Cau5TrongdethiDHlay10diem

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (220.13 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÂU V TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Câu V (1 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P3(x2y2z2) 2 xyz. Ta có:





3 ( ) 2( ) 2

3 9 2( ) 2

27 6 ( ) 2 ( 3)

P x y z xy yz zx xyz

xy yz zx xyz
x y z yz x

 

        

    

    

3 2

( )

27 6 (3 ) ( 3)

2
1

( 15 27 27)

y z

x x x



    

    

Xét hàm số f x( )x315x2 27x27 , với 0<x<3
,( ) 3 2 30 27 0 1

x

f x x x

x



     




Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7  x  y z 1.

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:

abcd

a4 b4 c4 abcd b4 c4 d4 abcd c4 d4 a4 abcd d4 a4 b4 abcd

1 1 1 1 1

   

           

a4b42a b (1); b2 2 4c42b c (2); c2 2 4 a42c a (3)2 2

 a4b4c4abc a b c(   ) a4b4c4abcd abc a b c d (    )

(4)

abc a b c d
a4 b4 c4 abcd

1 1

( )

 

  

    đpcm.

Câu V (1đ): Biết ( ; )x y là nghiệm của bất phương trình:5x25y2 5x15y 8 0. Hãy tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức F x 3y.

Thay x=F −3y vào bpt ta được: 50y2 30Fy5F2 5F 8 0

Vì bpt ln tồn tại y nên Δy≥0 ⇔ −25F2

+250F −400≥0 ⇔ 2≤ F ≤8
Vậy GTLN của F=x+3y là 8.

Câu V (1.0 điểm). Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh:

x y z xy yz zx

3 2 4  3 5

Áp dụng BĐT Cô–si:













1 3 5

; 3 ; 5

2 x y  xy 2 y z  xy 2 z x  xy  đpcm

Câu VIIa (1 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

3 3 3

4 4 4

3
(1 )(1 ) (1  )(1 ) (1  )(1 )

a b c

b c c a a b (4)

Câu VII.a: Áp dụng BĐT Cô–si ta có:

3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3

; ;

(1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4

     

        

     

a b c a b c a b c a b c

b c c a a b



3 3 3 3 33 3 3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 4 2 4 4

 

      

     

a b c a b c abc

b c c a a b

Dấu "=" xảy ra  a = b = c = 1.

Câu V (1 điểm) Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2+xy+y2

 3 .Chứng minh

rằng:

–4 3 3– x2– –xy 3y24 3 3

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 Nếu y = 0 thì B = x2  0  B  3
 Nếu y  0 thì đặt t =

x

y ta được B = A.

2 2 2

3 . 3

   



   

x xy y At t

x xy y t t

Xét phương trình:

2
2

3
1

 

 

t t m

t t  (m–1)t2 + (m+1)t + m + 3 = 0 (1)

(1) có nghiệm  m = 1 hoặc  = (m+1)2 – 4(m–1)(m+3)  0


3 4 3
3

 

 m 

3 4 3
3

 

Vì 0  A  3 nên –3–4 3 B  –3+4 3

Câu V (2.0 điểm). Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:

3 2 3 2 3 2 6

 

  

     

ab bc ca a b c

a b c b c a c a b Câu V: Sử dụng BĐT:

1 1 1 1 1 1 9

(   )    9   
 

 

x y z

x y z x y z x y z

Ta có:

1 1 1 1 1

3 2 ( ) ( ) 2 9 2

 

     

         

ab

ab ab

a b c a c b c b a c b c b

Tương tự đối với 2 biểu thức còn lại. Sau đó cộng vế với vế ta được:

3 2 3 2 3 2 9 2 6

      

 

       

          

ab bc ca a b c bc ca ca ab ab bc a b c

a b c b c a c a b a b b c a c

Câu V.(1 điểm) Chox y, là các số thực thỏa mãn x2y2 xy1.Tìm GTLN, GTNN của
6 6 2 2 2

F x y  x y  xy

Giải: Chox y, là các số thực thỏa mãn x2 y2  xy1.Tìm GTLN, GTNN của F x 6 y62x y2 2xy.

