Chuyên đề tổng ba góc trong một tam giác

CHƯƠNG 2: TAM GIÁC
BÀI 1. TỔNG BA GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được các định lí tổng ba góc trong một tam giác.
+ Nhận biết được tam giác vng và nắm được tính chất về góc trong tam giác vng.
+ Nhận biết được góc ngồi của một tam giác và nắm được định lí về tính chất góc ngồi của tam
giác.
 Kĩ năng
+ Vận dụng các định lí trong bài để tính số đo các góc trong và ngoài tam giác.
+ Vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán trong thực tiễn.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí tổng ba góc của một tam giác
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o.

 C
  180
∆ABC có A  B
Áp dụng vào tam giác vuông
Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vng.

 C
  90 .
Định lý: Trong một tam giác vng, hai góc nhọn phụ nhau. Tam giác ABC vng tại A nên B
Khi đó, hai góc nhọn được gọi là phụ nhau.

 C

  90
∆ABC vuông tại A  B
Góc ngồi của tam giác
Định nghĩa: Góc ngồi của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
Tính chất: Mỗi góc ngồi của một tam giác bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó.


∆ABC có 
ACx là góc ngồi đỉnh C  
ACx  
A B
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
∆ABC, 
A  90

 C
  90
B
∆ABC ln có

A  B
 C
  180
∆ABC có 
ACx là góc ngồi tại C



ACx  
A B

Trang 2


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính số đo của một góc, so sánh các góc
Phương pháp giải
1. Sử dụng định lí tổng ba góc trong một tam Ví dụ: Tính số đo x, y trong các hình vẽ sau:
giác và các định lý về góc khác.
2. Lưu ý cách giải của một số dạng toán quen
thuộc như tổng - hiệu, tổng - tỷ, tính chất của tỷ
lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau.

Hướng dẫn giải
a) Áp dụng định lí về tổng ba góc của một tam
giác.

 C
  180
a) Xét ∆ABC có A  B

  180
65  60  C
  180  65  60  55
C

b) Áp dụng định lí về góc ngồi của tam giác.

b) Xét ∆ABC có y là góc ngồi tại đỉnh C.

  85  55  140 .
Suy ra y  
A B
  180 (hai góc kề bù).
Lại có x  B
  180  55  125 .
Suy ra x  180  B
Ví dụ mẫu

 C
  20 .
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A  80 và B
a) Tính số đo các góc B, C của ∆ABC.
b) Gọi AD là tia phân giác của A . Tính số đo của 
ADB .
Hướng dẫn giải

 C
  180 .
a) Xét ∆ABC có A  B

 C
  100 .
Theo giả thiết A  80 nên B

 C
  20 (giả thiết).
Mặt khác B

Trang 3

  100  20  60 .
Suy ra: B
2

B
  20  60  20  40 .
C
1
  DAC
1
b) Do AD là tia phân giác góc A nên BAD
A  .80  40 .
2
2

  ACD
  40  40  80
Xét ∆ACD có 
ADB là góc ngồi đỉnh D nên 
ADB  DAC

  20, C
  40 .
Ví dụ 2. Cho ∆ABC có B
a) Tam giác ABC là tam giác gì?

  2.BAD
.

b) Gọi AD là tia nằm giữa hai tia AB và AC . Biết CAD

.
Tính số đo của CDA
Hướng dẫn giải

 C
  180
a) Xét ∆ABC có A  B





 C
  180   20  40   120 .

A  180  B
Do A  90 nên tam giác ABC là tam giác có một góc tù.

  2.BAD

b) Theo giả thiết, ta có CAD


 1

 1
BAD
BAD

1
BAD
1
1
 


  BAD
A  .120  40 .




