dạy thêm toán 11 CÂU hỏi CHỨA đáp án 1d1 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (421.58 KB, 35 trang )
Dạng 1. Phương trình sinx=a
Dạng 1.1 Khơng có điều kiện nghiệm
Câu 1.
(ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình
A. x k 4 , k ��.
B. x k 2 , k ��.
sin
x
1
2
là
C. x k 2 , k ��. D.
x
k 2 , k ��
2
.
Lời giải
Phương trình tương đương
Câu 2.
sin
x
x
1 � k 2 � x k 4 , k ��
2
2 2
� �
sin �x � 1
� 3 � có nghiệm là
(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Phương trình
5
5
x k 2
x
k
x
k 2
x 2
3
6
6
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
� �
sin �x � 1 � x k 2 � x 5 k 2
� 3�
3 2
6
Câu 3.
k �� .
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình sin 2 x 1 .
k
x k 2
x k
x k 2
x
2
4
4
2 .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Ta có:
Câu 4.
sin 2 x 1 � 2 x
k 2 � x k
2
4
.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình 2sin x 3 0 .
A. x ��.
�
�3 �
x arcsin � � k 2
�
�2 �
�
k ��
�
�3 �
x arcsin � � k 2
�
�2 �
�
B.
.
�
�3 �
x arcsin � � k 2
�
�2 �
�
k ��
�
�3 �
x arcsin � � k 2
�
�2 �
�
C.
.
Ta có:
Câu 5.
2sin x 3 0 � sin x
D. x ��.
Lời giải
3
1
2
nên phương trình vơ nghiệm.
(THPT N LẠC - LẦN 4 - 2018) Phương trình sin x 1 có một nghiệm là
1
A. x .
B.
� x
x
2.
C.
Lời giải
k 2 k ��
2
.
x
2.
D.
x
3.
Ta có sin x 1
x
2 là một nghiệm của phương trình sin x 1 .
Do đó
Câu 6.
sin x
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình
�
x k
� 6
�
x � k 2
x k
x 5 k
6
�
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
3
2 có nghiệm là:
�
x k 2
� 3
�
x 2 k 2
3
�
D.
.
�
x k 2
3
3
sin x
��
�
2
x 2 k 2
� 3
, với k ��.
Ta có
Câu 7.
(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Tập nghiệm của phương trình
sin x sin 30�là
A.
B.
C.
D.
Câu 8.
S 30� k 2 | k �� � 150� k 2 | k ��
.
S �30� k 2 | k ��
.
S �30� k 360�| k ��
.
S 30� 360�| k �� � 150� 360�| k ��
.
Lời giải
x 30� k 360�
x 30� k 360�
�
�
��
�
x 180� 30� k 360� �
x 150� k 360� k �� .
Ta có sin x sin 30�� �
(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Nghiệm của phương trình sin x 1 là
k
k
k 2
k 2
A. 2
, k ��.
B. 2
, k ��.
C. 2
, k ��. D. 2
, k ��.
Lời giải
Ta có sin x 1
�x
k 2
2
, k ��.
� �
sin �x � 1
� 6�
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
Câu 9.
.
A.
x
k k ��
x k 2 k ��
3
6
. B.
.
2
C.
x
5
k 2 k ��
x
k 2 k ��
3
6
.D.
.
Lời giải
� �
sin �x � 1 � x k 2 � x k 2
k �� .
� 6�
6 2
3
Ta có
Câu 10. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 2sin x 1 0
có tập nghiệm là:
5
2
�
�
�
�
S � k 2 ;
k 2 , k �Z�
S � k 2 ;
k 2 , k �Z�
6
3
�6
�3
A.
.
B.
.
�
�
S � k 2 ; k 2 , k �Z�
6
�6
C.
.
�1
�
S � k 2 , k �Z�
�2
D.
.
Lời giải
�
x k 2
�
1
6
2sin x 1 0 � sin x � sin x sin � �
k �Z
5
2
6
�
x
k 2
�
6
�
Ta có:
.
Câu 11.
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương trình
2sin x 1 0 có nghiệm là:
�
x k 2
�
6
�
7
�
x
k 2
�
6
�
A.
�
x k 2
�
6
�
5
�
x
k 2
�
C. � 6
�
x k 2
�
6
�
7
�
x
k 2
�
6
�
B.
�
x k
�
6
�
7
�
x
k
�
6
D. �
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2sin x 1 0 � sin x
1
� �
sin �
�
2
�6�
�
x k 2
�
�
6
��
k ��
�x 7 k 2
� 6
Câu 12. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Phương trình 2sin x 3 0
có tập nghiệm là:
�
�
�
�
� k 2 , k ���
� k 2 , k ���
�
�
A. � 6
. B. � 3
.
3
5
�
�
k 2 , k ���
� k 2 ,
6
C. �6
.
2
�
�
k 2 , k ���
� k 2 ,
3
D. �3
.
