Dạy thêm toán 10 H2 2 TÍCH vô HƯỚNG và ỨNG DỤNG

TỐN 10

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VEC TO VÀ ỨNG DỤNG

0H2-2

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. TÍCH VƠ HƯỚNG

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

r
r
rr
u = ( 2; −1) v = ( −3; 4 )
u .v
Cho hai vectơ
,
. Tích
là
11.
−10.
5.
−2.
A.

B.
C.
D.
r
r
rr
a
=
2;5
b
= ( −3;1)
(
)
Oxy
a.b
Trong hệ trục tọa độ
, cho
và
. Khi đó, giá trị của
bằng
−5
13
1
−1
A.
.
B. .
C. .
D. .
uuu

r uuur
A ( 0;3) B ( 4; 0 ) C ( −2; −5 )
AB.BC
Cho
;
;
. Tính
.
A.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

.

B.

9

.

C.

−10

.

D.

−9

.

r r r
u =i+3j

Oxy

PHƯƠNG - HN) Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai vectơ
r(HKI
r XUÂN
r
rr
v = 2 j − 2i
u.v
.
Tính
.
rr
rr
rr
rr
u.v = −4
u.v = 4
u.v = 2
u.v = −2

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
r
r r r
rr
Oxy
u = i + 3 j v = ( 2; − 1)
u.v
Trong hệ tọa độ
, cho
;
. Tính
.
r r biểu thức tọa độ của
rr
rr
rr
u.v = ( 2; − 3 )
u.v = −1
u.v = 1
u.v = 5 2
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
r
r
r
a
b
0
Cho hai véctơ và đều khác véctơ . Khẳng định nào sau đây đúng?
rr r r
rr r r
r r
a.b = a . b
a.b = a . b .cos a, b
A.
C.

Câu 7.

16

.

B.

rr rr
r r

a.b = a.b .cos a, b

( )

Cho tam giác đều
8a 2
A.
.

( )

rr r r
r r
a.b = a . b .sin a, b

( )

. D.

ABC

có cạnh bằng
8a
B.
.

4a

.
.

uuu
r
AB

uuur
AC

.Tích vơ hướng của hai vectơ
và
2
8 3a
8 3a
C.
.
D.
.
1

là

và


ABCD
(KSNLGV -uu
THUẬN
THÀNH
2
BẮC

NINH
NĂM
2018
2019)
Cho
hình
vng
có
ur uuur
a
AB. AD
cạnh Tính
.
uuur uuur a 2
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
AB. AD =
AB. AD = 0
AB. AD = a
AB. AD = a 2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
r
r
a
b
Câu 9.
Cho hai véc tơ và . Đẳng thức nào sau đây sai?
rr 1 r2 r2 r r2
rr r r
r r
a
.b =
a + b − a −b
a.b = a . b .cos a , b
2
A.
.B.
.
r
r
r
r
r
r
2
2
2
1
r2 r2 rr2
a.b =

a +b − a − b
a . b = a.b
2
C.
.
D.
.
uuur uuu
r
ABC
AB = a
Aˆ = 900 Bˆ = 600
AC.CB
Câu 10. Cho tam giác
có
,
và
. Khi đó
bằng
2
2
2
−2a
2a
3a
−3a 2
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
uuur uuur
a
AB.BC
ABC
Câu 11. Cho tam giác
đều cạnh bằng . Tính tích vơ hướng
.
uuu
r uuur a 2
uuu
r uuur −a 2
uuu
r uuur a 2 3
uuu
r uuur −a 2 3
AB.BC =
AB.BC =
AB.BC =
AB.BC =
2
2
2
2
A.
.
B.

. C.
.
D.
.
Câu 8.

(
(

( )

Câu 12.

Cho tam
uuu
r giác
uuuur
BA. AM
hướng
a2
.
2

ABC

vng tại

B.

A

)
)

có

AB = a; AC = a 3

a2.

C.

−a 2 .

và

AM

là trung tuyến. Tính tích vơ

−
D.

a2
.
2

A.

uuur uuur

·
= 60°
AB. AD
AB = 2 AD = 1 BAD
Câu 13. Cho hình bình hành
, với
,
,
. Tích vơ hướng
bằng
1
1
−
2
2
−1
1
A.
.
B. .
C.
.
D. .
uuu
r uuur
·
= 60°
BA.BC
ABCD
AB = 2 AD = 1 BAD

Câu 14. Cho hình bình hành
, với
,
,
. Tích vơ hướng
bằng
1
1
−
2
2
−1
−1
A.
.
B.
C. .
D.
.
ABCD

Câu 15.

Cho hình bình hành
A.

5

.

·
= 60°
AC
AB = 2 AD = 1 BAD
, với
,
,
. Độ dài đường chéo
bằng
7
7
5
2
B.
.
C. .
D. .

ABCD

2


·
= 60°
AB = 2 AD = 1 BAD
BD
Câu 16. Cho hình bình hành
, với
,

,
. Độ dài đường chéo
bằng
3
5
5
3
A.
.
B.
.
C. .
D. .
r
r
r
r r
r
r r r r
a
=
x
,
b
=
y
z =c
a, b
c
a + b + 3c = 0

Câu 17.
Cho cácrvéc
và
và
.
r rtơr r r và thỏa mãn các điều kiện
A = a.b + b.c + c.a
Tính
.
2
2
2
3x − z + y
3z 2 − x 2 − y 2
3 y2 − x2 − z 2
3z 2 + x 2 + y 2
A=
A=
A=
A=
2
2
2
2
A.
. B.
. C.
. D.
.
uuu

r uuur
AB.MA
∆ABC
AB = 6
BC
M
Câu 18. Cho
đều;
và
là trung điểm của
. Tích vơ hướng
bằng
ABCD

A.
Câu 19.

−18

.

Cho tam giác

B.
ABC

27

.

A.
Câu 20.

11

r
a

.

A.

.

B.

.

A

và

.

2

D.

−27

.

.

3

2

.

D.

r r
a, b = 300

( )

C.

vuông tại

0

C.
và

13

.
uuur uuu

r
AC.CB

a

. Biết

ABCD

.

3

r
r
a = 2, b = 3

B.

Cho
uuu
r uuurhình thang
AC.BD
bằng

−a 2

và

r

b

2

2

B.

Cho hai vectơ
A.

Câu 21.

2

.

18

B BC = a 3
,
. Tính

vng tại

−a
3a

C.

12

r r
a +b
. Tính

.

−3a 2

.

.
D.

14

.

D AB = AD = a, CD = 2a.
;
Khi đó tích vơ hướng

C.

3a 2
2

.