Ta có









2 2 3 2 2 2 2 2 2 2
F  x y  x y x y  x y  xy









3 2

2 xy 2 xy 2xy 1

   

Đặt xy t . Ta có f t

 

2t3 2t22t1





2 2 1 3 1

x y  xy  x y  xy

1
3
xy 

 





2 2 1 1

x y  xy  x y xy xy1

suy ra

1
;1
3

t

Câu V(1 điểm). Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mÃn a2009 + b2009 + c2009 = 3. Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa

biĨu thøc P = a4 + b4 + c4

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có
1+1+.. .+1

⏟

2005

+a2009+a2009+a2009+a2009≥2009.2009

√

a2009.a2009.a2009.a2009=2009 .a4(1)
T¬ng tù ta cã

1+1+.. .+1

⏟

2005

+b2009+b2009+b2009+b2009≥2009 .2009

√

b2009.b2009.b2009.b2009=2009.b4(2)
1+1+.. .+1

⏟

2005

+c2009+c2009+c2009+c2009≥2009.2009

√

c2009.c2009.c2009.c2009=2009 .c4(3)
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta c

6015+4(a2009+b2009+c2009)2009(a4+b4+c4)
60272009(a4+b4+c4)

T ú suy ra P=a4

+b4+c43

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

9 9 9 9 9 9

6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6

x y y z z x

P

x x y y y y z z z z x x

  

  

     

Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc :

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b b c c a

P

a ab b b bc c c ca a

  

  

     

3 3 2 2

2 2 ( ) 2 2

a b a ab b

a b

a ab b a ab b

  

 

    mà

2 2

1
3
a ab b
a ab b

 



  (Biến đổi tương đương)

2 2

( ) ( )

3
a ab b

a b a b

a ab b

 

   

 

Tương tự:

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1

( ); ( )

3 3

b c c a

b c c a

b bc c c ca a

 

   

   

( ) 2. 2

P a b c   abc 

(BĐT Côsi)
=> P2,P2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1
Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1

Câu IV. (1.0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Ta có

1 1 1

2 2

xy yz xz xyz

x y z

      

nên

1 1 1 1 1 ( 1)( 1)

1 1 y z 2 y z (1)

x y z y z yz

   

      

Tương tự ta có

1 1 1 1 1 ( 1)( 1)

1 1 x z 2 x z (2)

y x z x z xz

   

      

1 1 1 1 1 ( 1)( 1)

1 1 x y 2 x y (3)

y x y x y xy

   

      

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được

1
( 1)( 1)( 1)

8
x y z 

vậy Amax =

1 3

8 x  y z 2

V

(1
điểm)

Câu V (1 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ( với n  2), ta có: ln2n >

ln(n-1).ln(n+1)

 Với n = 2 thì BĐT cần chứng minh đúng

0.25

 Xét n > 2 khi đó ln(n – 1) > 0 BĐT tương đương với:

ln ln( 1)
ln( 1) ln

n n




 (1)

0.25

 Hàm số f(x) =

ln
ln( 1)

x

x , với x > 2 là hàm nghịch biến, nên với n >

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2 thì f(n) > f(n+1) 

ln ln( 1)
ln( 1) ln

n n




 . BĐT (1) được chứng

minh.

Câu V Câu V (1 điểm): Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5x 5y5z1 .Chứng

minh r ng : ằ

x y z

x y z y z x z x y

25 25 25

5 5  5 5  5 5 

   

x y z

5 5 5

 

: Đặt 5x a; 5y b; 5z c. Từ giả thiết ta có: a, b, c > 0 và ab bc ca abc  

BĐT 

 

  

  

2 2 2

a b c a b c

a bc b ca c ab (*)

Ta có: (*) 

 

  

  

3 3 3

2 2 2 4

a b c a b c

a abc b abc c abc


 

  

     

3 3 3

( )( ) ( )( ) ( )( ) 4

a b c a b c

a b a c b c b a c a c b

Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có:

 

  

 

3 3

( )( ) 8 8 4

a a b a c a

a b a c (1)

 

  

 

3 3

( )( ) 8 8 4

b b c b a b

b c b a ( 2)

 

  

 

3 3

( )( ) 8 8 4

c c a c b c

c a c b ( 3)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.

Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

x x x x

f x

x x

4 3 2

4 8 8 5

( )

2 2

   



 

Tập xác định: D = R .

Ta có: f x x x x x

( ) 2 2 2

2 2

    

  ( BĐT Cô–si).

Dấu "=" xảy ra  x2–2x  2 1 x1.

Vậy: min f(x) = 2 đạt được khi x = 1.

Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng:

a2 b 3 b2 a 3 2a 1 2b 1

4 4 2 2

       

      

       

       

Ta có: a b a a b a a a b a b

2 2 1 1 1 1

2 2 2 2

3 1

4 4

 

        

 

       

Tương tự: b a a b

2 1

2
3

    

. Ta sẽ chứng minh a b a b

1 2 1 (2 1

2 2 2

     

    

     

     

(*)

Thật vậy, (*)  a b ab a b ab a b

2 2 1 4 1

4 4

2 

       

 (a b )20.

Dấu "=" xảy ra  a b

1
2

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x , y , z thoả mãn x2+y2+z2=3 . Tìm giá

trị lớn nhất của biu thc A=xy+yz+zx+ 5
x+y+z .

Đặt t=x+y+z t2=3+2(xy+yz+zx)xy+yz+zx=t

3

2 .

Ta cã 0≤xy+yz+zx≤ x2+y2+z2=3 nªn 3≤t2≤9⇒√3≤t ≤3 vì t>0.

Khi ú A=t

23

2 +
5
t .

Xét hàm sè f(t)=t

2+
5

t −
3

2,√3≤t ≤3 .

Ta cã f '(t)=t −5

t2=
t3−5

t2 >0 v× t ≥√3 .

Suy ra f(t) đồng biến trên [√3,3] . Do đó f(t)≤ f(3)=14

3 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi t=3⇔x=y=z=1.

VËy GTLN cđa A lµ 14

3 , đạt đợc khi x=y=z=1.

Câu V (1 điểm) Cho ba số a, b, c sao cho

{

a , b , c>0

abc=1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = 1

a3(b+c)+

b3(a+c)+

c3(b+a)

Đặt x = 1

a, y=
1
b, z=

c . Khi đó:

A= x

1
y+

1
z

+ y

1
x+

1
z

+ z

1
y+

1
x

=¿ x3yz
y+z+

y3xz
z+x +

z3xy
x+y ≥

2 (*)

Do abc=1⇒xyz=1 nªn ta cã A= x

y+z+
y2

z+x+
z2

x+y (1)

Ta chứng minh bất đẳng thức a+b+c

a2

b+c+
b2

c+a+
c2

b+a. ThËt vËy.

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dơng ta có:

a2
b+c+

b+c
4 ≥ a ,

b2
c+a+

c+a
4 ≥ b ,

c2
a+b+

a+b
4 ≥ c .

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có :

a+b+c
2

a2

b+c+
b2

c+a+
c2

b+a.

Bạn đọc tự đánh giá dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

VËy A= x2

y+z+

y2

z+x+
z2

x+y≥

x+y+z

2 ≥

3
2

√xyz=3
2

DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z = 1. VËy minA = 3

2 khi a = b = c = 1 .

CâuV :( 1, 0 điểm). Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh bất đẳng thức sau :
3 2 3 2 3 2 2 2 2

2 y

2 x 2 z 1 1 1

x y + y z + z x x + y + z

CM bất đẳng thức 3 2 3 2 3 2 2 2 2

2 y

2 x 2 z 1 1 1

x y + y z + z x x + y + z với x > 0 ; y > 0 ; z > 0

+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x3 và y2 ta có :

3 2 3 2

3 2

2 x 1

x y 2 x y 2 xxy

x y xy

    

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tương tự : 3 2

2 y 1

y z yz , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y3 = z2

(2)

3 2

2 z 1

z x zx, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z3 = x2

(3)

+ Áp dụng BĐT(dễ CM ) ab bc ca a   2b2c2(dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c )

ta có : 2 2 2

1 1 1 1 1 1

xy + yz+ zx x + y + z , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z (4)

+ Từ (1), (2), (3) và (4) ta có BĐT cần C/minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z > 0

b/.Cho a, b, c>0; abc=1 . Ch ng minh r ng ư ă

3 3 3 3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4

a b c

b c  c a  a b 

      .

Ap d ng b t u â đăng th c côsi cho ba s , ta coư ô

 

  

 

3 1 1 3

(1 )(1 ) 8 8 4

a c b a

b c

 

  

 

3 1 1 3

(1 )(1 ) 8 8 4

b c a b

c a





 

  

 

    

3 1 1 3

(1 )(1 ) 8 8 4

3 1
(1)

4 2

c a b c

a b

VT a b c

D u b ng x y ra khi â ă a

1 1 1

8 8 8

a c b

a b c
abc

   

 



   



 

 .

V y â

3 3 3

(1) (1)

2 4 4

VT   VT  

pcm.

