Dạy thêm toán 11 1D4 1

GIỚI HẠN DÃY SỐ
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
lim ( un vn ) = +∞
lim un = +∞
limv n = a > 0
A. Nếu
và
thì
.
u 
lim  n ÷ = 0
lim un = a ≠ 0
limv n = ±∞
 vn 
B. Nếu
và
thì
.
u 
lim  n ÷ = +∞
lim un = a > 0
limv n = 0
 vn 
C. Nếu
và
thì
.

D. Nếu

lim un = a < 0

và

limv n = 0

và

vn > 0

với mọi

n

thì

u
lim  n
 vn


÷ = −∞


.

Lời giải
Chọn C

lim un = a > 0

Nếu
dương hay âm.
Câu 2.

Câu 3.

và

limv n = 0

thì

u
lim  n
 vn


÷ = +∞


là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của

vn

là

P = 2,13131313...
Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vơ hạn tuần hồn

,
212
213
211
211
P =
P =
P =
P =
99
100
100
99
A.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài
Khẳng định nào sau đây là đúng?
( un )
un
n → +∞
a
a
A. Ta nói dãy số

có giới hạn là số
(hay
dần tới ) khi
, nếu
lim ( un − a ) = 0

n →+∞

.

un
( un )
0
n
B. Ta nói dãy số
có giới hạn là khi
dần tới vơ cực, nếu
có thể lớn hơn một số
dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
( un )
un
n → +∞
+∞
C. Ta nói dãy số
có giới hạn
khi
nếu
có thể nhỏ hơn một số dương bất
kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
( un )

un
n → +∞
−∞
D. Ta nói dãy số
có giới hạn
khi
nếu
có thể lớn hơn một số dương bất kì,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Lời giải

Chọn A
1


Câu 4.

Cho các dãy số
1
A. .

( un ) , ( vn )

lim un = a, lim vn = +∞

và
0

B.

lim

thì
−∞
C.
.
Lời giải

.

un
vn

bằng
D.

+∞

.

Chọn B
Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số
lim

thì
Câu 5.

un
=0
vn

( un ) , ( vn )

và

lim un = a, lim vn = +∞

trong đó

a

hữu hạn

.

Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
(I)

lim n k = +∞

0

nguyên dương.

nếu

lim q n = +∞

(III)

k

q <1

lim q n = +∞

(II)

A.

với

nếu

.

q >1

1
B. .

.

3
C. .
Lời giải

D.

2

.

Chọn D
(I)

lim n k = +∞

(II)
(III)

với

lim q n = +∞

k

nếu

lim q n = +∞

nếu

nguyên dương
q < 1 ⇒ ( II )

q > 1 ⇒ ( III )

Vậy số khẳng định đúng là

2

là khẳng định đúng.

là khẳng định sai vì

lim q n = 0

q <1

nếu

.

là khẳng định đúng.

.

un − 2 <

Câu 6.

⇒( I)

1
n3

( un )
n∈¥ *
Cho dãy số

thỏa
với mọi
. Khi đó
lim un
lim un = 1
lim un = 0
A.
khơng tồn tại. B.
.
C.
.

D.

lim un = 2

Lời giải
Chọn D

un − 2 <
Ta có:

1
1
⇒ lim ( un − 2 ) = lim 3 = 0
3
⇒ lim un − 2 = 0 ⇒ lim un = 2
n
n
2

.

.


Câu 7.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là
sai?
lim un = c un = c
lim q n = 0 ( q > 1)
A.
(
là hằng số ).
B.
.
1
1
lim = 0
lim k = 0 k > 1
(
)
n
n
C.
.
D.
.
Lời giải

Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì

lim q n = 0 ( q < 1)

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu

L = lim
Câu 8.

n −1
n3 + 3

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính
L = 1.
L = 0.
L = 3.
A.
B.
C.
Lời giải

.
D.

L = 2.

Chọn B

Ta có

1 1
− 3
2
n −1
0
lim 3
= lim n n = = 0
3
n +3
1
1+ 3
n

.

lim
Câu 9.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)
1
0
3
A. .
B. .

1
5n + 3

bằng

+∞
C.
.
Lời giải

D.

1
5

.

Chọn A

Ta có

1
1
lim
= lim n = 0
3
5n + 3
5+
n

.
lim

Câu 10.

(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)
A.

1
7

.

B.

+∞

1
2n + 7

.

bằng

C.
Lời giải

Chọn D
3

1
2

.

D.

0

.

.


Ta có:

1
= lim n = 0
7
1
2+
lim
n
2n + 7

.
lim

Câu 11.

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)
1
0

2
A. .
B. .

1
2n + 5

bằng

+∞
C.
.
Lời giải

D.

1
5

.

