Luyện thi vào lớp 10(Hình học)

Giáo án ôn hình học lớp 9
Phần II: Hình học
A- Các dạng toán
I/ Các bài toán chứng minh
1 - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 đoạn thẳng bằng nhau:
- Hai đoạn thẳng có cùng số đo
- Hai đoạn thẳng cùng bằng 1 đoạn thẳng thứ 3
- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân, của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một.
- Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác
vuông,
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
- Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác, định nghĩa trung trực
của đoạn thẳng, định nghĩa phân giác của của 1 góc.
- Tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân,
- Tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc 30
0
trong tam
giác vuông.
- Tính chất giao điểm 3 đờng phân giác, 3 đờng trung trực trong tam giác.
- Định lý đờng trung bình của tam giác, đờng trung bình của hình thang.
- Các tính chất của dây cung, cung bằng nhau của đờng tròn.
- Tính chất của các tỉ số bằng nhau.
- Một số định lý nh Talet, Pytago,
- Tính chất 2 đoạn thẳng song song chắn giữa 2 đờng thẳng song song.
2 Chứng minh hai góc bằng nhau
Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 góc bằng nhau:
- Sử dụng 2 góc có cùng số đo.
- Hai góc cùng bằng 1 góc thứ 3, Hai góc cùng phụ cùng bù với 1 góc.
- Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tơng ứng bằng nhau.
- Sử dụng đ/n tia phân giác của 1 góc.

- Hai góc đối đỉnh.
- Sử dụng tính chất của 2 đờng thẳng song song(2 góc đồng vị, 2góc so le, )
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tùcó cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc.
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
- Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung.
- Hai góc ở đáy của 1 tam giác cân, hình thang cân.
- Các góc của 1 tam giác đều.
- Sử dụng các tính chất về góc của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi,
- Sử dụng kết quả của 2 tam giác đồng dạng.
- Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đờng tròn.
- Sử dụng các ỉ số lợng giác sin, cos, tg và cotg của góc nhọn.
3 Chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau
Một số gợi ý để đi đến chứng minh 2 đ ờng thẳng song song với nhau
- Sử dụng đ/n 2 đờng thẳng song song.
- Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đờng thẳng định chứng minh song song với 1 đờng thẳng thứ 3 ( ở
các vị trí đồng vị, so le, )
- Sử dụng các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi,
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3.
- Sử dụng tính chất đờng trung bình của 1 tam giác, hình thang.
- Sử dụng kết quả các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ để suy ra các đờng thẳng tơng ứng song song ( Định
lý Talet ).
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
1
Giáo án ôn hình học lớp 9
4 Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau:
Một số gợi ý để di đến chứng minh 2 đ ờng thẳng vuông góc với nhau:
- Định nghĩa 2 đờng thẳng vuông góc.
- Tính chất 2 tia phân giác của 2 góc kề bù.
- Dựa vào tính chất tổng các góc trong 1 tam giác, đi chứng minh cho tam giác có 2 góc phụ nhau
suy ra góc thứ 3 bằng 90

0
.
- Tính chất đờng thẳng vuông góc với 1 trong 2 đờng thẳng song song.
- Định nghĩa 3 đờng cao của tam giác, định nghĩa đờng trung trực của đoạn thẳng.
- Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn.
- Tính chất của tam giác cân, tam giác đều.
- Tính chất 3 đờng cao của tam giác.
- Định lý Pytago.
- Tính chất đờng kính của đờng tròn đI qua trung điểm 1 dây cung hoặc đi qua điểm chính giữa của
1 cung.
- Định lý nhận biết 1 tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến thuộc 1 cạnh bằng nửa
cạnh ấy.
- Tính chất: Nếu 1 đờng thẳng là tiếp tuyến của 1 đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp
điểm.
- Tính chất 2 tiếp tuyeens cùng xuất phát từ 1 điểm ở ngoài đờng tròn thì đờng thẳng đi qua điểm đó
và tâm đờng tròn phải vuông góc với day nối 2 iếp điểm.
5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Một số gợi ý để đi đến chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
- Sử dụng 2 góc kề bù.
- 3 điểm cùng thuộc 1 tia hoặc 1 đờng thẳng.
- Trong 3 đoạn thẳng nối 2 trong 3 điểm có 1 đoạn thẳng bằng tổng 2 đoạn thẳng kia.
- Hai đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm ấy cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ
3.
- Sử dụng vị trí 2 góc đối đỉnh.
- Đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm có chứa điểm thứ 3.
- Sử dụng tính chất đờng phân giác của 1 góc, tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng, tính chất 3
đờng cao trong 1 tam giác.
- Sử dụng tính chất góc vuông nội tiếp đờng tròn.
- Sử dụng tính chất các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ khi đã có 3 điểm tơng ứng thẳng hàng.
6 Chứng minh các đờng thẳng đồng quy các đờng tròn đồng quy:

Một số gợi ý để đi đến chứng minh 3 đ ờng thẳng đồng quy, các đ ờng tròn đồng quy .
- Tìm giao của 2 đờng thẳng sau đó chứng minh đờng thẳng thứ 3 đI qua giao của 2 đờng thẳng trên.
- Chứng minh 1 điểm thuộc 3 đờng thẳng.
- Sử dụng tính chất các đờng đồng quy trong tam giác.
- Sử dụng tính chất các đờng thẳng định trên 2 đờng thẳng song song những đoạn thẳng tỉ lệ.
- Chứng minh cho các đờng tròn cùng đi qua 1 đểm.
- Tìm giao điểm của 2 đờng tròn, sau đó chứng minh cho các đờng tròn còn lại đI qua giao điểm đó.
7 Chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đờng tròn
Một số gợi ý đẻ đi đến chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đ ờng tròn.
- Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm cố định nào đó.
- Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180
0
.
- Chứng minh từ 2 đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng tạo bởi 2 đỉnh còn lại dới 2 góc bằng nhau.
- Sử dụng định lý: Tổng 2 cạnh đối của 1 tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó ngoại tiếp 1 đờng tròn.
- Chứng minh các cạnh của tứ giác tiếp súc với đờng tròn.
8 Chứng minh các hệ thức trong hình học:
Một số gợi ý để đi đến chứng minh các hệ thức trong hình học
- Tính chất các đoạn thẳng tỉ lệ.
- Định lý Talet thuận, đảo và hệ quả.
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
2
Giáo án ôn hình học lớp 9
- Tính chất đờng phân giác trong tam giác
- Tam giác đồng dạng.
- Các hệ thức lợng trong tam giác vuông.
- Hệ thức giữa cạnh & góc trong tam giác vuông.
B - Các bài tập chọn lọc
1. đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
* Sở giáo dục và đào tạo nam đinh

Năm học: 2000 - 2001
Cho tam giác nhọn PBC , PA là đờng cao . Đờng tròn đờng kính BC cắt PB , PC lần luợt ở M và
N . NA cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là E .
a) Chứng minh 4 điểm A , B, P ,N cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm và bán kính của
đờng tròn đó .
b) Chứng minh : EM

BC .
c) Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh : AM . AF = AN . AE
Năm học: 2001 - 2002
Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A . Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C) Vẽ
đờng tròn (O) đờng kính MC . Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn (O). Nối BM
và kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là D . Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ
hai là S . Chứng minh :
1) Tứ giác ABTM nội tiếp đợc trong một đòng tròn.
2) Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi.
3) Đờng thẳng AB song song với đờng thẳng ST.
Năm học: 2002 - 2003
Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB > CD ) nội tiếp trong một đờng tròn (O) . Tiếp tuyến
với đờng tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E . Gọi I là giao điểm của các đờng chéo AC và BD .
1) Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp trong một đờng tròn .
2) Chứng minh các đờng thẳng EI , AB song song với nhau.
3) Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S . CMR :
a) I là trung điểm của đoạn RS .
b)
1 1 2
AB CD RS
+ =
Năm học: 2003 - 2004
Cho đờng tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn . Từ A kẻ các