3
3
3
CAD 2
BAD  CAD 1  2
A


Xét ∆ADB có 
ADC là góc ngồi đỉnh D nên 
ADC  BAD
ABD  
ADC  40  20  60 .
Bài tập tự luyện dạng 1

  45 . Góc C có số đo bằng
Câu 1: Tam giác ABC có số đo A  75, B

  90 .
A. C

  60 .
B. C

  45 .
C. C

  75 .
D. C

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Kết luận nào sau đây là sai?
A. 
ABC  90 .

  90 .
B. A  C

 C
  90 .
C. B

  90  A .
D. C

  80 . Biết N
P
  40 . Số đo của N

 bằng
Câu 3: Cho tam giác MNP có M

  75 .
A. N

  45 .
B. N

  70 .
C. N

  60 .
D. N

Câu 4: Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Một tam giác chỉ có tối đa hai góc nhọn.
B. Một tam giác chỉ có nhiều nhất một góc tù.
Trang 4


C. Trong một tam giác, có ít nhất hai góc có số đo nhỏ hơn 60°.
D. Trong một tam giác, số đo của mỗi góc ln nhỏ hơn tổng số đo các góc cịn lại.

  2.C
 . Số đo của góc C bằng
Câu 5: Cho tam giác ABC có A  75 và B
  70 .
A. C

  35 .
B. C

  40 .
C. C

  50 .
D. C

Câu 6: Cho tam giác ABC có A  75 . Biết góc B có số đo lớn hơn số đo góc C là 15o.
a) Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC.
b) Gọi BD là tia phân giác của 
ABC với D  AC . Tính số đo của 
ADB .
Câu 7: Cho tam giác ABC có AD, BE lần lượt là tia phân giác trong các góc A, B  D  BC ; E  CA  .

  30 . Tính số đo các góc A, B, C của tam giác ABC.
Biết AD cắt BE tại K và 
AKB  110, KAC
Câu 8: Cho tam giác ABC. Tính số đo các góc còn lại của tam giác biết

  32 .
A. A  96 và C

 :C
  2 : 7 :1 .
B. A : B

  75 và A : C
  3:2

C. B
Dạng 2: Các bài tốn chứng minh góc
Phương pháp giải
Sử dụng linh hoạt các tính chất về góc của một tam Ví dụ: Cho tam giác MNP. Các đường phân giác
giác, góc ngồi tại một đỉnh hay tính chất tia phân trong các góc M, P cắt nhau tại I.
giác của góc.


  90  MNP
Chứng minh rằng: MIP
2

Hướng dẫn giải

Bước 1. Áp dụng tính chất tổng ba góc trong tam

  IMP
  IPM
  180
Xét ∆MIP có MIP



  180  IMP
  IPM

 MIP

giác, tính góc trong u cầu của bài tốn.



Lại có:
Bước 2. Kết hợp tính chất đường phân giác để
chứng minh hệ thức.

 ).
  1 NMP
 (do MI là phân giác của NMP
IMP
2

  1 NPM
 (do PI là phân giác của NPM
 ).
IPM
2

Trang 5






  180  1 . NMP
  NPM
 . (1)
Suy ra MIP
2

Mặt khác, xét ∆MNP có

  NMP
  NPM
  180
MNP
  NPM
  180  MNP
 (2)
 NMP
Thế (2) vào (1), ta được



  180  1 . 180  MNP

MIP
2



  180  90  1 .MNP

 MIP
2


  90  MNP (điều phải chứng minh)
 MIP
2

Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC vng tại A và AH  BC  H  BC  .

  BCA
.
a) Chứng minh BAH
 cắt CH tại K. Chứng minh 

b) Tia phân giác của CAH
AKB  BAK
Hướng dẫn giải

  90  
a) Xét ∆ABC có BAC
ABC  
ACB  90 .
  90 .
Xét ∆ABH có 
AHB  90  
ABH  BAH

   90 
Suy ra 
ABC  
ACB  
ABH  BAH

 (điều phải chứng minh).

ACB  BAH

  KAH
  1 CAH
.
 nên CAK
b) Ta có AK là tia phân giác của CAH
2
 (chứng minh câu a) nên suy ra
Mà 
ACB  BAH

  BAH
  KAH

ACB  CAK
  BAK
 (1).

