Chinh phục toán THPT chương 2 hàm số mũ và logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.36 MB, 189 trang )
CHƯƠNG II. MŨ VÀ LOGARIT
Chủ đề 1: LŨY THỪA ................................................................................................................. 2
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA ........................................................................................... 12
CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT ............................................................................................................... 17
CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT .............................................................. 43
CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ ......................................................................................... 78
CHỦ ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .............................................................................. 107
CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................ 119
CHỦ ĐỀ 8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................... 145
CHỦ ĐỀ 9 : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ
............................................................................................................................... 158
CHỦ ĐỀ 10: ỨNG DỤNG MŨ VÀ LOGARIT-GTLN, GTNN CỦA MŨ VÀ LOGARIT
NHIỀU BIẾN ....................................................................................................... 173
Trang 1
Page: Chinh phục toán THPT
Chủ đề 1: LŨY THỪA
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Luỹ thừa vói số mũ nguyên
Luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
Cho a và n * . Khi đó a n a
.a.a
........
a.
n thừa số
Luỹ thừa với sổ mũ ngun âm, luỹ thừa với số mũ 0
Cho a và n * .Khi đó a n
1 0
; a 1.
an
Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của luỹ thừa với số mũ
nguyên dương.
Chú ý: 00 và 0 n n * khơng có nghĩa.
2. Căn bậc n .
Cho số thực b và số nguyên dương n 2.
Sô a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n b.
Khi n lẻ ; b :Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là
n
b .
Khi n chẵn và b 0 thì không tồn tại căn bậc n của số b .
Khi n chẵn; b 0 chỉ có duy nhất một căn bậc n của số b là
Khi n chẵn; b 0 có 2 căn bậc n của số thực b là
n
n
0 0
b và n b .
3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ
m
Cho số thực a 0 và số hữu tỷ r
m
, trong đó m ; n , n 2. .Khi đó a r a n n a m
n
4. Luỹ thừa vói số mũ vơ tỷ
Giả sử a là một số dương và là một số vô tỷ và rn là một dãy số hữu tỷ sao cho lim rn
m
n
Khi đó lim a r a .
m
5. Các tính chất
Cho hai số dương a; b và m; n . Khi đó ta có cơng thức sau.
Trang 2
Page: Chinh phục tốn THPT
Nhóm cơng thức 1
Nhóm cơng thức 2
1. a m .a n a m n
2.
n
a
1. a n n a m
n
m
am
1
a mn m 0 n a n m
n
a
a
2. a n .b n ab , n a . n b n ab
3.
3. a m
n
n
n
a m.n
an a n a n a
,
.
bn b n b
b
a 0 a
+) Tính chất 1: 1
a
a a
a 1: a m a n m n
+) Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):
m
n
0 a 1: a a m n
a m bm m 0
+) Tính chất 3(so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a b 0 thì m
m
a b m 0
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức A
A. A a
49
12
a . a .
3
B. A a
3
4
133
60
a
5
a 0 ta được:
C. A a
23
12
D. A a
5
2
Lời giải
3
2
4
3
5
4
Ta có: A a . a . a a .a .a a
3 3
4 4
5
3 4 5
2 3 4
a
49
12
Chọn A.
Cách 2 : Các em có thể cho a 2 và bấm log 2
3 3
4 4
2 . 2 . 2
5
49
49
12
A a (tại sao
12
lại làm được như vậy các em học phần Logarit rồi quay lại bàí này nhé )
1
2
1
3 6
Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A b .b . b b 0 ta được:
A. A b2
B. A b3
C. A b
D.
3
b2
Lời giải
1
1
1
1 1 1
3 6
Ta có: A b 2 .b 3 .b 6 b 2
Trang 3
b
Page: Chinh phục toán THPT
1
3
1
3 6
( Các em có thể cho b 2 và bấm máy log 2 2 .2 . 2 1 A b ).
Chọn C.
Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức A
A. A a
B. A a
2
a. 3 a 2
6
a
a 0
5
6
ta được:
C. A a
5
6
D. A a
Lời giải
1
2
2
3
1 2 1
a. a
a .a
2 3 6
a
a.
1
6
a
a6
3
Ta có: A
2
Chọn D.
Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức A 3 a . 4 a .12 a 5 a 0 ta được:
5
2
B. A a 6
A. A a 2
C. A a 3
D. A a
Lời giải
1
1
1 1 5
4 12
5
Ta có: A a 3 .a 4 .a 12 a 3
a.
Chọn D.
Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức A a1 3 . a 2 3 . a5
3
A. A a 2 2
B. A a 2
3
6
3
a 0
C. A a 3
3
ta được:
3
D. A a1
3
Lời giải
Ta có: A a
1 3
2
.a
2 3
3
.a
1 3
6
a
1 3 2 3 5 3
2
3
6
aa
2 3
.
Chọn B.
Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức A a . 3 a 6 a 0 ta được:
A. A a
2 3
2
B. A a
2 3
3
C. A a
5 3
3
D. A a
4 3
3
Lời giải
3
Ta có: A a . a
3
4 3
6
3 3
3
6 a . a .a a3 a a .a
a 3 .
2
3
Chọn D.
Trang 4
Page: Chinh phục toán THPT
(Cách ra đề này nhằm hạn chế việc sử dụng CASIO )
Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức A a 2
A. A a 3
3 2 2
B. A a 3 2
2
.a1 2 .a 4
2
a 0
C. A a 3
2
ta được:
D. A a 2 2
2
2
Lời giải
Ta có: A a 6 4 2 .a1 2 .a 4
2
a 6 4
2 1 2 4 2
a
3 2 2
.
Chọn B.
Ví dụ 8: Đơn giản biểu thức A
A. A a
1
a
a 4 4
B. A a 2
2
1
a
a2
2
.a
1 2 2
. ta được:
C. A a
1
a
D. A a 2 a
Lời giải
Ta
A
có:
a
4 4 2
a
2 2
.a
1 2 2
4 4
a 2
2
a 2 2 .a 1 2
2
a 2 2
2 1 2 2
a2
2
1 2 2
1
a a 1 a .
a
Chọn A.
Ví dụ 9: Đơn giản biểu thức A 3 a 3
5
A. A a 6
5
B. A a 18
1
a 3 ta được:
2
a
5
5
C. A a 9
D. A a 16
Lời giải
Ta có: A 3 a 3
1
3 3 3 12 3
1 3 5
5
3
3 a 3 a 2 .a
a
a a a.a
a a
2
a
2
6
6
18
Đương nhiên bài tốn này ta có thể cho a 2 và bấm
5
1
5
log 2 3 2 3 2 23 A a
.
18
2
18
Chọn B.
1
b b 12
b2
Ví dụ 10: Đơn giản biểu thức A 1 2
:a b
a a
Trang 5
2
a; b 0
ta được:
Page: Chinh phục toán THPT
A. A a b
B. A a
C. A
1
a
D. A a b
Lời giải
2
b
Ta có: A 1
:
a
a b
2
2
a b
:
a
1
a b2 .
a
Chọn C.
Với bài tốn này các em vẫn có thể sử dụng CASIO bằng cách cho a 4; b 9 và thử đáp án.
1
Thay a 4; b 9 ta được A .
4
Chọn C.
Ví dụ 11: Đơn giản biểu thức A
1
11
ab 2 .
3
ab 2
ab 2
a; b 0
1
11
A. A a 6 .b 3
ta được:
5
B. A a 6 .b 3
1
5
C. A a 6 .b 3
1
D. A a 6 .b 3
Lời giải
Ta có: A
ab 2 . ab2
ab
2
3
2
2
3
2
3
2
ab .a .b
2
3
a .b
3
4
3
5
2
a .b
2
3
a .b
5
2
a .b
4
3
2
3
a .b
4
3
11
16
a .b
1
3
Chọn A
a 5
Ví dụ 12: Đơn giản biểu thức A 5 2
b
A. A a 3 2
52
a 2 5
. 1
b
B. A a 3 2 5 .b 2
5
a; b 0 ta được:
C. A a3 5 .b 2
D. a 3
5
Lời giải
Ta có: A
b
a
5
5 2
5 2
5 2
.
b
a
2 5
a5 2 5 .b
b.a
2 5
a 3
5
Chọn D
Ví dụ 13: Đơn giản biểu thức: A
Trang 6
a
1
3
bb
6
1
3
a b
6
a
a; b 0 ta được:
Page: Chinh phục toán THPT
A. A ab
B. A 3 ab
C. A 6 ab
D. A 6 a 6 b
Lời giải
1
1
1
1
a 3 .b 3 a 6 b 6
a .b b .a
3 ab
Ta có: A
1
1
1
1
1
3
1
2
1
3
1
2
a6 b6
a6 b6
Chọn B
1
Ví dụ 14: Đơn giản biểu thức A
1
3
a a
A. A a b
1
7
a3 a 3
4
3
3
b 2 b2
1
2
b b
B. A a b
a; b 0
1
2
ta được:
C. A a b 2
D. A a b 2
Lời giải
1
Ta có: A
a 3 1 a2
1
3
1
2
b 1 b 1 a
a 1 a
b
1
2
2
b 1
1 b a b
Chọn A
1
Ví dụ 15: Đơn giản biểu thức: A
a
A. A a 2 b
5
a 2 a2
1
2
a
1
2
1
9
b4 b4
5
4
b b
B. A a 2 a b
1
4
ta được:
C. A a 2 a b
D. A a b
Lời giải
1
Ta có: A
a 2 1 a3
1
1
a 2 1 a
b 4 1 b2
1
a
1 b2 1
a2 a 1 b 1 a 2 a b
a 1 b 1
b 4 b 1
3
Chọn C
Ví dụ 16: Đơn giản biểu thức A
3
3
2
23
a b a b 3 3 ab
a; b 0; a b ta được
2
2
3
3
3
3
a b a b ab
3
1
A. A
ab
ab
Trang 7
B. A
ab
ab
C. A 1
1
a 3 b3
D. A
ab
Page: Chinh phục toán THPT
Lời giải
Ta có: A
3
3
2
2
a 3 b a 3 b 3 3 ab
2
2
a 3 b a 3 b 3 3 ab
a b
a b
3
3
3
3
3
3
3
3
ab
ab
Chọn A
Ví dụ 17: Cho 2 x 3 .Tính giá trị biểu thức A 4 x 3.2 x 1
A. A 8
C. A 11
B. A 9
D. A 17
Lời giải
Ta có A 2 x
2
3
1 9 11 9
2x
Chọn B
1
Ví dụ 18: Cho 3 2 . Tính giá trị của biểu thức A 32 x 1.
