Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1.1 Không cần biết đổi
Câu 1.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Số vị trí biểu diễn các nghiệm của
2
phương trình 4cos x 4 cos x 3 0 trên đường tròn lượng giác là?
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
Lời giải
D. 4 .
3
�
cos x
L
�
2
��
1
�
cos x
N
2
�
2
Ta có 4cos x 4 cos x 3 0
.
Với
cos x
1
2
2
� cos x cos
x � k 2 k ��
.
2
3 �
3
Vậy số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác là 2 .
Câu 2.
3
0
4
có nghiệm là:
2
x � k 2
x � k
6
3
B.
.
C.
.
Lời giải
cos 2 2 x cos 2 x
Phương trình
x � k
6
A.
.
x � k
3
D.
.
Chọn A
cos 2 2 x cos 2 x
Ta có
bậc hai theo t là
3
0.
4
Đặt cos 2x t với điều kiện 1 �t �1, ta được phương trình
t2 t
*
Phương trình
có hai nghiệm
t1
3
0. *
4
1
3
1
t2
t1
2 và
2 nhưng chỉ có
2 thỏa mãn điều kiện.
Vậy ta có
cos 2x
Câu 3.
1
� �
� cos 2x cos � �� 2x � k 2 � x � k ,
k �� .
2
3
6
�3 �
2
Nghiệm của phương trình 2sin x – 5sin x – 3 0 là:
5
x k ; x k 2
x k 2 ; x
k 2
2
4
4
A.
.
B.
.
C.
x
7
k 2 ; x
k 2
6
6
.
D.
Lời giải
1
x
5
k 2 ; x
k 2
3
6
.
Chọn C
�
sin x 3 1 �
x k 2
�
6
��
k ��
1 ��
�
7
sin x
�
x
k 2
�
2
�
� 6
2sin 2 x – 5sin x – 3 0
.
sin 2 x – sin x 2 là:
Câu 4.
Nghiêm của phương trình
x k .
B.
x
k2
2
.
C.
x
k
2
.
D.
x
k2
2
.
A.
Lời giải
Chọn B
t �1
Đặt t sin x . Điều kiện
�
t 1 ( TM)
t2 t 2 � t2 t 2 0 � �
t 2 (L)
�
Phương trình trở thành:
t 1� sin x 1 � x
k2 (k �Z).
2
.
Với
2 cos 2 x 3cos x 1 0 là:
Câu 5.
Nghiệm của phương trình
x k 2 ; x � k 2
6
.
A.
x k 2 ; x k 2
2
6
.
C.
2
x k 2 ; x � k 2
3
B.
.
x k 2 ; x � k 2
3
D.
.
Lời giải
Chọn D
�cos x 1
x k 2
�
�
�
2 cos x 3cos x 1 0 �
k ��
1��
�
cos x
x � k 2
3
2
�
�
.
2
Ta có
Câu 6.
2
Nghiệm của phương trình 3cos x – 8cos x – 5 là:
2
x � k 2
2
C.
.
Lời giải
B. x k 2 .
A. x k 2 .
D. x k .
Chọn A
cos x 1
�
�
� 3cos x 8cos x 5 0 �
� x k 2 k ��
5
�
cos
x
1
3
�
3cos2 x – 8cos x – 5
.
2
Câu 7.
[Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nghiệm của phương trình
sin 2 x 4sin x 3 0 là
A. x k 2 , k ��
B.
C. x k 2 , k ��. D.
x
x
k 2 , k ��
2
.
k 2 , k ��
2
.
Lời giải
Chọn D
sin x 1
�
��
sin x 3 .
sin 2 x 4sin x 3 0
�
Với sin x 1
� x
k 2 , k ��
2
.
Với sin x 3 phương trình vơ nghiệm.
Câu 8.
2
Nghiệm của phương trình lượng giác sin x 2sin x 0 có nghiệm là:
x k
x k 2
2
2
A. x k 2 .
B. x k .
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
sin x 0
�
sin 2 x 2sin x 0 � sin x sin x 2 0 � �
.
sin
x
2
�
Ta có
Vì 1 �sin x �1 nên chỉ có sin x 0 thỏa mãn. Vậy ta có
sin x 0 � x k , k �� .
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai
Câu 9.
(THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình
� � � �3
sin 4 x cos4 x cos �x �
�
sin �
3x � 0
� 4� � 4� 2
là
x k , k ��
x k 2 , k ��
3
3
A.
. B.
.
3
C.
x
k 2 , k ��
x k , k ��
4
4
. D.
Lời giải
Chọn D
Phương trình đã cho tương đương với
1
� 1 2 � �1
�3
1 sin 2 x � � sin 2 x sin 2 2 x � 0 � 1 sin 2 2 x 1 sin 2 x 1 0
�
2
� 2
� �2
�2
2
2
sin 2 x 1
�
��
sin 2 x 2(VN )
�
Với
Câu 10.
sin 2 x 1 � 2 x
k 2 � x k , k ��
2
4
.
(LỚP 11 THPT NGƠ QUYỀN HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình
2 cos 2 x cos x 1 0 . Khi đặt t cos x , ta được phương trình nào dưới đây?
2
A. 2t t 1 0
2
C. 4t t 3 0
Lời giải
B. t 1 0
2
D. 4t t 1 0
Chọn D
2 cos 2 x cos x 1 0 � 2 2 cos 2 x 1 cos x 1 0 � 4 cos 2 x cos x 1 0
2
Đặt t cos x , phương trình trở thành 4t t 1 0
Câu 11.
