Tich phan suy rong

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (264.03 KB, 62 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ mơn Tốn Ứng dụng

---Giải tích 1

Chương 3: Tích phân suy rộng

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nội dung

---3 – Tích phân suy rộng.

Tài liệu:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

I. Tích phân suy rộng loại một
Bài tốn

Tìm diện tích S miền vơ hạn giới hạn bởi đường cong:
, trục hoành, đường thẳng x = a.y  f x( ) 0

b

( )

a

s







f x dx

lim

( )

b
b

a

f x dx

 





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tích phân suy rộng loại một

Tích phân

( )

a

f x dx





lim

( )

b
b

a

f x dx

 





khả tích trên đoạn , với mọi

( )

y  f x



a b

,



b a



được gọi là tích phân suy rộng loại một.

Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một

( )

a

f x dx

 



lim

( )

a
b

b

f x dx

  





( )

f x dx



 



( )

a

f x dx



f x dx

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng

1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp)
2) Khảo sát sự hội tụ.

( )

lim

b

( )

b

a a

f x dx



 





</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tính tích phân suy rộng (cơng thức Newton – Leibnitz)

( )

lim

b

( )

b

a a

f x dx



 





Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên



a,







lim ( ) ( )

b  F b F a

 

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( )

b  F b F 

( ) ( ) ( ) ( )

a a

f x dx F x F F a




   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

1 y

x



, trục hoành và đường thẳng x = 1.

2
1

dx

S

x







2
1

lim

b
b

dx

x

 





1 lim

b

b 

x

















1 lim

1

x 

b





















</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

S là miền có diện tích

vơ hạn, bằng



Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

1 y

x



, trục hoành và đường thẳng x = 1.

dx

S

x







lim

b
b

dx

x

 





lim ln | |



1b



b 

x



lim ln





x 

b

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

1 y

x





, trục hoành.

1

dx

S

x



 







2 lim arctan

b



x

b0



 

 

2
0

2

1 dx

x













</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ Tính tích phân 2

x

I e dx







x

I e dx







x

e 



2 2

e  e

 

   

  2

1
2e



Ví dụ Tính tích phân 2

e

dx
I

x x






e

dx
I

x x







(ln )2

e

d x

x







ln x e



 1 1

ln( ) ln e

 

   



 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ví dụ Tính tích phân 2

4 5 6

dx
I

x x




 



1 1

( 2)( 3)
5 6 x x

x  x    

1 1
3 2

x x

 

 

1 1
3 2

I dx

x x



 

   

 

 



3
ln

x
I

x








3 4 3
lim ln ln

2 4 2

x

x
x

 

   

   

 

 

1
ln1 ln

  ln 2

4 4

ln | x 3 |  ln | x 2 | 

   

( ) ( )

    Dạng vô định.?

Không được phép dùng: lim ( ) lim lim

x  f  g x  f  x  g

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ Tính

5 10

1 1

dx
I

x x x





 



Đổi biến:
Đổi cận:

6
1

10 5

1 1

dx
I

x

x x




 



1 t

x



1 dt

dx

x





1 x

 

t



0 x

  

t



1 1

dt
I

t t



 







0 1/ 2 3/ 4

dt
t



 











1
2

ln

t

1/ 2

t

1/ 2

3/ 4

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ví dụ Tính 2

cos

x

I e xdx








Đặt

u e

 2x

du

2 e dx

 2x







dv



cos

xdx



v



sin

x

2 2

sin 2 sin

x x

I e x e xdx




 

 



2

x

sin

I

e

xdx








Ta có nên lim



2x sin



x e x



  

2x

2

2x

u e



du

e dx









dv



sin

xdx



v



cos

x





2

x

cos

4

x

cos

I

e

x

e

xdx




 







 

2 4

I

2

5 I

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ví dụ Tính





3/ 2

0
arctan
1
x
I dx
x






arctan

t  x

Đổi biến:





3/ 2
0
arctan
1

x
I dx
x






2
2

1 tan

1 cos

x

t

x

t



 



Đổi cận:
2

1 dx

dt

x







0 x





t



2 x

  

t





2
2
0

arctan

1 x

dx

x











/ 2
0

cos

t

tdt







1

2 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1

a

dx

x









Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

Trường hợp 1:





1 x

 a













1 a











hữu hạn, khác 0.

1

a

dx

x









Trường hợp 2:





1

a

x












Tích phân phân kỳ.

tích phân hội tụ.

Trường hợp 3:





1

a

dx

x







ln | |

x

a



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)

1 hội tụ,

nếu

phân kỳ, nếu

a

dx

x

















1 ln

I

dx

x

 

x







1,

Nếu





thì hội tụ.