D.

−a 2
2

.

ABC
A
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT uTRÌ
2018
2019)
Cho
tam
giác
vng
tại
có
uu
r uuur
AB = a; BC = 2a
BA.BC
. Tính tích vơ hướng
.
uuu
r uuur a 2
uuu
r uuur a 2 3
uuu
r uuur

u
u
u
r
u
u
u
r
BA
.
BC
=
BA
.BC =
BA.BC = a 2
BA.BC = 2a 2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
uuu
r uuur
BA.BC
A

AB = 4
Câu 23. Cho tam giác ABC vng tại
có
. Kết quả
bằng
0
4 2
16
4
A. .
B. .
C.
.
D. .
Câu 22.

Câu 24.

ABC

Cho tam giác uuuu
rvuông
uuuu
r tại
P = AM . BM
của biểu thức
.

A

có

µ = 30°, AC = 2
B

3

. Gọi

M

là trung điểm của

BC

. Tính giá trị


A.
Câu 25.

P = −2

.

B.

Cho hình bình hành

P=2 3

.

C.

P=2

.

·
AB = 2a, AD = 3a, BAD
= 60°

ABCD

có uuur uuur
uuur
uuur
BK . AC
AK = −2 DK
. Tính tích vơ hướng
A.

3a 2

.

B.

6a 2

. Điểm

0
C. .
uuu
r uuur
AB. AC

.

Câu 26.

Câu 28.

Cho hai vectơ
A.

Câu 29.

Câu 30.

α = 90

.

B.

ABC

Cho hai véctơ
bằng:
r r
a; b = 450
A.
.

)

khác

0

Tam giác
dưới đây?
90°
A.
.

(

và

r
b

có

A ( 1; 2 )

B.

r r
a, b

r
0

. Xác định góc

α =0

α

.

C.

α = 45

.

AD

thuộc
a2

.
thỏa mãn

.

D. 20.

D.

và

r
b

uuur uuur
AB.BD = 64

.

rr
r r
a.b = − a . b
biết

0

D.

.

α = 180

0

.

B ( 0; 4 ) C ( 3;1)
·
ABC
BAC
,
,
. Góc
của tam giác
gần với giá trị nào
36°52′

.

C.

143°7′

.
rr
r r
a.b = − a . b

khác véctơ-không thỏa mãn

r r

B.

r
a

giữa hai vectơ

0

K

D.

Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7 thì
bằng:
A. -20.
B. 40.
C. 10.
uuur uuur
AB = 8, AD = 5
ABCD
AB.BD
Câu 27. Cho
hình
chữ
nhật
có
.
Tích
uuur uuur
uuur uuur

uuur uuur
AB.BD = 62
AB.BD = −64
AB.BD = −62
A.
.
B.
.
C.
.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ

r
a

P = −2 3

D.

( a; b ) = 0

.

C.

Câu 31.

53°7′

.

. Khi đó góc giữa hai vectơ
r r

0

D.

( a; b ) = 180

r r

0

.

D.

( a; b ) = 90
r r
a, b

0

.

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hai véctơ
thỏa
r
r

r r
r
r
a = 4; b = 3; a - b = 4
a, b
α
. Gọi là góc giữa hai véctơ
. Chọn phát biểu đúng.
1
3
cos α =
cos α =
0
0
α = 60
α = 30
3
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
r
r
r
r

a = ( 4;3)
b = ( 1; 7 )
α
a
b
Câu 32. Cho hai vectơ
và
. Số đo góc
giữa hai vectơ và bằng
0
0
45
600
300
90
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

4

r r
a, b

mãn:

Oxy

Câu 33.

r
a = ( 2;5 )

r
b = ( 3; −7 )

α

, cho
,
. Tính góc
giữa hai véctơ
rTrong mặt phẳng với hệ tọa độ
b
.
α = 60°
α = 120°
α = 45°
α = 135°
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
r
r
r
r
a = ( 2;1)
b = ( 3; −6 )
Oxy
a
b
Câu 34. Trên mặt phẳng tọa độ
, cho
và
. Góc giữa hai vectơ và bằng
A.

Câu 35.

.

B.

90°

.

r r
r

a b
0
Cho hai vectơ ; khác vectơ thỏa mãn
A.

Câu 36.

0°

60°

.

r
a ( 1; −2 )

120°

.

C.
y

150°

D.

60°

và

.

r r
a b
. Khi đó góc giữa hai vectơ ; là

.

r
b = ( 3; y )

D.

30°

.
r
a

45o

. Với giá trị nào của thì véc tơ
tạo với véctơ một góc
 y = −1
y =1
y = 9
 y = −9
y = −9
y = −1



A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
r
r
r
r r
r r
r r r u
a = 2 b =2
a b
x = a + b y = 2a − b
Câu 37. Cho hai vecto , sao cho r
và hai véc tơ
,
vng góc với
r,
a
b
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ và .
120°
60°
90°

30°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CHỨNG MINH VNG GĨC

Câu 38.

Cho véc tơ

B.

180°
C.
.
rr 1 r r
a.b = −a . b
2

r
a

Trong mặt phẳng

Oxy

và

r
b = (2; −3)

có giá vng góc với nhau.
−3
A. 3.
B. 0.
C.
.
D. 2.
r
r
u = ( 3; 4 )
v = ( −8;6 )
Oxy
Câu 39. Trong
mặt
phẳng
tọa
độ
,
cho
hai
vectơ
và
. Khẳng định nào đúng?
r

r
r
r
u = −v
u
v
A.
.
B. vng góc với .
r r
r
r
u =v
u
v
C.
.
D. và cùng phương.
Câu 40.

Tìm x để hai vectơ

r
a = ( x; 2)

, cho hai điểm
ABC
A
tam giác
vuông tại .

C ( 6;0 )
C ( 0; 6 )
A.
.
B.
.

A ( 1; 2 ) , B ( −3;1) .

C.

5

Tìm tọa độ điểm

C ( −6;0 )

.

C

D.

trên trục

C ( 0; −6 )

.

Oy

sao cho


Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

A ( −1; 2 ) , B ( 0;3 ) , C ( 5; − 2 ) .
ABC
A
Cho tam giác
có
Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh
ABC
của tam giác
.
( 0;3)
( 0; − 3)
( 3;0 )
( −3; 0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
A ( −1;0 ) , B ( 4;0 ) , C ( 0; m ) , m ≠ 0
ABC
G
Cho tam giác
có
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
ABC
GAB
G
m
. Xác định
để tam giác
vuông tại .
m=− 6
m = ±3 6
m=3 6
m=± 6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Cho tam giác

ABC

có

A. 6.
Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

A ( 1; −1) , B ( 3; −3) , C ( 6;0 ) .
B.

