Dạy thêm toán 11 CÂU hỏi CHỨA đáp án 1d1 3

Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1.1 Không cần biết đổi
Câu 1.

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Số vị trí biểu diễn các nghiệm của
2
phương trình 4cos x  4 cos x  3  0 trên đường tròn lượng giác là?
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
Lời giải

D. 4 .

3
�
cos x 
 L
�
2
��
1
�
cos x  
 N
2
�
2
Ta có 4cos x  4 cos x  3  0
.

Với

cos x  

1
2
2
� cos x  cos
x  �  k 2 k ��

.
2
3 �
3

Vậy số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác là 2 .

Câu 2.

3
0
4
có nghiệm là:

2
x  �  k 2
x  �  k
6
3
B.

.
C.
.
Lời giải

cos 2 2 x  cos 2 x 

Phương trình

x  �  k
6
A.
.


x  �  k
3
D.
.

Chọn A
cos 2 2 x  cos 2 x 

Ta có
bậc hai theo t là

3
 0.
4
Đặt cos 2x  t với điều kiện 1 �t �1, ta được phương trình

t2  t 

 *
Phương trình

có hai nghiệm

t1 

3
 0.  *
4

1
3
1
t2 
t1 
2 và
2 nhưng chỉ có
2 thỏa mãn điều kiện.

Vậy ta có
cos 2x 

Câu 3.

1



� �
� cos 2x  cos � �� 2x  �  k 2 � x  �  k ,
 k �� .
2
3
6
�3 �

2
Nghiệm của phương trình 2sin x – 5sin x – 3  0 là:


5
x   k ; x    k 2
x   k 2 ; x 
 k 2
2
4
4
A.
.
B.
.

C.

x



7
 k 2 ; x 
 k 2
6
6
.

D.
Lời giải
1

x


5
 k 2 ; x 
 k 2
3
6
.


Chọn C


�
sin x  3  1 �
x    k 2
�
6

��
 k ��
1 ��
�
7

sin x  
�
x
 k 2
�
2
�
� 6
2sin 2 x – 5sin x – 3  0
.
sin 2 x  – sin x  2 là:

Câu 4.
Nghiêm của phương trình
x  k .

B.

x


 k2
2
.

C.

x


 k
2
.

D.

x


 k2
2
.

A.
Lời giải
Chọn B
t �1
Đặt t  sin x . Điều kiện

�
t 1 ( TM)
t2  t  2 � t2  t  2  0 � �
t  2 (L)
�

Phương trình trở thành:
t  1� sin x  1 � x 


 k2 (k �Z).
2
.

Với
2 cos 2 x  3cos x  1  0 là:

Câu 5.

Nghiệm của phương trình

x  k 2 ; x  �  k 2
6
.
A.


x   k 2 ; x   k 2
2
6
.
C.

2
x    k 2 ; x  �  k 2
3

B.
.


x  k 2 ; x  �  k 2
3
D.
.

Lời giải
Chọn D
�cos x  1
x  k 2
�
�
�
2 cos x  3cos x  1  0 �
 k ��

1��
�
cos x 
x  �  k 2
3
2
�
�
.
2

Ta có
Câu 6.

2
Nghiệm của phương trình 3cos x  – 8cos x – 5 là:

2



x  �  k 2
2
C.
.
Lời giải

B. x  k 2 .

A. x    k 2 .

D. x  k .

Chọn A
cos x  1
�
�
� 3cos x  8cos x  5  0 �
� x    k 2  k ��
5
�

cos
x




1
3
�
3cos2 x  – 8cos x – 5
.
2

Câu 7.

[Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nghiệm của phương trình
sin 2 x  4sin x  3  0 là

A. x  k 2 , k ��

B.

C. x    k 2 , k ��. D.

x
x


 k 2 , k ��
2

.


 k 2 , k ��
2
.
Lời giải

Chọn D
sin x  1
�
��
sin x  3 .
sin 2 x  4sin x  3  0
�
Với sin x  1

� x


 k 2 , k ��
2
.

Với sin x  3 phương trình vơ nghiệm.
Câu 8.

2
Nghiệm của phương trình lượng giác sin x  2sin x  0 có nghiệm là:



x   k
x   k 2
2
2
A. x  k 2 .
B. x  k .
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn B
sin x  0
�
sin 2 x  2sin x  0 � sin x  sin x  2   0 � �
.
sin
x

2
�
Ta có
Vì 1 �sin x �1 nên chỉ có sin x  0 thỏa mãn. Vậy ta có

sin x  0 � x  k ,  k �� .
Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai
Câu 9.

(THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình

� � � �3
sin 4 x  cos4 x  cos �x  �
�
sin �
3x  �  0
� 4� � 4� 2
là


x   k , k ��
x   k 2 , k ��
3
3
A.
. B.
.
3


C.

x



 k 2 , k ��
x   k , k ��
4

4
. D.
Lời giải

Chọn D
Phương trình đã cho tương đương với
1
� 1 2 � �1
�3
1  sin 2 x � � sin 2 x   sin 2 2 x �  0 � 1 sin 2 2 x  1 sin 2 x  1  0
�
2
� 2
� �2
�2
2
2
sin 2 x  1
�
��
sin 2 x  2(VN )
�
Với
Câu 10.

sin 2 x  1 � 2 x 



 k 2 � x   k , k ��

2
4
.

(LỚP 11 THPT NGƠ QUYỀN HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình
2 cos 2 x  cos x  1  0 . Khi đặt t  cos x , ta được phương trình nào dưới đây?
2
A. 2t  t  1  0

2
C. 4t  t  3  0
Lời giải

B. t  1  0

2
D. 4t  t  1  0

Chọn D
2 cos 2 x  cos x  1  0 � 2  2 cos 2 x  1  cos x  1  0 � 4 cos 2 x  cos x  1  0
2
Đặt t  cos x , phương trình trở thành 4t  t  1  0

Câu 11.

