On vao 10 Hinh hoc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (195.58 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD ,AB > CD ) nội tiếp đờng tròn (O) .Tiếp tuyến với (O) tại A và D cắt
nhau tại E .Gọi I là giao điểm của AC và BD

a. Chøng minh tø gi¸c AEDI néi tiÕp
b. Chứng minh EI // AB

c. EI cắt AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S .Chứng minh
a. I là trung điểm của RS (Nam Định 2002 -2003)
b. 1/AB + 1/CD = 2/RS

Bài 2. Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R . Đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai 
điểm phân biệt chuyển động trên d sao cho M, Qkhác A . Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại
các điểm thứ hai là N và P .

Chøng minh .

1. Tích BM. BN không đổi. (Nam Định 2004 – 2005 )
2. Tứ giác MNPQ nội tiếp .

3. BN + BP + BM + BQ > 8R

Bài 3. Cho dây BC cố định của đờng tròn (O; R) (0< BC < 2R ) . Alà điểm di động trên cung lớn BC sao cho 
tam giác ABC nhọn . Các đờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H .

1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp từ đó suy ra AE.AC = AF .AB.
2. Gọi A’ là trung điểm của BC . Chứng minh AH= 2A’O .

Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . Đặt S là diện tích của tam giác ABC , 2P là chu vi của tam
giác DEF.

a. Chøng minh d // EF .

b. Chøng minh S= P.R (Nam Định 2005 – 2006 )

Bài 4. Cho đờng tròn (O) một đờng kính AB cố định . Từ một điểm I nằm giữa Avà O sao cho AI= 2/3 AO . Kẻ 
dây MN vng góc với AB tại I .

Gäi Clà một điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C kh«ng trïng víi M,N,B . Nèi AC cắt MN tại E . Chứng
minh .

a. Tứ giác IECB néi tiÕp .

b. Tam gi¸c AME ~ tam gi¸c ACM vµ AM2 = AE.AC.

c. AE.AC – AI.IB = AI2 (Nam Định 2006-2007)

Bi 5. Cho đờng tròn (O) và hai điểm AB phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O . Trên 
tia đối của tia AB lấy điểm M khác A . Từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME,MF với đờng tròn (E,F là các tiếp
điểm ). Gọi H là trung điểm của dây AB . Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các
đ-ờng thẳng OM và OH . Chứng minh .

a. Năm điểm M,O,H,E,F cùng thuộc một đờng tròn .
b. OH.OI = OK.OM .

c. IA,IB là các tiếp tuyến của đờng tròn O . (Nam Định 2007-2008 )

Bài 6 Cho đờng tròn (O;R) có đờng kính AB .điểm I nằm giữa hai điểm A và O .Kẻ đờng thẳng vng góc với 
AB tại I đờng thẳng này cắt (O;R) tại M và N .Gọi S là giao điểm của hai đờng thẳng BM và AN .Qua S kẻ đờng
thẳng song song với MN đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H .Chứng minh

d. Tứ giác SKAM nội tiếp và HS.HK = HA.HM

e. KM lµ tiÕp tun cđa (O;R) (Nam Định 2008 -2009)
f. Ba điểm H,N,B thẳng hàng

Bi 7 Cho ng trũn (O;R) v im A nằm ngồi đờng trịn(O;R) . Đờng trịn đờng kính AO cắt đờng tròn (O;R)
tại M và N. đờng thẳng d đI qua A cắt đờng tròn (O;R) tại B và C ( d không đI qua O, B nằm giữa A và C) . Gọi
H là trung điểm của BC

1. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) và H thuộc Đờng trịn đờng kính AO
2. Đờng thẳng đI qua B vng góc với OM cắt MN ở D. Chứng minh

a. gãc AHN = gãc BDN

b. DH // MC (Nam Định 2009 -2010)
c. HB + HD > CD

Bài 8 . (3,0 điểm)Cho đường trũn (O; R) v àđiểm M nằm ngo i sao cho OM=2R. à Đường thẳng d qua M tiếp
xúc với (O; R) tại A. Gọi N là giao điểm của đoạn thẳng MO với đờng trịn(O; R) .

1) Tính độ dài đoạn thẳng AN theo R .Tính số đo của góc NAM.

2) Kẻ hai đờng kính AB và CD khác nhau của (O;R). Các đờng thẳng BC và BD cắt
đờng thẳng d lần lợt tại P và Q .

a, Chøng minh tø gi¸c PQDC néi tiÕp (Nam Định 2010 -2011)
b, Chøng minh 3BQ 2AQ4R

Bµi 9 : Cho nửa đường trịn (O)đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường trịn (O)

( CB < CA, C khác B ). Gọi D là điểm chính giữa của cung AC, E là giao điểm của AD và BC.

1) Chứng minh tam giác ABE cân tại B.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a. Tứ giác EIBK nội tiếp (Nam Định 2011 -2012)
b.

HF EI EK

BC BIBK.

Bµi 10: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R vẽ tia tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường trịn
đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax và By lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh: AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh EO2 = AE.EF. (Nam Định 2012 -2013)

c) V MH vng góc với AB (H  AB). Gọi K là giao điểm của EB và MH. Tính tỷ số MK/MH

Bài 11 Cho tam giác ABC vng tại C có BC = 1/2BA trên cạnh BC lấy điểm E ( E khác B ,C ) .Từ B kẻ đờng 
thẳng d vng góc với AE .gọi giao điểm của d với AE ,AC kéo dài lần lợt là I và K

a .Tính độ lớn của góc CIK
b. Chứng minh KA.KC = KB.KI

c . Gọi H là giao điểm của đờng trịn đờng kính AK với AB .

