BDHSG Toan 6 Phan III So hoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Vì sự nghiệp giáo dục

Phn III: PHN S

<b>I. Cỏc khỏi nim c bn:</b>

*

a

là phân số víi a lµ tư sè, b lµ mÉu sè. (a, b N, b 0)

b  

Các số tự nhiên đều có thể coi là phân số cú mu s bng 1.
*

a

là phân số tối giản nếu a, b nguyên tố cùng nha

b u tức lµ (a,b) = 1.

Các phân số khi chưa tối giản đều có một phân số tối giản bằng nó.
<b>II. Tính chất cơ bản:</b>

a a.m a.n

= = (m, n 0)

b b.m b.n  _{. Ta áp dụng t/c cơ bản này để rút gọn phân số.}
a : n a

=

b : n b_{với n có thể là UCLN của a và b (rút gọn một lần để được phân số}

tối giản) hoặc n có thể là một trong các ước của a và b (rút gọn nhiều lần).
<b>III. Các cách so sánh hai phân số</b>:

1). Qui đồng tử hay mẫu số:

a. Nếu hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số ớn hơn thì phân
số đó nhỏ hơn.

b. Nếu hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân
số đó lớn hơn.

2). Phân số phần bù đến đơn vị:

Hai phân số đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phân số phần bù đến đơn vị của phân số
nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số bằng
nhau).

3). Phân số trung gian thứ 3: Thơng thường có hai cách sau:

a. Chọn một phân số trung gian thứ ba có cùng tử số với một trong hai
phân số đã cho, cùng mẫu số với phân số còn lại.

b. Chọn một phân số trung gian thứ ba thể hiện mối quan hệ giữa tử số và
mẫu số của hai phân số.

<b>IV. Bài tập áp dụng:</b>

1. So sánh hai phân số sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Vì sự nghiệp giáo dục

Ta chn phõn s

12 12 12

làm phân số trung gian, ta có: (1)

47 49  47

Ta lại có:

12 13 12 13

(2) nªn tõ (1) vµ (2) ta suy ra

47  47 49  47_.

...

2. So sánh hai phân số:

15 24
vµ
59 97

Giải:

Ta thấy 59 gấp gần 4 lần 15; 97 gấp hơn 4 lần 24.
Ta có:

15 15 1 24 24 1

(1); (2)
59 604 97 96 4

Từ (1) và (2)

15 24
59  97

...

3. Cho phân số

a

(a < b).

b _{Cùng thêm m đơn vị vào tử số và mẫu số thì phân số}

mới lớn hơn hay bé hơn

a
b_?

Giải:

<i>Cách 1</i>: Nếu a < b thì:

a b - a

1 (phần bù đến đơn vị)
b b 

Khi đó :

a + m b - a

1

b + m b + m  _{. So sánh}

b - 1 b - a b - 1 b - a

víi ta đ ợc .

b b + m b b + m

Vậy:

a a + m

b b + m

<i>Cách 2:</i> Qui đồng mẫu số: MSC là b(b + m)

a a(b + m) ab + am

b b(b + m) b(b + m)

a + m b(a + m) ab + bm

b + m b(a + m) b(b + m)

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Vì sự nghiệp giáo dục

ab + am ab + bm

So s¸nh víi cã cïng mÉu sè.

b(b + m) b(b + m)

NÕu a < b th× ab + am < ab + bm.

ab + am ab + bm a a + m

VËy: hay <

b(b + m) b(b + m) b b + m

<i>Cách 3:</i> Nếu a < b thì am < bm
=> ab + am < ab + bm

=> a(b + m) < b(a + m)
=>

a a + m

b b + m

……….

4. Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để

n + 19

là phân số tối giản.
n - 2

Gii:

Vỡ n l số cần tìm có cả ở tử số và mẫu số nên cần biến đổi

n +19

n - 2 _{thành tổng các}

phân số sao cho n chỉ còn ở tử hoặc mẫu số.

n + 19 n - 2 + 21 n - 2 21 21

1

n -2  n - 2 n - 2n - 2  n - 2_.

