Dạy thêm toán 11 CÂU hỏi CHỨA đáp án 1d2 3

Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

(THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Số số hạng trong khai triển
50
( x + 2)
là
49
50
52
51
A.
.
B. .
C. .
D. .
Lời giải
n + 1 = 50 + 1 = 51
Số số hạng trong khai triển là:
.
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị
2018
( 2 x − 3)
thức
2019
2017
2018

2020
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n
2018
( a + b)
( 2 x − 3)
n +1
Trong khai triển nhị thức
thì số các số hạng là
nên trong khai triển
có
2019
số hạng.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
5
( x − y)
.
5
x − 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 − y 5
x 5 − 5 x 4 y − 10 x3 y 2 − 10 x 2 y 3 − 5 xy 4 + y 5
A.
.

B.
.
5
4
3 2
2 3
4
5
5
4
3 2
2 3
4
5
x + 5 x y + 10 x y + 10 x y + 5 xy + y
x + 5 x y − 10 x y + 10 x y − 5 xy + y
C.
.
D.
.
Lời giải
Ta có:

( x − y)
Hay
Câu 4.

Câu 5.

5

=  x + ( − y )  = C50 x 5 + C51 x 4 ( − y ) + C52 x3 ( − y ) + C53 x 2 ( − y ) + C54 x1 ( − y ) + C55 ( − y )

( x − y)

5

5

1

2

3

4

5

= x5 − 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 − y 5
.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
(3 − 2 x) 2019
có bao nhiêu số hạng?
2019
2018
2020
2021
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
( a + b) n
n +1
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn
có
số hạng.
2019
(3 − 2 x)
2020
Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
có
số hạng.

( x + 1)

10

Từ khai triển biểu thức
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa
thức là
512
1023

1024
2048
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
1


Lời giải
Chọn C
f ( x) = ( x + 1)

10

k =0

Xét khai triển
Gọi
Câu 6.

S

.

là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có

S = f (1) = ( 1 + 1)

10

= 210 = 1024

.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ khai triển biểu thức
10
( x + 1)
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
512
1023
1024
2048
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
f ( x) = ( x + 1)

Xét khai triển

Gọi
Câu 7.

10

= ∑ C10k .x k

S

10

10

= ∑ C10k .x k
k =0

.

là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có

S = f (1) = ( 1 + 1)

10

= 210 = 1024

.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Tính tổng các hệ số trong
2018

( 1 − 2x )
khai triển
.
−2018
2018
−1
1
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Lời giải
0
1
2
3
2018
(1 − 2x) 2018 = C2018
− 2 x.C2018
+ ( −2 x) 2 .C2018
+ ( −2 x)3 .C2018
+ ... + ( −2 x) 2018 .C2018
Xét khai triển
Tổng
các
hệ
số
trong

khai
triển
là:
0
1
2
2
3
3
2018
2018
S = C2018 − 2.C2018 + (−2) .C2018 + (−2) .C2018 + ... + (−2) .C2018
x =1

0
1
2
(1 − 2.1) 2018 = C2018
− 2.1.C2018
+ (−2.1) 2 .C2018
+ ( −2.1) 3.C32018 + ... + ( −2.1) 2018.C 2018
2018

Cho
ta có:
2018
⇔ ( −1)
= S ⇔ S =1

Câu 8.

(THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Khai triển
số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
30
31
32
A. .
B. .
C. .

( 5 − 4 7)124

D.

33

. Có bao nhiêu

.

Lời giải
124

124 − k
2

k
( 5 − 4 7)124 = ∑ C124
. ( −1) .5

Ta có

k

k

.7 4

k =0

Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với
2

124 − k
 2 ∈ ¢

k ∈¢
⇔ k ∈ { 0; 4;8;12;...;124}
 4

.


Vậy số các giá trị
Câu 9.

k

là:

124 − 0
+ 1 = 32
4

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong khai triển nhị thức newton của
P ( x) = ( 3 2 x + 3) 2018
thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương?
A. 673.
B. 675.
C. 674.
D. 672.
Lời giải
Chọn A

P ( x) = ( 2 x + 3)
3

2018

2018

=∑
k =0

(

3

Để hệ số nguyên dương thì

2x

)

2018 − k

2018− k
3

.3k x 2018−k

( 2018 − k ) M3 ⇔ 2018 − k = 3t ⇔ k = 2018 − 3t

ta có

2018
≈ 672, 6
3

,do

0 ≤ k ≤ 2018

20

k
= ∑ C20
( −2 ) x k ,

20

k =0

Ta có
Vậy

k

nên

vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị

(Độ
Cấn
Vĩnh
Phúc-lần
1-2018-2019)
Trong
khai
20
2
20
( 1 − 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + a20 x .
a0 − a1 + a2
Giá trị của
bằng
A. 801.
B. 800.
C. 1.
D. 721.

Lời giải
Chọn A

( 1 − 2x)

Câu 11.

2018

3 = ∑2
k

k =0

0 ≤ 2018 − 3t ≤ 2018 ⇔ 0 ≤ t ≤

Câu 10.

.

triển

2
2
1
⇒ a0 = C200 , a1 = −2.C20
, a2 = ( −2 ) C20 = 4C20 .

( k∈Z)

2

0
1
2
a0 − a1 + a2 = C20
+ 2C20
+ 4C20
= 801.

(Chuyên Lê Thánh Tơng-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu số hạng là số ngun trong

(

3

3+ 5 5

khai triển của biểu thức
136
403
A.
.
B.
.

)

2019

?

135
C.
.
Lời giải

D.

134

.

Chọn C

(
Ta có

3

3+ 5 5

)

2019

2019

k
= ∑ C2019

.
k =0

( )
3

3

2019 − k

.

( )
5

5

Để trong khai triển có số hạng là số ngun thì

3

k

2019

k
= ∑ C2019
.3
k =0

2019 − k
3

k

.5 5

.
k ∈ ¥
k ∈ ¥
0 ≤ k ≤ 2019
0 ≤ k ≤ 2019


 2019 − k

k

∈ ¥ ⇔ 673 − ∈ ¥
3
3


k
k
 ∈¥
 ∈¥
5
5

k ∈ ¥

⇔ 0 ≤ k ≤ 2019
k M
 15

.

kM
15 ⇒ k = 15m

0 ≤ k ≤ 2019 ⇔ 0 ≤ 15m ≤ 2019 ⇔ 0 ≤ m ≤ 134, 6

Ta có
mà
hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.

. Suy ra có

135

số

2019

Câu 12.

1 1
 151 13


3 5
x y +x y ÷



(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Trong khai triển của
y
x
thừa của và bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?
1348
1346
1345
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn D
2019 − k

Ta có số hạng thứ
Theo đề bài ta có;

k +1

C

k
2019

 151 13 
x y ÷



D.