Chứng minh H , E, K thẳng hàng ( Hng Yªn 2001 – 2002 )
d. Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC

Bài 12 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B .Đờng kính AC của (O) cắt (O’) tại điểm thứ hai là

E .Đờng kính AD của (O’) cắt (O) tại điểm thứ hai là F

a. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp ( Bắc Ninh 2002 – 2003)
b. Chứng minh ba điểm C,B,D thẳng hàng và tứ giác OO’EF nội tiếp
c. Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BEF

d. Chứng minh ba đờng thẳng CF , DE,AB đồng quy

e. Với điều kiện và vị trí nào của hai đờng trịn (O) và (O’) thì EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn 
(O) và (O’

Bài 13 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) .gọi D và E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB và AC . Gọi 
giao đỉêm của DE với AB và AC theo thứ tự tại H và K

a. Chứng minh tam giácAHK cân

b. Gọi I là giao điểm của BE và CD .Chứng minh AI vuông góc víi DE
c. Chøng minh tø gi¸c CEKI néi tiÕp

d. Chøng minh KI // AB

Bài 14 Cho (O;R) và (O;R) cắt nhau tại A và B .Qua B vẽ cát tuyến chung CBD vuông góc với AB .Vẽ cát tuyến
chung EBF bÊt kú ( C,E thuéc (O), E thuéc cung BC , D,F thc (O’))

a. Chøng minh ba ®iĨm A , O , C thẳng hàng và A ,O , D thẳng hàng

b. Gi K l giao im của các đờng thẳng CE và DF . Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp
c. Chứng minh điểm K thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD

d. Khi E di chuyển trên cung BC thì K di chuyển trên đờng nào

Bài 15 Cho đờng tròn (O;R) và dây BC < 2R các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau ở A .Điểm M bất kỳ trên
cung nhỏ BC . Gọi H,I,K lần lợt là hình chiếu của M trên BC , CA, AB . BM cắt IK tại P , CM cắt IH tại Q.
Chứng minh

a. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp
b. MI2 = MH.MK

c. Tứ giác PIQM nội tiếp
d. PQ vuông góc với MI
Bµi 16

Cho đường trịn tâm O, vẽ dây cung BC khơng đi qua tâm.Trên tia đối của tia BC lấy điểm M bất kì.Đường
thẳng đi qua M cắt đường (O) lần lượt tại hai điểm N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O năm bên trong góc
PMC. Trên cung nhỏ NP lấy điểm A sao cho cung AN bằng cung AP.Hai dây cung AB,AC cắt NP lần lượt tại
D và E.

a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
b) Chứng minh : MB.MC = MN.MP

c) Bán kính OA cắt NP tại K. Chứng minh:

MK



MB MC

.

Bài 17. (3,5 điểm)Cho đường trịn O, đường kính AB = 2R. Điểm C năm trên tia đối của tia BA sao cho BC =
R. Điểm D thuộc đường tròn tâm O sao cho BD = R. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại M.

1. Chứng minh rằng:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) AB.AC = AD. AM.

c) CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

2. Đường tròn tâm O chia tam giác ABM thành hai phần, tính diện tích phần tam giác
ABM nằm ngồi đường trịn tâm O theo R.

Bµi 18 Cho đường trịn (O), đường kính MN và dây cung PQ vng góc với MN Tại I ( khác M, N). trên 
cung nhỏ NP lấy điểm J (khác N, P). Nối M với J cắt PQ tại H.

a) Chứng minh: MJ là phân giác của góc PJQ.
b) Chứng minh: tứ giác HINJ nội tiếp.

c) Gọi giao điểm của PN với MJ là G; JQ với MN là K. Chứng minh GK// PQ.
d) Chứng minh G là tâm đường tròn nội tiếp PKJ .

Bµi 19 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai 
điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường trịn (O) (E khơng trùng với A và B). Đường
thẳng d đi qua điểm E và vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N.

1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh



ENI



EBI

và



MIN 90



0.
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI .

4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB khơng chứa E của đường trịn (O). Hãy tính diện tích của tam
giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Bµi 20

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn đường kính AD . Gọi M là một
điểm di động trên cung nhỏ AB ( M không trùng với các điểm A và B)
a/ Chứng minh rằng MD là đường phân giác của góc BMC

b/ Cho AD = 2R . Tính diện tích tứ giác ABDC theo R

c/ Gọi K là giao điểm của AB và MD , H là giao điểm của AD và MC
Chứng minh rằng ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy.

Bµi 21

Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B, C
là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng AH.AO = AD.AE

c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua điểm O kẻ đường thẳng
vng góc với OA cắt tia AB tại P và cắt tia AC tại Q.

Chứng minh rằng IP + KQ PQ.

Bài 22: Trên nửa đờng trịn đờng kính BC, lấy hai điểm M, N sao cho M thuộc cung BN. Gọi A là giao điểm 
của BM và CN. H là giao điểm của BN và CM.

a) CMR: tø gi¸c AMHN néi tiÕp.

b) CM : Δ ABN đồng dạng Δ HCN.
c) Tính giá trị của S = BM.BA + CN.CA
Bài 23

Cho đường tròn (C) tâm O. Từ 1 điểm A ngoài (C) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với (C) (B,C là 2 tiếp điểm). Vẽ
đường thẳng (d) qua C và vng góc với AB, (d) cắt đường thẳng AB tại H. cắt (C) tại E, C và cắt đường thẳng
OA tại D.

