DeHD thi lop 10 THPT Dai hoc SPHN 1213

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (95.73 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRờng Đại học s phạm Kú thi tun sinh vµo líp 10 năm 2012_2013
Hà nội Môn thi : Toán Vòng 1

Trêng THPT Chuyªn Ngµy thi 06/06/2012

Thời gian làm bài 120 phút ( khơng k thi gian giao )
 chớnh thc

Bài 1 (2.0 điểm) : Cho biÓu thøc

2 2

2 2 2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b

      

    

        

  víi a > b > 0

1/ Rót gän biÓu thøc P

2/ BiÕt a – b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bi 2 (2.0 im ) : Trên quãng đờng AB dài 210km, tại cùng một thời điểm một xe 
máy khởi hành đi từ A về B và một ôtô khởi hành đi từ B về A. Sau khi gặp nhau xe
máy đi tiếp 4 giờ nửa thì đến B và ơtơ đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng
xe máy và ôtô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đờng. Tính vận tốc của xe
máy và ôtô

Bài 3(2.0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 và đờng 
thẳng (d) : y = mx – m – 2

a/ Chứng minh rằng khi m thay đổi (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hnh
độ x1 ; x2

b/ Tìm m để : x1 x2  20

Bài 4 (3.0điểm) : Cho tam giác ABC đờng trịn ( ) có tâm O tiếp xúc với các đoạn
thẳng AB, AC tơng ứng tại K, L. Tiếp tuyến (d) của đờng tròn ( ) tại E thuộc cung
nhỏ KL cắt đờng thẳng AL, AK tơng ứng tại M, N. Đờng thẳng KL cắt OM tại P và
cắt ON tại Q

a/ Chøng minh :

 900 1

MON   BAC

b/ Chứng minh rằng đờng thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua một điểm
c/ Chứng minh KQ.PL = EM.EN

Bài 5 (1.0 điểm ) : Cho các số thực dơng x, y thoả mÃn điều kiện :

x y x y xy

. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc P = x + y
HÕt

---Híng dẫn học sinh làm bài
Bài 1 (2.0 điểm)

1/ Rút gän biÓu thøc P

2 2

2 2 2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b

      

    

    

     

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>





2 2
2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b a b

   

  

 

   

          

 



















 



2 2

a b a b a b a b a b a b a b

P

a b a b a b a b a b a b

           

  

         





2 2 2 2

2 2
2

a b a b a b a b

P

b

b a b a b

 

   

   

   

2/ Biết a – b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Từ a – b = 1 => a = b + 1. Khi đó





2
2 2 1

2 2 1 0

b b

P b P b

b

 

     

(1).Coi (1) là phơng trình bậc hai của b, Ta có

2 2

(2 P) 8 P 4P 4

    

Để có b, thì

2 2 2 2

0 4 4 0

2 2 2

P

P P

P

  

       

 


Do P > 0 => P 2 2 2 => P(min) = 2 2 2

Khi đó



2 2 2 2



(2 ) 2

4 4 2

P

b     

=> a =

2 2
2



Bµi 2 (2.0 điểm ) :

Gọi vận tốc của xe máy là x(km/h) và vận tốc của ôtô là y(km/h)
Điều kiện : y > x > 0 (*)

§ỉi 2h 15 phót =

1 9
2 ( )

44 h

Chỗ gặp nhau cách A là

9
( )

4y km và cách B là 4x. Vì quóng ng AB bng 210km,

nên ta có phơng trình :

4 210
4 y x (1)

Thời gian xe máy đi từ A đến B là

210

x (h)

Thời gian ôtô đi từ B đến A là

210

y (h)

Thời gian ôtô đi từ B đến A nhanh hơn thời gian xe máy đi từ A đến B là

9 7

4 4



(h). Vậy ta có phơng trình :

210 210 7
4

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng tr×nh :

4 210
4

210 210 7
4

y x

x y



 






  




Giải hệ ra ta đợc :

30
40

x
y







 (t/m) vµ

...
...

x
y

(loại)

Vậy vận tốc của xe máy là 30(km/h) và vận tốc của ôtô là 40(km/h)

