Dạy thêm toán 11 1D4 3

HÀM SỐ LIÊN TỤC
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục

[ a; b]

( a; b )

trên
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là
lim f ( x ) = f ( a )
lim f ( x ) = f ( b )
lim f ( x ) = f ( a )
lim f ( x ) = f ( b )
x→ a+
x →b +
x →a−
x →b −
A.
và
.
B.
và
.

lim f ( x ) = f ( a )
lim f ( x ) = f ( b )
lim f ( x ) = f ( a )
lim f ( x ) = f ( b )
x→ a+
x →b −
x →a−
x →b +
C.
và
.
D.
và
.
Lời giải
Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn

[ a; b]

lim f ( x ) = f ( a )

. Chọn:

x→a +

và

lim f ( x ) = f ( b )

x →b −

Câu 2.

.

[ a; b]

f ( x)

(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
xác định trên
.
Tìm mệnh đề đúng.
f ( x)
f ( a ) f ( b) > 0
f ( x) = 0
[ a; b ]
A. Nếu hàm số
liên tục trên
và
thì phương trình
khơng

( a; b )

có nghiệm trong khoảng
.
f ( a ) f ( b) < 0
f ( x) = 0
( a; b )

B. Nếu
thì phương trình
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
.
f ( x)
f ( a) f ( b) > 0
f ( x) = 0
[ a; b]
C. Nếu hàm số
liên tục, tăng trên
và
thì phương trình

( a; b )
khơng có nghiệm trong khoảng
.
f ( x) = 0
f ( x)
( a; b )
D. Nếu phương trình
có nghiệm trong khoảng
thì hàm số
phải liên tục
trên

( a; b )

.
Lời giải

Vì

f ( a ) f ( b) > 0

[ a; b ]

Câu 3.

nên

nên đồ thị hàm

f ( x) = 0

f ( a)
f ( x)

và

f ( b)

cùng dương hoặc cùng âm. Mà

nằm trên hoặc nằm dưới trục hồnh trên

khơng có nghiệm trong khoảng

Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên đoạn

( a; b )

[ a; b]
1

f ( x)

[ a; b]

liên tục, tăng trên

hay phương trình

.
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Nếu
B. Nếu
C. Nếu

f (a ). f (b) > 0
f (a ). f (b) < 0

thì phương trình
thì phương trình

f (a ). f (b) > 0

thì phương trình

f ( x) = 0
f ( x) = 0

khơng có nghiệm nằm trong

( a; b )

có ít nhất một nghiệm nằm trong

f ( x) = 0

.
( a; b )

( a; b )

.

có ít nhất một nghiệm nằm trong
.
( a; b )
f ( x) = 0
f (a ). f (b) < 0
D. Nếu phương trình
có ít nhất một nghiệm nằm trong
thì

.
Lời giải
Chọn B
Vì theo định lý 3 trang 139/sgk.
Câu 4.

Cho đồ thị của hàm số

y = f ( x)

như hình vẽ sau:

y

7
6
5
4
3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1
-2

Chọn mệnh đề đúng.
y = f ( x)
x=0
x=0
A. Hàm số
có đạo hàm tại điểm
nhưng không liên tục tại điểm
.
y = f ( x)
x=0
x=0
B. Hàm số
liên tục tại điểm
nhưng khơng có đạo hàm tại điểm
.
y = f ( x)

x=0
C. Hàm số
liên tục và có đạo hàm tại điểm
.
y = f ( x)
x=0
D. Hàm số
không liên tục và khơng có đạo hàm tại điểm
.
Lời giải
Chọn B
x=0
x=0
Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm
nên nó liên tục tại điểm
x=0
nhưng khơng có đạo hàm tại điểm
.

Câu 5.

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại

2

x =1

?

A.

.

C.

.

B.

.

D.
Lời giải

.

Chọn D
lim y ≠ lim− y

Vì
Câu 6.

x →1+

x →1

nên hàm số không liên tục tại

x =1

.

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề:
y = f ( x)
f ( a) . f ( b) < 0
x0 ∈ ( a; b )
( a; b )
1. Nếu hàm số
liên tục trên
và
thì tồn tại
sao cho
f ( x0 ) = 0

.

2. Nếu hàm số
nghiệm.
3. Nếu hàm số
f ( x) = 0

y = f ( x)

y = f ( x)

liên tục trên

[ a; b ]

và

liên tục, đơn điệu trên

f ( a) . f ( b) < 0

[ a; b ]

và

thì phương trình

f ( a) . f ( b) < 0

thì phương trình

có nghiệm duy nhất.

A. Có đúng hai mệnh đề sai.
C. Cả ba mệnh đề đều sai.

B. Cả ba mệnh đề đều đúng.
D. Có đúng một mệnh đề sai.
Lời giải

Chọn D
Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn

3

[ a; b ]

.

f ( x) = 0

có


DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

Câu 7.

1 − x 3

, khi x < 1
y =  1− x
1
, khi x ≥ 1


Cho hàm số
y
x =1
A. liên tục phải tại
.
y
x =1

C. liên tục trái tại
.

. Hãy chọn kết luận đúng
y
x =1
B. liên tục tại
.
y
¡
D. liên tục trên .
Lời giải

Chọn A
y ( 1) = 1

Ta có:

.