1) Chứng minh rằng CH // OB và tam giác OCD cân .
2) Chứng minh rằng tứ giác OBDC là hình thoi .

3) M là trung điểm của EC, tiếp tuyến của (C) tại E cắt đường thẳng AC tại K. chứng minh O, M, K thẳng
hàng .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) và AD là đường kính. Gọi I là điểm chính giữa của cung
nhỏ BC; đường thẳng AI cắt dây cung BC và đường thẳng DC lần lượt tại E,M ; đường thẳng DI cắt dây cung
BC và đường thẳng AB lần lượt tại F, N.

a / C/m hai tam giác IAN và IDM đồng dạng .
b / C/m tứ giác ANMD là tứ giác nội tiếp.
c / C/m đẳng thức: IE.IA = IF.ID

d / C/m OI vng góc với MN
Bài 25:

Cho hình vng ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường
thẳng vng góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.

1. Chứng minh : BHCD là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh : KM  DB.

3. Chứng minh KC.KD = KH.KB

4. Ký hiệu SABM, SDCM lần lượt là diện tích của tam giác ABM, DCM. Chứng minh tổng (SABM + SDCM)
khơng đổi. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để (SABM2 SDCM2 ) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ
nhất đó theo a.

Bµi 26

Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến Ax của đường tròn, lấy điểm M sao cho
AM = 2R. Vẽ tiếp tuyến MC đến đường tròn. (C là tiếp điểm)

1. Chứng minh: BC // MO.

2. Giả sử đường thẳng MO cắt AC ở I. Tính đoạn MC và AI theo R.

3. Giả sử đường thẳng MB cắt đường tròn tại N (khác B). Chứng minh tứ giác MNIA nội tiếp được
đường tròn.

Bài 27

Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường trịn đó (C khác A, B). Lấy điểm D
thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.

1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh DA.DE = DB.DC

3) Chứng minh CFD OCB  . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp
tuyến của đường tròn (O) .

4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB 2  .

Bài 28. Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M B và M C). Qua B kẻ đờng thẳng vng góc với
tia DM cắt các đờng thẳng DM, DC theo thứ tự tại E và F.

1) Chứng minh các tứ giác: ABED và BDCE nội tiếp đờng trịn.
2) Tính góc CEF.

3) Đờng thẳng AM cắt đờng thẳng DC tại N. Chứng minh đẳng thức:
1

AD2 =

1
AM2 +

1
AN2 .

Bµi 29

Cho tam giác ABC vng ở A có AB < AC, đờng cao AH. Đờng trịn đờng kính AH cắt AB 
ở P, cắt AC ở Q.

1.Chøng minh PHQ = 900.

2.Chøng minh tø gi¸c BPQC néi tiÕp.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4.TÝnh diện tích tứ giác EPQF trong trờng hợp tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = a và

ACB= 300.

Bài 30: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau
tại H.

a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF. Chứng minh: MN // EF.
c) Chứng minh rằng OA  EF.

Bµi 31: Cho đường trịn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường trịn. Tiếp tuyến tại B của
đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F.

a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE

c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.

d) Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: S1  S2  S.

Bµi 32: Cho tam giác ABC vng tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ). Đường trịn đường
kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:

a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) NM là tia phân giác của góc ANI .

c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2.

Bµi 33: Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng đi qua tâm
O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại điểm thứ hai là M.

a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC.

b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội
tiếp và HK // CD.

c) Chứng minh: OK.OS = R2.

Bµi 34: Cho tam giác ABC vng ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ
nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh:

1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

3) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường trịn đường kính BH và HC.

Bµi 35: Cho đường trịn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > AB
và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi
P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.

1) Chứng minh rằng: DE//BC

2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
3) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F.
Chứng minh hệ thức:

CE =

CQ +

1
CF

Bµi 36: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC; AT là tiếp
tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vng góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường
tròn tại K (KT). Đặt OB = R.

a) Chứng minh OH.OA = R2.

b) Chứng minh TB là phân giác của góc ATH.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

d) Chứng minh 3a −9

√

a
(

√

a −3)(

√

a+3)=

√

a(

√

a −3)
(

√

a −3)(

√

a+3)=

√

a

√

a+3

Bµi 37: Cho 2 đường trịn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O ) lần
lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng OA cắt (O),(O ) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.

1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O ) (P  (O), Q (O ) ).
Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.

Bµi 38. Cho đường trịn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường trịn đó (C khác A , B ). Lấy điểm D
thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.

1) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC.

3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng IC là tiếp tuyến
của đường trịn (O) .

Bµi 39. Cho hai đường trịn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung DE của hai
đường tròn với D  (O) và E  (O’) sao cho B gần tiếp tuyến đó hơn so với A.

1) Chứng minh rằng DAB BDE  .

2) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE.

3) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh rằng PQ song song với
AB.

Bµi 40. Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M
trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.
1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

3) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao
cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.

Bµi 41: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B, C thứ tự là
các tiếp điểm thuộc (O; R) và (O’; R’)).

a) Chứng minh BAC = 900 .

b) Tính BC theo R, R’.

c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn (O) (DA), vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn

(O’) (E (O’)). Chứng minh BD = DE.

Bµi 42: Cho đường trịn (O), từ điểm A ngồi đường trịn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B, C (AB
< AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua (O) cắt đường tròn (O) tại D; E (AD < AE). Đường thẳng vng
góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.

a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.

b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O), chứng minh DM AC.
c) Chứng minh: CE . CF + AD . AE = AC2.

