tác giả luận văn
Trịnh Đức Hữu


MỤC LỤC

Trang
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................1
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
I. Lý do chọn đề tài ................................................................................................1
II. Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận văn: .............................2
III. Các luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả .....................................3
IV. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................3
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA ......................4
1.1 Giới thiệu phần mềm Mathematica ...............................................................4
1.2 Các phếp tính toán học đối với số, biểu thức và hàm ...................................5
1.2.1 Tính tốn số: ..............................................................................................5
1.2.2 Tính tốn với biểu thức .............................................................................7
1.2.3 Tính tốn với hàm. ....................................................................................9
1.3 Vẽ đồ thị các hàm , các biểu thức .................................................................14
CHƯƠNG II. MỘT SỐ ỨNG DỤNG MATHEMATICA TRONG ĐẠI SỐ VÀ
HÌNH HỌC ..............................................................................................................16

2.1 Giải phương trình và hệ phương trình ........................................................16
2.1.1 Giải phương trình ....................................................................................16
2.1.2 Giải hệ phương trình ...............................................................................19
2.2 Phép tính vi tích phân..................................................................................21
2.2.1 Tính giới hạn ............................................................................................21
2.2.2 Phép tính vi phân .....................................................................................23
2.2.2.1. Đạo hàm của hàm và biểu thức ......................................................23
2.2.2.2 Tiếp tuyến .........................................................................................25
2.2.2.3 Dùng đạo hàm để vẽ đồ thị hàm số..................................................26
2.2.3 Phép tính tích phân ................................................................................28
2.2.3.1 Tích phân bất định ............................................................................28
2.2.3.2 Tích phân xác định............................................................................29
2.3 Vẽ đồ thị .........................................................................................................31
2.3.1 Vẽ đồ thị trên mặt phẳng ........................................................................31
2.3.1.1 Vẽ đồ thị hàm xác định từng khúc ..................................................33


2.3.1.2 Đồ thị các hàm cho theo tham số trong mặt phẳng .......................34
2.3.2 Vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều .......................................................35
2.3.2.1 Vẽ đồ thị hàm số dạng f(x,y) = 0 và f(x,y,z) = 0 .............................36
2.3.2.2 Vẽ miền đúng của bất đẳng thức .....................................................40
CHƯƠNG III: LÝ THUYẾT DANH SÁCH , LẬP TRÌNH CẤU TRÚC VÀ
XÂY DỰNG CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC ......................43
3.1 Danh sách và danh sách lồng ........................................................................43
3.1.1 Danh sách .................................................................................................43
3.1.1.1 Định nghĩa và khai báo danh sách .................................................43
3.1.1.2 Làm việc với danh sách ....................................................................44
3.1.2 Danh sách lồng .........................................................................................51
3.1.2.1 . Cách cho một ma trận ...................................................................51
3.1.2.2 Trích các phần tử của ma trận ........................................................52

3.1.2.3 Các phép toán, các hàm với ma trận ..............................................53
3.1.2.4 Tạo một ma trận với tính chất cho trước: ....................................54
3.2 Áp dụng lý thuyết danh sách để vẽ tiếp tuyến, cát tuyến với đường cong
và xây dung đồ thị linh hoạt................................................................................55
3.2.1 Vẽ cát tuyến của đồ thị và xây dựng đồ thị linh hoạt của nó. ............55
3.2.2 Vẽ tiếp tuyến với đồ thị và xây dựng đồ thị linh hoạt . ........................58
3.3 Lập trình cấu trúc với Mathematica ...........................................................59
3.3.1 Nhập/ xuất ...............................................................................................59
3.3.2. Gán ...........................................................................................................59
3.3.4 Khối (lệnh) và biến cục bộ ....................................................................60
3.3.5 Cấu trúc chọn..........................................................................................61
3.3.6 Cấu trúc điều kiện ...................................................................................61
3.3.7 Cấu trúc lặp .............................................................................................62
3.4 Xây dựng các gói chương trình trợ giúp dạy và học ..................................63
3.4.1 Một số gói chương trình cơ bản: ..........................................................63
3.4.2 Xây dựng chương trình cho bài giảng khảo sát hàm số .....................64
KẾT LUẬN ..............................................................................................................79
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................81


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Vào thời điểm hiện nay, hòa chung vào sự phát triển của kinh tế xã hội,
ngành giáo dục cũng đang thực hiện chủ trương đổi mới phương pháp dạy và học
nhằm đáp ứng nâng cao chất lượng dạy và học trong các cơ sở giáo dục. Đồng hành
cùng chủ trương đó thì việc ứng dụng công nghệ thông tin trong công tác dạy và
học cũng là một nhiệm vụ bắt buộc hiện nay, từ đó bắt đầu các phần mềm hỗ trợ
giáo dục và nghiên cứu được tìm hiếu và khai thác nhiều hơn trước. Tuy nhiên ở địa
phương tôi công tác lại là một vùng khó khăn của tỉnh Hà Tĩnh, đó là huyện miền
núi Hương Sơn,nơi mà hàng năm hạn hán và lũ lụt hoành hành thuộc loại gay gắt