tiếp tuyến AP , AQ với đờng tròn (O) , P và Q là các tiếp điểm . Đờng thẳng đi qua O và vuông
góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M .
a) CMR : MO = MA .
b) Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đờng tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt
các tia AP và AQ tơng ứng tại B và C .
1) CMR : AB + AC BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N .
2) CMR nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ // BC.
Năm học: 2004 - 2005
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
3
Giáo án ôn hình học lớp 9
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R . Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . M
và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A . Các đờng thẳng
BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P .
Chứng minh :
1) Tích BM . BN không đổi .
2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc trong đờng tròn .
3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R
Năm học: 2005 - 2006
Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn tâm O , bán kính R ( 0 < BC < 2R ) .A là điểm di động
trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . Các đờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt
nhau tại H (
, , )D BC E CA F AB
.
1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Từ đó suy ra AE .
AC = AF . AB
2) Gọi A là trung điểm của BC . Chứng minh AH = 2 AO .
3) Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . Đặt S là diện tích của tam giác ABC , 2p
là chu vi của tam giác DEF.
a) Chứng minh : d // EF.

b) Chứng minh : S = p . R .
Năm học: 2006 - 2007
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB . Điểm I nằm giữa A và O ( I khác A và O ) . Kẻ dây MN vuông
góc với AB tại I . Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C khác M , N và B ) Nối AC cắt MN
tại E . Chứng minh :
1) Tứ giác IECB nội tiếp .
2)
2
.AM AE AC=
3) AE . AC AI . IB = AI
2
.
Năm học: 2007 - 2008
Cho đờng tròn (O) và hai điểm A , B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua
tâm O . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A , từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến phân
biệt ME , MF với đờng tròn (O) , ( E , F là hai tiếp điểm ) . Gọi H là trung điểm của dây cung
AB ; các điểm K ,I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH .
1) Chứng minh 5 điểm M , H , O , E , F cùng nằm trên một đờng tròn .
2) Chứng minh : OH . OI = OK . OM
3) Chứng minh IA , IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Năm học: 2008 - 2009
Cho đờng tròn (O,R) có đờng kính AB ; điểm I nằm giữa hai điểm A và O . Kẻ đờng thẳng vuông
góc với AB tại I , đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) tại M và N . Gọi S là giao điểm của hai đ-
ờng thẳng BM và AN . Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng
thẳng AB và AM lần lợt ở K và H . Hãy chứng minh :
a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM .
b) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R).
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
4
Gi¸o ¸n «n h×nh häc líp 9

c) Ba ®iÓm H , N, B th¼ng hµng
NguyÔn C«ng Minh – Trêng THCS Nam Hoa
5
Gi¸o ¸n «n h×nh häc líp 9
NguyÔn C«ng Minh – Trêng THCS Nam Hoa
6
Giáo án ôn hình học lớp 9
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau
tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 90
0
( Vì BE là đờng cao)
CDH = 90
0
( Vì AD là đờng cao)
=> CEH + CDH = 180
0

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90
0

.
CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90
0
.
Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90
0
=> E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90
0
; Â là góc chung
=> AEH ADC =>
AC
AH
AD
AE
=
=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90
0
; C là góc chung
=> BEC ADC =>
AC
BC
AD
BE
=
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta có C
1

= A
1
( vì cùng phụ với góc ABC)
C
2
= A
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> C
1
= C
2
=> CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C
=> CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
=> C
1
= E
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
C
1
= E
2
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
E
1
= E
2

=> EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là
tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng
tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng
tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:

CEH = 90
0
( Vì BE là đờng cao)
CDH = 90
0
( Vì AD là đờng cao)
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
7
Giáo án ôn hình học lớp 9
=> CEH + CDH = 180
0
Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90

0
.
AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90
0
.
Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90
0
=> E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90
0
.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =
2
1
BC.
4. Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác
AOE cân tại O => E
1
= A
1
(1).
Theo trên DE =
2
1
BC => tam giác DBE cân tại D => E
3
= B
1

(2)
Mà B
1
= A
1
( vì cùng phụ với góc ACB) => E
1
= E
3
=> E
1
+ E
2
= E
2
+ E
3

Mà E
1
+ E
2
= BEA = 90
0
=> E
2
+ E
3
= 90
0

= OED => DE OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho
tam giác OED vuông tại E ta có ED
2
= OD
2
OE
2
ED
2
= 5
2
3
2
ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M
thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng
thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh COD = 90
0
.
3. Chứng minh AC. BD =
4
2
AB
.
4. Chứng minh OC // BM
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.