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019)
Phương trình cos 2 x 5sin x 4 0 có nghiệm là
k 2
A. 2
.
k
B. 2
.
C. k .
Lời giải
� k 2
D. 4
Chọn A
�
sin x 1 1
�
cos 2 x 5sin x 4 0 � 2sin x 5sin x 3 0 �
3
�
sin x 2
�
2
Ta có:
2
Phương trình (1) có nghiệm
x
k 2
2
Phương trình (2) vơ nghiệm.
Câu 12.
(THPT LÊ QUY ĐƠN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nghiệm của phương
trình cos 2 x 2sin x 3 ?
x � k , k �Z
2
A.
B.
.
x k 2, k �Z
x k 2, k �Z
2
2
C.
. D.
.
x
k , k �Z
2
.
Lời giải
4
Chọn A
2
+) Ta có cos 2 x 2sin x 3 � 1 2sin x 2 sin x 3
s inx 1
�
� sin 2 x sin x 2 0 � �
s inx 2 1 (VN)
�
+)
Câu 13.
s inx 1 � x
k 2, k �Z
2
(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình cos 2 x sin x 2 0 . Khi đặt
t sin x , ta được phương trình nào dưới đây.
2
A. 2t t 1 0 .
2
C. 2t t 3 0 .
Lời giải
B. t 1 0 .
2
D. 2t t 2 0 .
2
2
Ta có: cos 2 x sin x 2 0 � 1 2sin x sin x 2 0 � 2sin x sin x 3 0 .
2
Đặt t sin x ta được phương trình: 2t t 3 0 .
Câu 14.
2
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 3sin x 2 cos x 2 0 .
A.
x
k , k ��
2
.
C. x k 2 , k ��.
B. x k , k ��.
D.
x
k 2 , k ��
2
.
Lời giải
2
2
Ta có 3sin x 2 cos x 2 0 � 3cos x 2 cos x 5 0 � cos x 1 � x k 2 , k ��.
Câu 15.
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
tan x 3 cot x 3 1 0 là:
�
�
x k
x k
�
�
4
4
, k ��
, k ��
�
�
�
�
x k
x k
A. � 3
. B. � 6
.
�
x k 2
�
4
, k ��
�
�
x k 2
C. � 6
. D.
�
x k
�
4
, k ��
�
�
x k
� 6
.
Lời giải
sin x �0
�
۹۹�
sin 2 x
�
cos
x
�
0
�
ĐK
0
x
tan 2 x
Phương trình tương đương
.
k
,k
2
�
.
�
x k
�
tan
x
1
�
4
3 1 tan x 3 0 � �
��
, k ��
tan x 3
�
�
x k
� 3
5
Câu 16.
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình
� �
�
� 5
�
�
cos 2 �x � 4cos � x �
t cos � x �
� 3�
�6
� 2 . Khi đặt
�6
�, phương trình đã cho trở thành
phương trình nào dưới đây?
2
2
2
2
A. 4t 8t 5 0 .
B. 4t 8t 3 0 .
C. 4t 8t 3 0 .
D. 4t 8t 5 0 .
Lời giải
� �
�
� 5
� �
�
� 5
cos 2 �x � 4 cos � x � � 1 2sin 2 �x � 4 cos � x �
� 3�
�6
� 2
� 3�
�6
� 2
Ta có:
�
�
�
� 5
� 1 2 cos 2 � x � 4 cos � x �
�6
�
�6
� 2.
�
�
5
t cos � x �
1 2t 2 4t
t
�
1
�6
�,
2 � 4t 2 8t 3 0 .
Đặt
ta được phương trình:
Câu 17.
(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho phương trình: cos 2 x sin x 1 0
* .
1 �t �1
*
Bằng cách đặt t sin x
thì phương trình trở thành phương trình nào sau đây?
2
A. 2t t 0 .
2
B. t t 2 0 .
2
C. 2t t 2 0 .
Lời giải
2
D. t t 0 .
cos 2 x sin x 1 0 � 1 2sin 2 x sin x 1 0 � 2sin 2 x sin x 0 � 2t 2 t 0 .
Câu 18.
(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Giải phương trình cos2 x 5sin x 4 0 .
x k
x k
x k 2
2
2
2
A.
.
B.
.
C. x k 2 .
D.
.
Lời giải:
Ta có cos2 x 5sin x 4 0 � 1 2 sin x 5sin x 4 0
sin x 1
�
2
� 2sin x 5sin x 3 0 � �
3
�
sin x
�
2
2
Với
Với
sin x 1 � x
sin x
k 2, k ��
2
.
3
1
2
(vô nghiệm).
Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm
Câu 19. Nghiệm của phương trình 2 sin x – 3sin x 1 0 thỏa điều kiện:
x
x
x
2.
6.
4.
A.
B.
C.
2
Lời giải
Chọn B
6
0 �x
2.
D.
x
2.
�
x k 2
�
2
sin x 1
�
�
��
��
x k 2 k ��
1
� 6
�
sin x
� 5
�
2
�
x
k 2
� 6
2 sin 2 x – 3sin x 1 0
Vì
Câu 20.
0 �x
x
2 nên nghiệm của phương trình là
6.
(THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác
cos 2 x cos x 0 thỏa mãn điều kiện 0 x .
A. x .
Chọn
B.
x
4.
