3 de DA HSG toan 7 0203

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (128.64 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát i tuyn hc sinh gii nm hc
2012 2013

Môn: Toán lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phút

Bài 1: 2.5điểm

1.Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể)

9 5 10

12 9

1 2009 1

a)2008. 2009. 2

2007 1004 2007

2 9 3

.10 :

5 4 16

4 16

   

  

   

   

 

     



     

     



2) Chøng tá r»ng 1 + 5 + 52 + 53 + ...+ 529 chia hÕt cho 31

Bµi 2 (2điểm)

1)Tìm x biết

1 5

: x 1 0, 25

3  12

2)T×m ba sè x,y,z biÕt r»ng

y z

3 5


và

x y 20

Bài 3 (2điểm)

Cho hai ®a thøc : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6

Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) 10x2 + 9x

Đặt H(x) = P(x) - Q(x)

1.Chứng minh đa thức H(x) không có nghiệm

2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z

Bài 4(2.5điểm)

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB và AC theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho
AM = AN ( M nằm giữa A và B, N nằm giữa A và C)

1.Chứng minh rằng : Nếu AB = AC th× BN = CM
2) Cho biÕt AB > AC:

a) chøng minh r»ng : BN > CM

b) Gäi giao điểm của BN và CM là K, so sánh BK và CK
Bài 5 (1điểm) Chứng minh rằng: 2 2 2 2

1 1 1 1 2

...

2 3 4  n 3 với n N, n4

Hớng dẫn giải

Bài 1: câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ; Câu 2: 1,5 đ
1) Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể)

1 2009 1 2008 2008.2009 2009

a)2008. 2009. 2 2.2009

2007 1004 2007 2007 1004 2007

   

      

   

   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2008 2009

2.2009 2.2009

2007 2007

   

(0,5®)

2008 2009 1

2007 2007 2007



  

(0,5®)









9 5 10 9

9 9 9

10 40

12 9 24 36

3 3

2 9 3 2

.10 : .2 .5 :

5 4 16 5 2 2

4 16 2 2

 

       

 

       

       

  (0,5®)

18 30
24 36

2 2




 (0,5®)

18 12

24 12 6

2 (1 2 ) 1 1

2 (1 2 ) 2 64



  

 (0,5®)

2) Chøng tá r»ng 1 + 5 + 52 + 53 + ...+ 529 chia hÕt cho 31

1 + 5 + 52 + 53 + ...+ 529 =(1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) +....+( 527 + 528 + 529) (0,25®)

= (1 + 5 + 52) + 53. (1 + 5 + 52) + ...+ 527. (1 + 5 + 52) (0,5®)

= 31 + 53.31 +...+ 527. 31 (0,25®)

= 31.(1 + 53 +...+ 527) chia hÕt cho 31 (0,25®)

VËy 1 + 5 + 52 + 53 + ...+ 529 chia hÕt cho 31 (0,25đ)

Bài 2

Mi cõu ỳng cho 2
Bi 3

Lm ỳng mỗi câu cho 2điểm

1.Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm
+.Tính đúng H(x) = x2 + 2x + 2 (1đ)

= ( x + 1)2 + 1 (0,25®)





x 1  0 x

(0,25®)





x 1    1 1 0 x

(0,25®)
=> H(x) kh«ng cã nghiƯm

2.Chøng tá r»ng: H(x) 2008 víi  x Z

H(x) = x2 + 2x + 2 = x(x + 2) + 2

Giả sử tồn tại  x Z để H(x)= 2008 (0,25đ)

=> x(x + 2) + 2 = 2008 => x(x + 2) = 2006 (0,25đ)

=> x hoặc x+ 2 chia hÕt cho 2 => x vµ x+ 2 chia hÕt cho 2 (0,25®)
=> x(x + 2) chia hÕt cho 4 tức là 2006 không chia hết cho 4 (0,25đ)
Mâu thuẫn , vì 2006 không chia hết cho 4 , điều giả sử là sai (0,25đ)
VËy H(x) 2008 víi  x Z

Bµi 4

Câu 1 : 1đ: Câu 2 4®
1)

ABN ACM(cgc)

BN CM



 