(

)

( 1 − x ) 1 + x + x2
1 − x3
lim+ y = 1 lim− y = lim−
= lim−
= lim− 1 + x + x 2 = 4
x →1

x →1
x →1 1 − x
x →1
1− x
x →1
Ta có:
;
lim y = y ( 1)

Nhận thấy:

Câu 8.

x→1+

Cho hàm số

. Suy ra

y

liên tục phải tại

x =1

(

)

.

 x 2 − 7 x + 12
khi x ≠ 3

y=
x−3
 −1
khi x = 3


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x0 = 3
A. Hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm tại
.
x0 = 3
B. Hàm số gián đoạn và khơng có đạo hàm tại
.
x0 = 3
C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại
.
x0 = 3
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại
.
Lời giải
Chọn D
lim
x →3

x 2 − 7 x + 12
= lim ( x − 4 ) = −1 = y ( 3)

x→3
x−3

(x
lim

2

− 7 x + 12 ) − ( 32 − 7.3 + 12 )

x →3

Câu 9.

Cho hàm số

x−3

nên hàm số liên tục tại

(x
= lim

2

− 7 x + 12 )

x →3

 x−2

khi x ≠ 2

f ( x) =  x + 2 − 2
4
khi x = 2

4

x−3

x0 = 3

.

= lim ( x − 4 ) = −1 ⇒ y ' ( 3 ) = −1
x →3

. Chọn mệnh đề đúng?

.


A. Hàm số liên tục tại
f ( 4) = 2

C.

x=2

.

D.

.
lim f ( x ) = 2
x →2

B. Hàm số gián đoạn tại

x=2

.

.
Lời giải

Chọn A
Tập xác định:

D=¡

(

)

( x − 2) x + 2 + 2
x−2
= lim
= lim
x + 2 − 2 x →2

x →2
x−2

lim f ( x ) = lim
x →2
x →2

(

x+2+2

) =4

f ( 2) = 4
⇒ lim f ( x ) = f ( 2 )
x→2

x=2
Vậy hàm số liên tục tại
.
2x −1
f ( x) = 3
x −x
Câu 10. Cho hàm số
. Kết luận nào sau đây đúng?
x = −1
x=0
A. Hàm số liên tục tại
.
B. Hàm số liên tục tại

.
1
x=
x =1
2
C. Hàm số liên tục tại
.
D. Hàm số liên tục tại
.
Lời giải

Chọn D

Tại

1
x=
2

2x −1
1
=0= f  ÷
3
1
x→ x − 1
2
2

lim f ( x ) = lim
x→

, ta có:

1
2

x=2

. Vậy hàm số liên tục tại

Câu 11. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Hàm số nào sau đây liên tục tại
f ( x) =
A.
f ( x) =

x 2 + x +1
x- 1

f ( x) =
.

x®1

x 2 + x +1
x

khơng liên tục tại

x =1

.

2

x - x- 2
x2 - 1

lim+ f ( x ) = lim+

x®1

. C.
Lời giải

f ( x)
suy ra

f ( x) =

f ( x) =

x 2 + x +1
x- 1

A)
lim+ f ( x ) = +¥

B)

B.

x2 - x - 2
x2 - 1

x đ1

x- 2
=- Ơ
x- 1

f ( x)
suy ra

khụng liờn tc tại
5

x =1

.

.

x =1

f ( x) =

. D.

:
x +1

x- 1

.


f ( x) =
C)

x 2 + x +1
x

lim f ( x ) = lim
x®1

x®1

f ( x) =

D)

x 2 + x +1
= 3 = f ( 1)
x

suy ra

liên tục tại

x =1

.

x +1
x- 1

lim f ( x ) = lim+

x®1+

f ( x)

x®1

x +1
= +¥
x- 1

f ( x)
suy ra

khơng liên tục tại

x =1

.

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số
Câu 12.

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm

x0 = −1

A.

.

y = ( x + 1) ( x 2 + 2 )

y=
. B.

2x −1
x +1

2x −1
x +1

y=
Ta có

y=
.

C.
Lời giải

x0 = −1

khơng xác định tại
x=2

Câu 13. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại
?
3x − 4
y=
y = sin x
x−2
A.
.
B.
.

x
x −1

y=
.

nên gián đoạn tại

C.

D.

x0 = −1

y = x4 − 2 x2 + 1

x +1
x2 + 1

.

D.

y = tan x

Lời giải
Chọn A

y=
Ta có:

3x − 4
x−2

y=
Câu 14.

Hàm số
x0 = 2018
A.
.

có tập xác định:

x
x +1

D = ¡ \ { 2}

gián đoạn tại điểm
x0 = 1
B.
.

x0

, do đó gián đoạn tại

bằng?
C.

x0 = 0

x=2

.

D.

x0 = −1

.

Lời giải
Chọn D

y=
Vì hàm số

x
x +1

có TXĐ:

D = ¡ \ { −1}

6

.

x0 = −1\
nên hàm số gián đoạn tại điểm
.

.


y=
Câu 15.

Cho hàm số

x −3
x2 −1

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x = ±1
x∈¡
A. Hàm số không liên tục tại các điểm

. B. Hàm số liên tục tại mọi
.
x = −1
x =1
C. Hàm số liên tục tại các điểm
.
D. Hàm số liên tục tại các điểm
.
Lời giải
Chọn A

y=
Hàm số

x −3
x2 − 1

có tập xác định

¡ \ { ±1}

. Do đó hàm số không liên tục tại các điểm

Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A.
C.

f ( x)
f ( x)

có đạo hàm tại
liên tục tại

x=0

x=0

Hàm số xác định trên

f

.

B.

.

D.
Lời giải

( 2) < 0

f ( x)

x = ±1

1 − cos x
khi x ≠ 0


f ( x ) =  x2
1
khi x = 0

.

.

.

gián đoạn tại

x=0

.

