dap an cau 5De thi vao 10 nam 20122013doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (79.56 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giải câu 05

Đề thi vào lớp 10 môn toán bắc ninh
2012-2013

=====================================
Câu 05

Cho các số x ; y tho¶ m·n x 0; y ≥0 và x+ y = 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2

I- tìm giá trị nhỏ nhất

Cách 01 :

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc A .

Ta cã x + y = 1 nên y = - x + 1 thay vào A = x2 + y2 ta cã : 
x2 + ( -x + 1)2 - A = 0 hay 2x2 - 2x + ( 1- A) = 0 (*)

do đó để biểu thức A tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi và 
chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm hay

Δ' ≥0⇔1−2(1− A)02A 10A 1

2 .Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức A là 1

2 khi phơng trình (*) cã nghiƯm kÐp hay x = 
1

2 mµ x + y 
= 1 th× y = 1

2 . VËy Min A = 1/2 khi x = y = 1/2 ( t/m)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 02 :

a) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A .

Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có 1 = x + y hay
 1= (x + y)2 2(x2+y2)⇔x2+y2≥1

2 . VËy gi¸ trị nhỏ nhất của biểu thức A là
1/2 khi x = y mµ x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 03 :

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Khụng mt tính tổng quát ta đặt

x=1− m

y=m

¿{

víi 0≤ m≤1

Mà A= x2 + y2 . Do đó A = ( 1- m)2 + m2 hay A= 2m2 - 2m +1 
hay 2A = (4m2 - 4m + 1) + 1 hay 2A = (2m- 1)2 + 1 hay

A=(2m1)

2 +

1
2

1
2 .

Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A lµ 1/2 khi m= 1/2 hay x = y = 1/2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Cách 04 :

a) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A .

Ta cã A = x2 + y2 = ( x+ y)2 - 2xy = 1 -2xy ( v× x + y =1 )
 mµ xy (x+y)

4 ⇔xy≤
1

4⇒−2 xy≥

−1

2 ⇔1−2 xy≥
1
2⇒A ≥

1
2 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cách 05 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Xét bài toán phụ sau : Với a , b bất kì và c ; d > 0 ta lu«n cã :

a2
c +

b2
d ≥

(a+b)2

c+d (*) , dÊu “=” x¶y ra khi

a
c=

b
d

ThËt vËy : cã (

√

x2

√

y2)

[

(

a

x

)

(

b

y

)

]

(a+b)2 a

2
x +

b2
y

(a+b)2

x+y (ĐPCM)

.áp dụng

Cho a = x vµ b = y ,tõ (*) cã : A= x2 + y2 = x2
1+

y2

1 ≥

(x+y)2

2 mµ x+ y =1 
Nên A 1

2 .Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A lµ 1/2 khi x = y = 1/2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 06 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc A .

Ta cã A = x2 + y2 hay xy = 1− A

2 (*) mµ x + y =1 (**)

VËy tõ (*) ;(**) có hệ phơng trình

x+y=1
xy=1 A

{

,hệ này có nghiƯm

x ≥0; y ≥0⇔1−2(1− A)≥0⇔A ≥1

2 . VËy gi¸ trị nhỏ nhất của biểu thức 
A là 1/2 khi x+ y =1 vµ x2 + y2 = 1

2 hay x = y = 1/2.

b) T×m giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 07 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Ta cã A = x2 + y2 = x2 + y2 + 1 - 1 mà x + y =1 nên A = x2 + y2 - x - y -1
Hay A =

(

x2− x+1

)

(

y

− y+1
4

)

1
2≥

2 . VËy giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

cách 08 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Ta có A= x2 + y2 = x

+y2

1 =

x2+y2

x+y =

x2
x+y+

y2
x+y≥

(x+y)2
2(x+y)=

x+y
2
Mµ x + y =1 nªn A 1

2 . VËy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2. 
khi x = y = 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 09 :

a)Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

bán kín đờng trịn hay A 1

2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 
là 1/2 khi x =y = 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 10 :

a)Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A .