Câu 5: ( 1 điểm) Cho a b c, , là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
2

ab bc ca a b c

a b b c c a

 

  

   Hỏi dấu “=” xảy ra khi nào?
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a b c, , ta đợc:

 

2 1

2
2

2 2

2
2

2 3

2
2

ab ab ab ab

a b ab

a b ab a b

bc bc bc bc

b c bc

b c bc b c

ca ca ca ca

c a ca

c a ca c a

     

 

     

 

     

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2
1

2 2 2 2

ab bc ca ab bc ca

a b b c c a

ab bc ca a b b c c a

a b b c c a

ab bc ca a b c

dpcm
a b b c c a

 

  

  

 

       

    

 

    

  

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a b c  .

2). Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2+y2+z2≤xyz . Hãy tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức: P= x
x2+yz+

y
y2+zx+

z
z2+xy .

Vì x ; y ; z>0 , Áp dụng BĐT Cơsi ta có: P≤ x

√

x2yz+

y

√

y2zx+

z

√

z2xy =

¿1

(

√yz+
2

√zx+
2

√xy

)

(

y+

z+

x+

y

)

1
2

(

yz+zx+xy

xyz

)

≤
1
2

(

x2

+y2+z2

xyz

)

1
2

(

xyz
xyz

)

Dấu bằng xảy ra x=y=z=3 . Vy MaxP = 12

Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng

1 1 1

x y  y z z x

Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-abab

 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0

 3 3





1 1

a  b 1 ab a b c  

Tương tự ta có





3 3

1 1

c 1 bc a b c

b     





3 3

1 1

a 1 ca a b c

c     

Céng theo vÕ ta cã

1 1 1

x y   y z   z x  = 3 3

a  b 1+ 3 3
1
c 1

b   + 3 3

1
a 1

c  







1 1 1 1

a b c ab bc ca

 

 

 

   =









1
a b c  c a b  

DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log22x 1 log22 y 1 l go 22 z4

trong đó x, y, z là các số dương thoả mãn đièu kiện xyz = 8

Theo bất đẳng thức Minkowski: a12b12  a22b22  a32b32  (a1a2a3)2(b1b2b3)2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

3
1 2
1 2 3

a

a a

b b b

Ta có P  log (22 xyz) 4 2 = 5 ( vì xyz = 8)

Vậy minP = 5 khi và chỉ khi

2 2 2 2

log log log log ( ) 3

1 1 2 4 4

x y z xyz

    x y 48;z 2 2

   

Câu V (1 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

2
2 4 6
4
y
x
xy
x
y
P





Ta có 5 5

)
3
(
)
(
5

)
9
6
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2












y
x
y
x
y

x
y
x
y
xy
x
P
5



 MinP khi

0
3
0
0
3

2
2 y
y
x
y
x
y
x

2, Cho các số thực dơng a, b, c tho¶ m·n ab+bc+ca=abc . Chøng minh r»ng:

a4

+b4
ab(a3+b3)+

b4

+c4
bc(b3+c3)+

c4

+a4
ca(c3+a3)≥1

Tõ a4

+b4≥ a3b+ab3⇒2(a4+b4)≥ a4+a3b+b4+ab3=(a3+b3)(a+b) .

VËy a

+b4
ab(a3+b3) ≥

a+b
2ab=
1
2

(

1
a+
1
b

)

Tơng tự cho các bất đẳng thức còn lại, suy ra đpcm.

Câu V: ( 1,0 điểm)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn

[

−1

2;1

]

: 3

√

1− x2−2

√

x3+2x2+1=m ( m∈R ).

Đặt f x

 

3 1 x2  2 x32x21, suy ra f x

 

xác định và liên tục trênđoạn 1 12;

 


 
 .

 

'
2

2 3 2 2 3 2

3 3 4 3 3 4

1 2 1 1 2 1

x x x x

f x x

x x x x x x

 
 
     
       .
;
1 1
2

x  

   

  ta có 2 3 2

4 3 4 0 3 3 4 0

3 1 2 1

x

x x

x x x



       

   .

Vậy: f x'

 

 0 x0.
Bảng biến thiên:

 

' || ||

1 0 1

0
1
CÑ

3 3 22

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc 1 12;

 



 

 

3 3 22

m 

   

</div>

Cau5TrongdethiDHlay10diem

































 









⏟

√

⏟

√

⏟

√

<b>V</b>

{





 

 

 

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

























(

)

[

]

√

√

 

 

 

 

 

 

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về