4 CAUCHY SWARZT

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ
1. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Cho



(a

2

(a

(a

"="

2

Dấu



Cho

+ b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ ( a.c + b.d )

Dấu



a, b, c, d ∈ ¡

Dấu

Dấu


xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
c d
.

(a

2

xảy ra khi và chỉ khi
a b
= ≥0
c d
.



"="

xảy ra khi và chỉ khi

a b c
= =
m n p

.

+ b 2 + c 2 ) ( m 2 + n 2 + p 2 ) ≥ a.m + b.n + c. p

Dấu

+ b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ a.c + b.d

"="


( a 2 + b2 + c2 ) ( m2 + n 2 + p2 ) ≥ ( a.m + b.n + c. p ) 2

xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
c d
.

+ b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ a.c + b.d

"="

2

2

a , b, c, m, n, p ∈ ¡

(a

Dấu

2

"="

xảy ra khi và chỉ khi

a b c
= =
m n p

.

+ b2 + c 2 ) ( m2 + n 2 + p 2 ) ≥ a.m + b.n + c. p

"="

xảy ra khi và chỉ khi

a b c
= = ≥0
m n p

Tổng quát:

1. Cho

2n

n ∈ Z ,n ≥ 2 a1,a2,...,an ,b1,b2,...,bn
số (
):
ta có:

(a

2
1

⇔
Dấu “=’ xảy ra
2. Hệ quả: Cho

)(

)

+ a22 + L + an2 b12 + b22 + L + bn2 ≥ (a1b1 + a2b2 + L + an bn )2

a
a1 a2
=

= L = n (quy ướ
c nế
u bi = 0 ⇒ ai = 0)
b1 b2
bn

a1 , a2 ,..., an

là các số thực bất kỳ,

b1 , b2 ,..., bn

là các số thực dương. Khi đó

an2 ( a1 + a2 + ... + an )
a12 a22
+
+ ... +
≥
b1 b1
bn
b1 + b2 + ... + bn

2

.


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

a
a1 a2
=
= ... = n
b1 b1
bn
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau

a/ Nếu
c/ Nếu

2x + 3y = 4

2 x2 + 3y2 ≥

thì
x2 + y2 ≥

3x + 4 y = 7

16
5

.

49
25

thì
.
2
2
3x + 4 y = 10
x + y ≥4
e/ Nếu
thì
.
g/ Nếu
i/ Nếu

3a + 4b = 7
3a − 5b = 8

3a + 4b ≥ 7
2

thì
thì

b/ Nếu
d/ Nếu

6 x + 12 y = 5

h/ Nếu
. j/ Nếu

2a − 3b = 7
a + 2b = 2

( x − 2 y + 1)

2a + 3b = 5
2a + 3b ≥ 5
k/ Nếu
thì
.
l/
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau
3x + 4 y ≤ 5
x2 + y2 = 1
a/ Nếu
thì
.
b/ Nếu
5
x− y ≤
2
2
x + 4y =1
2
c/ Nếu
thì
.

d/ Nếu
x ( u + v) + y ( u − v) ≤
x2 + y 2 = u2 + v2 = 1
e/ Nếu
thì
2
2
4 ( a − 1) + 9 ( b − 2 ) = 5
2a + 6b − 20 ≤ 5
f/ Nếu
thì
.
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau
x ∈ [ 1;3]
A = 6 x − 1 + 8 3 − x ≤ 10 2
a/ Nếu
thì
.
x ∈ [ 1;5]
B = 3 x − 1 + 4 5 − x ≤ 10
b/ Nếu
thì
.
x ∈ [ −2;1]
C = 1− x + 2 + x ≤ 6
c/ Nếu
thì
.
x ∈ [ 4;13]
D = 2 x − 4 + 13 − x ≤ 3 5

d/ Nếu
thì
.
x ∈ [ −5;20]
E = 3 x + 5 + 2 20 − a ≤ 13
e/ Nếu
thì
.
x ∈ [ −9;20]
F = 5 x + 9 + 2 20 − x ≤ 29
f/ Nếu
thì
.
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau
1− x + 1− y +
x, y, z > 0
x + y + z =1
a/ Nếu
và
thì
2

2

thì

9x2 + y2 ≥ 5

.

4 x2 + 9 y2 ≥ 1

thì
x + 7 y = 10
x2 + y2 ≥ 2
f/ Nếu
thì
.

2

.
2464
7a 2 + 11b2 ≥
137

6x + y = 5

2

3a 2 + 5b2 ≥

thì
a 2 + b2 ≥

thì

4
5

+ ( 2 x − 4 y + 5) ≥
2

x2 + 2 y 2 = 8

thì

36 x + 16 y = 9
2

.

1− z ≤ 6

.