6. Chứng minh MN AB.
7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ
nhất.
Lời giải:
1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân
giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90
0
.
3. Theo trên COD = 90
0
nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM
2
= CM. DM,
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R
2
=> AC. BD =
4
2
AB
.
4. Theo trên COD = 90
0
nên OC OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM
=> BM OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
5. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có
IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại
có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC AB => IO AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
8
Giáo án ôn hình học lớp 9
6. Theo trên AC // BD =>
BD
AC
BN
CN
=
, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM
BN
CN
=
=> MN // BD mà BD AB => MN AB.
7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi
tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD
nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M
phải là trung điểm của cung AB.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp
góc
A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24
Cm.

Lời giải: (HD)
1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B
Do đó BI BK hayIBK = 90
0
.
Tơng tự ta cũng có ICK = 90
0
nh vậy B và C cùng nằm trên đờng
tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Ta có C
1
= C
2
(1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
C
2
+ I
1
= 90
0
(2) ( vì IHC = 90
0
).

I
1
= ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O)
Từ (1), (2) , (3) => C
1

+ ICO = 90
0
hay AC OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH
2
= AC
2
HC
2
=> AH =
22
1220

= 16 ( cm)
CH
2
= AH.OH => OH =
16
12
22
=
AH
CH
= 9 (cm)
OC =
225129
2222
=+=+
HCOH

= 15 (cm)
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy
điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là
tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và
AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một
đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng
d
Lời giải:
1. (HS tự làm).
2. Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính
Và dây cung) => OKM = 90
0
. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90
0
; OBM = 90
0
. nh vậy K, A,
B cùng nhìn OM dới một góc 90
0
nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM.

Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R
=> OM là trung trực của AB => OM AB tại I .
Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90
0
nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đờng cao.
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
9
Giáo án ôn hình học lớp 9
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => OI.OM = OA
2
hay OI.OM = R
2
; và OI. IM = IA
2
.
4. Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.
5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH AB; cũng theo trên OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì
qua O chỉ có một đờng thẳng vuông góc với AB).
6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động
nhng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng
thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là
đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.

Lời giải: (HD)
1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến
của BEC => BEC là tam giác cân. => B
1
= B
2

2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B
1
= B
2
=> AHB = AIB
=> AI = AH.
3. AI = AH và BE AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P
sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng
tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng
minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài
cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải:
1. (HS tự làm).
2. Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM là góc ở tâm
chắn cung AM => ABM =
2

AOM
(1) OP là tia phân giác AOM
( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => AOP =
2
AOM
(2)
Từ (1) và (2) => ABM = AOP (3)
Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)
3. Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=90
0
(vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 90
0
(gt NOAB).
=> PAO = NOB = 90
0
; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).
4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ
Ta cũng có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. (6)
Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 90
0
=> K là trung điểm
của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật). (6)
AONP là hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7)
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
10
Giáo án ôn hình học lớp 9
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác APM => APO = MPO (8).
Từ (7) và (8) => IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK PO. (9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.

Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác
A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia
phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Lời giải:
1. Ta có : AMB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> KMF = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
AEB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> KEF = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
=> KMF + KEF = 180
0
. Mà KMF và KEF là hai góc đối
của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
2. Ta có IAB = 90
0
( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông tại A có AM IB ( theo trên).

áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => AI
2
= IM . IB.
3. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí do )
=> ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có AEB = 90
0
=> BE AF hay BE là đờng cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung
điểm của AF. (3)
Từ BE AF => AF HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5)
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là
trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi
đờng).
5. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang.
Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ABM = MAI = 45
0
(t/c góc nội tiếp ). (7)
Tam giác ABI vuông tại A có ABI = 45
0
=> AIB = 45
0
.(8)
Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 45
0
=> AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).

Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa
đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ABD = DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Lời giải:
1. C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng
tròn ) => BC AE.
ABE = 90
0
( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông tại B có BC là
đờng cao => AC. AE = AB
2
(hệ thức giữa cạnh và đờng cao ), mà AB là đ-
ờng kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.
2. ADB có ADB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ).
=> ABD + BAD = 90
0
(vì
tổng ba góc của một tam giác
bằng 180
0
)(1)
ABF có ABF = 90
0

( BF là
tiếp tuyến ).
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
11
Giáo án ôn hình học lớp 9
=> AFB + BAF = 90
0
(vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180
0
) (2)
Từ (1) và (2) => ABD = DFB ( cùng phụ với BAD)
3. Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ABD + ACD = 180
0
.
ECD + ACD = 180
0
( Vì là hai góc kề bù) => ECD = ABD ( cùng bù với ACD).
Theo trên ABD = DFB => ECD = DFB. Mà EFD + DFB = 180
0
( Vì là hai góc kề bù) nên suy
ra ECD + EFD = 180
0
, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác
CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho AM
< MB. Gọi M là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M A. Gọi P là chân
đơng vuông góc từ S đến AB.
1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng
tròn
2. Gọi S là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam

giác PS M cân.
3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn .
Lời giải:
1. Ta có SP AB (gt) => SPA = 90
0
; AMB = 90
0
( nội tiếp chắn
nửa đờng tròn ) => AMS = 90
0
. Nh vậy P và M cùng nhìn AS dới
một góc bằng 90
0
nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AS.
Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Vì Mđối xứng M qua AB mà M nằm trên đờng tròn nên M cũng
nằm trên đờng tròn => hai cung AM và AM có số đo bằng nhau
=> AMM = AMM ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)
Cũng vì Mđối xứng M qua AB nên MM AB tại H => MM// SS ( cùng vuông góc với AB)
=> AMM = ASS; AMM = ASS (vì so le trong) (2).
=> Từ (1) và (2) => ASS = ASS.
Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn => ASP=AMP (nội tiếp cùng chắn AP )
=> ASP = AMP => tam giác PMS cân tại P.
3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS vuông tại M => B
1
= S
1
(cùng phụ với S). (3)
Tam giác PMS cân tại P => S
1

= M
1
(4)
Tam giác OBM cân tại O ( vì có OM = OB =R) => B
1
= M
3
(5).
Từ (3), (4) và (5) => M
1
= M
3
=> M
1
+ M
2
= M
3
+ M
2
mà M
3
+ M
2
= AMB = 90
0
nên suy
ra M
1
+ M

2
= PMO = 90
0
=> PM OM tại M => PM là tiếp tuyến của đờng tròn tại M
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm
D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.
2. DF // BC.
3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4.
CF
BM
CB
BD
=

Lời giải:
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
12
Giáo án ôn hình học lớp 9
1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam giác ADF
cân tại A => ADF = AFD < 90
0
=> sđ cung DF < 180
0
=> DEF < 90
0
( vì
góc DEF nội tiếp chắn cung DE).
Chứng minh tơng tự ta có DFE < 90
0

; EDF < 90
0
. Nh vậy tam giác DEF có
ba góc nhọn.
2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) =>
AD AF
AB AC
=
=> DF // BC.
3. DF // BC => BDFC là hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC cân)
=> BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp đợc một đờng tròn .
4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy của tam giác cân).
BDM = BFD (nội tiếp cùng chắn cung DI); CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF .
=> BDM CBF =>
CF
BM
CB
BD
=
Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn
thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp
tuyến tại N của đờng tròn ở P. Chứng minh :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn
thẳng cố định nào.
Lời giải:
1. Ta có OMP = 90
0

( vì PM AB ); ONP = 90
0
(vì NP là tiếp tuyến ).
Nh vậy M và N cùng nhìn OP dới một góc bằng 90
0
=> M và N cùng nằm
trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ONC = OCN
=> OPM = OCM.
Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 90
0
; OPM = OCM => CMO = POM lại
có MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 90
0
( gt CD AB); DNC = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng
tròn ) => MOC =DNC = 90
0
lại có C là góc chung => OMC NDC
=>
CM CO
CD CN
=
=> CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R
2

không đổi => CM.CN =2R
2
không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 90
0
=> P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc
với CD tại D.
Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên doạn thẳng A B song song và bằng AB.
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa
điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F.
1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.
2. BEFC là tứ giác nội tiếp.
3. AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn .
Lời giải:
1. Ta có : BEH = 90
0
( nội tiếp chắn nửc đờng tròn )
=> AEH = 90
0
(vì là hai góc kề
bù). (1)
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
13
Giáo án ôn hình học lớp 9
CFH = 90
0
( nội tiếp chắn nửc đờng tròn )
=> AFH = 90
0