V V

2) ý a đúng cho 2điểm, ý b đúng cho 2 điểm
a) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC
Khi đó D nằm giữa B và M. Nối D với N
+.c/m: VADNVACM(c.g.c)DNCM

M N

C
M

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+.Trong VADC cã ADN· ACM· 1800

=> ADN· 900

Mµ BDN· NDA· 180BDN· 900

=> Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM
=> BN > CM

b) Gọi giao điểm của DN và CM lµ I. Ta c/m : VDNMVCMN

· ·

INM IMN

 

Do D nằm giữa B và M nên tia ND nằm giữa 2 tia NB và NM
=>

Ã Ã Ã Ã

Ã Ã

BNM DNM KNM INM

KNM KMN KM KN

  

MỈt khác theo c/m trên ta có : BN > CM => BK > CK
Bµi 5

Chøng minh r»ng: 2 2 2 2

1 1 1 1 2

...

2 3 4  n 3 víi  n N, n4

+.Với n = 5 dễ dành tính đợc giá trị biểu thức là

1669 1 2

3600 23 và BĐT ln đúng

+.Víi n > 5

Đặt 2 2 2 2

1 1 1 1

A ...

2 3 4 n

    

vµ cã 2

1 1

k N; k 2

k k(k 1)

    



2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1669 1 1 1

A ( ) ... ...

2 3 4 5 6 n 3600 5.6 6.7 n(n 1)

          



1669 1 1 1 1

A ...

3600 5 6 n 1 n

1669 1 1 1669 1 2389 2

A ( ) ( )

3600 5 n 3600 5 3600 3

     



      

Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi năm học
2012 – 2013

Môn: Toán lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phút

Bài 1 (2điểm). Cho các đa thức: f(x) = x4 – 3x2 + x – 1; g(x) = x4 x3 + x2 + 5

Tìm đa thøc h(x) sao cho:
1) f(x) + h(x) = g(x)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1) 2, 5 x 1, 3

2) x 2007 2008 x 0

 

 

Bài 3 (1điểm). Tính giá trị của biểu thức:

a 1

b 1




 víi

16 25

a ; b

9 9

Bài 4(1.5điểm). Cho

a c

b d. Chứng minh rằng:

2 2
2 2

2 2

2 2 2 2

ac a c

bd b d

7a 3ab 7c 3cd

11a 8b 11c 8d

Bài 5 (3.5điểm).

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB> AC) . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ
DH vuông góc với BC, trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đờng vuông góc
với AE tại E cắt tia DH ở K

1) Chứng minh rằng tam giác ABH cân

2) T B k Bx //AE, đờng thẳng này cắt tia EK ở I. Tính số o gúc DBK.

Hớng dẫn giải

Bài 1

1.Tính h(x) = - x3 + 4x2 – x + 6 (2®iĨm)

2.TÝnh h(x) = x4 – 
1

2x3 – x2 
1

2x + 2 (2đ)

Bài 2

1.Tìm x = 1,2 hoặc x = 3,8 (1,5đ)
2. Tìm x = 2007 và x = 2008 (1,5đ)

Điều này là vô lí. Vậy không có giá trị nào của x t/m bài toán (0,5đ)
Bài 3

Tính

16 4 5

a ; b

9 3 3

(1đ)

Thay số vào M ta cã M = 3,5 (1đ)
Bài 4

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Từ

2 2

a c a c a c

b d b d b d

   
     

    (0,5®)

2 2 2 2

ac a c a c

bd b d b d



   

 (1®)

2 2
2 2

ac a c

bd b d




 (0,5đ)
2> Làm đúng : 1đ

Tõ

2 2
2 2

a c a b ab a b

b  d c  d cdc d (0,25®)

2 2 2

3ab 7a 11a 8b

3cd7c 11c 8d (0,25®)

2 2 2

3ab 7a 11a 8b

3cd 7c 11c 8d

 



  (0,25®)
=> ®pcm (0,25đ)
Bài 5

1. Lm ỳng : 4
2. lm ỳng 3 đ

Cã IEAE;BAAE(gt)BA // IE (1)
Bx // AE (gt) => BI //AE (2)

Từ 1,2 => BI = AE (t/c đoạn chắn //)

Chứng minh BH = BI và VBHDVBHKBà3 Bà4

ả ả ả ả ¶ µ µ µ

4 2 3

1 2 3 4 1

B B ; B B B B B B

Mà Bả1Bà4Bà2Bà3 900(do Bx //AE, AE AB)

