DE THI 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG

<i><b>(Lần 1)</b></i>
Thời gian :90 phút

Bài 1: Cho biểu thức: P =

1 1

.

1 1 1

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

     

 

   

 _ _   _ 

   _{với x > 0 và x ≠ 1.}

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x để P = 3.

Bài 2: Tìm tổng A = 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 .... 1

1 2 2 3 2005 2006

        

Bài 3: Giải phương trình: x4_{- 8x} ₂_{+ 12 = 0.}

Bài 4: Chứng minh rằng:

1 1 1

... 24

1 3 5 7   9997 9999  _.
Bài 5: Cho tam giác ABC, AD là phân giác của góc A (D _ BC).
Gọi M,N lần lượt là chân đường vng góc kẻ từ B,C tới AD.
Chứng minh rằng:

a)

<i>MB</i> <i>CN</i>
<i>AB</i> <i>AC</i> _.

b) BM + CN  BC , dấu “=” xẩy ra khi nào?

c) Sin 2 2 .

<i>A</i> <i>BC</i> <i>BC</i>

<i>AB AC</i> <i>AB AC</i>

 

 _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đáp án và biểu điểm

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG

<i><b>(Lần 1)</b></i>

Bài 1: a) P =
2 <i>x</i>

<i>x</i>



(2điểm)
b) Giải tìm được

4
9

<i>x</i>

(2điểm)
Bài 2: (3,5 điểm) Với mỗi số tự nhiên n > 0 ta có:





























2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 ₂ ₂

2 1

1 1

1 1

1

1 1 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>_n</i> <i>_{n n}</i> <i>_{n n}</i>

   
   
   
   ₌
=





















2
2 ₂

2 2 2

2

1 ₁ ₁ ₁ ₁

1 1

1 1

1 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>_n</i> <i>_n</i>

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n n</i>

<i>n n</i> <i>n</i>

  _{ }
     
 
 
=
1 1
1
1
<i>n n</i>
 

Do đó:
A=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2005

1 1 ... 1 1 ... 1 2005 1 2005

1 2 2 3 2005 2006 1 2006 2006 2006

                 

.
Bài 3: (3 điểm)Giải phương trình:

x4_{- 8x} ₂_{+ 12 = 0}





<i>x</i>4 4<i>x</i>24







4<i>x</i>2 8<i>x</i> 2 8



0



2



2





2

2

2 4 2 0

2 0
2
2 0
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
    
  

 _  
 



Bài 4: (3,5 điểm) Gọi vế trái của bất đẳng thức là M.
M =

1 1 1

...

1 3 5 7   9997 9999

N =

1 1 1

...

3 5 7 9  9999 10001

M + N =

1 1 1 1

...

9999
1 3 5 7   9997  ₊

1 1 1

...

3 5  7 9   9999 10001

M + N =

1 3 3 5 5 7 7 ... 9997 9999 9999 10001
2

          



M + N =

1 10001 10001 1 10000 1 100 1 99

2 2 2 2 2

   

   

 _.

Như vậy M + N >

99 99 96

24 24

2 2 4 4 2

<i>M N</i> <i>M N</i>

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Mặt khác: M > N 2 2

<i>M N</i>
<i>M</i> <i>M N</i> <i>M</i> 

    

. (2)
Từ (1) và (2)  2 24

<i>M N</i>
<i>M</i>   

(đpcm).

Bài 5: (6 điểm) Câu a: 1,5đ ; Câu b: 1,5đ ; Câu c: 2,5đ
A

M B
D

C N

a) Sin 2

<i>A</i> <i>BM</i> <i>CN</i>
<i>AB</i> <i>AC</i>

 

.

b) BM  BD và CN  CD (tính chất đường xiên – đường vơng góc )

 _{BM + CN} BD + CD hay BM + CN  BC dấu “=” xẩy ra  _{Δ ABC cân tại}

A để đường phân giác trùng với đường cao.
c) Sin 2

<i>A</i> <i>BM</i> <i>CN</i>
<i>AB</i> <i>AC</i>

 

=

<i>BM CN</i> <i>BC</i>
<i>AB AC</i> <i>AB AC</i>




  _{. (1)}

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương AB và AC ta có
AB + AC 2 <i>AB AC</i>. 2 .

<i>BC</i> <i>BC</i>

<i>AB AC</i> <i>AB AC</i>

 

 _{. (2)}

Từ (1) và (2) sin 2 2 .

<i>A</i> <i>BC</i> <i>BC</i>

<i>AB AC</i> <i>AB AC</i>

  



Dấu “=” Xẩy ra khi AB =AC hay Δ ABC cân tại A.

</div>

<!--links-->