ACB  CAK
Mặt khác 
AKB là góc ngồi đỉnh K của ∆AKC nên
Trang 6



 hay 
 (2)
AKB  
ACK  CAK
AKB  
ACB  CAK

 (điều phải chứng minh)
Từ (1) và (2) ta có 
AKB  BAK

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH vng góc với BC  H  BC  . Các tia phân giác góc ABC
và góc HAC cắt nhau tại I. Chứng minh rằng 
AIB  90 .
Câu 2: Cho tam giác ABC có BD , CE lần lượt là tia phân giác các góc B, C. Gọi I là giao điểm của BD
và CE.

  90  A .
a) Chứng minh rằng BIC
2

  60 . Tính số đo của BIE
.
b) Biết BAC
 biết số đo góc BAC
 là trung bình cộng của hai góc 
c) Tính số đo của BIC
ABC , 
ACB .

  BCA
.
Câu 3: Cho tam giác ABC và đường cao AH  H  BC  . Biết rằng BAH
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.

, 

b) Biết rằng số đo góc 
ABC bằng trung bình cộng của hai góc BAC
ACB . Tính số đo các góc của tam
giác ABC.

Trang 7


ĐÁP ÁN
Dạng 1. Tính số đo của một góc, so sánh các góc
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1-B

2-C

3-C

4-B

5-B





 C
  180  C
  180  
  180   75  45   60 .
Câu 1: Xét ∆ABC có A  B

A B
  90 (A đúng); A  C
  90 (B và D đúng).
Câu 2: Vì tam giác ABC vuông tại B nên B

 C
  90 sai vì B
  90 nên B
 C
  90 .
C. B
N
P
  180  N
P
  180  M
  180  80  100 .
Câu 3: Xét ∆MNP có M
  100  40  70 .
P
  40 . Suy ra N
Mặt khác N
2
Câu 4:
A. Sai vì ln tồn tại tam giác có ba góc nhọn. Ví dụ tam giác có ba góc bằng 60°.
B. Đúng. Giả sử tam giác có nhiều hơn 1 góc tù. Khi đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180° (mâu
thuẫn với định lí tổng 3 góc trong tam giác).Vậy trong tam giác có nhiều nhất một góc tù.

 C
  180 (mâu thuẫn

  60, C
  60 . Khi đó A  B
C. Sai. Thật vậy xét tam giác ABC có A  60, B
với định lí tổng 3 góc trong tam giác).

 C

D. Sai. Thậy vậy, xét ∆ABC có 
A tù. Khi đó góc ngồi A1 tại A là góc nhọn. Ta có A  B
A1 (mâu
thuẫn vì góc tù ln lớn hơn góc nhọn).

 C
  180  B
 C
  180  
Câu 5: ∆ABC có A  B
A  180  75  105 .
  2.C
 nên 2C
 C
  105  3C
  105  C
  35 .
Mặt khác B
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 6:

 C
  180  B

 C
  180  
a) Xét ∆ABC có A  B
A  180  75  105 .
 C
  15 (giả thiết) nên B
  105  15  60, C
  105  60  45 .
Mà B
2
1
1
b) Do BD là tia phân giác góc ABC nên 
ABD  DBC
ABC  .60  30 .
2
2

  DCB
  30  45  75 .
Xét ∆BCD có 
ADB là góc ngồi đỉnh D nên 
ADB  DBC
Trang 8


Câu 7:

  30
Ta có KAC

 nên KAB
  KAC
  30 và BAC
  2.KAC
  2.30  60 .
Do AK là phân giác của BAC
  KBA

  110  180  KBA
  180   30  110   40
Xét ∆ABK có KAB
AKB  180  30  KBA
Mà BK là phân giác của 
ABC nên 
ABC  2.
ABK  2.40  80 .
 C
  180  60  80  C
  180  C
  180   60  80   40 .
Xét ∆ABC có A  B

