BDT TS dai hoc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (99.99 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 1: Cho ABC cã AD lµ phân giác trong của
góc A (D BC) vµ sinBsinC  sin2 A

2 . H·y
chøng minh AD2 BD.CD

Bi 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số: y = x+1

x2+1 trên đoạn [-1; 2]

Bi 3: Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm
sè: y = x +

√

4− x2

Bài 4: Cho x, y, z là ba số dơng
vµ x + y + z  1. Chøng minh

x2+ 1

x2+

y
2

+ 1
y2+

z

+ 1
z2

Bi 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số: y = ln

x

x trên đoạn

[

1; e

]

.

Bài 6: Cho x, y, z lµ các số dơng thoả m·n:

1

4 x



y



z



. Chøng minh r»ng:

1

2 x y z



x



2 y z



x y



2 z



Bài 7: Chøng minh r»ng víi mäi x thuéc R ta cã:

12

15

20

3

4

5

4

3

x x x











































Bài 8:Cho c¸c số nguyên dơng x, y, z thoả mÃn
xyz = 1. Chøng minh r»ng:

3 3 3 3 3 3

1 3 3

x

y

z

x

xy

yz

zx





Khi nào đẳng thức xảy ra?

Bài 9: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và
điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 - xy. Tìm GTLN

cđa biĨu thøc A =

3 3

1 x



y

Bài 10: Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm
GTNN của biẻu thức:









2 2 2 2

1

2 x





y



x



y



y



Bài 11: Cho x, y, z là các số thực dơng thay đổi
và thoả mãn điều kiện: xyz = 1.Tìm GTNN của
biểu thức:













2 2 2

2 x y z

y z x

z x y

y y

z z

x x

y y



Bài 12: Cho x, y, z là ba số thực dơng thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

1

2 x

y

z

x

y

z

yz

zx

xy











































Bài 13: Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M
thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến
các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

√

x+

√

y+

√

z ≤

√

a

+b2+c2

2R ; a, b, c là ba cạnh

ca , R l bán kính đờng trịn ngoại tiếp. Dấu
"=" xảy ra khi nào?

Giả sử x, y là hai số dơng thay đổi thoả mãn
điều kiện x + y = 5

4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: S = 4

x+

1
4y

Bài 14: Gọi A, B, C là ba góc của ABC. Chứng
minh rằng để ABC đều thì điều kiện cần và đủ
1

cos2A

2+cos

2B

2+cos

2C

2−2=
1
4cos

A − B

2 cos

B −C

2 cos

C − A

Bài 15: Cho a ≥ b > 0. Chøng minh r»ng:

1

2

b a

a b































Bài 15:

Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả

mãn 1  a a

b+
c
d

b2+b+50
50b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc: S = a

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 16: Cho ABC có diện tích bằng 32 . Gọi
a, b, c lần lợt là độ dài của các cạnh BC, CA, AB
và ha, hb, hc tơng ứng là độ dài các đờng cao kẻ từ

các đỉnh A, B, C của tam giác. Chứng minh rằng:

(

a+

b+

c

)

(

ha+

hb+

hc

)

3

Bi 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số:

y = sin5x +

√

3 cosx

bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt
cđa hµm sè:

y = x6 + 4

(

1 x2

)

3 trên đoạn [-1; 1].

Bi 19: Chøng minh r»ng:

ex+cosx ≥2+x −x

2 x  R

Bài 20: Tìm các góc A, B, C của ABC để biểu
thức: Q = sin2A

+sin2B −sin2C đạt giá trị
nhỏ nhất.

Bài 21: Xác định dạng của ABC, biết rằng:

(p− a)sin2A+(p −b)sin2B=csinAsinB trong
đó BC = a, CA = b, AB = c, p = a+b+c

Bài 22:Chøng minh r»ng nÕu x, y lµ hai sè thùc
tho¶ m·n hƯ thøc: x + y = 1 th× x4 + y4  1

8
Bài 23: Cho ABC. Chøng minh r»ng nÕu

tgB
tgC=

sin2B

sin2C thì tam giác đó l tam giỏc

vuông hoặc cân.

Bi 24: Chứng minh rằng:

Cn0Cn1. ..Cnn≤

(

2
n

−2

n−1

)

n −1

n  N, n  2
Xác định n để dấu "=" xảy ra?

Bài 25: Chứng minh rằng ABC đều khi và chỉ

khi

a=2bcosC
a2=b

+c3− a3
b+c −a

¿{

Bài 26: Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định, liên
tục và cùng nhận giá trị trên đoạn [0; 1]. Chứng
minh rằng:

(

∫

0
1

f(x)g(x)dx

)

≤

∫

0
1

f(x)dx

∫

0
1

g(x)dx
Bài 27: Cho ba sè bÊt kú x, y, z. Chøng minh
r»ng:

√

x2

+xy+y2+

√

x2+xz+z2≥

√

y2+yz+z2

Bài 28: Cho ABC có 3 góc thoả mÃn điều kiện
sau: sinA + cosA + sinB - cosB + sinC - cosC =
Chứng minh rằng: ABC là tam giác vuông.

Bài 30: Chøng minh r»ng:
2 cosx+cot gx+3x −3π

2 >0
víi x

(

0;

)

Bi 31: Tuỳ theo giá trị của tham sè m, h·y t×m
GTNN cđa biĨu thøc:

P = (x + my - 2)2 +

[

4x+2(m−2)y −1

]

2 .
Bài 32: Chøng minh r»ng víi x  0 vµ víi
 > 1 ta lu«n cã: xα

+α −1≥ αx . Từ đó
chứng minh rằng với ba số dơng a, b, c bất kỳ thì:

√

a

b3+

√

b3

c3+

√

c3

a3≥

a
b+

b
c+

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 33: BiÕt c¸c sè a, b, c tho¶ m·n:

a2

+b2+c2=2

ab+bc+ca=1

¿{

. Chøng minh −4
3≤ a ≤

4
3 ;

−4

3≤ b ≤
4
3 ; −

4
3≤ c ≤

4
3

Bài 34: Cho ABC có độ dài các cạnh là a, b, c
và diện tích S thoả mãn:S = (c + a - b)(c + b - a).
Chứng minh rằng: tgC = 8

15 .

Bài 35: Chứng minh bất đẳng thức:
1

√

2≤

∫

0
1

√2

√

1− x2000≤

π

Bài 36: Cho c¸c sè x, y tho¶ m·n: x  0, y  0
và x + y = 1. HÃy tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: P = x

y+1+
y
x+1

Bài 37: Cho các số x, y thay đổi thoả mãn điều
kiện x  0, y  0 và x + y = 1. Hãy tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 3x + 9y.

Bài 38: Hai góc A, B của ABC thoả mÃn điều
kiện: tg A

2+tg

B

2=1 . Chøng minh r»ng:
3

4≤tg

C

2<1

Bài 39: Chøng minh r»ng:

√

a2+a+1+

√

a2− a+1  2 a  R

Bài 40: Cho x, y, z lµ những số dơng. Chøng
minh r»ng:

√

x2+xy+y2+

√

y2+yz+z2+

√

z2+zx+x2≥

√

3(x+y+z)

Bài 41: Cho sinx + siny + sinz = 0. Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc:

P = sin2x + sin4y + sin6z

Bài 42: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:

a
a+b+

b
b+c+

c
c+a<

√

a
b+c+

√

b
c+a+

√

c
a+b

Bài 43: Giả sử x, y, z là những số dơng thay đổi
thoả mãn điều kiện:x + y + z = 1.Hãy tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:

P = x

x+1+
y
y+1+

z
z+1

Bài 44: T×m giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm
số: y = sinx - cos2x + 1

Bài 45: Chøng minh r»ng nÕu: cosB + cosC =

b+c

a th× ABC vuông. Thì ABC là tam giác

Bi 46: Cho c¸c sè x1, x2, y1, y2, z1, z2 thoả mÃn

các điều kiện: x1x2 > 0 x1z1  y12 x2z2 

y22

Chøng minh r»ng:

(

x1+x2

) (

z1+z2

)

≥

(

y1+y2

)

Bài 47: Với a, b, c là ba số thực dơng thoả mãn
đẳng thức: ab + bc + ca = abc.

Chøng minh r»ng:

√

b2

+2a2

ab +

√

c2

+2b2

bc +

√

a2

+2c2

ca ≥

√

Bài 48: Biết rằng a, b, c là độ dài ba cạnh của
một tam giác và S là diện tích tam giác đó, hãy
xác định dạng của tam giác nếu:

1) S = 1

4(a+b − c)(a− b+c)
2) S =

√

36 (a+b+c)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x2 + (2a - 6)x + a - 13 = 0 víi 1  a <+ ∞

Tìm a để nghiệm lớn của phơng trình nhận giá trị
lớn nhất.

Bài 50: x, y là hai số thay đổi luôn luôn thoả mãn
điều kiện: x2 + y2 = 1

Xác định các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu
thức:

A = x

1+y+y

1+x
Bi 50 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f(x) = x

2+sin

x trªn

[

−π
2;

π

]

Bài 51: Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =

ksinx+1

cosx+2 nhá h¬n -1

Bài 52: Cho ABC. Chøng minh r»ng:
cosAcosBcosC  1

8 . Dấu "=" xảy ra khi nào?
Bài 53: Chứng minh bất đẳng thức:

(

1+1
n

)

n

<n víi n  N, n > 2

Bài 54: Cho ABC là một tam giác bất kỳ. CMR
với x ta đều có:

1 + 1
2 x

 cosA + x(cosB + cosC)
Bài 55: Chøng minh r»ng:

√

a+3

√

3b+44

√

c ≥9

√

9abc

Bài 56: Chøng minh r»ng víi 5 sè a, b, c, d, e bÊt
kú, bao giê ta còng cã:

a2 + b2 + c2 + e2  a(b + c + d + e)

Bài 57: Cho a  6, b  -8, c  3. Chứng minh
rằng với x  1 ta đều có:

x4 - ax2 - bx  c

Bài 57: Cho a > b > 0; x > y, x  N, y  N.
Chøng minh r»ng: a

x

−bx
ax

+bx>

ay− by
ay+by

Bài 58: Cho x, y 

(

−π
4;

π

)

. Chứng minh bất
đẳng thức:

|

tgx−tgy

1−tgx . tgy

|

Bài 59: Chứng minh bất đẳng thức sau:
x4 + y4 + z2 + 1  2x(xy2 - x + z + 1)

Bài 60: Chøng minh r»ng:

1
1+

√

√

√

3+.. .+

√

2004+

√

2005<44

Bài 61: H·y biÖn luËn giá trị nhỏ nhất của
F = (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 theo a

Bài 62: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba cạnh
của một tam giác thì:

ab + bc + ca > 1

2 (a2 + b2 + c2)

Bài 63: Chøng minh r»ng víi 4 sè thùc bÊt kú x1,

x2, x3, x4 ta lu«n cã:

a) x1
2

+x22+x32+x24≥

(

x1+x2

) (

x3+x4

)

(

x12+1

)(

x22+2

)(

x32+4

)(

x42+8

)

≥

(

x1x3+2

)

(

x2x4+4

)

Bài 64: Cho a > 0. Chøng minh r»ng:
xn + (a - x)n  2

(

a2

)

n

Bài 65: Chøng minh r»ng: x, y, z ta cã:
19x2 + 54y2 + 16z2 + 36xy - 16xz - 24yz  0

Bài 66 Cho a3 > 36 vµ abc = 1.

Chøng minh r»ng:

a2

3+b

+c2>ab+bc+ca

Bài 67: Chøng minh r»ng nÕu x > 0, n  Z+ ta

lu«n cã:
ex > 1 + x

1!+
x2

2!+
x3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 68: Chứng minh bất đẳng thc:

0

2
dx

53cosx<

Bi 69: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số:

y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1

Bi 70:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f(x) = 5cosx - cos5x trên đoạn

[

4;

]

.
Bi 71: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trªn
tËp R.

f(x) = 2sin2x + 4sinxcosx +

√

Bài 72: Chứng minh rằng với x > 0, ta đều có:

x −x

6 <sinx<x

Bài 73: Chứng minh rằng phơng trình sau có
đúng 1 nghiệm:

x5 - x2 - 2x - 1 = 0

Bi 74: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè:

y =

|

log
x2

(3

− x
2

)

+log3− x2

(

x

+1)

|

bài 75: Chøng minh nÕu a, b, c > 0 th×:

a
b+c+

b
c+a+

c
a+b≥

3
2

Bài 76: Cho ABC cã ba gãc nhän. Chøng minh
r»ng:

tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = tgA
+ tgB + tgC

Bi 77: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

f(x) =

|

x3+3x272x+90

|

trên đoạn [-5; 5]

Bài 78: Chứng minh đẳng thức:

1 . 3+
22

3 .5+
32

5. 7+. ..+

n2

(2n−1)(2n+1)=

n(n+1)

2(2n+1)

¸p dơng CMR:

12
1 . 3+

22
3 .5+

32
5. 7+. ..+

10022

2003 . 2005>250
Bài 79: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt
cđa hµm sè:

y = 3 cos

x+4 sin2x

3 sin4x

+2 cos2x

Bài 80: Cho biểu thức P = cosA + cosB + cosC,

trong đó A, B, C là ba góc của một tam giác bất
kỳ. Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhng không
đạt giá trị nhỏ nhất.

</div>

BDT TS dai hoc

<sub>√</sub>

[

<sub>]</sub>

1

1

1

4

<i>x</i>



<i>y</i>



<i>z</i>



1

1

1

1

2

<i>x y z</i>







<i>x</i>



2

<i>y z</i>





<i>x y</i>





2

<i>z</i>



12

15

20

3

4

5

5

4

3















































1

1

1

3 3

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>xy</i>

<i>yz</i>

<i>zx</i>