Chọn B

Ta có:

1 1
= lim .
=0
1
5

n
lim
2+
n
2n + 5

.
lim

Câu 12.

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)
1
0
5
A. .
B. .

1
5n + 2
1
2

C. .
Lời giải

bằng

D.

+∞

.

Chọn B



1
1 1 ÷
1
lim
= lim 
= 0. = 0
÷
5n + 2
n 5+ 2 ÷
5
n


Câu 13.

.
7 n 2 − 2n 3 + 1
I = lim 3
.
3n + 2n 2 + 1

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm

7
2
−
0
3
3
1
A. .
B.
.
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có

7
1
−2+ 3
7 n 2 − 2 n3 + 1
n = − 2.
I = lim 3
= lim n
2
2 1
3n + 2n + 1
3
3+ + 3
n n

4


lim
Câu 14.

(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)

A.

2

.

Ta có

lim
Câu 15.
A.

B.

0

.

C.
Lời giải

2 3
− 6
4
n
n
= lim
2n 2 − 3
5
lim 6
1+
n =0
n + 5n 5

2018
n

−∞

2n 2 − 3
n6 + 5n5

−3
5

bằng:

.

D.

B.

0

.

.

bằng

.

−3

1
C. .
Lời giải

.

D.

+∞

.

Chọn B
L = lim

Câu 16.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn
L = −∞
L =1
L = −2
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

2n + 1
2 + n − n2

D.

L=0

?

.

Chọn D

Ta có:
Câu 17.

2 1

+ 2
2n + 1
n
n =0
L = lim
= lim
2 1
2 + n − n2
+ −1
n2 n

.

0
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?
1 − 2n
n2 − 2
n 2 − 2n
1 − 2n 2
u
=
un =
u
=
u
=
n
n
n
5n + 3n 2

5n + 3n2
5n + 3n 2
5n + 3n 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn C
2
n −2
n2 = 1
lim
=
lim
5
5n + 3n 2
+3 3
n
1−

2

 Xét đáp án

A.

5

.


2
n − 2n
n =1
lim
= lim
2
5
5n + 3n
+3 3
n
1−

2

 Xét đáp án

B.

 Xét đáp án

C.

 Xét đáp án

D.

1 2
−
2
1 − 2n
n
n =0
lim
= lim
2
5
5n + 3n
+3
n

.

1
−2
2
1 − 2n 2
2
n
lim
= lim
=−
2
5

5n + 3n
3
+3
n

.

I = lim

Câu 18.

(THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính
I =0
I = −∞
I = +∞
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
2 3 
2 3
n2  − 2 ÷
−
n n 

n n2
= lim

=
lim
3 1 

2n − 3
3 1
n2  2 + + 2 ÷
2+ + 2
I = lim 2
n
n


n n =0
2n + 3n + 1

lim un

Câu 19. Tìm
3
4
A. .

un =
biết

1
1
1
+ 2

+ ... + 2
2 −1 3 −1
n −1

2n − 3
2n + 3n + 1
2

D.

I =1

.

.

2

B.

3
5

.

.
C.

2
3

D.

4
3

.

Lời giải
Chọn A
un =

1
1
1
1
1
1
1
+ 2
+ ... + 2
=
+
+
+ ... +
2 − 1 3 −1
n − 1 1.3 2.4 3.5
( n − 1) ( n + 1)
2

Ta có:
1
1 1 1 1 1 1 1
1
1  = 1 1 + 1 − 1  = 3 −
=  − + − + − + ... +
−
÷ 2  1 2 n + 1 ÷
 4 2 ( n + 1)
2 1 3 2 4 3 5
n −1 n +1 

Suy ra:

Câu 20.

3
1  3
lim un = lim  −
=
 4 2 ( n + 1)  4

.

.

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn

6

 1
1
1
1 
lim  +
+
+ ... +

n ( n + 1) 
1.2 2.3 3.4

.


A.

0

.

B.

Câu 21.

1
C. .
Lời giải

.

D.

.

1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1) = 1 − 2 + 2 − 3 + L + n − 1 − n + n − n + 1 = 1 − n + 1

Ta có:

Vậy

2

3
2

 1
1

1
1 
1 
lim  +
+
+ ... +
 = lim 1 −
÷= 1
1.2
2.3
3.4
n
n
+
1
(
)


 n +1

(THPT

CHUN

LƯƠNG

VĂN

CHÁNH

-

.

.
PHÚ

N

-

2018)

Tìm

1
1
1

L = lim  +
+ ... +
÷
1
1
+
2
1
+
2

+
...
+
n



L=
A.

5
2

.

B.

L = +∞

.

C.
Lời giải

L=2

L=
.

D.

3
2

.

