Nghiên cứu áp dụng lý thuyết bình sai bền vững để phát hiện và loại bỏ ảnh hởng của sai số thô

Bộ giáo dục v đo tạo
Trờng đại học mỏ - địa chất

Bùi thị Hồng Thắm

Nghiên cứu áp dụng lý thuyết
bình sai bền vững để phát hiện v
loại bỏ ảnh hởng của sai số thô

luận văn thạc sĩ kỹ thuật

H Nội - 2008


Bộ giáo dục v đo tạo
Trờng đại học mỏ - địa chất

Bùi thị Hồng Thắm

Nghiên cứu áp dụng lý thuyết bình
sai bền vững để phát hiện v loại bỏ
ảnh hởng của sai số thô
Chuyên ngành: Kỹ thuật Trắc địa
MÃ số: 60.52.85

luận văn thạc sĩ kỹ thuật

Ngời hớng dẫn khoa học:
PGS.TS. Đỗ Ngọc Đờng

H Nội - 2008

2

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và cha từng đợc ai công bố trong
bất kì công trình nào khác.
Tác giả đề tài

Bùi Thị Hồng Thắm


3
Mục lục
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
Mở đầu
Chơng 1- Tổng quan về công tác Xử lý số liệu
làm giảm ảnh hởng của sai số thô
1.1. Khái niệm về các phép đo và sai số đo
1.2. Khái quát về xử lý số liệu đo trong lới toạ độ và lới
độ cao theo phơng pháp số bình phơng nhỏ nhất
1.3. Khái quát về xử lý số liệu đo trong lới toạ độ và lới
độ cao theo phơng pháp số bình phơng mở rộng
1.4. Công tác xử lý số liệu làm giảm ảnh hởng của sai số
thô trên thế giới và ở Việt Nam

Chơng 2 - Thiết kế tối u lới trắc địa và ứng
dụng độ tin cậy trong việc phát hiện
và loại bỏ ảnh hởng của sai số thô
2.1. Những khái niệm chung
2.2. Tiêu chuẩn chất lợng của lới khống chế
Chơng 3 - Nghiên cứu áp dụng lý thuyết bình sai
bền vững để làm giảm hoặc loại bỏ ảnh
hởng của sai số thô
3.1. Bình sai gián tiếp lới độ cao
3.2. Bình sai xử lý sai số thô bằng phơng pháp lặp trọng số
Chơng 4 - Lới thực nghiệm, kết quả tính toán và
phân tích
4.1. Lới thực nghiệm và chơng trình bình sai thực nghiệm
4.2. Các phơng án và chơng trình bình sai thực nghiệm
4.3. Kết quả thực nghiệm
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Phụ lôc

Trang
1
2
3
4
6
7
10
10
16
26

31
34

34
37
45

45
48
57
57
59
62
77
80
82


4
Danh mục các bảng
Trang
Bảng 4.1.

Số liệu gốc

57

Bảng 4.2.

Số liệu đo

58

Bảng 4.3.

Mức đo thừa

62

Bảng 4.4.

Sai số thô ở trị đo 6

63

Bảng 4.5.

Sai số thô ở trị đo 3

63

Bảng 4.6.

Sai số thô ở trị đo 4

64

Bảng 4.7.

Sai số thô ở trị đo 2 và 5

64

Bảng 4.8.

Sai số thô ở trị đo 1 và 6

65

Bảng 4.9.

Khảo sát ko và k1

67

Bảng 4.10.

Khảo sát ko và k1

67

Bảng 4.11.

Kết quả bình sai và độ lệch khi bình sai theo

68

phơng án 2, 3 với phơng án 1
Bảng 4.12.

Độ cao sau bình sai của các điểm khi gán sai

69

số thô vào trị đo 1
Bảng 4.13.

Độ lệch kết quả bình sai theo phơng án 3 với

69

phơng án 1 khi gán sai số thô vào trị đo 1
Bảng 4.14.

Giá trị trọng số lần lặp cuối cùng bình sai theo

70

phơng án 3 khi gán sai số thô vào trị đo 1
Bảng 4.15.

Độ cao sau bình sai của các điểm khi gán sai

70

số thô vào trị đo 2
Bảng 4.16.

Độ lệch kết quả bình sai theo phơng án 3 với

70

phơng án 1 khi gán sai số thô vào trị đo 2
Bảng 4.17.

Giá trị trọng số lần lặp cuối cùng bình sai theo
phơng án 3 khi gán sai số thô vào trị đo 2

71


5
Bảng 4.18.

Độ cao sau bình sai của các điểm khi gán sai

71

số thô vào trị đo 3
Bảng 4.19.

Độ lệch kết quả bình sai theo phơng án 3 với

71

phơng án 1 khi gán sai số thô vào trị đo 3
Bảng 4.20.

Giá trị trọng số lần lặp cuối cùng bình sai theo

72

phơng án 3 khi gán sai số thô vào trị đo 3
Bảng 4.21.

Độ cao sau bình sai của các điểm khi gán sai

72

số thô vào trị đo 4
Bảng 4.22.

Độ lệch kết quả bình sai theo phơng án 3 với

72

phơng án 1 khi gán sai số thô vào trị đo 4
Bảng 4.23.

Giá trị trọng số lần lặp cuối cùng bình sai theo

73

phơng án 3 khi gán sai số thô vào trị đo 4
Bảng 4.24.

Độ cao sau bình sai của các điểm khi gán sai

73

số thô vào trị đo 5
Bảng 4.25.