6 2

.

Oxy

Diện tích

DABC

C. 12.

Trong mặt phẳng

, cho hai điểm
ABC
A
vng cân tại .
A ( 0;0 )
A ( 2; − 4 )
A.
hoặc
.
A ( 0;0 )
A ( −2; − 4 )
C.
hoặc
.

B ( −1;3)

Tìm bán kính đường trịn đi qua ba điểm
5
10
2
2
A. .
B.
.

và

B.
D.

D. 9.

C ( 3;1)

A ( 0;0 )
A ( 0;0 )

. Tìm tọa độ điểm

hoặc
hoặc

.
A ( −2; 4 )

.

3
D. .
A ( 1; 0 ) B ( −1;1) C ( 5; − 1)
có
;
;
. Tọa độ trực

Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác
ABC
H

tâm
của tam giác
là
H ( −1; − 9 )
H ( −8; − 27 )
H ( −2;5 )
A.
.
B.
.
C.
.
Oxy

sao cho tam giác

.

5
C. .
ABC

A

A ( 2; 4 )

A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3; 0 )

( Oxy )

là

ABC

D.

H ( 3;14 )

.

A(−1;1), B (1;3)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
; cho tam giác
có
và trọng tâm là
2


G  −2; ÷
Oy
3

MBC
M
M
. Tìm tọa độ điểm
trên tia
sao cho tam giác
vng tại

.
M ( 0; −3)
M ( 0;3)
M ( 0; 4 )
M ( 0; −4 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Trên hệ trục tọa độ

xOy

, cho tam giác
BC
A
đường cao kẻ từ đỉnh
xuống cạnh
là

ABC

6

có

A ( 4;3)

,

B ( 2; 7 )

,

C ( −3; − 8 )

.Tọa độ chân


A.
Câu 49.

Câu 50.

( 1; −4 )

.

B.

Cho tam giác

ABC

đều cạnh

a

.

Trong mặt phẳng tọa độ
tâm tam giác
2
a + 3b = .
3
A.

Oxy

Trực tâm
B.

. Lấy

C.

( 1; 4 )

.

D.

( 4;1)

M , N, P

.

BC , CA, AB

lần lượt nằm trên ba cạnh
BM = 2 MC , AC = 3 AN , AP = x, x > 0
x
NP
AM
. Tìm để
vng góc với
.
4a
7a
5a
a
x=
x=
x=
x=
12
2
5
12
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.

ABC.

Câu 51.

( −1; 4 )

cho tam giác

H

của tam giác
4
a + 3b = − .
3

ABC .

ABC

C.

Biết

A ( 3; −1) , B ( −1; 2 )

có tọa độ

a + 3b = 1.

( a; b ) .

Tính
D.

và

I ( 1; −1)

sao cho

là trọng

a + 3b.
a + 3b = −2.

ABCD
AB = 2a
AD = a
BC = 3a
Cho hình thang vng
có uđường
cao
,
các
cạnh
đáy
và

. Gọi
uuu
r
uuur
AC
AM = k AC
k
BM ⊥ CD
M
là điểm trên đoạn
sao cho
. Tìm để
4
3
1
2
9
7
3
5
A. .
B. .
C. .
D. .

Oxy
ABC
(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tam giác
có

A ( −3;0 ) , B ( 3; 0 )
C ( 2; 6 )
H ( a; b )
a + 6b
và
. Gọi
là tọa độ trực tâm tam giác đã cho. Tính
.
a + 6b = 5
a + 6b = 6
a + 6b = 7
a + 6b = 8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
uuuu
r uuu
r uuuu
r2
B, C
CM .CB = CM
M
Câu 53. Cho hai điểm
phân biệt. Tập hợp những điểm
thỏa mãn

là :
( B; BC )
BC
A. Đường trịn đường kính
.
B. Đường trịn
.
( C ; CB )
C. Đường tròn
.
D. Một đường khác.
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
A, B, C
CM .CB = CA.CB
M
Câu 54. Cho ba điểm
phân biệt. Tập hợp những điểm
mà
là :
AB
A. Đường tròn đường kính
.
BC
A
B. Đường thẳng đi qua
và vng góc với

.
AC
B
C. Đường thẳng đi qua
và vng góc với
.
C
AB
D. Đường thẳng đi qua
và vng góc với
.
uuur
uuu
r
ABC
AK = 3KJ I
J
AB
K
Câu 55. Choutam
giác
,
điểm
thỏa
mãn
,
là
trung
điểm
của

cạnh
,điểm
thỏa
uu
r uuur uuur r
KA + KB + 2 KC = 0
mãn
.
Câu 52.

7


Một điểm

(

M

uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r
3MK + AK . MA + MB + 2 MC = 0

)(

)

thay đổi nhưng luôn thỏa mãn
.

M
Tập hợp điểm
là đường nào trong các đường sau.
IJ
IK
A. Đường trịn đường kính
.
B. Đường trịn đường kính
.
JK
JK
C. Đường trịn đường kính
.
D. Đường trung trực đoạn
.
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ

Câu 56.

Câu 57.

( Oxy )

Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
uuu
r
uuur
AB = 2 10
AB = 20

A.
.
B.
.
Cho hai điểm
A.

Câu 58.

Câu 59.

AB = 13

A ( 1; 0 )

.

và

uuu
r
AB
. Tính

C.

?

AB = 4 10

B ( −3;3)

. Tính độ dài đoạn thẳng
AB = 3 2
AB = 4
B.
.
C.
.

OAB
O
OA = 4
Cho tam giác
vng cân tại , cạnh
. Tính
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
2OA − OB = 4
2OA − OB = 2
A.
.
B.
.
uuu
r uuu

r
uuu
r uuu
r
2OA − OB = 12
2OA − OB = 4 5
C.
.
D.
.

.

AB

D.

uuu
r
AB = 2 10

.

.
D.

uuu
r uuur
2OA − OB

AB = 5

.

.

ABCD
A D AB P CD AB = 2a AD = DC = a O
Cho hình thang vuông
vuônguutại
,r ;
;
;
.
là
u
r uuu
OB + OC
AD
trung điểm của
. Độ dài vectơ tổng
bằng

A.
Câu 60.

uuu
r
AB = ( 6; 2 )

a
2

.

B.

3a
2

.

C.

a

.

D.

3a

.

A ( 1; 2 ) B ( −1;1)
Oxy
Oy
M
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm

;
. Điểm
thuộc trục
thỏa mãn
OM
MAB
M
tam giác
cân tại
. Khi đó độ dài đoạn
bằng
5
3
1
7
2
2
2
2
A. .
B. .
C. .
D. .