R

x
1 − cos x
2 =1
lim f ( x ) = lim
= lim
2
2
x →0
x →0
x
→
0

x
2
 x
4.  ÷
2
2sin 2

f ( 0) = 1

Ta có
và
f ( 0 ) ≠ lim f ( x )
f ( x)
f ( x)
x=0
x=0
x →0
Vì
nên
gián đoạn tại
. Do đó
khơng có đạo hàm tại
.
1 − cos x
f ( x) =
≥0
f
2 > 0.
∀x ≠ 0
x2

nên
VậyA, B,C sai.

( )

Câu 17. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số
nào sau đây đúng?
f ( x)
x
¡
A. Hàm số
liên tục tại mọi điểm thuộc .
f ( x)
x=0
B. Hàm số
bị gián đoạn tại điểm
.
f ( x)
x =1
C. Hàm số
bị gián đoạn tại điểm
.
7

− x cos x, x < 0
 2
 x
f ( x) = 
,0 ≤ x <1
1 + x

3

x , x ≥ 1

. Khẳng định


D. Hàm số
f ( x)

*

* Tại

f ( x)

bị gián đoạn tại điểm

liên tục tại

x≠0

và

x ≠1

x=0

x =1
và

.
Lời giải

.

x=0

x2
lim
f
x
=
lim
= 0 f ( 0) = 0
(
)
lim f ( x ) = lim− ( − x cos x ) = 0 x →0+
x → 0+ 1 + x
x → 0−
x →0
,
,
.
lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 0 )

Suy ra
* Tại

x → 0−

x →0

x=0

. Hàm số liên tục tại

.

x =1

x2
1
lim− f ( x ) = lim−
=
lim f ( x ) = lim+ x3 = 1
x →1
x →1 1 + x
2 x→1+
x →1
,
.
lim f ( x ) ≠ lim+ f ( x )

Suy ra

x →1−

x →1

. Hàm số gián đoạn tại

x =1

.

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

Câu 18.

Tìm m để hàm số
m = −4
A.
.

 x2 − 4

f ( x) =  x + 2
 m


B.

m=2

khi x ≠ −2
khi x = −2

liên tục tại
m=4
C.

.
Lời giải

.

x = −2

D.

m=0

.

Chọn A

Hàm số liên tục tại

Câu 19.

Cho hàm số

x0 = 1

khi và chỉ khi

 x3 − 1
khi x ≠ 1

y = f ( x) =  x − 1
 2m + 1 khi x = 1



. Giá trị của tham số

m

để hàm số liên tục tại điểm

là:

m=−

A.

x = −2

 x2 − 4 
lim 
÷ = lim m = m ⇔ m = −4
x →−2
 x + 2  x →−2

1
2

.

B.

m=2

.

C.
8

m =1

.

D.

m=0

.


Lời giải
Chọn C
f (1) = 2m + 1

Ta có

lim y = lim
x →1

x →1

x3 − 1
= lim( x 2 + x + 1) = 3

x − 1 x →1

Để hàm số liên tục tại điểm

Câu 20.

Để hàm số
−4
A.
.

x0 = 1

 x2 + 3x + 2
y=
4 x + a

f (1) = lim y ⇒ 2m + 1 = 3 ⇔ m = 1
x →1

thì

khi

x ≤ −1

khi

x > −1

B. 4.

.

liên tục tại điểm

x = −1

C. 1.
Lời giải

thì giá trị của
−1
D. .

a

là

Chọn B

x = −1

Hàm số liên tục tại

lim y = lim− y == y ( −1)

khi và chỉ khi

x →−1+

⇔ lim+ ( 4 x + a ) = lim− ( x 2 + 3 x + 2 ) = y ( −1)
x →−1

Câu 21.

x →−1

Tìm giá trị thực của tham số

x =1
A.

m

x →−1

⇔ a−4 =0 ⇔ a = 4

để hàm số

.

 x3 − x 2 + 2 x − 2

f ( x) = 
x −1
3 x + m


khi x ≠ 1
khi x = 1

.

m=0

.

B.

m=6

m=4

.

C.
Lời giải

.

D.

m=2

Chọn A
Ta có:

f ( 1) = m + 3

lim f ( x ) = lim
x →1

Để hàm số

x →1

.

( x − 1) ( x 2 + 2 )
x3 − x 2 + 2 x − 2
= lim
= lim ( x 2 + 2 ) = 3
x
→
1
x →1
x −1
x −1

f ( x)

liên tục tại

x =1

.

lim f ( x ) = f ( 1) ⇔ 3 = m + 3 ⇔ m = 0

thì

x →1

.

9

.

liên tục tại


Câu 22.


x 2016 + x − 2
khi x ≠ 1

f ( x ) =  2018 x + 1 − x + 2018
k
khi x = 1


Cho hàm số
x =1
.

A.

k = 2 2019

k=
.

B.

k

. Tìm

để hàm số

2017. 2018
2

k=

k =1
. C.
.
Lời giải

D.

f ( x)

liên tục tại

20016
2019
2017

.

Chọn A

Ta có:

(x
x 2016 + x − 2
lim
= lim
x →1
2018 x + 1 − x + 2018 x →1

( x − 1) ( x 2015 + x2014 + ... + x + 1 + 1) (
= lim
x →1
2017 ( x − 1)

Để hàm số liên tục tại

Câu 23.

Cho hàm số

A.

a=0

x =1 ⇔

1
2

(

2018 x + 1 + x + 2018

)

2017 x − 2017

2018 x + 1 + x + 2018

)
= 2 2019

x →1

a=−
B.

− 1 + x − 1)

lim f ( x ) = f ( 1)

 x −1

khi x ≠ 1

f ( x) =  x −1
a
khi x = 1


.

2016

. Tìm

a

.

⇔ k = 2 2019

.

để hàm số liên tục tại
1
a=
2
C.
.

x0 = 1

D.

.
a =1

.