Lời giải
�
x k 2
�
3
3
2sin x 3 0 � sin x
��
k �� .
2
2
�
x
k 2
�
� 3
2
�
�
S � k 2 ,
k 2 , k ���
3
�3
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 13.
(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm
biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm
M, N ?
A. 2sin2x 1.
B. 2cos2x 1.
C. 2sin x 1.
Lời giải
D. 2cos x 1.
Chọn C
1
Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vng góc với trục tung tại điểm 2
với đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng
giác cơ bản:
sin x
1
� 2sin x 1
2
⇒ Đáp án. C.
� �
� 3
sin �
2 x � sin �x
4�
�
� 4
Câu 14. Cho phương trình
phương trình trên.
7
A. 2 .
B. .
�
�
�. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; của
3
C. 2 .
Lời giải
4
D. 4 .
Chọn B
3
�
x k 2
2x x
k 2
�
�
� �
� 3 �
4
4
�
sin �
2 x � sin �x
�
2
�� �
�
3
4�
x k
�
� 4 � �
2x x
k 2
3
� 6
� 4
4
Ta có:
k �� .
k �� .
+ Xét x k 2
1
0 x � 0 k 2 � k 0
2
Do
. Vì k �� nên khơng có giá trị k .
+ Xét
Do
x
2
k
6
3 k �� .
0 x � 0
�Với
�Với
2
1
5
k
� k
6
3
4
4 . Vì k �� nên có hai giá trị k là: k 0; k 1 .
k 0�x
6.
k 1� x
5
6 .
0;
Do đó trên khoảng
phương trình đã cho có hai nghiệm
x
5
x
6 và
6 .
0;
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng
Câu 15.
5
là: 6 6
.
2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin 2 x m 5 0 có nghiệm?
A. 6.
B. 2.
C. 1.
D. 7.
Lời giải
Chọn B
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
sin 2 x
m2 5
3
�
2 2 �m � 2
m2 5
� 1;1 � m 2 � 2;8 � �
3
sin 2 x � 1;1
� 2 �m �2 2
Vì
nên
Vậy có 2 giá trị.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 3sin x + m - 1 = 0 có nghiệm?
A. 7
B. 6
C. 3
D. 5
Lời giải
3sin x + m - 1 = 0
� sin x =
1- m
1- m
- 1�
�1
� - 2 �m �4
3 , để có nghiệm ta có
3
5
Nên có 7 giá trị nguyên từ - 2; đến 4 .
Câu 17.
(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos 2 x 0
A. 2 .
Ta có
Vì
trên
0; 2 .
B. 1 .
C. 4 .
Lời giải
D. 3 .
sin cos 2 x 0 � cos 2 x k k ��
cos 2 x � 1;1 � k 0 � cos 2 x 0 � 2 x
k1 � x k1
2
4
2
k1 �� .
x � 0; 2 � k1 � 0;1; 2;3 .
0; 2 .
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên
Câu 18.
� p�
3
sin �
3x + �
=�
�
�
�
3�
2 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
Phương trình
� p�
�
�
0; �
�
�
� 2�
�
?
A. 3 .
D. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
Lời giải
� p
p
�
3 x + =- + k 2p
� p�
�
�
�
�
3
p
p
� 3
3
sin �
3x + �
=� sin �
3x + �
= sin �
- �
��
( k ��)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 3� � p
p
3�
2
3�
3 x + = p + + k 2p
�
3
� 3
Ta có
2
2
�
x
k
�
9
3
��
k ��
2
�
x k
�
3
� 3
.
+) TH1:
x
2
2 � �
2
2
1
13
k
��
0; �� 0
k
� k
9
3 � 2�
9
3
2
3
12 . Do k ��� k = 1 .
Suy ra trường hợp này có nghiệm
+) TH2:
x
x
4
9 thỏa mãn.
2 � �
2
1
1
k
��
0; �� 0 k
� k
3
3 � 2�
3
3
2
2
4 . Do k ��� k = 0 . Suy ra
trường hợp này có nghiệm
x
3 thỏa mãn.
� p�
�
0; �
�
�
�
�
�
�
2
2
Vậy phương trình chỉ có nghiệm thuộc khoảng
.
6
Câu 19.
(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Số nghiêm của phương trình
2sin x 3 0 trên đoạn đoạn 0; 2 .
A. 3.
B. 1.
C. 4.
Lời giải
D. 2.
Chọn D
Tư luận
�
�
x k 2
x k 2
�
�
3
� �
3
3
2sin x 3 0 � sin x
� sin x sin � �� �
��
, k ��
2
2
�3 � �
�
x k 2
x
k 2
�
�
3
�
� 3
- Xét
x
k 2
3
0�
��
x 2��
0���k2���
2
3
Chỉ có một nghiệm
- Xét
x
x
3
k 2
1
6
5
6
k
k
0
� 0; 2
3
2
k 2
3
2
0�
��
x �
2��
0���k���
2 2
3
Chỉ có một nghiệm
x
2
3
k 2
4
3
1
3
k
2
3
k
0
2
� 0; 2
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn
Câu 20.