3
2 x 1
9 x 1
x
B. A 25
A. A 39
C. A
81
2
D. A
45
2
Lời giải
Ta có : A 3x 1.
1
2 x 1
3
9 x .9 3 x 2 9. 3x
2
9
9. 3x
3x
2
81
2
Chọn C
3
Ví dụ 19: Biết rằng 2 5 . Tính giá trị của biểu thức A
2
x
x
A. A
28
5
B. A
31
3
2
.
3
C. A 6
2x
4 x 2
D. A
141
25
Lời giải
3
Ta có: A
2
x
x
x
16
16 141
4 16 3 4
. x .
2x
2
25 25
4
3
2 3
2x
Chọn D
Ví dụ 20: Cho 2 x a; 3x b . Hãy biểu diễn A 24 x 6 x 9 x theo a và b.
A. A a 3 ab b2
Trang 8
B. A a 2 b 2 ab b 2 C. A ab3 ab a 2
D. A a 3 ab b2
Page: Chinh phục toán THPT
Lời giải
Ta có: A 23.3
2.3 3
x
x
2
x
23 x .3x 2 x .3x 32 x a3 b ab b2
Chọn A
Ví dụ 21: Cho
2 1
x
A. A 18
3 . hãy tính giá trị của biểu thức A
B. A 0
C. A
3 2 2
2 1
82
9
2x
D. A
x
28
9
Lời giải
Ta có:
2 1
Do đó A
2 1 1; 3 2 2
2 1
1
2x
x
2 1
2
2 1
2
2 1
2 x
2 1
2x
32 32
82
9
Chọn C
x
Ví dụ 22: Cho 5x 4 hãy tính giá trị của biểu thức T 25x 52 x 52
A. T 14
B. T
47
4
C. T 118
D. T 6
Lời giải
25
25
47
5x 16
2
x
4
4
5
Ta có: T 5x
2
Chọn B
Ví dụ 23: Cho a 2 x ; b 5 x . Hãy biểu diễn T 20 x 50 x theo a và b
A. T ab a b
B. T
ab
ab
C. T a 2 ab 2
D. T ab a 2 b
Lời giải
Ta có: T 22.5
5 .2
x
2
x
22 x .5x 52 x .2 x a2 b ab2 ab a b
Chọn A
Ví dụ 24: Cho a
3
A. 1 a b 0
a
2
và a x b x . Khẳng định nào sau đây là đúng
B. 1 b a 0
C. a b 1
D. b a 1
Lời giải
Ta có: 3 2 nên a
Trang 9
3
a 2 0 a 1
Page: Chinh phục toán THPT
Mặt khác a x b x a b do vậy 1 a b 0
Chọn A
3
4
Ví dụ 25: Cho a 1 4 a 1 5 và
A. a; b 1
b3 3 b 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng
B. 0 a 2; b 1
C. 0 a 2; b 1
D. a 2; b 1
Lời giải
3
4
3 4
nên a 1 4 a 1 5 a 1 1 a 2
4
5
Ta có:
3
2
b3 3 b 2 b 2 b 3 b 1
Mặt khác
Do đó a 2; b 1
Chọn D
Ví dụ 26: Khẳng định nào dưới đây là đúng
2 1
A. x 2 1
C.
2017
2 1
x2 1
x 2 1
2016
1 x 2
5
x R
B.
x R
D. Cả A và C đều đúng
2 1
2 1
4
Lời giải
A sai vifkhi x 0 không thỏa mãn
C đúng vì
nên
2 1
2 1
2 1
x 2 1
1 x 2
2 1
1 x 2
2
1 1 x
2 1
x 2 1
x R
Chọn C
Ví dụ 27: Cho a 2
2
a 2
3
và a 1
2
b 1
2
. Khẳng định nào dưới đây là
đúng?