(vì là hai góc kề bù).(2)
EAF = 90
0
( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).
2. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đợc một đờng tròn =>F
1
=H
1
(nội tiếp chắn cung
AE) . Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (O
1
) và (O
2
) => B
1

= H
1
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => B
1
= F
1
=> EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE
+ EFC = 180
0
(vì là hai góc kề bù) => EBC+EFC = 180
0
mặt khác EBC và EFC là hai góc đối
của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.

3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có A = 90
0
là góc chung; AFE = ABC ( theo Chứng
minh trên) => AEF ACB =>
AE AF
AC AB
=
=> AE. AB = AF. AC.
* HD cách 2: Tam giác AHB vuông tại H có HE

AB => AH
2
= AE.AB (*)
Tam giác AHC vuông tại H có HF

AC => AH
2
= AF.AC (**)
Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC
4. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân tại I => E
1
= H
1
.
O
1
EH cân tại O
1
(vì có O
1

E vàO
1
H cùng là bán kính) => E
2
= H
2
.
=> E
1
+ E
2
= H
1
+ H
2
mà H
1
+ H
2
= AHB = 90
0
=> E
1
+ E
2
= O
1
EF = 90
0
=> O

1
E EF .
Chứng minh tơng tự ta cũng có O
2
F EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn .
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB
các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.
Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của
EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K).
1. Chứng minh EC = MN.
2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ-
ờng tròn (I), (K).
3. Tính MN.
4. Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng
tròn
Lời giải:
1. Ta có: BNC= 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K)
=> ENC = 90
0
(vì là hai góc kề bù). (1)
AMC = 90
0
( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 90
0
(vì là hai góc kề bù).(2)
AEB = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 90

0
(3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật )
2. Theo giả thiết EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (I) và (K)
=> B
1
= C
1
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => C
1
= N
3

=> B
1
= N
3
.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân tại K => B
1
= N
1
(5)
Từ (4) và (5) => N
1
= N
3
mà N
1
+ N
2

= CNB = 90
0
=> N
3
+ N
2
= MNK = 90
0
hay
MN KN tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N.
Chứng minh tơng tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M,
Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K).
3. Ta có AEB = 90
0
(nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông tại A có EC AB (gt)
=> EC
2
= AC. BC EC
2
= 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm.
4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm
Ta có S
(o)
=

.OA
2
=

25

2
= 625

; S
(I)
=

. IA
2
=

.5
2
= 25

; S
(k)
=

.KB
2
=

. 20
2
= 400

.
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
14

Giáo án ôn hình học lớp 9
Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S =
1
2
( S
(o)
- S
(I)
- S
(k)
)
S =
1
2
( 625

- 25

- 400

) =
1
2
.200

= 100



314 (cm

2
)
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính
MC. đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM,
CD đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Lời giải:

1. Ta có CAB = 90
0
( vì tam giác ABC vuông tại A); MDC = 90
0
( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> CDB = 90
0
nh vậy D và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 90
0
nên A và D cùng nằm trên đờng
tròn đờng kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. ABCD là tứ giác nội tiếp => D
1
= C
3
( nội tiếp cùng chắn cung AB).
D
1

= C
3
=>
ẳ
ẳ
SM EM=
=> C
2
= C
3
(hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung bằng nhau)
=> CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC nh vậy BA, EM, CD là ba đờng cao của tam giác
CMB nên BA, EM, CD đồng quy.
4. Theo trên Ta có
ẳ
ẳ
SM EM=
=> D
1
= D
2
=> DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
5. Ta có MEC = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 90
0
.
Tứ giác AMEB có MAB = 90
0

; MEB = 90
0
=> MAB + MEB = 180
0
mà đây là hai góc đối nên tứ
giác AMEB nội tiếp một đờng tròn => A
2
= B
2
.
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A
1
= B
2
( nội tiếp cùng chắn cung CD)
=> A
1
= A
2
=> AM là tia phân giác của góc DAE (2)
Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE
TH2 (Hình b)
Câu 2 : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS
=>
ằ
ằ
ẳ
ẳ
CE CS SM EM= => =
=> SCM = ECM => CA là tia phân giác của góc SCB.