BC
M
với
là trung điểm
. Khẳng định nào đúng?
uuuu

r a 3
uuuu
r a 3
uuuu
r
uuur uuuu
r
AM =
AM =
AM
=a 3
MB = MC
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
uuu
r uuur
AB + CD = ?
ABCD
AB = 2a CD = 6a
Câu 62. Cho hình thang
có hai đáy
;

thì

Câu 61.

Cho

ABC

đều cạnh

2a

8


A.
Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

−4a

.

B.

8a

.

C.

2a

.

ABC
AB = AC = a
Cho tam giác vng cân
với
. Khi đó
a 3
a 5
5a
A.
.
B.
.
C. .

uuu
r uuur
2AB + AC

D.

4a

.

bằng
2a
D. .

A ( 2;1) B ( 2; −1) C ( −2; −3) D ( −2; −1)
Oxy,
Trong hệ tọa độ
cho bốn điểm
,
,
,
. Xét ba mệnh đề:
( I ) ABCD
là hình thoi.
( II ) ABCD
là hình bình hành.
M ( 0; −1)
( III ) AC
BD
cắt
tại
.
Chọn khẳng định đúng
( I)

( II )
A. Chỉ
đúng.
B. Chỉ
đúng.
( II ) ( III )
C. Chỉ
và
đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

∆ABC

A ( −1; 4 ) B ( 2;5 ) C ( −2;7 )
I
có
,
,
. Hỏi tọa độ điểm

, cho
∆ABC
tâm đường tròn ngoại tiếp
là cặp số nào?
( −2; 6 )
( 0; 6 )
( 0;12 )

A.
.
B.
.
C.
.

D.

( 2;6 )

.

A ( 1; −17 ) B ( −11; −25 )
Oxy
C
Trong mặt phẳng tọa độ
cho các điểm
;
. Tìm tọa độ điểm
thuộc
BC = 13.
BA
tia
sao cho
C ( −14; −27 )
C ( −8; −23)
A.
.
B.

.
C ( −14; −27 )
C ( −8; −23)
C ( 14; 27 )
C ( 8; 23 )
C.
và
.
D.
và
.
ABC
A
(THPT NƠNG CỐNG - THANH HĨA LẦN 1_2018-2019) Cho tam giác
vuông tại ,
uuuu
r uuur a 2
AM .BC =
AB, AC.
BC = a 3 M
BC
2
,
là trung điểm của
và có
. Tính cạnh
AB = a, AC = a 2
AB = a, AC = a
A.
. B.

.
AB = a 2, AC = a
AB = a 2, AC = a 2
C.
. D.
.

9


Câu 68.

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

A ( a ;0 )
B ( 0; b )
a, b
. Giả sử
và
(với
là các số
MAB

M
thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác
vuông tại
và có diện tích nhỏ nhất. Tính
2
2
T =a +b
giá trị của biểu thức
.
T =5
T = 10
T =9
T = 17
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm

M ( 3;1)

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. TÍCH VƠ HƯỚNG
Chọn B
r
u = ( 2; −1)
rr
⇒ u .v = 2. ( −3) + ( −1) 4 = −10
r
v = ( −3; 4 )
Với
Chọn rDr
a.b = 2. ( −3) + 5.1 = −1
Ta có
.
ChọnuD
uu
r
uuur
AB = ( 4; − 3) BC = ( −6; − 5 )
Ta có
;
uuur uuur
AB.BC = 4. ( −6 ) + ( −3) . ( −5 ) = −9
Vậy
.
Chọn B
r
r
u = ( 1;3)
v = ( −2; 2 )

Theo giảr thiết
ta có
và
.
r
u.v = 1. ( −2 ) + 3.2 = 4
Khi đó
.
Chọn A
r
r r r
u = i + 3 j ⇒ u = ( 1;3 )
Ta cór r
.
u.v = 1.2 + 3. ( −1) = −1
Vậy
.

Câu 6.

Chọn B
Theo định nghĩa tích vơ hướng của hai véctơ.
Câu 7.
Chọn A
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
1
2
AB. AC = AB . AC cos AB, AC = 4a.4a.cos 60° = 4a.4a. = 8a
2

Ta có
.
Câu 8.
Chọn A
uuu
r uuur
ABCD
AB ⊥ CD
AB. AD = 0
Vì
là hình vng nên
do đó
.
Câu 9.
Chọn C
rr2
r r
r r 2 r2 r2
r r
a.b =  a . b .cos a, b  = a . b .cos 2 a, b


nên C sai.
Câu 10. Chọn D

(

( )

)

( )

10


Gọi

D

Khi đó:
Câu 11.

A

là điểm đối xứng với

qua

C

.


3
= a 3.2a.  −
= −3a 2
÷
uuur uuu
r uuur uuu

r
÷
 2 
AC .CB = CD.CB = CD.CB.cos150°

Chọn D
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
a2
AB.BC = AB BC cos AB, BC = a.a.cos120° = −
2

(

Câu 12.

.

)

Ta có
Chọn D

Ta có tam giác

AM =

ABC

BC

=
2
AMB

vng tại

AB + AC
=
2
2

2

A

và có

AM

a + 3a
=a
2
2

.

AM =

là trung tuyến nên

BC
2

.

2

AB = BM = AM = a

.

·
MAB
= 60°

Tam giác
có
nên là tam giác đều. Suy ra góc
uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
a2
BA. AM = − AB. AM = − AB . AM .cos ( AB , AM ) = −a.a.cos 60° = −

2
Ta có
.
Câu 13.

Chọn B

11

.


uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur
·
AB. AD = AB . AD .cos AB; AD = AB. AD.cos BAD
= 2.1.cos 60° = 1

(

Câu 14.

)

.

Chọn C

·

BAD
= 60° ⇒ ·ABC = 120°
Theo giả thiết:
.
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
BA.BC = BA . BC .cos BA; BC = AB.BC.cos ·ABC = 2.1.cos120° = −1

(

Câu 15.

)

.

Chọn B

Ta có:
uuur uuur uuur uuur 2 uuur2 uuur 2
uuur uuur
AC = AB + AD ⇒ AC = AB + AD + 2 AB. AD ⇔ AC 2 = 2 2 + 12 + 2.1 ⇒ AC = 7
Câu 16.

Chọn A

uuur uuu

r uuur uuur 2 uuu
r 2 uuur2
uuu
r uuur
BD = BA + BC ⇒ BD = BA + BC + 2 BA.BC ⇔ BD 2 = 2 2 + 12 + 2. ( −1)
⇒ BD = 3
Câu 17.