A. 2 a b 3
B. 2 b a 3
C. b a 3
D. a b 3
Lời giải
Ta có: a 2
2
a 2 a 2
3
2
3
3
a 2 2 0 a 2 1 do 2
2
Suy ra 2 a 3 .
Trang 10
Page: Chinh phục toán THPT
Mặt khác a 1
2
b 1
a 1
2
2
b 1
2
a 1 b 1 a b
Do đó 2 a b 3
Chọn A
Ví dụ 28: Đơn giản biểu thức T
A. T 4 a
a b
4
a4b
a 4 ab
4
B. T 4 b
a4b
ta được:
C. T 4 a 4 b
D. T 0
Lời giải
a b
Ta có: T
2
4
4
4
a b
4
2
4
a
4
4
a4b
a b
4
4
a4b4a4b
Chọn B
Trang 11
Page: Chinh phục toán THPT
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA
I. LÝ THUYÉT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Định nghĩa hàm số lũy thừa
+ Hàm sô y x a , với a R , được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định
+ Hàm số y x a , với a nguyên dương, xác định với x R
+ Hàm sô y x a , với a nguyên âm hoặc a 0 xác định với 0 .
+ Hàm số y x a , với a khơng ngun, có tập xác định là tập các số thực dương.
Lưu ý. Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
1
Theo định nghĩa, đẳng thức
n
x x n chỉ xảy ra nếu x 0 .
1
n
Do đó, hàm số y x khơng đồng nhất với hàm số y n x n N *
Chẳng hạn, hàm số y 3 x là hàm số căn bậc ba, xác định với x R còn hàm
1
số lũy thừa y x 3 xác định với x 0
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
+ Hàm sô lũy thừa y x a R có đạo hàm tại mọi điểm x 0 và x ' . x 1
+ Nếu hàm số u u x nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì y u a x
cũng có đạo hàm trên J và u x ' .u 1 x u ' x
Chú ý. Ta cần lưu ý hai kết quả sau:
+ Với x 0 nếu n chẵn, với x 0 nếu n lẻ thì
x ' n
1
n
x n 1
+ Nếu u x là hàm số có đạo hàm trên J và u x 0 với x J khi n chẵn
u x 0 với x J khi n lẻ thì
Trang 12
n
ux '
u ' x
n n u n 1 x
n
(Với x J )
Page: Chinh phục toán THPT
4. Vài nét về sự biến thiên về đồ thị của hàm số lũy thừa
Trong mục này, ta chỉ xét các hàm số lũy thừa dạng y x với 0 và với tập xác định là
0;
+ Hàm số y x đồng biến trên khoảng 0; nếu 0
+ Hàm số y x nghịch biến trên khoảng 0; nếu 0
+ Đồ thị hàm số y x ln đi qua điểm (1;1)
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y x 2 3 x 2
100
.
A. D 1; 2
B. D 2; ;1
C. D
D. D (1; 2)
Lời giải:
Hàm số y x với nguyên dương, xác định với x .
Do đó hàm số y x 2 3 x 2
100
xác định với x .
Chọn C.
Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số y x 3 8
100
.
A. D 2;
B. D \ 2
C. D ; 2
D. D 2; ; 2
Lời giải:
Hàm số y x với nguyên âm, xác định với x 0 .
Hàm số y x 3 8
100
xác định x3 8 0 x 3 8 x 2 .
Chọn B.
Ví dụ 3 : Tìm tập xác định D của hàm số y x 3 8
0
A. D 2;
B. D \ 2
C. D ; 2
D. D 2; ; 2
Trang 13
Page: Chinh phục toán THPT
Lời giải:
Hàm số y x với 0 xác định với x 0 .
Hàm số y x 3 8 xác định x3 8 0 x 3 8 x 2 .
0
Chọn B.
1
Ví dụ 4: Tìm tập xác định D của hàm số y x 2 6 x 8 100
A. D
B. D 4; ; 2
C. D 4; ; 2
D. D 2; 4
Lời giải:
Hàm số y x với khơng ngun , có tập xác định là tập số thực dương.
1
x 4
Đáp án C đúng
Hàm số y x 2 6 x 8 100 xác định x 2 6 x 8 0
x 2
Chọn C.
Ví dụ 5: Tìm tập xác định D của hàm số y x 2 6 x 8
2
A. D
B. D 4; ; 2
C. D 4; ; 2
D. D 2; 4
Lời giải:
Hàm số y x với khơng ngun , có tập xác định là tập số thực dương.
Hàm số y x 2 6 x 8
2
x 4
Đáp án C đúng
xác định x 2 6 x 8 0
x 2
Chọn C.
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số y x 4 1
10
A. y ' 40 x 3 x 4 1
9
B. y ' 10( x 1)
4
9
C.
x
y'
4
1
11
11
D.
x
y'
4
1
11
44 x 3
Lời giải:
Ta có y ' 10 x 4 1
10 1
.4 x 3 40 x 3 x 4 1
9
Chọn A.