Bài 43: Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi C là điểm thuộc nửa đường trịn ( C khác A và C khác B ). Kẻ
đường cao CH của tam giác ABC và đường cao HK của tam giác HBC.

1) Chứng minh CH.BC = HK.AB.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 44: Cho đường trịn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O). Trên Ax lấy điểm M sao cho
AM > AB, MB cắt (O) tại N (N khác B). Qua trung điểm P của đoạn AM, dựng đường thẳng vng góc với
AM cắt BM tại Q.

a) Chứng minh tứ giác APQN nội tiếp đường tròn.

b) Gọi C là điểm trên cung lớn NB của đường tròn (O) (C khác N và C khác B).

Chứng minh: BCN OQN 

c) Chứng minh PN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Giả sử đường tròn nội tiếp ANP có độ dài đường kính bằng độ dài đoạn OA.

Tính giá trị của

AM
AB

Câu 45 : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối
với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E;
MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).

a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ADE ACO  .

c) Vẽ CH vng góc với AB (H  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.

Câu 46 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt
nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai F. Chứng minh rằng:

1) Tứ giác OEBM nội tiếp.
2) MB2 = MA.MD.

3) BFC MOC  .
4) BF // AM

Câu 47 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường trịn (O) tại A lấy điểm M ( M khác 
A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vng góc với AB (H AB ), MB cắt (O)

tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AKNH là tứ giác nội tiếp.
b) AM2 = MK.MB

c) Góc KAC bằng góc OMB
d) N là trung điểm của CH.

Bài 48:Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Lấy điểm A trên tia đối của tia CB.Kẻ tiếp tuyến AF với nửa 
đường tròn (O) ( F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D ( tia tiếp tuyến Bx
nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)) .Gọi H là giao điểm của BF với DO ; K là giao điểm
thứ hai của DC với nửa đường tròn (O).

a/ Chứng minh rằng : AO.AB=AF.AD.
b/ Chứng minh tứ giác KHOC nội tiếp.

c/ Kẻ OM BC ( M thuộc đoạn thẳng AD).Chứng minh 

BD DM
= 1
DM AM

Bài 49 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai 
đường cao BD và CE của tam giác ABC (DAC, EAB)

a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn

b. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I
thẳng hàng

c. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng 2 2 2

1 1 1

DK DA DM

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

bất kỳ ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB ; AC ( P thuộc AB ;
Q thuộc AC)

1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn

2- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ .Chứng minh OH PQ
3- Chứng minh rằng : MP +MQ = AH

Bài 51 : Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O). VẼ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát
tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O). Đoạn thẳng OM cắt AB và (O) theo thứ
tự tại H và I.

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn
b) MC.MD = MA2

c) OH.OM + MC.MD = MO2
d) CI là tia phân giác góc MCH

Bài 52 : Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA=3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường 
tròn (O),với P và Q là 2 tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ.Gọi N là giao
điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.

1.Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.
2.Chứng minh KA2=KN.KP

3.Kẻ đường kính QS của đường tròn (O).Chứng minh tia NS là tia phân giác của gócPNM.
4. Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK .Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R.

Bài 1 Cho tam giác ABC đờng cao AH và BK cắt nhau tại I 
a) chứng minh tứ giác HIKC nội tiếp

b) Chøng minh gãc BAH = gãc ICH

c) M là điểm đối xứng với I qua AC Chứng minh M thuộcđờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 2 Cho nửa đờng trịn ( O) đờng kính AB =2R Kẻ tiếp tuyến Bx với đờng tròn Gọi C và D là 2 điểm bất kỳ 
thuộc nửa đờng tròn (khác A,B) Tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại I và K .Chứng Minh

a) Tam gi¸c ADB ~ Tam gi¸c BDK
b) Tø gi¸c CDKI néi tiÕp

c) AC.AI = AD.AK và có giá trị khơng đổi khi C,D di chuyển trên nửa đtròn (O)

Bài 3 Từ một điểm C nằm ngồi đờng trịn (O) kẻ đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi P là
điểm chính giữa của cung lớn AB từ P kẻ đờngkính PQ cắt AB tại D Gọi I là giao điểm của CP với nửa đơng tròn
(O) . IQ cắt AB tại K

a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp
b) CI.CP = KC.CD

c) IC là phân giác ngoài của tam gi¸c AIB

Bài 4 Cho tam giác ABC vng tại A .Một điểm D nằm giữa A và B đờng tròn đờng

kính BD cắt BC tại E .Các đờng thẳng CD và AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai là F và G .chứng
minh

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b. Tø gi¸c ADEC , Tø gi¸c ACBF néi tiÕp
c. AC // FG

d. AC , DE, BF đồng quy

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A đờng cao AH trên nửa mặt phẳng bờ là BC chứa điểm A vẽ nửa đờng trịn 
đờng kính BH cắt AB tại E.Vẽ nả đờng trịn đờng kính HC cắt AC tại F .Chứng minh

a. Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b. AE.AB = AF.AC

c. Tø gi¸c BEFC néi tiÕp

Bài 6 Cho tam giác ABC nhọn vẽ đờng trịn (O) đờng kính BC cắt AB tại K và AC tại H .BH cắt CK tại I 
a. Chứng minh AI vng góc vi BC

b. AI cắt BC tại D . Chứng minh tø gi¸c BKID néi tiÕp

c. Chứng minh CK là phân giác của góc DKI và I là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác DKH

