chu de DOAN VUONG GOC CHUNG 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.7 MB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề:

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG

THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VNG GĨC CHUNG

Chun đề “Hình Học Khơng Gian” nói chung và chủ đề “Khoảng cách giữa hai 
đường thẳng chéo nhau và đoạn vng góc chung” nói riêng, là một chủ đề tương đối 
khó khăn với đa số học sinh. Chúng tơi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận 
vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn.

I-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:

Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vng góc chung,
thơng thường dùng 2 phương pháp cơ bản sau:

Phương pháp 1:

Bước 1: Xác định mặt phẳng

( )

a ^a

tại A và (a) cắt b.

Bước 2: Chiếu vng góc b xuống

( )

a
được hình chiếu b'.

Bước 3: Kẻ AH ^b', dựng hình chữ
nhật AHKP.

Dể dàng chứng minh: PK là đoạn vng
góc chung của 2 đường thẳng a và b.
Trong trường hợp đặt biệt :

( )

b
a

a
a

ì Ì
ï
í

ïỵ

+ Dựng AH ^ Þb AH là đoạn vng
góc chung của 2 đường thẳng a và b.

Phương pháp 2:

Bước 1: Xác định mặt phẳng

( )

a //a và

( )

bÌ a .

Bước 2: Chiếu vng góc đường thẳng

a trên mặt phẳng

( )

a được đường thẳng
'

a , a'Ç =b

{ }

K

Bước 3: Dựng hình chữ nhật AHKP.
Dễ dàng chứng minh được: KP là đoạn
vng góc chung của 2 đường thẳng a

và b.

I
H
K
P

A
b'
b
a

a
aaa

aaaa

a

b
A

H

K
P

b

H
A

a'
a

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

II-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ:

Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung
của AB và CD.

Hướng dẫn:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

AHB

)

.
Rõ ràng: CD^

(

AHB

)

Bước 2: Dễ thấy, ABÌ

(

AHB

)

Dựng HK ^ ABÞHK là đoạn vng góc chung
của AB và CD.

Bước 3: Tính HK:

Xét DAHK vuông tại K: HK = AH2-AK2

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA^

(

ABCD

)

, đáy ABCD là hình chữ nhật. Dựng
đoạn vng góc chung của : a) SA và CD . b) AB và SC.

Hướng dẫn:

a) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vng góc chung của SA và CD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

ABCD

)

Rõ ràng: SA^

(

ABCD

)

Bước 2: Dễ thấy, CDÌ

(

ABCD

)

và AD^CDÞ AD là đoạn vng góc chung
của SA và CD.

Bước 3: Tính AD (tùy theo giả thiết)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của AB và SC: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

SAD

)

Dễ chứng minh được: AB^

(

SAD

)

Bước 2: Chiếu SC trên

(

SAD

)

Ta có: CD^

(

SAD

)

Þ SD là hình chiếu của SC trên

(

SAD

)

.
+ DựngAH ^SDÞ AH là khoảng cách của SC và AB.
+ Dựng hình chữ nhật AHKPÞ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng SC và AB.

Bước 3: Tính AH.

Xét DSAD vng tại A: 1 2 12 12

AH = SA + AD .

Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vng cạnh a.
a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì?

b) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa A’B và B’C’.
Hướng dẫn:

a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a.

b) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa A’B và B’C’:

K

D

C
B

H
A

S

A

B C

D

P

K H

D

C
B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

AII A' '

)

.
Dễ chứng minh được: B C' '^

(

AII A' '

)

Bước 2: Chiếu A’B trên

(

AII A' '

)

Ta có: BI ^

(

AII A' '

)

Þ A I' là hình chiếu của A’B trên

(

AII A' '

)

.
+ Dựng 'I H ^ A I' Þ I H' là khoảng cách của A’B và B’C’.
+ Dựng hình chữ nhật HKPI’Þ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng A’B và B’C’.

Bước 3: Tính I’H.

Xét Xét DA I I' ' vuông tại I’: 1 2 1 2 12

' ' ' '

I H = A I + II .

Bài tập 15: Cho hình vng ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp vng
góc nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) AD và SB b) SA và BD
Hướng dẫn:

a) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của SB và AD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

SIM

)

Dễ chứng minh được: AD^

(

SIM

)

Bước 2: Chiếu SB trên

(

SIM

)

Ta có: BM ^

(

SIM

)

ÞSM là hình chiếu của SB trên

(

SIM

)

.
+ DựngIH ^SM Þ IH là khoảng cách của SB và AD.