I

1,

Nếu





thì phân kỳ.

I

1,

Nếu









thì hội tụ.

I

1,

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên



 x a f x



( ) 0, ( ) 0 g x 



a,



( )

f x



g x

ở lân cận của . Khi đó:

1) Nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

a

g x dx





( )

a

f x dx





2) Nếu phân kỳ, thì phân kỳ.( )

a

f x dx





( )

a

g x dx





Tiêu chuẩn so sánh 1.

Để khsát sự hội tụ của , thường đem so sánh( )

a

I f x dx







với đã biết kết quả.

a

dx
x



</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2

1 2 sin 3

dx
I

x x








Ta có ( ) 2 1 2 12 ( )
2 sin 3 2

f x g x

x x x

  



Vì 2 hội tụ

1 2

dx
x





, nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.I

Chú ý (trong tiêu chuẩn 1):

2) Chỉ cần tồn tại  a



 x



,





f x( ) g x( )

3) Cận dưới của tích phân là số dương ( )

a

dx
x





a  0.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2

1 sin 3

dx
I

x x








Ta có ( ) 2 1 2 22 ( )
sin 3

f x g x

x x x

  



Vì 2 hội tụ

dx
x





, nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.I

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

xdx
I

x








Ta có ( ) ln3 1 1 ( )

5 5 2

x

f x g x

x x x

   

 

Vì phân kỳ

1 2

dx
x





, nên phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1.I

x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Tích phân hàm khơng âm

và khả tích trên



 x a f x



( ) 0, ( ) 0 g x 



a,



( )

lim

( )

x

f x

K

g x

 



Khi đó:

nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

a

g x dx





( )

a

f x dx





và cùng HT hoặc cùng PK. ( )

a

f x dx





( )

a

g x dx





Tiêu chuẩn so sánh 2.

1) K 0 :

2) K hữu hạn, 0 :

nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

a

f x dx





( )

a

g x dx





</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Để khảo sát sự hội tụ của ( )

a

f x dx





Cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh 2.

1) kiểm tra f(x) có là hàm khơng âm (trong lân
cận của ) 

2) Tìm hàm g(x) bằng cách: tìm hàm tương
đương của f(x) khi x tiến ra dương vơ cùng.

3) Tính , kết luận.

lim

( )

x

f x

K

g x

 



Hai hàm f(x) và g(x) không âm: nếu , thì f x( ) x  g x( )

( ) vaø ( )

a a

f x dx g x dx

 

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Hội tụ tuyệt đối

Nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

a

f x dx





( )

a

f x dx





Định lý

Nếu hội tụ, thì gọi là hội tụ tuyệt đối( )

a

f x dx





( )

a

f x dx





Định nghĩa

Nếu hàm f(x) có dấu tùy ý, để khảo sát sự hội tụ của

( )

a

f x dx





( )

a

f x dx





ksát sự HT của
tích phân hàm
khơng âm

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

1 5 ln

dx
I

x x








Ta có ( ) 1 11/ 2

5 ln 5

x

f x

x x x

 


  Chọn 1/ 2

1
( )

g x

x



Khi đó: lim ( ) 1

( ) 5

x

f x

g x

   hữu hạn, khác 0.

Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.

( )

f x dx





( )

g x dx





Vì phân kỳ ( ), nên tích phân I phân kỳ.

( )

g x dx



</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3

2 sin 3

xdx
I

x x








Ta có ( ) 3 3 3 3 32

2 sin 3 2 2

x

x x

f x

x x x x

 

 

 

Chọn g x( ) 12

x

 lim ( ) 1

( ) 5

x

f x
g x

 

  hữu hạn, khác 0.

Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.

( )

f x dx





( )

g x dx





Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ.

( )

g x dx



</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2

arctan

2 2ln

xdx
I

x x








Ta có ( ) arctan2

2 2ln

x

f x

x x

 


 

Chọn g x( ) 12

x

 lim ( )

( ) 4

x

f x
g x



 

  hữu hạn, khác 0.

Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.

( )

f x dx





( )

g x dx





Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ.

( )

g x dx





  2 1

2 2

2 2x 4x

 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

0 (3 1) 1

dx
I

x x




 



Ta có ( ) 1 13/ 2

3
(3 1) 1

x

f x

x

x x

 


   Chọn 3/ 2

1
( )

g x

x



Khi đó: lim ( ) 1

( ) 3

x

f x
g x

   hữu hạn, khác 0.

Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.

( )

f x dx





( )

g x dx





Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ.

( )

J g x dx







3 1

  

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

0 (3 1) 1

dx
I

x x





 



Ta có ( ) 1 13/ 2

(3 1) 1

x

f x

x

x x

 


   Chọn 3/ 2

1
( )

g x

x



Khi đó: lim ( ) 1

( ) 3

x

f x
g x

  

hữu hạn, khác 0.

Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.

( )

f x dx





( )

g x dx





Vì HT ( ), nên I1 HT, suy ra I HT.

( )

g x dx





  32 1

Cách giải đúng!

1 2
0 (3 1) 1 1 (3 1) 1

dx dx

I I I

x x x x



   

   



</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2

x

I e dx










 x 1 ( )



f x e x2  e x g x( )
1

x x

e dx e

e



 

 



( )

g x dx







Tích phân đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1.

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1/ 2

1
cos

x

I e dx

x



 

   

 



1/ 1

( ) x cos

f x e

x

 

1

2

1

2

3

2

2 x



x



x

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

x

e

I dx

x

 





Ta có:



 

x

1 

e

x



x

1

x

1 e

x





1 ( )

x

( )

f x

g x

xe

x









Tích phân đã cho hội tụ.

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

3 2

3
1

3 1

x x

I dx

x x



 



 



3 2 3/ 2

3 3 3/ 2

1 1

( )

3 1

x

x x x

f x

x x x x

 

 

 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ
0
arctan
2 x
x
I dx
e







arctan

( )

2

x
x x

x

f x

g x

e



 









Tính HT, nên tích phân đã cho HT.0

1

x x

e dx

e



 







Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

3
3/
1
2arctan
1
x
x
I dx
e










3
3/

2arctan
1
x
x
e
 

3
3/
1
2 / 2 arctan

1
x
x
e
     
 


3
2

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ và tính

3 1

dx

I

x x









2
2

1 1

( )

x

f x

x

x x

 









 

2 1

nên tích phân I hội tụ.

1 t





x



t



x



1 

2 tdt



2 xdx

2 2

3 1

xdx
I

x x












2 1

tdt
t t








1 ln

1 t









1 ln1 ln

ln3

3

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ví dụ Chứng minh tích

phân hội tụ và tính 4 2

80 1
dx
I
x x


 



1 1/ 2 3/ 2

4 2

1 1 1

( )
1
x
f x
x x
x x

 

 
 



3

1

nên I hội tụ.

2 

 

1

t





x



t



x



1 

4 t dt



2 xdx

4
2 2
80 1
xdx
I
x x


 







3
4
9

2
1
t dt
t t






2 2

9 1 9 1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ và tính giới hạn
1
x
e
I dx
x






lim

t
x
x
x

e

dt

t

e

 





1 ( )



1 ( )

x

e

x f x g x

x x

    

( )

g x dx





FK nên I phân kỳ.

Giới hạn có dạng vơ định , dùng qui tắc Lôpital



 

'
1

lim

t
x
x
x

e

dt

t

e

 

















lim

x
x
x

e

x e

 





1 lim

x 

x





0

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2
1
sin
ln 2
xdx
I
x x






Hội tụ.
2
sin
( )
ln 2
x
f x
x x

 2
1
( )
x
g x
x
 



Sai! vì f(x) có dấu tùy ý, khơng sử dụng so sánh được.
Xét tích phân hàm khơng âm 2

1
sin
ln 2
x
J dx
x x






Hội tụ.
2
sin
( )
ln 2
x
f x
x x

 2
1
( )
x
g x
x
 




Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

sin xdx
I

x






Tích phân từng phần:

2
1

1 1

sin x cos x cos x

I dx dx

x x x



 





 



1 1

u du dx

x x

  

sin cos

dv  xdx  v  x

cos1

1 J

 

Xét tích phân 2
1

cos x

J dx

x







cos2 x 12

x x hội tụ

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

sin xdx
I

x






Xét tích phân hàm khơng âm

sin x

J dx

x






sin sin 1 cos 2
2

x x x



 

1 1 1

1 cos 2 cos 2

2 2 2

x dx x

dx dx

x x x

  



 



 I1 I2

1 2

dx
I

x







phân kỳ 2

cos 2
2

xdx
I

x







hội tụ (tương

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Chú ý:

1) Với tích phân chỉ có một điểm suy rộng

( )

a

f x dx





khi tách ra có dạng vơ định

  

( ) a ( ) a

G x   H x 

vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ.
2) Với tích phân có hai điểm suy rộng

( )

f x dx



 



khi tách ra thành tích phân ( ) ( )

a

f x dx f x dx



 