1 + 2 + 3 + ... + k =
u1 = 1 d = 1
1 + 2 + 3 + ... + k
Ta có
là tổng của cấp số cộng có
,
nên
⇒

2

1
2
2
2
=
1 + 2 + ... + k k ( k + 1) = k − k + 1 ∀k ∈ ¥ *
,
.

2
2 
2 
2 2 2 2 2 2

2
L = lim  − + − + − + ... + −
÷ = lim  −
÷
n n +1 
1 2 2 3 3 4
 1 n +1  = 2

Câu 22. Với

n

lim S n

A.

( 1+ k ) k

Sn =
là số nguyên dương, đặt

.

1
1
1
+
+ ... +
1 2 +2 1 2 3+3 2
n n + 1 + ( n + 1) n

bằng

1
2 +1

B.

1
2 −1

1
.
C. .
Hướng dẫn giải

D.

1
2+2

.

Chọn C

Ta có

1
1
=

n n +1 n +1 + n
n n + 1 + ( n + 1) n

(

Suy ra
7

)

=

n +1 − n
1
1
=
−
n n +1
n
n +1

.

. Khi đó


Sn =

1
1

1
+
+ ... +
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + ( n + 1) n

1 1
1
1
1
1
1
= −
+
−
+ ....
−
= 1−
1
2
2
3
n
n +1
n +1

Suy ra

.

.

lim S n = 1

lim
Câu 23.

cos n + sin n
.
n2 + 1

(THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của
+∞.
1.
0.
−∞.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
0<

Ta có
Suy ra

cos n + sin n cos n + sin n
2
≤
< 2

2
2
n +1
n +1
n +1

cos n + sin n
lim
= 0.
n2 + 1

lim
và

2
=0
n +1
2

.

Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu

lim
Câu 24.

(THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của
0
1
2

−1
A. .
B. .
C.
.
D. .
Lời giải

Ta có:

2
−1
n
= lim
2−n
1 0 −1
lim
1+ =
n +1
n 1 + 0 = −1

.

lim
Câu 25.

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của
1
1
−

3
3
−2
A. .
B.
.
C.
.
Lời giải

Ta có

 2
2
n 1 − ÷
1−
n−2
n
 = lim
n =1
lim
= lim 
1 3
1
3n + 1

3+
n3 + ÷
n
n



8

.

n−2
3n + 1

bằng:

1
D. .

2−n
n +1

bằng


I = lim
Câu 26.

(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn
2
I =−
I =3
3
I =1
A.

.
B.
.
C.
.
Lời giải
2
3n − 2
n =3
I = lim
= lim
3
n+3
1+
n

3n − 2
n+3

.

D.

k ∈¢

.

3−

Ta có

.

lim
Câu 27.

(THPT CHUN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn
bằng?
2
2
1
−
3
3
3
1
A. .
B. .
C. .
D.
.
Lời giải

Ta có

1
−2
1 − 2n
2
lim

= lim n
=−
1
3n + 1
3
3+
n

.

I = lim
Câu 28.

2n + 2017
3n + 2018

(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn
2
3
2017
I=
I=
I=
3
2
2018
A.
.
B.
.

C.
.

.

D.

I =1

Lời giải
2017
n
= lim
2n + 2017
2
2018
I = lim
=
3+
3n + 2018
n
3
2+

Ta có

lim

Câu 29.

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019)
19
1
18
18
A.
.
B.
.

.

1 + 19n
18n + 19

bằng

+∞
C.
.
Lời giải

Chọn A
9

D.

1
19

.

.

1 − 2n
3n + 1


Ta có
Câu 30.

1
+ 19
1 + 19n
19
lim
= lim n
=
19
18n + 19
18
18 +
n

.

(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác
1
sin n
1

n +1
n
n
n
n
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
n +1
1
lim
= lim1 + lim = 1
n
n
Có
.
lim

Câu 31.

(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)
1
0
2

A. .
B. .

Ta có

1
−1
n2
=
lim
1 − n2
1
1
lim 2
2+ 2 = −
n
2
2n + 1

1 − n2
2n 2 + 1

bằng

1
3

−

C. .

Lời giải

D.

(SGD THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn
1
2
4
2
A. .
B. .
C. .
Lời giải
2018
4n + 2018
n =2
lim
= lim
1
2n + 1
2+
n

4n + 2018
2n + 1

.

D.

2018

4+

Ta có

Câu 33.

.

.

lim
Câu 32.

1
2

.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm
8
2
1
A. .
B. .
C. .
Lời giải
Chọn A
10

8n 5 − 2 n 3 + 1
lim 5
4 n + 2n 2 + 1
D.

.
4

.

.

0

?


2 1

2 1
n5  8 − 2 + 5 ÷
8− 2 + 5
n n 

n n = 8 =2
= lim
lim
5
3

2
1


8n − 2 n + 1
2 1
n5  4 + 3 + 5 ÷
lim 5
4+ 3 + 5 4
2
n
n


n n
4 n + 2n + 1
Ta có
=
.
lim

Câu 34.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính

A.