Độ lệch kết quả bình sai theo phơng án 3 với

73

phơng án 1 khi gán sai số thô vào trị đo 5
Bảng 4.26.

Giá trị trọng số lần lặp cuối cùng bình sai theo

74

phơng án 3 khi gán sai số thô vào trị đo 5
Bảng 4.27.

Độ cao sau bình sai của các điểm khi gán sai

74

số thô vào trị đo 6
Bảng 4.28.

Độ lệch kết quả bình sai theo phơng án 3 với

74

phơng án 1 khi gán sai số thô vào trị đo 6
Bảng 4.29.

Giá trị trọng số lần lặp cuối cùng bình sai theo
phơng án 3 khi gán sai số thô vào trị đo 6

75


6
Danh mục các hình vẽ
Trang
Hình 1.1.

Sơ đồ lới độ cao

17

Hình 3.1.

Tuyến thuỷ chuẩn từ mốc xác định I đến mốc

46

xác định K
Hình 3.2.

Tuyến thuỷ chuẩn từ mốc cố định I đến mốc

46

xác định K

Hình 3.3.

Tuyến thuỷ chuẩn từ mốc xác định I đến mốc

47

cố định K
Hình 4.1.

Sơ đồ lới thực nghiệm

57

Hình 4.2.

Sơ đồ khối của chơng trình 2

60

Hình 4.3.

Sơ đồ khối của chơng trình 3

61


7
mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài
Việc xử lý số liệu trắc địa nói chung hay bình sai lới trắc địa nói riêng

là một vấn đề không thể thiếu trong công tác Trắc địa. Từ đầu thế kỷ 19,
Legendre và Gauss đà đặt nền móng cho phơng pháp bình sai lới tam giác
theo nguyên lý số bình phơng nhỏ nhất với các trị đo trong lới chỉ có sai số
ngẫu nhiên. Mạng lới tam giác Sumakhe Hannover (1820 - 1848) đà đợc
Gauss bình sai theo lý thuyết ông đề xuất. Nhiều nhà khoa học khác cũng đÃ
có nhiều đóng góp cho sự phát triển của lý thuyết bình sai trong nh÷ng thêi
gian sau nh− F. Helmet, O. Shreiber, A.P. Bolotov, A.N. Cavich, Cơ sở toán
học của phơng pháp bình sai là lý thuyết xác suất, lý thuyết thống kê toán
học và phơng pháp số bình phơng nhỏ nhất. Trong những năm của thế kỷ 20
phơng pháp bình sai phát triển mạnh mẽ cả về lý thuyết cũng nh thực hành.
Nhiều nhà khoa học có nhiều đóng góp cho sự phát triển này nh F.N.
Krasovski, N.A. Urmaev, J.M. Tienstra, W. Fischer, E. Grafarend, I.IU.
Pranhic - Pranhevich, A. Bjerhammar, A.C. Trebotarev, V.V. Popov, V.D.
Bolsakov, W. Baran, IU.I. Markuze,…
Sù ph¸t triĨn khoa học kỹ thuật đà mở rộng mô hình tính toán bình sai.
Trong những năm 1950 việc bình sai chặt chẽ đồng thời một mạng lới cho
một nớc nhỏ cũng là một công việc rất khó khăn do hạn chế về phơng tiện
tính toán. Hiện nay với kỹ thuật tính toán phát triển, việc tự động quá trình xử
lý số liệu trắc địa đà trở thành tất yếu.
Cùng với việc phát triĨn cđa khoa häc kü tht nãi chung, trang thiÕt bị
phục vụ cho ngành Trắc địa cũng không ngừng phát triển với những loại máy
móc thiết bị hiện đại cho nguyên lý đo mới và độ chính xác cao đáp ứng với
yêu cầu của thực tế. Tuy nhiên, trong quá trình đo đạc và xử lý số liệu trắc địa
dù có chính xác đến đâu cũng không thể tránh đợc các loại sai số, đặc biệt là
sai số thô - sai số sinh ra do nhiều nguyên nhân khác nhau nh− sù thiÕu thËn


8
trọng của ngời làm công tác đo đạc hay xử lý sè liƯu, sù tÝch l sai sè hƯ
thèng cđa máy móc,... Mặt khác, chất lợng của lới trắc địa ngoài việc phụ

thuộc vào độ chính xác của công tác đo đạc còn chịu ảnh hởng của các công
tác thiết kế lới, thêm vào đó là phơng pháp bình sai lới trắc địa truyền
thống mới chỉ kể đến các yếu tố của sai số đo mà cha kể đến các sai số do
kết cấu hình học của lới.
Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu: Nghiên cứu áp dụng lý thuyết
bình sai bền vững để phát hiện và loại bỏ ảnh hởng của sai số thô.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống những kiến thức đà có về vấn đề độ tin cậy của lới và bình
sai bền vững.
- Tìm hiểu quy luật ảnh hởng của sai số thô đến trị đo nhằm giảm ảnh
hởng của sai số thô.
- Tìm hiểu cách xử lý số liệu mới.
- Trên cơ sở xử lý số liệu theo cách mới dẫn đến việc phát hiện ra sai số
thô, làm giảm hoặc loại bỏ ảnh hởng của sai số thô gọi là ớc lợng bền
vững hay bình sai bền vững.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tợng và phạm vi nghiên cứu của luận văn là lới thuỷ chuẩn.
4. Nội dung nghiên cứu
- Nghiên cứu ảnh hởng của sai số thô đến trị đo.
- Nghiên cứu áp dụng lý thuyết bình sai bền vững để phát hiện và loại
bỏ ảnh hởng của sai số thô.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Các phơng pháp nghiên cứu đợc sử dụng trong luận văn là:
- áp dụng lý thuyết độ tin cậy và nghiên cứu ảnh hởng của sai số thô.
- Bình sai lới thuỷ chuẩn theo phơng pháp truyền thống để nghiên
cứu quy luật ảnh hởng cña sai sè.