trong nước, nên việc tiếp cận các cơng nghệ mới, các chương trình hỗ trợ phát triển
giáo dục như ở các đô thị lớn gặp rất nhiều gian nan.
Hiện nay ngoài khai thác các ứng dụng trong soạn thảo văn bản và một số
phần mềm ứng dụng trong quản lý của ngành thì việc sử dụng các phần mềm để hỗ
trợ giải quyết các bài toán thường gặp chưa được đầu tư nghiên cứu và sử dụng đúng
mức, chính vì thế nên tơi quyết định chọn nghiên cứu về phần mềm hỗ trợ cho giảng
dạy và học tập. Trong rất nhiều các phần mềm được sử dụng nhiều hiện nay như lập
trình với Pascal, lập trình C,Visua Basic. Foxpro,…đều được đưa vào giảng dạy
trong các nhà trường, mỗi phần mềm đều có những ưu điểm riêng của nó. Tuy nhiên
có một phần mềm mà nó có trợ giúp giải quyết rất nhiều các bài toán trong nhiều
lĩnh vực khác nhau nhưng lại chưa được phổ biến nhiều hiện nay, đó là phần mềm
Mathematica .
Trong các môn học ứng dụng cần giải quyết các bài tốn tính tốn cụ thể với
thời gian nhanh nhất là yêu cầu cấp thiết. Mathematica là một công cụ lập trình
mạnh với hơn 700 hàm có sẵn trong thư viện hàm.
Hiện nay Mathematica là một phần mềm được sử dụng và giảng dạy tại
nhiều trường đại học, là công cụ hỗ trợ trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy ở
nhiều mơn học: Tốn học đại cương, Vật lý đại cương, Vật lý lượng tử, Toán kinh

1


tế, Tối ưu hóa, Bảo mật thơng tin,...
Một khó khăn đối với nghiên cứu phần mềm này là số đầu sách viết bằng
Tiếng Việt về Mathematica còn hạn chế, chưa phổ biến trên thị trường,nên để có
được một lượng kiến thức phong phú trình bày trong luận văn thì phải gặp rất nhiều
khó khăn và vất vả.
II. Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận văn:
Luận văn sẽ tập trung giới thiệu, nghiên cứu các khái niệm cơ bản và ứng
dụng của Mathematica để giải quyết những bài tốn cơ bản mà ở chương trình học

phổ thơng thường gặp.
Những khái niệm trong toán học cơ bản như các phép tính số học đối với
biếu thức và hàm số, giải phương trình, hệ phương trình, các bài tốn vi tích phân,...
nghe rất quen thuộc nhưng trong thực tế có những trường hợp ta mất rất nhiều thời
gian để giải quyết, thậm chí tìm ra được kết quả là cả một vấn đề. Tuy nhiên
Mathematica cho ta đáp án nhanh nhất và chính xác nhất có thể.
Luận văn sẽ trình bày ứng dụng của phần mềm trong dạy học và học tập
những bài tốn về giải phương trình , hệ phương trình, các bài tốn vi tích phân, vẽ
các đồ thị trong không gian hai chiều và ba chiều, bên cạnh đó sẽ là những kiến
thức cơ bản về lý thuyết danh sách, ứng dụng của nó để giải quyết một số bài toán
lien quan.
Từ những khái niệm cơ bản tìm hiếu đó thì tác giả sẽ xây dựng một số
chương trình để giải quyết các bài tốn, trong đó có chương trình được xây dựng để
giải các bài tốn khảo sát hàm số , vẽ đồ thị tiếp tuyến trong chương trình THPT ,
một trong những dạng tốn thường xun gặp nhất trong tốn học. Với ứng dụng
này thì các học sinh phổ thơng có thể sử dụng để tìm được kết quả một cách nhanh
nhất, trợ giúp giải đề thi cho các thầy cô giáo trong công tác giảng dạy và luyện thi
tại các trung tâm.

2


III. Các luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả
Về mặt lý thuyết thì luận văn chỉ trình bày các dạng bài tốn quen thuộc và ứng
dụng giải quyết các bài tốn đó, nhưng cũng chính nhờ những khái niệm cơ bản đó
mà tác giả đã chỉ ra được thêm các phương pháp để xử lý nhanh các bài tốn liên
quan, bên cạnh đó thì các gói chương trình được tác giả xây dựng sẽ cho kết quả
nhanh nhất, chính xác nhất khi gặp các bài tốn về khảo sát hàm số, vẽ các đồ thị cơ
bản.
IV. Phương pháp nghiên cứu

-

Tham khảo và dịch các tài liệu tiếng Anh.

-

Tìm hiểu qua giáo trình cơ bản được học.

-

Tổng hợp và trình bày.