2

.

Ta có

B.

0

.

Ta có

1
D. .

C. .
Lời giải

1

1
n2 + ÷
2+
2n + 1
n
n = 2+0 = 2
lim
= lim 
= lim
1
1+ n

1 
+1 0 +1
n  + 1÷
n
n 

(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018)
2
1
11
2
A.
.
B. .

2n 4 − 2 n + 2
4n 4 + 2 n + 5

C.
Lời giải

2 2
2− 3 + 4
2 n 4 − 2n + 2
n n =1
lim 4
= lim
2 5
4 n + 2n + 5
4+ 3 + 4 2

n n

.

bằng

+∞

.

D.

0

.

.
lim

Câu 36.

được kết quả là

1
2

lim
Câu 35.

2n + 1

1+ n

(Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của
−3
2
−1
A.
.
B. .
C. .
Lời giải

2n 2 − 3
1 − 2n 2

bằng
D.

0

.

Chọn C
3
2n − 3
n 2 = −1
lim
= lim
2
1

1 − 2n
−2
n2
2

Câu 37. Giá trị
1
12
A.
.

2−

n2 + n
A = lim
12n 2 + 1

.

bằng

B.

0

.

1
6

C. .
Lời giải
11

D.

1
24

.


Chọn A
1
1+
n2 + n
n = 1
A = lim
= lim
2
1
12n + 1
12 + 2 12
n

A=
Vậy
lim

Câu 38. Tính

1
12

.

.

5n + 3
2n + 1

.

1
A. .

B.

+∞

2
C. .

.

D.

5
2

.

Lời giải
Chọn D

3
5n + 3
n=5
lim
= lim
1 2
2n + 1
2+
n
5+

Ta có
lim
Câu 39.

n 3 + 4n − 5
3n3 + n 2 + 7

.

bằng

1
A. .

B.

1
3

.

1
4

C.

.

D.

1
2

.

Lời giải
Chọn B
4 5
− 3
2
n
n =1
= lim
3

n + 4n − 5
1 7
lim 3
3+ + 3 3
2
n n
3n + n + 7
1+

Ta có:

lim
Câu 40. Tính giới hạn
1
5
A. .

n 2 − 3n3
2n 3 + 5n − 2

B.

0

.

.

−
.

C.
Lời giải

Chọn C

12

3
2

.

D.

1
2

.


Ta có:

1

1
n3  − 3 ÷
−3
n



3
n
=
lim
= lim
=−
2
3
5
2


n − 3n
5 2
2
n3  2 + 2 − 3 ÷
lim 3
2+ 2 − 3
n
n


2 n + 5n − 2
n n

Câu 41. Giới hạn của dãy số
A.

−2

( un )

.

un =
với
2
3
B. .

2n − 1
,n ∈¥*
3− n

.

là:

−

1
C. .
Lời giải

D.

1
3

.

Chọn D

Ta có

1
2−
2n − 1
n =−1
lim un = lim
= lim
3
3− n
3
−1
n

I = lim
Câu 42. Tính giới hạn
10
I =−
3
A.
.

.

10n + 3
3n − 15

ta được kết quả:
10
3
I=
I=
3
10
B.
.
C.
.
Lời giải

I =−
D.

Chọn B
3
10n + 3
n = 10
I = lim
= lim
15 3
3n − 15
3−
n
10 +

Ta có

lim
Câu 43.

2n + 1
n +1

.

bằng

1
A. .

B.

2

.

C.

−2

Lời giải
Chọn B
1
n =2
lim
2n + 1

1
lim
=
1+
n +1
n
2+

Ta có
lim
Câu 44.

3n 2 + 1
n2 − 2

.

bằng:
13

.

D.

+∞

.

2
5

.


A.

3

.

B.

0

1
2

.

-

C. .
Lời giải

D.

1
2

.

Chọn A
1
3+ 2
3n 2 + 1
n =3
lim 2
= lim
2
n −2
1− 2
n
lim
Câu 45. Tính
A.

2

8n 2 + 3n − 1
4 + 5n + 2n 2

.

−
.

B.

1
2

.

4

C.

−
.

D.

1
4

.

Lời giải
Chọn C
3 1
− 2
8n + 3n − 1
n
n =4
lim
= lim
4 5
4 + 5n + 2 n 2
+ +2
n2 n

8+

2

Ta có

Câu 46. Cho hai dãy số

A.

0

.

( un )

và

( vn )

B.

un =
có
3

.

.

u
1
3
lim n
vn =
vn
n +1
n+3
;
. Tính
.
1
3
C. .
Lời giải

D.