  80, C
  40 .
Vậy ∆ABC có A  60, B
 C
  180 .
Câu 8: Xét ∆ABC có A  B





  180  
  180   96  32   52 .
  32 nên B
a) Có A  96, C
AC
  
 :C
  2 : 7 :1  A  B  C .
b) Theo giả thiết A : B
2 7 1

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

A B
 C
 A  B
 C
 180
  

 18
2 7 1
2  7 1
10

  7.18  126; C

  1.18  18 .
Suy ra A  2.18  36; B
  75 nên ta có A  C
  180  75  105 .
c) Do B
 
  3:2  A  C .
Từ giả thiết 
A:C
3 2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

A C
 A  C
 105
 

 21
3 2
3 2
5

  2.21  42 .
Suy ra A  3.21  63; C

Dạng 2. Các bài tốn chứng minh góc
Câu 1:

Trang 9

Xét ∆ABC vng tại A có 
ABC  
ACB  90 . (1)


Xét ∆AHC vng tại H có HAC
ACH  90 . (2)

  ABC
.
Từ (1) và (2), ta có HAC
ACH  
ABC  
ACB   90   HAC

1
 ).
  1 HAC
 (do AI là phân giác của HAC
Lại có 
ABI  
ABC (do BI là phân giác của 
ABC ); HAI
2
2
1 

1

Suy ra 
ABI  HAI
ABC  HAC
 HAC (do HAC
ABC ).
2
2


  HAB
  HAC
  HAB
  BAC
  90 .
Xét ∆ABI có: 
ABI  IAB
ABI  IAH

Mà 
ABI  IAB
AIB  180 .





  180  90  90 (điều phải chứng minh).
Suy ra 
AIB  180  
ABI  IAB

Câu 2:

 ).
 ), ICA
  IBC
1B
 (do BI là tia phân giác B
  ICB
  1C
 (do CI là tia phân giác C
a) Ta có IBA
2
2
  IBC
  ICB
  180 .
Xét ∆IBC có BIC









  180  IBC
  ICB
  180   1 B
  1C

   180  1 B
 C
 (1)
Suy ra BIC


2
2
2


 C
  180  B
 C
  180  
Xét ∆ABC có A  B
A

(2)

Thế (2) vào (1) ta có:





1
1
  180  1 180  
BIC

A  180  90  A  90  A (điều phải chứng minh).
2
2
2

  90  1 BAC
  90  1 .60  120 .
b) Từ chứng minh câu a, ta có: BIC
2
2

  BIC
  180 (hai góc kề bù). Suy ra BIE
  180  BIC
  180  120  60 .
Mà ta có BIE
 có số đo là trung bình cộng số đo của 
c) Do BAC
ABC và 
ACB nên
Trang 10






 C
  2. 
1 

BAC
ABC  
ACB hay B
A
2
180
 C
  180 nên 3. 
Mà A  B
A  180  
A
 60 .
3

  90  A  90  60  120 .
Áp dụng chứng minh ở ý a ta có: BIC
2
2

Câu 3:

  HCA
  90
a) Xét ∆AHC vng tại H có HAC

(1)

  BCA
 hya HAB
  HCA


Theo giả thiết, ta có BAH
  HAB
  90  BAC
  90  AB  AC .
Theo (1), ta có: HAC
Vậy tam giác ABC vng tại A.

, 
b) Do số đo góc 
ABC bằng trung bình cộng của hai góc BAC
ACB nên ta có


 90  C

AC

.
ABC 

2
2

(2)

 C
  90  B
  90  C
 . (3)

Tam giác ABC vuông tại A nên B
Từ (2) và (3) ta có:


90  C
.
 90  C
2

  30 . Khi đó, ta có B
  90  C
  90  30  60 .
Giải phương trình ta tìm được C

  60; C
  30 .
Vậy ∆ABC có A  90; B

Trang 11