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD
cắt BC tại E. Các đờng thng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G.
Chứng minh :
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2. Tứ giác ADEC và
AFBC nội tiếp .
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
15
Giáo án ôn hình học lớp 9
3. AC // FG.
4. Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy.
Lời giải:
1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 90
0
( vì tam giác ABC
vuông tại A); DEB = 90
0
( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> DEB = BAC = 90
0
; lại có ABC là góc chung => DEB CAB .
2. Theo trên DEB = 90
0
=> DEC = 90
0
(vì hai góc kề bù); BAC = 90
0

( vì ABC vuông tại A) hay DAC = 90
0

=> DEC + DAC = 180
0
mà
đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp .
* BAC = 90
0
( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 90
0
( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay
BFC = 90
0
nh vậy F và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 90
0
nên A và F cùng nằm trên đờng tròn đờng
kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp.
3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E
1
= C
1
lại có E
1
= F
1
=> F
1
= C
1
mà đây là hai góc so
le trong nên suy ra AC // FG.
4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S.

Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không
trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.
1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ
giác đó.
2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
3. Chứng minh OH PQ.
Lời giải:
1. Ta có MP AB (gt) => APM = 90
0
; MQ AC (gt)
=> AQM = 90
0
nh vậy P và Q cùng nhìn BC dới một góc
bằng 90
0
nên P và Q cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AM
=> APMQ là tứ giác nội tiếp.
* Vì AM là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
APMQ tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là
trung điểm của AM.
2. Tam giác ABC có AH là đờng cao => S
ABC
=
1
2
BC.AH.
Tam giác ABM có MP là đờng cao => S
ABM
=
1

2
AB.MP
Tam giác ACM có MQ là đờng cao => S
ACM
=
1
2
AC.MQ
Ta có S
ABM
+ S
ACM
= S
ABC
=>
1
2
AB.MP +
1
2
AC.MQ =
1
2
BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH
Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH.
3. Tam giác ABC có AH là đờng cao nên cũng là đờng phân giác => HAP = HAQ =>
ằ
ẳ
HP HQ=
( tính

chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam giác
POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đờng cao => OH PQ
Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng
O, B) ; trên đờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đờng tròn ; MA và MB
thứ tự cắt đờng tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
16
Giáo án ôn hình học lớp 9
3. Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp .
Lời giải:
1. Ta có : ACB = 90
0
( nội tiếp chắn nửc đờng tròn )
=> MCI = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
ADB = 90
0
( nội tiếp chắn nửc đờng tròn )
=> MDI = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
=> MCI + MDI = 180
0
mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên
MCID là tứ giác nội tiếp.
2. Theo trên Ta có BC MA; AD MB nên BC và AD là hai đ-
ờng cao của tam giác MAB mà BC và AD cắt nhau tại I nên I là trực

tâm của tam giác MAB. Theo giả thiết thì MH AB nên MH cũng là đ-
ờng cao của tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. OAC cân tại O ( vì OA và OC là bán kính) => A
1
= C
4

KCM cân tại K ( vì KC và KM là bán kính) => M
1
= C
1
.
Mà A
1
+ M
1
= 90
0
( do tam giác AHM vuông tại H) => C
1
+ C
4
= 90
0
=> C
3
+ C
2
= 90
0

( vì góc
ACM là góc bẹt) hay OCK = 90
0
.
Xét tứ giác KCOH Ta có OHK = 90
0
; OCK = 90
0
=> OHK + OCK = 180
0
mà OHK và OCK là
hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp.
Bài 19. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi
M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc
với CD.
1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O ).
Lời giải:
1. BIC = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 90
0
(vì
là hai góc kề bù); DE AB tại M => BMD = 90
0