9
- So sánh kết quả bình sai mới và bình sai truyền thống để rút ra kết

luận cần thiết.
6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Cách xử lý số liệu mới trong trắc địa.
7. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 4 chơng với 7 hình vẽ và 29 bảng.
8. Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Đỗ Ngọc Đờng đà giúp
đỡ, hớng dẫn khoa học trong suốt quá trình tôi làm luận văn.
Tôi xin chân thành cám ơn Bộ môn Trắc địa cao cấp khoa Trắc địa Bản đồ trờng Đại học Mỏ - Địa chất đà giúp tôi hoàn thiện đề tài này.
Tôi xin cảm ơn Ban lÃnh đạo Trờng Cao đẳng Tài nguyên và Môi
Trờng Hà Nội, khoa Trắc địa - Bản đồ Trờng Cao đẳng Tài nguyên và Môi
Trờng Hà Nội và các bạn đồng nghiệp đà tạo điều kiện, giúp đỡ, góp ý trong
quá trình tôi làm luận văn.
Do thời gian hạn chế, kinh nghiệm và kiến thức có hạn nên luận văn
này không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng
góp quý báu để cho những kết quả nghiên cứu của luận văn này đợc hoàn
thiện hơn.
Xin chân thành cảm ¬n!


10

Chơng 1
Tổng quan về công tác Xử lý số liệu
lm giảm ảnh hởng của sai số thô
1.1. Khái niệm về các phép đo và sai số đo
1.1.1. Khái niệm về các phép đo
Phép đo là cách so sánh một đại lợng vật lý X nào đó cần xác định một
loại cùng loại x đợc chọn làm đơn vị.
X = x.N

(1.1)

Trong đó:
X là đại lợng vật lý cần xác định.
x là đại lợng đợc chọn làm đơn vị.
N là số thực.
Ví dụ:
Đơn vị dùng để đo chiều dài là kilômét, mét, centimét,...
Đơn vị dùng để đo góc là độ, phút, giây,...
Đơn vị dùng để đo trọng lợng là tấn, tạ, yến, kilôgam,...
Tuy vậy định nghĩa phép đo cha thật tổng quát vì trong thực tế sự vật
và hiện tợng có những mối quan hệ lẫn nhau. Ngời ta lợi dụng những vấn đề
đó để tiến hành đo đạc mà không cần một đại lợng cùng loại để so sánh trực
tiếp với đại lợng cần đo.
Ví dụ:
Đo chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật ta xác định đợc diện tích
của hình chữ nhật đó.
Đo sự thay đổi chiều cao của cột thuỷ ngân ta xác định đợc sự thay đổi
của nhiệt độ.
Giá trị hằng số của một đại lợng đợc xác định bằng một phép đo gọi là
trị đo. Nh vậy trị đo là tích giá trị hằng số của đại lợng đo và đơn vị của nó.
1.1.1.1. Đo trực tiếp và đo gián tiếp
Đo trực tiếp là so sánh trực tiếp đại lợng cần xác định với đại lợng
cùng loại làm đơn vị. Kết quả nhận đợc trực tiếp trên máy móc, dụng cụ đo.


11
Ví dụ:
Đo chiều dài bằng thớc thép.

Đo góc bằng máy kinh vĩ.
Đo gián tiếp là phép đo mà giá trị của đại lợng cần tìm đợc xác định
qua hàm số của các đại lợng vật lý khác với đại lợng cần tìm.
Ví dụ:
Đo trực tiếp cạnh đáy và chiều cao sẽ xác định đợc diện tích của
tam giác.
1.1.1.2. Độ chính xác
Phép đo đợc tiến hành trong những điều kiện nh nhau nh cùng ngời
đo, cùng trang thiết bị máy móc, dụng cụ, cùng phơng pháp đo, cùng điều
kiện ngoại cảnh. Vì vậy, độ tin cậy của kết quả đo đợc coi là nh nhau nên
đợc gọi là cùng độ chính xác.
Phép đo đợc tiến hành trong những điều kiện khác nhau đợc gọi là
không cùng độ chính xác.
1.1.1.3. Trị đo cần thiết và trị đo thừa
Trị đo cần thiết là số trị đo tối thiểu để xác định hình dạng và kích
thớc của một đối tợng, ký hiệu là t.
Trị đo thừa là số trị đo nhiều hơn số trị đo cần thiết, ký hiệu là r.
Để giải quyết bài toán trắc địa cần thiết phải đo thừa một số đại lợng
hoặc một đại lợng phải đo nhiều lần để kiểm tra kết quả đo ngắm, loại trừ
đợc sai số thô và nâng cao độ chính xác của kết quả đo cần tìm.
Ví dụ:
Trong tam giác chỉ cần đo 2 góc 1, 2 còn góc thứ 3 là 3 đợc suy ra
tõ quan hƯ trong tam gi¸c β3 = 1800 - 1 - 2, nhng nếu đo thêm 3 thì không
những giúp kiểm tra phát hiện sai lầm trong khi đo mà còn dựa vào điều kiện
toán học tổng 3 góc trong tam giác bằng 1800 để tìm ra sai sè khÐp gãc ϖβ =


