De thi HSG tinh Thanh Hoa 2010 2011

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (192.28 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Equation Chapter 1 Section 1SỞ

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HỐ

Đề chính thức

Số báo danh

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2010- 2011

Mơn thi: Tốn

Lớp: 12 THPT

Thời gian: 180 phút (

không kể thời gian giao đề

)

Ngày thi: 24/03/2011

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu I. (4,0 điểm).

Cho hàm số y x 3 (m1)x2 (4 m x2)  1 2m (m là tham số thực), có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m1.

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) có hai tiếp tuyến vng góc với nhau.

Câu II. (6,0 điểm).

1) Giải phương trình: cos 2xcos3x sinx cos 4xsin 6 .x

2) Giải bất phương trình: 6(x2  3x1) x4 x2  1 0 (x ).

3) Tìm số thực a để phương trình:9x 9 a3 cos(x x), chỉ có duy nhất một nghiệm thực

.Câu III. (2,0 điểm).Tính tích phân:





3
0

sin

.
sin 3 cos

x

I dx

x x









Câu IV. (6,0 điểm).

1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt
AM x, AN y. Tìm x y, để diện tích tồn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng :x y  5 0 và hai elíp

2 2

( ) : 1

25 16

x y

E  

2 2

2 2 2

( ) :E x y 1 (a b 0)

a b    có cùng tiêu điểm. Biết rằng ( )E2

đi qua điểm M thuộc đường thẳng . Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp ( )E2 có độ dài

trục lớn nhỏ nhất.

3) Trong khơng gian Oxyz,cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng

1 2

1 2 3 2

: 2 2 ( ); : 1 2 ( )

1 , ,

x t x s

y t t y s s

z t z s

   

 

 

         

    

 

 

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục O x, sao cho (P) cắt hai
đường thẳng 1, 2 lần lượt tại A, B thoả mãn AB1.

Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực a b c, , thoả mãn:

2 2 2 6

a b c

ab bc ca

   



  



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. 
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HỐ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 4 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 - 2011

MƠN THI: TỐN

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu Ý

Hướng dẫn chấm

Điêm
Câu I

4,0 đ

1)
2,0đ

Với m1,ta được hàm số y x 3 3x1.
Tập xác định: .

Giới hạn tại vô cực: xlim y, limx  y .

Sự biến thiên: y' 3 x2 3 0  x1.

0,5

' 0 ( ; 1) (1; ).

y   x      Hàm số đồng biến trên các khoảng
(  1) và (1;).

' 0 ( 1;1).

y   x  Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).
Điểm cực đại của đồ thị ( 1;3), điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).

0,5

Bảng biến thiên:

0,5

Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3).

Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng

0,5

2,0đ Ta có

2 2

' 3 2( 1) 4 ,

y  x  m x m là tam thức bậc hai của x.
y' có biệt số  ' 2m22m13.

Nếu  ' 0 thì y' 0, x, suy ra yêu cầu bài tốn khơng thoả mãn.

0,5

Nếu

1 3 3 1 3 3

' 0 ;

2 2

m    

     

 , thì y' 0 có hai nghiện x x1, 2 (x1x2).

Dấu của y':

0,5

Chọn x0( ; )x x1 2  y x'( ) 0.0  Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao

cho y x y x'( ). '( )0  1 pt:

2 2

3 2( 1) 4 0

'( )

x m x m

y x

     

(1) có

0,75

-2 -1

-1

1

3

2 x

y

O

x

y'

y

 



1 

1

3

0 

0 

x -

+

'

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

nghiệm . Pt (1) có:

2
1

3 1 3 3 1 3 3

' 2 2 13 0, ; .

'( ) 2 2

m m m

y x

   

         

 

Vậy giá trị cần tìm của m là

1 3 3 1 3 3
;

2 2

m    

 . 0,25

Câu II
6,0 đ

1)
2,0đ

PT ⇔(cos 2x −cos 4x)−sinx+(cos 3x −2sin 3x. cos 3x)=0
⇔(2 sinxsin 3x −sinx)−(2 sin 3xcos 3x −cos 3x)=0

0,5

⇔(2 sin3x −1)(sinx −cos 3x)=0 0,5
⇔

sin 3x=1
2

cos 3x=cos

(

π
2− x

)

x= π

18+k

2π

x=5π
18 +k

2π

x=π
8+k

π

x=−π
4+kπ

¿
¿
⇔¿
¿
¿
¿

(k ).

0,5

2)
2,0đ

Tập xác định: ..

BPT





2 2 2 2

6 2(x x 1) (x x 1) 6(x x 1)(x x 1) 0

           

0,5

2 2

1 6( 1)

12. 6 0

1 1

x x x x

   

   

    (vì x2   x 1 0,x)

0,5
Đặt:
2
2
6( 1)
1
x x
t
x x
 


  (t > 0), ta được2t2 t 6 0

3
0
2
t
  
. 0,5

BPT đã cho tương đương với

2
2

6( 1) 9 11 21 11 21

5 11 5 0 ; .

1 4 10 10

x x

x x x

x x

 

   

        

    0,5

3)
2,0đ

9x 9 a3 cos(x x) 3x 3 x a.cos( x) (2).

  

    

Nhận xét: Nếu x0 là nghiệm của (2) thì 2 x0 cũng là nghiệm của (2),

0,5
suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất là x0  2 x0  x0 1.