Ta cã x + y =1 ⇔x+y −1
2=

2 . Vậy để chứng minh A 
1
2
với A = x2 + y2 thì ta chỉ cần chứng minh x2+y2≥ x+y −1

2 . 
ThËt vËy :

Ta cã x2+y2≥ x+y −1

2 >= 0 
Hay

(

x −1

)

(

y −1
2

)

≥0 ( luôn đúng ) Vậy A 1

2 . Vậy giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y =1/2.

b)Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A .

C¸ch 11 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Khụng mất tính tổng qt ta đặt

x=2− m

y=m−1
⇒1≤m ≤2

¿{

.Do đó A = x2 + y2 hay (2-m)2 + (m-1)2 - A =0 hay 2m2 - 6m +5 = A 
Hay A=(2m3)

2 +

1
2

1
2 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 12 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Khơng mất tính tổng qt ta đặt

x=3−m

y=m−2
⇒2≤m ≤3

¿{

.Do đó A = x2 + y2 hay (3-m)2 + (m-2)2 - A =0 hay 2m2 - 10m +13 = A 
Hay A=(2m5)

2 +

1
2

1
2 .

Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa A lµ 1/2 khi x = y = 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 13 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc A .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

,do đó ta đặt

a=x+1

b=y+1
⇒

¿a≥1

b 1

{

. Khi ta có bài toán mới sau :

Cho hai sè a , b tho¶ m·n a ≥1;b 1 và a + b =3 . Tìm giá trÞ nhá nhÊt 
cđa biĨu thøc A = a2 + b2 - 4

ThËt vËy : Ta cã A = a2 + b2 - 4 = (a+b)2 - 2ab - 4 = 5 - 2ab ( vì a+b=3)
Mặt khác theo c«si cã : ab≤(a+b)

4 =

4 do đó A 
1

2 . Vậy giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

Cách 14 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Khơng mất tính tổng qt ta đặt

x=a − m

y=m− b
⇒b ≤ m≤ a

¿{

( với a > b vì a - b =1 hay a = b+ 1 hay a > b )
.Do đó A = x2 + y2 hay (a-m)2 + (m-b)2 - A =0 hay
 2m2 - 2m (a+b) +(a2 + b2) = A hay

Hay 2A=[2m(a+b)]2

+2(a2

+b2)(a+b)2A=[2m(a+b)]

2 +

1
2

1
2
(Vì a - b= 1)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .

cách 15 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Ta có x + y =1 hay y = 1 - x mà y 0⇔0≤ x ≤1
Do đó x2 + y2 - A = 0 hay 2 x2 - 2x +( 1 - A ) = 0 .
Khi đó ta có bài tốn mới sau :

Tìm A để phơng trình 2 x2 - 2x +( 1 - A ) = 0 (*) có nghiệm

0≤ x1≤ x2≤1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

0≤ x1≤ x2≤1⇔

x2≥ x1≥0
x1≤ x2≤1

⇔

¿x1≥0
x2≥0

¿x1≤1

x2≤1

no

¿⇔
¿S ≥0

P≥0

¿S ≤2

P ≤1

no

¿⇔
¿Δ' ≥0

S ≥0

P≥0

¿Δ' ≥0

S ≤2

P ≤1

no

¿⇔1

2≤ A ≤1

¿
¿{ {

{ {

{
{

{

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.

b)Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc A .

VËy theo trªn ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 vµ y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 .

II- tìm giá trị lớn nhất

Cách 01 :

Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 vµ y = 1 hoặc x= 1 và y = 0

Cách 02 :

Ta cã A = x2 + y2 hay xy = 1− A

2 (*) v× x + y =1 mµ x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Do đó theo (*) có A 1 . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0

C¸ch 03 :

Khơng mất tính tổng qt ta đặt

x=sin2α ≥0

y=cos2α ≥0

¿{

¿
Do đó A = sin4α+cos4α=1−2(sinα. cosα)2≤1 . 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1

khi x = 0 vµ y = 1 hoặc x= 1 và y = 0

</div>

dap an cau 5De thi vao 10 nam 20122013doc

<b>I- tìm giá trị nhỏ nhất </b>

√

√

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>II- tìm giá trị lớn nhất </b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về