+ Dựng hình chữ nhật HKPIÞ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng SB và AD.

Bước 3: Tính IH.

Xét DSIM vng tại I: 12 12 12

IH = IS + IM .

b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vng góc chung của SA và BD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

SEA

)

Þ BD//

(

SEA

)

Bước 2: Chiếu BD trên

(

SEA

)

Gọi L và J là trung điểm EA và DOÞIL^SL.

+ Dựng IH ^SLÞIH ^

(

SEA

)

+ Dựng JR IH// Þ JR^

(

SEA

)

Suy ra: d

(

BD SA,

)

(

BD SAE,

(

)

(

J SAE,

(

)

=JR
+ Dựng hình chữ nhật RKPJÞ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng SA và BD.

Bước 3: Tính JR.

Ta có: JR =2IH. Xét DSIL vng tại I: 12 12 12

IH = IS +IL .

P

K H

I

C
A

B
A'

B'

C'
I'

M
P

K H

I

D

C

B
A

S

R

J
O
E

S

A B

C
D

I
H

K

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B, AB= a,
BC= a , AD=3a , CD= a 7 , SA= a 2. Khi SA^(ABCD) , hãy dựng và tính độ dài đoạn
vng góc chung giữa các đường thẳng :

a) SA và CD b) AB và SD c) AD và SC
Hướng dẫn:

a) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của SA và CD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

ABCD

)

Rõ ràng: SA^

(

ABCD

)

Bước 2: Dễ thấy, CDÌ

(

ABCD

)

Dựng AH ^CDÞ AH là đoạn vng góc chung
của SA và CD.

Bước 3: Tính AH:

Xét DACD vng tại A: 1 2 1 2 1 2

AH = AC + AD .

b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vng góc chung của AB và SD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

SAD

)

Rõ ràng: AB^

(

SAD

)

Bước 2: Dễ thấy, SDÌ

(

SAD

)

Dựng AK ^SDÞ AK là đoạn vng góc chung của SD và AB.

Bước 3: Tính AK:

Xét DSAD vng tại A: 1 2 12 1 2

AK = AS + AD .

c) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của AD và SC: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

SAB

)

Dễ chứng minh được: AD^

(

SAB

)

Bước 2: Chiếu SB trên

(

SIM

)

Ta có: BC^

(

SAB

)

ÞSB là hình chiếu của SC
trên

(

SAB

)

+ DựngAI ^SBÞ AI là khoảng cách của SB và AD.
+ Dựng hình chữ nhật AIJPÞ JP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng SC và AD.

Bước 3: Tính AI.

Xét DSAB vuông tại I: 12 12 12

AI = AS + AB .

Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB= a, đường cao SO= h. xác
định và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa hai đường thẳng SB và AD.

Hướng dẫn: 
F

FF Giải bằngPhương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

SBC

)

K

H
S

A D

B C

C
B

D
A

S

I J

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và ADÞON ^BC

Ta có:

(

SMN

) (

^ SBC

)

, dựng OH ^SNÞOH ^

(

SBC

)

+ Dựng MI OH// ÞMI ^

(

SBC

)

Suy ra: d

(

AD SB,

)

(

AD SBC,

(

)

(

M SBC,

(

)

=MI
+ Dựng hình chữ nhật MIKPÞ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng SB và AD.

Bước 3: Tính MI. Ta có: MI =2OH.
Xét DSON vuông tại O: 1 2 12 1 2

OH =OS +ON .

Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa hai đường thẳng
DM và D’N.

Hướng dẫn:
F

FF Giải bằngPhương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

D NJ'

)

. (với hình bình hành DJIM)

Dễ chứng minh được: DM //

(

D NJ'

)

Bước 2: Chiếu DM trên

(

D NJ'

)

. (hay tính d

(

DM D N, '

)

)
Do DJ MI// Þ DJ ^IJ ÞIJ ^

(

D JD'

)

Ta có:

(

D JD'

) (

^ D NJ'

)

, dựng DH ^D J' Þ DH ^

(

D NJ'

)

Suy ra:

(

, '

)

(

)

(

)

d DM D N =d DM D NJ =d D D NJ =DH

+ Dựng hình chữ nhật HKPDÞ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng DM và D’N.

Bước 3: Tính DH.