Muốn

n + 19 21

là phân số tối giản thì phải là phân số tối giản

n - 2 n - 2 _{hay 21 và n – 2}

là nguyên tố cùng nhau, mà 21 chia hết cho 3 và 7 nên (n – 2) không chia hết cho 3 và
7.

Vậy nếu n

n + 19

3k + 2 vµ n 7k + 2 (k N) thì tối giản

N -2

.
..

4. Vi giá trị nào của số tự nhiên a thì:

5a - 11

có giá trị lớn nhất, giá trị đó là bao nhiêu?
4a - 13

Giải:
Biết rằng

a

b có giá trị lớn nhất khi tử số a không đổi, mẫu số b là nhỏ nhất
Vậy cần biến đổi

5a - 11

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vì sự nghiệp giáo dục

5a - 11 4(5a - 11) 20a - 44 5(4a - 13) + 21 5 21

4a - 134(4a - 13)4(4a - 13) 4(4a - 13)  4 4(4a - 13)

Muốn

5a - 11

4a - 13_{có giá trị lớn nhất thì ta cần tìm với giá trị nào của a để}
21

4(4a - 13)_{có giá trị lớn nhất.}
21

Muèn cã giá trị lớn nhất thì a phải có giá trị nhá nhÊt.

4(4a - 13)

Giá trị nhỏ nhất của a để phép trừ 4a – 13 thực hiện được là a = 4. Khi đó

5a - 11 5a - 11

3, đó là giá trị lớn nhất của

4a - 13 4a - 13_.

………

6. Tính giá trị của phân số:

2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32

3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32

  

  

Giải:

Ta thấy rằng tử và mẫu của mỗi phân số đều là tổng của bốn số hạng, mỗi số hạng đều
là tích của ba thừa số. Ta có:

2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32

3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32

  

   ₌

1.2.4 1.2.4.2.2.2 1.2.4.4.4.4 1.2.4.8.8.8
1.3.4 1.3.4.2.2.2 1.3.4.4.4.4 1.3.4.8.8.8

  

  

=

3 3 3
3 3 8

1.2.4(1 2 4 8 ) 2

1.3.4(1 2 4 8 ) 3

  

  

………..

7. Tìm phân số tối giản biết giá trị của nó khơng thay đổi khi cộng tử số với 6 và
mẫu số với 8.

Giải:

Gọi phân số cần tìm là

a

b_{Theo đầu bài ta có:}

a a + 6

. Suy ra:

b b + 8

A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b =>

a 6 3

b  8 4

Vậy phân số đã cho là

3
4_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Vì sự nghiệp giáo dục

8. Cho phõn số

a a + b

tèi gi¶n, h·y gi¶i thÝch cịng tèi gi¶n.

b b

Giải:
Giả sử

a + b

không tối giản thì a + b và b có UCLN = d > 1

b _{. Suy ra (a + b)}

chia hết cho d và b chia hết cho d nên (a + b) – b chia hết cho d do đó a chia hết cho d.
Điều đó có nghĩa là a và b cùng có UC là d khác 1, tức là phân s

a

không tối giản (điều này trái với đầu bài).
b

Vy

a + b

là phân số tối giản.
b

9. Chng minh rằng phân số sau tối giản với n là số tự nhiên lớn hơn 0:

8n + 5
6n + 4

Giải:

Giả sử a là một số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 0, phân số

8n + 5

6n + 4_{không tối giản thì}

ƯCLN (8n + 5, 6n +4) = d > 1. Suy ra (8n + 5) _{d và (6n + 4)}_{d. Do đó [4(6n + 4) –}
3(8n + 5)] _{d, mà [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] = 1}_{d vô lý.}