(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019)
Phương trình cos 2 x  5sin x  4  0 có nghiệm là


 k 2

A. 2
.


 k
B. 2
.

C. k .
Lời giải


�  k 2
D. 4

Chọn A

�
sin x  1 1
�
cos 2 x  5sin x  4  0 � 2sin x  5sin x  3  0 �
3
�
sin x   2 
�
2
Ta có:
2

Phương trình (1) có nghiệm

x


 k 2
2

Phương trình (2) vơ nghiệm.
Câu 12.

(THPT LÊ QUY ĐƠN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nghiệm của phương
trình cos 2 x  2sin x  3 ?


x  �  k , k �Z
2
A.
B.
.


x    k 2, k �Z
x   k 2, k �Z
2
2
C.
. D.
.
x


 k , k �Z
2
.

Lời giải
4


Chọn A
2
+) Ta có cos 2 x  2sin x  3 � 1  2sin x  2 sin x  3
s inx  1
�
� sin 2 x  sin x  2  0 � �
s inx  2  1 (VN)
�

+)
Câu 13.

s inx  1 � x 


 k 2, k �Z
2

(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình cos 2 x  sin x  2  0 . Khi đặt
t  sin x , ta được phương trình nào dưới đây.
2

A. 2t  t  1  0 .

2
C. 2t  t  3  0 .
Lời giải

B. t  1  0 .

2
D. 2t  t  2  0 .

2
2
Ta có: cos 2 x  sin x  2  0 � 1  2sin x  sin x  2  0 � 2sin x  sin x  3  0 .
2
Đặt t  sin x ta được phương trình: 2t  t  3  0 .

Câu 14.

2
(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 3sin x  2 cos x  2  0 .

A.

x


 k , k ��
2
.

C. x  k 2 , k ��.

B. x  k , k ��.

D.

x


 k 2 , k ��
2
.

Lời giải
2
2
Ta có 3sin x  2 cos x  2  0 � 3cos x  2 cos x  5  0 � cos x  1 � x  k 2 , k ��.

Câu 15.

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
tan x  3 cot x  3  1  0 là:

� 
�
x   k
x    k
�
�

4
4
, k ��
, k ��
�
�


�
�
x   k
x   k
A. � 3
. B. � 6
.
� 
x   k 2
�
4
, k ��
�

�
x   k 2
C. � 6
. D.

� 
x   k
�

4
, k ��
�

�
x   k
� 6
.
Lời giải

sin x �0
�
۹۹�
sin 2 x
�
cos
x
�
0
�
ĐK

0

x

tan 2 x 
Phương trình tương đương
.

k
,k
2



�
.

� 
x   k
�
tan
x

1
�
4
3  1 tan x  3  0 � �
��
, k ��

tan x  3
�
�
x   k
� 3



5


Câu 16.

(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình

� �
�
� 5
�
�
cos 2 �x  � 4cos �  x �
t  cos �  x �
� 3�
�6
� 2 . Khi đặt
�6
�, phương trình đã cho trở thành
phương trình nào dưới đây?
2
2
2
2
A. 4t  8t  5  0 .
B. 4t  8t  3  0 .
C. 4t  8t  3  0 .
D. 4t  8t  5  0 .
Lời giải
� �

�
� 5
� �
�
� 5
cos 2 �x  � 4 cos �  x � � 1  2sin 2 �x  � 4 cos �  x �
� 3�
�6
� 2
� 3�
�6
� 2
Ta có:
�
�
�
� 5
� 1  2 cos 2 �  x � 4 cos �  x �
�6
�
�6
� 2.
�
�
5
t  cos �  x �
1  2t 2  4t 
t
�
1

�6
�,
2 � 4t 2  8t  3  0 .
Đặt
ta được phương trình:
Câu 17.

(THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho phương trình: cos 2 x  sin x  1  0

 * .

1 �t �1
*
Bằng cách đặt t  sin x 
thì phương trình   trở thành phương trình nào sau đây?
2
A. 2t  t  0 .

2
B. t  t  2  0 .

2
C. 2t  t  2  0 .
Lời giải

2
D. t  t  0 .

cos 2 x  sin x  1  0 � 1  2sin 2 x  sin x  1  0 � 2sin 2 x  sin x  0 � 2t 2  t  0 .
Câu 18.

(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Giải phương trình cos2 x  5sin x  4  0 .



x   k
x    k
x   k 2
2
2
2
A.
.
B.
.
C. x  k 2 .
D.
.
Lời giải:
Ta có cos2 x  5sin x  4  0 � 1  2 sin x  5sin x  4  0
sin x  1
�
2
� 2sin x  5sin x  3  0 � �
3
�
sin x 
�
2
2

 Với

 Với

sin x  1 � x 
sin x 


 k 2, k ��
2
.

3
1
2
(vô nghiệm).

Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm
Câu 19. Nghiệm của phương trình 2 sin x – 3sin x  1  0 thỏa điều kiện:



x
x
x
2.
6.
4.
A.

B.
C.
2

Lời giải
Chọn B
6

0 �x 


2.

D.

x


2.


� 
x   k 2
�
2
sin x  1
�
�

��

��
x   k 2  k ��
1
� 6
�
sin x 
� 5
�
2
�
x
 k 2
� 6
2 sin 2 x – 3sin x  1  0

Vì
Câu 20.

0 �x 



x
2 nên nghiệm của phương trình là
6.

(THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác
cos 2 x  cos x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   .
A. x   .
Chọn

B.

x


4.