Với x0 1, thì từ (2) suy ra a6.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Với a6, thì phương trình (2) trở thành 3x 32x 6cos(x) (3).

Ta có VT(3) 6, VP(3) 6. Vậy

3 3 6

(3) 1.

6cos( ) 6

x x
x
x


  
   
 

Vậy a6.

1,0
Câu
III
2,0đ
Ta có:
1 3

sin (sin 3 cos ) (cos 3 sin )

4 4

x x x  x x

1 3

(sin 3 cos ) (sin 3 cos )'.

4 x x 4 x x

   
0,5
Suy ra
2 2
2 3
0 0

1 1 3 (sin 3 cos )'

4 (sin 3 cos ) 4 (sin 3 cos )

x x

I dx dx

x x x x

 

 
 



2 2
2 2
0 0

1 1 3

16 8(sin 3 cos )

cos
6
dx
x x
x
 

 

 

 
 



0,25
0,75
2
0
1 3
tan

16 x 6 12




 

    

 

3 3 3

12 12 6

  
0,5
Câu
IV
6,0đ
1)
2,0đ

Kẻ DH MN , do (DMN) (ABC) suy ra DH (ABC).

Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. 0,5
Ta có: SAMN =

2 .AM.AN.sin600 =

√

4 xy ; SAMN = SAMH + SANH

= 12 .AM.AH.sin300+ 1

2 .AN.AH.sin300 =
1
4.

√

3 (x+y).

Suy ra

√

4 xy =
1
4.

√

3 (x+y) ⇒ x+y= 3xy (0 x,y 1 ).

0,5

Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:

S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN

= 12 AD.AM.sin600+ 1

2 AD.AN.sin600

+ 12 DH.MN + 12 AM.AN.sin600.

√

3 xy +

√

3 xy(3 xy−1) .

Từ

2 4

3 2 .

3 9

xy x y   xy  xy   xy

Suy ra

3(4 2)

min ,

S  

khi

2
.
3
x y

0,5

0,5
2) Hai elíp có các tiêu điểm F1( 3;0), F2(3;0). 0,5

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2,0đ

Điểm M ( )E2  MF1MF2 2a. Vậy ( )E2 có độ dài trục lớn nhỏ nhất

khi và chỉ khi MF1MF2 nhỏ nhất.

0,5
Gọi N x y( ; ) là điểm đối xứng với F1 qua , suy ra N( 5;2).

Ta có: MF1MF2 NM MF 2 NF2 (không đổi).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M NF2 

0,5

Toạ độ điểm

4 3 0 5 17 8

: ; .

5 0 8 5 5

5
x

x y

M M

x y

y





  

   

  

   

    

  




0,5

3)
2,0đ

Giả sử đã xác định được (P) thỏa mãn ycbt.

1 (1 2 ;2 2 ; 1 ); 2 (3 2 ; 1 2 ; ).

A   A  t  t  t B   B  s   s s
Suy ra AB



2 2( s t ); 3 2(  s t ); 1 ( s t )





0,5

2 2

9( ) 22( ) 14 1 13

.
9
s t

AB s t s t

s t
 




       

  


0,5

Với s t  1 AB(0; 1;0) 



(P) có một vtpt n1 AB i;  (0;0;1)

  

,
suy ra ( ) :P z 0 (loại do (P) chứa trục O x).

0,5

Với

13 8 1 4

; ;

9 9 9 9

s t   AB   

 



,
suy ra ( )P có một vtpt 2

4 1

; (0; ; )

9 9
n AB i  
  

,
suy ra ( ) : 4P y z  8 0 (thỏa mãn bài toán).

0,5

Câu V
2,0đ

Từ giả thiết suy ra : a b c  0 0,25

Ta có: a b c, , là ba nghiệm thực của phương trình (x a x b x c )(  )(  ) 0

3 3 0 3 3 1 1

x x abc x x abc

         (3) 0,5

Từ đồ thị hàm số y x 3 3x1, suy ra pt (3) có ba nghiệm thực a b c, ,
khi và chỉ khi  1 abc   1 3 2abc2.

abc2, khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2.
abc2, khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2.

0,5

6 6 6 3( )2

P a b c  P abc

(a2 b2c a2)( 4b4c4  a b2 2  b c2 2 c a2 2)
.(a2 b2 c2 3)  3(a2b2c a b2)( 2 2 b c2 2c a2 2) 216 18.9 54   .

0,5

3( ) 54 max 66,

P abc   P khi có hai số bằng -1 và một số bằng 2,
hoặc hai số bằng 1 và một số bằng -2.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7></div>

De thi HSG tinh Thanh Hoa 2010 2011

Equation Chapter 1 Section 1SỞ

Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

<b> Năm học 2010- 2011</b>

<b> </b>

<b>Mơn thi: Tốn</b>

<b>Lớp: 12 THPT</b>

Thời gian: 180 phút (

<i>không kể thời gian giao đề</i>

)

Ngày thi: 24/03/2011

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).







HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 4 trang)

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH</b>

<b>NĂM HỌC 2010 - 2011</b>

<b>MƠN THI: TỐN </b>

<b>Hướng dẫn chấm</b>

-2 -1

-1

1

1

3

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>O</i>

<i>x</i>

<i>y'</i>

<i>y</i>

 

 





1



1



1

3

0



0





<i>x -</i>

<i>+</i>

'

(

)











√

√

√

√

√

√

√





Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về