Phuong Phap Toa Do Trong Khong Gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian</b>
<b>Chủ đề: Phương Trình Mặt Phẳng</b>
<b>I- Một số kiến thức cần lưu ý:</b>

1.Véctơ

<i>n</i>



0





nằm trên đường thẳng vng góc với mp(



) được gọi là véc tơ
pháp tuyến của mp(



).

Ta thấy phương trình của chùm mặt phẳng rất đơn giản nhưng nó lại giúp chúng
ta giải được rất nhiều bài tốn về phương trình mặt phẳng một cách độc đáo và cực kì
ngắn gọn.

3. Phương trình Ax+By+Cz+D=0 với

<i>A</i>

2



<i>B</i>

2



<i>C</i>

2



0

gọi là phương trình
tổng quát của mặt phẳng (



). Khi đó mp(



) có một véctơ pháp tuyến là

<i>n A B C</i>

( ; ; )



.
4. Mp(



) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có véctơ pháp tuyến

<i>n A B C</i>

( ; ; )



thì mp(



) có phương trình là A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

2. Nếu 2 véctơ

<i>u v</i>

,

 

là 2 véc tơ khơng cùng phương và có giá song song hoặc nằm

trên mp(



) thì véctơ

<i>n</i>







<i>u v</i>

,







 

là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (



).

5. Nếu (



) đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với

<i>abc</i>



0

thì phương

trình mặt phẳng (ABC) là

1

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>



_{(1). PT(1) được gọi là PT mặt phẳng theo đoạn}
chắn.

6. Các mp(Oxy); (Oyz); (Oxz) có phương trình lần lượt là z=0; x=0; y=0

7. Hình chiếu của điểm M(a;b;c) trên các trục toạ độ Ox; Oy; Oz lần lượt là
Mx(a;0;0); My(0;b;0); Mz(0;0;c). Hình chiếu của M trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy);
(Oyz); (Oxz) lần lượt là M1(a;b;0); M2(0;b;c); M3(a;0;c).

8. Điểm đối xứng với điểm M(a;b;c) qua các mặt phẳng toạ độ (Oxy); (Oyz);
(Oxz) lần lượt là <i>M a b c</i>1'( ; ; ) ;

'

2( ; ; )

<i>M</i> <i>a b c</i> _;<i>M a b c</i>₃'( ; ; )

<b>Dạng 1:</b> Viết phương trỡnh mp( ) đi qua 3 điểm khụng thẳng hàng A, B, C.
B1: Tìm toạ độ AB, AC

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B2: T×m nAB, AC

  

B3: ViÕt PT mp(P) đi qua điểm A và nhận n

làm VTPT.

<b>Dạng 2: Viết phương trình mp</b>( ) <b>_{đi qua điểm M}</b>

<b>0 cho trước và song song với mp(</b><b>)</b>
<b>cho trước (</b><i>M</i>0( ) <b>).</b>

B1: T×m VTPT n



cđa mp( )

B2: Mp ( ) cần tìm đi qua điểm M0 và nhËn n



lµm VTPT.

<b>Dạng 3:Viết phương trỡnh mp trung trực của đoạn thẳng AB.</b>
B1: Tìm toạ độ AB



và toạ độ trung điểm I của đoạn AB.
B2: Mp cần tìm đi qua điểm I và nhận AB



</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Dạng 4: Viết phương trình mp</b>

( )



<b> đi qua điểm M0 cho trước và vng góc với</b>
<b>đường thẳng d cho trước.</b>

B1: T×m VTCP u



cđa d.

B2: ViÕt PT mp( ) đia qua điểm M0 và nhận u



lµm VTPT.

<b>Dạng 5: Viết phương trình mp</b>

( )



<b> đi qua điểm M0 và song song với hai đường</b>
<b>thẳng phân biệt d1; d2 cho trước. (d1 v d2 khụng song song)</b>

B1: Tìm các VTCP u , u1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

cđa d1 vµ d2.
B2: T×m nu , u1 2

  

B3: ViÕt PT mp() ®i qua ®iĨm M0 vµ nhËn n



lµm VTPT.

<b>Dạng 6: Viết phương trình mp</b>

( )



<b> đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước.</b>
<b>(</b>

<i>M</i>

0



<i>d</i>

<b>₎</b>

B1: Tìm toạ độ điểm M0 d và VTCP u



cđa d.
B2: T×m nAM , u0 

  

B3: ViÕt PT mp() ®i qua ®iĨm A vµ nhËn n



lµm VTPT.

<b>Dạng 7: Viết phương trình mp</b>

( )



<b> chứa đường thẳng d1 và song song với đường</b>

<b>thẳng d2 cho trước. (d1 và d2 khơng song song)</b>

B1: Tìm toạ độ điểm M1d1 và VTCP u , u1 2

 

cđa d1 vµ d2.
B2; T×m nu , u1 2

  

B3: ViÕt PT mp () đi qua điểm M1 và nhận n

làm VTPT.

<b>Dạng 8: Viết phương trỡnh mp</b>

( )



<b> chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1 và d2.</b>
B1: Tìm toạ độ điểm M1 d1 (hoặc điểm M2 d2 ) và các VTCP u , u1 2

của d1 và
d2.

B2: Tìm nu , u1 2

  

B3: ViÕt PT mp () đi qua điểm M1 (hoặc M2) và nhận n

lµm VTPT.