.
Chọn
B
r r r r
r r r
r
a + b + 3c = 0 ⇒ a + b + c = −2c

r 2 r2 r2
r2
⇒ a + b + c + 2 A = 4c

r r r
⇒ a+b+c

(

r
= − 2c

) ( )
2

.

.

2

.
Sử dụng tính chất bình phương vơ hướng bằng bình phương độ dài ta có:
3z 2 − x2 − y 2
2
2
2
2
x + y + z + 2 A = 4z ⇒ A =
2
. Vậy chọn đáp án B.
12

.


Câu 18.

Chọn D

uuu
r uuuu
r

·
= 30°
( AB, AM ) = BAM

Ta có
.
uuu
r uuur
uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuu
r
6 3
AB.MA = − AB. AM = − AB . AM .cos AB, AM = −6.
.cos 30° = −27
2

(

Câu 19.

)

.

Chọn D

uuur uuu
r uuur uuu
r
uuur uuu
r
CB
AC.CB = AC . CB .cos AC , CB = − AC.CB.cos ·ACB = − AC.CB.
= − BC 2 = −3a 2
AC

(

Câu 20.

Ta có
Chọn B
Ta có:

(

r r
a+b

r r
⇒ a+b

(

Câu 21.

)

2

)

2

)

.

rr
r r
r r
= a 2 + b 2 + 2ab = a 2 + b 2 + 2 a . b .cos a, b

( )

r r
= 4 + 3 + 2.2. 3.cos300 = 13 ⇒ a + b = 13

,

.

Chọn A
uur uuur uuur uuu

r
uuur uuur = u
AD
+
DC
AD
−
AB
AC.BD
Ta có:
= AD 2 − 2 AB 2 = −a 2 .

(

)(

)

uuur uuu
r uuur uuu
r
= AD + 2 AB AD − AB

(

13

)(

)

uuur uuu
r
= AD 2 − 2 AB 2 − AD. AB


Câu 22.
Chọn A
AH ⊥ BC , H ∈ BC
Vẽ uuu
r uuur uuur uuur .
BA.BC = BH .BC = BH .BC = BA2 = a 2
Có
(theo tính chất tích vơ hướng và phép chiếu).
Câu 23. Chọn A
uuu
r uuur
AB
4
uuu
r uuur
cos BA.BC = cos ·ABC =
=
BA.BC = ·ABC
BC BC
Vì
nên
.
uuu
r uuur uuu

r uuur
uuu
r uuur
4
BA.BC = BA . BC .cos BA.BC = AB.BC.
= 4.4 = 16
BC
Do đó
Câu 24.
Chọn A

(

)

(

)

(

Ta có:

)

uuuu
r uuuu
r
uuu
r uuuu

r uuuu
r uuu
r uuuu
r uuuu
r2
P = AM . BM = ( AB + BM ). BM = AB. BM + BM

AC
= 4; AB = AC.cot 30° = 2 3; BM = 2
sin 30°
uuuu
r2
uuur uuuu
r
⇒ BM = 4; AB. BM = 2 3.2.cos150° = −6 ⇒ P = −2
BC =

Câu 25.

Chọn D

uuur
uuu
r 2 uuur
BK = − AB + AD uuur uuur uuur
AC = AB + AD
3
Ta có
;

14

⇒ Chọn A

.


uuur uuur
uuu
r 2 uuur uuu
r uuur
ruuur
2
1 uuu
BK . AC = (− AB + AD )( AB + AD ) = − AB 2 + AD 2 − AB AD
3
3
3

Khi đó
uuur uuur
2
1
BK . AC = −4a 2 + .9a 2 − 2a.3a.cos60° = a 2
3
3
Câu 26.

Chọn D
uuu

r uuur 82 + 52 − 7 2 1
cos AB, AC =
=
2.5.8
2

(

)

uuu
r uuur
uuu
r uuur
1
AB. AC = AB. AC.cos AB, AC = 5.8. = 20
2

(

Câu 27.

)

Chọn B

Giả sử
Xét

Xét

E

là điểm đối xứng với

∆ABD
∆ABD

B

qua

ta có

uuu
r uuu
r
AB = BE

BD = AB + AD = 89
2

có

A

cos ·ABD =

2

uuur uuur
8
·
cos AB; BD = cosDBE
= −cos ·ABD = −
89

(

AB
8
=
BD
89

)

có
suy ra
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
 −8 
AB.BD = AB . BD .cos AB; BD = 8. 89. 
÷ = −64
 89 

(

)

Ta có
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ
Câu 28. Chọn D
rr r r
rr
r r
a.b = a . b .cosα
a.b = − a . b
α = 1800
cosα = −1
Ta có:
. Mà
nên
. Suy ra,
.
Câu 29. ChọnuC
uur
uuur
AB = ( −1; 2 ) ; AC = ( 2; −1)
Ta có
.
uuu
r uuur
AB. AC
−2 − 2 − 4
·
cos BAC
= uuu
=
r uuur =

5. 5 5
AB . AC
·
⇒ BAC
= 143°7′
.
Câu 30. Chọn C
rr
r r
 a.b = − a . b

r r
r r
r r
r r
r r
 a.b = − a . b cos a, b ⇒ cos a; b = −1 ⇔ a; b = 1800
Ta có:
.

( )

Câu 31.

(

)

Chọn D
Ta có

15

(

)


r r
r r2
r
rr r
a - b = 4 Û ( a - b ) = 16 Û a 2 - 2a.b + b 2 = 16
Û 42 - 2.4.3.cos α + 32 = 16 Û cos α =
Câu 32.

Câu 33.

3
8

Chọn A

rr
a.b
4.1 + 3.7
25
1
cos α = r r =
=

=
a.b
2
2
2
2
25 2
2
4 +3 . 1 +7

Ta có
Chọn D

nên

α = 450

.

rr
2.3 + 5. ( −7 )
a.b
−1
cos α = r r =
=
⇒ α = 135°.
4 + 25. 9 + 49
2
a.b

Ta có
Câu 34.

Chọn B

rr
r r
r r
2.3 + 1. ( −6 )
a.b
cos a, b = r r =
= 0 ⇒ a, b = 90°
2
a.b
22 + 12 . 32 + ( −6 )

( )

( )

.

Câu 35.