Bài 7 Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB,CD vng góc với nhau . gọi M là Trung điểm của CO , N là giao 
điểm của AM với đờng tròn . Tiếp tuyến với đờng tròn tại N cắt đờng trung trực của CO tại I. Chứng minh

a. Tø gi¸c OMNB, OMNI néi tiÕp
b. AM.AN = AO.AB = 2R2

c. Tứ giác AMOI là hình bình hành

Bi 8 Cho im A nm ngoi ng trũn (O:R).Từ A vẽ tiếp tuyến AB ,AC và cát tuyến ADE với đờng tròn (O) 
.Gọi H là trung điểm của DE

a. Chứng minh A,B ,O,H,C cùng thuộc một đờng trịn
b. Chứng minh HA là phân giác của góc BHC

c. DE cắt BC tại I, Chứng minh AB2 =AI.AH

d. Cho AB = R.(căn 3) và OH = R/2 .Tính HI theo R

Bài 9 Cho tam giác ABC cân tại A nộitiếp đờng trịn (O). Tia phân giác của góc ACB cắt AB tại M cắt (O)Tại E ,
Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở N cắt (O) ở D. Chứng minh

a. Tam gi¸c BCE ~ Tam giác MBE và EB2=ME.EC
b. MN // BC

c. Tứ giác MNDE néi tiÕp

Bài 10 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB .Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB .Gọi I là Trung 
điểm của MN .Từ A kẻ tia Ax vng góc với MN tại K.Gọi C là giao điểm của Ax với BI

a. Chøng minh BN // MC

b. Chứng minh tứ giác OIKC là hình chữ nhật .

c. Tip tuyn Bt vi ng trũn (O) ở B cắt AM tại E cắt Ax tại F . Gọi D là giao điểm thứ hai của Ax với
đ-ờng tròn (O) . Chứng minh tứ giác DMEF .

Bài 11 Cho nửa đờng tròn (O ) đờng kính CD và điểm A thuộc nửa đờng trịn (O) . Từ A kẻ đờng thẳng song 
song với CD . Từ D kẻ đờng thẳng song song với AC . Hai đờng thẳng này cắt nhau tại B . Kẻ AH vng góc với
CB .

a. Chứng minh bón điểm A, B, D, H cùng thuộc một đờng tròn .
b. Gọi E là giao điểm của CB với nửa đờng tròn (O) .

Chøng minh BC. AE = AB. AD

Bài 12 Trên đờng trịn (O;R) đờng kính AB . Lấy hai điểm M và E theo thứ tự A,M,E,B ( M và E khác A và B ). 
AM cắt BE tại C . AE cắt BM tại D .

a. Chøng minh tứ giác MCED nội tiếp và CD vuông góc với AB .
b. Gọi H là giao điểm của CD và AB . Chøng minh BE.BC = BH.BA .

c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên CD .
d. Cho góc BAM = 450 và góc BAE = 300 . Tính diện tích của tam giác ABC theo R.

Bài 13 Cho đờng trịn (O;R) . Đờng kính AB cố định , CD là đờng kính di động ( CD khơng trùng với AB và CD 
khơng vng góc với AB ) .

a. Chứng minh ACBD là hình chữ nhật .

b. Các đờng thẳng BC và BD cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) lần lợt tại E và F . Chứng minh tứ giác
CDEF nội tiếp .

c. Chøng minh AC .AD = CE . DF .

Bài 14 Cho nửa đơng trịn (O) đờng kính BC vẽ dây AB .gọi I là điểm chính giữa của cung BA . K là giao điểm

của OI với BA

a. Chøng minh OI // CA

b. Từ A vẽ đờng thẳng song song với CI cắt BI tại H .Chứng minh .Tứ giác IHAK nội tiếp
c. Gọi P là giao điểm của KH và BC .Chứng minh AC.BK = BC.KP

Bµi 15 Cho tam giác ABC vuông cân tại C . E là một điểm tuỳ ý nằm trên cạnh BC không trùng với B và C . qua
B kẻ một tia vuông góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K . Chứng minh

a. Tứ giác BHCA néi tiÕp
b. KC.KA= KH.KB

c. Khi E di chuyển trên BC thì BE.BC +AE.AH khơng đổi

Bài 16 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy điểm M . Đờng thẳng đi qua A 
song song với BM cắt CM tại N

a. Chứng minh tam giác AMN đều
b. Chứng minh MA + MB = MC

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 17 Cho tam giác ABC nhọn nội tiép đờng tròn (O;R) .Gọi E và K theo thứ tự là chân đờng cao kẻ từ đỉnh 
B ,C của tam giác ABC các đờng thẳng BE và CK cắt (O;R)tai điểm thứ hai theo thứ tự là M và N

a. Chøng minh tø gi¸c BCEK néi tiÕp
b. Chøng minh KE // MN

c. Gäi D lµ trung điểm của AC, SOAC là diện tích tam giác AOC , SABC là diện tích tam giác ABC .Chứng
minh R/BD + SOAC/SABC ≥ 1

Bài 18 Cho tam giác ABC có các góc B,C nhọn các đờng trịn đờng kính AB ,AC cắt nhau tại điểm thứ hai là H. 
(H khác A). Một đờng thẳng d bất kỳ đi qua A lần lợt cắt hai đờng trịn nói trên tại M và N

a. Chøng minh B,H,C th¼ng hµng

b. Gọi P,Q lần lợt là trung điểm của BC và MN .Chứng minh bốn điểm A,H,P,Q cùng thuộc một đờng trịn
c. Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất

Bài 19 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn (O) đờng kính BD. Các đờng chéo AC,BD cắt nhau tại E.Biết AB = 
BC = 4 cm , góc ADC = 600

a. Gäi M,N,P,Q lÇn lợt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA của tứ giác ABCD . Chứng minh tứ giác
MNPQ là hình chữ nhËt

b. Tính độ dài đờng kính BD

c. Xác định điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông

Bài 20 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R) các đờng cao AD, BE cắt nhau tại H (D thuộc BC ,E 
thuộc AC ,AB < AC)

a. Chøng minh Tø gi¸c AEDB, CDHE néi tiÕp

b. Chøng minh CE.CA = CD.CB vµ DB.DC = DH.DA

c. Đờng phân giác trong AN của góc A của tam giác ABC cắt BC tại N cắt đờng tròn (O) tại K ( K khác
A).Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp Tam giác CAN . Chứng minh KO và CI cắt nhau tại một điểm thuộc
đờng tròn (O)

Bài 21 Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) vẽ đờng trịn tâm O đờng kính BC . AT là tiếp tuyến

vẽ từ A .Từ tiếp điểm T vẽ đờng thẳng vng góc với BC ,đờng ttẳng này cắt CB tại H và cắt đớng tròn tại T’ .Đặt
OB = R

a. Chøng minh OH.OA = R2

b. Chøng minh BT là phân giác của góc ATH

c. T B vẽ đờng thẳng song song với TC .Gọi D và E lần lợt là giao điểm của đờng thẳng vừa vẽ với TT’ và
TA . Chứng minh tam giác TED cân

d. Chøng minh HB.AC = AB.HC

Bài 22 Cho hình bình hành ABCD ,có đỉnh D nằm trên đờng trịn Đờng kính AB hạ DM và BN cùng vng góc 
với đờng chéo AC .Chứng minh

a. Tø gi¸c CBMD néi tiÕp

b. Khi B di động trên đờng trịn thì góc BMD + góc BCD khơng đổi
c. DB.DC = DN.DA

Bài 23 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC .Hai tiếp tuyến tại 
C và D với đờng tròn (O)cắt nhau tại E .Gọi P và Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và CD,AD và
CE

a. Chøng minh BC // DE

b. Chøng minh tø gi¸c CODE ,APQC nội tiếp
c. Tứ giác BCQD là hình gì

Bi 24 Cho tam giác ABC cân ở A có góc A nhọn .đờng thẳng vng góc với AB tại A cắt BC ở E ,kẻ EN vng

góc với AC .Gọi M là trung điểm của BC ,hai đờng thẳng AM và EN ct nhau F

a. Các tứ giác nào cã thĨ néi tiÕp ? v× sao?
b. CHøng minh EB là phân giác của góc AEF

c. Chng minh M l tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFN

Bài 25 Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn ,Góc A = 450 vẽ đờng cao BD và CE của tam giác Tam giác 
ABC ,gọi H là giao điểm của BD và CE

a. Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp
b. Chøng minh HD = DC

c. TÝnh tû sè DE/BC

d. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,Chứng minh OA vng góc với DE

Bài 26 Cho đờng tròn (O) dây CD .Trên tia đối của tia CD láy điểm M .Kẻ tiếp tuyến MA,Mbtới đờng tròn (O), 
(A,B là các tiếp điểm) gọi H là trung điểm của CD .AB giao với OH tại P và giao với OM tại E .Chứng minh

a. Tø gi¸c EHPM néi tiÕp
b. OH.OP = OE.OM

c. Tam gi¸c MED ~ Tam gi¸c MCO

d. Góc CED khơng đổi khi N di chuyển trên tia đối của tia CD

Bài 27 Cho đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B kẻ đờng kính AOC, AO’D .Một cát tuyến qua B cắt hai 
đ-ờng tròn này tại M và N ( M thuộc (O) , N Thuộc (O’)) MC cắt ND tại I

a. Chứng minh C,B,D thẳng hàng
b. Chứng minh tứ giác AMIN néi tiÕp
c. Chøng minh tø gi¸c CAID néi tiÕp

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 28 Cho Axlà tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) .A là tiếp điểm ,lấy B thuộc Ax sao cho AB < 2R .Gọi M là 
trung điểm của AB đờng thẳng vng góc với AB tại M cắt (O) ở H và K ( H nằm giữa M và K )

a. Chøng minh tam gi¸c AMH ~ tam gi¸c AMK
b. Chøng minh AB2 = 4MH.HK

c. AH cắt KB tại D .Chứng minh tứ giác AMDK nội tiÕp

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 29 Cho tam giác ABC vuông tại A .Trên AB lấy điểm D( D khác A và B ) Đờng trịn đờng kính BD cắt BC tại
E .Đờng thẳng AE cắt đờng trịn đờng kính BD tại điểm thứ hai là G .Đờng thẳng CD cắt đờng trịn đờng kính
BD tại điểm thứ hai là F .Gọi S là giao điểm của AC và BF .Chứng minh

a.AC // FG

b. SA.SC = SB.SF ( Nam Định 1998 - 1999 )
c.ES là phân giác của góc AEF

Bi 30 Cho tam giác PBC nhọn . PA vng góc với BC ,vẽ đờng trịn đờng kính BC nó
Cắt PB và PC theo thứ tự ở M và N .NA cắt đờng trịn đờng kính BC tại E

a. Chứng minh bốn điểm A,B,P,N cùng thuộc một đờng tròn xác định tâm đờng trịn đó
b. Chứng minh ME vng góc với BC ( Nam Định 2000 – 2001)

c. Gọi F đối xứng với N qua BC .Chứng minh AM.AF = AN.AE

Bài 31 Cho tam giác ABC vuông tại A. trên cạnh AC lấy điểm M khác A và C .Vẽ đờng trịn (O) đờng kính