5
3
0; 2 .
(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình 2sin x 1 0
� 3
�
;10 �
�
�là:
trên đoạn � 2
A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
Lời giải
D. 21 .
�
x
k 2
�
6
��
7
1
�
x
k 2
sin x
�
6
�
2
Phương trình tương đương:
, ( k ��)
3
2
61
x k 2
� k 2 �10
�
ۣ
k
6
6
3
12 , k ��
+ Với
, k �� ta có 2
, k ��
�0 k 5 , k ��. Do đó phương trình có 6 nghiệm.
7
3 7
4
53
x
k 2
� k 2 �10
�
ۣ
k
6
6
3
12 , k ��
+ Với
, k �� ta có 2
, k ��
7
� 1 �k �4 , k ��. Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đơi một, vì nếu
7
2
k 2
k�
2 � k k �
��).
6
6
3 (vơ lí, do k , k �
� 3
�
;10 �
�
�.
Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn � 2
Câu 21.
� �
� 3 �
sin �
2 x � sin �x
�
4�
�
� 4 �có tổng các
(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Phương trình
nghiệm thuộc khoảng
7
A. 2 .
0;
bằng
3
C. 2 .
Lời giải
B. .
D. 4 .
3
�
2x x
k 2
�
x k 2
�
4
�� 4
�
�
2 k , l ��
� �
� 3 � �
�
sin �
2 x � sin �x
x l
2 x x l 2
� �
4�
3
� 6
4 4
�
� 4 �
Ta có
.
0; .
Họ nghiệm x k 2 khơng có nghiệm nào thuộc khoảng
x
2
2
l
� 0; � 0 l
� l � 0; 1
6
3
6
3
.
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng
các nghiệm thuộc khoảng
Câu 22.
0;
0;
là
x
5
x
6 và
6 . Từ đó suy ra tổng
của phương trình này bằng .
(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương
trình
A.
sin x
S
5
6 .
1
2 trên đoạn
� �
;
�
�2 2�
�.
B.
S
3.
C.
Lời giải
S
2.
D.
S
6.
�
x 2 k
�
1
6
sin x � �
5
2
�
x
2k
�
k �� .
� 6
Ta có:
� �
x ��
; �
x �S
� 2 2 �nên
6
6.
Vì
Câu 23. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Phương trình
3
� �
sin �
3x �
� 3 � 2 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
8
��
0; �
�
� 2 �?
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
Lời giải
D. 2 .
�
3 x k 2
�
3
3
��
3
4
� �
�
sin �
3x �
3x
k 2
k ��
�
3� 2
3
� 3
�
Ta có:
2
2
�
x
k
�
2
�
9
3
3x
k 2
��
�
�
3
2
�
�
x k
3x k 2
k �� �
k �� .
�
3
� 3
��
4
x ��
0; �
x
x
2
� �nên
3,
9 .
Vì
��
0; �
�
2 �.
�
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng
Câu 24.
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình 2sin x 3 0
. Tổng các nghiệm thuộc
0;
A. .
B. 3 .
của phương trình là:
2
C. 3 .
Lời giải
4
D. 3 .
�
x k 2
�
3
�
2
3
�
x
k 2
sin x
sin
2sin x 3 0 �
� 3
2
3 � �
.
0;
Các nghiệm của phương trình trong đoạn
Câu 25.
2
2
là 3 ; 3 nên có tổng là 3 3
.
(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình
sin 2 x
3
2 có hai cơng
� �
; �
�
k ��
k
2 2�
�
k
thức nghiệm dạng
,
với ,
thuộc khoảng
. Khi đó,
bằng
A. 2 .
2.
3.
C. .
D.
Lời giải
�
�
�
2
x
k
2
x
k
x
k
�
�
�
3
6
6
��
��
��
3
4
2
� � �
�
�
sin 2 x
sin �
� 2x
k 2
x
k
x k
�
�
�
2
3
3
� 3
�
� 3� �
Ta có:
.
Vậy
B.
6 và
3 . Khi đó
2.
9
Câu 26.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình
1
2 trên đoạn
5
S
6 .
A.
sin x
� �
;
�
�2 2�
�.
B.
S
3.
C.
Lời giải
S
2.
D.
S
6.
�
x 2k
�
1
6
sin x � �
5
2
�
x
2 k
�
k �� .
6
�
Ta có:
� �
x ��
; �
x �S
2
2
�
�nên
6
6.
Vì
Câu 27.
(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình 2sin x 1 0
được biểu diễn trên đường trịn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
A. Điểm D , điểm C .
C. Điểm C , điểm F .
B. Điểm E , điểm F .
D. Điểm E , điểm D .
Lời giải
�
x
k 2
�
1
6
sin x � �
7
2
�
x
k 2
�
6
�
2sin
x
1
0
�
Ta có
Với
k 0�x
7
x
6 hoặc
6 .