Lời giải
Chọn C

Ta có

x − 1 = lim
x →1
lim f ( x ) = lim
x →1 x − 1
x →1

Để hàm số liên tục tại

Câu 24.

Biết hàm số
a = b- 2
A.
.

x0 = 1

(

x −1

)(

B.

)

lim f ( x ) = f ( 1) ⇔ a =
x →1

khi
ìï 3x + b khi x £ - 1
f ( x) = ïí
ïï x + a khi x > - 1
ỵ

a = - 2- b

.

1
1
=
x +1 2

x + 1 = lim
x →1

x −1

1
2

.

.

x =- 1
liên tục tại
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a = b+2
a = 2- b
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn A

10


lim f ( x) = f ( - 1) = b - 3

lim f ( x) = a - 1

x ® - 1-

x ®- 1+

;
b- 3 = a - 1 Û a = b- 2

Câu 25.

Cho hàm số
−1
A.
.

. Để liên tục tại x=-1 ta có

 3− x
khi x ≠ 3

f ( x) =  x +1 − 2
m
khi x=3


1
B. .

m=?
x= 3
. Hàm số đã cho liên tục tại
khi

4
−4
C. .
D.
.
Lời giải

Chọn D
f ( 3) = m

3− x

lim f ( x) = lim
x→3

x + 1− 2

x→3

Để hàm số liên tục tại

m= −4

Suy ra,

Câu 26.

Biết hàm số
P = a − 4b
.

P = −4
A.
.

( 3− x) (

= lim

x= 3

)

x + 1+ 2

x− 3

x→3

(

)

= lim − x + 1 − 2 = −4
x→3

lim f ( x) = f ( 3)

thì

x→3

.
 ax 2 + bx − 5 khi
f ( x) = 
khi
 2ax − 3b

B.

P = −5

x ≤1
x >1

.

liên tục tại

C.

P=5

x =1

.

D.

Lời giải
Chọn B

lim f ( x ) = lim− ( ax 2 + bx − 5 ) = a + b − 5 = f ( 1)

Ta có:

x →1−

x →1

.

lim+ f ( x ) = lim+ ( 2ax − 3b ) = 2a − 3b
x →1

x →1

.

Do hàm số liên tục tại

Câu 27.

Tìm

m

để hàm số

x =1

nên

a + b − 5 = 2a − 3b ⇒ a − 4b = −5

 x2 − x
khi x ≠ 1

f ( x) =  x − 1
m − 1 khi x = 1


11

liên tục tại

x =1

Tính giá trị của biểu thức

.

P=4

.


A.

m=0

.

B.

m = −1

.

C.

m =1

D.

m=2

.

Lời giải
Chọn D
TXĐ:

D=R
lim f ( x) = lim
x →1

x →1

Ta có
Và

f (1) = m − 1

.

Hàm số liên tục tại

Câu 28.

x2 − x
= lim x = 1
x − 1 x→1

x = 1 ⇔ m −1 = 1 ⇔ m = 2

Có bao nhiêu số tự nhiên
x =1
?
A. 0.

B.

m

3

 x 2 − 3x + 2

f ( x) =  x −1
m2 + m − 1


để hàm số

Để hàm số

khi x = 1

2
C. .
Lời giải

.

Chọn D
x2 − 3x + 2
( x − 1) ( x − 2 )
lim
= lim
= lim ( x − 2 ) = −1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1

f ( x)

khi x ≠ 1

liên tục tại điểm

x =1

1
D. .

.

lim f ( x ) = f ( 1)
cần:

x →1

⇔ m 2 + m − 1 = −1

 m = 0 (TM)
⇔ m2 + m = 0 ⇔ 
 m = −1 (L)

Câu 29.

a

Tìm để hàm số
15
4
A.
.

.

 x+2 −2

f ( x) =  x − 2
2 x + a

−
B.

15
4

khi x ≠ 2
khi x = 2
liên tục tại
1
4
C. .

.

Lời giải
Chọn B

12

x=2

?
1

D. .

liên tục tại điểm


Ta có

f ( 2) = 4 + a

.

lim f ( x ) = lim
x→2

x →2

Ta tính được

Hàm số đã cho liên tục tại

Vậy hàm số liên tục tại

x+2−4

( x − 2) (

x=2

x=2

x+2 +2

)

= lim
x →2

1
1
=
x+2+2 4

.

f ( 2 ) = lim f ( x ) ⇔ 4 + a =
x→2

khi và chỉ khi

a=−
khi

15
4

1
15
⇔a=−
4
4

.

.

ìï x 2 - 3 x + 2
ïï
khi x > 2
f ( x ) = ïí x + 2 - 2
ïï 2
ïïỵ m x - 4m + 6 khi x £ 2 m
m
Câu 30. Cho hàm số
,
là tham số. Có bao nhiêu giá trị của
để
x =2
hàm số đã cho liên tục tại
?
3
0
2
1
A. .
B. .
C. .
D.
Lời giải
Chọn D
Ta có

(

)

( x − 2 ) ( x − 1) x + 2 + 2
x 2 − 3x + 2
lim+ f ( x) = lim+
= lim+
= lim+ ( x − 1)
x →2
x→2
x→2
x−2
x + 2 − 2 x→2

(

(

)

lim f ( x ) = lim− m2 x − 4m + 6 = 2m 2 − 4m + 6

x → 2−

x →2

f (2) = 2m 2 − 4m + 6

Để hàm số liên tục tại

x=2

thì

lim f ( x) = lim− f ( x) = f (2) ⇔ 2m 2 − 4m + 6 = 4 ⇔ 2m2 − 4m + 2 = 0 ⇔ m = 1

x → 2+

x→2

Vậy có một giá trị của

Câu 31.