MC .Gọi T là giao điểm thứ hai của (O) với BC .Nối MB kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là D .AD cắt đờng tròn
(O) tại điểm thứ hai là S .Chứng minh

a. Tø gi¸c ABTM néi tiÕp

b. Khi M di chuyển trên AC thì góc ADM có số đo khơng đổi

c. AB // TS (Nam Định 2001 -2002 )

Bài 32 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD ,AB > CD ) nội tiếp đờng tròn (O) .Tiếp tuyến với (O) tại A và D 
cắt nhau tại E .Gọi I là giao điểm của AC và BD

1. Chøng minh tø gi¸c AEDI néi tiÕp
2. Chøng minh EI // AB

3. EI cắt AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S .Chứng minh
a. I là trung điểm của RS (Nam Định 2002 -2003)
b. 1/AB + 1/CD = 2/RS

Bài 33 Cho đường trịn (O) có tâm là điểm O và một điểm A nằm ngồi đường trịn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP
và AQ với đường tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đường thẳng đi qua O và vng góc với OP và cắt đường
thẳng AQ tại M.

a) Chøng minh r»ng: MO = MA. (Nam Định 2003 -2004)

b) Lấy điểm N trên cung PQ của đờng tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đờng trũn (O) ct cỏc tia AP v AQ

tơng ứng tại B vµ C.

b1) Chứng minh rằng: AB + AC - BC khơng phụ thuộc vào vị trí của N.

b2) Chứng minh rằng: Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng trịn thì PQ // BC

Bài 34. Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R . Đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai 
điểm phân biệt chuyển động trên d sao cho M, Qkhác A . Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại
các điểm thứ hai là N và P .

Chøng minh .

4. Tích BM. BN khơng đổi. (Nam Định 2004 – 2005 )
5. Tứ giác MNPQ nội tiếp .

6. BN + BP + BM + BQ > 8R

Bài 35. Cho dây BC cố định của đờng tròn (O; R) (0< BC < 2R ) . Alà điểm di động trên cung lớn BC sao cho 
tam giác ABC nhọn . Các đờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H .

3. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp từ đó suy ra AE.AC = AF .AB.
4. Gọi A’ là trung điểm của BC . Chứng minh AH= 2A’O .

Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . Đặt S là diện tích của tam giác ABC , 2P là chu vi của tam
giác DEF.

a. Chøng minh d // EF .

b. Chøng minh S= P.R (Nam Định 2005 2006 )

Bài 36. Cho đờng trịn (O) một đờng kính AB cố định . Từ một điểm I nằm giữa Avà O sao cho AI= 2/3 AO . Kẻ 
dây MN vuụng gúc vi AB ti I .

Gọi Clà một điểm t ý thc cung lín MN sao cho C kh«ng trùng với M,N,B . Nối AC cắt MN tại E . Chøng

minh .

d. Tø gi¸c IECB néi tiÕp .

e. Tam giác AME ~ tam giác ACM và AM2 = AE.AC.

f. AE.AC – AI.IB = AI2 (Nam Định 2006-2007)

Bi 37. Cho ng trũn (O) và hai điểm AB phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O . 
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A . Từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME,MF với đờng tròn (E,F là các
tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của dây AB . Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với
các đờng thẳng OM và OH . Chứng minh .

d. Năm điểm M,O,H,E,F cùng thuộc một đờng tròn .
e. OH.OI = OK.OM .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 38 Cho đờng trịn (O;R) có đờng kính AB .điểm I nằm giữa hai điểm A và O .Kẻ đờng thẳng vng góc với 
AB tại I đờng thẳng này cắt (O;R) tại M và N .Gọi S là giao điểm của hai đờng thẳng BM và AN .Qua S kẻ đờng
thẳng song song với MN đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H .Chứng minh

g. Tø gi¸c SKAM néi tiÕp vµ HS.HK = HA.HM

h. KM lµ tiÕp tun cđa (O;R) (Nam Định 2008 -2009)
i. Ba điểm H,N,B thẳng hàng

Bi 39 Cho (O;R) .Hai điểm C và D thuộc Đờng tròn ,B là điểm chính giữa của cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA 
trên tia đối của tia AB lấy điểm S .Nối SC cắt (O) tại M . MD cắt AB tại K ,MB cắt AC tại H .Chứng minh

a. Tø gi¸c AMHK néi tiÕp

b. HK // CD ( B¾c Giang 2003 -2004 )
c. OK.OS =R2

Bài 40 Cho tam giác ABC vuông tại C có BC = 1/2BA trên cạnh BC lấy điểm E ( E khác B ,C ) .Từ B kẻ đờng 
thẳng d vng góc với AE .gọi giao điểm của d với AE ,AC kéo dài lần lợt là I và K

a .Tính độ lớn của góc CIK
b. Chứng minh KA.KC = KB.KI

c . Gọi H là giao điểm của đờng tròn đờng kính AK với AB .

