Luyen thi hinh hoc TS 1020122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề Hình học :

* CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG,

* BỐN ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN,

* BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY.

<b>I.Phương pháp giải</b>.

1, Chứng minh ba diểm thẳng hàng.
- Vận dụng tính chất của hai tia đối nhau.

- Vận dụng hai đường thẳng cùng đi qua một điểm song song hoặc vng góc với một đường
thẳng thì trùng nhau.

- Vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác.
- Vận dụng thêm điểm phụ thứ tư.

- Vận dụng tính chất các đường chéo của tứ giác đạc biệt.

- Vận dụng hai mút của đường kính và tâm của đường tròn là ba điểm thẳng hàng.
- Vận dụng hai tâm của đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm là ba điểm thẳng hàng.
2/ Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
*Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o _.

* Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện .

* Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm ( mà ta có thể xác định được ) .Đieenmr đó là tâm
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác .

* Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc <i>α</i> .
3/ Chứng minh ba đường thẳng đồng quy .

- Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại .
- Chỉ ra một điểm thuộc cả ba đường thẳng .

- Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường cung tên của một tam giác .
- Vận dụng tính chất về đường chéo .

<b>II / Ví dụ ( có gợi ý ) .</b>

1 / Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn ( O; R) . Gọi H là trực tâm và
và G là trọng tâm của tam giác ABC .Chứng minh ba điểm H,G ,O thẳng hàng .

Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)

Vẽ đường kính AD của đường tròn (0) .Gọi M là giao điểm của BC và HD .
Ta có : ACD = 90 o_{( góc nội tiếp chắn nữa đường trịn ) .}

Mà BH AC ( Hlà trực tâm tam giác ABC ) và DC AC <i>⇒</i> BH // DC.

Chứng minh tương tự cũng có: BD//HC.Tứ giác BHCD có BH // DC,BD // HC nên là hình
bình hành .

<i>⇒</i> M là trung điểm của BC và HD.

<i>Δ</i>ABC có AM là đường trung tuyến,G là trọng tâm <i>Δ</i>ABC

<i>⇒</i> G thuộc đoạn thẳng AM và AG = 2

3 AM

<i>Δ</i>AHD có AM là đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM và AG= 2

3 AM

<i>⇒</i> G là trọng tâm của tam giác AHD.Mà HO là đường trung tuyến của tam giác AHD
Do đó : HO đi qua G

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2/Gọi M là một điểm bất kì trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.Các điểm P,Q,R lần lượt
là hình chiếu củ M trên các đường thẳng BC,CA và AB.

Chứng minh rằng:

a) Các điểm M,P,B,R cùng thuộc một đường tròn
b) Các điểm R,P,Q thẳng hàng

Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
a) Tự chứng minh

b)Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp.
<i>⇒</i> M ^<i>_P</i> _Q+M <i>_C</i>^ _Q= ₁₈₀<i>_°</i>

Xét đường trịn (RBPM) có <i>R_{B M}</i>^ _=R^<i>_{P M}</i>
Xét đường trịn (O)có <i>R_{B M}</i>^ ₌ <i>_M_{C Q}</i>^
Do đó: <i>R_{P M=}</i>^ <i>_M_{C Q}</i>^ _¿❑

Ta có: <i>R_{P M}</i>^ ₊<i>_M_{P Q=}</i>^ <i>_M_{C Q+}</i>^ <i>_M_{P Q}</i>^ ₌₁₈₀<i>_°</i>
Vậy R,P,Q thẳng hàng.

3/Cho đường tròn (O)nội tiếp tam giác ABC. Các điểm D,E,F lần lượt là các tiếp điểm của
(O)với BC,CA,AB.Vẽ BB₁ OA tại <i>B</i>₁ , AA₁ OB tại <i>A</i>₁ .

Chứng minh rằng D, <i>B</i>₁<i>, A</i>₁<i>, E</i> thẳng hàng .
Gợi ý: (Hs tự vẽ hình)

Tứ giác AEA1O nội tiếp đường tròn. => _OAE❑ ₊_OA₁<i>_E</i>❑₌₉₀<i>_°</i>
Tứ giác AA1B1B nội tiếp đường tròn. => BAB❑ ₁=BA₁<i>B</i>

❑

1

Mà *BAB1 = *OAE => *BA1B1=*OAE

Ta có : *BA1B1 + *OA1E = 180o_{=> E,A1,B1 thẳng hàng.}
- Cứng minh tương tự có D,A1,B1 thẳng hàng

Do đó D,B1,A1,E thẳng hàng.