Chọn A
r
r
a = −a
Ta có
.

r r
rr r r
r r
r r
1 r r
1
=
−
a
.
b
⇒
cos
a
, b = ⇒ a, b = 60°
a.b = a . b cos a, b
2
2
Vậy
.
Câu 36. Chọn D
rr
r r
a.b
3− 2y
cos a, b = r r =
a.b
5. 9 + y 2
Ta có:
.

r r
3− 2y
2
cos
a
,b =
=
r
r
2
2
5. 9 + y
45o
a
b
Góc giữa hai véc tơ và bằng
suy ra
6 − 4 y ≥ 0
( 1) ⇔ 90 + 10 y 2 = 6 − 4 y ⇔ 
2
2
90 + 10 y = ( 6 − 4 y )

( )

( )

( )

( )

( )

3

y ≤
⇔
⇔ y = −1
2
 y2 − 8 y − 9 = 0


Câu 37.

( 1)

.

Chọn C

r
r r
r r r u
x = a + b y = 2a − b
Vì hai véc tơ
,
vng góc với nhau nên
r2 r2 r r
r r
r r

r r
a + b . 2a − b = 0 ⇔ 2ar 2 − br 2 + ar .br = 0 ⇔ 2. a − b + a . b .cos a, b = 0

(

)(

⇔ 2.

( 2)

( )

)

2

r r
r r
r r
− 2 2 + 2.2.cos a, b = 0 ⇔ cos a, b = 0 ⇔ a, b = 90°

( )

( )

16

( )

.

.


DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CHỨNG MINH VNG GÓC
Câu 38. Chọn A
r
r
rr
a = ( x; 2)
b = (2; −3)
⇔ a.b = 0 ⇔ 2 x − 6 = 0 ⇔ x = 3
Vectơ
và
có giá vng góc với nhau
x=3
Vậy
.
Câu 39. Chọn B
rr
r r
u.v = 3. ( −8 ) + 4.6 = 0
u⊥v
Ta có:
. Do đó,
.
Câu 40. Chọn B
C ∈ Oy ⇔ C ( 0; y )
uuur

uuur
AB = ( −4; −1) AC = ( −1; y − 2 )
,
.

A B C

Ba điểm ,
C ( 0;6 ) .
Vậy
Câu 41. Chọn A

Ta có

,

tạo thành một tam giác vng tại

uuu
r r
 AB ≠ 0

 uuur r
⇔  AC ≠ 0
r uuur
 uuu
uu
r uuur
AB
⊥ AC ⇔ u


AB. AC = 0 ⇔ y = 6.

A

uuu
r
uuur
uuur
AB = ( 1;1) ; AC = ( 6; − 4 ) ; BC = ( 5; − 5 ) .

uuur uuur
AB. BC = 1.5 + 1.( −5) = 0

B.
vuông tại
B ( 0;3) .
ABC
A
chân
đường
cao
hạ
từ
đỉnh
của
tam
giác
trùng
với

đỉnh
Vậy
r
r
u = ( 1; 2 )
v = ( 4m ; 2m − 2 )
Oxy
m
Câu13. Trong mặt
phẳng
với
hệ
tọa
độ
,
cho
hai
vectơ
và
.
Tìm
để
r
r
u
v
vectơ vng góc với .
1
1
m=

m=−
m =1
m = −1
2
2
A.
.
B.
. C.
.
D.
. Chọn A
r r
rr
1
u ⊥ v ⇔ u.v = 0 ⇔ 4m + 2. ( 2m − 2 ) = 0 ⇔ 8m − 4 = 0 ⇔ m = .
2
Hai vectơ
Câu 42. Chọn B

Nhận thấy rằng

nên tam giác

17

ABC


 m

G 1; ÷
 3

ABC
là trọng tâm của tam giác
, suy ra
.
uuu
r 
u
u
u
r
m
m

GA =  −2; − ÷; GB =  3; − ÷
3
3


Ta có
.
uuu
r uuu
r
m2
GA.GB = 0 ⇔ −6 +
= 0 ⇔ m = ±3 6
GAB

G
9
Để tam giác
vng tại
thì
.
Câu 43. Chọn A
uuur
uuu
r
AB = (2; −2) BC = ( 3;3)
Ta có
,
Gọi

G

Ta thấy

uuur uuur
AB.BC = 0

S ABC
Câu 44.

Vậy
Chọn B

nên tam giác

ABC

vng tại

B

r uuur 1
1 uuu
= AB . BC = .2 2.3 2 = 6
2
2

Tìm tọa độ điểm

A

sao cho tam giác

ABC

.

A
vng cân tại .
 AB 2 = AC 2
 AB = AC
A⇔
⇔  uuur uuur
 AB ⊥ AC
 AB. AC = 0

A( x; y)

ABC
Gọi
. Tam giác
vuông cân tại
2
2
( −1 − x ) + ( 3 − y ) = ( 3 − x ) 2 + ( 1 − y ) 2
2 x = y
2 x = y
⇔
⇔ 2
⇔

2
2
 x + y − 2x − 4 y = 0 x − 2x = 0
( −1 − x ) ( 3 − x ) + ( 3 − y ) ( 1 − y ) = 0

2 x = y
 x = 0, y = 0

⇔  x = 0 ⇔ 
 x = 2, y = 4
 x = 2

A ( 0;0 )

Câu 45.

Vậy
Chọn A

Tính được

Câu 46.

hoặc

A ( 2; 4 )

AB = 3, BC = 4

.

.
và

AC = 5

. Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp
Chọn B

H ( x; y )

AB 2 + BC 2 = AC 2

. Suy ra

1
5
R = AC =
2
2

nên tam giác

ABC

.

uuur uuur
u
AH
⊥
BC
BC
uur .u
uur = 0 ( 1)
⇔
⇔  AH
BH
⊥
AC
 BH . AC = 0
ABC

{

Gọi
là trực tâm của tam giác
Ta
uuurcó:
uuur
uuur
uuur
AH = ( x − 1; y ) BC = ( 6; − 2 ) BH = ( x + 1; y − 1) AC = ( 4; − 1)
;
;
,
.
6 x − 1 − 2. y = 0
( 1) ⇔ 4 (( x + 1)) − 1. ( y − 1) = 0 ⇔ 6 x − 2 y = 6 ⇔ x = −8
4 x − y = −5
y = −27

Suy ra:
.