Cho hàm số
m=3
A.
.

m

thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại

 3x 2 + 2 x − 1 − 2

, x ≠1
f ( x) = 
x2 −1

4 − m
x =1

B.

m = −3

.
13

f ( x)

. Hàm số
m=7
C.
.

x=2

.

liên tục tại

)

x+2 +2 = 4

x0 = 1

khi

m = −7
D.
.


Lời giải
Chọn A

x0 = 1 ∈ ¡

D=¡

Tập xác định
,
f ( 1) = 4 − m
Ta có
.

.

( x − 1) ( 3x + 5)
3x 2 + 2 x − 1 − 2 = lim
x →1
lim f ( x ) = lim
( x + 1) ( x − 1) 3x 2 + 2 x − 1 + 2
x →1
x →1
( x + 1) ( x − 1)

(

= lim
x →1

( x + 1) (

Hàm số
Câu 32.

f ( x)

3x + 5
3x + 2 x −1 + 2
2

liên tục tại

)

)

=1

x0 = 1

lim ( x ) = f ( 1) ⇔ 4 − m = 1 ⇔ m = 3

khi và chỉ khi

x →1

.

(Chuyên Lê Thánh Tơng-Quảng Nam-2018-2019) Tìm giá trị của tham số
 x 2 + 3x + 2
khi

f ( x ) =  x2 −1
mx + 2
khi

m=

A.

−3
2

để hàm số

x < −1
x ≥ −1
m=

.

m

B.

−5
2

liên tục tại

x = −1

.

m=

.

C.
Lời giải

3
2

m=

.

D.

5
2

.

Chọn D
- Ta có:
+

f ( −1) = −m + 2

.

lim + f ( x ) = −m + 2

+

+

x →( −1)

.

x 2 + 3x + 2 = lim
lim − f ( x ) = lim −
x →( −1)
x →( −1)
x →( −1)
x2 −1

- Hàm số liên tục tại

x = −1

−

( x + 1) ( x + 2 )
( x − 1) ( x + 1)

= lim −
x →( −1)

x + 2 −1
=
x −1 2

.

⇔ f ( −1) = lim + f ( x ) = lim − f ( x ) ⇔ −m + 2 = −1 ⇔ m = 5
x →( −1)
x →( −1)
2

14

2

.


Câu 33.

 x2 + 4 − 2

x2

f ( x) = 
 2a − 5

4

Cho hàm số
x=0
liên tục tại
.
3
a=−
4
A.
.

a=
B.

4
3

khi x ≠ 0
khi x = 0

. Tìm giá trị thực của tham số

a=−
.

C.

Lời giải

4
3

a

a=
.

D.

để hàm số

3
4

f ( x)

.
.

Chọn D
Tập xác định:

D=¡

.

x2 + 4 − 2

lim f ( x) = lim
= lim
x →0
x →0
x →0
x2

= lim
x →0

x2 + 4 − 4
x ( x + 4 + 2)
2

2

f (0) = 2a −

Hàm số

5
4

f ( x)

= lim
x→0

(

x2 + 4 − 2
x2

1
x +4+2
2

(

)(

x2 + 4 + 2

x2 + 4 + 2

=

)

)

1
4
.

.

x = 0 ⇔ lim f ( x) = f (0) ⇔ 2a −
x →0

liên tục tại

a=

3
4

5 1
3
= ⇔a=
4 4
4

.

.

Vậy

Câu 34.

Cho hàm số
m =1
A.
.

 x 2 − 2 x + 3 khi x ≠ 1
f ( x) = 
3 x + m − 1 khi x = 1

B.

m=3

. Tìm

m

để hàm số liên tục tại
.
m=0
m=2
C.
.
D.
.

.

Lời giải
Chọn C
TXĐ
Ta có

D=¡
f ( 1) = 2 + m

x0 = 1

.

15


(

lim f ( x ) = lim x 2 − 2 x + 3
x →1

x →1

Hàm số liên tục tại

Câu 35.

Cho hàm số
1
A. .

)

=2

.
f ( x ) = f ( 1)
x0 = 1 ⇔ lim
x →1
⇔ 2= m+2 ⇔ m =0

 x 2 − 3x + 2
khi x ≠ 2


f ( x) =  x − 2
a
khi x = 2

B.

0

. Hàm số liên tục tại
2
C. .

.

.

x=2

khi

a

bằng
−1
D. .

Lời giải
Chọn A
Hàm số liên tục tại

x=2

⇔ lim f ( x) = f (2)
x →2

x 2 − 3x + 2
= lim( x − 1) = 1
x →2
x−2

f (2) = a, lim f ( x) = lim
x →2

x →2

Ta có

Câu 36.

Cho hàm số
−2
A.
.
Chọn A
Tập xác định

Ta có

.

. Do đó

a =1

 3− x
khi x ≠ 3

f ( x) =  x +1 − 2
mx + 2
khi x = 3

B.

D=R

f ( 3) = 3m + 2

4

m
x=3
. Hàm số liên tục tại điểm
khi bằng:
−4
2
C.
.
D. .
Lời giải

.

.

lim f ( x ) = lim
x→3
và

x →3

x=3

3− x
= lim  −
x + 1 − 2 x →3 

(

)

x +1 + 2 
 = −4

⇔ lim f ( x ) = f ( 3 )

.

x →3
⇔ 3m + 2 = −4 ⇔ m = −2

Hàm số đã cho liên tục tại điểm
.
2
 x − 16
khi x > 4

f ( x) =  x − 4
mx + 1 khi x ≤ 4

x=4
m
Câu 37. Tìm
để hàm số
liên tục tại điểm
.
7
7
m=
m=−
m =8
m = −8
4
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Lời giải

Chọn A
x 2 − 16
lim f ( x ) = lim+
lim f ( x ) = f ( 4 )
= lim+ ( x + 4 )
x→4
= 4m + 1 x → 4+
=8
x−4
x → 4−
x→4
Ta có
;
.
16


Hàm số liên tục tại điểm
Câu 38.

x=4

⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 4 )
x →4

⇔ 4m + 1 = 8

x→4

⇔m=

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số

A.

m=3

liên tục tại
m= 2
B.
.