C.
Lời giải

x


2.

D. x  0 .

C.

� 
cos x  0
x   k
�
cos x  cos x  0 � �
�� 2
�
cos x  1
�
x  k 2

�
Ta có


x   k
x
2
2.
Với
, do 0  x   nên ta được
2

 k �� .

Với x  k 2 , do 0  x   nên khơng có x nào thỏa mãn.
2
Câu 21. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin x  5sin x  3  0 là:


3
x
x
x
6.
2.
2 .
A.
B.
C.
Lời giải

D.

x

5
6 .

Chọn A

sin x  3
�
�
2sin x  5sin x  3  0 �
1
�
sin x 
�
2
2

� 
x   k 2
�
1
6
� sin x  � �
5
2
�

x
 k 2
�
� 6
.
Câu 22.

(THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn

 0;10 

2
của phương trình sin 2 x  3sin 2 x  2  0 .
105
105
297
A. 2 .
B. 4 .
C. 4 .
Lời giải

7

299
D. 4 .


Chọn A
sin 2 x  1
�


��
� x    k
2
sin 2 x  2 (loa�
i) � sin 2 x  1
�
4
Ta có: sin 2 x  3sin 2 x  2  0
, k ��.

Theo đề bài:

0 �


1
 k �10 ۣ

�
4
4
S

Vậy tổng các nghiệm là:
Câu 23.

(THPT

LÊ

VĂN

41
4 � k  1, 2,...,10 .

k

3 �3
�
�3
�
 �   � ...  �  9 � 105
4 �4
�
�4
� 2 .

THỊNH

BẮC

NINH

NĂM

2018-2019)

cos 2 x  4sin x  5  0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng  0;10  ?
A. 5

B. 4
C. 2

Phương

trình

D. 3

Lời giải
Chọn A

sin x  1
�

��
� x    k 2 ,  k ��
2
sin
x

3
pt
v
n


�
2
PT đã cho � 2sin x  4 sin x  6  0

.


1
21
x � 0;10  � 0   2  k 2  10 � 4  k  4
Theo đề:
.
k � 1; 2;3; 4;5
 0;10  .
Vì k �� nên
. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng
Câu 24.

(CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình cos 2 x  2cos x  3  0 có bao
nhiêu nghiệm trong khoảng
A. 320 .

 0; 2019  ?

B. 1009 .

C. 1010 .
Lời giải

D. 321 .

cos 2 x  2 cos x  3  0 � 2cos 2 x  2cos x  4  0 � cos x  1 hay cos x  2 (loại)

Với cos x  1 � x  k 2 ;k ��.

Với 0  x  2019 � 0  k 2  2019 � 0  k  321.49 . Vậy có tổng cộng 321 nghiệm.
Câu 25.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Phương trình
cos 2 x  4sin x  5  0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng  0;10  ?
A. 5 .
B. 4 .
C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

sin x  1
�

��
� x    k 2 ,  k ��
2
sin
x

3
VN


�
2
PT đã cho � 2sin x  4sin x  6  0
.


1
21
x � 0;10  � 0   2  k 2  10 � 4  k  4
Theo đề:
.
8


k � 1; 2;3; 4;5
0;10 
Vì k �� nên
. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng 
.

Câu 26.

(TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của phương trình

 2 cos 2 x  5  sin 4 x  cos 4 x   3  0
A.

S

11
6 .

trong khoảng 

B. S  4 .

0; 2 

.

C. S  5 .
Lời giải

D.

S

7
6 .

2 cos 2 x  5   sin 4 x  cos 4 x   3  0 �  2cos 2 x  5   sin 2 x  cos 2 x   3  0

Ta có:
�   2 cos 2 x  5  cos 2 x  3  0 � 2 cos 2 (2 x)  5cos 2 x  3  0 � cos 2 x 
cos 2 x 

Do đó:
Câu 27.

1
2.

1


� 5 7 11 �
� x  �  k  k �� � x �� ; ; ;
�
2
6
�6 6 6 6 .

S

 5 7 11



 4 .
6 6
6
6

(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng

5
cos 2 x + cos x +1 = 0
2
là
A. 4.
B. 3.

( 0;3p) của phương trình

C. 1 .

Lời giải

�
1
�
cos x =5
cos x + cos x +1 = 0 � �
2
�
2
�
cos x =- 2
�
+ Ta có:
2

D. 2 .

( n)
( l)

.

� 2p
�=
x
+ k 2p
�
�
1

2
p
�
3
�
cos x =- � cos x = cos �
( k ��)
�
�
�� �
�
�3 �
2p
2
�
x =+ k 2p
�
3
�
Suy ra:

+ Với

�-

x=

2p
2p
+ k 2p

0 < + k 2p < 3p
x
�
0;3
p
(
)
3
3
, k ��. Vì
nên
, k ��

�2p 8p �
1
7
� x �� ; �
�
3
6 , k ��. Suy ra: k �{ 0;1}
�.
�3 3 �

+ Với

x =-

2p
2p

+ k 2p
0 <+ k 2p < 3p
x
�
0;3
p
(
)
3
3
, k ��. Vì
nên
, k ��

1
11
4p
� �x=
3
6 , k ��. Suy ra: k = 1
3 .
�2p 4p 8p �
x �� ; ; �
�
�.
�3 3 3 �
Do đó
9

Vậy số nghiệm của phương trình là 3.
Câu 28.

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác

cos 2 x  cos x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   .

x
2.
A.
B. x  0 .
C. x   .
Lời giải
� 
cos x  0
x   k
�
cos x  cos x  0 � �
�� 2
�
cos x  1
�
x  k 2
�
Ta có

D.

x


4.