</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

I. Tích phân suy rộng loại hai
Định nghĩa

Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x),
nếu

lim ( )

x x f x 

Tích phân suy rộng
loại hai của f(x)
trên đoạn [a,b]

( ) : lim ( )

b t

t b

a a

f x dx f x dx






 

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

I. Tích phân suy rộng loại hai

Tích phân suy rộng
loại hai của f(x) trên
đoạn [a,b]

( ) : lim ( )

b b

t a

a t

f x dx f x dx






 

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

I. Tích phân suy rộng loại hai

Tích phân suy rộng loại
hai của f(x) trên đoạn [a,b]

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx  f x dx  f x dx

  

Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy
nhất là c 



a b,



lim t ( ) lim b ( )

t c a f x dx t c t f x dx

 

   

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

I. Tích phân suy rộng loại hai

Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân
suy rộng loại một.

Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân
suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( )

t b F t F b



 

( ) ( ) ( ) ( )

b
b

a a

f x dx F x F b F a

  



Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)

( )

lim

( )

b b

t b

a a

f x dx









Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên



a b,







lim ( ) ( )

t b F b F a



 

Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b]

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Ví dụ Tính tích phân

2 2

dx
I

x







2 2

dx
I

x











1/ 2
2

( 2)
lim

t t

d x
x







 



lim 2 2

t

t  x



 

2 2 lim 2

t  t



  

Theo định nghĩa

2 2



Theo công thức Newton – Leibnitz (gọn hơn)

2 2

dx
I

x





</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Ví dụ Tích phân

0 1

dx
I

x







0 1

dx
I

x







ln | x  1| 30

Sai! vì có điểm kỳ dị x = 1 trong đoạn [0,3].

ln 2 ln1 ln 2

  

1 3

0 1 1 1

dx dx

I

x x

 

 



1
1

1 0

lim

t

dx
I

x





 

 tlim ln |1



t 1|





 

1 2

I I

 

Xét tích phân  

Vậy tích phân phân kỳ.I1

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Ví dụ Tính tích phân

0 (2 ) 1

dx
I

x x



 



Đặt 1 x t  1 x t 2 dx  2tdt

Đổi cận: x  0 t 1 x  1 t 0
1

0 (2 ) 1

dx
I

x x



 







2
1

tdt
t t






2
0

2
1

dt
t



1

2arctan

I  t 2 arctan1 arctan 0









</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Tích phân hàm khơng âm

và khả tích trên



 x a f x



( ) 0, ( ) 0 g x 



a b,



( )

f x



g x

ở lân cận của trái của b. Khi đó:

1) Nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

b

a

g x dx



( )

b

a

f x dx



2) Nếu phân kỳ, thì phân kỳ.( )

b

a

f x dx



( )

b

a

g x dx



Tiêu chuẩn so sánh 1.

Trường hợp x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Tích phân hàm không âm

và khả tích trên



 x a f x



( ) 0, ( ) 0 g x 



a b,



( )

lim

( )

x b

f x

K

g x







Khi đó:

nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

b

a

g x dx



( )

b

a

f x dx



và cùng HT hoặc cùng PK. ( )

b

a

f x dx



( )

b

a

g x dx



Tiêu chuẩn so sánh 2. (x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất)

1) K 0 :

2) K hữu hạn, 0 :

nếu hội tụ, thì hội tụ.( )

b

a

f x dx



( )

b

a

g x dx



</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)





1 phân kỳ, nếu

hội tụ,

nếu

b

a

dx

x a





















1 phân kỳ, nếu

hội tụ,

nếu

b

a

dx

b x

















</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

1 1

dx
I

x







Ta có





1/ 2

1 1

( )

( 1)( 1) 2 1

x

f x

x x x






   

Chọn





1/ 2

1
( )

g x

x





( ) 1
lim

( ) 2

x

f x
g x

 

  hữu hạn,

khác 0.

Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ.

( )

f x dx



( )

g x dx



Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ.

( )

g x dx

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ





5 3
1
0
ln 1
1

x
x dx
I
e








5 3



3/ 5
0

2 / 5

ln 1 1

( )

1 ( 0)

x
x
x x
f x
x
e x




 

   hội tụ vì

1
2

  

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

3 3
2
0
2
9
x dx
I
x









3
2
( )

3 (3 )

x
f x

x x



  hội tụ vì

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ
1 3
0
5
tan
x x
I dx
x x






3 0 1/ 2

3 5/ 2

5 3

tan / 3 ( 0)

x

x x x

x x x x








   phân kỳ vì

1
2

  

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

4
0 2
dx
I

x





1
( )
2
f x
x


 phân kỳ vì

1
 
4
1
4
( 4)
x
x




3
3

tan ( )

x

x x x    x  x

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2

sin xdx

I

x







Ta có 2

2 2

sin 1

( )

x

g x

x x 

Vì HT , nên I1 HT, suy ra I HT.