Bi 3(2.0 im ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 và đờng 
thẳng (d) : y = mx – m – 2

a/ Chứng minh rằng khi m thay đổi (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh
độ x1 ; x2

b/ Tìm m để : x1 x2  20

a/ Hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phơng
trình : -x2 = mx – m – 2 <=> x2 + mx – (m + 2) = 0

Cã









2 4 2 2 4 8 2 4 0

m m m m m

          

víi mäi m
=> Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

=> ng thng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hành độ x1 ; x2

b/ Theo viÐt ta cã :

1 2

1 2 2

x x m

x x m

 




 



§Ĩ x1 x2  20 <=>









2 2

1 2 20 1 2 20 1 2 4 1 2 20

x  x   x  x   x x  x x 

, thay vµo
ta cã : (-m)2 – 4(-m – 2) = 20 => m2 + 4m – 12 = 0 cã ’ = 16 > 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm : m1 = 2 và m2 = -6
Vậy với m = 2 hoặc m = -6 thì thoả mÃn điều kiện bài toán

Bi 4 (3.0điểm) : Cho tam giác ABC đờng tròn ( ) có tâm O tiếp xúc với các đoạn
thẳng AB, AC tơng ứng tại K, L. Tiếp tuyến (d) của đờng tròn ( ) tại E thuộc cung
nhỏ KL cắt đờng thẳng AL, AK tơng ứng tại M, N. Đờng thẳng KL cắt OM tại P và
cắt ON tại Q

a/ Chøng minh :

 900 1

MON   BAC

b/ Chứng minh rằng đờng thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua một điểm
c/ Chứng minh KQ.PL = EM.EN

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3
2

1
4

3
2

1
Q

M
N

C
B

L
K

a/ Chøng minh :

 900 1

MON  BAC

Do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau nên ta cã O1O O 2; 3 O 4 (1)

Tø gi¸c ALOK cã : AKO ALO 900900 1800 Suy ra

  0      0 



   



1 2 3 4 1 2 3 4

1 1

180 180 90

2 2

BAC KOL  BAC O O O O   BAC O O O O 

(2)
Tõ (1) vµ (2) =>





 



2 3
1

90
2BAC O O  Hay

  0  0 

1 1

90 90

2BAC MON  MON  2BAC (§PCM)

b/ Chứng minh rằng đờng thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua một điểm

  

1 2 3

L E K => tø gi¸c OKEB néi tiÕp

Mặt khác OKNE nội tiếp đờng trịn đờng kính ON

 năm điểm O, K, N, E, P cùng nằnm trên đờng trịn đờng kính ON
 NPO900 (Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)

 NP  OM (1)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Từ (1), (2) , (3) => ba đờng cao MQ, NP và OE của tam giác OMN đồng quy
c/ Chứng minh KQ.PL = EM.EN

Từ câu b : Tø gi¸c ONEP néi tiÕp => QNE EPM (b)

Tø gi¸c OMEQ néi tiÕp => NQE PEM  (c)

Tõ (b) vµ (c) => NQE PEM (g.g) => . .

NE EQ

EM EN EQ EP

EP EM   (d)

Tõ (a) vµ (d) => KQ.PL = EM.EN (ĐPCM)
Bài 5 (1.0 điểm ) :

Vỡ x, y > 0 mà x y 



x y



xy => x > y, Cả hai vế đều dơng bình phơng hai vế ta

cã :









2 2

x y xy x y









2 2

x y xy x y xy

. Đặt xy = X , thay P = x + y ta

cã

P2 = X(P2 – 4X) <=> 4X2 – P2X + P2 = 0 , coi đây là phơng trình bậc hai cña X
=>  = P4 – 8P2 = P2(P2 8) . Để có nghiệm X, thì

0 => P2 2 ( do P > 0 ) => P (min) = 2 2

Khi đó

1 2 1 2 1

2 2 2 1 2 1

2 2

P xy

X x x

Hoac

x y y y

P



 




     

   

 

   

 

      



   

 .

Do x > y =>

2 1

x
y

  




 




VËy P(min) = 2 2 khi

2 1
2 1

x
y

  




 




HÕt

</div>

DeHD thi lop 10 THPT Dai hoc SPHN 1213























 































<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





















Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về