Trang 14
Page: Chinh phục toán THPT
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y ( x 4 x 10)
2
1
1
A. y ' x 2 4 x 10 4
C. y '
B. y 2 x 4 x 2 4 x 10 4
1
4 x 4 x 10
2
1
4
D. y '
3
4
x2
2 x 4 x 10
2
3
4
Lời giải:
x2
1
3
1
1 2
1
x 4 x 10 4 2 x 4 x 2 x 2 4 x 10 4
4
2
Ta có y '
3
2 x 2 4 x 10 4
Chọn D.
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số y 3x 2 2 x 1
A. y '
1
2 3x 2 x 1
2
B. y '
1
C. y '
3x 2 x 1
2
6x 2
3x 2 x 1
2
D. y '
3x 1
3x 2 2 x 1
Lời giải:
2
1 2
Ta có 3x 2 x 1 x 3
0, x
3 3
2
1
y 3x 2 2 x 1 2 y '
6x 2
2 3x 2 2 x 1
3x 1
3x 2 2 x 1
Chọn D.
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số y x 4 1
A. y ' 2 x 4 1
1
1 2
C. y ' 4 2 x x 1
3
2
4
B.
x
y'
4
1
1 2
1 2
1
1
4
1
D. y ' 3 x 1 2
4x
1
1 2
Lời giải:
Ta có y ' 2 x 4 1
2 1
1
.4 x 3 4 2 x 3 x 4 11
2
Chọn C.
Trang 15
Page: Chinh phục toán THPT
Câu 10: Cho hàm số y
1
A. y '
y3 x2 2
4
x2 1
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
x2 2
B. y '
2
x
2 y3 x2 2
2
C. y '
1
y3 x2 2
2
D. y '
x
2 y 3 x2 2
2
Lời giải:
1
1
x2 1 2
x2 1
1 4
Ta có 2
0, x y 2
1 2
x 2
x 2 x 2
1
4
3
x2 1 4
1
1 4
1
x
1 2
.
.2
x
2
.
2
2
4 x 2
x 2
x 2 2 x2 2
1
x2 1
2
x 2
.
3
4
x
2 x2 2
2
1
x
x
.
2
2
3
y 2 x2 2
2 y3 x 2 2
Chọn B.
Câu 11: Cho hàm số y 3 ln 2 x 2 1 2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. y '
4ln x 2 1
B. y '
3 y 2 x 2 1
2 x ln x 2 1
3 y 2 x 2 1
C. y '
4 x ln x 2 1
3 y 2 x 2 1
D. y '
2ln x 2 1
3 y 2 x 2 1
Lời giải:
Ta có ln
2
x
2
x 1 2
1 2 0, x y ln
1
y ' ln 2 x 2 1 2
3
4
.
3
1
x
ln
2
2
1 2
2
3
.
1
1
3
2
2
1
3
2x
4
.2 ln x 1 . 2
ln 2 x 2 1 2
x 1 3
x ln x 2 1
x2 1
2
2
3
.
x ln x 2 1
x2 1
2
2
4 1 x ln x 1 4 x ln x 1
. 2.
3 y
x2 1
3 y 2 ( x 2 1)
Chọn C.
Trang 16
Page: Chinh phục toán THPT
CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.Định nghĩa
Cho 2 số dương a,b với a 1 thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu
là log a b . Như vậy a b log a b
Ví dụ: Tính biểu thức sau: log 2 4; log 2 32; log
2
4 2 ; log
3
27; log 3 9
Để tính biểu thức a b ? Ta đi trả lời câu hỏi a mũ bao nhiêu thì bằng b. (a? b)
Do vậy log 2 4 2, log 2 8 3;log
2
4 4... Các bạn tính các giá trị cịn lại nhé!
Chú ý: +) Khi a 10 là cơ số thập phân ta ký hiệu: log x ( log x được hiểu là log10 x ).
Đọc là Lốc x.
+) Khi a e 2, 712818 là cơ số tự nhiên ta kí hiệu: ln x . Đọc là len x hoặc log nepe của x ( ln x
được hiểu là ln e x ).
2. Các công thức Logarit cần nhớ.
Công thức 1: log a a x x, (x R;1 a 0) .
Công thức 2: a loga x x( x 0;1 a 0) .