ả à à à 0 Ã 0

4 2 3

B B B B 45 DBK 45

      

1 32
4

B I

E
C
H

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát đội tuyển học sinh gii nm hc
2012 2013

Môn: Toán lớp 7
Thời gian làm bµi : 120 phót

đề bài
 Câu 1 (2điểm)

a. Thùc hiÖn phÐp tÝnh A = 1

9√6561+

√

144
324

b. Có hay khơng một tam giác với độ dài ba cạnh là : √17 ; √5+1 ; 35

Câu 2 (2 điểm) . Tìm x biÕt : |x −2|+|x −2|+⋯⋯+|x −2|+2005x=0 ; ( x<0 )
n = 2003

C©u 3 (1.5điểm).

Tìm x, y, z biÕt : 3|x|+5

3 =

3|y|−1
5 =

3− z

7 vµ 2 |x|+7|y|+3z=−14

Câu 4 (1điểm) . Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau.

Chøng minh r»ng 1

[

b −c
(a −b)(a − c)+

c −a
(b −c) (b − a)+

a −b
(c −a)(c b)

]

a b+

b c+

c a
Câu 5 (3.5điểm) .

Cho ABC có Â = 1V , hạ AH BC (H BC) , phân giác góc BAH và góc HAC cắt
BC lần lợt tại E và F.

a. Chứng minh rằng : ABF cân tại B.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

c. Tìm điều kiện của ABC để SAEF

SABC

có giá trị lớn nhất.

đáp án biểu điểm mơn tốn lớp 7
 Câu 1 4 điểm) (

1. Thùc hiƯn phÐp tÝnh (2®iĨm)

A = 1

√

2
+

√

(

)

(0,5 ®iĨm)

= 1

9. 81+
12

18 (0,5 ®iÓm)

= 9 + 2

3 (0,5 ®iĨm)

= 9 2

3 (0,5 ®iĨm)

2. Có hay khơng một tam giác với độ dài ba cạnh là : √17 ; √5+1 ; 3√5 (2điểm)

Trong ba sè √17 ; √5+1 ; 3√5 th× 3√5 lµ sè lín nhÊt.

Vậy nếu √17 + √5+1 > 3√5 thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba
cạnh là √17 ; √5+1 ; 3√5 (1
điểm )

ThËt vËy : √17 > √16=4

√5+1 > √4+1=3 => √17 + √5+1 > 7 = √49 > √45 = 3√5

(1 ®iĨm )

Câu 2 ( 4 điểm) Tìm x biÕt : |x −2|+|x −2|+⋯⋯+|x −2|+2005x=0 ; (x < 0)
n = 2003

Vì tổng trên có 2006 hạng tử |x 2| nªn ta cã 2006 |x −2|+2005x=0 (1) (2 ®iĨm)
Mµ x < 0 => x-2 < 0 = > |x −2|=− x+2 (1 điểm)
Nên từ (1) ta cã 2006(-x+2) + 2005x = 0 (0,5 ®iĨm)
=> -2006x + 4012 + 2005x = 0

=> x = 4012 (không thoả mÃn điều kiện x<0)
Vậy không có giá trị nào của x thoả mÃn bài toán. (0,5 điểm)
Câu 3 (3điểm)

T×m x, y, z biÕt : 3|x|+5

3 =

3|y|−1
5 =

3− z

7 (1) vµ 2 |x|+7|y|+3z=−14 (2)

Đặt 3|x|+5

3 =

3|y|−1
5 =

3− z

7 =k (0,5®iĨm)

=> |x|=3k −5

3 ; |y|=
5k+1

3 ; z = 3- 7k (0,5điểm)

Thay vào (2) ta cã : 2. 3k −5

3 +7 .
5k+1

3 +3(3−7k)=−14 (0,5®iĨm)

=> 6k - 10 + 35k +7 + 27 - 63k = - 42 => -22k = - 66 => k = 3 (0,25®iĨm)
=> |x|=3 .3−5

3 =
4

3 => x ±
4

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

T¬ng tù ta thÊy : y = ±16

3 ; z = -18 (0,25điểm)

vậy có 4 bộ số x;y;z thoả mÃn bài toán là:
x= 4

3; y=
16

3 ; z=−18. hc x= −
4
3; y=

3 ;z=−18 .

hc x= 4

3; y=−
16

3 ;z=−18 . hc x= −
4
3; y=−

3 ; z=−18 . (0,5 ®iĨm).