Chøng minh H , E, K thẳng hàng ( Hng Yên 2001 – 2002 )
d. Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC

Bi 41 Cho tam giác ABC vuông tại A .Gọi H là chân đờng cao hạ từ A xuống BC .Đờng tròn tâm A bán kính 
AH cắt AB và AC lần lợt tại M và N .Phân giác của góc AHB và góc AHC cắt MN lần lợt ở I và K

a. Chøng minh tø gi¸c HKNC néi tiÕp

b. Chøng minh HI/AB = HK/AC ( Chung LHP Nam Định 1998 1999 )

c. Gọi S và S lần lợt là diện tích của tam giác ABC và tam giác AMN .Chứng minh S ≥ 2S’

Bài 42 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn (O) . D là mộtđiểm trên cung BC không chứa A ( D khác B 
,C ) .Trên tia DC lấy điểm E sao cho

DE = DA

a. Chứng minh tam giác ADE đều

b. Chøng minh tam gi¸c ABD = tam gi¸c ACE

c. Khi D di động trên cung BC không chứa A ( D khác B , C ) thì E chạy trên đờng nào ( Chung
LHP Nam Định 2005 –2006 )

Bài 43 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B .Đờng kính AC của (O) cắt (O’) tại điểm thứ hai là 
E .Đờng kính AD của (O’) cắt (O) tại điểm thứ hai là F

f. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp ( Bắc Ninh 2002 – 2003)
g. Chứng minh ba điểm C,B,D thẳng hàng và tứ giác OO’EF nội tiếp
h. Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BEF

i. Chứng minh ba đờng thẳng CF , DE,AB đồng quy

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 44 Cho tứ gíac ABCD nội tiếp đờng tròn (O) (AB > AC , AD >DC ) .Gọi E là giao điểm của AB và CD , F là 
giao điểm của AD và BC

a. Chøng minh EF vu«ng gãc víi AC
b. Chøng minh DA.DF = DC.DE

c. đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AC ở M (M khác A) .Gọi I là giao điểm của AC và BD .Chứng
minh tứ giác DIMF ni tip

d. Gọi H là giao điểm của AC vµ EF .Chøng minh AI.AM = AC.AH

Bài 45 Cho nửa (O;R) ,đờng kính AB . C là điểm chính giữa của cung AB .một điểm M thuộc cung AC (M khác 
A,C ) kẻ tiếp tuyến d của nửa (O) tại tiếp điểm M .Gọi H là giao điểm của MB và OC.từ H kẻ một đờng thẳng
song song với AB đờng thẳng đó cắt d

t¹i E

a. Chøng minh tø gi¸c OHME néi tiÕp

b. Chøng minh EH = R ( Chung LHP Nam Định 2007 2008 )

c. K MK vng góc với OC tại K .Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp tam giác OBC đi qua tâm đờng tròn
nội tiếp tam giác OMK

Bài 46 Cho nửa (O) đờng kính AB =2R . C là điểm chính giữa của cung AB .Trên cung AC lấy điểm F bất kỳ 
.Trên dây BF lấy diểm E sao cho BE = AF

a. Chøng minh tam gi¸c AFC = tam gi¸c BEC
b. Chứng minh tam giác FEC vuông cân

c. Gọi D là giao điểm của AC và tiếp tuyến tại B cđa nưa (O) .Chíng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp

d. Giả sử F chuyển động trên cung AC .Chứng minh E chuyển động trên một cung tròn xác định cung trịn
và bán kính cung trịn đó

Bài 47 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) .gọi D và E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB và AC . Gọi 
giao đỉêm của DE với AB và AC theo thứ tự tại H và K

e. Chứng minh tam giácAHK cân

f. Gọi I là giao điểm của BE và CD .Chứng minh AI vuông góc víi DE
g. Chøng minh tø gi¸c CEKI néi tiÕp

h. Chøng minh KI // AB

Bài 48 Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn . vẽ đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB và AC lần lợt tại D 
và E .Gọi giao điểm của DC và BE là H

a. Chøng minh AH vu«ng gãc víi CB

b. Chứng minh đờng trung trực của DH đi qua trung điểm I của AH
c. Chứng minh OE là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE
d. Cho AB = 2R , AB = HC tính BE , EC theo R

Bài 49 Cho (O;R) và (O;R) cắt nhau tại A và B .Qua B vẽ cát tuyến chung CBD vuông góc với AB .Vẽ cát tuyến
chung EBF bÊt kú ( C,E thuéc (O), E thuéc cung BC , D,F thc (O’))

e. Chøng minh ba ®iĨm A , O , C thẳng hàng và A ,O , D thẳng hàng

f. Gi K l giao im của các đờng thẳng CE và DF . Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp
g. Chứng minh điểm K thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD

h. Khi E di chuyển trên cung BC thì K di chuyển trên đờng nào

Bài 50 Cho tam giác ABC ( AC > AB , góc BAC > 900) .I và K theo thứ tự là các trung điểm của AB và AC .Các 
đờng trịn đờng kính AB và AC cắt nhau tại im th hai l

D tia BA cắt (K) tại điểm thứ hai là E , tia CA cắt (I) tại điểm thứ hai là F
a. Chứng minh ba điểm B ,C ,D thẳng hàng

b. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
c. Chứng minh AD, BF, CE đồng quy

d. Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Hãy so sánh các đoạn thẳng

DH ,DE

Bài 52 Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R ,C thuộc nửa đờng tròn (O) . gọi I là điểm chính giữa của 
cung AC . E là giao điểm của AI và BC

a. Tam gi¸c ABE là tam giác gì ? vì sao?

b. Gọi K là giao của AC và BI .Chứng minh EK vuông góc víi AB

c. Gọi F là điểm đối xứng với K qua I . Chứng minh AF là tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O)
d. Khi C di chuyển trên nửa (O) thì E di chuyển trên đờng nào

Bài 53 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) đờng cao AE của tam giác ABC cắt (O) tại F.AD là đờng kính của 
đờng trịn (O)

a. Chøng minh tø gi¸c BFDC là hình thang cân
b. Chứng minh AD.AE = AB.AC

c. Gi H là trực tâm của tam giác ABC .Chứng minh BC là đờng trung tực của HF và DH đi qua trung điểm I
của BC

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15></div>