Điểm biểu diễn của
Câu 28.
k ��
x
7
x
6 là F , điểm biểu diễn
6 là E .
� �
sin �x � 1
� 4�
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
thuộc đoạn
A. 3 .
; 2
là:
B. 2 .
C. 0 .
Lời giải
10
D. 1 .
� �
sin �x � 1 � x k 2 � x k 2
4 2
4
� 4�
Ta có
, k ��.
Suy ra số nghiệm thuộc
Câu 29.
; 2
của phương trình là 1 .
(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Phương trình 2sin x 1 0 có bao nhiêu nghiệm
x � 0; 2
?
A. 2 nghiệm.
B. 1 nghiệm.
C. 4 nghiệm.
Lời giải
D. Vô số nghiệm.
�
x k 2
�
6
��
5
1
�
x
k 2
� sin x
k �Z .
�
6
�
2sin
x
1
0
2
Ta có:
Do
Câu 30.
x � 0; 2
nên ta có
x
5
;x
6
6 .
(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Phương trình sin 5 x sin x 0 có bao nhiêu nghiệm
thuộc đoạn
A. 20179 .
2018 ; 2018 ?
B. 20181 .
C. 16144 .
D. 16145 .
Lời giải
Ta có
�
xk
�
2
��
5 x x k 2
�
(*)
�
��
x k
� 6
5 x x k 2
3
sin 5 x sin x 0 � sin 5 x sin x
�
�
xk
�
2
�
5
��
x
m
� 6
�
�
x n
� 6
k ��
m ��
n ��
.
�
�
2018
�
k
�2018
�
�
4036 �k �4036
2
�
�
5
�
12113
12103
2018 � m �2018 � �
�m �
�
�
6
6
�
� 6
�
12107
� 12109
2018 � n �2018
�n �
�
�
x � 2018 ; 2018
6
6 .
� 6
Vì
nên �
Do đó có 8073 giá trị k , 4036 giá trị m , 4036 giá trị n , suy ra số nghiêm cần tìm là 16145 .
nghiệm.
11
� 5p �
�
0; �
�
2�
�
�
Câu 31. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn
của phương trình 2sin x - 1 = 0 là:
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
Lời giải
D. 2 .
Chọn A
� p
�=
x
+ k 2p
� 6
��
� 5p
1
p
x = + k 2p
sin x = � sin x = sin
�
( k ��) .
2
6
� 6
+ Phương trình tương đương
,
p
x = + k 2p ( k ��)
6
+ Với
,
.
� 5p �
1
7
x ��
0; � 0 �p + k 2p �5p
��k �
�
�
2
6
2 , k ��
12
6 , k ��� k �{ 0;1} .
� �nên
Vì
�p 13p�
�
x ��
�;
�
�6 6 �
�
�
Suy ra:
.
5p
x=
+ k 2p ( k ��)
6
+ Với
,
.
� 5p �
5
5
x ��
0; � 0 �5p + k 2p �5p
��k �
�
�
2
6
2 , k ��
12
6 , k ��� k = 0 .
� �nên
Vì
5p
x=
6 .
Suy ra:
�p 5p 13p�
�
x ��
�; ;
�
�
�.
�6 6 6 �
Do đó
Vậy số nghiệm của phương trình là 3 .
Câu 32.
(THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình 2 sin x 3 0 . Tổng
các nghiệm thuộc
4
A. 3 .
0;
của phương trình là:
C. 3 .
B. .
2
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
�
x k 2
�
3
�
2
3
�
x
k 2
sin x
sin
�
2sin x 3 0 �
2
3 � � 3
.
Các nghiệm của phương trình trong đoạn
0;
12
2
2
là 3 ; 3 nên có tổng là 3 3
.
Câu 33.
(Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tính tổng S của các nghiệm của phương
trình
A.
sin x
S
6.
1
2 trên đoạn
� �
;
�
�2 2�
�.
B.
S
3.
C.
Lời giải
S
2.
D.
S
5
6 .
Chọn A
�
x 2k
�
1
6
sin x � �
5
2
�
x
2 k
�
� 6
Ta có:
k �� .
� �
x ��
; �
x �S
2
2
�
�nên
6
6.
Vì
Câu 34.
(Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương trình
� 3
�
;10 �
�
�là:
2sin x 1 0 trên đoạn � 2
A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
Lời giải
D. 21 .
Chọn A
�
x
k 2
�
6
��
7
1
�
x
k 2
sin x
�
� 6
2
Phương trình tương đương:
, ( k ��)
3
2
x k 2
� k 2 �10
ۣ
�
6
6
3
+ Với
, k �� ta có 2
, k ��
k
61
12 , k ��
�0 k
5 , k ��. Do đó phương trình có 6 nghiệm.