=> BID + BMD = 180

0
mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID
nên MBID là tứ giác nội tiếp.
2. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE AB tại M nên M
cũng là trung điểm của DE (quan hệ đờng kính và dây cung)
=> Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng .
3. ADC = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD. (1)
4. Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2).
Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đờng thẳng song song với AD mà thôi.)
5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của DE)
=>MI = ME => MIE cân tại M => I
1
= E
1
; OIC cân tại O ( vì OC và OI cùng là bán kính )
=> I
3
= C
1
mà C
1
= E
1
( Cùng phụ với góc EDC ) => I
1
= I
3
=> I

1
+ I
2
= I
3
+ I
2
. Mà
I
3
+ I
2
= BIC = 90
0
=> I
1
+ I
2
= 90
0
= MIO hay MI OI tại I => MI là tiếp tuyến của (O).
Bài 20. Cho đờng tròn (O; R) và (O ; R ) có R > R tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai
đờng kính đi qua điểm C của (O) và (O ). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm
M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O ) là F, BD cắt (O ) tại G. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác MDGC nội tiếp .
2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn
3. Tứ giác ADBE là hình thoi.
4. B, E, F thẳng hàng
5. DF, EG, AB đồng quy.
6. MF = 1/2 DE.

7. MF là tiếp tuyến của (O ).
Lời giải:
1. BGC = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đ-
ờng tròn )
=> CGD = 90
0
(vì là hai góc kề bù)
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
17
Giáo án ôn hình học lớp 9
Theo giả thiết DE AB tại M => CMD = 90
0

=> CGD + CMD = 180
0
mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp
2. BFC = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 90
0
; BMD = 90
0
(vì DE AB tại M)
nh vậy F và M cùng nhìn BD dới một góc bằng 90
0
nên F và M cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD
=> M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan

hệ đờng kính và dây cung)
=> Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng .
4. ADC = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình tho
=> BE // AD mà AD DF nên suy ra BE DF .
Theo trên BFC = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BF DF mà qua B chỉ có một đờng thẳng
vuông góc với DF do đo B, E, F thẳng hàng.
5. Theo trên DF BE; BM DE mà DF và BM cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác BDE
=> EC cũng là đờng cao => ECBD; theo trên CGBD => E,C,G thẳng hàng. Vậy DF, EG, AB đồng quy
6. Theo trên DF BE => DEF vuông tại F có FM là trung tuyến (vì M là trung điểm của DE) suy
ra MF = 1/2 DE ( vì trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
7. (HD) theo trên MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân tại M => D
1
= F
1

OBF cân tại O ( vì OB và OF cùng là bán kính ) => F
3
= B
1
mà B
1
= D
1
(Cùng phụ với DEB )
=> F
1

= F
3
=> F
1
+ F
2
= F
3
+ F
2
. Mà F
3
+ F
2
= BFC = 90
0
=> F
1
+ F
2
= 90
0
= MFO
hay MF OF tại F => MF là tiếp tuyến của (O).
Bài 21. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua
A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.
1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A.
2. Chứng minh IP // OQ.
3. Chứng minh rằng AP = PQ.
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

Lời giải:
1. Ta có OI = OA IA mà OA và IA lần lợt là các bán kính của đờng
tròn (O) và đờng tròn (I) . Vậy đờng tròn (O) và đờng tròn (I) tiếp xúc
nhau tại A .
2. OAQ cân tại O ( vì OA và OQ cùng là bán kính ) => A
1
= Q
1

IAP cân tại I ( vì IA và IP cùng là bán kính ) => A
1
= P
1

=> P
1
= Q
1
mà đây là hai góc đồng vị nên suy ra IP // OQ.
3. APO = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => OP AQ => OP là đờng cao của OAQ mà OAQ cân
tại O nên OP là đờng trung tuyến => AP = PQ.
4. (HD) Kẻ QH AB ta có S
AQB
=
1
2
AB.QH. mà AB là đờng kính không đổi nên S
AQB

lớn nhất khi QH lớn
nhất. QH lớn nhất khi Q trùng với trung điểm của cung AB. Để Q trùng với trung điểm của cung AB thì P
phải là trung điểm của cung AO.
Thật vậy P là trung điểm của cung AO => PI AO mà theo trên PI // QO => QO AB tại O => Q là
trung điểm của cung AB và khi đó H trung với O; OQ lớn nhất nên QH lớn nhất.
Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa
18