C.
Lời giải
x
2.
D. x 0 .
C.
�
cos x 0
x k
�
cos x cos x 0 � �
�� 2
�
cos x 1
�
x k 2
�
Ta có
x k
x
2
2.
Với
, do 0 x nên ta được
2
k �� .
Với x k 2 , do 0 x nên khơng có x nào thỏa mãn.
2
Câu 21. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin x 5sin x 3 0 là:
3
x
x
x
6.
2.
2 .
A.
B.
C.
Lời giải
D.
x
5
6 .
Chọn A
sin x 3
�
�
2sin x 5sin x 3 0 �
1
�
sin x
�
2
2
�
x k 2
�
1
6
� sin x � �
5
2
�
x
k 2
�
� 6
.
Câu 22.
(THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
0;10
2
của phương trình sin 2 x 3sin 2 x 2 0 .
105
105
297
A. 2 .
B. 4 .
C. 4 .
Lời giải
7
299
D. 4 .
Chọn A
sin 2 x 1
�
��
� x k
2
sin 2 x 2 (loa�
i) � sin 2 x 1
�
4
Ta có: sin 2 x 3sin 2 x 2 0
, k ��.
Theo đề bài:
0 �
1
k �10 ۣ
�
4
4
S
Vậy tổng các nghiệm là:
Câu 23.
(THPT
LÊ
VĂN
41
4 � k 1, 2,...,10 .
k
3 �3
�
�3
�
� � ... � 9 � 105
4 �4
�
�4
� 2 .
THỊNH
BẮC
NINH
NĂM
2018-2019)
cos 2 x 4sin x 5 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;10 ?
A. 5
B. 4
C. 2
Phương
trình
D. 3
Lời giải
Chọn A
sin x 1
�
��
� x k 2 , k ��
2
sin
x
3
pt
v
n
�
2
PT đã cho � 2sin x 4 sin x 6 0
.
1
21
x � 0;10 � 0 2 k 2 10 � 4 k 4
Theo đề:
.
k � 1; 2;3; 4;5
0;10 .
Vì k �� nên
. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng
Câu 24.
(CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình cos 2 x 2cos x 3 0 có bao
nhiêu nghiệm trong khoảng
A. 320 .
0; 2019 ?
B. 1009 .
C. 1010 .
Lời giải
D. 321 .
cos 2 x 2 cos x 3 0 � 2cos 2 x 2cos x 4 0 � cos x 1 hay cos x 2 (loại)
Với cos x 1 � x k 2 ;k ��.
Với 0 x 2019 � 0 k 2 2019 � 0 k 321.49 . Vậy có tổng cộng 321 nghiệm.
Câu 25.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Phương trình
cos 2 x 4sin x 5 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;10 ?
A. 5 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
sin x 1
�
��
� x k 2 , k ��
2
sin
x
3
VN
�
2
PT đã cho � 2sin x 4sin x 6 0
.
1
21
x � 0;10 � 0 2 k 2 10 � 4 k 4
Theo đề:
.
8
k � 1; 2;3; 4;5
0;10
Vì k �� nên
. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng
.
Câu 26.
(TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của phương trình
2 cos 2 x 5 sin 4 x cos 4 x 3 0
A.
S
11
6 .
trong khoảng
B. S 4 .
0; 2
.
C. S 5 .
Lời giải
D.
S
7
6 .
2 cos 2 x 5 sin 4 x cos 4 x 3 0 � 2cos 2 x 5 sin 2 x cos 2 x 3 0
Ta có:
� 2 cos 2 x 5 cos 2 x 3 0 � 2 cos 2 (2 x) 5cos 2 x 3 0 � cos 2 x
cos 2 x
Do đó:
Câu 27.
1
2.
1
� 5 7 11 �
� x � k k �� � x �� ; ; ;
�
2
6
�6 6 6 6 .
S
5 7 11
4 .
6 6
6
6
(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng
5
cos 2 x + cos x +1 = 0
2
là
A. 4.
B. 3.
( 0;3p) của phương trình
C. 1 .
Lời giải
�
1
�
cos x =5
cos x + cos x +1 = 0 � �
2
�
2
�
cos x =- 2
�
+ Ta có:
2
D. 2 .
( n)
( l)
.
� 2p
�=
x
+ k 2p
�
�
1
2
p
�
3
�
cos x =- � cos x = cos �
( k ��)
�
�
�� �
�
�3 �
2p
2
�
x =+ k 2p
�
3
�
Suy ra:
+ Với
�-
x=
2p
2p
+ k 2p
0 < + k 2p < 3p
x
�
0;3
p
(
)
3
3
, k ��. Vì
nên
, k ��
�2p 8p �
1
7
� x �� ; �
�
3
6 , k ��. Suy ra: k �{ 0;1}
�.
�3 3 �
+ Với
x =-
2p
2p
+ k 2p
0 <+ k 2p < 3p
x
�
0;3
p
(
)
3
3
, k ��. Vì
nên
, k ��
1
11
4p
�
�x=
3
6 , k ��. Suy ra: k = 1
3 .
�2p 4p 8p �
x �� ; ; �
�
�.
�3 3 3 �
Do đó
9
Vậy số nghiệm của phương trình là 3.
Câu 28.
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác
cos 2 x cos x 0 thỏa mãn điều kiện 0 x .
x
2.
A.