7
3 7
4
x
k 2
� k 2 �10
�
ۣ
6
6
3
+ Với
, k �� ta có 2
, k ��
� 1 �k �4 , k ��. Do đó, phương trình có 6 nghiệm.
k
53
12 , k ��
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đơi một, vì nếu
7
2
k 2
k�
2 � k k �
��).
6
6
3 (vơ lí, do k , k �
� 3
�
;10 �
�
�.
Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn � 2
Câu 35.
(THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình:
� �
2sin �
2 x � 3 0
0;3 .
3�
�
có mấy nghiệm thuộc khoảng
A. 8 .
B. 6 .
C. 2 .
Lời giải
13
D. 4 .
Chọn B
�
2 x k 2
�
3 3
��
� � 3
� �
�
2sin �
2 x � 3 0 � 2sin �
2 x �
2 x k 2
�
3�
3� 2
3
� 3
�
�
Ta có
�
x k
�
3
��
, k ��
� 4 7 3 5 �
�
x �� ;
x k
x
�
0;3
nên �3 3 ; 3 ; 2 ; 2 ; 2 �.
� 2
. Vì
Dạng 2. Phương trình cosx=a
Dạng 2.1 Khơng có điều kiện nghiệm
Câu 36.
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình
� � 2
cos �x �
� 4 � 2 là:
x k 2
�
�
k �Z
�
x k
2
A. �
B.
x k
�
�
( k �Z )
�
x k 2
2
C. �
x k
�
�
(k �Z )
�
x k
�
2
x k 2
�
�
( k �Z )
�
x k 2
2
D. �
Lời giải
Chọn D
x k 2
�
� � 2
� �
� � �
cos �x �
� cos �x � cos � ��
(k �Z )
x k 2
� 4� 2
� 4�
�4 � �
�
2
Phương trình
.
Câu 37.
cos x =-
(THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Nghiệm của phương trình
2p
p
p
p
x = � + kp
x = � + k 2p
x = � + k 2p
x = � + k 2p
3
6
3
6
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
cos x =-
Ta có:
Câu 38.
1
2 là
�
1
2p �
2p
�
� cos x = cos �
� x = � + k 2p
�
�
�
�
�3 �
2
3
( k �Z)
.
(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giải phương trình cos x =1 .
kp
x=
2 , k ��.
A.
B. x = k p , k ��.
C.
x=
p
+ k 2p
2
, k ��. D. x = k 2p , k ��.
Lời giải
Chọn
D.
14
Ta có cos x = 1 � x = k 2p , k ��.
Câu 39.
(CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình
các nghiệm là:
2
x
k 2 k ��
x � k k ��
3
3
A.
B.
x � k 2 k ��
3
C.
D.
Lời giải
x
cos x cos
3 có tất cả
k 2 k ��
3
Chọn C
Phương trình
Câu 40.
cos x cos
� x � k 2 k ��
3
3
(KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos x 0 có nghiệm là:
x k k ��
x k 2 k ��
2
A.
.
B.
.
C.
x
k 2 k ��
2
.
D.
Lời giải
x k
k �� .
Chọn A
Theo công thức nghiệm đặc biệt thì
cos x 0 � x
k k ��
2
. Do đó Chọn
A.
Câu 41. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
� � 2
cos �x �
� 4 � 2 là
x k 2
�
�
k ��
�
x k
2
A. �
.
x k
�
�
k ��
�
x k 2
2
C. �
.
x k
�
�
k ��
�
x k
2
B. �
.
x k 2
�
�
k ��
�
x k 2
2
D. �
.
Lời giải
x k 2
�
� � 2
� �
� � �
cos �x �
� cos �x � cos � ��
k ��
x k 2
� 4� 2
� 4�
�4 � �
�
2
Phương trình
.
Câu 42.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
x k , k ��.
x
k
,
k
�
�
.
2
A.
B.
15
cos
x
0.
3
C.
x
3
3
k 6 , k ��.
x
k 3 , k ��.
2
2
D.
Lời giải
cos
Câu 43.
x
x
3
0 � k � x
3k
3
3 2
2
, k ��.
(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2 cos x 1 0
nghiệm là:
x � k 2
x � k 2
6
3
A.
, k ��.
B.
, k ��.
có
x � 2
x � k
6
3
C.
, k ��. D.
, k ��.
Lời giải
Phương trình 2 cos x 1 0
Câu 44.
� cos x
1
� x � k 2
2
3
, k ��.
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2 cos x 2 0 có tất cả các nghiệm là
� 3
x
k 2
�
4
, k ��
�
3
�
x
k 2
4
A. �
.
�
x k 2
�
4
, k ��
�
3
�
x
k 2
�
4
C.
.
�
x k 2
�
4
, k ��
�
�
x k 2
4
B. �
.
� 7
x
k 2
�
4
, k ��
�
7
�
x
k 2
�
4
D.