12
β1 + β2 + β3 – 1800 ®Ĩ hiƯu chØnh vào từng góc một lợng v =

3

nhằm nâng

cao độ chính xác của kết quả đo.
1.1.2. Nguồn gốc của sai số đo
Có rất nhiều nguyên nhân gây ra sai số đo nhng có thể quy gộp thành
3 nguyên nhân chủ yếu sau:
1.1.2.1. Sai số do ngời
Là sai số do giác quan của con ngời không chuẩn xác gây nên.
Ví dụ:
Mắt ngời chỉ phân biệt đợc 2 điểm cách nhau 0,2 milimét (mm) nên
khi đo chiều dài một đoạn thẳng nếu ớc đọc không đúng phần lẻ milimét sẽ
có sai số đọc số.
1.1.2.2. Sai số do dụng cụ, máy móc
Là sai số do sử dụng dụng cụ máy móc không chính xác.
Ví dụ:
Một thớc thép có chiều dài danh nghĩa lo = 10 mÐt, nh−ng chiỊu dµi
thøc tÕ cđa th−íc thÐp là lt = 10,002 mét. Nếu không kiểm nghiệm và cải
chính vào kết quả đo thì khi đo một cạnh dài, cứ một lần đặt thớc sẽ tồn tại
một sai sè δ = +2 (mm).
1.1.2.3. Sai sè do m«i tr−êng đo
Là sai số do thời tiết khi đo không ổn định và mức độ phức tạp của các
yếu tố địa hình, địa vật gây nên.
Ví dụ:
Cùng đo chiều dài một đoạn thẳng bằng thớc thép nhng khi nhiệt độ
môi trờng thay đổi làm chiều dài thớc bị co dÃn hoặc địa hình gập ghềnh
thớc bị cong, vênh,... dẫn đến kết quả đo kém độ chính xác.

13
1.1.3. Sai số đo
Mỗi phép đo là kết quả tổng hợp các thông tin thu đợc của các điều
kiện đo theo một quy trình của phép đo trong một khoảng thời gian nhất định.
Do các điều kiện đo luôn thay đổi theo thời gian nên kết quả của phép đo cũng
luôn thay đổi. Trong phép đo nhiều lần của cùng một đại lợng ở những thời
điểm khác nhau, kết quả thu đợc cũng khác nhau. Mặt khác, để xác định
thông tin cho mỗi điều kiện đo các dụng cụ đo cũng có sai số nhất định. Vì
vậy, trị đo nhận đợc của một đại lợng bao giờ cũng chênh với trị thực một
giá trị nhất định.
Gọi trị thực của đại lợng cần tìm là X, trị đo thu đợc trong phép đo
thứ i là Li thì lợng chênh i giữa trị đo và trị thực đợc tính bởi công thức:
i = Li X

(1.2)

i gọi là sai số của trị đo Li.
Tác nhân chủ yếu gây nên sự chênh lệch i là sự thay đổi theo thời gian
của các điều kiện đo. Sự thay đổi này rất đa dạng, có những điều kiện đo thay
đổi có quy luật nhng có những điều kiện đo thay đổi không có quy luật.
Những ®iỊu kiƯn ®o thay ®ỉi cã tÝnh quy lt ®−ỵc coi là những điều kiện
mang tính hệ thống. Những điều kiện đo thay đổi không có tính quy luật đợc
gọi là những điều kiện mang tính ngẫu nhiên.
Khi xử lý số liệu đo ngời ta phân ra các loại sai số đo theo tính chất và
quy luật xuất hiện của chúng.
1.1.3.1. Sai số thô
Trong quá trình đo đạc, do sự nhầm lẫn, thiếu thận trọng của ngời làm
công tác đo đạc nên có những sai số có giá trị lớn đáng kể so với giá trị của
các loại sai số khác trong mỗi phép đo gọi là sai số thô (Ti). Ngoài ra, sai số

thô cũng có thể đợc tạo ra từ máy móc, dụng cụ đo không đợc kiểm nghiệm
và hiệu chỉnh thoả đáng trớc khi đo hoặc cũng có thể sai số thô đợc tạo nên
từ sự tích l cđa sai sè hƯ thèng mét chiỊu.