{

18

{

.

vuông tại

B


H ( −8; − 27 )
Vậy
.
Câu 47. Chọn A
A

G
B

I

C

G
∆ABC
Ta có
là trọng tâm
x A + xB + xC

 xC = 3 ( −2 ) − ( −1) − 1 = −6
 xG =
 xC = 3 xG − x A − xB

3
⇒
⇒
⇒

2
 yC = 3 yG − y A − yB
 y = y A + yB + yC
 yC = 3. − 1 − 3 = −2
3

 G
3

⇒ C ( −6; −2 )
M ∈ Oy ⇒ M ( 0; m )
Ta có
BC
I
Gọi là trung điểm của đoạn
ta có:
xB + xC
5


xI = −
 xI =


2
2 ⇒ I − 5 ; 1 
⇒


÷

 2 2
 y = yB + yC
y = 1
I
 I
2

2

Ta có

uuur  5
1
uuuu
r
uuuu
r
uuu
r
IM =  ; m − ÷
BM = ( −1; m − 3) CM = ( 6; m + 2 ) CB = ( 7;5 )
2
2
;
;
;
uuuu
r uuuu
r
( m − 3) ( m + 2 ) − 6 = 0

 BM .CM = 0

⇔ 
r
 uuur uuu
1
5
5  m − ÷+ 7. = 0
 IM .CB = 0
2
2
 
∆MBC
M
vuông cân tại
khi:
m 2 − m − 12 = 0
⇔
⇔ m = −3
⇒ M ( 0; −3)
 m = −3
.
Câu 48. Chọn C
uuur uuur
D ( x; y)
AD.BC = 0
BC
A
D B C
Gọi

là chân đường cao kẻ từ
xuống cạnh
ta có
và , ,
thẳng
hànguuur
uuur
uuur
AD = ( x − 4; y − 3) BC = ( −5; −15 ) BD = ( x − 2; y − 7 )
Mà
;
;
nên ta có hệ

19


 x − 4 + 3 ( y − 3) = 0

3 ( x − 2 ) − y + 7 = 0 ⇔

Câu 49.

 x =1

y = 4

.

Chọn A

Đặt

uuur r
 AB = b
 uuur r
 AC = c

r r
b = c =a

rr
a2
0
b.c = a.a.cos 60 =
2

, ta có
và
uuuu
r uuu
r uuuu
r r 2 uuur r 2 r r 1 r r
AM = AB + BM = b + BC = b + c − b = b + 2c
3
3
3

(

)

(

)

Ta có
uuur uuur uuu
r 1 uuur x uuu
r
r
r
x r 1r 1
PN = AN − AP = AC − AB = − b + c =
−3xb + ac
3
a
a
3
3a
uuuu
r uuur
r r
r r
AM ⊥ PN ⇔ AM .PN = 0 ⇔ b + 2c −3 xb + ac = 0
Theo yêu cầu bài toán ta có
r2
rr
rr
r2

a3
⇔ −3xb + a b.c − 6 x b.c + 2ac = 0 ⇔ −3 xa 2 + − 3 xa 2 + 2a 3 = 0
2

(

)

(

( )

⇔x=

Câu 50.

5a
12

)(

( )

.

Chọn A

Giả sử

C ( xC ; yC )

và

H ( xH ; y H )

. Có I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có

20

)


 x A + xB + xC
= xI

 x =1
3
⇒ C

 yC = −4
 y A + yB + yC = y
I
⇒ C ( 1; −4 )

3
uuur
uuur
AH = ( xH − 3; y H + 1) ; BC = ( 2; −6 )
Ta
uuurcó

uuur
BH = ( xH + 1; yH − 2 ) ; AC = ( −2; −3)
H

là trực tâm tam giác

ABC

nên

10

uuur uuur
x
=
H
 AH .BC = 0
 2 ( xH − 3) − 6 ( yH + 1) = 0

3
⇔
⇔
 uuur uuur
 −2 ( xH + 1) − 3 ( yH − 2 ) = 0
 BH . AC = 0
y = − 8
 H
9

⇒

Câu 51.

a=

10
8
2
;b = − ⇒ S =
3
9
3

.

Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm
C
Ox
điểm thuộc trục
.

Theo bài ra ta có

B

, điểm

A

thuộc trục

B(0; 0), A(0; 2), C (3;0), D(1; 2)

 x = 3t

 y = 2 − 2t

uuur
AC = (3; −2)

AC
Khi đó
. Phương trình
tham
số
của
đthẳng
là
uuuu
r
uuur
M ∈ AC ⇒ M (3t ; 2 − 2t )
BM = (3t ; 2 − 2t )
DC = (2; −2)
Gọi
. Ta có
và
.
uuuu
r uuur

6
6


2
BM .DC = 0 ⇔ 6t − 4 + 4t = 0 ⇔ t = ⇒ M  ; ÷
5 5
BM ⊥ DC
5
Để
thì
.
uuuu
r  6 −4 
52
uuur
AM =  ; ÷ ⇒ AM =
AC = ( 3; −2 ) ⇒ AC = 13
5
5
5


Khi đó
và
.
21

Oy

và


uuuu
r
uuur
AM = k AC

uuuu
r uuur
AM , AC

⇒k =

AM
52 2
=
=
AC 5 13 5

Vì
và
cùng chiều
.
Câu 52. ChọnuC
uur
uuur
uuur
uuur
AH = ( a + 3; b ) BC = ( −1;6 ) BH = ( a − 3; b ) AC = ( 5;6 )

Ta có
,
,
,
.
a = 2
uuur uuur


AH
.
BC
=
0

 AH ⊥ BC ⇔ uuur uuur
− a + 6b = 3 ⇔ 
5

⇔
b=


 BH . AC = 0
6

 BH ⊥ AC
5a + 6b = 15
∆ABC
H

Vì
là trực tâm
nên
.
⇒ a + 6b = 7
.
Câu 53. Chọn A
uuuu
r uuu
r uuuu
r2
uuuu
r uuu
r uuuu
r2
uuuu
r uuur
CM .CB = CM ⇔ CM .CB − CM = 0 ⇔ CM .MB = 0
.
BC
M
Tập hợp điểm
là đường trịn đường kính
.
Câu 54. Chọn B
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r

uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
CM .CB = CA.CB ⇔ CM .CB − CA.CB = 0 ⇔ CM − CA .CB = 0 ⇔ AM .CB = 0
.
BC
M
A
Tập hợp điểm
là đường thẳng đi qua
và vng góc với
.