.

x=2

m

7
4

.

để hàm số

.
C.

m = −2

.

D. Không tồn tại

m

.

Lời giải
Chọn A
lim+ f ( x ) = lim+

Ta có

x →2

x →2

x ( x − 2)
x2 − 2x
= lim+
= lim+ x = 2
x →2
x →2
x−2
x−2

.

lim f ( x ) = lim− ( mx − 4 ) = 2m − 4

x → 2−

x→2

x=2

Hàm số liên tục tại

Câu 39.

lim f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 2m − 4 = 2 ⇔ m = 3

x → 2−

khi

x →2

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hàm số
tục tại

A.

x0 = 1

thì giá trị của biểu thức

3
.
4

B.

ìï x + 3 - m
ïï
khi x ¹ 1
f ( x) = í
.
x
1
ïï
khi x = 1
ïïỵ n

( m + n)

Để hàm số liên

tương ứng bằng:
-

1.

.

C.

Lời giải

1
.
2

D.

9
.
4

Chọn D
Ta có:

f ( 1) = n.

lim f ( x) = lim
x®1

x®1

x + 3 - m2

( x - 1)

(

)

x +3 +m

.

Û lim f ( x) = f ( 1) Û n = lim
x®1

Hàm số liên tục tại

x®1

x =1

17

x + 3 - m2

( x - 1)

(

)

x + 3 +m

(1).


lim f ( x)
xđ1

tn ti khi

1

( 1) ị
+ Khi

+ Khi

m=2

l nghiệm của phương trình:
n = lim
x®1

x- 1

( x - 1) (

)

x + 3+2

ị n = lim
xđ1

1

1

ị n= .
4
x +3+2

thỡ

m=- 2

( 1) ị

n = lim
xđ1

thỡ

m + n = 2+
Vy

Cõu 40.

ộm = 2
1 + 3 - m2 = 0Þ ê
êm = - 2.
ê
ë

1
x +3- 2

suy ra không tồn tại

1 9
= .
4 4

 x 3 − 6 x 2 + 11x − 6
khi x ≠ 3

f ( x) = 
x−3
m
khi x = 3


Cho hàm số
x=3
?
m =1
A.
.

n.

B.

m=2

.

C.

. Tìm giá trị của

m=3

.

m

để hàm số liên tục tại

D.

m=0

Lời giải
Chọn B
Ta có:

f ( 3) = m

lim f ( x ) = lim
x →3

x →3

lim
x →0

Câu 41.

Giới hạn
40
A.
.

.

x − 6 x 2 + 11x − 6
= lim ( x 2 − 3 x + 2 ) = 2
x →3
x −3
3

cos 3x − cos 7 x
x2
B.

0

. Tìm giá trị của
.

m

.

x=3
để hàm số liên tục tại
?

20
−4
C.
.
D.
.

Lời giải
Chọn B

cos 3x − cos 7 x
2sin 5 x sin 2 x
= lim
2
x →0
x →0
= 2.5.2 = 20
x
x2

lim
Ta có:

Câu 42.

Tìm

m

để hàm số

 x2 − x − 2
khi x > −1

f ( x) =  x + 1
mx − 2m 2 khi x ≤ −1


18

.

liên tục tại

x = −1.

.


A.

 3
m ∈ 1; − 
 2

.

B.

m ∈ { 1}

 3
m ∈ − 
 2

.

C.
Lời giải

.

D.

 3
m ∈ −1;  .
 2

.

Chọn A
Tập xác định
*

D=R

.

f (−1) = − m − 2m 2
lim f ( x) = lim− (mx − 2m 2 ) = −m − 2m2

*

x →−1−

x →−1

lim+ f ( x) = lim+

*

x →−1

x →−1

Hàm số liên tục tại

.

( x + 1)( x − 2)
x2 − x − 2
= lim+
= lim+ ( x − 2) = −3.
x →−1
x →−1
x +1
x +1
x = −1

lim f ( x) = lim+ f ( x) = f (−1)

khi và chỉ khi

x →−1−

x →−1

m = 1
⇔
.
m = − 3
2
2
⇔ − m − 2 m = −3 ⇔ 2 m + m − 3 = 0

2

Vậy các giá trị của m là

Câu 43.

 3
m ∈ 1; −  .
 2

m
Tìm các giá trị của tham số
để hàm số
x=2
.

1
1
m=
m=−
6
6
A.
.
B.
.

 x2 − 3x + 2
khi x < 2

f ( x ) =  x2 − 2x
 mx + m + 1 khi x ≥ 2


m=−
C.

1
2

m=
.

Lời giải
Chọn B

lim
x →2

( x − 2 ) ( x − 1) = lim x − 1 = 1
x 2 − 3x + 2
= lim
2
x→2
x →2
x − 2x
x ( x − 2)
x
2

Ta có:
f ( 2 ) = 3m + 1

.

.

Để hàm số liên tục tại điểm

x=2

⇔ 3m + 1 =

19

1

1
⇔m=−
2
6

liên tục tại điểm

.

D.

1
2

.


Câu 44.

 x2 + 4 − 2
khi x ≠ 0

2
x
f ( x) = 
 2a − 5 khi x = 0

4

Cho hàm số

f ( x)

liên tục tại
3
a=−
4
A.
.

x=0

a

. Tìm các giá trị thực của tham số

để hàm số

.

a=
B.