14
Ngời ta thực hiện phép đo lặp nhiều lần của cùng một đại lợng và dựa
vào quy luật thay đổi của các trị đo để phát hiện sai số thô.
Khi phát hiện trong dÃy trị đo có chứa sai số thô trớc đây phải loại bỏ
trị đo đó và việc có đo thêm trị đo khác để thay thế trị đo bị loại hay không
phụ thuộc vào tuỳ từng trờng hợp cụ thể của bài toán. Hiện nay ngời ta có
thể xử lý theo lý thuyết bình sai bền vững.
1.1.3.2. Sai số hệ thống
ảnh hởng về giá trị của các ®iỊu kiƯn ®o mang tÝnh hƯ thèng ®Õn kÕt
qu¶ ®o thông thờng là ảnh hởng hệ thống tạo nên sai sè mang tÝnh hƯ
thèng (Si).
Sai sè hƯ thèng cã thĨ loại bỏ hoặc làm giảm bớt đợc nếu biết nguyên
nhân và quy luật xuất hiện, dùng phơng pháp kiểm định tìm đợc trị số của
nó để hiệu chỉnh vào kết quả đo.
1.1.3.3. Sai số ngẫu nhiên
ảnh hởng về giá trị của các điều kiện đo mang tính ngẫu nhiên đến kết
quả đo sẽ tạo nên sai số ngẫu nhiên (i) .
Khác với sai số hệ thống, nếu trong dÃy trị số đo xét thấy sai số có trị số
và dấu luôn biến động không theo quy luật rõ ràng, lúc lớn, lúc bé, lúc âm, lúc
dơng thì trong dÃy trị đo này tồn tại sai số ngẫu nhiên.
Nh vậy, trong mỗi phép đo có thể tồn tại 3 loại sai số đo:
- Sai số mang tính hệ thống còn gọi lµ sai sè hƯ thèng (Si).
- Sai sè mang tÝnh ngẫu nhiên còn gọi là sai số ngẫu nhiên (i).
- Sai số thô (Ti).
Do vậy, công thức (1.2) đợc viết dới dạng:

i = Si + i + Ti
Trong đó:
Si là tổng hợp của các nguồn sai số mang tính hệ thèng.

(1.3)


15
i là tổng hợp của các nguồn sai số mang tính ngẫu nhiên.
Ti là tổng hợp của các nguồn sai số thô.
1.1.4. Đặc tính của sai số ngẫu nhiên
Sai số ngẫu nhiên (i) không tuân theo quy luật, tức là không thể dựa
vào một số sai số ngẫu nhiên để dự đoán dấu, giá trị của các sai số ngẫu nhiên
khác. Nhng khi quan sát một dÃy với số lợng lớn, sai số ngẫu nhiên đợc
xuất hiện trong cùng một ®iỊu kiƯn ®o th× sù xt hiƯn cđa sai sè ngẫu nhiên
tuân theo quy luật.
Sai số ngẫu nhiên có những đặc tính sau:
- Trị số tuyệt đối của sai số ngẫu nhiên không vợt quá một giới hạn
nhất định, trị số giới hạn này phụ thuộc vào điều kiện đo.
Theo [4], giá trị tuyệt đối của sai số ngẫu nhiên đợc giới hạn bởi ||
t.m với m là sai số trung phơng. Hệ số t thờng đợc chọn là 2 ữ 3, t = 3 thì
xác suất P = 0.995.
- Những sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ có khả năng xuất hiện
nhiều hơn những sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối lớn.
- Các sai số ngẫu nhiên âm và dơng có trị tuyết đối bằng nhau khả
năng xuất hiện nh nhau.
- Khi số lần đo tăng lên vô hạn thì trị trung bình cộng các sai số ngẫu
nhiên đều tiến tới không tức là:

[] = 0

n

lim

n

(1.4)

Trong đó:

[ ] là tổng các sai số ngẫu nhiên.
n

[ ] = i
i =1

(1.5)

Đặc tính thứ nhất của sai số ngẫu nhiên đặc trng cho điều kiện đo.
Điều kiện đo tốt thì giá trị sai số giới h¹n nhá.


16
Đặc tính 2 nói rõ quy luật về giá trị của sai số.
Đặc tính 3 nói về quy luật hớng của sai số.
Đặc tính 4 là hệ quả của các tính chất trên.
Các đặc tính trên là của dÃy với số lợng lớn các sai số ngẫu nhiên và
dÃy sai số ngẫu nhiên ấy tuân theo luật phân bố chuẩn. Chỉ những dÃy sai số
ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố chuẩn mới có đầy đủ các đặc tính trên, [7].
1.2. Khái quát về xử lý số liệu đo trong lới toạ độ và lới độ cao theo

phơng pháp số bình phơng nhỏ nhất
1.2.1. Trọng số
1.2.1.1. Trọng số
Đại lợng X đo n lần đợc kết quả đo L1, L2,..., Ln với các sai số trung
phơng của các trị đo tơng ứng là m1, m2,..., mn.
Trọng số của trị đo Li ký hiệu là Pi (i = 1 ữ n) đợc xác định theo
công thức:
Pi =

2
mi2

(1.6)

Trong đó:
là hằng số tuỳ chọn.
Từ công thức (1.6) thấy Pi và mi2 là quan hệ tỷ lệ nghịch, tức sai số
trung phơng càng nhỏ trọng số càng lớn và ngợc lại. Ngời ta dùng Pi để so
sánh độ chính xác giữa các trị đo Li. Khi Pi càng lớn thì trị đo tơng ứng Li
chiÕm tû träng cµng lín trong viƯc tham gia tÝnh trị xác xuất nhất của trị đo,
đây chính là bản chất trọng số của trị đo.
- Trọng số đơn vị
Nếu hằng số đợc chọn có giá trị bằng sai số trung phơng của trị đo
thứ i nào đó = mi. Khi đó trọng số của trị đo i t−¬ng øng Pi = 1 ng−êi ta gäi
Pi = 1 là trọng số đơn vị.
Trị đo có trọng số bằng 1 đợc gọi là trị đo có trọng số đơn vÞ.