(

)

Câu 55.
Chọn
C
uuur uuur uuuu

r
uuuu
r uuu
r uuur uuur
uuuu
r
MA + MB + 2 MC = 4 MK + KA + KB + 2 KC = 4MK
Ta có:
.
uuu
r uuur
uuur 1 uur uuur
AB
AC
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
AK = AI + AC =
+
AK = 3KJ
AK = 3KJ
J
2
4
2
Lấy điểm
thỏa mãn

. Ta có
, mà
nên
uuu
r uuur uuu
r uuur 1 uuur 4 uuur 1 uuur 2 uuur
AJ = AK + KJ = AK + AK = AK = AB + AC
3
3
3
3
.
uuu
r uuu
r uuu
r 1 uuu
r 2 uuur uuur
2 uuur 2 uuur 2 uuur
BJ = AJ − AB = AB + AC − AB = − AB + AC = BC
3
3
3
3
3
Lại có
.
uuu
r 2 uuur
BJ = BC
BC

J
3
Suy ra uuulà
điểm
cố
định
nằm
trên
đoạn
thẳng
xác
định
bởi
hệ
thức
.
u
r uuur uuuu
r uuu
r uuur
3MK + AK = 3MK + 3KJ = 3MJ
Ta có
.
uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur uuuu

r
3MK + AK . MA + MB + 2 MC = 0 ⇔ 3MJ . 4MK = 0 ⇔ MJ .MK = 0
Như vậy
.
JK
M
Từ đó suy ra điểm
thuộc đường trịn đường kính
.

(

(

)(

)

(

22

)

)(

)


J K

JK
M
Vì ,
là các điểm cố định nên điểm
ln thuộc một đường trịn đường kính
là đường
trịn cố định (đpcm).
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ
Câu 56. Chọn A
uuu
r
AB = 62 + 22 = 40 = 2 10

Câu 57.

Chọn D
AB =

Câu 58.

( −3 − 1)

2

+ ( 3 − 0) = 5
2

.

Chọn D

O
D
A
Gọi
là điểm đối xứng của
qua .
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
2OA − OB = OD − OB = BD = BD = OB2 + OD2 = 82 + 42 = 4 5
Câu 59.

Chọn D

uuur uuur

Gọi

I

là trung điểm của

ABCD

Xét hình thang
uuur uuur
OB + OC = 3a
Vậy

.
Câu 60. Chọn B
Điểm

M

thuộc trục

uuu
r uuur
uur
BC ⇒ OB + OC = 2OI ⇒ OB + OC = 2OI

có

OI

⇒ OI =
là đường trung bình

Oy ⇒ M ( 0; y )

.

23

.

AB + CD 3a
=

2
2

.


2
M ⇔ MA = MB ⇔ 1 + ( 2 − y ) =
2

Ta

có

tam

giác

MAB

3
⇔ y=
⇔ 4 − 4 y = 1− 2 y
2

Câu 61.

Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

Câu 66.

tại

OM =

. Vậy

3
2

2

+ ( 1− y)

2

.

Chọn D
2a 3
=a 3
2

AM

2a

trong tam giác đều cạnh
là:
.
uuuu
r
AM = a 3
Vậy khẳng định đúng là
.
Chọn D
uuu
r uuur
uuur
uuu
r
AB
+ CD = CD − AB = 4a
CD
AB
Hai vectơ
và
ngược hướng nhau nên
.
Chọn B
uuu
r uuur 2
uuu
r 2
uuu
r uuur uuur 2
uuu

r uuur
2 AB + AC = 2 AB + 4 AB. AC + AC = 4 AB 2 + AC 2
AB ⊥ AC ⇒ AB. AC = 0
Ta có:
( vì
)
uuu
r uuur
2
2
2
= 4a + a = 5a ⇒ 2 AB + AC = a 5
.
ChọnuC
uur
uuur
uuur
AB = ( 0; −2 ) DC = ( 0; −2 ) AC = ( −4; −4 )
Ta có
;
;
uuu
r uuur.
uuu
r uuur
AB = DC
AB AC
Suy ra
,
khơng cùng phương và

.
ABCD
Nên
là hình bình hành. Vậy mệnh đề (II) đúng.
M = (0; −1)
AC
BD
Suy ra
cắt
tại trung điểm mỗi đường và điểm đó có tọa độ
, suy ra (III)
đúng. uuur
uuur
AB = −2 = 2 AD = ( −4; −2 )
AB = ( 0; −2 )
AD = 20
AB ≠ AD
Ta có
, suy ra
;
, suy ra
, nên
, suy
ABCD
ra
khơng là hình thoi. Mệnh đề (I) sai.
Chọn B
Ta
uuurcó:
AB = ( 3;1) ⇒ AB = 10

.
uuur
AC = ( −1;3) ⇒ AC = 10
.
uuur
BC = ( −4;2 ) ⇒ BC = 20
.
2
2
AB + AC = BC 2
AB = AC
∆ABC
A
Nhận thấy
và
nên
là tam giác vuông cân tại , suy ra tâm
I ( 0;6 )
BC
I
là trung điểm cạnh huyền
. Vậy
.
Chọn B

Độ dài đường cao

Câu 62.

cân

( −1)

(

) (

)

24


C ( xC ; yC )

BA

C

uuur uuu
r
BC BA
nên
;
cùng hướng.

. Theo bài ra ta có
thuộc tia
Giả sử
xC + 11 yC + 25
uuur

uuu
r
uuur
uuu
r
⇔
=
=k
BC = ( xC + 11; yC + 25) BA = ( 12;8 )
BC = k BA ( k > 0 )
12
8
;
ta có:
Với
⇔ 8 xC − 12 yC − 212 = 0

BC = 13 ⇔

⇔ yC =

( xC + 11)

2

+)
(1)
(2)
Thế
vào

ta được:

8 xC − 212
2 x − 53
⇔ yC = C
(1)
12
3

+ ( yC + 25 ) = 13 ⇔ ( xC + 11) 2 + ( yC + 25 ) 2 = 13 (2)
2

2

2

2 x − 53
2

 2 x + 22 
13
2
+ 25 ÷ = 13 ⇔ ( xC + 11) +  C
( xC + 11) +  C
÷ = 13 ⇔ ( xC + 11) = 13
3
3





9
2

 xC = −14
2
⇔ ( xC + 11) = 9 ⇔ 
 xC = −8

Với

xC = −14

Khi đó

(1)
thế vào
ta được:
−14 + 11 −3 −1
k=
=
=
<0
12
12 4

yC =

2.(−14) − 53
= −27

3

(loại).
2.(−8) − 53
yC =
= −23
3

xC = −8

(1)
thế vào
ta được:
−8 + 11 3 1
k=
= = >0
12
12 4
Khi đó
(thỏa mãn).
Với

Vậy

C ( −8; −23)

.

.

Câu 67.
Chọn A
AH ⊥ BC , H ∈ BC
Vẽ uuuur
. uuuu
r
BC
HM
AM
Có
là hình chiếu của
lên
.
uuuu
ruuur a 2
uuuu
ruuur uuuur uuur
AM BC =
AM BC = HM .BC
2 BC = a 3
,
mà
,
Suy ra
.
25

.