Xét DD DJ' vuông tại D: 1 2 1 2 12 1 2 12 1 2 4 2

' ' '

DH = DD + DJ = DD + MI == DD + AM .

Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ .Hãy xác định đoạn vng góc chung
của BD’, B’C.

Hướng dẫn:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

ABC D' '

)

Dễ dàng chứng minhBC'^

(

ABC D' '

)

Bước 2: Dễ thấy, BD'Ì

(

ABC D' '

)

Dựng HK ^ BD'ÞHK là đoạn vng góc
chung của BD’ và B’C.

Bước 3: Tính HK: Ta có 1 '
2

HK = C P

Xét DBC D' ' vuông tại C’: 1 2 1 2 1 2

' ' ' '

C P =C D +C B

O
P

K I

H
S

A

B

C
D

M

N

P
K
H

J

I
N

D

C

B
A

B'

C'

A'

D'

M

P

K

H
D

C
B

A

B'

C'
A'

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Hãy xác định đoạn vng góc
chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C.

Hướng dẫn:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

DBB D' '

)

.
Dễ chứng minh được: A C' '^

(

DBB D' '

)

Bước 2: Chiếu B’C trên

(

DBB D' '

)

:
Ta có: OC^

(

DBB D' '

)

B O

Þ là hình chiếu của B’C trên

(

DBB D' '

)

+ Dựng 'O H ^B O' ÞO H' là khoảng cách của A’C’ và B’C.
+ Dựng hình chữ nhật O’HKPÞ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng A’C’ và B’C.

Bước 3: Tính O’H.

Xét DO B O' ' vuông tại O’: 1 2 1 2 1 2

' ' ' '

O H =O B +OO .

Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA = a,
SA^(ABC), I là trung điểm cạnh BC. Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa
hai đường thẳng SI và AB.

Hướng dẫn:
F

FF Giải bằngPhương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

( )

SIJ , với IJ AB// và AJ ^IJ.
Dễ chứng minh được: AB//

( )

SIJ

Bước 2: Chiếu AB trên

( )

SIJ (hay tính d

(

AB SI,

)

)
Ta có:

(

SAJ

) ( )

^ SIJ , dựng AH ^SJ Þ AH ^

( )

SIJ

Suy ra: d

(

AB SI,

)

(

AB SIJ,

( )

)

(

A SIJ,

( )

)

= AH
+ Dựng hình chữ nhật AHKPÞ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng AB và SI.

Bước 3: Tính AH. Xét DSAJ vng tại A: 1 2 12 12

AH = AJ +SA .

Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là tâm các hình
vng AĐ’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa hai đường
thẳng CI và AJ.

Hướng dẫn:
F

FF Giải bằngPhương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

AA J'

)

.
Dễ chứng minh được: CI//

(

AA J'

)

Bước 2: Chiếu IC trên

(

AA J'

)

(hay tính d

(

CI AJ,

)

)
Dựng IH ^MJ , để ý rằng A A' ^

(

MIJ

)

IH ^MJ

P

H K

O'

D

C

B
A

B'

C'

A'

D'

O

P
K

H

J I

S

A B

C

P

K

H
M

J
I

D

D'

C'

A B

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

+ Dựng hình chữ nhật IHKPÞ KP là đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng AJ và CI.

Bước 3: Tính IH.

Xét DMIJ vng tại I: 12 12 12

IH = IM + IJ .

Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi , cạnh 2a ,
cạnh bên AA’= a 2 , AD’^BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’ .
Hướng dẫn:

F
F

FF Giải bằngPhương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

AD E'

)

, với // '
'

BE DD
BE DD

í =

ỵ .

Dễ chứng minh được: A B' //

(

AD E'

)

Bước 2: Chiếu A’B trên

(

AD E'

)

(hay tính d

(

A B AD' , '

)

Ta có:

(

' '

) (

' '

)

AI BD

AI BB D B AD E BB D B

AI BB

^
ỡ

^ ị ^

ớ ^

ợ

Dng BH ^D E' ÞBH ^

(

AD E'

)

Suy ra: d

(

A B AD' , '

)

(

A B AD E' ,

(

)

(

B AD E,

(

)

=BH

+ Dựng hình chữ nhật BHKPÞ KP là đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng A’B và
AD’.

Bước 3: Tính BH.

Xét DIBE vng tại B: 1 2 12 12

BH = BE + BI .

Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh a, cạnh
bên bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’.

Hướng dẫn:
F

FF Giải bằngPhương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

BDC'

)

, với CD AB//

CD AB

í =

ỵ .

Dễ chứng minh được: AC//

(

BDC'

)

Bước 2: Chiếu AC trên

(

BDC'

)

(hay tính d

(

AC BC, '

)

)
Gọi I là trung điểm BD.

Ta có:

(

) (

)

CI BD

BD CC I BDC CC I

CC BD

^
ỡ

^ ị ^

ớ ^

ợ

Dng CH ^C I' ịCH ^

(

BDC'

)

Suy ra: d

(

AC BC, '

)

(

AC BDC,

(

)

(

C BDC,

(

)

=CH

+ Dựng hình chữ nhật CHKPÞ KP là đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng AC và
BC’.

Bước 3: Tính CH.

Xét DICC' vng tại C: 1 2 12 1 2
'

CH =CI +CC .

I
P

K

H

E

A B

C
D

A'

B'

C'
D'

D
I

C'
B'

A'

B

A C

H
K

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’=2a và
AB=AA’= a.

a) Chứng minh: AC '^CD '
b) d(D,(ACD’).

c) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa AC’, CD’.
Hướng dẫn:

a) Do AA'= AB a= Þ ABB A' ' là hình vuông.

Suy ra: ' '

(

)

' '

CD DC

CD ADCB CD AC

CD A D

^
ì

Û ^ Þ ^

í ^

ợ .

b) Ta cú: CD'^

(

ADCB'

) (

ị ADI

) (

^ AD C'

)

và

(

ADI

) (

Ç AD C'

)

= AI.

Dựng DH ^ AI

(

)

(

)

DH AD C D AD C DH

Þ ^ Û =

Xét DADC' vng tại D: 1 2 12 1 2
'

DH = DA + DC .

c) Theo câu a, CD'^

(

ADCB'

)

và CD'Ç

(

ADCB'

) { }

= I .

Dựng IK ^ AC'ÞIK là đoạn vng góc chung của AC’ và CD’.
Xét DDAC' đồng dạng với DKIC', ta có: ' . '

' '

KI KC AD KC

KI

AD = DC Û = DC .

Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh: BC'^(A'B'CD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa AB’ và BC’.
Hướng dẫn:

a) Chứng minh BC'^

(

A B CD' '

)

:

Ta có: ' ' '

(

' '

)

BC B C

BC A B CD

BC CD

ì Û ^

í ^

ỵ .

b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vng góc chung giữa AB’ và BC’: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng

(

A B CD' '

)

Dễ chứng minh được: BC'^

(

A B CD' '

)

Bước 2: Chiếu AB’ trên

(

A B CD' '

)

:
Ta có: AH ^

(

A B CD' '

)

HB

Þ là hình chiếu của AB’ trên

(

A B CD' '

)

.
+ DựngIJ ^B H' ÞIJ là khoảng cách của AB’ và BC’.
+ Dựng hình chữ nhật IJKPÞ KP là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng AB’ và BC’.

Bước 3: Tính IJ.

Xét DCB D' đồng dạng với DJB I' , ta có: ' . '

' '

IJ IB CD IB

IJ

CD = B D Û = B D .

D' C'

B'
A'

D C

B
A

H K

I

J
P

I

D'
A'

C'
B'

A

B C

D

K

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

P
H
K

I M

600 O

C

B
A

S

D

K

H
I

O

A

D

C

B

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập 15: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD^BC, AD= a và
d(D,BC)= a. H là trung điểm của BC .

a) Chứng minh: BC ^(ADH) b) DI ^(ABC)
c) Xác định và tính đoạn vng góc chung giữa AD và BC.
Gợi ý:

a) Kẻ BC (AHD)

BC
AD

BC
AH

^
ị
ợ

ớ
ỡ

^
^

)
(
)
,

(AH BC ABC
DI

AH
DI
a
DH
AD

BC
DI

ị

^
ị
ợ

ớ
ỡ

=
=
^

c) HK

Bi tp 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc Aˆ =600và

có đường cao SO= a .Tính:

d(O,(SBC)) d(AD,SB)
Gợi ý:

</div>

chu de DOAN VUONG GOC CHUNG 10

<b>Chủ đề:</b>

<b>KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG </b>

<b>THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VNG GĨC CHUNG </b>

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

{ }

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)