4/ Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD (AB<CD) nội tiếp trong đường tròn
tâm O. Gọi PQ là một dây cung vng góc với AB và CD. P thuộc cung AB, Q thuộc cung CD ( P
không trùng với A và B, Q không trùng với C và D)_. Gọi I và K lần lượt là giao điểm của PQ với
AB và CD. Gọi P1 là chân đường vng góc hạ từ P xuống đường thẳng AD, P2 là chân đường
vng góc hạ từ P xuống AC, Q1 là chân đường vng góc hạ từ Q xuống AD, Q2 là chân đường
vng góc hạ từ Q xuống AC.

a) Chứng minh QKQ2C, QKDQ1 ,PP2KC,AIQ2Q là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng Q1, K, Q2 thẳng hàng và P1 K, P2 thẳng hàng.

Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)

a) Hs tự làm

b) => *Q1KQ = *Q1DQ
=> *QKQ2 + *QKQ1 = 180o
=> Q1 , K, Q2 thẳng hàng.

- Tứ giác AP1PP2 nội tiếp => *PP2P1 = *P1AP
*PCK = *P1AP
=> *P1P2P = *PCK
=> *P1P2P + *PP2K = 180o

=> P1 , K, P2 thẳng hàng.

5/ Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C thuộc đường trịn ( B,C,O khơng thẳng hàng), các tiếp
tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến
với đường tròn tại M cắt AB ,AC theo thứ tự tại D,E . Gọi giao điểm của OD, OE với BC theo thứ
tự tại I,K. Chứng minh rằng : a) OBDK , DIKE là các tứ giác nội tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a) Hs tự làm

b) OBDK là tứ giác nội tiếp => *OBD = *OKD = 90o_{=> DK} _OE.
Tương tự : EI OD. Mà OM DE.

=> OM, DK, EI là các đường cao của <i>Δ</i>ODE => Đpcm

6/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tòn (O). Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.
Vẽ các đường thẳng Dx, Ey, Fz sao cho Dx // OA, Ey // OB, Fz // OC. Cứng minh rằng các đường
Dx, Ey, Fz đồng quy.

Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
Chứng minh CH // BM.
BH // MC.
=> BHCM là hình bình hành.

Mà D là trung điểm BC, do đó D là trung điểm HM.
Gọi N là trung điểm của OH.

Xét tam giác HMO . Dx // OM, D cũng là trung điểm của HM => Dx đi qua N
Tương tự : Ey đi qua N, Fz đi qua N

=> Các đường thẳng Dx, Ey, Fz đồng quy.

<b>III. Bài tập tham khảo</b>

1. Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn. Đường trịn tâm O đường kính BC cắt các cạnh
AB,AC theo thứ tự tại E,D.

a) CMR AD.AC=AE.AB

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của AH và BC. CMR AH vng góc với
BC

c) Từ A kẻ tiếp tuyến Am,AN đến đường tròn (O) với M,N là các tiếp điểm
CMR góc ANM bằng góc AKN

Gợi ý :

a) Chứng minh 2 tam giác ABD và ACE đồng dạng => tỉ lệ tương ứng => đpcm

b) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC => AH BC

c) - Chứng minh các điểm A,M,K,O,N cùng thuộc một đường tròn.

2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H v cắt đà ờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.

Chøng minh r»ng:

a) Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .

b) Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

Gợi ý :

a) XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:

 CEH = 900 _{( Vì BE là đờng cao)}

 CDH = 900 _{( Vì AD là đờng cao)}
=>  CEH +  CDH = 1800

Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
b) BE là đờng cao => BE  AC => BEC = 900_.

CF là đờng cao => CF  AB => BFC = 900_{. => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính}
BC.

Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng trũn.

c)Xét hai tam giác AEH và ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900_{; ¢ lµ gãc chung}
=>  AEH ADC => AE

AD=
AH

AC => AE.AC = AH.AD.

* XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900_;__{C lµ gãc chung}
=>  BEC ADC => BE

AD=
BC

AC => AD.BC = BE.AC

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a) Chøng minh AC + BD = CD.
b) Chøng minh COD = 900

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính CD.
d) Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Gợi ý :

a) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia
phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 900
c) Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD

có IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình
thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của
hình thang ACDB

 _{IO // AC , mà AC}__{AB => IO}__{AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng trịn đờng}
kính CD d) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra
chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD
nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vng góc với Ax và
By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.