Chứng minh: Ta có: log a x log a x x a log a x 3
Công thức 3: +) log a x log a y log a xy
+) log a x log a y log a
x
x; y 0;1 a 0
y
Chứng minh: Ta có:
x a log a x ; y a log a y xy a loga x log a y log a xy log a a a
log a x log a y
log a xy log a x log a y
Công thức 4: log a b n n.log a b;
log an b
Trang 17
1
log a b( a, b 0; a 1)
n
Page: Chinh phục toán THPT
Chứng minh: 1. Ta có:
log a b n log a b.b.b...b log a b log a b ... log a b n log a
Chứng minh: 2. Đặt log a n b y b a n a ny log a b log a a ny
y
log a b ny n.log a n b log a n b
1
log a b
n
Công thức 5: log a b.logb c log a c a; b; c 0; a; b 1 (Nhớ: giống vecto AB BC AC )
Chứng minh: Ta có: log a b.log b c log a b logb c log a c ( vì b logb c c theo công thức 2)
Hệ quả: Khi cho a c ta có: log c b.log b c log c c 1 log c b
1
log b c
II. VÍ DỤ MINH HỌA
1. CƠNG THỨC VỀ LOGARIT
Ví dụ 1: Trong các số a thỗ mãn điều kiện dưới đây. Số nào lớn hơn 1.
A. log 2 a 2
B. log3 a
C. log 4 a 2 1
D. log3 a 0,3
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có log 3 a a 3 1
Ví dụ 2: Trong các số a thoả mãn điều kiện dưới đây. Số nào nhỏ hơn 1.
A. log 1 a 2
B. log a 5 2
C. log3 5 a
D. log 1 a 2
3
3
Hướng dẫn: Chọn D.
2
Ta có log 1
3
1
1
a2a
3 1
3
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức A log a a a a 3 (1 a 0) là
A. a
4
3
B. a
3
4
C. a
8
9
D. a
9
8
Hướng dẫn: Chọn D.
3
5
5
9
9
Ta có log a a a a3 log a a a.a 2 log a a a 2 log a a.a 4 log a a 4 log a a 8
9
8
9
Cách 2: Cho a 2 . Nhập vào máy tính log 2 2 2 23 ta được kết quả bằng
8
Trang 18
Page: Chinh phục toán THPT
a3
1 a 0 là:
a4 a
Ví dụ 4: Giá trị của biểu thức A log a
A. A
1
4
B. A
1
3
C. A
1
2
D. A
3
4
D. A
39
10
Hướng dẫn: Chọn A.
3
3
1
1
a3
a2
1
Ta có: log a 4
log a
log a a 2 4
1
4
a a
a.a 4
23
1
Cách 2: Cho a 2 nhập vào máy tính log 2 4 ta được A
2 2
4
Ví dụ 5: Giá trị của biểu thức A log a a 3 a 5 a 1 a 0 là:
A. A
17
5
B. A
37
10
C. A
21
5
Hướng dẫn: Chọn B.
1 1
37
3
3 12 15
37
2 5
10
log a a
Ta có: log a (a . a a ) log a a .a .a log a a
10
3
Ví dụ 6: Cho
A. A
5
y y 3 b ( với x; y 0; y 1 ). Vậy A a b bằng
x x x x a và log y
9
4
B. A
3
2
C. A
15
8
D. A
17
8
Hướng dẫn: Chọn D.
3
Ta có:
7
7
x x x x x 2 x.x 4 x 8 a
7
.
8
(Các em có thể bấm log 2 2 2 2 ).
Lại có: log y y 3 log y
Ví dụ 7: Cho
A. A
3
y. y 2 log y
x x 3 x 4 x m và log y
23
12
Hướng dẫn: Chọn A.
Trang 19
B. A
7
4
3
5
5
y 2 log y y 4
5
17
b A
4
8
y 2 y n ( với x; y 0; y 1 ). Vậy A m n bằng:
C. A 3
D. A
7
3
Page: Chinh phục toán THPT
4
Ta có:
7
13
13
x x 3 x 4 x x.x 3 x x 6 x 6 x 12 m
Lại có log y
3
y
y log y
2
Do đó A m n
3
1
2
3
y . y log y
2
5
6
5
2
y log y y
13
12
5
n
6
23
12
Ví dụ 8: Thu gọn biểu thức A a 3 a
A. A a 7 3 b2
log a b
3
logb a
1 a; b 0
b2
B. A a3 7 b2
ta được:
C. A a 2 3 b7
D. A 3 a 2 b7
Hướng dẫn: Chọn D.
1
Ta có: A a 3 .a 2
log a b
2
b3
logb a
7
a2
log a b
3 log a b 2
Ví dụ 9: Thu gọn biểu thức A (a a )
A. A a5 b3
2
b3
b b
B. A a3 b5
log b a
b
log b a 2
a
logb b 3
2
7
2
7
log a a 2
b2 a 3
(1 a; b 0) ta được:
C. A a3 b3
D. A a5 b5
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có: A a.a
3
2
b
5
2 2
3
2 2
a
log a b 2
b.b
1
2
logb a 2
a
5
2
loga b2
32
b
logb a 2
5
(b )
2 log a a 2
a
3
2
2 logb b
b5 a 3
Ví dụ 10: Thu gọn biểu thức A a. 4 a
5
4
5
A. A a 8 b 3
log a b
b. 3 b
4
logb a
(1 a; b 0) ta được:
4
B. A a 4 b 3
5
C. A a 3 b 8
4
5
D. A a 3 b 2
Hướng dẫn: Chọn C.