4
3

a=−
.

C.

Lời giải

4
3

a=
.

D.

3
4

.

Chọn D

f ( 0 ) = 2a −
+ Ta có

lim f ( x ) = lim
x →0

x →0

5
4

.

x2 + 4 − 2
= lim
x →0 2
x2
x

+

f ( x)

Hàm số

Câu 45.

liên tục tại

1
2

. Tính
S = −36
A.
.

(

S = abc

lim f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ 2a −
x →0

khi

B.

S = 18

(

.

C.
Lời giải

Ta có

S = 36

)
. Biết hàm số liên tục tại

.

D.

S = −18

( a −b ) x

2

ax 2 + 1 + bx + 2

2

)

=

2

( 2 x − 1) ( x + 1) (
2

ax + 1 − bx − 2
−12 x + 12 x − 3
= lim
3
2
1
4 x − 3x + 1
x → ( 2 x − 1) ( x + 1)
−3 x 2 + 1 − 3 x + 2
2
2

(

Khi đó
20

)

.

− 4bx − 3
ax 2 + 1 + bx + 2

2

2

2

1
2

.

( a − b ) x − 4bx − 3 = m ( 2 x − 1)
m = −3

1

x= ⇒
⇔ b = −3
a
b
2


 a = −3
+1 + + 2 ≠ 0

2
 4
2

Để hàm số liên tục tại

)
(

2

ax 2 + 1 − ( bx + 2 )

ax + 1 − bx − 2
=
2
4 x3 − 3x + 1
( 2 x − 1) ( x + 1)
2

x→

5 1
3
= ⇔a=
4 4
4

.

Chọn A

lim

)

 ax 2 + 1 − bx − 2
1
khi x ≠

3
2 , ( a, b, c ∈ ¡
f ( x ) =  4 x − 3x + 1
1
c
khi x =
 2
2

Cho hàm số

x=

x=0


 1

1
= lim 
÷= .
2
x →0
x2 + 4 + 2
 x +4+2 4
x2

.

)

.


= lim
1
x→
2

Vậy

Câu 46.

−3

( x + 1) (

−3 x 2 + 1 − 3 x + 2

S = abc = −3 ( −3) ( −4 ) = −36

−3
c
= −2 = ⇒ c = − 4
3
2
2

x0 = 1

Tập xác định
f ( 1) = a
.

D=R

lim f ( x ) = lim
x →1

f ( x)

x →1

a

để hàm số

 x2 −1

khi x ≠ 1

f ( x) =  x −1
a
khi x = 1


a=0

x2 −1
= lim ( x + 1) = 2
x − 1 x →1

liên tục tại

a=2
C.
.
Lời giải

.

D.

a = −1

.

.

x0 = 1

.

lim f ( x ) = f ( 1) ⇔ a = 2
khi và chỉ khi

x →1

.

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
 x2 − x − 2
khi x ≠ 2

f ( x) =  x − 2
m
khi x =2


A.

m = 3.

B.

liên tục tại x=2.
m = 1.

C.

m = 2.

D.

m = 0.

Lời giải
Chọn A
lim
x →2

Ta có:

x2 − x − 2
( x − 2)( x + 1)
= lim
= lim( x + 1) = 3.
x
→
2
x →2
x−2
x−2

⇔ lim f ( x ) = f (2) ⇔ m = 3.
x →2

Hàm số liên tục tại x=2

Câu 48.

liên tục

.
B.

Chọn C

.

.

(Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Tìm
tại điểm
a =1
A.
.

Câu 47.

)

=

Để hàm số
0,5
A.
.

 2 x 2 − 3x + 1
khi x ≠ 1

f ( x ) =  2 ( x − 1)
m
khi x = 1

B.

1,5

liên tục tại

1
C. .

.
21

x =1

thì giá trị

m

D.

bằng

2

.


Lời giải
Chọn A
f ( 1) = m

.

( x − 1) ( 2 x − 1) = lim 2 x − 1 = 1
2 x 2 − 3x + 1
= lim
x →1
x →1
x →1
2 ( x − 1)
2 ( x − 1)
2
2

lim f ( x ) = lim
x →1

Để hàm số

f ( x)

liên tục tại

x =1

thì

.
1
lim f ( x ) = f ( 1) ⇔ m =
x →1
2

.

 x2 + x − 2
khi x ≠ 1

f ( x) =  x −1
3m
khi x = 1


Câu 49. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

.

x = 1.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại
m ≠ 2.
m ≠ 1.
m ≠ 2.
m ≠ 3.

A.
B.
C.
D.
Lời giải
¡.
Tập xác định của hàm số là
x2 + x − 2
lim f ( x ) ≠ f ( 1) ⇔ lim
≠ 3m
x →1
x →1
x =1
x −1
Hàm số gián đoạn tại
khi
( x − 1) ( x + 2 ) ≠ 3m ⇔ lim x + 2 ≠ 3m ⇔ 3 ≠ 3m ⇔ m ≠ 1.
⇔ lim
(
)
x →1
x →1
x −1
Câu 50.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của

m

để hàm số

m =1
A.
.

 1− x − 1+ x

x
f ( x) = 
m + 1 − x

1+ x

B.

m = −2

khi

x<0

khi

x≥0

liên tục tại
m = −1
C.
.
Lời giải

.

x=0

.
D.

m=0

.

Ta có

1− x 

lim+ f ( x ) = lim+  m +
÷= m +1
x→0
x→0 
1+ x 

.