2

Với

x

 k �� .



 k
x
2
2.
, do 0  x   nên ta được

Với x  k 2 , do 0  x   nên khơng có x nào thỏa mãn.
Câu 29.

(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Phương trình cos 2 x  cos x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc
khoảng
A. 1 .

  ;   ?
B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

x    k 2
�
cos x  1
�
�
�
 k ��
�

1 ��
�
x  �  k 2
cos x 
2
3
�
�
2
Ta có: cos 2 x  cos x  0 � 2 cos x  cos x  1  0

Do
Câu 30.

x �  ;  


x�
3.
nên

(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình

� 9 �
� 15 �
sin �2 x  � 3cos �x 
� 1  2sin x
x � 0;2
2 �
�
� 2 �
với
là:
A. 6 .
B. 5 .
C. 3 .
Lời giải

� 9 �
� 15 �
sin �2 x  � 3cos �x 
� 1  2sin x
2 �
�
� 2 �

� �
� �
� sin �
2 x  � 3cos �x  � 1  2sin x
2�
�
� 2�
� cos 2 x  3sin x  1  2sin x
�
�
x  k
sin x  0
�
�

��
x   k 2  k ��
1��
�
� 6
sin x 
�
2
� 5
�
x
 k 2
� 6
� 2sin 2 x  sin x  0
10

D. 4 .


�  5 �
x�
0; ; ; �
x � 0; 2 
6 6 . Vậy có 4 nghiệm.
�
Do
nên
Câu 31.

2
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Phương trình 4 tan x  5 tan x  1  0 có m nghiệm

� 2017 2017 �

;
�
�
2 �?
trong khoảng � 2
A. m  2017 .
B. 4032 .

C. m  4034 .
Lời giải

D. m  2018 .

� 
tan x  1
x   k
�
�
2
�
4 tan x  5 tan x  1  0 �
�� 4
1
�
1
tan x 
�
x  arctan  k
�
4
 k �� .
�
4
Ta có

� 2017 2017 �

x ��
;
 k k ��
�


 do � 2
2 �nên có. 1008 �k �1008 . nên có 2017
4
 Với
nghiệm.
x

� 2017 2017 �
1
x ��
;
x  arctan  k k ��
�


2
2 �nên có 1008 �k �1008 nên có
�
4
 Với
do
2017 nghiệm và hai họ nghiệm khơng có nghiệm nào trùng nhau. Vậy ta có m  4034 .

Câu 32.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng
cos 2 x  3cos x  2  0 có tất cả m nghiệm. Tìm m .
A. m  1 .

B. m  3 .

 0;

C. m  4 .
Lời giải

2 

, phương trình

D. m  2 .

cos x  1
�
�
� 2 cos x  1  3cos x  2  0 �
1
2
�
cos x    cos
2
3
�
Phương trình
2

�
x    k 2 � 0; 2  � k  0 � x  
�

�
2
2
��
x
 k 2 � 0; 2  � k  0 � x 
� 3
3
�
2
4
�
x
 k 2 � 0; 2  � k  1 � x 
3
3
�
0;
Vậy trên khoảng 

Câu 33.

2 

, phương trình đã cho có 3 nghiệm là x   ,

x

2
4

x
3 ,
3 .

(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn

 0;10 

2
của phương trình sin 2 x  3sin 2 x  2  0 .
105
105
297
A. 2 .
B. 4 .
C. 4 .
Lời giải

11

299
D. 4 .


sin 2 x  1
�

��
� x    k
2

sin 2 x  2 (loa�
i) � sin 2 x  1
�
4
Ta có: sin 2 x  3sin 2 x  2  0
, k ��.

Theo đề bài:

0 �


1
 k �10 ۣ
�
k
4
4

Vậy tổng các nghiệm là:
Câu 34.

S

41
4 � k  1, 2,...,10 .

3 �3
�
�3

�
 �   � ...  �  9 � 105
4 �4
�
�4
� 2 .

 0; 200  của
(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn
2
phương trình 2 cos x  3sin x  3  0

B. T  10050 .

A. T  10150 .

C.

T

10403
2 .

D.

T

20301
2
.

Lời giải
t � 1;1
Đặt t  sin x , điều kiện
.
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2t  3t  5  0 . Phương trình có hai nghiệm t  1

(nhận),

t

5
2 (loại).

Với t  1 , suy ra

Ta có

sin x  1 � x  

0 ��
x 200


0�
2


 k 2 (k ��)

2
.

k 2� 200

1
4

k

401
4 . Vì k �� nên k � 1, 2,...,100 .

100
100
�
�
� �
T  ��
  k 2 � 100 �
 � 2 �k  50  10100  10050
�
� 2�
1 � 2
1
Khi đó
.

Câu 35.

(THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình
cos 2 x  3 cos x  1  0

A. 4 .

Ta có:
Đặt

�  �
 ; �
�
2 2 �là:
�
trong đoạn
B. 3 .
C. 2 .
Lời giải

cos 2 x  3 cos x  1  0 � 2 cos 2 x  3 cos x  2  0

t  cos x

, 0 �t �1 , ta được phương trình:

t  2
�
�
�
1
1

�
t
�t
2
2t  3t  2  0
� 2
2 . (vì 0 �t �1 )

12

D. 1 .

.



1
�
�
x

�
 k 2
cos
x

�
�
3
2

��
��
1
2
1
1

�
�
cos x  
x  �  k 2 � x  �  k
t
cos x 
�
�
2
3
�
2 , ta có:
2
3
Với

 k �� .

�  �

 ; �
x�
�

3.
Trên đoạn � 2 2 �phương trình có nghiệm là
Câu 36.

(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của
phương trình
11
S
12 .
A.