.
Lời giải
�
x k 2
�
�� 4
, k ��
2
�
x k 2
� cos x
�
4
2 cos x 2 0
2
.
Câu 45.
(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giải phương trình 2 cos x 1 0
�
x k 2
�
3
, k ��
�
2
�
x
k 2
x � k , k ��
�
3
A.
. B. � 3
.
�
x
�
�
�
x
x � k 2, k ��
�
3
C.
. D. �
k
3
, k ��
2
k
3
.
Lời giải
16
TXĐ: D �. Ta có 2 cos x 1 0
Câu 46.
� cos x
1
� x � k 2
2
3
, k ��.
(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cos x 1 là:
x k
2
A.
, k ��. B. x k 2 , k ��.
C. x k 2 , k ��. D. x k , k ��.
Lời giải
Phương trình cos x 1 � x k 2 , k ��.
Câu 47.
cos x
2
2 có tập nghiệm là
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Phương trình
�
�
�
�
�x � k 2 ; k ���
�x � k ; k ���
3
4
A. �
.
B. �
.
�
�
�x � k ; k ���
3
D. �
.
Lời giải
3
�
�
�x � k 2 ; k ���
4
C. �
.
cos x
2 � cos x cos �3 �
3
� �� x � k 2 , k ��
�4 �
2
4
.
3
�
�
S �x � k 2 ; k ���
4
�
Vậy tập nghiệm của phương trình là
.
Câu 48.
(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
cos x 0 � x k
2
A. cos x 1 � x k 2 .
B.
.
C. cos x 1 � x k 2 . D.
cos x 0 � x
k 2
2
.
Lời giải
Ta có: cos x 1 � x k 2
cos x 0 � x
k
2
cos x 1 � x k 2
Câu 49.
k �� .
k �� .
k �� .
(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình lượng giác:
2 cos x 2 0 có nghiệm là
�
� 3
x k 2
x
k 2
�
�
4
4
�
�
3
�
�
x k 2
x
k 2
4
4
A. �
.
B. �
.
17
�
x k 2
�
4
�
3
�
x
k 2
C. � 4
.
� 7
x
k 2
�
4
�
7
�
x
k 2
4
D. �
.
Lời giải
Phương trình tương đương với
cos x
2
3
3
cos
� x � k 2
2
4
4
Câu 50. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHỊNG - 2018) Tìm cơng thức nghiệm của phương trình
2 cos x 1
(với ��).
�
x k 2
�
3
�
k ��
2
�
x
k 2
�
3
A. �
.
�
x k 2
�
3
�
k ��
�
x k 2
�
3
C. �
B.
�
x k 2
�
k ��
3
�
x k 2
�
.
�
x k 2
�
3
�
k ��
�
x k 2
�
3
D. �
.
Lời giải
�
x k 2
�
3
��
k ��
1
�
x k 2
2 cos x 1 � cos x � x � k 2
�
3
�
2
3
.
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 51. (LỚP 11 THPT NGƠ QUYỀN HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham
số m để phương trình cos x m 0 vô nghiệm.
A.
m � �; 1 � 1; �
C.
m � 1; �
B. m �( �; 1] �[1; �)
D. m �( �; 1)
Lời giải
Chọn A
Do
cos x �1 x ��
,
nên phương trình: cos x m 0 � cos x m
có nghiệm khi
Câu 52.
m �1
và vơ nghiệm khi
m 1
.
� �
; �
�
2 2�
�
(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm thuộc khoảng
2
của phương trình 4sin 2 x 1 0 bằng:
.
A. .
B. 3
C. 0 .
Lời giải
18
.
D. 6
Ta có:
4sin 2 2 x 1 0 � 2 1 cos 4 x 1 0 � cos 4 x
1
� x� k
2
12
2
k ��
.
�
x1
�
12
�
�
x2
�
12
��
5
�
x3
12
�
�
� �
5
x � k �� ; � �
x4
12
2 � 2 2 � � 12 � x1 x2 x3 x4 0 .
Do
Câu 53.
� �
2cos �x � 1
� 3 � có
(CHUN TRẦN PHÚ HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình
0; 2
số nghiệm thuộc đoạn
là
A. 1
B. 2
C. 0
Lời giải
D. 3
Phương trình:
� �
� � 2
2cos �x � 1 � cos �x �
� 3�
� 3� 2
�
�
x k 2
x k 2
�
�
3 2
��
k �� � � 6
k ��
5
�
�
x k 2
x
k 2
�
�
2
6
� 3
�
Vì
Câu 54.
x � 0; 2
� 7 �
x �� ,
�
�6 6 . Vậy số nghiệm phương trình là 2
nên
(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Biết các nghiệm của phương trình
dạng
A. 4.
Chọn
x
cos 2 x
1
2 có
k
x k
m
n
và
, k ��; với m, n là các số nguyên dương. Khi đó m n bằng
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
D.