 1 − x − 1 + x  lim
lim− f ( x ) = lim− 
÷
÷ = x → 0− x
x →0
x→0
x




(

−2 x
1− x + 1+ x

)

= lim−
x →0

(

−2
1− x + 1+ x

)

= −1
.

f ( 0) = m + 1

Để hàm liên tục tại

x=0

lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 )

thì

x →0+

x →0

22

⇔ m + 1 = −1 ⇒ m = −2

.


Câu 51.

(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số
trị của

A.

a

a =1

x0 = 0

để hàm số liên tục tại

1

2

a=
.

B.

D=¡

Tập xác định:

 e ax − 1

f ( x) =  x
1
 2

khi x ≠ 0
khi x = 0
. Tìm giá

.
a = −1
C.
.
Lời giải

.

a=−

D.

1
2

.

.

e ax − 1
e ax − 1
= lim
.a = a
x →0
x →0
x
ax

lim f ( x ) = lim
x →0

f ( 0) =

Câu 52.

1
2

; hàm số liên tục tại

x0 = 0

.

lim f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ a =
x→0

khi và chỉ khi:

1
2

.

 ax 2 − (a − 2) x − 2
khi x ≠ 1

f ( x) = 
x+3 −2
8 + a 2
khi x = 1


(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số
a
x =1
cả bao nhiêu giá trị của để hàm số liên tục tại
?
0
3

1
A. .
B. .
C. .

D.

2

.

Lời giải
D = [ −3; + ∞ )

Tập xác định:

lim f ( x ) = lim
x →1

ax 2 − ( a − 2 ) x − 2
x+3 −2

x →1

= lim

( x − 1) ( ax + 2 ) (

= lim ( ax + 2 )
f ( 1) = 8 + a 2

x+3 +2

.

)

x −1

x →1

x →1

.

(

.

)

x + 3 + 2 = 4 ( a + 2)

.

.

Hàm số đã cho liên tục tại

x =1

khi

a = 0
lim f ( x ) = f ( 1) ⇔ 4 ( a + 2 ) = 8 + a 2 ⇔  a = 4
x →1

23

.

. Có tất


Vậy có
Câu 53.

2

giá trị của

a

để hàm số đã cho liên tục tại

.

(THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của tham số
 x+2 −2
khi x ≠ 2


y = f ( x) =  x − 2
a + 2 x
khi x = 2


số

A.

1
4

liên tục tại

1
B. .

.

lim f ( x ) = lim
x →2

x→2

Hàm số liên tục tại

.
15
−

4

.

điểm
khi
m = −2
A.
.

m

để hàm

D.

4

.

x+2 −2
x−2
1
1
= lim
= lim
=
x →2
x−2
( x − 2 ) x + 2 + 2 x →2 x + 2 + 2 4

(

⇔ lim f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ a + 4 =

x=2

x→2

)

nhận giá trị
m=2
B.
.

.

1
15
⇔a=−
4
4

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số
x0 = 1

a

x=2

C.
Lời giải

Ta có:

Câu 54.

x =1

m = −1
C.
.
Lời giải

.

 x 2 + 1 khi x ≤ 1
f ( x) = 
 x + m khi x > 1

D.

m =1

liên tục tại

.

lim f ( x ) = lim+ ( x 2 + 1) = 2 lim− f ( x ) = lim− ( x + m ) = 1 + m

x0 = 1
x →1
x →1
x →1
Ta có
;
. Để hàm số liên tục tại
x →1+

lim f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ 2 = m + 1 ⇔ m = 1

thì
Câu 55.

x →1+

x →1

.

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
 2x +1 − x + 5

f ( x) = 
x−4
a + 2


liên tục tại
5

a=
2
A.
.

x0 = 4

khi x ≠ 4
khi x = 4
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

.
a=−

B.

11
6

.

a =3
C.
.
Lời giải

24

D.

a=2

.

a

để hàm số


lim f ( x ) = lim
x →4

x →4

f ( 4) = a + 2

2x +1 − x + 5
= lim
x →4
x−4
( x − 4)

(

2x + 1 + x + 5

)

1
1

=
2x +1 + x + 5 6

= lim
x →4

.
x0 = 4

Hàm số liên tục tại

Câu 56.

x−4

lim f ( x ) = f ( 4 )

khi:

x →4

1
11
= a+2
a=−
⇔ 6
⇔
6

(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực

.

m

để hàm số

y = f ( x)

 x 2 + x − 12
khi x ≠ −4

= x+4
mx + 1
khi x = −4

A.

m=4

x0 = −4
liên tục tại điểm
.
m=3
m=2
B.
.
C.
.
Lời giải

.

Tập xác định:

D=¡

D.

m=5

.

.

Ta có:

( x − 3) ( x + 4 )
x 2 + x − 12
= lim
= lim ( x − 3)
x →−4
x
→−
4
x →−4
= −7
x+4
x+4

lim f ( x ) = lim

x →−4

+

f ( −4 ) = −4m + 1

+

Hàm số

f ( x)

⇔m=2

Câu 57.

.

.

liên tục tại điểm

x0 = −4

lim f ( x ) = f ( −4 )

khi và chỉ khi

x →−4

⇔ −4m + 1 = −7

.

(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số
 3x + 1 − 2
khi x ≠ 1

f ( x) =  x −1
m
khi x = 1


A.

m=3

Ta có

.

B.

liên tục tại điểm

m =1

x0 = 1

C.
Lời giải

3
4

m=
.

3x + 1 − 22
3
3
3 x + 1 − 2 = lim
x →1
= lim
=
lim
x
−
1
3
x
+
1
+
2
(
)
x

→
1
x →1
3x + 1 + 2 4
x −1

(

)

25

để hàm số

.

m=
.

m

D.

.

1
2

.