Vậy

8n + 5

là phân số tối giản.
6n + 4

10. Tìm tất cả các số tự nhiên n lớn hơn 0, để

4n + 5

5n + 4 _{có thể rút gọn được?}

Giải:

4n + 5

Õu có thể rút gọn đ ợc thì 4n + 5 vµ 5n + 1
5n + 4

<i>N</i>

có ƯCLN là d > 1, ta
được (4n +5) _{d và (5n + 4)}_{d, do đó (20n + 25)}_{d (1)}

và (20n + 16) _{d (2).}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Vì sự nghiệp giáo dục

11. Tìm tất cả các số tự nhiên n để:

3 2

n 2n 3

là số tự nhiên.
n - 2

Gii:



2

3 2 2

2

n n - 2

n 2n 3 n (n - 2) + 3 3 3

= n

n - 2 n - 2 n - 2 n - 2 n - 2

 

   

.
Muốn

3

n - 2_{là số tự nhiên thì n – 2 phải là ước của 3, do đó n – 2 = 1 hoặc}

n – 2 = 3. Vậy n = 3 hoặc n = 5.

………

12. Hãy chứng tỏ rằng:

1 1 1 1 1 7
...

4142  43 7980 12_.

Giải:
Ta thấy từ

1 1

đến có 40 phân số.

41 80 _{Tất cả các phân số trên đều có tử số là 1.}

Ta có thể nhóm các phân số thành một nhóm rồi dựa vào kiến thức so sánh các phân số
có tử số giống nhau.

Vậy:

1 1 1 1 1
...

4142 43 7980 

=

1 1 1 1 1 1 1 1

... ... (1)
41 42 59 60 61 62 79 80

   

        

   

   

Vì

1 1 1 1

vµ (2)
4160 6180

Ta lại có:

1 1 1 1 1 1 1 1

... ...

60 60 60 60 80 80 80 80

   

        

   

   

=

20 20 1 1 4 3 7

(3)
60 80 3 4 12 12



    

Từ (1), (2), (3) ta được:

1 1 1 1 1 7
...

4142 43 79 80 12

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Vì sự nghiệp giáo dục

S =

1 1 1

...

1.2.3.42.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

Giải:

Biến đổi ở phân số dạng tổng quát ta có:

1 3

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
3 + n - n

3n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

1 n +3 n

3 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3)



 

 _  _

 

1 1 1

3 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3)

 

 _  _

 

Áp dụng kết quả này vào bài tập đã cho ta có:

1 1 1 1
1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4

 

 _  _

 

1 1 1 1

....
2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5

 

 _  _

 

1 1 1 1

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3)

 

 _  _

 

Cộng từng vế ta được:

1 1 1

S =

3 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3)

 



 

 

...

14. Cho hai phân số

4 ₄ ₄

4 4

a c a - b a b
vµ . H·y chøng tá r»ng:

b d c - d c d



 



 



 

Giải:

a c a b a - b
Tõ ta cã

b d c  d c - d_{. Vì}

a b a - b

c  d c - d_{nên mỗi phân số nhân với}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

4 4

4 4

a b a - b
= =

d c - d

<i>c</i>

 

 

  ₍₁₎

Mà

4 4 4 4

4 4 4 4

a b a b
= =

d c + d

<i>c</i>



(2)

Từ (1) và (2) ta có

4 ₄ ₄

4 4

a - b a b
c - d c d



 



 



 

15. Hãy chứng tỏ rằng nếu

2 2
2 2

a b a + b a
th×

b c b  c c_.

Giải:
Từ

2 2 2 2

2 2 2 2

a b a a b b a b a b
suy ra =

b c b b c c b c b c



     


Từ

2

a b

suy ra b ac
b c 

Từ

2 2 2

2

2 2 2

a + b b

, thay b a.c vµo ta cã:
b  c c 

2 2

2 2 2

a + b a.c a
b  c c c

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9></div>

<!--links-->