735
47

.

.
9
5

.

2 x + 3 y ≤ 2 17
y − 2x ≤

2

2

.

thì

5
4

.

.


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

b/ Nếu
c/ Nếu

thì
a 2 + b2 + c2 = 1

a +b +c =1
2

d/ Nếu
e/ Nếu
f/ Nếu

g/ Nếu

3 ( a 2 + b2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c )

a, b, c ∈ ¡

2

a>c>0

thì

2

và

thì

.

.

a + 2b + 2 5c ≤ 5

b>c>0

4a + 9b + 16c = 49
a +b+c =1

a + 3b + 5c ≤ 35

GV. Nguyễn Hữu Hiếu
2

.
c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab

thì
1 25 64
+
+
≥ 49
a b
c

thì
.
a +1 + b +1 + c +1 ≤ 2 3

.

thì
.
a + 3 + b + 2 + c +1 ≤ 3 6
a + b + c = 12
h/ Nếu
thì
.
a+b + b+c + c+a ≤ 2 6
a +b+c = 4

i/ Nếu
thì
.
a , b, c
a+b+c =6
a 2 + b2 + c 2 ≥ 12
j/ Nếu
là ba số thực thay đởi thỏa
thì
.
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau
1
1
a 2 + b2 ≥
a 3 + b3 ≥
a +b ≥1
a +b ≥1
2
4
a/ Nếu
thì
.
b/ Nếu
thì
.
1
a 4 + b4 ≥
a +b ≥1
a+b = 2
a 4 + b4 ≥ 2

8
c/ Nếu
thì
.
d/ Nếu
thì
.
1 1
2
( a + b ) ≤ ( a 3 + b3 )  + ÷
a, b > c ≥ 0
a b
e/ Nếu
thì
.
1+ x + 1+ y = 2 1+ z
x + y ≥ 2z
f/ Nếu
thì
.
4
a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) ≤
a+b+c ≤ 4
3
g/ Nếu
thì
.
 x, y , z > 0
1
1

1
x 2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82

x
y
z
x + y + z ≤ 1
h/ Nếu
thì
a, b, c ≥ 0
a 3 + b3 + c 3 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab
i/ Nếu
thì
.
x
y
z
+
+
≥1
x, y, z > 0
y + 2z z + 2x x + 2 y
j/ Nếu
thì
.
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
x ∈ [ 1;3]
A= 7− x + 2+ x
B = 6 x −1 + 8 3 − x
−2 ≤ x ≤ 7

a/
, với
. b/
với
.
2
2
x
y
+
=1
2
2
C = y − 2x + 5
D = 2x − y − 2
36 x + 16 y = 9
4
9
c/
với
. d/
với
.
E = x −1 + 3− x
F = 3− x + x +5
e/
.
f/
.

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

g/

G = 2 x −4 + 8− x

.

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

h/

H = 5 x +1 + 3 6 − x

.

J = 1− 2x + x + 8
.
j/
.
Bài 7. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức (nếu có)
x, y ∈ ¡
A = 2x + y
x2 + y2 = 5
a/ Cho
và
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
.
2

2
x, y ∈ ¡
B = 4x + 2 y
2x + 3y = 6
b/ Cho
và
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
.
2
2
x, y ∈ ¡
C = 3x + 5 y
x + 4 y = 10
c/ Cho
và
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
.
4
4
4
x, y, z ∈ ¡
xy + yz + zx = 1
D=x +y +z
d/ Cho
và
. Tìm GTNN của biểu thức
.
E = x 1+ y + y 1+ x
x, y ∈ ¡
x2 + y2 = 1

e/ Cho
và
. Tìm GTLN của biểu thức
.
F = a + sin x + a + sin x
a ≥1
f/ Cho
. Tìm GTLN của biểu thức
.
4 1
G= +
x, y > 0
x + y =1
x 4y
g/ Cho
và
. Tìm GTNN của biểu thức
.
H = 1− x + 1− y + 1− z
x, y, z > 0
x + y + z =1
h/ Cho
và
. Tìm GTLN của
.
2
x ∈ [ −2;2]
I = x+ 4− x
i/ Cho
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

(Đại học B – 2003).

i/

I = 4 x+3 +5 4− x

a, b, c > 0

Bài 8. Cho ba số thực dương
. Chứng minh:
Bài 9. Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh ∆ABC.

Chứng minh rằng:
Bài 10. Cho ba số

( a + b + c)
a2
b2
c2
+
+
≥
b+c c+a a+b
2

a2
b2
c2
+
+

≥ a+b+c
b+c−a c+a −b a +b−c

a, b, c > 0

. Chứng minh rằng:

a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a+b 2

.
a
b
c
a 2 + b2 + c 2
+
+
≥
b+c c+a a +b
2
3

Bài 11. Cho ba số thực a, b, c bất kỳ. Chứng minh:

a
Bài 12. Cho ba số

a, b, c > 0

.