<b>Dạng 9: Viết phương trỡnh mp</b>

( )



<b> chứa 2 đường thẳng song song d1 và d2.</b>
B1: Tìm toạ độ điểm M1d1 và điểm M2d2 và các VTCP u



cđa d1.
B2: T×m nu, M M1 2

  

B3: ViÕt PT mp () đi qua điểm M1 (hoặc M2) và nhËn n



lµm VTPT

<b>Dạng 10: Viết phương trình mp</b>( ) <b>đi qua 2 điểm A, B và vng góc với mp(</b><b>_{) cho}</b>

<b>trước. (AB khụng vuụng gúc với </b>( ) <b>). </b>
B1: Tìm toạ độ AB



vµ VTPT n


</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

B2: T×m nAB, n

  

B3: ViÕt PT mp () đi qua điểm A (hoặc B) và nhËn n



lµm VTPT.

<b>Dạng 11: Viết phương trình mp</b>( ) <b> chứa đường thẳng d và vng góc với mp</b>( )
<b>cho trước. (đường thẳng d khơng vng góc với </b>( ) <b>)</b>

B1: Tìm toạ độ điểm Md , VTCP u



cđa d vµ VTPT n


cđa ().
B2: nu, n

 

B3: Viết PT mp () đi qua điểm M và nhËn n



lµm VTPT.

<b>Dạng 12: Viết phương trình mp</b>

( )



<b> đi qua điểm M0 và vng góc với 2 mp (P) và</b>
<b>(Q) cho trước. (Hai mp (P) và (Q) khụng song song).</b>

B1: Tìm các VTPT n , n1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 


của (P) và (Q)
B2: Tìm nn , n1 2

  

B3: ViÕt PT mp () ®i qua ®iĨm M0 vµ nhËn n



lµm VTPT

<b>Dạng 13: Viết phương trình mp</b>( ) <b> đi qua điểm M0, song song với đường thẳng d và</b>
<b>vng góc với mp(</b>



<b>) cho trước.(đường thẳng d không song song với mp(</b>)).

B1: Tìm toạ độ VTCP u



cđa d vµ VTPT n


cđa mp.
B2: T×m nu, n

  

B3: ViÕt PT mp () đi qua điểm M0 và nhận n

làm VTPT

<b>Dạng 14:Viết PT mp</b>

( )

<b>tiếp xúc với mặt cầu tâm I tại điểm H</b>

B1: Tỡm to IH

B2: Viết PT mp() đi qua điểm H và nhận IH

làm VTPT.

Bài 1: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4); B(-1;-3;5).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với A(2;3;1); B(4;1;-2); C(6;3;7); D(-5;-4;8).

a) Viết PT mặt phẳng (ABC).

b) Tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ D.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm A(1;0;2) và song song với mp(Oxy).
b) Đi qua điểm M(2;-4;3) và vng góc với trục Ox.

c) Đi qua điểm I(-1;2;4) và song song với mp: 2x-3y+5z-1=0

Bài 4: Viết PT mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của điểm M(1;2;-3) trên các trục toạ độ.
Bài 5: Viết phương trình của mp(P) chứa gốc toạ độ và vng góc với cả hai mặt phẳng
có phương trình:

x-y+z-7=0 và 3x+2y-12z+5=0

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A((1;0;-2); B(-1;-1;3) và mp(P):
2x-y+2z+1=0. Viết phương trình mp(Q) đi qua 2 điểm A, B và vng góc với mp(P).

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

2

1
2

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>

<i>z</i> <i>t</i>

 



 

 

 _{và điểm A(1;-2;2). Viết}
phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.

Bài 9: Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 <i>x y z</i>   4 0 và

( ') : <i>x y</i>  3<i>z</i>1 0 _{. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;0;1) và chứa}
đường thẳng d.

Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy và đi qua điểm A(-1;3;-2)

Bài 11: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng
1

2 2

: 1

1

<i>x</i> <i>t</i>

<i>d</i> <i>y</i> <i>t</i>

<i>z</i>

 



 


 

 _và

2

1

: 1

3

<i>x</i>

<i>d</i> <i>y</i> <i>t</i>

<i>z</i> <i>t</i>





 

  

 _{. Viết}

phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2.

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng: ( ) : x-2y+z-4=0 ; ( ') :
x+2y-2z+4=0.

a) Chứng tỏ hai mặt phẳng( ), ( ')  cắt nhau theo một giao tuyến d1.

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với đường thẳng d2:

1
2
1 2

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>

<i>z</i> <i>t</i>

 



 

  


Bài 13: Trong không gian cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương
trình x-2y-z-2=0 và x+2y-4=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vng góc với
mp(Q): 2x-y+2z-3=0.

Bài 14: Trong khơng gian Oxyz cho 2 mặt phẳng ( ) : 2 <i>x y</i> 1 0 và ( ') : <i>z</i>1 0 .
a) Chứng tỏ 2 mặt phẳng ( );( ')  cắt nhau theo một giao tuyến d.

b) Viết phương trình mp(P) chứa d và cách điểm I(-1;2;3) một khoảng bằng 3.

( _{): Ax+By+Cz+D=0}
(): A’x+B’y+C’z+D’=0

Tập hợp các mặt phẳng () chứa đường thẳng d nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác
định bởi ( ) và ( ) và kí hiệu là (( ),( ))  . Người ta chứng minh được phương trình
của chùm (( ),( ))  có dạng:

m(Ax+By+Cz+D)+m(A’x+B’y+C’z+D’)=0 với m2n2 0_.

</div>

<!--links-->