Bài giảng Cơ học kỹ thuật (Phần Tĩnh học vật rắn): Chương 4 – ĐH Bách Khoa Hà Nội

Chương 4. Trọng tâm vật rắn

Người trình bày: Phạm Thành Chung
Bộ mơn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

1 / 14


Nội dung
1

Định nghĩa và công thức

2

Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

2 / 14


§1. Định nghĩa và công thức

Nội dung
1

Định nghĩa và công thức
Tâm của hệ lực song song
Trọng tâm vật rắn

2

Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

2 / 14


§1. Định nghĩa và công thức

1.1 Tâm của hệ lực song song

Nội dung
1

Định nghĩa và công thức
Tâm của hệ lực song song
Trọng tâm vật rắn

2

Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

2 / 14


§1. Định nghĩa và công thức

1.1 Tâm của hệ lực song song

Tâm của hệ lực song song
Cho hệ lực song song (F1 ,F2 ,...,Fn ) có véc tơ chính R =
e là véctơ đơn vị trên trục ∆//Fk , ta có
Fk = F¯k e,

Fk = 0. Chọn

(k = 1, 2, ..., n).

Do R = 0, R .MO = 0, nên hệ lực song song F1 , F2 , ..., Fn có hợp lực.

rk
O

e

Mk

nj

Fk

uk
C

rC

LJ

dž

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

3 / 14


§1. Định nghĩa và công thức

1.1 Tâm của hệ lực song song

Định nghĩa và cơng thức xác định
Điểm hình học C mà mơmen chính của hệ lực song song F1 , F2 , ..., Fn
đối với C luôn bằng không khi hướng của hệ lực song song thay đổi, được
gọi là tâm của hệ lực song song.
Từ hình vẽ:
n

n

(uk × Fk ) =

MC =

k=1

k=1
n

n

F¯k rk

⇒

(rk − rc ) × Fk = 0
F¯k

× e = rC

k=1

×e

k=1

Biểu thức này đúng với mọi phương e nên

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

n

rC =

F¯k rk

k=1
n

(1)

.
F¯k

k=1
/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

4 / 14


§1. Định nghĩa và công thức

1.2 Trọng tâm vật rắn

Nội dung
1

Định nghĩa và công thức
Tâm của hệ lực song song
Trọng tâm vật rắn

2

Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

4 / 14


§1. Định nghĩa và công thức

1.2 Trọng tâm vật rắn

Định nghĩa
Khi vật rắn gần trái đất, trọng tâm của vật rắn là tâm của hệ trọng lực
của các phần tử tạo thành vật rắn.
nj

r

dP
rC

u
C

K

B

LJ

dž

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

5 / 14


§1. Định nghĩa và công thức

1.2 Trọng tâm vật rắn

Chia vật rắn thành các phần tử nhỏ, theo công thức (1) ta có
rC =

1
P

(2)

r dP
B

với P là trọng lượng của vật rắn B.
Hệ quả: Công thức tọa độ, công thức trọng tâm vật thể đồng chất, hình
phẳng, tấm phẳng

Thí dụ: Xác định toạ độ trọng tâm của một tam giác cạnh đáy b, chiều
cao là h.

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

6 / 14


§2. Các phương pháp xác định

Nội dung
1

Định nghĩa và công thức

2

Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn
Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng
Trọng tâm của vật ghép
Các quy tắc Guldin

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

6 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.1 Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng

Nội dung
1

Định nghĩa và công thức

2

Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn
Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng
Trọng tâm của vật ghép
Các quy tắc Guldin

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

6 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.1 Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng

Định lý và hệ quả
Định lý: Nếu vật rắn đồng chất có mặt phẳng (trục, tâm) đối xứng thì
trọng tâm của nó nằm trên mặt phẳng (trục, tâm) đối xứng đó.
Hệ quả: Nếu vật rắn đồng chất có nhiều mặt phẳng đối xứng (trục đối
xứng) thì trọng tâm của vật rắn nằm trên đường giao của các mặt phẳng
(tại giao điểm của các trục) đối xứng đó.
Thí dụ: Trọng tâm của cung trịn đồng chất

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

7 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.1 Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng

Thí dụ

Xác định vị trí trọng tâm của cung trịn đồng chất AB có bán kính r và
góc ở tâm AOB = 2α (hình vẽ).
Lời giải. Lấy một cung dL nhỏ ứng với góc dϕ. Ta có
dL = rdϕ,

x = r cos ϕ,

L = 2r α

(3)

Do tính chất đối xứng, ta có trọng tâm C của cung trịn nằm trên trục x.
Tính xC theo cơng thức (3)
xC =

1
L

xdL =

1
2r α

α
−α

r 2 cos ϕdϕ = r sinαα

(4)

Nếu cung AB là nửa đường trịn thì
π
π
α = , sin α = sin = 1,
2
2
r
xC = 2
π

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

(5)
2014

8 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.2 Trọng tâm của vật ghép

Nội dung
1

Định nghĩa và công thức

2

Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn
Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng
Trọng tâm của vật ghép
Các quy tắc Guldin

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

8 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.2 Trọng tâm của vật ghép

Định lý
Nếu một vật rắn phẳng được ghép từ m phần, mỗi phần đồng chất có
diện tích Ai , và có vị trí trọng tâm Ci (xi , yi ), thì trọng tâm của tồn vật
rắn được xác định bởi công thức
xC =

xi Ai
,
Ai

yC =

yi Ai
Ai

(6)

Đối với các vật ghép không gian, các công thức (6) được mở rộng thành
xC =

xi Pi
,
Pi

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

yC =

yi Pi
,
Pi

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

zC =

zi Pi
Pi

(7)

2014

9 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.2 Trọng tâm của vật ghép

Thí dụ
y

a
R
C K

r

x

A

Tìm trọng tâm của một thiết diện trịn đồng chất tâm O, bán kính R, bị
khoét đi một hình trịn tâm A bán kính r . Cho biết OA = a, a + r < R
(hình vẽ).

CuuDuongThanCong.com

Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

10 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.2 Trọng tâm của vật ghép

Thí dụ
y

a
R
C K

r

x

A

Lời giải. Thiết diện trên hình vẽ tương đương hình ghép một hình trịn
tâm O(0,0) bán kính R , diện tích A1 = πR 2 với một hình trịn tâm A(a,
0), bán kính r , diện tích A2 = −πr 2 . Chọn hệ trục toạ độ như trên hình
vẽ. Do yC = 0, ta chỉ cần tìm xC :

xC =

0.πR 2 − aπr 2
ar 2
x1 A1 + x2 A2
=
−
=
A1 + A2
πR 2 − πr 2
R2 − r 2

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

11 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.3 Các quy tắc Guldin

Nội dung
1

Định nghĩa và công thức

2

Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn
Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng
Trọng tâm của vật ghép
Các quy tắc Guldin

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

11 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.3 Các quy tắc Guldin

Quy tắc Guldin 1
Diện tích của mặt trịn xoay sinh ra bởi đường cong phẳng L quay quanh
một trục đồng phẳng x khơng cắt nó, bằng tích chiều dài của đường cong
L với chiều dài của đường tròn tạo ra bởi trọng tâm của đường cong L
quay quanh trục x
A = 2πyC L.
(8)

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

LJ

ĚƐ
Ɛ

>
LJ

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

dž

2014

12 / 14


§2. Các phương pháp xác định

2.3 Các quy tắc Guldin

Quy tắc Guldin 2
Thể tích V sinh ra bởi hình phẳng A quay quanh trục x đồng phẳng và
khơng cắt hình phẳng, bằng tích diện tích hình phẳng cơ sở A với chiều
dài đường trịn tạo ra bởi trọng tâm hình phẳng quay quanh trục x
V = 2πyC A

(9)

LJ
Ě
LJ

LJ

dž

K

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

13 / 14


Bài tập (SV luyện tại lớp lý thuyết)

Bài tập (SV luyện tại lớp lý thuyết)
Bài
Bài
Bài
Bài

4-2b.
4-4c.
4-5a.
4-8b, d.

CuuDuongThanCong.com
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics)

/>Chương 4. Trọng tâm vật rắn

2014

14 / 14