+∞

Chọn C

Ta có

3
1
1+
n
n +1
= lim

n+3
un = lim 3
1

= lim
I = lim
3 1 + ÷ = 1
3 ( n + 1)
vn
 n 3
n+3

lim
Câu 47. Giới hạn
−2
A.
.

8n5 − 2n 3 + 1
2n 2 − 4n 5 + 2019
B.

4

bằng

.

C.

+∞

Lời giải
Chọn A

14

.

.

D.

0

.

.


Ta có:

2 1 

 8 − n 2 + n5 ÷
= lim 
2
2019 ÷
8n5 − 2n3 + 1


÷
−
4
+
lim 2
n5  = −2
 n3
2n − 4n 5 + 2019
B = lim

Câu 48. Giá trị của
4
9
A. .
Chọn

.

4n 2 + 3n + 1

( 3n − 1)

B.

2

bằng:

4
3

0
C. .
Lời giải

.

D.

4

A.

3 1 
3 1 


n2  4 + + 2 ÷
4+ + 2 ÷

4n + 3n + 1
n n 
n n  4+0+0 4
B = lim
= lim 
= lim 
=
=
2
2

2
2
9
1
1
3 − 0)
( 3n − 1)
(

2
n 3− ÷
3 − ÷
n
n


2

Ta có:

L = lim
Câu 49.

(THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính
1
+∞
−3
2018
A.
.

B.
.
C.
.

n3 + n 2 + 1
×
2018 − 3n3

−
D.

1
3

.

Lời giải

1 1
1+ + 3
n3 + n 2 + 1
1
L = lim
= lim n n = − ×
3
2018
2018 − 3n
3
−3

3
n
Câu 50.

(Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên

thỏa mãn
4
A. .

 3n + 2

lim 
+ a 2 − 4a ÷ = 0
 n+2

B.

3

.

. Tổng các phần tử của
5
C. .
Lời giải

Chọn A

Ta có:

 3n + 2

lim 
+ a 2 − 4a ÷
 n+2


15

S

bằng
D.

2

.

a


 2
2 + 2 a 2 − 8a 
a
−
4
a
+
3

+

÷ 2
n
a 2 − 4a + 3 n + 2 + 2a 2 − 8a  = lim 
÷ = a − 4a + 3
2
÷

÷
1+
÷

÷
n+2
n




(
= lim 



)

 3n + 2 2

lim 

+ a − 4a ÷ = 0 ⇔ a 2 − 4a + 3 = 0 ⇔ a = 3 ∨ a = 1
 n+2


Theo giả thiết:
S = { 1;3} ⇒ 1 + 3 = 4
Vậy
.
Câu 51.

(Chuyên
lim

A.

Lào

an 2 + a 2 n + 1

( n + 1)

0
2

Cai

Lần

3

2017-2018)

Cho

a∈¡

.

.

sao

cho

giới

= a2 − a + 1
.Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
1
0−1 < a < 0
2
B.
.
C.
.

.

D.

1< a < 3

.

Lời giải
Chọn A
a2 1
+ 2
an 2 + a 2 n + 1
an 2 + a 2 n + 1
n
n =a
lim
= lim 2
= lim
2
2
1
n
+
2
n
+
1
( n + 1)
1+ + 2
n n
a+

Ta có

a 2 − a + 1 = a ⇒ a 2 − 2a + 1 = 0 ⇒ a = 1

Câu 52. Dãy số
192
A.

( un )

với

( 3n − 1) ( 3 − n )
un =
3
( 4n − 5 )
B.

68

.

.

2

a
b

có giới hạn bằng phân số tối giản . Tính
32
128
C.
D.
Lời giải

Chọn A
2

( 3n − 1) ( 3 − n )
lim
3
( 4n − 5 )

2

Ta có:
lim

Câu 53. Biết
−12
A.
.

2n 3 + n 2 − 4 1
=
an 3 + 2
2

1  3 

 3 − ÷ − 1÷
3 a
n  n 
= lim 
=
=
3
64 b
5

4− ÷
n


. Do đó:

a − a2

a

với là tham số. Khi đó
0
−2
B.
.
C. .
Lời giải
16

a.b = 192

bằng
D.

−6

.

a.b

hạn


Chọn A
2n 3 + n 2 − 4
lim
= lim
an 3 + 2

Ta có
Suy ra

a=4

a − a = 4 − 4 = −12
2

. Khi đó

( un )

1 4

n3  2 + − 3 ÷
n n =2=1

2
a 2

n3  a + 3 ÷
n 


.

2

1 + 2 + 3 + ... + n
un =
n2 + 1

.

Câu 54. Cho dãy số
với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
lim un = 0
A.