, số hạng mà lũy

1347

.

k

 13 51 
2019 4
2019 2
+ k
− k
x y ÷
k
15 15
3 15
=
C
x

y


2019

là :
2019 4
2019 2
+ k=
− k⇔
k = 1346
15 15
3
15

Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ

1347

.

Câu15.
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho khai triển
20
(2 x − 1) = a0 + a1 x + a2 x 2 + .... + a20 x 20
a1
. Tìm
A. 20.
B. 40.
C. -40.

D. -760.
Lời giải
Chọn C
a1
x
Ta có: là hệ số của
19
−C20
2 x ⇒ a1 = −40
Hạng tử chứa x trong khai triển là:

( 1 − 2x )

20

= a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a20 x20

Câu 13. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho khai triển
a0 + a1 + a2 + L + a20
của
bằng:
320
0
1
A. .
B.
.
C. .
Lời giải
20

( 1 − 2x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a20 x20 ( 1)
.
20
a0 + a1 + a2 + L + a20 = ( −1) = 1
( 1)
x =1
Thay
vào
ta có:
.

4

D.

−1

.

. Giá trị


Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức
Dạng 2.1.1 Bài tốn tìm hệ số của số hạng

Câu 14.

(Chun Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Hệ số của số hạng chứa

x7

trong khai triển nhị thức

12

2 

x−
÷
x x

A.

376

(với

x>0

) là:

.

B.

−264

264
C.

.
Lời giải

.

D.

260

.

Chọn C
12

Số hạng tổng quát của khai triển

2 

x−
÷
x x


(với

x>0

) là

k

2 

3k
5k
Tk +1 = C12k .x12− k .  −
÷ = ( −2 ) k .C k .x12 − k .x − 2 = ( −2 ) k .C k .x12− 2
12
12
 x x

Số hạng trên chứa

x

12 −

7

suy ra

Vậy hệ số của số hạng chứa
Câu 15.

Câu 16.

x7

5k
=7⇔k =2

2

.

.
= ( −2 ) .C122 = 264
2

trong khai triển trên là

.
x7

(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai
13
1

x+ ÷
x

x≠0
triển nhị thức
, (với
).
1716.
68.
−176.
286.
A.

B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
13
1

x+ ÷
x

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức
.
k
1
Tk +1 = C13k x13− k  ÷ = C13k x13− 2 k
 x
.
7
Tk +1
x ⇔ 13 − 2k = 7 ⇔ k = 3
chứa
.
13
1

x+ ÷
C133 = 286
x


x7
Vậy hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức
bằng:
.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Hệ số của
40
1 

x+ 2 ÷ ,x ≠ 0
x 

là.
5

x 31

trong khai triển


A.

C404

.

B.

C402

3
C40

.

C.
Lời giải.

.

D.

5
C40

.

Chọn C
40
40
40
1 

k 40 − k
−2 k
x
+
=
C
x

.
x
=
C40k x 40−3k
∑
∑
40

2 ÷
x


k =0
k =0
Theo giả thiết:
Vậy hệ số của
Câu 17.

40 − 3k = 31 ⇒ k = 3

x

31

là

C = 9880
3
40

.

.

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Hệ số lớn nhất trong khai triển
4
1 3 
+
x

÷
4 4 

A.

27
128

.

B.

9
32

.

C.
Lời giải

27
32

.

D.

27
64

.

Chọn D
4
4 −k
k
4
1 3 
 3
k 1
 + x ÷ = ∑ C4 .  ÷ .  ÷
 4 4  k =0
4 4
Ta có
1
3
27 2 27 3 81 4
=
+
x+

x +
x +
x
256 64
128
64
256

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là
Câu 18.

27
64

.
x2

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho biết hệ số của
trong khai triển
n =8
n = 12
n = 14
A.
.
B.
.
C.
.

( 1+ 2x)

n

D.

bằng
n = 10

180

.

Lời giải
Chọn D
Tk +1 = Cnk .2k x k .
Ta có:
.
2
x
180
Hệ số của
trong khai triển bằng

Cn2 .22 = 180 ⇔

Câu 19.

 n = 10
n!
.22 = 180 ⇔ n ( n − 1) = 90 ⇔ n 2 − n − 90 = 0 ⇔ 

( n − 2 ) .2
 n = −9 ( l )

(HKI-Chu Văn An-2017) Tìm hệ số của
90
720
A. .
B.
.

x7

trong khai triển
120
C.
.
Lời giải

Chọn D
Số hạng tổng quát là:

Tk +1 = C10k .x k

.
6

( 1 + x)

10

.
D.

45

.

.Tìm

n

.


Số hạng chứa

x7

( 1 + x)

10

nên hệ số là 45.
h
x5
Câu 20. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai
7
 2 2
x + ÷

x

triển
.
h = 84
h = 672
h = 560
h = 280
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
7
7−k
7
7
 2 2
k
2 k 2
k
7 − k 3k −7
 x + ÷ = ∑ C7 ( x )  ÷ = ∑ C7 .2 .x .
x  k =0


x
k =0
Ta có:
k
3k − 7 = 5
k = 4.
Cần tìm sao cho
, suy ra
7
 2 2
x + ÷
h = C74 .23 = 280.
x

h
x5
Vậy hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
là
Câu 21.

trong khai triển

là:

T8 = C108 .x 7

x6

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển

15
2 

x− 2 ÷
x 

Newton
là
−3640
3640
−1863680
A.
.
B.
.
C. 455.
D.
Lời giải
Chọn A
15
k
15
15
2 
2  15 k 15− k
k
k 15 −3k

k 15− k 
−2 k

k
 x − 2 ÷ = ∑ C15 x  − 2 ÷ =∑ C15 x ( −2 ) ( x ) = ∑ C15 ( −2 ) x
x 

 x  k =0
k =0
k =0
Tk +1 = C15k ( −2 ) x15−3k
k

Số hạng tổng quát của khái triển
x 6 15 − 3k = 6 ⇔ k = 3
x6
Số của số hạng chứa :
. Hệ số của số hạng chứa
k
3
k
3
C15 ( −2 ) = C15 ( −2 ) = −3640

Câu 22.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tìm hệ số của
khai triển
A. 58690.

(x

3

+ xy ) .
15

B. 4004.

C. 3003.
Lời giải

Chọn C

C15k . ( x3 )

15− k

D. 5005.

. ( xy ) = C15k .x 45− 2 k . y k ,
k

Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là
x 25 y10
0 ≤ k ≤ 15 k ∈ ¥
k = 10
với
,
. Số hạng này chứa
khi và chỉ khi
(thỏa mãn).
Vậy hệ số của

x 25 y10

trong khai triển

(x

3

+ xy )
7

15

là

C1510 = 3003.

x 25 y10

trong


6

Câu 23.