B. x 0 .
C. x .
Lời giải
�
cos x 0
x k
�
cos x cos x 0 � �
�� 2
�
cos x 1
�
x k 2
�
Ta có
D.
x
4.
2
Với
x
k �� .
k
x
2
2.
, do 0 x nên ta được
Với x k 2 , do 0 x nên khơng có x nào thỏa mãn.
Câu 29.
(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Phương trình cos 2 x cos x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc
khoảng
A. 1 .
; ?
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
x k 2
�
cos x 1
�
�
�
k ��
�
1 ��
�
x � k 2
cos x
2
3
�
�
2
Ta có: cos 2 x cos x 0 � 2 cos x cos x 1 0
Do
Câu 30.
x � ;
x�
3.
nên
(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
� 9 �
� 15 �
sin �2 x � 3cos �x
� 1 2sin x
x � 0;2
2 �
�
� 2 �
với
là:
A. 6 .
B. 5 .
C. 3 .
Lời giải
� 9 �
� 15 �
sin �2 x � 3cos �x
� 1 2sin x
2 �
�
� 2 �
� �
� �
� sin �
2 x � 3cos �x � 1 2sin x
2�
�
� 2�
� cos 2 x 3sin x 1 2sin x
�
�
x k
sin x 0
�
�
��
x k 2 k ��
1��
�
� 6
sin x
�
2
� 5
�
x
k 2
� 6
� 2sin 2 x sin x 0
10
D. 4 .
� 5 �
x�
0; ; ; �
x � 0; 2
6 6 . Vậy có 4 nghiệm.
�
Do
nên
Câu 31.
2
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Phương trình 4 tan x 5 tan x 1 0 có m nghiệm
� 2017 2017 �
;
�
�
2 �?
trong khoảng � 2
A. m 2017 .
B. 4032 .
C. m 4034 .
Lời giải
D. m 2018 .
�
tan x 1
x k
�
�
2
�
4 tan x 5 tan x 1 0 �
�� 4
1
�
1
tan x
�
x arctan k
�
4
k �� .
�
4
Ta có
� 2017 2017 �
x ��
;
k k ��
�
do � 2
2 �nên có. 1008 �k �1008 . nên có 2017
4
Với
nghiệm.
x
� 2017 2017 �
1
x ��
;
x arctan k k ��
�
2
2 �nên có 1008 �k �1008 nên có
�
4
Với
do
2017 nghiệm và hai họ nghiệm khơng có nghiệm nào trùng nhau. Vậy ta có m 4034 .
Câu 32.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng
cos 2 x 3cos x 2 0 có tất cả m nghiệm. Tìm m .
A. m 1 .
B. m 3 .
0;
C. m 4 .
Lời giải
2
, phương trình
D. m 2 .
cos x 1
�
�
� 2 cos x 1 3cos x 2 0 �
1
2
�
cos x cos
2
3
�
Phương trình
2
�
x k 2 � 0; 2 � k 0 � x
�
�
2
2
��
x
k 2 � 0; 2 � k 0 � x
� 3
3
�
2
4
�
x
k 2 � 0; 2 � k 1 � x
3
3
�
0;
Vậy trên khoảng
Câu 33.
2
, phương trình đã cho có 3 nghiệm là x ,
x
2
4
x
3 ,
3 .
(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
0;10
2
của phương trình sin 2 x 3sin 2 x 2 0 .
105
105
297
A. 2 .
B. 4 .
C. 4 .
Lời giải
11
299
D. 4 .
sin 2 x 1
�
��
� x k
2
sin 2 x 2 (loa�
i) � sin 2 x 1
�
4
Ta có: sin 2 x 3sin 2 x 2 0
, k ��.
Theo đề bài:
0 �
1
k �10 ۣ
�
k
4
4
Vậy tổng các nghiệm là:
Câu 34.
S
41
4 � k 1, 2,...,10 .
3 �3
�
�3
�
� � ... � 9 � 105
4 �4
�
�4
� 2 .
0; 200 của
(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn
2
phương trình 2 cos x 3sin x 3 0
B. T 10050 .
A. T 10150 .
C.
T
10403
2 .
D.
T
20301
2
.
Lời giải
t � 1;1
Đặt t sin x , điều kiện
.
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2t 3t 5 0 . Phương trình có hai nghiệm t 1
(nhận),
t
5
2 (loại).
Với t 1 , suy ra
Ta có
sin x 1 � x
0 ��
x 200
0�
2
k 2 (k ��)
2
.
k 2� 200
1
4
k
401
4 . Vì k �� nên k � 1, 2,...,100 .
100
100
�
�
� �
T ��
k 2 � 100 �
� 2 �k 50 10100 10050
�
� 2�
1 � 2
1
Khi đó
.
Câu 35.
(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
cos 2 x 3 cos x 1 0
A. 4 .
Ta có:
Đặt
� �
; �
�
2 2 �là:
�
trong đoạn
B. 3 .
C. 2 .
Lời giải
cos 2 x 3 cos x 1 0 � 2 cos 2 x 3 cos x 2 0
t cos x
, 0 �t �1 , ta được phương trình:
t 2
�
�
�
1
1
�
t
�t
2
2t 3t 2 0
� 2
2 . (vì 0 �t �1 )
12
D. 1 .
.
1
�
�
x
�
k 2
cos
x
�
�
3
2
��
��
1
2
1
1
�
�
cos x
x � k 2 � x � k
t
cos x
�
�
2
3
�
2 , ta có:
2
3
Với
k �� .