5
Ta có: A a 4
log a b
4
b3
lob a
b
5
5
log a a 4
a logb
5
b4
4
5
4
1 4
b 2 a 3 b8 a 3
Ví dụ 11: [Trích đề thi THPT QG năm 2017]
Cho log a b 2 và log a c 3 . Tính P log a b 2 c 3
A. P 108
Trang 20
B. P 13
C. P 31
D. P 30
Page: Chinh phục toán THPT
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có: P log a b 2 c 3 2 log a b 3 log a c 13
Ví dụ 12: Cho log3 x 4log3 a 2 log3 b a; b 0 . Khi đó
A. x 8ab
C. x a 2b
B. x a 4 b 2
D. x a 4b 2
Hướng dẫn: Chọn D.
log 3 x 4 log 3 a 2 log 3 b log 3 a 4 log 3 b 2 log 3 a 4b 2
Do vậy x a 4b 2
Ví dụ 13: Cho log 1 x log 1 a a log 1
3
3
A. x 4 a 3b
3
b
b b
B. x 4 ab3
a; b 0 . Khi đó:
D. x 4 ab
C. x 4 a3b3
Hướng dẫn: Chọn A.
log 1 x log 1 a a log 1
3
3
3
3
b
b b
3
2
log 1 a log 1
3
3
3
4
b
b
log 1 a log 1 b
3
2
3
1
4
3
1
Do đó x a 4 .b 4 4 a 3b
Ví dụ 14: Cho log 4 x 2log 2 3 a 2 3log 2
2
A. x 6.a 3 .b
5
2
4
B. x a 3 .b
1
b
2
15
2
b
a; b 0 . Khi đó:
4
15
D. x 10ab
C. x a 3 .b 2
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có: log 4 x 2 log 2 3 a 2 3log 2
4
3
Do đó x a .b
1
b2 b
4
15
2
15
2
Ví dụ 15: Rút gọ biểu thức A log 2 a log 4
A. A
5
2
2 log 2 a 3 3log 2 b 2 log 2 a 3 log 2 b
33
log 2 a
2
B. A
33
log 2 a
2
1
log
a2
2
a 8 a 0 ta được
C. A 33log 2 a
D. A
1
log 2 a
2
Hướng dẫn: Chọn B.
Trang 21
Page: Chinh phục toán THPT
Ta có: A log 2
A
1
a log 4 2 log
a
1
2
a log 2 a log 22 a 2 log 1 a 8
8
2
22
1
33
log 2 a log 2 a 16 log 2 a
log 2 a
2
2
Ví dụ 16: Rút gọn biểu thức A log 4 a log 8 a log16 a 2 ( a 0) ta được:
A. A log 2 a
B. A
13
log 2 a
6
C. A
3
log 2 a
2
D. A
2
log 2 a
3
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có: A log 4 a log 8 a log16 a 2
1
1
2
2
log 2 a log 2 a log 2 a log 2 a
2
3
4
3
Ví dụ 17: [ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016]:
Cho log 2 x 2 . Tính giá trị của biểu thức A log 2 x 2 log 1 x3 log 4 x
2
A. A 2
B. A 2 2
C. A
2
2
D. A
2
4
Hướng dẫn: Chọn C.
1
1
2
Ta có A log 2 x 2 log 1 x 3 log 4 x 2 log 2 x 3log 2 x log 2 x log 2 x
2
2
2
2
Vậy A
2
2
Ví dụ 18: Cho log x 2 3 . Tính giá trị của biểu thức A log 4 x 2log 2 x
A. A 6
B. A
1
6
C. A
1
6
D. A 6
Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có: log x 2 3
1
1
3 log 2 x
log 2 x
3
1
1
1
1
Mặt khác A log 4 x 2log 2 x log 22 x 2log 2 x 2 log 2 x log 2 x log 2 x
2
2
6
Câu 19: Rút gọn biểu thức A log 8 x x log 1 x 2 ( x 0) ta được:
4
3
A. A log 2 x
2
Trang 22
1
B. A log 2 x
2
C. A 2log 2 x
2
D. A log 2 x
3
Page: Chinh phục toán THPT
Hướng dẫn: Chọn A.
3
1 3
3
A log 23 x 2 log 22 x 2 . log 2 x log 2 x log 2 x
3 2
2
Ví dụ 20 : Rút gọn biểu thức A log3 x.log 2 3 log5 x.log 4 5 x 0 ta được:
3
A. A log 2 x
2
1
B. A log 2 x
2
2
D. A log 2 x
3
C. A 2log 2 x
Hướng dẫn: Chọn A.
1
3
Ta có: A log 2 3.log 3 x log 4 5.log 5 x log 2 x log 4 x log 2 x log 2 x log 2 x
2
2
Ví dụ 21: Cho log 2 x 3 . Tính giá trị của biểu thức: B log 1 x log 1 x log 1 x
4
A. B 3
B. B
13 3
12
8
16
D. 9 3
C. 9 3
Hướng dẫn: Chọn B.
Ta có: A 3 log 3 x log 3 x log 3 x 3log 3 x 3 1 2
Ví dụ 22: Cho log 3 x 1 2 . Tính giá trị biểu thức: A log 3 x3 log 1 x log 9 x 2
3
A. A 2 1 2
B. A 1 2
C. A 2 1 2
D. A 3 1 2
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có: A 3 log 3 x log 3 x log 3 x 3log 3 x 3 1 2
Ví dụ 23: Tính giá trị của biểu thức P log a
A. 18
B.
1
.log
b3
1
2
b
a 3 1 a; b 0
C. 18
D.
1
2
D.
4
3
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có: P log a b 3 .log 1 a3 3log a b.6 log b a 18
b2
Ví dụ 24: Tính giá trị của biểu thức P log
A. 3
Hướng dẫn: Chọn B.
Trang 23
B. 12
a
b3 .log b a 1 a, b 0
C.
3
4
Page: Chinh phục toán THPT
Ta có: P log 1 b3 .log 1 a 6 log a b.log b a 12
a2
b2
Ví dụ 25: Cho ln x 2 . Tính giá trị của biểu thức T 2 ln ex ln
A. T 21
B. T 12
e2
ln 3.log3 ex 2
x
C. T 13
D. T 7
Hướng dẫn: Chọn D.
1
7
Ta có: T ln(ex) 2 ln x ln ex 2 1 ln x 2 ln x 1 2 ln x ln x 7
2
2
x2
ln 2.log 2 x3 .e2
Ví dụ 26: Cho ln x 3 . Tính giá trị của biểu thức T 2ln
e
A. T 16
B. T 15
C. T
27
2
D. T 22
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có: T 2 ln x 2 ln e ln x 3e 2 4 ln x 1 3ln x 2 7 ln x 1 22
Ví dụ 27: Cho log a b 3;log a c 2 . Tính giá trị của log a x , biết rằng x
A. log a x 16
B. log a x 6
C. log a x 13
a 2b3
c5
D. log a x
5
2
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có: log a x log a
a 2b3
5
2
5
log a a log a b log a c 2 3log a b log a c 16
2
c
2
3
5
Ví dụ 28: Cho log a b 2;log a c 3 . Tính giá trị của biểu thức log a x , biết rằng x
A. log a x 6
B. log a x 4
C. log a x 2
a b3
c2
D. log a x 1
Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có: log a x log a
3
a b3
3
2
log
a
log
b
log a c 2 1 log a b 2 log a c
a
a
2
c
2
3
1 .2 2.3 2
2
2. BIỂU DIỄN LOGARIT
Ví dụ 1: Cho các số dương a; b (a 1) . Khẳng định nào dưới đây là sai.
Trang 24
Page: Chinh phục toán THPT
log a b
log a 3
A. log a a 3b 4 3 4 log a b
B. log a b
C. 2 2 log a b log a a 2 b 2
D. log a b.logb 9 2log a 3
Hướng dẫn: Chọn C.
Ta có: 2 2 log a b 2 log a a 2 log a b 2 log a ab 2 log a ab
2
Ví dụ 2: Cho các số thực dược a,b,c với a,b,ab 1 . Khẳng định nào sau đây là sai.
A. log a c logb c log ab c
B. 2 log a b 3log a c log a b 2 c 3
C. logb c loga b loga c
D. log b c
log a c
log a b
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta chỉ có log c a log c b log c ab c 1
Ví dụ 3: Cho các số dương a b 0 a 1 . Khẳng định nào dưới đây là sai.
A. log a a 2 b 2 log a a b log a a b
B. log a a 2b 2 2 2 log a b
C. log a a b 2(1 log a b)
D. log a 2 ab
2
1
1 log a b
4
Hướng dẫn: Chọn C.
log a a b 2 log a a b 2 1 log a b
2
Ví dụ 4: Cho các số dương a; b 0 a 1 . Khẳng định nào dưới đây là sai
A. log a 2 a b
C. log
a
1
2 log a b
4
ab 2 1 log a b
B. log a 2
D. log
a b 2 4log b
a
ab
1
1 2 log a b
4
a
Hướng dẫn: Chọn D.
Ta có: log
a
a b log
a
a log
a
b 2 log a b
Ví dụ 5: Cho các số dương a; b 0 ( a 1) . Khẳng định nào dưới đây là sai.
A. 3log a b b log a 3
B. a log a ab ab
C. a
log
a
b
b2
D. a
log
a2
b
b2
Hướng dẫn: Chọn D.
Trang 25
Page: Chinh phục toán THPT