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển
x3
của số hạng chứa

trong khai triển trên
80
160
240
A. .
B.
.
C.
.
Lời giải:
Chọn D
6

Ta có:

Số hạng chứa

với

D.

60

x>0

. Tìm hệ số

.

k

3k
6
6
6−
2 

k 6−k  2 
k
k
2
x+
÷ = ∑ C6 x 
÷ = ∑ 2 C6 x
x
x

 k =0

 k =0

x

2 

x+
÷
x


6−

3

ứng với

3k
= 3⇒ k = 2
2

.

. Vậy hệ số của số hạng chứa

x3

bằng

22.C62 = 60

.

6

Câu 24.

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển
x3
của số hạng chứa
trong khai triển trên

80
160
240
A. .
B.
.
C.
.
Lời giải:
Chọn D
6

Ta có:

Số hạng chứa
Câu 25.

D.

x>0

với
60

. Tìm hệ số

.

k

3k
6
6
6−
2 

k 6−k  2 
k
k
2
x+
÷ = ∑ C6 x 
÷ = ∑ 2 C6 x
x
x

 k =0

 k =0

x

2 

x+
÷
x


6−

3

ứng với

3k
= 3⇒ k = 2
2

.

. Vậy hệ số của số hạng chứa

x3

bằng

22.C62 = 60

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Biết hệ số của
n
( 1 − 3x )
n
90
khai triển của
là . Tìm .
n=7
n=6
n =8
n=5

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
n
k
Tk +1 = Cnk ( −3) x k
( 1 − 3x )
k +1
Số hạng thứ
trong khai triển của
là:
.
2
x
k =2
Số hạng chứa
ứng với
.
2
2
2
Cn ( −3) = 90 ⇔ Cn = 10
n ≥ 2 n∈¥

Ta có:
(với
;
)
n = 5
n!
⇔
⇔
= 10
⇔ n ( n − 1) = 20
2!( n − 2 ) !
 n = −4 ( L )
n=5
. Vậy
.

8

x2

.

trong


Dạng 2.1.2 Bài tốn tìm số hạng thứ k
Câu 26.

13
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Số hạng thứ

trong khai triển
15
( 2 − x)
bằng?
3640x13
3640x12
−420x12
3640
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B

( 2 − x)

15

= ∑ C15k .215−k. ( − x )

15

k =0

Ta có

Số hạng thứ

k

13

12 15−12
k = 12 ⇒ C15 .2 . ( − x )
trong khai triển tương ứng với
.

12

= 3640 x12
.
9

Câu 27.

Câu 28.

1 

x− ÷
2x 


3

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng chứa x trong khai triển

1
1 3 3
− C93 x 3
C9 ×x
−C93 ×x 3
C93 x3
8
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
k
k
1 
1  9− 2
k 9k
k
Tk +1 = C9 x ì ữ = C9 ì ữ x
2x
2
k +1
S hạng thứ
trong khai triển là:

.
3
k
9 − 2k = 3 ⇔ k = 3
x
Số hạng chứa
có giá trị thỏa mãn:
.
1 3 3
− C9 x
x3
8
Vậy số hạng chứa
trong khai triển là:
.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm số hạng chứa

x7

trong khai triển

13

1

x− ÷
x

A.

−C

3
13

.

.

B.

−C133 x 7

−C134 x 7

.

C.
Lời giải

Chọn B
Ta có cơng thức của số hạng tổng qt:
k

k
k
 1
Tk +1 = C13k x13− k .  − ÷ = C13k x13−k ( −1) x − k = C13k . ( −1) x13− 2 k
 x

Số hạng chứa

x7

khi và chỉ khi

Vậy số hạng chứa

x

13 − 2k = 7 ⇔ k = 3

7

trong khai triển là

−C x

3 7
13

9

.

.

.

D.

.

−C134

.


Câu 29.

x 31

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm số hạng chứa
trong khai triển
40
1 

x+ 2 ÷
x 

?
37 31
37 31
3 31
4 31
- C 40
x
C 40
x
C 40

x
C 40x
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
Lời giải
Chọn D
40

Ta có khai triển:

40
40
k
1 

k 40 − k
−2
k 40 −3 k
x
+
=
C
x
x

=
C40
x
(
)
∑
∑
40

2 ÷
x 

k =0
k =0

Số hạng tổng quát trong khai triển:
Số hạng chứa

x 31

Vậy số hạng chứa
Câu 30.

Câu 31.

ứng với:
x 31

là:

k 40 − 3k
C40
x

40 − 3k = 31 ⇔ k = 3

3 31
C40
x

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng chứa
40
1

x+ ÷
x

khai triển
là
37 34
3 34
2 34
4 34
−C40
x
C40
x
C40
x
C40

x
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
40
1

x+ ÷
x

k +1
Số hạng thứ
trong khai triển
là:
k
k 40 − k  1 
k 40 − k − k
ak +1 = C40
x .  ÷ = C40
x x = C40k x 40 − 2 k
x
 
.

40
1

x+ ÷
34
x

x
40 − 2k = 34 ⇔ k = 3
Số hạng chứa
trong khai triển
tương ứng với:
.
40
1

3 34
x+ ÷
34
C40
x
x

x
Vậy số hạng chứa
trong khai triển
là:
.
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Biết hệ số của số hạng chứa
n

( 1+ 4x)
n
3040
triển
là
. Số tự nhiên bằng bao nhiêu?
28
26
20
24
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
10

x2

x 34

trong

trong khai

( 1+ 4x)

n

Ta có:

n

n

= ∑ Cnk ( 4 x ) = ∑ Cnk 4k x k
k

k =0

Hệ số của số hạng chứa
Giả thiết suy ra

k =0

x

2

là:

Cn2 42 = 3040 ⇔ Cn2 = 190 ⇔

Cn2 42

.
.

 n = 20 ( t/m )
n ( n − 1)
= 190 ⇔ n 2 − n − 380 = 0 ⇔ 
2
 n = −19 ( loai )

.