(2 cos x  5)(sin 4

B.

x
x
 cos 4 )  3  0
0; 2 
2
2
trong khoảng 

S

5
2 .

C. S  2 .

D.

S

7
12 .

Lời giải
x
x
 cos 4 )  3  0 � (2 cos x  5)   cos x   3  0
2
2
cos x  3(VN )
�
2
�
� 2 cos x  5cos x  3  0
�
1
�
cos x 
�
2
� 
x   k 2
�
3
��
, k ��


�
x    k 2
�
3
�

(2 cos x  5)(sin 4


5
x

,
x

0; 2  :
3
3 .
Trong khoảng 
Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng 2.1 Không cần biến đổi
Câu 37.

(PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tập xác định của hàm số sau

tan 2x
3 sin 2x  cos 2x .
 


�
�
D  �\ �  k ;  k ; k ���
2 12
2
�4
A.
.
 
�
�
D  �\ �  k ; k ; k ���
2 2
�4
C.
.
y

 

�
�
D  �\ �  k ;  k ; k ���
2 5
2
�6
B.
.
 


�
�
D  �\ �  k ;  k ; k ���
2 12
2
�3
D.
.
Lời giải

Chọn A

Điều kiện


� 

�
x
�

k
�
� 2x �  k
�
2
2
�� 4
�
� 3 sin 2x  cos 2x �0

�x �  k 
�
� 12
2
13

.


 

�
�
D  �\ �  k ;  k ; k ���
2 12
2
�4
Vậy, tập xác định của hàm số là
.
Câu 38.

(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Phương trình 3 sin 2 x  cos 2 x  2 có tập nghiệm là
� k
�
�2
�
S � 
| k ���
S  �  k 2 | k ���
�3 2

�3
A.
.
B.
.
�
�
�5
�
S  �  k | k ��� S  �  k | k ���
�3
�12
C.
.D.
.
Lời giải

Ta có:

� 2x 

3 sin 2 x  cos 2 x  2

�

� �
3
1
2 x  � 1
sin 2 x  cos 2 x  1 � sin �

6�
�
2
2

 

  k 2 � x   k
6 2
3

 k �� .

�
�
S  �  k | k ���
�3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
.

Câu 39.

(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Tất cả các nghiệm của phương trình
sin x  3 cos x  1 là:


 k 2
6
A.
, k ��.

5
x
 k
6
C.
, k ��.
x


�
x


 k 2
�
6
�

�
x   k 2
B. � 2
, k ��.
5
x
 k 2
6
D.
, k ��.
Lời giải


�
x    k 2
�
6
��
� � 1

�
� sin �x  �
x   k 2
� 2
� 3� 2
Ta có sin x  3 cos x  1
, k ��.


�
x    k 2
�
6
�

�
x   k 2
�
2
Vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là
, k ��.
Câu 40.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các họ nghiệm của phương trình
sin x  cos x  1 là
x  k 2
�
� 
�
x   k 2
A. � 2
, k ��.

B. x  k 2 , k ��.

14


� 
x   k 2
�
4
�


�
x    k 2
x   k 2
4
4
C.
, k ��. D. �

, k ��.
Lời giải


� �
� � 1
� �
sin x  cos x  1 � 2 sin �x  � 1 � sin �x  �
� sin �x  � sin
4
� 4�
� 4� 2
� 4�
Ta có:
�  
x  k 2
x    k 2
�
�
4
4
�
��
�

�
 3
x   k 2
�
x 

 k 2
� 2
 k �� .
� 4
4
Câu 41.

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x  3 cos x  1 có tập nghiệm
là:


�
�
�  k ;   k �
2
A. � 6
, với k �Z .

�
�
�  k 2 ;   k 2 �
2
C. � 6
, với k �Z .


�
�
�  k 2 ;  k 2 �
2

B. � 6
, với k �Z .

�7
�
�  k 2 ;  k 2 �
2
D. �6
, với k �Z .
Lời giải

Ta có sin x  3 cos x  1

�


� �
1
3
1
sin x 
cos x  � sin �x  � sin
6
� 3�
2
2
2


�  

�
x    k 2
x    k 2
�
�
3 6
6
��
��
 k �Z



�
�
x      k 2
x   k 2
�
� 2
6
� 3
.
Câu 42.

(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin 3 x  cos 3 x  2 .



x   k , k ��
x   k , k ��

3
6
3
A.
.
B.
.
C.

x


2

2
k
, k ��
x k
, k ��
9
3
12
3
. D.
.
Lời giải

� �
� cos �
3x  � 1 � 3x    k 2 � x    k 2 , k ��

� 4�
sin 3x  cos 3 x  2
4
12
3
.
Dạng 2.2 Cần biến đổi
Câu 43.

2
(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 2sin x  3 sin 2 x  3


2
5
x    k
x   k
x
 k
x
 k
3
3
3
3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Lời giải

15


2
Ta có 2sin x  3 sin 2 x  3 � 1  cos 2 x  3 sin 2 x  3
3
1
�
sin 2 x  cos 2 x  1
� 3 sin 2 x  cos 2 x  2
2
2
� �
� sin �
2 x  � 1 � 2 x      k 2 � x    k
6�
�
6 2
3
.

� �
� �
3 cos �x  � sin �x  � 2sin 2 x.
� 2�

� 2�

Câu 44. Giải phương trình
2
� 
x k
�
18
3
, k ��.
�

2
�
x k
�
18
3
A. �

� 5
x
 k 2
�
6
, k ��.
�

2
�

x  k
�
3
B. � 18
� 5
x
 k 2
�
6
, k ��.
�
7
�
x
 k 2
�
D. � 6

� 7
x
 k 2
�
6
, k ��.
�

2
�
x k
�

18
3
C. �

Lời giải
Chọn C

� �
� �
cos �x  �  sin x
sin �x  �  cos x
� 2�
� 2�
Ta có
và
.
Do đó phương trình �  3 sin x  cos x  2sin 2 x � 3 sin x  cos x  2sin 2 x .
�

3
1
� �
� �
sin x  cos x   sin 2 x � sin �x  �  sin 2 x � sin �x  � sin  2 x 
2
2
� 6�
� 6�
.