( b + c)

2

. Chứng minh:
a, b, c > 0
a +b+c = 3
Bài 13. Cho
thỏa điều kiện
.
2
2
2
a
b
c
+
+
≥1
2
2
a + 2b b + 2c
c + 2a 2

Chứng minh rằng:
.

+

3

b

( c + a)

2

3

+

c

( a + b)

2

≥

.

9
4( a + b + c)

.

.


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

x+ y+z≥3
thỏa mãn
. Chứng minh rằng
2
2
2
x
y
z
3
+
+
≥
x + yz y + zx z + xy 2

Bài 14. Cho

x, y , z > 0

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

Lời giải:

( x + y + z)
x2
y2
z2
+
+
≥
x + yz y + zx z + xy x + y + z + xy + yz + zx
2

(

≥

( x + y + z)

(1

x+ y+z+

2

(1

x+ y+z+

Bài 15. Cho

Bài 16. Cho

2

+ 12 + 12 )

 x, y , z > 0

 xyz = 1

x=
HD: Đặt

2

2

+ 12 + 12 ) ( xy + yz + zx )

( x + y + z)

≥

)

1
2
( x + y + z)
3

x+ y+z 3
≥

2
2

1
1
1
3
+ 2
+ 2
≥
x + xy y + yz z + zx 2
2

. Chứng minh

a
b
c
; y = ;z =
b
c
a

a, b, c > 0

=

đưa về bài toán trên.

. Chứng minh

a
b
c
+
+
≥1
b + 2 c c + 2 a a + 2b

Lời giải

a
b
c
a2
b2
c2
+
+
=
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b a ( b + 2c ) b ( c + 2a ) c ( a + 2b )

( a + b + c)

( a + b + c)
≥
≥
3 ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) 2

2

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bài 17. Cho

x, y , z > 0

a=b=c

thỏa mãn
1
1
1
P=
+
+
xy + 2 yz + 2 zx + 2

Bài 18. Cho

Lời giải

a, b, c > 0

=1

x2 + y 2 + z2 = 3

. Chứng minh rằng

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a
3


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
3

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

a
b

c
a
b
c4
+
+
=
+
+
a 2 + ab + b 2 b2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2 a ( a 2 + ab + b 2 ) b ( b 2 + bc + c 2 ) c ( c 2 + ca + a 2 )
≥

3

(a

2

3

+ b2 + c 2 )

4

2

a 3 + b3 + c 3 + a 2 b + ab2 + b2 c + bc 2 + c 2 a + ca 2

(a
≥

2

+ b2 + c 2 ) ( a + b + c )

( a + b + c)

2

≥

4

(a

(1

2

2

=

(a

+1 +1
2

2

)(a

2

+b +c
2

2

2

+ b2 + c 2 )

=

a+b+c
3

2

+ b2 + c 2 ) ( a + b + c )

2

+ b2 + c 2 ) ( a + b + c )

(a

)

=

a 2 + b2 + c 2
a+b+c

Bài 19. Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
3
+ 3
+ 3
≥
3
a (b + c) b ( c + a ) c ( a + b)
2

Lời giải
2

 1 1 1
1
1
1
2
 + + ÷
2
2
2
ab + bc + ca )

(
ab + bc + ca
33 1
a b c

a
b
c
+
+
≥
=
=
≥
a (b + c) b( c + a ) c( a + b) 2 ( ab + bc + ca ) 2 ( ab + bc + ca )
2
2

Bài 20. Cho

x2 + y2 + z2 ≥

x, y , z > 0

3

thỏa mãn
3

1

3

. Chứng minh

3

x
y
z
1
+
+
≥
2 x + 3 y + 4 z 2 y + 3z + 4 x 2 z + 3 x + 4 y 30
Bài 21. Cho

a, b, c > 0

thỏa mãn
a
b
c
9
+ 2 2+ 2 2 ≥
2 2
bc
ca
ab
a +b+c

a 2 + b 2 + c 2 = 3abc

. Chứng minh

Lời giải
a 2 + b2 + c 2 )
(
a
b
c
a4
b4
c4
+
+
=
+
+
≥
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b2 a 3b 2 c 2 b3c 2 a 2 c 3a 2 b 2 ( abc ) 2 ( a + b + c )
2

( 3abc )
=
2
( abc ) ( a + b + c )
2

=

9
a+b+c

 x, y , z.0

1
1
1
1 1 1
+
+
≤
1
P
=
+
+
x y z
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z

Bài 22. Cho
, tìm GTLN của
Lời giải


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

(

)

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

2

4
2 +1
2 1 1
1
+ + ≥
⇒
≤
2x y z
2x + y + z
2x + y + z

(

 2 1 1
+ + ÷
2 
4
2 + 1  2x y z 
1

Ta có :
bất đẳng thức tương tự nữa, cộng lại theo vế ta được kết quả.