Câu 32. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Biết hệ số của
n
( 1 − 3x ) 90
n
triển của
là . Tìm .
n=5
n =8
n=6
n=7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Lời giải
k
k
Tk +1 = Cnk ( −3 x ) = Cnk ( −3) x k
k +1
Số hạng tổng quát thứ
là
.
x2
k =2
Vì hệ số của
nên cho
.
n = 5 ( n )
n ( n − 1)
2
⇔
C
=
10
⇔
=
10
⇔

n
2
2
Cn2 ( −3) = 90
 n = −4 ( l )

Khi đó ta có
.
n=5
Vậy
.
Câu 33.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho biết hệ số của
n
180
. Tìm .
n = 12
n = 14
n =8
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Ta có

( 1 + 2x )

Hệ số của

x2

n

= Cn0 + Cn1 .2 x + Cn2 . ( 2 x ) + ... + Cnn ( 2 x )

bằng

2

Vậy

trong khai triển

D.

trong khai

( 1+ 2x)

n = 10

n

bằng

.

n

.
n!
⇔4

= 180
⇔ n ( n − 1) = 90
2!( n − 2 ) !
180 ⇔ 4.Cn2 = 180

 n = −9 ( l )
⇔
 n = 10
⇔ n 2 − n − 90 = 0
n = 10

x2

x2

.

.
x10

Câu 34. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
5
 3 2 
 3x − 2 ÷
x 

của biểu thức
.
−810

826
810
421
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
11


5

Ta có

k

5
5
k
k
 3 2
k
3 5− k  2 
k 5− k k 15−5 k
3

x
−
=
−
1
.
C
.
3
x
.
=
(
)
(
)
∑
5

 2 ÷ ∑ ( −1) .C5 .3 .2 x
2 ÷
x
x

 k =0
 
k =0
10

Số hạng chứa

x

ứng với

Hệ số của số hạng chứa

.

15 − 5k = 10 ⇔ k = 1

x10

.
( −1) C .3 .2 = −810
1

là

1
5

4

1

.

Câu 35. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa
40

1 

x+ 2 ÷
x 

triển
.

A.

37
C40

.

B.

31
C40

C404

.

C.
Lời giải

40

Ta có:

Số hạng tổng qt của khai triển là:
Số hạng chứa

D.

trong khai

.

k

40
40
1 

k
40 − k  1 
k
40 −3 k
x
+
=
C
.
x
.
=
∑
40


 2 ÷ ∑ C40 .x
2 ÷
x 

x 
k =0
k =0

x 31

.

C402

x 31

Tk +1 = C40k .x 40−3 k

trong khai triển tương ứng với

Vậy hệ số cần tìm là:

3
37
C40
= C40

.

.

40 − 3k = 31 ⇔ k = 3

(theo tính chất của tổ hợp:

Cnk = Cnn −k

.

).

6

2 

x+
÷
x


Câu 36. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Trong khai triển
80
160
240
A.
.
B.
.
C.

.

, hệ số của

x3 ( x > 0 )
D.

60

là:

.

Lời giải
6

6

Ta

có:
6

= ∑ C6k .2k x

k

k

1

1
1
6
6
− 
− 
− 
2  

6− k 
6−k 
k
k
k
2
2
2
x
+
=
x
+
2
x
=
C
x
2
x
=

C
.2
x
2
x
(
)
(
)
÷ ∑ 6

÷ ∑ 6

÷

÷ 
x 
k =0

 k =0





3
6− k
2

k =0

3
6− k
2

3
⇔ 6− k =3
=x
⇔k=2
2
3

x
Theo đề bài,
x3 ( x > 0 )
C62 .22 = 60
Hệ số của
là:
.

12


Dạng 2.1.2 Bài tốn tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n
n
Câu 37.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho
là số tự nhiên thỏa mãn
0
1

2
2
n
n
Cn + 2.Cn + 2 .Cn + ... + 2 .Cn = 59049
3
. Biết số hạng thứ
trong khai triển Newton của
n
 2 3
81
n
x − ÷
x

x
2
có giá trị bằng
. Khi đó giá trị của bằng
1
2
±1
±2
A.
B. .
C.
D.
.
Lời giải
Chọn C

n
Cn0 + 2.Cn1 + 22.Cn2 + ... + 2n.Cnn = 59049 ⇒ ( 2 + 1) = 59049 ⇔ 3n = 310 ⇔ n = 10
Ta có:
.
10
 2 3
x − ÷
x

Ta được nhị thức
.
2
3
2
2 8 
T3 = C10 . ( x ) .  − ÷ = 405 x14
 x
Số hạng thứ ba của khai triển là
.
81
405 x14 = n
⇔ 405 x14 = 405 ⇔ x14 = 1 ⇔ x = ±1
2
Theo giả thiết ta có:
.
n

Câu 38.

 2 1 

 2x + 3 ÷
x 


(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho nhị thức
, trong đó số nguyên dương
3
5
An = 72n
n
x
thỏa mãn
. Tìm số hạng chứa
trong khai triển.
6 4 5
5 5 5
2 C10 x
2 C10 x
27 C103 x5
26 C107 x5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C

n!
An3 = 72n ⇔
= 72n ⇔ n ( n − 1) ( n − 2 ) = 72n
( n − 3) !
⇔ n = 10
Ta có:
.
Xét khai triển:
10
k
10
10
10
 2 1 
k
2 10 − k  1 
k
10 − k 20− 2 k
−3k
2
x
+
=
C
2
x
=
C
.2
x

.
x
=
C10k .210−k x 20−5k
(
)
∑
∑
10

 3 ÷ ∑ 10
3 ÷
x
x


  k =0
k =0
k =0
.
5
x
20 − 5k = 5 ⇔ k = 3
Số hạng chứa
trong khai triển tương đương với:
.
7 3 5
5
2 C10 x
x

Suy ra số hạng chứa
trong khai triển là:
.
x
Câu 39. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm số hạng khơng chứa trong khai triển nhị
n
 2 3
 2x − ÷ ( x ≠ 0)
1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + n.Cnn = 256n Cnk
x

thức Newton của
, biết rằng
(
là số
tổ hợp chập k của n phần tử).
489888
49888
48988
4889888
A.
B.
.
C.
.
D.
.
13

Lời giải
Chọn A
n.
Tìm
k k
Cn = Cnk−−11
n

1≤ k ≤ n
n ≥ 2.
Trước hết ta chứng minh công thức
với
và
k k k
n!
(n − 1)!
Cn = .
=
= Cnk−−11.
n
n k !(n − k )! ( k − 1)!( n − k )!
Thật vậy,
(đpcm)
Áp dụng công thức trên ta có
2
3
n
1

1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + n.Cnn = n  .Cn1 + .Cn2 + .Cn3 + ... + .Cnn ÷

n
n
n
n

= n ( Cn0−1 + Cn1−1 + Cn2−1 + ... + Cnn−−11 ) = n2 n −1
1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + n.Cnn = 256n ⇔ n2 n −1 = 256n ⇔ 2 n −1 = 256 ⇔ n = 9.

Theo đề
Chọn A.
Câu 40.

(THI HK1 LỚP 11
n
( 1 + 3x ) = a0 + a1 x1 + ... + an x n
a0 +

A.

a
a1
+ ... + nn = 4096
3
3

1732104.