.
1
lim un =
2
B.
.
( un )
n → +∞
C. Dãy số
khơng có giới hạn khi
.
lim un = 1
D.
.
Lời giải
Chọn B

Ta có:

n n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n = lim (
1
2
lim un = lim
=
2
2
n
+
1

(
) 2
n +1

.
12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2
lim
n3 + 2n + 7

Câu 55.

(THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn
giá trị bằng?
2
1
1
0
3
6
3
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn D
n ( n + 1) ( 2n + 1)
2
2
2

2 =
1 + 2 + 3 + ... + n
6
Ta có kết quả quen thuộc
.
1
 1 
 1 + ÷ 2 + ÷ 1.2 1
n
 n 
=
=
n ( n + 1) ( 2n + 1) = lim
2
2
2
2
2
2 7 
6 3

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = lim
6 1 + 2 + 3 ÷
lim
6 ( n 3 + 2n + 7 )
 n n 
n3 + 2n + 7
Do đó
.
1 + 3 + 5 + ... + 2n + 1

lim
3n2 + 4
Câu 56.
bằng
2
1
0
3
3
+∞
A. .
B. .
C. .
D.
.
Lời giải
17

có


Chọn

C.

( 1 + 2n + 1) ( n + 1)

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1) =

2

Ta có

= ( n + 1)

2

.

2 1
+ 2
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1)
n + 1)
(
n
n =1
lim
= lim 2
= lim
2
4
3n + 4
3n + 4
3
3+ 2
n
1+

2

Câu 57.

n
 1 2 3
Lim  2 + 2 + 2 + ... + 2 ÷
n 
n n n

1
A. .

B.

.

bằng

0

.

C.

1
3

.

D.

1
2

.

Lời giải
Chọn D

n
 1 2 3
 1 + 2 + 3 + ... + n 
 n(n + 1) 
1 1  1
Lim  2 + 2 + 2 + ... + 2 ÷ = lim 
÷ = lim 
÷ = lim  + ÷ =
2
2
n 
n
n n n


 2n 
 2 2n  2

Câu 58. Cho dãy số

( un )

A. 0`.

un =

xác định bởi:
+∞
B.
.

Chọn D
1 + 3 + ... + ( 2n − 1) = n 2 
→
Ta có
Suy ra

Câu 59.

1
3
2n − 1
+ 2 +…+ 2
2
n
n
n

C.
Lời giải

−∞

với

n ∈ ¥*

Giá trị của

.

lim un

D. 1

1
3
2n − 1 1 + 3 + ... + ( 2n − 1) n 2
+
+
...
+
=
= 2 =1
n2 n2
n2
n2
n

lim un = 1.
n
 1 2

lim  2 + 2 + ... + 2 ÷
n 
n n

(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm
1
1
n
2
+∞
A.
.
B. .
C. .
Lời giải

 n ( n + 1)
=
lim

n 
 1 2
 1 + 2 + ... + n 
2n 2

lim  2 + 2 + ... + 2 ÷ = lim 
÷
n 
n2
n n




18

.
D.

0

.

 1
1+ n ÷ 1

=
lim

÷=
÷
2


÷ 2



.

bằng:

Câu 60.

(THPT

Yên

Lạc-Vĩnh


1 
1 
1 
lim 1 − 2 ÷1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷
 2   3   n  

1
A. .

B.

1
2

Phúc-lần

1-năm

2017-2018)

Tính

giới

hạn:

.
1
4

.

C. .
Lời giải

D.

3
2

.

Chọn B

Xét dãy số

( un )

1 

1 
1 

un =  1 − 2 ÷1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷
 2   3   n  n ≥ 2, n ∈ ¥
, với
,
.

Ta có:
u2 = 1 −

1 3 2 +1
= =
22 4 2.2

;

1 
1  3 8 4 3 +1

u3 = 1 − 2 ÷. 1 − 2 ÷ = . = =
 2   3  4 9 6 2.3

;

1
1 
1  3 8 15 5 4 + 1


u4 = 1 − 2 ÷. 1 − 2 ÷1 − 2 ÷ = . . = =
 2   3  4  4 9 16 8 2.4
L L

un =

n +1
2n

.
un =

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định

Khi đó
Câu 61.


1 
1 
1 
n +1 1
lim 1 − 2 ÷1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷ = lim
=
2n 2
 2  3   n  

n +1
, ∀n ≥ 2
2n

.

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số

un =

1
1
1
+
+ ... +
.
1.3 3.5
( 2n - 1) .( 2n +1)
Tính

A.

1
.
2

B.

0.

limun .

1.

C.
Lời giải
19

D.