Bài 23. Cho

a, b, c > 0

thỏa mãn
b4

)

. Xây dựng thêm 2

abc = 1

. Chứng minh
a
c4
3
+
+
≥
2
2
2
( a + b) ( a + c ) ( b + c ) ( b + a ) ( c + a ) ( c + b ) 8
4

Lời giải
a4
a4

b4

+

c4

+

( a + b) ( a + c ) ( b + c ) ( b + a ) ( c + a ) ( c + b)
2

2

2

=

( a + b)
a+c

b4
2

( b + c)
+
b+a

c4
2

( c + a)
+

c+b

2

 ( a + b + c) 2 
 a
b
c 
 a + b + b + c + c + a ÷  2 ( a + b + c ) ÷
÷ a + b + c 3 3 abc 3
 ≥
 =
≥
≥
=
2( a + b + c)
2( a + b + c)
8
8
8
2

Bài 24. Cho

HD:

b)

c)

a, b, c > 0

2

. Chứng minh

a 2 + b2 b2 + c 2 c 2 + a 2
+
+
≥a+b+c
a+b
b+c
c+a

a, b, c > 0

. Chứng minh

a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
a2
b2
c2
a+b+c

+
+
≥
b+c c+a a+b
2
a3
b3
c3
a 2 + b2 + c 2
+
+
≥
b+c c+a a+b
2

Bài 26. Cho

a)

2

a 2 + b2 b 2 + c 2 c 2 + a 2
a2
b2
c2
b2
c2
a2
+
+

=
+
+
+
+
+
a+b
b+c
c+a
a+b b+c c+a a+b b+c c+a

Bài 25. Cho

a)

2

a, b, c > 0

thỏa mãn

a+b+c =3

a
b
c
+
+
≥1
a + 2bc b + 2ca c + 2ab

Lời giải

b)

. Chứng minh

2a
2b
2c
+
+
≤1
2a + bc 2b + ca 2c + ab

2


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

a)

( a + b + c)
a
b
c
a2
b2

c2
P=
+
+
=
+
+
≥ 2
a + 2bc b + 2ca c + 2ab a ( a + 2bc ) b ( b + 2ca ) c ( c + 2ab ) a + b 2 + c 2 + 6abc
2

có
3 ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≥ 9abc
⇒ ab + bc + ca ≥ 3abc ⇒ 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 6abc ⇒ ( a + b + c ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 + 6abc
2

Vậy

P ≥1

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c =1

.

b) Ta cố gắng đổi chiều bất đẳng thức !

2a
2b

2c
2a + bc − bc 2b + ca − ca 2c + ab − ab
+
+
≤1⇔
+
+
≤2
2a + bc 2b + ca 2c + ab
2a + bc
2b + ca
2c + ab
bc
ca
ab
⇔
+
+
≥1
2a + bc 2b + ca 2c + ab
Ta có

( bc )
( ca )
( ab )
bc
ca
ab
+
+

=
+
+
2a + bc 2b + ca 2c + ab bc ( 2a + bc ) ca ( 2b + ca ) ab ( 2c + ab )
2

( ab + bc + ca )
≥
2
2
2
6abc + ( ab ) + ( bc ) + ( ca )
2
ab + bc + ca )
(
=
≥1
2
( ab + bc + ca )
2

Bài 27. Giả sử

x

và

y

2

2

( ab + bc + ca )
≥
2
2
2
2 ( a + b + c ) abc + ( ab ) + ( bc ) + ( ca )
2

là hai số dương và

x + y =1

P=
. Tìm GTNN của

x
y
+
1− x
1− y

(ĐH

2001)
Lời giải

( x + y)

x
y
x
y
x2
y2
P=
+
=
+
=
+
≥
1− x
1− y
y
x x y y x x y+y x
2

≥

( x + y) 2
x + y xy + xy

=

1
1
≥
= 2

x+ y
2 xy
2
÷
 2 
x=y=

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1
2

a
Bài 28. Cho

a, b, c > 0

. Chứng minh bất đẳng thức

a 2 + 8bc

+

b
b 2 + 8ca

+

c
c 2 + 8ab

≥1

Ta


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

Lời giải
a
a 2 + 8bc
=

b

+

b 2 + 8ca

a2
a a 3 + 8abc

+

c

+

c 2 + 8ab
b2

b b3 + 8cab

+

a2

=

a a 2 + 8bc
c2
c c3 + 8cab

+

b2
b b 2 + 8ca

≥

+

c2
c c 2 + 8ab

( a + b + c)

2

a + b + c a 3 + b3 + c 3 + 24abc

Như vậy ta cần chứng minh

( a + b + c)

2

≥ 1 ⇔ ( a + b + c ) ≥ a + b + c a 3 + b 3 + c 3 + 24abc
2

a + b + c a + b + c + 24abc
3

3

3

⇔ ( a + b + c ) ≥ a 3 + b 3 + c 3 + 24abc ⇔ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc
3

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo AM-GM. Kết thúc chứng minh.