2
� 
�
x   2 x  k 2
x  k
�
�
6
18
3
��
��

5
�
�
x     2 x  k 2
x
 k 2
�
�
6
� 6
�
Xét nghiệm

x

5

7
k 1 k '
 k 2 ����
�x 
 k ' 2
k��, k '��
6
6
.

Vậy phương trình có nghiệm
Câu 45.

 k �� .

x


2
7
k
, x
 k ' 2  k , k ' �� .
18
3
6

sin 2 x  3 sin x cos x  1 là:
Nghiệm của phương trình


5
x   k 2 ; x 
 k 2
6
6
.
A.

B.

16

x



 k 2 ; x   k 2
2
6
.


x


5
 k 2 ; x  
 k 2
6
6

.

D.

x



 k ; x   k
2
6
.

C.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1  cos 2 x
3

sin 2 x  1
2
2
3
1
1
� � 1
�
sin 2 x  cos 2 x  � sin �
2 x  �

2
2
2
6� 2
�

sin 2 x  3 sin x cos x  1 �

 
�
� 
x   k
�2 x  6  6  k 2
�
6
��
��
 5

�
�
2x  
 k 2
x   k
� 6
� 2
6
�
.
Câu 46. Phương trình sin x  cos x  2 sin 5 x có nghiệm là:.


� 
x  k
�
4
2
�


�
x  k
3.
A. � 6


� 
x
k
�
12
2
�


�
x
k
3.
B. � 24


� 
x  k
�
16
2
�


�
x  k
3 .
C. � 8
Lời giải


� 
x  k
�
18
2
�


�
x  k
3 .
D. � 9

Chọn C
Phương trình tương đương

sin x  cos x  2 sin 5 x

� �
� �
� 2 sin �x  � 2 sin 5 x � sin �x  � sin 5 x
� 4�
� 4�

� 
� 
x  k
x   5 x  k 2
�
�
16
2
�� 4
��



�
�
x     5 x  k 2
x  k
� 4
3

� 8
3
Câu 47. Phương trình: 3sin 3x  3 sin 9 x  1  4sin 3 x có các nghiệm là:



2

2
�
�
�
x  k
x  k
x k
�
�
�
54
9
12
9
9
9
�
�
�

2
7

2
7
2
�
�
�
x  k
x
k
x
k
�
�
9 .
9 . C. �
9 .
� 12
A. � 18
B. � 9
Lời giải

Chọn A

17


2
�
x k
�

6
9
�
7
2
�
x
k
�
9 .
D. � 6


Ta có

3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3 x �  3sin 3 x  4sin 3 3 x   3 cos 9 x  1

� �
� sin 9 x  3 cos 9 x  1 � sin �
9 x  �
3�
�
Câu 48.

 k 2
�  
�
9 x    k 2
x 
�

�
1
3 6
54
9
��
��
 5
 k 2
2
�
�
9x  
 k 2
x 
� 3
�
6
9
�
� 18
.

(THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình
sin x  3 cos x  2sin 3 x là



2
x  k

x   k 2
x
 k 2
3
2 , k ��. B.
3
3
A.
hoặc
, k ��.

4


2
x    k 2
x
 k 2
x   k
x  k
3
3
6
6
3 , k ��.
C.
hoặc
, k ��. D.
hoặc
Lời giải

Chọn A
Ta có
�

sin x  3 cos x  2sin 3x

1
3
sin x 
cos x  sin 3 x
2
2

� cos



sin x  sin cos x  sin 3 x
3
3

� �
� sin �x  � sin 3 x
� 3�

� 
x   3 x  k 2
�
3
��


�
x     3 x  k 2
�
� 3


�
x    k
�
6
��




�
x k
� x   k , k ��
�
2
� 3
3
2
.
Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm
Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm
Câu 49.

(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình


�
�
cos 2 x  sin 2 x  2  cos 2 �  x �
�2
�trên khoảng  0;3  là
A. 4.
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
18

D. 3 .



�
�
cos 2 x  sin 2 x  2  cos 2 �  x �
�2
�� cos 2 x  sin 2 x  2  sin 2 x � cos 2 x  sin 2 x  2
� �
� �
� 2 cos �
2 x  � 2 � cos �
2 x  � 1 � 2 x    k 2 � x     k
 k ��
4

4�
�
�
�
4
8

 0;3  � x 
Trên
Câu 50.

7
15
23
x
x
8 ,
8 ,
8 .

(THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất cả các nghiệm
thuộc khoảng

 0;  

của phương trình:

2 cos 3x  sin x  cos x .
3
B. 2 .

A. 3 .

C.  .
Hướng dẫn giải


D. 2 .

Chọn B

Ta có:

Vì


�
x    k
�
8
��


� �
� cos 3 x  cos �x  � �
x  k
2
� 16
� 4� �
2 cos 3x  sin x  cos x

x � 0;  

nên nhận

x

 k ��
.

7

9
x
x
8 ,
16 ,
16 .

2
2
 0; 2  .
Câu 51. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos x  sin 2 x  2  sin x trên khoảng
3
7
21
11
T
.
T

.
T
.
T
.
4
8
8
4
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Chọn D
2
2
Phương trình � cos x  sin x  sin 2 x  2 � cos 2 x  sin 2 x  2 .