1
.
4

(u )
n

với


un =

1
1
1
1ổ
1 1 1 1
1
1 ử
ữ
+
+ ... +
= ỗ
- + - +... +

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
1.3 3.5
2
n
1
.
2
n
+
1
2
1
3
3
5
2
n
1
2
n
+
1
(
)(
)

Ta cú :
1ổ
1
1 ử
n
ữ
= ỗ
=
ữ
ỗ
ữ 2n +1
ố1 2n +1ứ
2ỗ
lim un = lim

n
1
= .
2n + 1 2

Suy ra :
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu
lim(−2n 2019 + 3n 2018 + 4)

Câu 62. Tính
−∞
A.
.

B.

?
+∞

−2
C.
.
Lời giải:

.

D.

2019

.

Chọn A


3
4 

lim ( −2n 2019 + 3n 2018 + 4 ) = lim  n2019 .  −2 + + 2019 ÷ = −∞
n n 



Câu 63.

Ta có
4
3
lim ( 2 − 3n ) ( n + 1)
A.

là:

−∞

B.

+∞

81
C.
Lời giải

.

D.

2

Chọn B
lim ( 2 − 3n )

4

( n + 1)

3

4
3
 2
  1 
= lim  n7  − 3 ÷ 1 + ÷ 
  n  
  n

lim n 7 = +∞

Ta có
4
4
2

lim  − 3 ÷ = ( −3) = 34
n

3

 1
lim 1 + ÷ = 1
 n
⇒ lim ( 2 − 3n )

4

( n + 1)

L = lim
Câu 64. Tính giới hạn

A.

L = +∞

.

3

= +∞

n3 − 2n
3n 2 + n − 2

B.

L=0

L=
.

C.
Lời giải

Chọn A

20

1
3

.

D.

L = −∞

.


Ta có:

2
1− 2
n3 − 2n
n
L = lim 2
= lim
= +∞ .
3
1
2
3n + n − 2
+ −
n n 2 n3

un =

−2 + 3n − 2n3
3n − 2

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số
−2
3
−∞
A.
.
B.
.

1
C. .

D.

+∞

.

Lời giải
Chọn B
−2
+ n − 2n 2
−2 + 3n − 2n3
lim

= lim n
= −∞
2
3n − 2
3−
n

và

2

lim  3 − ÷ = 3 > 0
n


lim

Câu 66. Giới hạn

1
A. .

do

 
1 2 
 −2

lim  + n − 2n 2 ÷ = lim  n 2  −2 + − 3 ÷ = −∞
n n 

 n

 

.

1 + 5 + ... + ( 4n − 3)
2n − 1

B.

bằng

+∞

.

C.
Lời giải

2
2

.

D.

0

.

Chọn B

1 − 4n
4n − 1
1 + 5 + ... + ( 4n − 3)
1
−
4
=
lim
= +∞
= lim
lim
3
2
n
−
1
(
)
2n − 1
2n − 1
1.

Ta có:

.

Dạng 1.3 Phân thức chứa căn

lim

Câu 67.

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)
3
2
A. .
B. 2.

4n 2 + 1 − n + 2
2n − 3

C. 1.
Lời giải

21

bằng

D.

+∞

.


4n 2 + 1 − n + 2
lim
2n − 3

Ta có:

= lim

4+

1
1 2
−
+
2
n
n n2
2−0
3
=
2−
n
2 =1
I = lim

Câu 68.

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho
là:
5
I=
3
I =1

I = −1
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

.

4n 2 + 5 + n
4n − n 2 + 1

. Khi đó giá trị của

I=
D.

3
4

I

.

5
+1
2
n

= lim
4n 2 + 5 + n
1
I = lim
4 − 1+ 2
2
4n − n + 1
n =1
4+

Ta có

.
Câu 69.

(CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn
4x2 + x + 1 − x2 − x + 3
3x + 2

lim

x →−∞

−
A.

1
3

lim

x →−∞

= lim

.

B.

2
3

1
3

C. .
Lời giải
1 1
1 3
−x 4 + + 2 + x 1− + 2
2
2
4x + x + 1 − x − x + 3
x x
x x
= lim
x →−∞
3x + 2
3x + 2
− 4+

x →−∞

lim un

Câu 70. Tìm
1
2
A. .

.

−
D.

2
3

.

1 1
1 3
+ 2 + 1− + 2
x x
x x
1
2
=−
3+
x

3
un =

.
n 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1)
2n 2 + 1

biết

B.

+∞

.

1
C. .
Lời giải

Chọn A

22

D.

−∞

.

lim un = lim

n 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1)
2n 2 + 1

= lim

n n2
n2
1
1
=
lim
= lim
= .
2
2
1
2n + 1
2n + 1
2+ 2 2
n

lim
Câu 71.

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính
1
1
1

2 6
6
2
A. .
B.
.
C. .
Lời giải
12 + 22 + 32 + ... + n 2 =
Ta có:

n ( n + 1) ( 2n + 1)
6

12 + 22 + 33 + ... + n 2
2n ( n + 7 ) ( 6n + 5 )

D.