� �
; �
x�
�
3.
Trên đoạn � 2 2 �phương trình có nghiệm là
Câu 36.
(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của
phương trình
11
S
12 .
A.
(2 cos x 5)(sin 4
B.
x
x
cos 4 ) 3 0
0; 2
2
2
trong khoảng
S
5
2 .
C. S 2 .
D.
S
7
12 .
Lời giải
x
x
cos 4 ) 3 0 � (2 cos x 5) cos x 3 0
2
2
cos x 3(VN )
�
2
�
� 2 cos x 5cos x 3 0
�
1
�
cos x
�
2
�
x k 2
�
3
��
, k ��
�
x k 2
�
3
�
(2 cos x 5)(sin 4
5
x
,
x
0; 2 :
3
3 .
Trong khoảng
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng 2.1 Không cần biến đổi
Câu 37.
(PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tập xác định của hàm số sau
tan 2x
3 sin 2x cos 2x .
�
�
D �\ � k ; k ; k ���
2 12
2
�4
A.
.
�
�
D �\ � k ; k ; k ���
2 2
�4
C.
.
y
�
�
D �\ � k ; k ; k ���
2 5
2
�6
B.
.
�
�
D �\ � k ; k ; k ���
2 12
2
�3
D.
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện
�
�
x
�
k
�
� 2x � k
�
2
2
�� 4
�
� 3 sin 2x cos 2x �0
�x � k
�
� 12
2
13
.
�
�
D �\ � k ; k ; k ���
2 12
2
�4
Vậy, tập xác định của hàm số là
.
Câu 38.
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Phương trình 3 sin 2 x cos 2 x 2 có tập nghiệm là
� k
�
�2
�
S �
| k ���
S � k 2 | k ���
�3 2
�3
A.
.
B.
.
�
�
�5
�
S � k | k ��� S � k | k ���
�3
�12
C.
.D.
.
Lời giải
Ta có:
� 2x
3 sin 2 x cos 2 x 2
�
� �
3
1
2 x � 1
sin 2 x cos 2 x 1 � sin �
6�
�
2
2
k 2 � x k
6 2
3
k �� .
�
�
S � k | k ���
�3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
.
Câu 39.
(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Tất cả các nghiệm của phương trình
sin x 3 cos x 1 là:
k 2
6
A.
, k ��.
5
x
k
6
C.
, k ��.
x
�
x
k 2
�
6
�
�
x k 2
B. � 2
, k ��.
5
x
k 2
6
D.
, k ��.
Lời giải
�
x k 2
�
6
��
� � 1
�
� sin �x �
x k 2
� 2
� 3� 2
Ta có sin x 3 cos x 1
, k ��.
�
x k 2
�
6
�
�
x k 2
�
2
Vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là
, k ��.
Câu 40.
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các họ nghiệm của phương trình
sin x cos x 1 là
x k 2
�
�
�
x k 2
A. � 2
, k ��.
B. x k 2 , k ��.
14
�
x k 2
�
4
�
�
x k 2
x k 2
4
4
C.
, k ��. D. �
, k ��.
Lời giải
� �
� � 1
� �
sin x cos x 1 � 2 sin �x � 1 � sin �x �
� sin �x � sin
4
� 4�
� 4� 2
� 4�
Ta có:
�
x k 2
x k 2
�
�
4
4
�
��
�
�
3
x k 2
�
x
k 2
� 2
k �� .
� 4
4
Câu 41.
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x 3 cos x 1 có tập nghiệm
là:
�
�
� k ; k �
2
A. � 6
, với k �Z .
�
�
� k 2 ; k 2 �
2
C. � 6
, với k �Z .
�
�
� k 2 ; k 2 �
2
B. � 6
, với k �Z .
�7
�
� k 2 ; k 2 �
2
D. �6
, với k �Z .
Lời giải
Ta có sin x 3 cos x 1
�
� �
1
3
1
sin x
cos x � sin �x � sin
6
� 3�
2
2
2
�
�
x k 2
x k 2
�
�
3 6
6
��
��
k �Z
�
�
x k 2
x k 2
�
� 2
6
� 3
.
Câu 42.
(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin 3 x cos 3 x 2 .
x k , k ��
x k , k ��
3
6
3
A.
.
B.
.
C.
x
2
2
k
, k ��
x k
, k ��
9
3
12
3
. D.
.
Lời giải
� �
� cos �
3x � 1 � 3x k 2 � x k 2 , k ��
� 4�
sin 3x cos 3 x 2
4
12
3
.
Dạng 2.2 Cần biến đổi
Câu 43.
2
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 2sin x 3 sin 2 x 3
2
5
x k
x k
x
k
x
k
3
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
15
2
Ta có 2sin x 3 sin 2 x 3 � 1 cos 2 x 3 sin 2 x 3
3
1
�
sin 2 x cos 2 x 1
� 3 sin 2 x cos 2 x 2
2
2
� �
� sin �
2 x � 1 � 2 x k 2 � x k
6�
�
6 2
3
.
� �
� �
3 cos �x � sin �x � 2sin 2 x.
� 2�
� 2�
Câu 44. Giải phương trình
2
�
x k
�
18
3
, k ��.
�
2
�
x k
�
18
3
A. �
� 5
x
k 2
�
6
, k ��.
�
2
�
x k
�
3
B. � 18
� 5
x
k 2
�
6
, k ��.
�
7
�
x
k 2
�
D. � 6
� 7
x
k 2
�
6
, k ��.