� �
� cos �2 x  � 1 � 2 x   k 2 � x    k  k �� .
4�
4
8
�
7
�

k 1� x 
�

1
17 k��
8
0  x  2 ��
� 0    k  2 �  k  ��
�
��
15
8
8
8
�
k 2�x
�
8 .
�
Do
��
�T 

7 15 11

 .
8
8
4

19


Câu 52. Biến đổi phương trình

cos 3 x  sin x  3  cos x  sin 3 x 

�  �
� ; �
b , d thuộc khoảng � 2 2 �. Tính b  d .


bd  .
bd  .
2
4
A.
B.

về dạng

sin  ax  b   sin  cx  d 


bd   .
3
C.
Lời giải

D.

bd 

với


.
12

Chọn A
Phương trình � 3 sin 3x  cos 3x  sin x  3 cos x .
�

3
1
1
3
� �
� �
sin 3 x  cos 3 x  sin x 
cos x � sin �
3 x  � sin �x  �
.
2
2
2
2
� 6�
� 3�

Suy ra

bd 

  
  .
6 3 2 .

��
0; �
�
2 �là?
sin
5
x

3
cos
5
x

2sin
7
x
�
Câu 53. Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
A. 1.

B. 3.

C. 4.
Lời giải

D. 2.

Chọn C
�
Phương trình

1
3
� �
sin 5 x 
cos 5 x  sin 7 x � sin �
5 x  � sin 7 x
2
2
3�
�
.


�
� 
7 x  5 x   k 2
x   k
�
�
3

� � �
6
� sin 7 x  sin �
5 x  ��
��

 k
3� �
�
�
�
�
7x    �
5 x  � k 2
x 
�
�
3�
� 18 6
�
�


0

 k �� .



1

1 k��

 k  �   k  ��
�
�k  0 � x  .
6
2
6
3
6


�
k 0�x
�
18
�

 
1
8 k�� �
2
0   k  �   k  ��
�
� k 1� x 
.
�
18
6 2
3

3
9
�
7
�
k 2�x
18
�

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.
Câu 54.

(TỐN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Phương trình
0; 4035 
đoạn 
?
2016
A.
.

B. 2017 .

3 cos x  sin x  2 có bao nhiêu nghiệm trên
C. 2011 .

20

D. 2018 .

Lời giải
3 cos x  sin x  2

Ta có

� x

 3

 k 2
3 2

Trên đoạn

�

� �
3
1
cos x  sin x  1 � sin �x  � 1
� 3�
2
2

 k �� � x 

 0; 4035  , các giá trị

7
 k 2

6

 k �� .

k �� thỏa bài toán thuộc tập  0;1; 2;K ; 2016 .

0; 4035 
Do đó có 2017 nghiệm của phương trình thuộc đoạn 
.

Câu 55.

�    �
 �� ; ; ; �
�6 4 3 2 để
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tìm góc
phương

trình

cos 2 x  3 sin 2 x  2 cos x  0

cos  2 x     cos x

A.




6.

tương

đương

với

phương

trình

.
B.




4.



C.
Lời giải


2.

D.




3.

�  k 2
2 x    x  k 2
x 
�
cos  2 x     cos x � �
�� 3
3
�
2 x     x  k 2
�
x



k
2

�
cos 2 x  3 sin 2 x  2 cos x  0

�

1
3
cos 2 x 
sin 2 x  cos x

2
2

� 
x   k 2
�
3
��
� �
 k 2
�
� cos �2 x  � cos x
x 
�
3�
3
� 9
�

 
�

�

�3 9
� 
�

3
�


Để hai phương trình tương đương cần có � 3
.
Câu 56.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho phương trình sin x  cos x  1 có hai họ nghiệm có
0 �a, b   
dạng x  a  k 2 và x  b  k 2 
. Khi đó a  b bằng bao nhiêu?
2
3

a b 
a b 
ab 
3 .
5 .
2.
A.
B.
C.
D. a  b   .
Lời giải

�2
�
2
� � 2
sin x  cos x  1 � 2 �
sin

x

cos
x

1
�
sin
�
�x  �
�2
�
2
� 4� 2
�
�
Ta có:
21


�  
x  k 2
x    k 2
�
�

� �
4
4
�

� sin �x  � sin � �
�

�
 3
4
x   k 2
� 4�
�
x 
 k 2
� 2
� 4
4

Suy ra: a  0 và
Câu 57.

b

 k �� .



a b 
2 nên
2.

(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x  3 cos x  0
2 ; 2 

có bao nhiêu nghiệm thuộc 
.
5
A. .
B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

� �
� sin �x  � 0 � x    k , k �Z
� 3�
3
Ta có sin x  3 cos x  0
x � 2 ; 2 

Vì
nghiệm x .
Câu 58.

7
5
2 �x �2 �  �k �
3
3 . Do đó có 4 giá trị k , tương ứng có bốn
nên

(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình

� 5 �
0;
�
2 cos x  3 sin 2 x  3 trên � 2 �
�là:
7
7
A. 6 .
B. 3 .
2

7
C. 2 .

D. 2 .

Lời giải

� �
�
cos
2 x  � 1
�
3�
2 cos 2 x  3 sin 2 x  3 � cos 2 x  3 sin 2 x  2
�
� 2x 




 k 2 � x   k k ��

.
3
6

5

5
0  x � � 0   k �
2
6
2 � k  0 , k 1, k  2 .
Xét

Với

k 0� x


7
13
k 1� x 
k 2�x
6;
6 ;
6 .

7

Vậy tổng các nghiệm bằng 2 .
Câu 59.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T các nghiệm của phương

�
�
cos 2 x  sin 2 x  2  cos 2 �  x �
�2
�trên khoảng  0; 2  .
trình

22


A.