2
�
�
2x
k 2
x k
�
�
2
3
3
� cos 2 x cos
��
��
k ��
2
3
1
�
�
2x
k 2
x k
cos 2 x
�
�
3
3
�
�
2
� m n 33 6 .
� �
2cos �x � 1
� 3 � có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là
Câu 55. Phương trình
A. 1
B. 2
C. 0
19
D. 3
Lời giải
Chọn B
Phương trình:
� �
� � 2
2cos �x � 1 � cos �x �
� 3�
� 3� 2
�
�
x k 2
x k 2
�
�
3 2
��
k �� � � 6
k ��
5
�
�
x k 2
x
k 2
�
�
2
6
� 3
�
Vì
Câu 56.
x � 0; 2
� 7 �
x �� ,
�
�6 6 . Vậy số nghiệm phương trình là 2
nên
� �
cot �x � 3
� 3�
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình
có
dạng
A. 5 .
x
k
k
*
m n , k ��, m , n �� và n là phân số tối giản. Khi đó m n bằng
B. 3 .
C. 5 .
D. 3 .
Lời giải
� �
� �
cot �x � 3 � cot �x � cot � x k � x k
k �� .
6
� 3�
� 3�
3 6
6
Ta có
,
m6
�
�
n 1 � m n 5 .
Vậy �
Câu 57.
(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình 2 cos 2 x 1 0 trong đoạn
0;
là:
A. x .
B.
x
11
12 .
C.
Lời giải
x
2
3 .
D.
x
5
6 .
�
�
2
x
k
2
x k
�
�
3
6
��
��
1
�
�
2 x k 2
x k
� cos 2 x
�
�
3
6
2
Phương trình 2 cos 2 x 1 0
.
Xét x � 0;
1
5
�
�
0 � k �
�k �
�
�
6
6
6
��
��
1
7
�
�
0 � k �
�k �
�
�
6
6
6 mà k �� suy ra
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình 2 cos 2 x 1 0 trong đoạn
20
�
x
�
6
��
k 0
�
5
�
x
�
k
1
�
6 .
�
0;
là
x
5
6 .
Câu 58.
cos 2 x
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hai phương trình cos 3 x 1 0 (1);
các nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là
x k 2
3
A.
, k ��. B. x k 2 , k ��.
1
2 (2). Tập
2
x � k 2
x � k 2
3
3
C.
, k ��D.
, k ��.
Lời giải
2
3 , k ��.
Ta có cos 3 x 1 0 � cos 3 x 1
1
2
cos 2 x � 2 x � k 2 � x � k
2
3
3
, k ��.
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình (1)
� xk
2
x � k
3
đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là
, k ��.
Câu 59.
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của
một góc là nghiệm của phương trình
�2 �
� , , �
A. �3 6 6 .
cos 2 x
1
2.
� � �2 �
� , , �� , , �
B. �3 3 3 ; �3 6 6 .
� �
�, , �
D. �3 3 3 .
� � � �
� , , �� , , �
C. �3 3 3 ; �4 4 2 .
Lời giải
1
2
� 2 x � k 2 � x � k k ��
2
3
3
Ta có:
,
.
2
x
x
3 hoặc
3 thỏa mãn.
Do số đo một góc là nghiệm nên
� �
�2 �
� , , �
�, , �
Vậy tam giác có số đo ba góc là: �3 3 3 hoặc �3 6 6 .
cos 2 x
Câu 60.
(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
� 5 �
0;
2 cos x 3 trên đoạn �
� 2 �
�là
A. 2 .
B. 1 .
2 cos x 3
� cos x
C. 4 .
Lời giải
3
� x � k 2 , k ��
2
6
.
� 5 �
� 11 13 �
x ��
0; �
x �� ;
;
�
6 .
� 2 �và k �� nên
�6 6
Mà
21
D. 3 .
Câu 61.
cos x
(CTN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
1
2 thuộc đoạn 2 ; 2 là?
D. 1 .
Lời giải
�
x k 2
�
3
�
1
�
x k 2
cos x
3
�
2� �
Ta có
, k ��.
Xét
Xét
x
k 2
2 � k 2 �2
x
�
2
;
2
� k 1 ; k 0 .
3
3
, do
và k �� nên
x
k 2
2 � k 2 �2
x
�
2
;
2
� k 1; k 0 .
3
3
, do
và k �� nên
2 ; 2 .
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn
Câu 62. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Phương trình cos 2 x cos x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc
khoảng
A. 2 .
; ?
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
x k 2
�
�
cos 2 x cos x 0 � cos 2 x cos x �
2 k ��
�
x k
3
3
�
Ta có
�
x
�
3
x � �
�
x
�
� 3 .
Vì
Câu 63.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x cos x 0
trên khoảng
7
T
6 .
A.
0; 2
bằng T . Khi đó T có giá trị là:
B. T 2 .
T
C.
