Đề và đáp án môn Toán thi vào 10 Hà Nội 2008

Lời giải bài thi môn Toán vào THPT Thành Phố Hà Nội năm 2008
Đề thi và lời giải
Thầy giáo Nguyễn Cao Cường – THCS Thái Thịnh - Quận Đống Đa – Hà Nội
1
Lời giải bài thi môn Toán vào THPT Thành Phố Hà Nội năm 2008
Lời giải bài thi môn Toán
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thành phố Hà Nội
Năm học 2008 – 2009
Giải đề Thầy giáo: Nguyễn Cao Cường 0904.15.16.50
THCS Thái Thịnh- Quận Đống Đa – Thành Phố Hà Nội
Bài I.Cho biểu thức
xx
x
x
x
x
P
+








+
+= :
1
1
a) Rút gọn P

( ) ( )
( ) ( )
( )
x
xx
P
x
xx
xx
xxx
xx
P
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
P
1
1.
1
1
1
1
:
1

1
1
:
1
1
:
1
1
++
=
+
+
++
=
++
++
=
++
++
=
+








+

+=
b) Tính giá trị của P khi x = 4
Với x = 4 thì
2
7
4
144
=
++
=
P
c) Tìm x để
3
13
=
P
Đkxđ: x>0
( )
031031313
3
131
3
13
=+−⇔=++⇔=
++
⇔=
xxxxx
x
xx
P

(1)
Đặt
tx
=
; điều kiện t > 0
Phương trình (1)
03103
2
=+−⇔
tt
; Giải phương trình ta được




=
=
3
1
3
t
t
(thoả mãn điều kiện)
*) Với t = 3
93
=⇔=⇔
xx
*) Với
9
1

3
1
3
1
=⇔=⇔=
xxt
Thầy giáo Nguyễn Cao Cường – THCS Thái Thịnh - Quận Đống Đa – Hà Nội
2
Lời giải bài thi môn Toán vào THPT Thành Phố Hà Nội năm 2008
Bài II. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Gọi số chi tiết máy tổ thứ nhất làm được trong tháng đầu là x
(x∈N
*
; x < 900; đơn vị:chi tiết máy)
Số chi tiết máy tổ thứ hai làm được trong tháng đầu là 900-x (chi
tiết máy)
Tháng thứ hai tổ I làm vượt mức 15% so với tháng thứ nhất nên tổ I
làm được 115%x=1,15x (chi tiết máy)
Tháng thứ hai tổ II làm vượt mức 10% so với tháng thứ nhất nên tổ
II làm được 110%(900-x)=1,1(900-x) (chi tiết máy)
Tháng thứ hai cả hai tổ làm được 1010 chi tiết máy nên ta có
phương trình:
1,15x + 1,1(900-x) = 1010
⇔ 1,15x + 1,1.900 – 1,1.x = 1010
⇔ 0,05x = 20
⇔ x = 20:0,05
⇔ x = 400 (thoả mãn điều kiện)
vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy
tổ II sản xuất được 900 – 400 = 500 chi tiết máy.
Bài III. Cho Parabol (P)

2
4
1
xy
=
và đường thẳng (d) y = mx + 1
1) Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
(*)0441
4
1
22
=−−⇔+=
mxxmxx
Học sinh có thể giải theo một trong hai cách sau:
Cách 1.
mmm
∀>+=+=∆
0444)2('
22
⇔ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ⇔ (d)
luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Cách 2. Vì a.c = 1. (-4) = -4 <0
m
∀
⇔ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị của m
⇔ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
2) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam
giác OAB theo m (O là gốc toạ độ)

Thầy giáo Nguyễn Cao Cường – THCS Thái Thịnh - Quận Đống Đa – Hà Nội
3
Lời giải bài thi môn Toán vào THPT Thành Phố Hà Nội năm 2008
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
y
2
y
2
x
2
-x
1
O
A
B
D
C
Vì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt trái
dấu nên đồ thị hai hàm số có dạng trên.
Gọi toạ độ điểm

1 1 2 2
( ; ); ( ; )A x y B x y
; giả sử x
1
< 0 < x
2
Gọi hình chiếu vuông góc của B, A lên Ox lần lượt là C, D
Ta có:
2
11
2
22
121122
4
1
;
4
1
;;
xyADxyBC
xxODOCCDxxODxxOC
====
−=+=−====
Ta có
( )
( )
( ) ( )
21211
2
22

2
1
3
1
3
212
2
1
2
2
2
11
2
22
12
2
1
2
2
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8

1
4
1
).(
2
1
4
1
.
2
1
2
4
1
4
1
.
2
1
.
2
1
2
)(
xxxxxxxxxxxxxxS
xxxx
xxxx
S
ADODBCOC
CDBCAD

SSSS
OAB
OAB
OADOBCABCDOAB
−=−=+−−+=
−−−
−






+
=
−−
+
=−−=
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có:
4;4
2121
−==+
xxmxx
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
21
2

21
22
21
22
21
2
21
2
21
14
14116
11616164
xxmxx
mmxx
mmxxxxxx
<+−=−⇒
+=+=−⇒
+=+=−+=−
( )
( )
1214).4.(
8
1
8
1
22
2121
+=+−−=−=
mmxxxxS
OAB

Bài IV.
Thầy giáo Nguyễn Cao Cường – THCS Thái Thịnh - Quận Đống Đa – Hà Nội
4