+∞

.

.

1
 1 
 1 + ÷ 2 + ÷
n 
n

= lim 
2
2
3
2
n
n
+
1
2
n
+
1
(
)(
)
1 + 2 + 3 + ... + n
5
 7 
lim
= lim
12  1 + ÷ 6 + ÷ = 1
2n ( n + 7 ) ( 6 n + 5 )
12n ( n + 7 ) ( 6n + 5 )
n
 n 
6

Khi đó:

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
lim

Câu 72.

A.

(

n 2 − 3n + 1 − n

−3

.

)

bằng
+∞

B.

.

0
C. .
Lời giải

Chọn D

1
n
n 2 − 3n + 1 − n =
=
2
3 1
n − 3n + 1 + n
1− + 2 +1
n n
−3 +

−3n + 1

Ta có

lim

Nên

(

)

n 2 − 3n + 1 − n = −

3
2

1
Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng ?

3n +1 + 2 n
3n 2 + n
lim
lim
5 + 3n
4n 2 − 5
A.
.
B.
.
2n 3 + 3
2
2
lim
.
lim n + 2n - n +1
1 + 2n 2
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C

(

)

23

−

D.

3
2

.

.


lim

(

2

)

2

n + 2n -

(
= lim

n +1

)(

n 2 + 2n -

lim

lim n
Câu 74. Giới hạn
A.

0

(

n+4 − n+3

.

B.

+∞

)

2-

= lim

n 2 + 2n
n 2 +1
+
n2

n2

n 2 + 2n + n 2 +1

=

1
n

2-

= lim

n 2 + 2n + n 2 +1

n 2 + 2n + n 2 +1

Ta có:

2n - 1

)

n 2 +1

1
n

2
1

1+ + 1+
n
n

=

=1
.

bằng

.

C.

7
2

.

D.

1
2

.

Lời giải
Chọn D

lim n

(

)

n + 4 − n + 3 = lim n

(

lim n − n 2 − 4n
Câu 75. Tính giới hạn
3
A. .

)

1
= lim
n+4 + n+3

1
1+

4
3
+ 1+
n
n

=

1
2
.

.

1

B. .

C.

2

.

D.

4

.

Lời giải
Chọn C

(

lim n − n 2 − 4n

)

(n−
= lim

)(

n 2 − 4n n + n 2 − 4 n
n + n 2 − 4n

Ta có

= lim

4n

= lim

n + n 2 − 4n

4
4
1+ 1−
n

Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
3
1
A. .

B. .

a

)

=2
.
lim

để

)

(

n 2 − 4n + 7 + a − n = 0

?

2.
C.
Lời giải

D.

0

.

Chọn C
lim

(

7 − a2
−4n + 7 + 2an − a
n
n 2 − 4n + 7 + a − n = lim
= lim
= a−2
2
4 7 a
n − 4n + 7 − ( a − n )
1− + 2 − +1
n n
n

)

2

24

2a − 4 +


lim

Để

Câu 77.

)

(

n 2 − 4n + 7 + a − n = 0

thì

a−2=0⇔ a = 2

.
I = lim  n


(LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Tính
3
I=
I = 1, 499
2
I = +∞
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

Ta có:

I = lim  n


)

(

3n

n 2 + 2 − n 2 − 1  = lim 2

n + 2 + n2 − 1

lim n
Câu 78.

(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính

A.

+∞

1
B. .

.

lim n

Ta có:
= lim  n


(

)

4n 2 + 3 − 3 8n3 + n = lim n 


) (

(

Ta có:

(
(

4n 2 + 3 − 2n

lim n 2n − 8n + n
Ta có:

3

3

)
)

= lim

= lim

(

)

4 n 2 + 3 − 3 8 n3 + n =

1+

(

4 n 2 + 3 − 3 8n 3 + n

.

D.

)

.

4 n + 3 + 2n
2

1
12
.

3 1 2
− =
4 12 3

25

2
3

)

= lim

3


3
 4 + 2 + 2÷
n



.

=

3
4
.

.

.

.

2
1
+ 1− 2
2
n
n

4 n 2 + 3 − 2 n + 2 n − 3 8n 3 + n 


3n

=−

I =0

3

= lim

2 
 2
3
3
3
3
 4n + 2n 8n + n + ( 8n + n ) ÷



2

1
1 
 4 + 2 3 8 + 2 + 3  8 + 2 ÷ ÷

n
n  ÷




(

D.

−n2

−1

lim n
Vậy

)

−∞

)

n2 + 2 − n2 − 1 


) (

(

4 n 2 + 3 − 2 n + n 2 n − 3 8n 3 + n 


lim n

= lim

C.
Lời giải

(

)

.

=

3
2