�
2
�
x k
�
18
3
C. �
Lời giải
Chọn C
� �
� �
cos �x � sin x
sin �x � cos x
� 2�
� 2�
Ta có
và
.
Do đó phương trình � 3 sin x cos x 2sin 2 x � 3 sin x cos x 2sin 2 x .
�
3
1
� �
� �
sin x cos x sin 2 x � sin �x � sin 2 x � sin �x � sin 2 x
2
2
� 6�
� 6�
.
2
�
�
x 2 x k 2
x k
�
�
6
18
3
��
��
5
�
�
x 2 x k 2
x
k 2
�
�
6
� 6
�
Xét nghiệm
x
5
7
k 1 k '
k 2 ����
�x
k ' 2
k��, k '��
6
6
.
Vậy phương trình có nghiệm
Câu 45.
k �� .
x
2
7
k
, x
k ' 2 k , k ' �� .
18
3
6
sin 2 x 3 sin x cos x 1 là:
Nghiệm của phương trình
5
x k 2 ; x
k 2
6
6
.
A.
B.
16
x
k 2 ; x k 2
2
6
.
x
5
k 2 ; x
k 2
6
6
.
D.
x
k ; x k
2
6
.
C.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1 cos 2 x
3
sin 2 x 1
2
2
3
1
1
� � 1
�
sin 2 x cos 2 x � sin �
2 x �
2
2
2
6� 2
�
sin 2 x 3 sin x cos x 1 �
�
�
x k
�2 x 6 6 k 2
�
6
��
��
5
�
�
2x
k 2
x k
� 6
� 2
6
�
.
Câu 46. Phương trình sin x cos x 2 sin 5 x có nghiệm là:.
�
x k
�
4
2
�
�
x k
3.
A. � 6
�
x
k
�
12
2
�
�
x
k
3.
B. � 24
�
x k
�
16
2
�
�
x k
3 .
C. � 8
Lời giải
�
x k
�
18
2
�
�
x k
3 .
D. � 9
Chọn C
Phương trình tương đương
sin x cos x 2 sin 5 x
� �
� �
� 2 sin �x � 2 sin 5 x � sin �x � sin 5 x
� 4�
� 4�
�
�
x k
x 5 x k 2
�
�
16
2
�� 4
��
�
�
x 5 x k 2
x k
� 4
3
� 8
3
Câu 47. Phương trình: 3sin 3x 3 sin 9 x 1 4sin 3 x có các nghiệm là:
2
2
�
�
�
x k
x k
x k
�
�
�
54
9
12
9
9
9
�
�
�
2
7
2
7
2
�
�
�
x k
x
k
x
k
�
�
9 .
9 . C. �
9 .
� 12
A. � 18
B. � 9
Lời giải
Chọn A
17
2
�
x k
�
6
9
�
7
2
�
x
k
�
9 .
D. � 6
Ta có
3sin 3x 3 cos 9 x 1 4sin 3 3 x � 3sin 3 x 4sin 3 3 x 3 cos 9 x 1
� �
� sin 9 x 3 cos 9 x 1 � sin �
9 x �
3�
�
Câu 48.
k 2
�
�
9 x k 2
x
�
�
1
3 6
54
9
��
��
5
k 2
2
�
�
9x
k 2
x
� 3
�
6
9
�
� 18
.
(THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình
sin x 3 cos x 2sin 3 x là
2
x k
x k 2
x
k 2
3
2 , k ��. B.
3
3
A.
hoặc
, k ��.
4
2
x k 2
x
k 2
x k
x k
3
3
6
6
3 , k ��.
C.
hoặc
, k ��. D.
hoặc
Lời giải
Chọn A
Ta có
�
sin x 3 cos x 2sin 3x
1
3
sin x
cos x sin 3 x
2
2
� cos
sin x sin cos x sin 3 x
3
3
� �
� sin �x � sin 3 x
� 3�
�
x 3 x k 2
�
3
��
�
x 3 x k 2
�
� 3
�
x k
�
6
��
�
x k
� x k , k ��
�
2
� 3
3
2
.
Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm
Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm
Câu 49.
(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình
�
�
cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 � x �
�2
�trên khoảng 0;3 là
A. 4.
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
18
D. 3 .
�
�
cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 � x �
�2
�� cos 2 x sin 2 x 2 sin 2 x � cos 2 x sin 2 x 2
� �
� �
� 2 cos �
2 x � 2 � cos �
2 x � 1 � 2 x k 2 � x k
k ��
4
4�
�
�
�
4
8
0;3 � x
Trên
Câu 50.
7
15
23
x
x
8 ,
8 ,
8 .
(THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất cả các nghiệm
thuộc khoảng
0;
của phương trình:
2 cos 3x sin x cos x .
3
B. 2 .
A. 3 .
C. .
Hướng dẫn giải
D. 2 .
Chọn B
Ta có:
Vì
�
x k
�
8
��
� �
� cos 3 x cos �x � �
x k
2
� 16
� 4� �
2 cos 3x sin x cos x
x � 0;
nên nhận
x
k ��
.
7
9
x
x
8 ,
16 ,
16 .
2
2
0; 2 .
Câu 51. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos x sin 2 x 2 sin x trên khoảng
3
7
21
11
T
.
T
.
T
.
T
.
4
8
8
4
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
2
2
Phương trình � cos x sin x sin 2 x 2 � cos 2 x sin 2 x 2 .
� �
� cos �2 x � 1 � 2 x k 2 � x k k �� .
4�
4
8
�
7
�
k 1� x
�
1
17 k��
8
0 x 2 ��
� 0 k 2 � k ��
�
��
15
8
8
8
�
k 2�x
�
8 .
�
Do
��
�T
7 15 11
.
8
8
4
19
Câu 52. Biến đổi phương trình
cos 3 x sin x 3 cos x sin 3 x
� �
� ; �
b , d thuộc khoảng � 2 2 �. Tính b d .
bd .
bd .
2
4
A.
B.
về dạng
sin ax b sin cx d
bd .
3
C.
Lời giải
D.
bd
với
.
12
Chọn A
Phương trình � 3 sin 3x cos 3x sin x 3 cos x .
�
3
1
1
3
� �
� �
sin 3 x cos 3 x sin x
cos x � sin �
3 x � sin �x �
.
2
2
2
2
� 6�
� 3�
Suy ra
bd
.
6 3 2 .
��
0; �
�
2 �là?
sin
5
x
3
cos
5
x
2sin
7
x
�
Câu 53. Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
A. 1.
B. 3.
C. 4.
Lời giải
D. 2.
Chọn C
�
Phương trình
1
3
� �
sin 5 x
cos 5 x sin 7 x � sin �
5 x � sin 7 x
2
2
3�
�
.
�
�
7 x 5 x k 2
x k
�
�
3
� � �
6
� sin 7 x sin �
5 x ��
��
k
3� �
�
�
�
�
7x �
5 x � k 2
x
�
�
3�
� 18 6
�
�
0
k �� .
1
1 k��
k � k ��
�
�k 0 � x .
6
2
6
3
6
�
k 0�x
�
18
�
1
8 k�� �
2
0 k � k ��
�
� k 1� x
.
�
18
6 2
3
3
9
�
7
�
k 2�x
18
�
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.
Câu 54.
(TỐN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Phương trình
0; 4035
đoạn
?
2016
A.
.
B. 2017 .
3 cos x sin x 2 có bao nhiêu nghiệm trên
C. 2011 .
20
D. 2018 .
Lời giải
3 cos x sin x 2
Ta có
� x
3
k 2
3 2
Trên đoạn
�
� �
3
1
cos x sin x 1 � sin �x � 1
� 3�
2
2
k �� � x
0; 4035 , các giá trị
7
k 2
6
k �� .
k �� thỏa bài toán thuộc tập 0;1; 2;K ; 2016 .
0; 4035
Do đó có 2017 nghiệm của phương trình thuộc đoạn
.
Câu 55.
� �
�� ; ; ; �
�6 4 3 2 để
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tìm góc
phương
trình
cos 2 x 3 sin 2 x 2 cos x 0
cos 2 x cos x
A.
6.
tương
đương
với
phương
trình
.
B.
4.
C.
Lời giải
2.
D.
3.
� k 2
2 x x k 2
x
�
cos 2 x cos x � �
�� 3
3
�
2 x x k 2
�
x
k
2
�
cos 2 x 3 sin 2 x 2 cos x 0
�
1
3
cos 2 x
sin 2 x cos x
2
2
�
x k 2
�
3
��
� �
k 2
�
� cos �2 x � cos x
x
�
3�
3
� 9
�
�
�
�3 9
�
�
3
�
Để hai phương trình tương đương cần có � 3
.
Câu 56.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho phương trình sin x cos x 1 có hai họ nghiệm có
0 �a, b
dạng x a k 2 và x b k 2
. Khi đó a b bằng bao nhiêu?
2
3
a b
a b
ab
3 .
5 .
2.
A.
B.
C.
D. a b .
Lời giải
�2
�
2
� � 2
sin x cos x 1 � 2 �
sin
x
cos
x
1
�
sin
�
�x �
�2
�
2
� 4� 2
�
�
Ta có:
21
�
x k 2
x k 2
�
�
� �
4
4
�
� sin �x � sin � �
�
�
3
4
x k 2
� 4�
�
x
k 2
� 2
� 4
4
Suy ra: a 0 và
Câu 57.
b
k �� .
a b
2 nên
2.
(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x 3 cos x 0
2 ; 2
có bao nhiêu nghiệm thuộc
.
5
A. .
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
D. 4 .
� �
� sin �x � 0 � x k , k �Z
� 3�
3
Ta có sin x 3 cos x 0
x � 2 ; 2
Vì
nghiệm x .
Câu 58.
7
5
2 �x �2 � �k �
3
3 . Do đó có 4 giá trị k , tương ứng có bốn
nên
(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình
� 5 �
0;
�
2 cos x 3 sin 2 x 3 trên � 2 �
�là:
7
7
A. 6 .
B. 3 .
2
7
C. 2 .
D. 2 .
Lời giải
� �
�
cos
2 x � 1
�
3�
2 cos 2 x 3 sin 2 x 3 � cos 2 x 3 sin 2 x 2
�
� 2x
k 2 � x k k ��
.
3
6
5
5
0 x � � 0 k �
2
6
2 � k 0 , k 1, k 2 .
Xét
Với
k 0� x
7
13
k 1� x
k 2�x
6;
6 ;
6 .
7
Vậy tổng các nghiệm bằng 2 .
Câu 59.
(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T các nghiệm của phương
�
�
cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 � x �
�2
�trên khoảng 0; 2 .
trình
22
A.
T
7
8 .
B.
T
21
8 .
T
C.
Lời giải
11
4 .
D.
T
3
4 .
�
�
cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 � x �
�2
�� cos 2 x sin 2 x 2 sin 2 x
Ta có
� �
cos �
2 x � 1
2 x k 2
4
�
� �
� cos 2 x sin 2 x 2 �
4
, k ��
�
x
k
8
, k ��
1
17
k 2
k
� 8
8
8
Vì 0 x 2 �
7
15
x1
; x2
k
�
1;
2
�
8
8
Vì k �� nên
11
x1 x2
4 .
Vậy
0
x
Câu 60. Gọi 0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9 x 3 cos 7 x sin 7 x 3 cos 9 x . Mệnh đề nào sau đây
là đúng?
� �
x0 ��
; �
.
2
3
�
�
A.
� �
x0 �� ;0 �
.
12
�
�
B.
� �
x0 ��
; �
.
6
12
�
�
C.
Lời giải
� �
x0 ��
; �
.
3
6
�
�
D.
Chọn B
Phương trình � sin 9 x 3 cos 9 x sin 7 x 3 cos 7 x .
�
9 x 7 x k 2
x k
�
�
3
� �
� � � 3
�
� sin �
9 x � sin �
7 x ��
�
5 k
�
3�
3� �
� �
x
�
�
9x �
7 x � k 2
48
8
�
�
3�
�
� 3
.
k ��
�
k 0 � k 0 ��
�
� kmax 1 � x
Cho 0
�
���� 5 k
5 k��
.
�
0 � k ��
�
� k max 1 � x
�48 8
6
48 So sánh hai nghiệm ta được
x
nghiệm âm lớn nhất của phương trình là
� �
�� ;0 �
.
48 � 12 �
Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm
Câu 61.
(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b,
c để phương trình a sinx bcosx c có nghiệm?
2
2
2
A. a b c
2
2
2
B. a b �c
2
2
2
C. a b c
Lời giải
23
2
2
2
D. a b �c
2
2
2
Điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sinx bcosx c có nghiệm là: a b �c .
Câu 62.
(THPT THIỆU HÓA – THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm m để phương trình
3sin x 4 cos x 2m có nghiệm?
5
5
m�
2
A. 2
B.
m �
5
2
5
m�
2
C.
Lời giải
5
5
�m �
2
D. 2
Chọn D
� 32 4 � 2m ۣ 4m 2
Phương trình có nghiệm
2
Câu 63.
2
5
5
� �m �
25
2
2.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
[- 2018; 2018] để phương trình
tham số m thuộc đoạn
( m +1) sin 2 x - sin 2 x + cos 2 x = 0 có nghiệm?
A. 4036
B. 2020
C. 4037
D. 2019
Lời giải
1- cos 2 x
- sin 2 x + cos 2 x = 0
( m +1) sin 2 x - sin 2 x + cos 2 x = 0 � ( m +1) .
2
Ta có:
� 2sin 2 x + ( m - 1) cos 2 x = m +1
2
(m 1) 2 (m 1) 2 m 1 kết hợp với điều
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là: 2 +-�+
kiện của đề bài ta có: - 2018 �m �1 . Suy ra có 2020 số giá trị ngun để phương trình có
nghiệm.
Câu 64.
(CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số các giá trị nguyên
m cos x m 2 sin x 2 m 1 0
của m để phương trình
có nghiệm.
A. 0
B. 3
C. vơ số
D. 1
Lời giải
Chọn D
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
3
3
2
2
m 2 m 2 � 2m 1 � 2m2 3 �0 � 2 �m � 2
Vậy có 1 giá trị nguyên.
Câu 65.
(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Để
phương trình m sin 2 x cos2x 2 có nghiệm thì m thỏa mãn:
A. m �1.
�
m� 3
.
�
m � 3
�
B.
�
m� 2
.
�
m � 2
�
C.
Lời giải
24
D. m �1.
Chọn B
m sin 2 x cos2x 2
m
1
2
�
sin 2x
cos 2 x
m2 1
m2 1
m2 1
2
� sin 2 x
m2 1
�
m� 3
�1 � �
.
m2 1
m � 3
�
2
có nghiệm khi
Câu 66.
(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của
m để phương trình
4sin x + ( m - 4) cosx - 2m + 5 = 0
B. 6
A. 5
C. 10
Lời giải
có nghiệm là:
D. 3
Chọn A
4sin x + ( m - 4) cosx - 2m + 5 = 0 � 4sin x + ( m - 4) cosx = 2m - 5
2
.
2
42 + ( m - 4) - ( 2m - 5) �0 � - 3m2 + 12m + 7 �0
Phương trình có nghiệm khi
6ۣ�
57
m
3
Vì m �� nên
6 + 57
3
{
}.
m � 0,1,2,3,4
Vây tổng tất cả các giá trị ngun của m để phương trình có nghiệm là 10 .
Câu 67.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
2018; 2018 để phương trình m 1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x 0 có
tham số m thuộc đoạn
nghiệm?
A. 4036 .
B. 2020 .
C. 4037 .
D. 2019 .
Lời giải
Chọn B
m 1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x 0
m 1
1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x 0
2
� m 1 1 cos 2 x 2sin 2 x 2cos 2 x 0
�
� 2sin 2 x 1 m cos 2 x m 1
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
4 1 m � m 1
2
ۣ 4m 4
2
m 1
25