THPT

VIỆT

trong đó

TRÌ

n∈¥ *

2018

-

2019)

Cho

Xét khai triển
x=

Cho

1
3

ai
. Tìm hệ số
lớn nhất.
3897234.
4330260.
B.
C.

Lời giải

D.

3247695

Ta có hệ số

= a0 + a1 x1 + ... + an x n

.

n

ta được

( 1 + 3x )
Khi đó

n

12

an
1
a1

n
1 + 3. ÷ = a0 + 1 + ... + n ⇒ 2 = 4096 ⇔ n = 12.
3

3
3


12

= ∑ C12k .3k.x k
k =0

.
12!
ak = 3k C12k = 3k .
k !. ( 12 − k ) !
12!
12!
 k
3.
≥ 3k −1.

( k − 1) !. ( 12 − k + 1) !
 ak ≥ ak −1
 k !. ( 12 − k ) !
⇔

12!
12!
 ak ≥ ak +1
3k .
≥ 3k +1.
 k !. ( 12 − k ) !

( k + 1) !. ( 12 − k − 1) !

ak
Hệ số
lớn nhất nên
1
39
3

k≤
 k ≥ 13 − k

39 − 3k ≥ k

4
⇔
⇔
⇔
k + 1 ≥ 36 − 3k
 1 ≥ 3
 k ≥ 35

4
12 − k k + 1
14

triển

và các hệ số thỏa mãn hệ thức

Chọn C

( 1 + 3x )

khai

.


Vì

k ∈¥

nên nhận

Vậy hệ số lớn nhất
Câu 41.

k = 9.
a9 = 39.C129 = 4330260.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm hệ số của

x6

trong khai triển

3 n +1

1 3

 +x ÷
x


với

x ≠ 0,

biết

là số nguyên dương thỏa mãn
120 x 6 .
210.
B.
C.
Lời giải

6

A.

n

210 x .

3Cn2+1 + nP2 = 4 An2 .

D.

120.

Chọn B
n ≥ 2, n ∈ ¥ .
Đk:
3Cn2+1 + nP2 = 4 An2

⇔3

( n + 1) ! + 2!n = 4 n !
( n − 1) !2!
( n − 2) !

⇔

3
n ( n + 1) + 2n = 4n ( n − 1)
2

⇔

n = 0 ( L )
5 2 15
n − n=0⇔ 
2
2
n = 3
10

Với

n=3

1 3
 +x ÷ .
x


, nhị thức trở thành

10 − k

1
C . ÷
x
k
10

Số hạng tổng qt là

Từ u cầu bài tốn ta cần có:

x6
Vậy hệ số của số hạng chứa

. ( x 3 ) = C10k .x 4 k −10
k

4k − 10 = 6 ⇔ k = 4.

là

C104 = 210.
n

Câu 42.

x6

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
2
14
1
+ 3 =
k
2
( x ≠ 0)
Cn 3Cn n ( Cn
k
n
, biết rằng
là số tổ hợp chập của phần tử).
326592
3265922
3265592
32692
A.
.
B.
C.

D.
.
Lời giải
Chọn A
2
14
1
+ 3 =
2
Cn 3Cn n ( 1)
Xét phương trình
15

 2 3
 2x − ÷
x



Điều kiện:

( 1) ⇔
⇔

n ≥ 3, n ∈ ¥

2. ( n − 2 ) !.2! 14 ( n − 3) !.3! 1
4
28
1

+
= ⇔
+
=
n!
3.n !
n
n ( n − 1) n ( n − 1) ( n − 2 ) n

n = 9
4
28
+
= 1 ⇔ 4 ( n − 2 ) + 28 = ( n − 1) ( n − 2 ) ⇔ n 2 − 7 n − 18 = 0 ⇔ 
n − 1 ( n − 1) ( n − 2 )
 n = −2 ( l )
9

Với

n=9

ta có:

k

9
9
3
k

 2 3
k
2 9−k 
k 9− k
18 − 3 k
2
x
−
=
C
.
2
x
.
−
=
)

÷ ∑ 9 (

÷ ∑ C9 .2 . ( −3) .x
x  k =0

 x  k =0

C9k .29− k . ( −3) .x18−3 k
k

Số hạng tổng quát của khai triển là

18 − 3k = 6 ⇒ k = 4 ⇒

Cho
4
C94 .25. ( −3 ) = 326592

Câu 43.

hệ

x6

số của số hạng chứa

trong khai triển là

.
x 26

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tìm số hạng chứa
trong khai triển
n
 1
7 
 4 +x ÷
C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 2 20 − 1
x

n
biết là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức

.
200
325
210
152
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 2 20

Từ giả thiết ta suy ra
.
k
2 n +1− k
C2 n +1 = C2 n +1 , ∀k ∈ ¥ , 0 ≤ k ≤ 2n + 1
Mặt khác:
nên ta có:
1
1
2 n +1
C20n +1 + C21n +1 + C22n+1 + ... + C2nn +1 = C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + ... + C22nn++11 = ( 1 + 1)
= 2 2n
2

2

(

Suy ra:

2

2n

= 2 ⇔ n = 10

)

.
10

 1
7
 4 +x ÷
x


10 − k

 1 
Tk +1 = C  4 ÷
x 
k
10

Số hạng tổng quát trong khai triển
là:
k
C10
x 26
k
11k − 40 = 26 ⇔ k = 6
Hệ số của
là
với thỏa mãn:
.
6
26
C
=
210
x
10
Vậy hệ số của
là
.
Câu 44.

.

20

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với

n

(x )

7 k

= C10k x11k − 40

.

là số tự nhiên thỏa mãn
n
2
3
 −x ÷
Cnn−−46 + nAn2 = 454
x

x4
, hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
x≠0
( với
) bằng
16


A.

1972

.

B.

Điều kiện
C

n −6
n−4

n≥6

và

+ nA = 454
2
n

786

1692
C.
.
Lời giải

.

n∈¥

⇔

.
n
−
( 4) !

( n − 6 ) !2!

D.

−1792

.

n!
= 454 ⇔ ( n − 5 ) ( n − 4 ) + n 2 ( n − 1)
( n − 2) !
= 454
2

+ n×

⇔ 2n3 − n2 − 9n − 888 = 0 ⇔ n = 8

(Vỡ

nƠ

).

8

Khi ú ta cú khai trin:

2 3
x ữ
x


.
8 k

2
C  ÷
 x
k
8

( −x )

3 k

= C8k ( −1) 28− k x 4 k −8
k

Số hạng tổng quát của khai triển là
x4
k
4k − 8 = 4 ⇔ k = 3

Hệ số của số hạng chứa
ứng với thỏa mãn:
.
3 5
3
C8 ( −1) 2 = −1792
x4
Vậy hệ số của số hạng chứa
là:
.
Câu 45. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Với

.