17
Sai số trung phơng của trị đo có trọng số bằng 1 đợc gọi là sai số

trung phơng trọng số đơn vị.
1.2.1.2. Một số phơng pháp thờng dùng để xác định trọng số
Trong thực tế không phải lúc nào cũng sử dụng công thức (1.6) một
cách thuận lợi để xác định trọng số. Vì vậy, đối với từng trờng hợp cụ thể
phải biến đổi công thức (1.6) để thuận tiện cho việc tính toán. Sau đây là một
số công thức thờng dùng để xác định trọng số.
- Xác định trọng số trong đo cao hình học
Giả thiết xuất phát từ các điểm khống chế độ cao cấp cao và dựa vào n
tuyến đo để xác định độ cao của điểm P nh hình vẽ 1.1, [7].

Hình 1.1. Sơ đồ lới độ cao
Độ cao nhận đợc lần lợt là H P1 , H P2 ,..., H Pn tơng ứng với các tuyến
đo 1, 2,..., n. Số trạm đo của các tuyến tơng ứng là N1, N2,..., Nn. Biết độ
chính xác của chênh cao trên mỗi trạm máy đều bằng m. Giả thiết các điểm
cấp cao không có sai số. Vậy sai số trung phơng xác định độ cao điểm P theo
các tuyÕn lµ:
⎧m1 = m N 1
⎪
⎪m 2 = m N 2
⎨
⎪..................
⎪
⎩m n = m N n

Theo c«ng thøc (1.6) träng số đo chênh cao trên các tuyến là:

(1.7)


18

2
⎧
⎛μ⎞
⎜ ⎟
⎪
μ2
⎝m⎠
⎪P =
=
⎪ 1 ( m N1 ) 2
N1
⎪
2
⎪
⎛μ⎞
⎜ ⎟
⎪
μ2
m
⎪P =
=⎝ ⎠
⎨ 2
2
N2
(m N 2 )
⎪
⎪....................................
⎪
2
⎪

⎛μ⎞
⎜ ⎟
⎪
2
μ
m
⎪Pn =
=⎝ ⎠
2
⎪⎩
Nn
(m N n )

(1.8)

Đối với một cấp khống chế độ cao nhất định m luôn không đổi và là
2


một số tuỳ chọn, do đó có thể đặt = C.
m

Nh vậy, trọng số đối với mỗi tuyến sẽ có dạng:
Pi =

C
Ni

(i = 1 ữ n)

(1.9)

Nghĩa là khi độ chính xác đo chênh cao trên mỗi trạm máy bằng nhau
thì trọng số của tổng chênh cao của các tuyến tỷ lệ nghịch với số trạm đo.
Khi tiến hành đo cao hình học cũng có thể dựa vào chiều dài của tuyến
để xác định trọng số. Trong thực tế, nếu số trạm máy trên mỗi cây số bằng
nhau thì có thể coi độ chính xác đo hiệu số độ cao trên mỗi cây số cũng bằng
nhau. Giả thiết sai số trung phơng đo chênh cao trên mỗi cây số là m. Nh
vậy, sai số trung phơng đo chênh cao trên các tuyến có độ dài là S1, S2,..., Sn
kilômét (km) lần lợt sÏ lµ:
⎧m1 = m S1
⎪
⎪m 2 = m S 2
⎨
⎪..................
⎪
⎩m n = m S n

(1.10)

Dựa vào công thức (1.9) và theo phơng pháp tính nh ở trên nhận đợc:


19
Pi =

C
Si

(i = 1 ữ n)

(1.11)

Thông thờng, đối với những khu vực tơng đối bằng phẳng thì dùng
chiều dài S để tính trọng số vì số trạm máy trên mỗi cây số là nh nhau. ở khu
vực địa hình phức tạp số trạm máy trên mỗi cây số chênh nhau nhiều thì dùng
số trạm máy để tính trọng số.
- Xác định trọng số của trị trung bình cộng của các nhóm đo với số lần
đo khác nhau
Giả thiết đại lợng X, tiến hành K nhóm đo nhận đợc các kết quả L1,
L2,..., Lk biết rằng Li là trị trung bình của n1, n2,..., nk lần đo. Trọng số tơng
ứng của chúng là:
Pi = ni.C

(i = 1, 2,..., k)

(1.12)

Trong đó:
C là h»ng sè t chän.
Nh− vËy Pi tû lƯ thn víi số lần đo ni. Trong bài toán bình sai chỉ đợc
chọn duy nhất một giá trị của C.
Công thức (1.12), khi chọn c = 1/n nghĩa là ta đà lấy trị trung bình của n
trị đo làm trị đo có trọng số làm đơn vị. Nh vậy dùng công thức (1.12) để
tính trọng số sẽ thuận lợi hơn công thức (1.6) nhng với điều kiện là tất cả các
trị đo trong các nhóm đều có độ chính xác nh nhau. Nếu sai số trung phơng
của trị đo trong các nhóm khác nhau thì không thể áp dụng công thức (1.12)
để tính trọng số mà phải dùng công thức (1.6).
- Trọng số của hàm các trị đo
Trọng số có quan hệ mật thiết với sai số trung phơng, do đó có thể dựa

vào công thức tính sai số trung phơng của hàm các trị đo để thành lập công
thức tính trọng số của hàm các trị đo tức là cần biểu thị quan hệ giữa trọng số
của trị đo và trọng số của hàm các trị đo ấy.
Giả sử hàm của các trị đo dạng tổng quát có dạng:


20
F = f(L1, L2,..., Ln)

(1.13)

Trong đó:
Li là các trị đo ®éc lËp víi sai sè trung ph−¬ng t−¬ng øng mi và trọng số
Pi (i = 1 ữ n).
Sai số trung phơng của hàm là:
2