T

7
8 .

B.

T

21
8 .

T

C.
Lời giải

11
4 .

D.

T

3
4 .

�
�
cos 2 x  sin 2 x  2  cos 2 �  x �
�2
�� cos 2 x  sin 2 x  2  sin 2 x
Ta có
� �

cos �
2 x  � 1
2 x   k 2
4
�
� �
� cos 2 x  sin 2 x  2 �
4

, k ��
�

x


 k
8
, k ��


1
17
 k  2
k
� 8
8
8
Vì 0  x  2 �
7
15
x1 
; x2 
k
�
1;
2


�

8
8
Vì k �� nên
11
x1  x2 
4 .
Vậy
0

x
Câu 60. Gọi 0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9 x  3 cos 7 x  sin 7 x  3 cos 9 x . Mệnh đề nào sau đây
là đúng?
�  �
x0 ��
 ; �
.
2
3
�
�
A.

� �
x0 �� ;0 �
.
12
�
�
B.

�  �
x0 ��
 ; �
.
6
12
�
�
C.
Lời giải

�  �
x0 ��
 ; �
.
3
6
�
�
D.

Chọn B
Phương trình � sin 9 x  3 cos 9 x  sin 7 x  3 cos 7 x .


� 
9 x   7 x   k 2
x  k
�
�

3
� �
� � � 3
�
� sin �
9 x  � sin �
7 x  ��
�
5 k
�
3�
3� � 
� �
x

�
�
9x     �
7 x  � k 2
48
8
�
�
3�
�
� 3
.
k ��
�
k  0 � k  0 ��

�
� kmax  1 � x  
Cho  0
�
���� 5 k
5 k��
 .
� 
 0 � k   ��
�
� k max  1 � x  
�48 8
6
48 So sánh hai nghiệm ta được

x
nghiệm âm lớn nhất của phương trình là

 � �
�� ;0 �
.
48 � 12 �

Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm
Câu 61.

(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b,
c để phương trình a sinx  bcosx  c có nghiệm?
2
2

2
A. a  b  c

2
2
2
B. a  b �c

2
2
2
C. a  b  c
Lời giải

23

2
2
2
D. a  b �c


2
2
2
Điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sinx  bcosx  c có nghiệm là: a  b �c .

Câu 62.

(THPT THIỆU HÓA – THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm m để phương trình

3sin x  4 cos x  2m có nghiệm?

5
5
 m�
2
A. 2

B.

m �

5
2

5
m�
2
C.
Lời giải

5
5
 �m �
2
D. 2

Chọn D

� 32   4  � 2m  ۣ 4m 2

Phương trình có nghiệm
2

Câu 63.

2

5
5
�  �m �
25
2
2.

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

[- 2018; 2018] để phương trình
tham số m thuộc đoạn
( m +1) sin 2 x - sin 2 x + cos 2 x = 0 có nghiệm?
A. 4036

B. 2020

C. 4037
D. 2019
Lời giải
1- cos 2 x
- sin 2 x + cos 2 x = 0
( m +1) sin 2 x - sin 2 x + cos 2 x = 0 � ( m +1) .
2

Ta có:

� 2sin 2 x + ( m - 1) cos 2 x = m +1
2
(m 1) 2 (m 1) 2 m 1 kết hợp với điều
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là: 2 +-�+
kiện của đề bài ta có: - 2018 �m �1 . Suy ra có 2020 số giá trị ngun để phương trình có
nghiệm.

Câu 64.

(CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số các giá trị nguyên
m cos x   m  2  sin x  2 m  1  0
của m để phương trình
có nghiệm.
A. 0
B. 3
C. vơ số
D. 1
Lời giải

Chọn D
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
3
3
2
2
m 2   m  2  � 2m  1 � 2m2  3 �0 �  2 �m � 2

Vậy có 1 giá trị nguyên.

Câu 65.

(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Để
phương trình m sin 2 x  cos2x  2 có nghiệm thì m thỏa mãn:
A. m �1.

�
m� 3
.
�
m � 3
�
B.

�
m� 2
.
�
m � 2
�
C.
Lời giải
24

D. m �1.


Chọn B
m sin 2 x  cos2x  2
m

1
2
�
sin 2x 
cos 2 x 
m2  1
m2  1
m2  1
2
� sin  2 x    
m2  1
�
m� 3
�1 � �
.
m2  1
m � 3
�
2

có nghiệm khi
Câu 66.

(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của
m để phương trình

4sin x + ( m - 4) cosx - 2m + 5 = 0
B. 6

A. 5

C. 10
Lời giải

có nghiệm là:
D. 3

Chọn A

4sin x + ( m - 4) cosx - 2m + 5 = 0 � 4sin x + ( m - 4) cosx = 2m - 5
2

.

2

42 + ( m - 4) - ( 2m - 5) �0 � - 3m2 + 12m + 7 �0
Phương trình có nghiệm khi
6ۣ�

57

m

3

Vì m �� nên

6 + 57
3

{

}.

m � 0,1,2,3,4

Vây tổng tất cả các giá trị ngun của m để phương trình có nghiệm là 10 .
Câu 67.

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

 2018; 2018 để phương trình  m  1 sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  0 có
tham số m thuộc đoạn
nghiệm?
A. 4036 .
B. 2020 .
C. 4037 .
D. 2019 .
Lời giải
Chọn B
 m  1 sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  0

 m  1

 1  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  0
2
�  m  1  1  cos 2 x   2sin 2 x  2cos 2 x  0
�

� 2sin 2 x   1  m  cos 2 x  m  1
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

4   1  m  � m  1
2

 ۣ 4m 4

2

m 1
25