( )

g x dx





1 2 2

1 2

2 2

0 1

sin xdx sin xdx

I I I

x x











 

I1 khơng là tích phân suy rộng
mà là tích phân xác định nên HT

2
0

sin

lim

1

x

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

I. Tính các tích phân sau

1
1)

(x 1)(x 2) dx




 

1
2)

(x 1)(x 2)(x 3) dx




  

2
3

(5 3)
3)

( 2)(3 2 1)

x

dx

x x x

 



  

3
2

( 1)
4)

( 1)

x

dx
x x

 









2 3

1 ( 1)

dx

x x




 

1 ln 2



2 ln 2

3

1

2 ln 5

ln 2

4

3 



11

1 ln 2

ln 3

5 

5

3

17 ln 2

16

128

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

2
0

1
6)

2 dx

x x




 

2
1

3
7)

( 1)

x

dx

x x x

 



 
2

6
0

x

dx
x






2
0

4 4 5

dx

x x




 

10) x dx x

e e








arctan 2

4 2 7

arctan 7

7

3 ln 3

2

18 



6 

4

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

1
11)

x x dx

e e






2
1

1
12)

(ln 1) dx

x x






2
0

1
13)

cosh ( )x dx




2
0

14)  xe dx x


6
1

15)

( 3)

dx
x x






1

4 2 2ln 2



2 

1

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

4
0

16)

x

dx
e






2
17)

4 1

x

x dx






18)

x

dx
e






2 2
2

19)

dx

x x






20)

sinh

dx
x




1 

1 ln

1 e

















4ln 2



</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

3
1

21) e dx x


22)

e

dx

x x




23)

2x

xdx




24)

(1 )

dx

x x






3
2

25)

xdx
x






2 

1

3 e

1 ln 2

ln 7

1

5 arctan

6 3

2 3















</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>





2
0

26)

dx

x x





 
2

27) e x cos3xdx



2 3

28)

( 1)

dx

x x



 


 

2 2

29)

(4 1) 1

dx

x x




 





2
2

12
30)

x

dx
x

 




3

9 

2

3

13

4 3 3



13

4

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>





31)

2 3

dx
x






3/ 2
2

32)

( 3)

dx
x





3
2

33)  x e dx x


3
1

34) xdx

x








1
35)

1 dx

x






1

4

1

10 2 5

5

1

3

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>



3 3



5 3
0

36) x x dx

x

 


1

2
1

37)

(4 ) 1

dx

x x




 

4
2

2 2

38)

(1 ) 4

x dx

x x




 

39)

dx
x x




2

2
1

40)

dx

x x





2 

625

187

15 

5 



3

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

1) ln 1 , 0

x

e

dx 



   

 

  

 

arctan 3
2)

(2 )

x
dx

x 










1

I. Tìm tất cả các giá trị để chuỗi hội tụ 

không tồn tại

2
1

1
3)

2 dx

x x






4) x x dx

e x






1
5)

2 dx

x x














</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>





1
0
ln 1
6)
1
x
x
dx
e 






4 2



5
0

ln(1 )

dx

x x x 



 

3
7 5
1
( 1)
8)
1
x
dx
x x

 

 





sin

dx

x x x




1
0

1
10)
cosh cos
x
e x
dx
x x

 


3
2
 
3 1

5  5

</div>

Tich phan suy rong

<b>Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh</b>

<b>Bộ mơn Tốn Ứng dụng</b>

<i>b</i>

( )

<i>s</i>



<sub></sub>

<i>f x dx</i>

lim

( )

<i>f x dx</i>



<sub></sub>

( )

<i>f x dx</i>



lim

( )

<i>f x dx</i>



<sub></sub>



<i>a b</i>

,



<i>b a</i>



( )

<i>f x dx</i>



lim

( )

<i>f x dx</i>



<sub></sub>

( )

<i>f x dx</i>



( )

( )

<i>f x dx</i>

<i>f x dx</i>

( )

lim

( )

<i>f x dx</i>

<i>f x dx</i>







( )

lim

( )

<i>f x dx</i>

<i>f x dx</i>







<sub></sub>

<sub></sub>





1

<i>y</i>

<i>x</i>



<i>dx</i>

<i>S</i>

<i>x</i>



<sub></sub>

lim

<i>dx</i>

<i>x</i>



<sub></sub>

1

lim

<i>x</i>