Bài 29. Cho

a, b, c > 0

P=
. Chứng minh

a
b
c
3
+
+
≥
a + 3b b + 3c c + 3a 4

Lời giải

( a + b + c)
a2
b2
c2
P=
+
+
≥ 2
2
a ( a + 3b ) b ( b + 3c ) c ( c + 3a ) a + b + c 2 + 3ab + 3bc + 3ca
2

=

≥

=

( a + b + c)
a 2 + b2 + c 2 +

8
1
( ab + bc + ca ) + ( ab + bc + ca )
3
3

( a + b + c)
a 2 + b2 + c 2 +

2

2

8
1
( ab + bc + ca ) + ( a 2 + b2 + c 2 )
3
3

( a + b + c)

2

4 2
8
a + b2 + c 2 ) + ( ab + bc + ca )
(

3
3

Bài 30. Cho

=

( a + b + c)

2

4
2
( a + b + c)
3

≥

3
4

a, b, c > 0

. Chứng minh rằng
a
b
c
a+b+c
P= 2
+ 2

+ 2
≥ 2
2
2
2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a
a + b2 + c 2

Lời giải
a2
b2
c2
P=
+
+
a ( a 2 + ab + b2 ) b ( b2 + bc + c2 ) c ( c2 + ca + a 2 )

( a + b + c)
≥ 3
3
3
a + b + c + ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a )
2

( a + b + c)
=
( a + b + c ) ( a 2 + b2 + c 2 )
2

=

a+b+c
a + b2 + c 2
2


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
Bài 31. Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1.

P =

Chứng minh rằng :

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

1
1
1
3
+ 2
+ 2
≥
a (b + c)
b (c + a)
c ( a + b)
2
2

Lời giải
1
a

Cách 1: Đặt x =

,y=

1
b

,z=

1
c

thì x, y, z > 0 và xyz = 1

BĐT cần chứng minh tương đương:

x
y
z
3
+
+
≥
y+z z+x x+ y 2

( BĐT Nesbit)

 1
1
1  9
(x + y + z) 
+
+
÷≥
⇔
 y+ z z+ x x+ y 2

⇔

 1
1
1 
+
+
÷≥ 9
 y+ z z+ x x+z 

( ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y ) ) 

BĐT BCS ta có :9 = (1 + 1 + 1)2 =


 y + z


1

+ z+x
y+z

1
+ x+ y
z+x

1
x+ y

2


÷
÷


 1
1
1 
≤ ( ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y ) ) 
+
+
÷
 y+ z z+ x x+ y 

Dấu (=) xảy ra

⇔

x=y=z=1

⇔

a=b=c=1

2

Cách 2: Ta có

1 1
1
1

1
b+c +
 + + ÷ =
b
c
b c+a
a
a b+c

2

1

c+a +
a+ b÷
c a+b





1
1
1
≤  2
+ 2
+ 2
÷( b + c + c + a + a + b )
b (c + a) c (a + b) 
 a (b + c)

= 2(a + b + c).P

2

Suy ra P ≥
≥

1
1
1
1
1
 + + ÷
b
c
2 a+b+c a

.

3
1
1
1 3
1
a+b+c
3
 1
+
+
=

÷=
2 a + b + c  ab
bc
ca  2 a + b + c abc
2

Bài 32. Cho

a

( b + c)

2

a , b, c

là các số thực dương. Chứng minh
b
c
9
+
+
≥
2
2
( c + a ) ( a + b) 4 ( a + b + c )

. Dấu (=) xảy ra ⇔

a=b=c=1


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

Lời giải


a

( a + b + c ) 

 ( b + c)

2

+

b

( c + a)

2

+

2

b
c 
 a
+
+

÷ 3
b+c c+a a +b

=
+ ≥
1+1 +1
2
Bài 33. Cho



a2
b2
c2
a
b
c
=
+
+
+
+
+
÷
2
2
2
2
( a + b ) ÷ ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) b + c c + a a + b
c

2

 3
 ÷ 3 9
2 + =
3
2 4

a , b, c

là các số thực dương thỏa mãn
3
3
3
a +b +c ≥a b+c +b c+a +c a+b

abc = 2

. Chứng minh

Lời giải
Áp dụng BCS ta có

3 ( a 2 + b2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c )

( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 ) ≥ ( a 2 + b2 + c 2 )

2

và

2

Nhân hai BĐT trên theo vế ta được
a +b +c
3

≥

3

(a

3

(a
≥

+ b2 + c 3 ) ( a + b + c )

2

3

b+c +b c+a +c a+b

)

(a
=

2

+ b2 + c 3 ) ( ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) )
6

2

6

Mặt khác

a b + c + b c + a + c a + b ≥ 3 3 abc (a + b)(b + c )( c + a ) ≥ 3 3 2 8abc = 6

a 3 + b3 + c 3 ≥

(

a b+c +b c +a +c a +b

)

2

6
a b+c +b c+a +c a +b
=
. a b+c +b c+a +c a+b
6
a b+c +b c+a +c a+b
≥
.6 = a b + c + b c + a + c a + b
6

(

)

Bài 34. Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1.

P=

Chứng minh rằng :

Cách 1: Đặt x =

1
a

,y=

1
b

,z=

1
1
1
3
+ 2
+ 2
≥
a (b + c)
b (c + a) c (a + b)
2
2

1
c

BĐT cần chứng minh tương đương:

thì x, y, z > 0 và xyz = 1
x
y
z
3
+
+
≥
y+z z+x x+ y 2

( BĐT Nesbit)

suy ra


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
 1
1
1  9
(x + y + z) 
+
+
÷≥
⇔
 y+ z z+ x x+ y 2

⇔

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

 1
1
1 
+
+
÷≥ 9
 y+ z z+ x x+z 

( ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y ) ) 

BĐT BCS ta có :9 = (1 + 1 + 1)2 =


 y + z


1
+ z+x
y+z

1
+ x+ y
z+x

1
x+ y

2


÷
÷


 1
1
1 
≤ ( ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y ) ) 
+
+
÷
 y+ z z+ x x+ y 

Dấu (=) xảy ra

⇔

x=y=z=1

⇔

a=b=c=1
2

2

Cách 2: Ta có

1 1
1
1

1
b+c +
 + + ÷ =
b
c
b c+a
a
a b+c

c+a +



1
1
1
≤  2
+ 2
+ 2
÷( b + c + c + a + a + b )
b (c + a) c (a + b) 
 a (b + c)

1


a+ b÷
c a+b


= 2(a + b + c).P

2

Suy ra P ≥
≥

1
1
1
1
1
 + + ÷
b
c
2 a+b+c a

.

3
1
1
1 3
1
a+b+c
3

 1
+
+
=

÷=
2 a + b + c  ab
bc
ca  2 a + b + c abc
2

 Dấu (=) xảy ra ⇔

a=b=c=1

Bài 35. Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa điều kiện xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức :
P=

x 2 (y + z)
y 2 (z + x)
z 2 (x + y)
+
+
y y + 2z z
z z + 2x x
x x + 2y y

(TSĐH - Khối A - Năm 2007)
y + z ≥ 2 yz =

 Nhận xét

∀ y, z > 0 :

2
x

(vì xyz = 1)

x 2 (y + z)
2x x
≥
y y + 2z z
⇒ x 2 (y + z) ≥ 2x x ⇒ y y + 2z z


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

Xét hai bất đẳng thức tương tự nữa, ta thu được


y y
x x
z z
P ≥ 2
+
+
÷

 y y + 2z z
z z + 2x x
x x + 2y y ÷



 Đặt

a=x x ,b=y y ,c=z z

Khi đó :

⇒ a, b, c > 0 và abc = 1.

b
c 
 a
P ≥ 2
+
+
÷ = 2S
c + 2a a + 2b 
 b + 2c

( a + b + c)
 Ta có :

2



a
b
c 
=  a(b + 2c).
+ b(c + 2a).
+ c(a + 2b).

b + 2c
c + 2a
a + 2b 


2

b
c 
 a
≤ [ a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) ] 
+
+
÷
c + 2a
a + 2b 
 b + 2c

S ≥

⇔ (a + b + c)2 ≤ 3(ab + bc + ca).S . Suy ra

( a + b + c)

2

3(ab + bc + ca)

≥ 1

.

Do đó : P ≥ 2

Dấu (=) xảy ra ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z = 1
 Vậy : Pmin = 2 khi x = y = z = 1

Bài 36. Cho a, b, c > 0 và thỏa : a + b + c +

8
9b 2
c 2a 2
+
+
+
a2
2
4

2abc

≥ 10 . Chứng minh rằng :

8
9c 2
a 2b2
+
+
+
b2
2
4

8
9a 2
b 2c 2
+
+
≥ 6 6
c2
2
4

Lời giải
Áp dụng bđt C - S, ta có
2 + 18 + 4.

24.

8
9b 2
c 2a 2
2 2

3b
ca
4
+
+
≥ 2.
+ 3 2.
+ 2.
= + 9b + ca
2
a
2
4
a
2
a
2

8
9c 2
a 2 b2
4
+
+
≥
+ 9c + ab ,
2
b
2
4

b

 Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra :

24.

8
9a 2
c2 b 2
4
+
+
≥
+ 9a + bc
2
c
2
4
c

1
1
1
24.(VT) ≥ 4  + + ÷ + 9(a + b + c) + ab + bc + ca
b
c
a


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu
4
 4
 4

≥  + a ÷ +  + b ÷ +  + c ÷ + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c)
a
 b
 c


4
4
4
.a + 2 .b + 2 .c + 2 2abc + 2 2abc + 2 2abc + 6(a + b + c)
a
b
c

≥ 2

= 12 + 6(a + b + c + 2abc) ≥ 12 + 6.10 = 72 ⇒ (VT) ≥

P=
Bài 37. Cho x, y, z > 0 . Tìm GTNN của biểu thức :

72
=6 6
24

3x
4y
5z
+
+
y+z
z+x
x+y

Lời giải
 3x
  4y

  5z
P= 
+ 3÷ + 
+ 4÷ + 
+ 5 ÷ - 12
 x+y
y+z
 z+x


Ta có :

 3
4
5 
= ( x + y + z) 
+

+
÷ - 12
z+x
x+y
y+z
1
=
2

((

x+y

)

2

≥

+

(

Lời giải

) +(

z+x

)

2

)

2
2
2



3 
4 
5  


÷ + 
÷
÷ +  x + y ÷
÷  - 12
z
+
x
 y + z ÷




 


1
( 3 + 4 + 5) 2 - 12
2

 Kết luận : MinP =

Bài 38. Cho

y+x

2

1
( 3 + 2 + 5) 2 - 12
2

a , b, c > 0

a + b + c ≤ 1

⇔

1
1
1
1
+
+ +
≥ 30

2
2
a +b +c
ab bc ca
2

. Chứng minh rằng

y+z
z+x
x+y
=
=
2
3
5


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

1
1
1
1  7 

+
+
+

 2
÷ 1 + ÷
2
2
ab bc ca 
3
a +b +c
1
1
1
1 
2

≥ 2
+
+
+ ÷ ( a + b + c ) + 7 ( ab + bc + ca )
2
2
ab bc ca 
a +b +c

(

)

1
1
1
1 


= 2
+
+
+ ÷( a 2 + b2 + c 2 + 9 ( ab + bc + ca ) )
2
2
ab bc ca 
a +b +c
2
2
2
2

  1   1   1  
1
= 
+
.
÷ +
÷ +
÷÷
  a 2 + b2 + c 2 ÷
÷
ab
bc
ca















(

a +b +c
2

2

2

) + ( 3 ab ) + ( 3 bc ) + ( 3 ca )
2

2

2

2



÷


≥ ( 1 + 3 + 3 + 3) = 100
2

⇒

1
1
1
1
+
+
+
≥ 30
2
2
a +b +c
ab bc ca
2

Bài 39. Cho

 x, y , z > 0

x + y + z ≤ 1

x2 +

. Chứng minh

1
+
x2

y2 +

1
1
+ z 2 + 2 ≥ 82
2
y
z

2

Định hướng

1
1 

2
2  2
 1. x + α ÷ ≤ ( 1 + α )  x + 2 ÷
x
x 



. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1
x
=
 1 αx
⇒α=9

1
x =

3

Lời giải
2

1
1 
1
1 
9

2
2  2
2
 1. x + 9 ÷ ≤ ( 1 + 9 )  x + 2 ÷ ⇒ x + 2 ≥
x+ ÷
x
x 
x

x
82 



x2 +
=

. Vậy ta có

1
1
1
1 
9 9 9
+ y2 + 2 + z2 + 2 ≥
x+ y+z+ + + ÷

2
x
y
z
x y z
82 

(

)



1 
9 9 9
1
6 6 813.9 3 − 80 = 82
 81x + 81 y + 81z + x + y + z − 80 ( x + y + z ) ÷ ≥
82 
82

x=y=z=

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Bài 40. Cho

a , b, c > 0

abc = ab + bc + ca

Định hướng giải

1
3

. Chứng minh rằng

b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+

≥ 3
ab
bc
ac

b2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+
=
ab
bc
ac

1
2
1
2
1
2
+ 2 + 2+ 2 + 2+ 2
2
a
b
b
c
c
a

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

x=
Đặt

1
1
1
;y= ;z=
a
b
c

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

, ta phải chứng minh

x2 + 2 y 2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ 3 ; x + y + z = 1

( 1. x + 1. y + 1. y )

2

≤ 3( x2 + 2 y 2 ) ⇒ x2 + 2 y 2 ≥

Ta có
tương tự ta có đpcm.
Cách khác

(

x + α 2y

) ≤ (1
2

2

+ α2 ) ( x 2 + 2 y 2 )

1
( x + 2y)
3

. Lập thêm 3 bất đẳng thức

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x
2y
 =
1
α ⇒α= 2

x = y = 1

3

( 1. x +

2. 2 y

)

2

Ta có

(

≤ 12 +

( 2) ) ( x
2

x2 + 2 y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥
x=y=z=

Bài 41. Cho

2

1
( x + 2y)
3

+ 2 y2 ) ⇒ x2 + 2 y 2 ≥

3

( x + y + z) = 3
3

. Suy ra

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1
⇔a=b=c=3
3
a, b, c > 0

chứng minh bất đẳng thức
a
b
+
+
a + ( a + b) ( a + c ) b + ( b + a ) ( b + c ) c +

c

( c + b) ( c + a )

≤1

Định hướng giải
a
a+
Ta sẽ chứng minh

( a + b) ( a + c )

≤

a
a+ b+ c
.

a
a
a
=
≥
≥
a+ b+ c
a.a + ab + ac a + ab + ac a +
Ta có
thêm 2 bất đẳng thức tương tự nữa, cộng lại theo vế ta có đpcm.
a, b, c > 0

a + b+ c =1
thỏa mãn
. Chứng minh rằng
 a b c  1+ a 1+ b 1+ c
2  + + ÷≥
+
+
 b c a  1− a 1− b 1− c

Bài 42. Cho

a

( a + c ) ( a + b)

. Xây dựng


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

Lời giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a b c  a +b+c+a a+b+ c+b a+b+ c+ c
2  + + ÷≥
+
+
b+c
c+a
a+b
b c a
b
c 
a b c
 a
⇔ 2  + + ÷− 2 
+
+
÷≥ 3

b c a
b+c c+a a+b
ac
ab
bc
3
⇔
+
+
≥
b ( b + c) c ( c + a ) a ( a + b) 2

( ac )
⇔
abc ( b + c )

( ab )
+
abc ( c + a )

2

2

( bc )
+
abc ( a + b )
2

≥

3
2

Theo bất đẳng thức C-S ta có

( ac ) + ( ab ) + ( bc ) ≥ ( ab + bc + ca )
abc ( b + c ) abc ( c + a ) abc ( a + b ) 2abc ( a + b + c )
2
2
( ab + bc + ca )
( ab + bc + ca )
3
=
≥
=
2 ( ab.bc + ca.ab + ab.bc ) 2 1 ab + bc + ca 2 2
(
)
2

2

2

2

3

1

3

a=b=c=
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a, b, c > 0

Bài 43. Cho

( a + b)
. Chứng minh rằng

2

a 2 + b 2 + 2c 2

+

( b + c)

2

b 2 + c 2 + 2a 2

+

( c + a)

c 2 + a 2 + 2b 2

Lời giải

( a + b)

2

a 2 + b 2 + 2c 2

Bài 44. Cho

+

( b + c)

2

b 2 + c 2 + 2a 2

a, b, c > 0

2

≥

2

c 2 + a 2 + 2b 2

. Chứng minh rằng

( x + y + z)

HD: Áp dụng:

+

( c + a)

≤

a2
b2
+
+ ... = 3
a 2 + c 2 b2 + c 2

1
1
1
+
+
≥
a a+b b b+c c c+a

1
( xy + yz + zx )
3

ta có:

2

3
2abc

≤3


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

2

1
1
1
1
1
1




+
+
+
+

÷ ≥ 3
÷
a a+b b b+c c c+a 

 ab a + b b + c ca a + b c + a bc c + a b + c 
3 
c
b
a

=
+
+

÷
abc  a + b b + c
a+b c+a
c+a b+c 
=


3 
c2
b2
a2
+
+

abc  c a + b b + c b a + b c + a a c + a b + c ÷




2

2
2

÷
3
c
b
a
≥
+
+

÷
abc  c. a + 2b + c b. 2a + b + c a. 2c + a + b ÷

2
2
2


( a + b + c)
( a + b + c)
6
6
≥
.
=
.
2
2

2
abc 3 ( ab + bc + ca ) + a + b + c
abc ( a + b + c ) 2 + ( ab + bc + ca )
2

6 ( a + b + c)
9
≥
=
abc 4 a + b + c 2 2abc
(
)
3

2

2

u “=” xảy ra khi và chỉ khi

a=b=c

Dấ