2

2

f 2
f 2 ⎛ ∂f ⎞ 2
⎟⎟ mn
⎟⎟ m1 + ⎜⎜
⎟⎟ m2 + ... + ⎜⎜
m = ⎜⎜
⎝ ∂x1 ⎠
⎝ ∂x2 ⎠
⎝ ∂xn

2
F

Thay mi2 =

2
Pi 2

(1.14)

vào công thức trên, sau khi khử 2 ta đợc:
2

2

2

f 1
1 f 1 ⎛ ∂f ⎞ 1
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
= ⎜⎜
+ ⎜⎜
+ ... + ⎜⎜
PF ⎝ ∂x1 ⎠ P1 ⎝ ∂x2 ⎠ P2
⎝ ∂xn ⎠ Pn

(1.15)

C«ng thøc (1.15) biĨu diƠn quan hƯ gi÷a träng sè cđa trị đo và trọng số
của hàm các trị đo. Từ công thức tính trọng số của hàm dạng tổng quát, vận
dụng để thành lập công thức tính trọng số cho các hàm khác trong từng trờng
hợp cụ thể.
Công thức (1.15) chỉ dùng để tính trọng số của hàm các trị đo độc lập.
Nếu các trị đo không độc lập thì phải tìm cách biến đổi hàm của các trị đo
không độc lập thành hàm của các trị đo độc lập rồi áp dụng công thức trên
hoặc có thể tính trực tiếp số nghịch đảo trọng số của hàm các trị đo không
độc lập.
Với lới trắc địa hiện đại có nhiều nhóm trị đo khác nhau về tính chất,
ngay trong mỗi nhóm này lại có sự khác nhau về độ chính xác, vấn đề trọng số
đợc xác định theo phơng pháp ớc lợng phơng sai của Helmert đề xuất
[2], [14].
1.2.2. Bình sai điều kiện
Giả sử có n đại lợng đo L1' , L'2 ,..., L'n , các trọng số tơng ứng là P1,
P2,..., Pn.
Số đại lợng đo cần thiết là t, số đại lợng đo thừa là r


21
r=n-t

(1.16)

Ký hiệu các số hiệu chỉnh cho các đại lợng đo tơng ứng là v1, v2,...,
vn, trị bình sai của các trị đo tơng ứng là L1, L2,..., Ln. Ta có:
(i = 1 ữ n)

Li = L'i + vi

(1.17)

Các trị bình sai của các đại lợng đo đồng thời phải thoả mÃn r phơng
trình điều kiện trong mạng lới, một cách tổng quát có thể viết r phơng trình
điều kiện nh− sau:
ϕi (L1, L2,…, Ln) = 0

(i = 1 ÷ r)

(1.18)

Thay công thức (1.17) vào (1.18) ta có:
i ( L1' + v1, L'2 + v2,…, L'n + vn) = 0

(1.19)

V× các trị đo sai lệch với trị bình sai không nhiều nên các số hiệu chỉnh
vi là những giá trị nhỏ. Đa các phơng trình (1.19) về dạng tuyến tính bằng
cách khai triển Taylor bỏ qua các số hạng từ bËc 2 cđa sè hiƯu chØnh vi.
⎛ ∂ϕ i ⎞
⎛ ∂ϕ ⎞
⎟⎟ v1 + ⎜⎜ i ⎟⎟ v2 + ... +
⎝ ∂L1 ⎠ 0
⎝ ∂L2 ⎠ 0

ϕi ( L1' , L'2 ,…, L'n ) + ⎜⎜

⎛ ∂ϕ i ⎞
⎜⎜
⎟⎟ vn = 0

L
n 0

(1.20)

Phơng trình điều kiện số hiệu chỉnh:
ai1 v1 + ai2 v2 + ... + ain vn + ωi = 0

(1.21)

Trong ®ã:
⎛

⎞

∂ϕ
aij = ⎜⎜ i ⎟⎟

⎝ ∂L j ⎠ 0

(i = 1 ÷ r, j = 1 ÷ n)

(1.22)

và số hạng tự do:
i = i ( L1' , L'2 ,, L'n )

(1.23)

Các phơng trình điều kiện số hiệu chỉnh có thể viết dới dạng ma trân
nh sau:
A.V + W = 0
Trong đó:
A là ma trận hệ số phơng trình điều kiện.

(1.24)


22
V lµ vector sè hiƯu chØnh.
W lµ vector sai sè khÐp.
⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢ ...
⎢
⎣an1

a12
a22
...
an 2

... a1n ⎤
... a2 n ⎥⎥
... ... ⎥
⎥
... ann ⎦

⎡v1 ⎤
⎢v ⎥
V = ⎢ 2⎥
⎢... ⎥
⎢ ⎥
⎣v n ⎦

⎡ω1 ⎤
⎢ω ⎥
W= ⎢ 2⎥
⎢... ⎥
⎢
n

(1.25)

Theo nguyên lý số bình phơng nhỏ nhất, để tìm đợc vector số
hiệu chỉnh V thoả mÃn VTPV = min ta phải lập hệ phơng trình chuẩn số
liên hệ sau:
(AP-1AT) K + W = 0

(1.26)

Trong đó:
K là vector số liên hệ
K = [k1 k2 kr]T

(1.27)

Hệ phơng trình chuẩn (1.26) là hệ phơng trình đại số tuyến tính gồm

r phơng trình, r ẩn số. Ma trận (AP-1AT) là ma trận vuông đối xứng qua
đờng chéo chính.
Giải hệ (1.26) ta đợc vector số liên hệ K:
K = -(AP-1AT)-1W