4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là
đ-ờng kính của đđ-ờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đđ-ờng tròn tại D cắt CA ở E.

a) Chứng minh tam giác BEC cân.

b) Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
c)Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).

d)Chøng minh BE = BH + DE.
Gợi ý :

a)  AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2).

Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của BEC => BEC là tam giác
cân. => B1 = B2

b) Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 =>  AHB = AIB => AI =
AH.

c) AI = AH và BE AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
d) DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

5. Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng trịn ( M khác A,B). Trên nửa
mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc
IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

a)) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) Chøng minh r»ng: AI2_{= IM}<b>_.</b>_IB.

c) Chứng minh BAF là tam giác cân.

d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
Gợi ý :

a) Ta có : AMB = 900_{( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )}
=> KMF = 900_{(vì là hai góc kề bù).}

AEB = 900_{( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )}
=> KEF = 900_{(vì là hai góc kề bù).}

=> KMF + KEF = 1800_{. Mà}__{KMF và}__{KEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó}
EFMK là tứ giác nội tiếp.

b)Ta có IAB = 900_{( vì AI là tiếp tuyến ) =>}__{AIB vng tại A có AM}__{IB ( theo trên).}
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => AI2_{= IM}<b>_.</b>_IB.

c)Theo giả thiết AE là tia phân gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (<i>lÝ do</i>
<i>)</i>

<i>……</i>

=> ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF.
(1)

Theo trên ta có AEB = 900_{=> BE}__{AF hay BE là đờng cao của tam giác ABF (2).}
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .

d)BAF là tam giác cân. tại B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là
trung điểm của AF. (3)

Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác

HAK (5)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vng góc với nhau tại trung điểm
của mỗi đờng).

6. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M khơng trùng B. C, H
) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với các cạnh AB. AC.

a)Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
b)Chứng minh rằng MP + MQ = AH.

c)Chøng minh OH  PQ.
Gợi ý :

a) Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900_{; MQ}__{AC (gt)}

=> AQM = 900_{nh vậy P và Q cùng nhìn BC dới một góc bằng 90}0_{nên P và Q cùng nằm trên đờng trịn}
đờng kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp.

* Vì AM là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
APMQ là trung điểm của AM.

b) Ta cã SABM + SACM = SABC =>
1

2_{AB.MP +}
1

2_{AC.MQ =}
1

2_{BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH}
Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH

c) Tam giác ABC có AH là đờng cao nên cũng là đờng phân giác => HAP = HAQ => <i>HP HQ</i>
( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam
giác POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đờng cao => OH  PQ

7. Cho ABC là tam giác đều cạnh bằng 1.Trên AC lấy các điểm D, E sao cho góc ABD bằng góc
CBE và bằng 20o_{.Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BN = BM.}
Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và BEN.

Gọi ý :

* Vẽ BH vng góc với AC tại H. => HA = HC
* Ta có góc DBE = 20o

* chứng minh 2 tam giác BAD và BCE bằng nhau. => BD = BE => tam giác BDE cân tại B
* Chứng minh 2 tam giác BMN và DBE đồng dạng.

=> SBMN = 1₄ SBDE

* Ta có : SBEN = 2 SBMN = ½ SBDE = SBEH

=> SBCE + SBEN = SBCE + SBEH = ½ SABC = ……….
<b>IV Bài tập tự luyện</b>

1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), xy là tiếp tuyến tại A của đường tròn. Một đường
thẳng song song với xy cắt Â, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.

2. Tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Đường trịn đường kính BC cawtsw AB,
AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

a) Chứng tỏ OD vng góc với BC

b) Gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC. Tính góc BIC

5. Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R). Kẻ đường cao BD, CE của
tam giác, hai đường này cắt nhau tại H. Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại M, N và cắt BC
tại K.

a) Chứng minh 2 góc AED và ACB bằng nhau.

b) Chứng minh AM = AN

c) Chứng minh KE.KD = KB.KC

d) Cho góc A bằng 60o_{. Tính diện tích tứ giác ADOE theo R}

6. Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R). Ba đường cao AD, BE, CF
cắt nhau tại H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC.

a) Chứng minh tứ giác ACKB nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AA’ của (O). Chứng minh AA’ vng góc với EF
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, I, A’ thẳng hàng
d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh S AHG = 2S AOG

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7></div>

<!--links-->