Cn1 + Cn3 = 13n

n

là số nguyên dương thỏa mãn
n
 2 1
x
+

÷
x3 

x5
, hệ số của số hạng chứa
trong khai triển của biểu thức

bằng.
120
252
45
210
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n ( n − 1) ( n − 2 )
n!
Cn1 + Cn3 = 13n ⇔ n +
= 13n ⇔ n +
= 13n ⇔ 6 + n 2 − 3n + 2 = 78
3!( n − 3 ) !
6
 n = −7
⇔ n 2 − 3n − 70 = 0 ⇔ 
 n = 10

. Vì

n

là số nguyên dương nên

n = 10

.

.

10

Ta có khai triển:

 2 1
x + 3 ÷
x 


.
Tk +1 = C x
k
10

2( 10 − k )

Số hạng tổng quát của khai triển:
Số hạng chứa

x5

ứng với

20 − 5k = 5 ⇔ k = 3

k

 1 
.  3 ÷ = C10k x 20−5k
x 

.
C103 = 120

. Vậy hệ số của số hạng chứa
.
n
Câu 46. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho là số nguyên dương thỏa mãn
n
 2 3
P ( x) =  x + ÷
An2 = Cn2 + Cn1 + 4n + 6
x

x9
. Hệ số của số hạng chứa
của khai triển biểu thức
bằng:
18564
64152
192456
194265
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
17


Lời giải
n!
n!
n!
⇔
=
+
+ 4n + 6
An2 = Cn2 + Cn1 + 4n + 6
( n − 2 ) ! ( n − 2 ) !.2! ( n − 1) !.1!
 n = −1 ( l )
n ( n − 1)
⇔
⇔ n ( n − 1) =
+ n + 4n + 6
 n = 12 ( n )
⇔ n 2 − 11n − 12 = 0
2

.

12

Khi đó

3

P ( x ) =  x2 + ÷
x


.
Tk +1 = C . ( x
k
12

)

2 12 − k

Công thức số hạng tổng quát:
x9 ⇒ 24 − 3k = 9 ⇔ k = 5
Số hạng chứa
.
Vậy hệ số của số hạng chứa

x9

k

3
. ÷
k
k 24 −3 k
 x  = C12 .3 .x

trong khai triển là

C125 .35 = 192456

.

.

n
Câu 47. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết
là số nguyên dương thỏa mãn
n
 3 2
n −1
n− 2
x − ÷
8
Cn + Cn = 78
x

x
, số hạng chứa
trong khai triển
là

8
−101376x
101376x8
−101376
−112640
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n!
n!
⇔
+
= 78 ⇔ n + ( n − 1) n = 78
n −1
n− 2
Cn + Cn = 78
( n − 1) !.1! ( n − 2 ) !.2!
2
Ta có:
 n = 12
⇔
⇔ n 2 + n − 156 = 0
n
 n = −13 ⇔ n = 12

(vì là số nguyên dương).
12
k
k
 3 2
k
3 12 − k  2 
( −1) C12 ( x )  ÷ = ( −1) k C k .2k.x36−4 k
x − ÷
x
12

x
Số hạng tổng quát trong khai triển
là:
.
36 − 4k = 8 ⇔ k = 7
Cho
.
12
 3 2
x
−

÷
−C127 .27.x8 = −101376x 8
x

x8
Vậy số hạng chứa

trong khai triển
là
.
n
Câu 48. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với
là số nguyên dương thỏa mãn

(x

3Cn3+1 − 3 An2 = 52 ( n − 1)

3

+ 2 y2 )

. Trong khai triển biểu thức
Tk
x
34
mũ của và của số hạng đó bằng
. Hệ số của
là
54912
1287
2574
A.
.
B.
.
C.

.
Lời giải
n ≥ 2 n ∈ ¥*
Điều kiện:
,
.

n

, gọi

Tk

là số hạng mà tổng số

y

18

D.

41184

.


⇔ 3.

( n + 1) ! − 3 n ! = 52 n − 1
(

)
3! ( n − 2 ) !
( n − 2) !

3C − 3 A = 52 ( n − 1)
Ta có
( n − 1) n ( n + 1) − 3n n − 1 = 52 n − 1
⇔
(
)
(
)
⇔ n 2 + n − 6 n = 104
2
3
n +1

2
n

 n = 13
⇔
⇔ n 2 − 5 n − 104 = 0
 n = −8 ⇔ n = 13

( x3 + 2 y 2 )
Ta có:
Câu 49.

13

13

=

∑C ( x )
0

k
13

3 13 − k

( 2y )

39 − 3k + 2 k = 34 ⇔ k = 5

2 k

.

13

= ∑ C13k 2 k x 39 −3 k y 2 k
0

.

. Vậy hệ số

C 2 = 41184

(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho

5
13

n

5

.
5Cn1 − Cn2 = 5

là số nguyên dương thỏa mãn
.
n
1 

 2x + 2 ÷
4
x 

a
x
Tìm hệ số của
trong khai triển của biểu thức
.
a = 11520
a = 256

a = 45
a = 3360
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n∈¥ n ≥ 2
Điều kiện
,
.
n = 1
2
n ( n − 1)
5Cn1 − Cn2 = 5 ⇒ 5n −
= 5 ⇔ n − 11n + 10 = 0 ⇔ 
 n = 10
2
Có
n ≥ 2 ⇒ n = 10
Do
.
10
k
10
10

1 
10 − k  1 

k
.  2 ÷ = ∑ C10k 210−k x10−3k
 2 x + 2 ÷ = ∑ C10 ( 2 x )
x 

x 
k =0
k =0
Xét khai triển:
a
x4
10 − 3k = 4 ⇔ k = 2
Hệ số của
trong khai triển tương ứng với
.
2
8
a = C10 .2 = 11520
Vậy hệ số cần tìm là
.
n
Câu 50. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Với
là số nguyên dương thỏa mãn
2n
1

2x − ÷

n−2
3

6
3 An + Cn = 40
x

x
. Hệ số của
trong khai triển
là
1024
−1024
−1042
1042
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n ≥ 3, n ∈ ¥
Điều kiện
.
3

n!

n!
1
3 Ann − 2 + Cn3 = 40 ⇔ 3 +
= 40 ⇔ n ! +
÷
÷ = 40
2! 3!( n − 3) !
 2 6 ( n − 3) ! 
Ta có
.

19


Vì

3
1
+
>1
2 6 ( n − 3) !

