5 tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Trần Hiếu

1

Tính gần đúng đạo hàm

Bài tốn
x
x0 x1 . . . xn
y = f (x) y0 y1 . . . yn
Tính gần đúng giá trị f (x) với x ∈ [x0 , xn ]
Cho bảng giá trị

Ý tưởng:
f (x) ≈ P (x) trong đó P (x) là Đa thức nội suy sinh ra từ bảng giá trị.
Giả sử trong bảng giá trị các mốc nội suy cách đều nhau một khoảng h.
n

P (t) = y0 +
j=1

Khi đó

dP (x)
dx

=
x=x

∆j y0
t (t − 1) . . . (t − j + 1)

j!

dP (x) dt
.
dt dx

=
t=t=

x−x0
h

1
P t
h

Ví dụ
Cho

x
50
55
60
. Tính f (51)
y 3,9120 4,0073 4,0943

Giải:

∆2 y0
x − 50

P (t) = y0 + ∆y0 t +
t (t − 1) với t =
.
2!
5
Có:
x
y
∆
∆2
50 3,9120 0,0953 -8,3.10−3
55 4,0073 0,0870
60 4,0943
P (t) = 3, 9120 + 0, 0953t − 4, 15.10−3 t (t − 1)
1
1
f (51) = P (0, 2) =
0, 0953 + 4, 15 × 10−3 − 8, 3.10−3 .0, 2 = 0, 019558
5
5

1


Trần Hiếu

2

Tính gần đúng tích phân

Bài tốn
Cho bảng giá trị

x
x0 x1 . . . xn
y = f (x) y0 y1 . . . yn
b

Tính gần đúng I =

f (x) dx, a = x0 , b = xn
a

2.1

Cơng thức hình thang
∗

b

Gọi P (x) là đa thức nội suy sinh ra từ bảng giá trị. Khi đó I ≈ I =

P (x) dx.
a

Giả sử trong bảng giá trị các mốc nội suy cách đều nhau một khoảng h.
xi+1

f (x) dx ≈

Ii =
xi

h
1
(xi+1 − xi ) (yi+1 + yi ) = (yi+1 + yi )
2
2

xn

⇒ I∗ =

f (x) dx =

h
[y0 + yn + 2 (y1 + y2 + . . . + yn−1 )]
2

x0

Sai số:
|I − I ∗ | ≤
2.2

M2
(b − a) h2 trong đó M2 = max |f (x)|
12
[a,b]

Cơng thức Simpson

Giả sử bảng giá trị có 2n + 1 mốc nội suy x0 , x1 , . . . , x2n cách nhau một khoảng
đều là h. Khi đó:
I∗ =

h
[y0 + y2n + 2 (y2 + y4 + . . . + y2n−2 ) + 4 (y1 + y3 + . . . y2n−1 )]
3

Sai số:
|I − I ∗ | ≤

M2
(b − a) h4 trong đó M4 = max f (4) (x)
180
[a,b]

2