Lời giải
Ta có: cos 2 x cos x 0 � cos 2 x cos x
x k 2
�
�
2 x x k 2 �
�
k 2
k 2
�
��
x
� x
; k ��
2
x
x
k
2
3
�
�
3
.
Vì
x � 0; 2
nên
0
k 2
2
� 0 k 3.
3
22
4
3 .
D. T .
2
4
�x
x
k
�
1;
2
3 ;
3 .
Do k �� nên
Vậy
Câu 64.
T
2 4
2
3
3
.
(THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình
� 5 �
0;
2 cos x 3 trên đoạn �
� 2 �
�là
A. 2 .
C. 4 .
Lời giải
B. 1 .
D. 3 .
Chọn D
2 cos x 3
� cos x
3
� x � k 2 , k ��
2
6
.
� 5 �
� 11 13 �
x ��
0; �
x �� ;
;
�
6 .
� 2 �và k �� nên
�6 6
Mà
Dạng 3. Phương trình tanx=a
Dạng 2.1 Khơng có điều kiện nghiệm
Câu 65.
(THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
tan x m , m �� .
k �� .
A. x arctan m k hoặc x arctan m k ,
k �� .
B. x �arctan m k ,
k �� .
C. x arctan m k 2 ,
k �� .
D. x arctan m k ,
Lời giải
k �� .
Ta có: tan x m � x arctan m k ,
Câu 66. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Phương trình
�
�
� k 2 , k ���
A. �3
. B. �.
C.
tan x 3 có tập nghiệm là
�
�
�
�
� k , k ���
� k , k ���
�3
. D. �6
.
Lời giải
Ta có tan x 3
Câu 67.
� tan x tan
� x k
3
3
, k �Z .
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình tan 3 x tan x
là
k
k
x
, k ��.
x
, k ��.
x
k
,
k
��
x
k
2
,
k
��
.
2
6
A.
B.
.
C.
D.
23
Lời giải
Ta có
tan 3 x tan x � 3x x k � x
k
, k ��.
2
Trình bày lại
� k
x�
�
cos3x �0
�
� 6 3
�� �
�
cosx �0
�
�x � k
*
� 2
ĐK:
Ta có
tan 3 x tan x � 3 x x k � x
k
, k ��.
* suy ra x k , k ��
2
Kết hợp điều kiện
tan 3 x 15�
3 có các nghiệm là:
Câu 68. Phương trình
A. x 60� k180�.
B. x 75� k180�.
C. x 75� k 60�.
D. x 25� k 60�
.
Lời giải
Chọn D
tan 3 x 15�
3 � tan 3 x 15� tan 60�� 3x 15� 60� k180�
Ta có:
� x 25� k 60�
k �� .
Câu 69. Phương trình lượng giác: 3.tan x 3 0 có nghiệm là:
x k
x k 2
x k
3
3
6
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
D.
x
k
3
.
Chọn D
3.tan x 3 0 � tanx 3 � x
k .
3
2
Câu 70. Giải phương trình: tan x 3 có nghiệm là:
x k
x k
3
3
A.
.
B.
.
x � k
3
C.
.
Lời giải
D. vô nghiệm.
Chọn C
tan 2 x 3 � tanx � 3 � x � k , k ��
3
.
Câu 71. Nghiệm của phương trình 3 3 tan x 0 là:
x k
x k
6
2
A.
.
B.
.
C.
Lời giải
Chọn A
24
x
k
3
.
D.
x
k 2
2
.
3 3 tan x 0 � tan x
Câu 72.
3
� x k k ��
3
6
.
(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Giải phương trình
x k k ��
x k k ��
6
3
2
A.
. B.
.
C.
x
3 tan 2 x 3 0 .
k k ��
x k k ��
3
6
2
. D.
.
Lời giải
Chọn D
3 tan 2 x 3 0 � tan 2 x 3
� 2x
k � x k k ��
3
6
2
.
Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm
Câu 73.
Tính tổng các nghiệm trong đoạn
171
.
55 .
B. 2
A.
0;30 của phương trình: tan x tan 3x (1)
C. 45 .
190
.
D. 2
Lời giải
Chọn C
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa
Khi đó, phương trình (1)
�
x � k
�
cos
x
�
0
�
� 2
��
*
�
cos 3x �0
�
�x � k
� 6 3
3 x x k � x
k
2 so sánh với đk (*)
x k 2
�
, x � 0;30 � k 0;...; 4 � x � 0; ; 2 ;....;9
�
x k 2
�
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn
0;30 của phương trình (1) là: 45 .
Câu 74. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương
nhỏ nhất?
� �
tan �x � 3
� 4�
A. tan 2 x 1 .
B.
. C. cot x 0 .
D. cot x 3 .
Lời giải
Chọn A
A.
tan 2 x 1 � tan 2 x tan
� 2 x k � x k k ��
4
4
8
2
.
25