Với

Câu 51.

nên

n ! < 40

. Lần lượt thử các giá trị

n = 3, 4

ta có

n=4

n=4

thỏa mãn.
8
1

2x
−

÷
x


,
số
hạng
tổng
qt
trong
khai
triển
là

k
1
8− k 
k
C8k ( 2 x )  − ÷ = C8k 28− k ( −1) x8− 2 k
 x
x6
8 − 2k = 6 ⇔ k = 1
. Số hạng chứa
tương ứng với
. Do
1
1 8 −1
C8 2 ( −1) = −1024
đó hệ số cần tìm là
.
n
(THPT CHUN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Với
là số
2
1
An + 3Cn = 120
x
nguyên dương thoả mãn
, số hạng không chứa trong khai triển của biểu thức
n

 4 3
x − ÷
x



bằng
295245
A.
.

Giải phương trình:

245295

B.

A + 3C = 120
2
n

1
n

.

, Đk:

C.
Lời giải
n ≥ 2, n ∈ ¥

292545

.

D.

259254

.

.

 n = 10
⇔

An2 + 3Cn1 = 120 ⇔ n ( n − 1) + 3n = 120
 n = −12 ( l )
n

Có

10
k 40 −5 k
 4 3
k
 x − ÷ = ∑ C10 ( −3) x
x  k =0


Số hạng không chứa

x

khi

Vậy số hạng không chứa
Câu 52.

x

.
40 − 5k = 0 ⇔ k = 8
trong khai triển là

.
8
C108 . ( −3) = 295245

.
x8

(THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai
2n
 n x
+ ÷ , ( x ≠ 0) ,

Cn3 + An2 = 50.
 2x 2 
n
triển nhị thức Niutơn của
biết số nguyên dương thỏa mãn

97
29
297
279
12
51
512
215
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n ∈ N , n ≥ 3.
điều kiện
n!
n!
Cn3 + An2 = 50 ⇔
+
= 50
3!( n − 3 ) ! ( n − 2 ) !

⇔ n ( n − 1) ( n − 2 ) + 6n ( n − 1) − 300 = 0
20

⇔ n3 + 3n 2 − 4n − 300 = 0 ⇔ n = 6

.

12

Ta có nhị thức

3 x
 + ÷
 x 2

.
12 − k
k
C k .312−k
 3
 x
C12k  ÷ .  ÷ = 12 k .x 2 k −12
2
 x
 2

Số hạng tổng quát
2k − 12 = 8 ⇒ k = 10.
Cho
10 2
C12
.3
297

=
.
10
2
512
Hệ số cần tìm là
Câu 53.

Câu 54.

x
(TỐN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Tìm số hạng khơng chứa trong khai triển nhị thức Newton
n
 2 3
 2x − ÷ ( x ≠ 0)
1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + nCnn = 256n Cnk
x

của
, biết rằng
(
là số tổ hợp chập
n
k
của phần tử).
489888
49888
48988
4889888
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n
0
1
2 2
( 1 + x ) = Cn + Cn x + Cn x + Cn3 x 3 + ... + Cnn x n ( 1)
Xét khai triển
n −1
n ( 1 + x ) = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + ... + nCnn x n −1 ( 2 )
( 1)
Đạo hàm hai vế của
ta được:
( 2)
x =1
Trong công thức
ta cho
ta được:
n −1
1
2
3
n
n 2 = Cn + 2.Cn + 3.Cn + ... + nCn ⇔ n.2n −1 = 256n ⇔ 2n−1 = 256 ⇔ n = 9

.
n
9
9
k
 2 3  2 3
2
x
−
=
2x
−
=
C9k ( −3) 29− k .x18−3k
∑

÷ 
÷
x 
x

n =0
Khi đó,
.
9
 2 3
 2x − ÷
x

x

18 − 3k = 0
k =6
Do đó số hạng không chứa trong khai triển
nếu
hay
.
6 3
6
C9 ( −3) 2 = 489888
Suy ra số hạng cần tìm là
.
(THPT
CHUYÊN
AN
GIANG
2018)
Giả
n
2
n
( 1 − 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x
a5
a0 + a1 + a2 = 71.
. Tìm
biết
−672
672
627
A.
.

B.
.
C.
.
Lời giải

( 1− 2x)
Ta có
Theo bài ra

n

n

= ∑ Cnk ( −2 x )
k =0

a0 + a1 + a2 = 71

k

a0 = 1 a1 = −2Cn1 a2 = 4Cn2
. Vậy
;
;
.

nên ta có:
21

sử

D.

có

−627

khai

.

triển


1 − 2C + 4C = 71
1
n

2
n

⇔ 1− 2

n!
n!
+4
= 71
⇔ 1 − 2n + 2n ( n − 1) = 71
1!( n − 1) !

2!( n − 2 ) !

⇔ 2n 2 − 4n − 70 = 0 ⇔ n 2 − 2n − 35 = 0 ⇔ n = 7

Từ đó ta có
Câu 55.

Câu 56.

a5 = C ( −2 ) = −672
5
7

(thỏa mãn) hoặc

n = −5

(loại).

5

.

(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Với

n

là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
n
 2 2

x
−

÷
An2 − Cn3 = 10
a5
x3 

x5
x≠0
, tìm hệ số
của số hạng chứa
trong khai triển
với
.
5
5
a5 = 10
a5 = −10 x
a5 = 10 x
a5 = −10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Ta có
n!
n!
⇔
−
= 10
2
3
( n ∈ ¥ , n ≥ 3)
An − Cn = 10
( n − 2 ) ! 3!( n − 3) !
,
 n = −2
1 3 3 2 4
⇔ − n + n − n − 10 = 0 ⇔  n = 6
1
6
2
3
⇔ n ( n − 1) − n ( n − 1) ( n − 2 ) = 10
 n = 5
6
.
n=6
n=5
So điều kiện nhận
hay
.
6
k

6
6
k 12 −5 k
 2 2 
k 2( 6 − k )  −2 
k
 x − 3 ÷ = ∑ C6 x
 3 ÷ = ∑ C6 ( −2 ) x
x 

x 
n=6
k =0
k =0
Khi
, ta có
.
7
12 − 5k = 5 ⇔ k =
5
x
5
Để có
thì
(loại).
5
k
5
5
k 10 −5k

 2 2
k 2( 5 − k )  −2 
k
x
−
=
C
x
=
∑
5

 3 ÷ ∑ C5 ( −2 ) x
3 ÷
x 

x 
n=5
k =0
k =0
Khi
, ta có
.
5
x
10 − 5k = 5 ⇔ k = 1
Để có thì
.
1
a5 = C5 ( −2 ) = −10

Vậy
.
(HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của
An3 + 2 An2 = 100
biết
61236
63216
61326
A.
.
B.
.
C.
.

x5

trong khai triển

D.

66321

( 1 + 3x )

.

Lời giải

Ta có:

A + 2 A = 100
3
n

2
n

⇔

n!
n!
+2
= 100
⇔ n ( n − 1) ( n − 2 ) + 2n ( n − 1) = 100
( n − 3) ! ( n − 2 ) !

22

2n


⇔ n3 − n 2 − 100 = 0 ⇔ n = 5

.
10

Ta có:
Hệ số
Câu 57.

( 1 + 3x )
x5

sẽ là

2n

= ( 1 + 3x )

10

= ∑ C10k ( 3 x )

k

k =0

C105 35 = 61236

.

.

n
(CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho
là số nguyên dương thỏa mãn
n
n
3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n − 2 Cn2 − ..... + ( −1) Cnn = 2048

( x + 2)
x10
. Hệ số của
trong khai triển
là:
11264
220
22
24
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n
n
( 3 − 1) = 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − ..... + ( −1) Cnn
Ta có
⇔ 2n = 2048 ⇔ 2n = 211 ⇔ n = 11
.

( x + 2)

11

k =0

Xét khai triển
Tìm hệ số của
Vậy hệ số của

x10 ⇔
x10

11

= ∑ C11k x11−k .2k

tìm

k ∈ ¥ ( k ≤ 11)

trong khai triển

thỏa mãn

( x + 2)

11

là

11 − k = 10 ⇔ k = 1

C .2 = 22
1

11

.

.
n

Câu 58.

Câu 59.

 2 1
 3x + ÷
x


(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Trong khai triển
biết hệ số của
4 5
3 Cn
n
. Giá trị có thể nhận là
9
15
16
12
A. .
B. .
C. .
D. .

Lời giải
n
k
n
n
 2 1
k
2 n−k  1 
k n − k 2 n −3 k
 3 x + ÷ = ∑ C n ( 3 x )  ÷ = ∑ Cn 3 x
x  k =0

 x  k =0
Ta có
.
2n − 3k = 3
n − k = 4
k = 5

⇔

n = 9
k = 5
4 5
 0 ≤ k ≤ n, ( k , n ∈ N )

x 3 3 Cn
Biết hệ số của
là
nên

.
n=9
Vậy
.
(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Hệ số của số hạng chứa
n
 1
5 
+
x
 3
÷ ; ( x > 0)
Cnn++41 − Cnn+3 = 7 ( n + 3)
x

biết
là
23

x8

x3

là

trong khai triển


1303

A.

.

Điều kiện:
Ta có

.

C.
Lời giải

n∈¥

Cnn++41 − Cnn+3 = 7 ( n + 3) ⇔

⇔

313

B.

.

D.

13129

.

( n + 4 ) ! − ( n + 3) ! = 7 n + 3
(
)
( n + 1) !3! n !3!

( n + 4 ) ( n + 3) ( n + 2 ) − ( n + 3) ( n + 2 ) ( n + 1)
6

6

⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12

495

= 7 ( n + 3)

.

Xét khai triển
12

k

12
 1
5 
k  1 
+
x
=

 3
÷ ∑ C12  3 ÷
x

x 
k =0

12

= ∑C x
k =0

k
12

( )
x5

12 − k

( 0 ≤ k ≤ 12, k ∈ ¥ )

60 −11k
2

.
x

Để số hạng chứa
Vậy hệ số chứa

8

x8

thì

60 − 11k
=8⇔ k =4
2

trong khai triển trên là

.

C = 495
4
12

.
n

Câu 60.

(CTN - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của

1 

 2x + 5 ÷
x



x4

trong khai triển nhị thức Newton
An5 ≤ 18 An4−2
n
x>0
, biết là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn
.
8064
3360
13440
15360
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Điều kiện:

Khi đó

n ≥ 6


n ∈ ¢

A ≤ 18 A
5
n

4
n −2

⇔

( n − 2) !
n!
≤ 18.
( n − 5) !
( n − 6) !

⇔ n ( n − 1) ( n − 2 ) ( n − 3) ( n − 4 ) ≤ 18 ( n − 2 ) ( n − 3) ( n − 4 ) ( n − 5 )
n → max
⇔ n ( n − 1) ≤ 18 ( n − 5) ⇔ n 2 − 19n + 90 ≤ 0 ⇔ 9 ≤ n ≤ 10 →
n = 10

10

Số hạng tổng quát trong khai triển

1 

 2x + 5 ÷
x


24

Tk +1 = C . ( 2 x )
k
10

là

10 − k

.
k

 1 
. 5 ÷
 x

với


= C10k .210− k .x10− k .x

Tìm

k

sao cho

−

k
5

= C10k .210−k .x

.

50 − 6k
=4
⇔k =5
5

Vậy hệ số của số hạng chứa
Câu 61.

50 − 6 k
5

x4

là

.

C105 .210−5 = 8064.

x
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng khơng chứa
trong khai

n
 2 1
x − ÷
An2 − Cn2 = 105
x

triển
biết
.
−5005
5005
3003
−3003
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
n!
n!
⇔
−
= 105 ⇔ 1 n ( n − 1) = 105
2
2
An − Cn = 105

( n − 2 ) ! 2!( n − 2 ) !
⇔ n 2 − n − 210 = 0
2
Ta có:
 n = 15
⇔
 n = −14 ( L )
.
Tk +1 = C . ( x
k
15

)

2 15− k

Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển:
30 − 3k = 0 ⇔ k = 10
Tìm
.
Vậy hệ số của số hạng không chứa
Câu 62.

x

trong khai triển là:

k

 1

. − ÷
k
k
30 −3 k
 x  = C15 . ( −1) .x

C1510 . ( −1)
x5

10

.

= 3003

.

(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số của
trong khai triển thành đa thức
2n
C20n +1 + C22n +1 + C24n +1 + ... + C22nn+1 = 1024
( 2 − 3x )
của
, biết n là số nguyên dương thỏa mãn:
.
2099529
−2099520
−1959552
1959552
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
2 n +1
( x + 1) = C20n+1.x 2n+1 + C21n+1.x 2 n + ... + C22nn+1.x + C22nn++11 ( 1)
Ta có
( 1) 22 n+1 = C20n+1 + C21n+1 + ... + C22nn+1 + C22nn++11 ( 2 )
x =1
Thay
vào
:
( 1) 0 = −C20n+1 + C21n+1 − ... − C22nn+1 + C22nn++11 ( 3)
x = −1
Thay
vào
:
22 n +1 = 2 ( C20n +1 + C22n +1 + ... + C22nn+1 )
( 2)
( 3)
Phương trình
trừ
theo vế:
2 n +1
2
= 2.1024 ⇔ n = 5

Theo đề ta có
10
( 2 − 3x )
Số hạng tổng quát của khai triển
:
k
k
k
10 − k
k
10 − k
k
Tk +1 = C10 .2 . ( −3 x ) = C10 .2 . ( −3) .x
25