Câu 4 ( 2 điểm) : Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng : 1

[

b −c
(a −b)(a − c)+

c −a
(b −c) (b − a)+

a −b
(c −a)(c −b)

]

a −b+

b −c+

c − a
Ta cã : b −c

(a −b) (a − c) =

(a −c)−(a − b)
(a −b)(a− c) =

(a −b) -

(a −c) =

a− b +

c − a (1)
(0,5®iĨm)

c − a

(b− c) (b −a)=¿

(b− a)−(b− c)
(b −c) (b −a) =

b− c−

b − a=

b −c+

a− b (2) (0,5®iĨm)
a− b

(c − a) (c − b)=

(c − b)−(c −a)
(c − a) (c −b) =

c −a−

c − b=

c − a+

b −c (3) (0,5®iĨm)
Tõ (1) ; (2) ; (3) ta suy ra :

b −c

(a −b) (a − c) +

c − a
(b− c) (b −a)+

a −b
(c − a) (c − b)=

a −b+

b − c+

c − a (0,25®iĨm)
=> 1

[

b −c
(a −b)(a − c)+

c −a
(b −c) (b − a)+

a −b
(c −a)(c −b)

]

a −b+

b −c+

c − a
Điều phải CM(0,25điểm)

A
Câu 5 (7điểm) . A

ABC ; ¢ = 1V ; AH  BC = H (H BC) A
GT ¢1 = ¢2 ; ¢3 = ¢4 (E , F BC)

BC = a ; CA = b ; AB = c

a. ABF cân tại B B E H F C
KL b. TÝnh EF theo a ; b ; c

c. Tìm điều kiện của ABC để SΔAEF

SΔABC

đạt giá trị lớn nhất.

Vẽ hình, ghi GT + KL đúng cho (0,5điểm)

a. Chøng minh r»ng : Tam giác ABF cân tại B.(2điểm)
Vì Â = 1V => B^+ ^C=900

Tam giác vuông HAB có H^A B + B^ = 900 => gãc c b»ng gãc HAB (1) (1 ®iĨm )

Mµ BF A^ =^C+ ^A

4 (gãc ngoµi cđa tam gi¸c AFC)
=> BF A^ =^C+ ^A

3 (vì Â3= Â4) (0,5®iĨm)

=> BF A^ =H^A B+ ^A

3 ( Theo 1)

=> BF A^ =B^A F => BAF c©n ë B (0,5®iĨm

4 b

1 2 3
c

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b. Tính EF theo các cạnh của tam giác ABC. (2,0 điểm)

=> BF + CE = BF + EF + CF=EF+BC. (0,5 điểm)
=> b + c = a + EF => EF = b + c – a (0,5 điểm)
 c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để SΔAEF

SΔABC

có giá trị lớn nhất. (2,5điểm) 
Theo định lý PiTaGo ta có : a2 = b2 + c2. Mà (b-c)2 0 (Dấu bằng xảy ra khi b = c) (0,5Điểm)

=> b2 + c2 - 2bc 0

=> b2 + c2 2bc

=> 2.( b2 + c2) 2bc + b2 + c2

=> 2.( b2 + c2) (b + c)2

=> 2.a2 (b + c)2 v× a2 = b2 + c2

=> √2.a¿2

¿ (b + c)

=> a √2≥ b+c (vì a;b;c>0) (0,5 điểm)
Mặt khác : SAEF

SABC

=EF . AH

BC. AH=
EF

a (0,5 ®iĨm)
Mµ theo CM ë ý b ta cã : EF = b + c - a

=> SΔAEF

SΔABC

=b+c −a

a ≤

a√2− a

a = √2−1 (0,5 ®iĨm)

=> SΔAEF
SΔABC

đạt giá trị lớn nhất bằng √2−1 khi dấu bằng của (2) xảy ra tức b=c hay:

</div>

3 de DA HSG toan 7 0203

















√

[

]

√

√

(

)

[

]

[

]

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về