3


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA
1.1 Giới thiệu phần mềm Mathematica
Phần mềm tính tốn Mathematica, phiên bản đầu tiên được viết vào năm 1988 bởi
hãng Wolfram. Đây là một hệ thống phần mềm làm tốn nhờ máy tính,
nó bao gồm tínhtốn kí hiệu, tính số, xử lý đồ thị và lập trình. Bản thân
Mathematica được coi là một hệ thống đại số máy tính tiện lợi cho nhiều đối
tượng sử dụng khác nhau.Mathematica có nhiều version do liên tục được cải tiến và
hoàn thiện:1.2, 2.0, 2.2,3.0, 4.0 …và đến nay thì phiên bản 9.0.1 được sử dụng
nhiều.
Một số quy tắc cơ bản khi sử dụng phần mềm Mathematica:
- Mathematica phân biệt giữa chữ hoa và chữ thường. Do đó, chữ cái nào viết hoa
cần phải viết hoa chữ cái đó.
- Những lệnh, hàm, các ký hiệu, các biến có sẵn trong Mathematica ln đợc bắt
đầu bằng chữ in hoa.
- Để thực hiện một lệnh trong Mathematica, ấn đồng thời hai phím Shift + Enter

- Các hàm, các biến tự khai báo không cần viết hoa chữ cái đầu tiên nhưng khai báo
thế nào khi dùng phải dùng đúng như vậy.
- Các chữ cái không được dùng để đặt tên: C, D, E, I, N
- Vai trò của 3 cặp ngoặc ( ), [ ], { }
+ Cặp ngoặc ( ) dùng để ngoặc các biểu thức toán học
+ Cặp ngoặc [ ] dùng để chứa các đối số, biến số của lệnh, của hàm.
+ Cặp ngoặc { } dùng để liệt kê các miền cho đối số, liệt kê các công việc, dùng cho
các mảng hoặc ma trận.
- Tên của các biến, các hàm tự khai báo bao gồm các chữ cái và chữ số, bắt đầu
bằng một chữ cái, có thể là chữ thường hoặc hoa. Tên này phải khác với tên các
lệnh, các hàm đã có sẵn trong chương trình.
- Phân biệt giữa các ký hiệu := , = và ==
Ví dụ:
x:=1 là lệnh gán giá trị 1 cho hằng số x

4


x=1 là lệnh gán giá trị 1 cho biến x (x có thể thay đổi giá trị trong khi thực
hiện chương trình)
x==1 là so sánh giữa giá trị vế trái x có bằng giá trị vế phải là 1 hay khơng.
1.2 Các phếp tính tốn học đối với số, biểu thức và hàm
1.2.1 Tính tốn số:
a. Số học: Ta có thể làm phép tính với Mathematica giống như làm trên mt
mỏy tớnh in t. Các phép toán số học cơ bản được thực hiện một cách tự
nhiên trong Mathematica.
+: Phép céng
-: PhÐp trõ.
*: PhÐp nh©n
/: PhÐp chia

^: PhÐp lịy thõa
!: Phép giai thừa
<=: nhỏ hơn hoặc bằng
<: Nhỏ hơn
>=: Lớn hơn hoặc bằng
>: Lớn hơn
Ví dụ:
-

Tng ca 2 s:
In[1]:= 4+6
Out[1]=10

-

Thực hiện cùng lúc phép tính nhân, chia, và lũy thừa.
In[2]:= 2.4 / 8.9 ^ 2
Out[2]= 0.0302992

-

Ta cã thĨ sư dơng dấu cách để thể hiện một phép nhân thay cho
dùng mét dÊu * .
In[3]:= 3 4 5
Out[3]= 60

5


-

Cho kết quả chính xác nếu dùng dấu ngoặc đơn ®Ĩ biĨu diƠn
biĨu thøc sè häc.
In[4]:= (3 + 4) ^ 2 - 2 (3 + 1)
Out[4]= 41

b. Kết quả gần đúng và chính xác
Khi lm vic vi s nguyờn, Mathematica ln hiển thị kết quả chính xác
và đầy đủ trên màn hình, ngay cả khi tính tốn với những số lớn
Ví dụ

35^53
68486717367040302472198227336551670995443520051360053457
75629393756389617919921875
Đối với phép tốn thực hiện với số hữu tỷ thì thơng thường khi sử dụng máy
tính hay các phần mềm khác ta chỉ nhận được kết quả xấp xỉ, chẳng hạn khi tính
10/3 ta sẽ nhận được kết quả là:3.3333333333333
Đối với Mathematica, khi nói về số hữu tỷ là nói về phân số. Do đó, kết quả sau các
phép tính trong Mathematica vẫn là số hữu tỷ.

10/3
10
3

Nếu ta sử dụng N[…] hay //N để tính tốn thì sẽ cho kết quả gọn ở dạng khoa học.
Ví dụ: Tính (-7)100
-

Nếu

ta

gõ

lệnh:

(-7)^100

thì

sẽ

được

kết

quả

3234476509624757991344647769100216810857203198904625400933895331391691459636928060001

- Nếu ta gõ lệnh : N[ (-7)^100] thì sẽ được kết quả
3.23448×1084

Sử dụng lệnh N […] hay //N có những trường hợp Mathematica cho ta những kết
quả mà trong các phần mềm khác khơng thể tính được.
3

Ví dụ: Tính √−5

Nếu gõ lệnh (-5)^(1/3) thì sẽ được kết quả:

6


(−5)1/3

Cịn nếu dung lệnh (-5)^(1/3)//N thì sẽ được kết quả là giá trị phức:
0.854988 +1.48088 i
1.2.2 Tính tốn với biểu thức
Một điểm mạnh của Mathematica là thực hiện biểu diễn các phép tính đại số
đối với các biểu thức, chẳng hạn như: khai triển, phân tích…
a. Các phép tính đại số trên các biểu thức
/. Hoặc //. Thế giá trị
ExPand[biểu thức]: Khai triển biểu thức
ExpandAll[biểu thức]: Khai triển tất cả các biểu thức con trong biểu
thức.
ExpandDenominator[biểu thức]: Khai triển mẫu thức.
ExpandNumerator[biểu thức]: Khai triển tử thức.
Denominator[biểu thức]: Cho giá trị của mẫu thức
Numerator[biểu thức]: Cho giá trị của tử thức
Apart[biểu thức]: Cho phân thức đơn giản của biểu thức hữu tỷ.
Cancel[biểu thức]: Giản ước thừa số chung trong biểu thức.
Collect[biểu thức, x]: Cho đa thức theo biến x.
Factor[Đa thức]: Phân tích đa thức thành nhân tử trên trường số hữu tỷ .
Short[Đa thức]: Hình thức viết gọn của đa thức.
Simplify [Đa thức]: Rút gọn expr đa thức.
Together[ biểu thức]: Viết biểu thức dưới dạng một phân thức.
Ví dụ:
In[1]:= 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄[(𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒚𝒚)^𝟑𝟑]

Out[1]= 1 + 6𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 3 + 3𝑦𝑦 + 12𝑥𝑥𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦 2 + 6𝑥𝑥𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 3
In[2]:= 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂[(𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒚𝒚)^𝟑𝟑, 𝒙𝒙]

Out[2]= 1 + 8𝑥𝑥 3 + 3𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 3 + 𝑥𝑥 2 (12 + 12𝑦𝑦) + 𝑥𝑥(6 + 12𝑦𝑦 + 6𝑦𝑦 2 )
In[3]:= 𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒[𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟑𝟑^𝟓𝟓 + 𝟐𝟐𝟐𝟐^𝟐𝟐 − 𝟏𝟏]
Out[3]= −1 + 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 5

7


In[4]:= 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅[𝒙𝒙^𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝟔𝟔]
Out[4]= (2 + 𝑥𝑥)(3 + 𝑥𝑥)

b. Đặt tên và tính tốn các biểu thức
Trong Mathematica, để đơn giản hóa các đối tượng tốn học trong q trình
lâp trình, ta có thể đặt tên cho các đối tượng đó nhằm tránh tình trạng nhắc
đi, nhắc lại nhiều lần một biểu thức toán học, mà chỉ cần nhắc tên của nó là
được.
Ví dụ1: Cho biểu thức

-

𝑥𝑥 2 −4𝑥𝑥
𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥

+

𝑥𝑥 2 +3𝑥𝑥−4
𝑥𝑥 2 −1

Đơn giản biểu thức

-

Phân tích thành tổng các phân thức

-

Viết biểu thức trên dưới dạng một phân thức.

Giải:
In[1]:=𝒖𝒖 = (−𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝒙𝒙^𝟐𝟐)/(−𝒙𝒙 + 𝒙𝒙^𝟐𝟐) + (−𝟒𝟒 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝒙𝒙^𝟐𝟐)/(−𝟏𝟏 + 𝒙𝒙^𝟐𝟐)
Out[1]=

−4𝑥𝑥+𝑥𝑥 2
−𝑥𝑥+𝑥𝑥 2

-

+

−4+3𝑥𝑥+𝑥𝑥 2
−1+𝑥𝑥 2

Đơn giản biểu thức:
In[2]:= 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂[𝒖𝒖]

Out[2]=
-

−4+𝑥𝑥

−1+𝑥𝑥

+

4+𝑥𝑥

1+𝑥𝑥

Phân tích phân thức trên thành tổng của các phân thức:
In[3]:= 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀[𝒖𝒖]

-

Out[3]= 2 −

3

−1+𝑥𝑥

+

3

1+𝑥𝑥

Viết biểu thức dưới dạng một phân thức:
In[4]:= Together[u]
Out[4]=

2(−4+𝑥𝑥 2 )

(−1+𝑥𝑥)(1+𝑥𝑥)

8


Ví dụ 2:
Cho phân thức 𝑡𝑡 = (1 + 𝑥𝑥)^2/(1 − 𝑥𝑥) + 3𝑥𝑥^2/(1 + 𝑥𝑥)^2 + (2 − 𝑥𝑥)^2
-

Khai triển tử thức

-

Khai triển mẫu thức

-

Khai triển cả biểu thức.

Giải:
In[1]:= 𝒕𝒕 = (𝟏𝟏 + 𝒙𝒙)^𝟐𝟐/(𝟏𝟏 − 𝒙𝒙) + 𝟑𝟑𝟑𝟑^𝟐𝟐/(𝟏𝟏 + 𝒙𝒙)^𝟐𝟐 + (𝟐𝟐 − 𝒙𝒙)^𝟐𝟐
-

Out[1]= (2 − 𝑥𝑥)2 +

3𝑥𝑥 2

(1+𝑥𝑥)2

+

(1+𝑥𝑥)2
1−𝑥𝑥

In[2]:=𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄[𝒕𝒕]
Out[2]= 4 − 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 +

3𝑥𝑥 2

(1+𝑥𝑥)2

+

-

In[3]:= ExpandDenominator[t]

-

Out[3]= (2 − 𝑥𝑥)2 +

(1+𝑥𝑥)2
1−𝑥𝑥

In[4]:= 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄[𝒕𝒕]
Out[4]= 4 +

1.2.3 Tính tốn với hàm.

1

1−𝑥𝑥

− 4𝑥𝑥 +

+

2𝑥𝑥

1−𝑥𝑥

1+2𝑥𝑥+𝑥𝑥 2
1−𝑥𝑥

3𝑥𝑥 2

1+2𝑥𝑥+𝑥𝑥 2

+ 𝑥𝑥 2 +

𝑥𝑥 2

1−𝑥𝑥

+

3𝑥𝑥 2

1+2𝑥𝑥+𝑥𝑥 2

Đối với các hàm ta có thể định nghĩa để giải quyết một bài toán giống như đối với
biểu thức. Ngồi ra trong Mathematica cịn có hơn 700 hàm có sẵn.
a. Một số các hàm số cơ bản có sẵn:
Hàm số cơ bản

Hàm số cơ bản

Khai báo trong Math

Khai báo trong Math

x

Abs[x]

x

Sqrt[x] hoặc x^(1/2)

sin x

Sin[x]

cos x

Cos[x]

tgx

Tan[x]

cot g x

Cot[x]

arcsin x

ArcSin[x]

arccos x

ArcCos[x]

arctgx

ArcTan[x]

arccotgx

ArcCot[x]

log a x

Log[a,x]

ln x

Log[x]

ax

a^x

ex

E^x hoặc Exp(x)

Ta sẽ tìm hiểu các hàm đơn giản có sẵn thơng qua các ví dụ sau:

9


- Ví dụ 1:
Tính e2 + ln4
Giải:
Viết lệnh 𝐸𝐸^2 + Log[4]//𝑁𝑁

Ta được

8.77535

Đối với hàm ex và hàm loga thì ta phải dung lệnh //N để được kết quả số.
Ở ví dụ trên nếu ta viết lệnh E^2+ Log[4] thì chỉ được kết quả là

Ví dụ 2:Tính Log 3 5
Giải: Viết lệnh
Ta được kết quả

Ví dụ 3: Tính cos
Giải:

𝜋𝜋
3

𝑒𝑒 2 + Log[4]

Log[2,5]//𝑁𝑁
2.32193

bắng các lệnh đơn giản và tính giâ trị dưới dạng số thập phân.

Viết lệnh Cos[Pi/2]
ta được

1
2

Viết lệnh Cos[Pi/2] //N
ta được 0.5
b. Định nghĩa các hàm.
Các hàm trong Mathematica đều bắt đầu bằng chữ hoa, còn các hàm hoặc các biểu
thức có thể đặt tên bắt đầu bằng chữ thường.Để tránh tình trạng tên hàm đã được
dùng định nghĩa trước đó mà ta vẫn dùng thì phải dùng lệnh Clear[…] để xóa tất cả
định nghĩa nghĩa nếu có về hàm đó.
Ta sẽ tìm hiểu cách định nghĩa các hàm qua các ví dụ sau đây:
- Định nghĩa hàm một biến
Ví dụ. Muốn định nghĩa=
hàm f ( x ) x 2 .log 2 (sin 2 (2 x + 1) + e 3 x ) − ln 3 x ta định

2

nghĩa như sau:
Clear[f]
f[x_]=x^2*Log[2,(Sin[2*x+1]^2 + E^(3*x^2))] - Log[x]^3

10


ta được

3

−Log[𝑥𝑥] +

2

𝑥𝑥 2 Log[𝑒𝑒 3𝑥𝑥 +Sin[1+2𝑥𝑥]2 ]
Log[2]

Sau khi định nghĩa, để tính giá trị của hàm số tại x=1 ta dùng lệnh sau:f[1.] hoặc
f[x]/.x->1 ta được
Log[𝑒𝑒 3 +Sin[3]2 ]
Log[2]

hoặc ta có thể lấy giá trị thập phân bằng lệnh f[1]//N sẽ được 4.32951
Lưu ý: Không được quên dấu “_ “ ở vế trái của dấu bằng trong mỗi định nghĩa
hàm.
Mathematica có thể tính phép tính ký hiệu và nhân nhiều hàm.
Ví dụ: Hãy định nghĩa hàm f(x) = x2

a. Tính f(a-b).
b. Tính và khai triển f(a-b).
c. Tính

𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)
ℎ

d. Tính và giản ước
Giải:

𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)
ℎ

Clear[f]
f[x_]=x^2
được
a.

x2

Viết lệnh f[a-b]
(a-b)2

b.

c.

Expand[f[a-b]]
𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2

(f[x+h]-f[x])/h
−𝑥𝑥 2 +(ℎ+𝑥𝑥)2
ℎ

11


d.

Simplify[(f[x+h]-f[x])/h]
ℎ + 2𝑥𝑥

- Định nghĩa hàm nhiều biến

x , y ) x 2 sin4 ( x 2 + y 2 ) − tg ( x 2 − y 2 )
Ví dụ. Định nghĩa hàm 2 biến g (=
Clear[g]
g[x_,y_]=x^2*Sin[x^2 + y^2]^4 – Tan[x^2 - y^2]
𝑥𝑥 2 Sin[𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ]4 − Tan[𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 ]

Sau khi định nghĩa, để tính giá trị của hàm số tại=
x 2,=
y 1 ta dùng lệnh sau:
f[2,1] hoặc f[x,y]/.{x->2,y->1}
4Sin[5]4 − Tan[3]

Ví dụ. Định nghĩa hàm ba biến h( x , =
y, z ) xcotg( y + z ) − e x

2

+ yz

ta dùng lệnh sau:

h[x_,y_,z_]=x*Cot[y+z] - E^(x^2+y*z)
−𝑒𝑒 𝑥𝑥

- Định nghĩa hàm vectơ một biến.

2 +𝑦𝑦𝑦𝑦

+ 𝑥𝑥Cot[𝑦𝑦 + 𝑧𝑧]

Ví dụ : định nghĩa hàm giá trị vectơ f(x)=(x2,1+sinx), tính giá trị f(π)
Giải :
Viết lệnh :

Clear[f]
f[x_]={x^2,1+Sin[x]}
{𝑥𝑥 2 , 1 + Sin[𝑥𝑥]}

f[Pi]

{𝜋𝜋 2 , 1}

- Định nghĩa hàm vectơ nhiều biến.

 x 2 arctg ( y 2 − 2 xy ) 
Ví dụ. Định nghĩa hàm số F ( x , y ) = 


2
3
 sin ( x + y ).ln x 
Tính F(1,0)
Giải:
Ta dùng lệnh sau:

12


F[x_,y_]={x^2*ArcTan[y^2 – 2*x*y], Sin[x + y]^2*Log[x]^3}
{𝑥𝑥 2 ArcTan[2𝑥𝑥𝑦𝑦 3 – ], Log[𝑥𝑥]3 Sin[𝑥𝑥 + 𝑦𝑦]2 }

F[1,0]
{0, 0}

c. Chồng chất các hàm
Trong Mathematica để chồng chất nhiều hàm khác nhau ta phải dùng lệnh
sau:
Compositon[f1,f2,f3,..fn][x]
Còn chồng chất nhiều lần cùng một hàm thì dùng lệnh:
Nest[f,x,n]
Ví dụ: Cho f(x)=x2 , g(x)= 1-x2. Tính
-

(fog)(x).

-

(gof)( )

-

g(sinx)

𝜋𝜋
2

Giải:
Ta định nghĩa lần lượt các hàm
Clear[f,g]
f[x_]=x^2;
g[x_]=1-x^2;
- Composition[f,g][x]

- Composition[g,f][Pi/2]
1−

(1 − 𝑥𝑥 2 )2

𝜋𝜋 4
16

- Composition[g,Sin][x]//Simplify
Cos[𝑥𝑥]2

ở đây ta sử dụng hàm Simplify bởi vì kết quả là biểu thức lượng giác có thể rút gọn
được, nếu ko dung lệnh này thi ta chỉ được kết quả là 1- Sin[x]2

13


Ví dụ: Cho f(x)= 1+sinx. Tính:
-

(fofofof)(x)

-

cos(cos(cosx))

Giải:
Clear[f]
f[x_]=1+Sin[x]
1 + Sin[𝑥𝑥]

- Nest[f,x,4]

1 + Sin[1 + Sin[1 + Sin[1 + Sin[𝑥𝑥]]]]
- Nest[Cos,x,3]

1.3 Vẽ đồ thị các hàm , các biểu thức

Cos[Cos[Cos[𝑥𝑥]]]

Ở đây ta chỉ tìm hiểu qua một số lệnh để vẽ đồ thị hỗ trợ giải quyết các bài toán
đại số.
Vẽ đồ thị hàm một biến
Lệnh Plot [f[x],{x, xmin, xmax}]: Vẽ đồ thị của hàm f(x) trên khoảng

[xmin,xmax].
Plot [{f 1 [x], f 2 [x],..} ,{x,xmin, xmax}]: Vẽ đồ thị của nhiều hàm.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm f(x) = x2 + 3x-5
Giải:
Ta phải định nghĩa hàm f(x) trước, sau đó mới vẽ.
f[x_]=x^2+3x-5
𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏[𝒇𝒇[𝒙𝒙], {𝒙𝒙, −𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟕𝟕}]

14


60
50
40
30
20
10
10

5

5

Vẽ đồ thị f(x) có nhiều màu khác nhau, ta dùng lệnh
Plot [f[x],{x, xmin, xmax}, PlotstyleGrayLevel[w]], trong đó w là 0 hoặc 1.
PlotstyleGrayLevel[0] hiển thị màu đen, còn PlotstyleGrayLevel[1] hiển thị
màu trắng.
Muốn vẽ nhiều màu hơn nữa, có thể dùng lệnh: Plot [f[x],{x, xmin, xmax},
PlotstyleRGBColor[r, g,b] trong đó r, g, b là 0 hoặc 1. Chẳng hạn
RGBColor[1,0,0] cho màu đỏ, RGBColor[0,1,0] cho màu xanh lá cây,

RGBColor[1,0,0] cho màu xanh nước biển.
PlotstyleDashing[{n1, n2, n3,…}]: đồ thị ghép nối.
AspectRatio số: Cho tỉ số giữa độ dài trục hoành x và trục tung y. Giá trị
mặc định là tỉ số vàng

1+ 5
≈ 1, 61803 .
2

AxesLable {“tên trục x”, “tên trục y”}: Đặt tên mới cho trục x và trục y.
PlotLable{“tên”}: Đặt tên cho đồ thị.
AxesOrigin {x-coordinate, y-coordinate} : Xác định giao điểm của trục
x và y tại điểm có tọa độ là {x-coordinate, y-coordinate}.
PlotRange{y-min, y-max}: Xác định khoảng trên và dưới đồ thị sẽ được
hiển thị. PlotRange{{x-min, x-max},{y-min, y-max}} hiển thị đồ thị giới hạn
trong hình chữ nhật {{x-min, x-max},{y-min, y-max}}.

15


CHƯƠNG II. MỘT SỐ ỨNG DỤNG MATHEMATICA TRONG ĐẠI SỐ VÀ
HÌNH HỌC
2.1 Giải phương trình và hệ phương trình
Mathematica cã thể tìm được nghiệm đúng các phương trình và hệ phương trình
của các phương trình có bậc 4. Bên cạnh đó cũng có thể tìm ra được các nghiệm
gần đúng của những phương trình hoặc là không thực tế, hoặc là không có khả
năng giải được.
Mặt khác việc vẽ đồ thị của các hàm cũng giúp ta tìm được các nghiệm nhờ vào
giao điểm của đồ thị.
2.1.1 Gii phng trỡnh

Để tìm một nghiệm đúng của phương trình ta có thể dùng lệnh :
Solve[vế trái==vế phải,x] để phương trình theo Èn x.
Ví dụ: giải các phương trình sau:
𝑥𝑥2 −4
=0
𝑥𝑥−2

2x-1=0, 2x2+3x+1=0,
Giải:

, x3-2x2-x+2=0, cos2x+2cosx+1=0

Solve[2x-1==0]
1

{{𝑥𝑥 → }}
2

Solve[2x^2+3x+1==0]

Solve[(x^2-4)/(x-2)==0]

1
{{𝑥𝑥 → −1}, {𝑥𝑥 → − }}
2
{{𝑥𝑥 → −2}}

Solve[x^3-2x^2-x+2==0]

{{𝑥𝑥 → −1}, {𝑥𝑥 → 1}, {𝑥𝑥 → 2}}

Solve[Cos[x]^2+2Cos[x]+1==0,x]

{{𝑥𝑥 → −𝜋𝜋}, {𝑥𝑥 → 𝜋𝜋}}

Trong trường hợp này nếu đánh lệnh

Solve[Cos[x]2+2Cos[x]+1==0]

Mathematica sẽ giải phương trình đối với Cos[x], cụ thể là:
Solve[Cos[x]2+2Cos[x]+1==0]

16

thì


{{Cos[𝑥𝑥] → −1}, {Cos[𝑥𝑥] → −1}}

Chú ý rằng, không phải tất các phương trình đa thức đều có nghiệm chính xác. Theo
lí thuyết phương trình thì các phương trình bậc 4 trở xuống đều có cơng thức
nghiệm chính xác được xây dựng từ các hệ số. Tuy nhiên, theo Galois, đối với các
phương trình bậc 5 trở lên, chúng ta lại khơng có những cơng thức nghiệm như thế.
Và Mathematica sẽ khơng đánh giá các phương trình bậc 5 trở lên (các phương
trình khơng thể phân tích thành nhân tử), tất nhiên có thể tìm tất cả các nghiệm của
một phương trình đa thức bằng phương pháp số thơng qua lệnh N[].
Có những phương trình mà kết quả chính xác rất dài và rườm rà thì ta có thể u
cầu Mathematica cho kết quả nghiệm gần đúng bằng lệnh N[biểu thức] hoặc biểu
thức//N .
Ví dụ: Giải gần đúng các phương trình

a.

3x3 +5x2-1=0

b.

x4-3x2= 1-2x

Giải:
a.

N[Solve[3x^3+5x^2-1==0]]

{{x 0.401467 + 5.55112×10-17i},{x -0.545184+1.11022×10-16i},{x -1.522955.55112×10-17i}}
b.

Solve[x^4-3x^2==1-2x]//N
{{x 0.302339 -0.49516 },{x 0.302339 +0.49516 },{x -

2.0523},{x 1.44762}}

Nếu ta so sánh kết quả trên với kết quả khi giải phương trình với lệnh
Solve[x^4-3x^2==1-2x] thì sẽ thấy được giá trị của việc giải gần đúng nghiệm.
Mặt khác, trong Mathematica có những lệnh chuyên dùng để giải những phương
trình khơng thực tế hoặc khơng có khả năng giải được như FindRoot và NRoots,
NSolve .
Lệnh NRoots [ vế trái= = vế phải, biến] cho phép xấp xỉ nghiệm của đa
thức.

17

FindRoot [vế trái= = vế phải, {x,x 0 }]: Tìm nghiệm của vế trái= = vế phải
bắt đầu với x =x 0 . Một trong những cách để tìm x 0 là vẽ đò thị của vế trái và vế
phải, tìm giao điểm của chúng rồi đánh giá hồnh độ đó. Nếu phương trình có nhiều
nghiệm thì FindRoot phải dung nhiều lần.
Ví dụ: Xấp xỉ nghiệm của đa thức
a. x2+3x=2
b. 2x5+3x4-4x3-x+1=0
Giải:
a.

FindRoot[ x^2+3 x= =2,{x,1}]
{x 0.561553}

b.

NRoots[2x^5+3x^4-4x^3-x+1==0,x]

x -2.38913||x -0.276541-0.572595 i||
x -0.276541+0.572595 i||x 0.672008||x 0.770209
Như vậy lệnh FindRoot có thể tìm được cả xấp xỉ nghiệm của đa thức, nhưng
điểm mạnh là đối với những phương trình khác đa thức.
Ví dụ:
Xấp xỉ nghiệm dương của cosx-x=0.
Giải:
Vì phương trình khơng phải dạng đa thức nên không dùng lệnh Nroots được, mà
chúng ta phải dùng lệnh FindRoot.
cosx≤1 với x nên cosx < x với x>1. Do đó mọi nghiệm dương của phương trình
phải nằm trong đoạn [0,1].

Vẽ đồ thị hàm cosx-x trong đoạn [0,1].
Clear[f]
f[x_]=Cos[x]-x;
Plot[f[x],{x,0,1}]

18


1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2
0.4

Nhìn vào đồ thị ta thấy cosx-x=0 gần 0.7 nên ta dùng giá trị này làm xấp xỉ đầu tiên.
FindRoot[f[x]==0,{x,.7}]
{x 0.739085}
2.1.2 Giải hệ phương trình

Ta có thể dung lệnh Solve để giải hệ các phương trình tuyến tính.
Solve[{lhs1 = rhs1, lhs2= lhs2,…}, var]
Solve [lhs1 = rhs1 && lhs2 =rhs2 &&…, var]
Solve [{lhs1, lhs2,…}= = {rhs1, rhs2,…},var]
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
a.

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1
�
𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 2

3𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 7
b. �
2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 8
c.

2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 2
� 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 0
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 1
Giải:

19


a. Solve[{x+y==1, x-3 y==2}]
5

1

��𝑥𝑥 → , 𝑦𝑦 → − ��

4

4

b.Solve[{3 x + 7y, 2 x - 5 y} == {7, 8}, {x, y}]

{{𝑥𝑥 →

91

{{𝑥𝑥 →

7

29

10

, 𝑦𝑦 → − }}
29

c. Solve[{2 x - 3 y + 4 z == 2, 3 x - 2 y + z == 0, x + y - z == 1}, {x, y, z}]
10

9

3

, 𝑦𝑦 → , 𝑧𝑧 → }}
5

2

Giống như đối với phương trình, ta có thể dùng lệnh FindRoot để xấp xỉ nghiệm
của một hệ phương trình.
Ví dụ : Xấp xỉ nghiệm của hệ
�

𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2 = 4
5𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 2 = 8

Với hệ phương trình này thì ta phải dùng lệnh FindRoot để xấp xỉ, trước hết ta phải
vẽ đồ thị của mỗi phương trình để tìm nghiệm xấp xỉ ban đầu.
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 = 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂[𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒚𝒚 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟒𝟒, {𝒙𝒙, −𝟒𝟒, 𝟒𝟒}, {𝒚𝒚, −𝟒𝟒, 𝟒𝟒}, 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂
→ {𝟎𝟎}, 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 → 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂

→ 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅, 𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 → 𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈];

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 = 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂[𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 −

𝟖𝟖, {𝒙𝒙, −𝟒𝟒, 𝟒𝟒}, {𝒚𝒚, −𝟒𝟒, 𝟒𝟒}, 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂 → {𝟎𝟎}, 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 →

𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂 → 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅, 𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 → 𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈];

𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒𝐒[𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜, 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜, 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅 → 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅, 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 → 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀, 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 →
{𝟎𝟎, 𝟎𝟎}, 𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 → $𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃]

20

4

2

-4

-2

2

-2

-4

Từ kết quả đị thị trên thì ta thấy hệ trên có 4 nghiệm, trong đó có 2 nghiệm khả dĩ
là (0,2) và (0,-2).
Ta dùng lệnh FindRoot đẻ tìm 2 xấp xỉ nghiệm còn lại.
𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅[{𝒙𝒙^𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒚𝒚 + 𝒚𝒚^𝟐𝟐 == 𝟒𝟒, 𝟓𝟓𝟓𝟓^𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝟐𝟐^𝟐𝟐 =
= 𝟖𝟖}, {𝒙𝒙, 𝟏𝟏}, {𝒚𝒚, . 𝟐𝟐𝟐𝟐}]

{x 1.39262,y 0.348155}

𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅[{𝒙𝒙^𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒚𝒚 + 𝒚𝒚^𝟐𝟐 == 𝟒𝟒, 𝟓𝟓𝟓𝟓^𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝟐𝟐^𝟐𝟐 =
= 𝟖𝟖}, {𝒙𝒙, −𝟏𝟏}, {𝒚𝒚, −. 𝟐𝟐𝟐𝟐}]

{x -1.39262,y -0.348155}

* Lưu ý : ContourPlot[f == 0,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax}] – xây dựng đồ
thị hàm sốf(x,y) = 0 trong miền [xmin, xmax]×[ymin,ymax].
2.2 Phép tính vi tích phân

Ở phần này ta sẽ tìm hiểu các lệnh cơ bản để thực hiện phép tính vi tích phân.
Trong Mathematica thì các lệnh để thực thi các yêu cầu của các phép tính vi tích
phân rất phong phú.
2.2.1 Tính giới hạn
Để tính giới hạn trong Mathematica dung lệnh Limit[exp,x a] để tìm lim của exp
khi x

a (a có thể là hữu hạn hoặc vơ hạn).

21