(1.28)

Số hiệu chỉnh cho trị đo đợc tính theo công thức :
V = P-1ATK

(1.29)

Từ đó ta tính đợc trị bình sai của các đại lợng đo theo công thức
(1.17). Từ trị bình sai này ta có thể xác định đơn trị các yếu tố cần xác định
nh: toạ độ điểm, chiều dài cạnh hay phơng vị cạnh,...
Đánh giá độ chính xác của các trị đo và của các yếu tố trong lới.
Sai số trung phơng trọng số đơn vị:
=

V T PV
r

(1.30)


23
Để đánh giá độ chính xác của các yếu tố đặc trng trong mạng lới
(chiều dài cạnh, phơng vị cạnh, toạ độ của điểm,) cần lập hàm số trọng số.
Trong bình sai điều kiện, hàm số là hàm các trị bình sai có dạng tổng quát:
F = f(L1, L2, ..., Ln)

(1.31)

Để có thể tính đợc trọng số đảo 1/PF của hàm trên ta cần khai triển
hàm trọng số (1.31) về dạng tuyến tính. Thay (1.17) vào (1.31) ta đợc:
F = f( L1' + v1, L'2 + v2,…, L'n + vn)

(1.32)

BiÕn đổi về dạng tuyến tính bằng cách khai triển Taylor, bỏ qua các số
hạng từ bậc 2 của số hiệu chØnh vi sÏ cã:
⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂f ⎞
⎟⎟ v2 + ... +
F = f( L1' , L'2 ,…, L'n ) + ⎜⎜ ⎟⎟ v1 + ⎜⎜
⎝ ∂L1 ⎠ 0
⎝ ∂L2 ⎠ 0

⎛ ∂f ⎞
⎜⎜
⎟⎟ vn
⎝ ∂Ln ⎠ 0

(1.33)
⎛

⎞

∂f
Vector hÖ sè hµm träng sè F = [f1 f2 … fn], trong ®ã fi = ⎜⎜ ⎟⎟ .

⎝ ∂Li ⎠ 0

Träng sè đảo của hàm :
Qf =

1
= FP-1FT - FP-1ATN-1AP-1FT
PF

(1.34)

Trong đó:
N là ma trận hệ số phơng trình chuẩn.
N = AP-1AT

(1.35)

Sai số trung phơng của hàm trọng số đợc tính theo công thức:
mF =

1
PF

(1.36)

1.2.3. Bình sai gián tiếp
Trong mạng lới tiến hành đo n trị đo độc lập là L1' , L'2 ,..., L'n với sai số
trung phơng tơng ứng là m1, m2, ..., mn. Để xác định t ẩn số là X1, X2,..., Xt
ta sẽ lập đợc n quan hệ hàm số để biểu diễn giá trị bình sai của các đại lợng
đo với t giá trị ẩn số cần xác định. Quan hệ đó đợc biểu diễn một cách tổng

quát bởi công thức sau:


24
Li = ϕi( X1, X2,…, Xt)

(i = 1 ÷ n)

(1.37)

Trong đó:
Li là trị bình sai của đại lợng đo thứ i.
Gọi vi là số hiệu chỉnh của trị đo thứ Li ta cã:
Li = L'i + vi

(1.38)

C¸c Èn sè Xj (j = 1 ữ t) đợc biểu diễn qua trị gần đúng của ẩn số và số
hiệu chỉnh của ẩn số:
Xj = X oj + xj

(1.39)

Trong đó:
X oj là giá trị gần đúng.

xj là số hiệu chỉnh của ẩn số.
Kết hợp các biểu thức trên, từ công thức (1.37) ta cã:
vi = ϕi( X 1o + δx1, X 2o + x2,, X to + xt) - L'i

(1.40)

Nếu các giá trị gần đúng của ẩn số đợc xác định xấp xỉ với giá trị đúng
thì các số hiệu chỉnh của các ẩn số sẽ là những giá trị nhỏ. Khi đó ta có thể
khai triển i theo chuỗi Taylor bỏ qua các số hạng từ bậc 2 trở lên của xj.
Sau khi khai triển ta có phơng trình dạng tuyến tính:
∂ϕ ⎞
⎛ ∂ϕ i ⎞
⎛ ∂ϕ ⎞
⎟⎟ δx1 + ⎜⎜ i ⎟⎟ δx2 + ... + ⎜⎜ i ⎟⎟ δxt − L'i
⎝ ∂x1 ⎠ 0
⎝ ∂x2 ⎠ 0
⎝ ∂xt ⎠ 0

vi = ϕi( X 1o , X 2o ,…, X to ) + ⎜⎜

(1.41)

Ký hiÖu:
⎧
⎛ ∂ψ ⎞
aij = ⎜ i ⎟
⎪
⎜ ∂x ⎟
⎨
⎝ j ⎠o
⎪
0
0
0

'
⎩l i = ϕ ( X 1 , X 2 ,..., X t ) − Li

(i = 1 ữ n, j = 1 ữ t)

(1.42)

Phơng trình sè hiƯu chØnh d¹ng tun tÝnh:
vi = ai1δx1 + ai2δx2 + … + aitδxt + lt

(1.43)

B»ng phÐp tÝnh ma trËn có thể biểu biễn tất cả các phơng trình số hiÖu
chØnh nh− sau: