DE THI HSG TINH THANH HOA 2008 2009

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (156.14 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở Giáo dục và đào tạo

thanh hoá

ĐỀ CHÍNH THỨC

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH

Năm học: 2008-2009

Mơn thi: To¸n

LỚP : 12 THPT

Ngày thi: 28/03/2009

Thời gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )

Bài 1

(5,0 điểm)

Cho hàm số

y=x3−3x2+2

có đồ thị (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

x3

−3x2+2=m3−3m2+2

3. Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?

Bµi 2

(4,0 ®iĨm)

1. TÝnh tÝch ph©n: I =

∫

0
1

e2x2
x2

+4x+4dx

2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau mà trong đó chỉ có

một chữ số lẻ ?

Bµi 3

(5,0 điểm)

1. Giải phơng tr×nh:

sin(3x −π

4)=sin 2x. sin(x+

π

2. Tìm giá trị của

m

để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi

x

(2−log2 m

m+1)x

−2(1+log2 m

m+1)x −2(1+log2

m

m+1)<0

.

3. Với giá trị nào của x, y thì 3 sè

u1=8x+log2y, u

2=2

x−log2y, u

3=5y

theo thứ tự đó,

đồng thời lập thành một cấp số cộng và mt cp s nhõn.

Bài 4

(5,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng trịn (C) có phơng trình:

x2

+(y −1)2=1

Chứng minh rằng với mỗi điểm M(

m

; 3) trên đờng thẳng

y

= 3 ta ln tìm đợc

hai điểm T1 , T2 trên trục hoành, sao cho các đờng thẳng MT1`, MT2 là tiếp tuyến của

(C). Khi đó hãy viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác MT1T2.

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân (AB = BC =1)

và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lợt là trung điểm của AC và BC.

Trên cạnh SA, SB lần lợt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính thể tích của

tứ diện LMNK.

Bài 5

(1,0 điểm)

Cho n là số nguyên lẻ và n >2. Chøng minh r»ng víi mäi

a

kh¸c 0 lu«n cã:

(1+a+a

2
2!+

a3
3!+. ..+

an

n !)(1− a+
a2
2!−

a3
3!+. . .+

an−1

(n −1)!−

an
n !)<1

HÕt

Sở Giáo dục và đào tạo

thanh hoá

Đáp án đề chính thức

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH

Năm hc: 2008-2009

Mụn thi: Toán

LP : 12 THPT

Ngy thi: 28/03/2009

Đáp án này gồm có 5 trang

Bài Đáp án và hớng dẫn chấm Điểm

Bài1
5đ

1(3đ)

1. Tp xỏc nh: R

S bỏo danh

...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 Sù biÕn thiªn

x=0

x=2

y,,=0⇔x=1

¿
¿
¿y

,

=3x2−6x ; y,,=6x −6

y,

=0⇔ ¿

B¶ng biÕn thiªn

x − ∞ 0 1 2

+∞

y, + 0 - 0 +

y,, - 0 +

y 2 U(1;0)

+∞ − ∞ - 2

3 Đồ thị :

y
2

−1 2

1+

√

3 O 1 1+

√

3 3 x

2

0,5

1,0

2. (1đ)

Đặt

f(m)=m3−3m2+2

Số nghiệm của phơng trình x3−3x2+2=m3−3m2+2 là số giao điểm của đờng

thẳng y = f(m)=m3−3m2+2 với đồ thị (C)

Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; 0 < m <2; 2 < m < 3 thì -2 < f(m) <2

m = -1 hoặc m = 2 thì f (m) = -2

m = 3 hc m = 0 th× f(m) = 2

m < -1 th× f(m) < -2
m > 3 th× f (m) > 2

VËy *

m>3

m<−1

¿
¿
¿
¿

phơng trình có 1 nghiệm

* m={−1;0;2;3} ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm

* −1<m<0;0<m<3 phơng trình có 3 nghiệm

0,5

3.(1đ)

M thuc th (C) suy ra M (a ;a3−3a2+2) .đờng thẳng (d) tiếp xúc vi (C) ti

T(x0;y0) thì (d) có phơng trình:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

x0=a
¿

x0=
3−a

2
¿
¿

¿
¿

M∈(d)⇒a3−3a2+2=(3x20−6x0)(a− x0)+x03−3x02+2
⇔(a3− x03)−3(a2− x20)−(3x02−6x0)(a− x0)

⇔(a − x0)

[

2x02−(a+3)x0+3a − a2

]

=0
⇔(a− x0)(x0−a −3

2 )=0⇔

TH1 a=3− a

2 ⇔a=1⇒M ≡ I(1;0) cã 1 tiÕp tuyÕn duy nhÊt

TH2 a ≠3− a

2 ⇔a ≠1⇒M ≠ I(1;0) có 2 tiếp tuyến

0,25
0,25
0,25

Bài2

4đ 1.(2đ)

I =

e2

∫

0
1

x2

x2+4x+4dx

TÝnh J =

0
1

x2

x2+4x+4dx

Đặt

u=x2

x+22

du=2 xdx

¿
¿

¿
dv=dx

⇒J=− x

x+2¿0

∫

0
1

x

x+2dx=−

1
3+2

∫

0

dx−4

∫

0
1

x+2

−1

3+2x¿0
1

−4 ln|x+2|0
1

=−1

3+2−4(ln3−ln 2)=
5
3−4 ln

3
2

⇒I=5

3e

2−4e2ln3
2

0,25

0,5

0,5
0,5
0,25

2.(2®)

Ta kÝ hiƯu sè A lµ a

1a2a3a4a5 a

− −− −−− −− −−− −−

Có 5 khả năng chọn một chữ số lẻ

Mỗi cách chọn 1 chữ số lẻ và 5 chữ số chẵn có P6=6! Cách sắp xếp 6 chữ sè

đã cho vào 6 vị trí từ a1đến a6

Nh vậy có 5.P6 =5.6! cách sắp xếp 10 chữ số từ 0 đến 9 vào 6 vị trí từ a1 đến a6

mà mỗi cách chỉ có một chữ số lẻ.

*Trong tt cả các cách sắp xếp đó thì những cách xếp có chữ số 0 đứng ở vị trí

a1 kh«ng phải là một số có 6 chữ số

* Do tớnh bình đẳng của các chữ số đã chọn có 1

6 số cách sắp xếp không

phải là số có 6 chữ số và bằng 5 . 6!

6 =5 . 5!

Vậy số các số có 6 chữ số mà trong nó chỉ có một số lẻ là
5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 sè

0,5

0,5
0,5

Bµi3

5đ 1.(2đ) Đặt t=x+π4 khi đó phơng trình đã cho tr thnh
sin(3t )=sin(2t+

2)sintsin3t=cos 2tsint (*)

Đặt z = sin t §K |z|≤1 phơng trình (*) trở thành

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3x −4z3+(1−2z2)z=0⇔6z3−4z=0⇔

z=0

z2

3
¿
¿
¿
¿
¿

*

z=0⇒sint=0⇔t=kπ⇒x=−π

4+kπ ;k∈Z

*

z2=2

3⇒sin
2

t=2

3⇔

1−cos 2t

2 =

3⇔cos 2t=−
1

3=cosα

⇔

2t=α+l2π

¿
2t=− α+l2π

t=α

2+lπ
¿

t=−α

2+lπ
¿

x=−π

α

2+lπ
¿

x=−π

4−

α

2+lπ
¿

, l∈Z

⇒¿
¿

⇔¿
¿
¿
¿

VËy PT cã nghiệm là x=

4+k , x=

4

2+l.k , lZ

0,5
0,25

2.(2đ) Đặt a=1+log2 m

m+1 , bt phng trình đã cho trở thành:

(3a)x22 ax2a<0 (1)

Vế trái của (1) là mét tam thøc b©c hai Èn x cã hƯ sè cđa x2 lµ 3−a .

TH1: 3 - a=0⇔a=3

Khi đó (1) là 6x −6<0⇔x<1 suy ra (1) không nghiệm đúng mọi x

0,5

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

TH2

¿
3−a<0

Δ,

¿{

⇔

a>3

a2

+2a(3− a)<0
⇔

¿a>3

a<3

¿
¿

a>6

¿
¿⇔a>6

¿
¿
¿

Víi a > 6 ta cã 1+log2 m

m+1>6⇔

m
m+1>32

⇔31m+32

m+1 <0⇔−

32<m<−1 .

3.(1®)

Nếu các số a, b, c đồng thời là cấp số cộng và cấp số nhân thì

a+c=2b

ac=b2

¿{

suy ra a, c là nghiệm của pt: x2−2 bx+b2=0⇔x=b từ đó a = b = c.

Theo bµi ra ta cã hÖ:

¿
8x+log2y

=2x−log2y

(1)

2x−log2y

=5y(2)

¿{

Từ (1) 3x+3 log2y=x −log2y⇔x=−2 log2y , thay vo (2) ta c:

23 log2y

=5y5y4=1y=

45x=2 log2

45=1

2log25

0,25
0,25

0,5

Bài4
 5đ

1.(3đ) §êng tròn (C) có tâm I ( 0 ; 1 ) bán kính R = 1
Điểm T thuộc trục hoành th× T( t ; 0)

Điểm M( m; 3) thuộc đờng thẳng y = 3 , ta có:
Phơng trình đờng thẳng MT:

x −m

t − m=

y −3

−3 ⇔3x+(t −m)y −3t=0

Do MT là tiếp tuyến của (C) nên khoảng cách từ tâm I của (C) đến MT bằng 1, hay

t m2

m+2t2=9+
32

|t m3t|

Do phơng trình (*) lu«n cã hai nghiƯm t1 , t2 víi mäi m nên luôn tồn tại hai điểm

T1(t1;0) v T2(t2;0) để MT1và MT2 là tiếp tuyến của (C).

* Theo định lý Vi ét có t1 + t2 = -2m. Phơng trình đờng trịn (C1) ngoại tiếp tam

gi¸c MT1T2 cã d¹ng:

0,5

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

x2+y2+2 ax+2 by+c=0

Vì M, T1, T2 thuộc đờng trịn (C1) nên có hệ

m2

+9+2 ma+6b+c=0(1)

t12+2 at1+c=0(2)
t22+2 at2+c=0(3)

¿{ {

Tõ (2) vµ (3) suy ra

t12−t

22+2a(t1−t2)=0(dot1≠ t2)⇔t1+t2+2a=0

⇔−2m+2a=0⇔a=m.

Thay vµo (2) ta cã t12+2 mt1+c=0

Do t1 là nghiệm của(*) nên t12+2 mt1−3=0⇒c=−3

Thay c = -3 vào (1) ta đợc:

m2+9+2m2+6b −3=0⇔b=−m

VËy phơng trình của (C1) là: x2+y2+2 mxm

2 y −3=0

0,5

2.(2®) LÊy ®iÓm E thuéc SA sao cho AN=1 suy ra NE// AB // KL

SNKL=SEKLVMNKL=VMEKL ; SEKM=1

6SSKC

Mặt khác khoảng cách từ L đén mặt phẳng (MKE) bằng BK

VËy VKLME= 1

12VSABC mµ

VSABC=1

3SK .SABC=13

172 .12=

2VKLMN=
1
12 .

17
6

144 (đvtt)

E
M

K C

L
N

B
A

0,5
0,5

Bài5
 1đ

Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0

Đặt u=1+a+a

2
2!+

a3

3!+. . .+
an

n !⇒u

,

=1+a+a

2
2!+.. .+

an −1

(n −1)!

v=1− a+a

2
2!−

a3

3!+. . .+
an−1

(n −1)!−

an
n !

⇒v,=−1+a −a

2
2!+

a3

3!−
a4

4!+. ..+
an −2

(n−2)!−

an −1

(n −1)!

Khi đó u=u,+a

n

n !, v=− v
,

−a

n
n !

u+v=2(1+a

2
2!+

a4

4!+. . .. .+
an 1

(n 1)!)>0 với mọi a và n lẻ n > 2

Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là f(a)

Ta cã f,(a)=uv,+vu,=u(− v −a

n

n!)+v(u−
an

n!)=−

an
n !(u+v)

0,25

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

u+v>0, a ≠0⇒

f,(a)>0 khia<0

f,(a)<0 khia>0

¿{

Ta cã b¶ng biÕn thiªn

a − ∞0+∞

f,

(a) +

-f(a) 1

do a khác 0 nên f(a) <1 ( điều phải chứng minh)

0,25

</div>

DE THI HSG TINH THANH HOA 2008 2009

Sở Giáo dục và đào tạo

thanh hoá

ĐỀ CHÍNH THỨC

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH

<b>Năm học: 2008-2009</b>

<b>Mơn thi: To¸n </b>

<b>LỚP : 12 THPT</b>

Ngày thi: 28/03/2009

Thời gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )

<b>Bài 1</b>

(5,0 điểm)

<b> </b>

Cho hàm số

có đồ thị (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

3. Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?

<b>Bµi 2</b>

(4,0 ®iĨm)

1. TÝnh tÝch ph©n: I =

<sub>∫</sub>

2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau mà trong đó chỉ có

một chữ số lẻ ?

<b>Bµi 3 </b>

(5,0 điểm)

1. Giải phơng tr×nh:

2. Tìm giá trị của

<i>m</i>

để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi

<i>x</i>

.

3. Với giá trị nào của x, y thì 3 sè

theo thứ tự đó,

đồng thời lập thành một cấp số cộng và mt cp s nhõn.

<b>Bài 4</b>

(5,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng trịn (C) có phơng trình:

Chứng minh rằng với mỗi điểm M(

<i>m</i>

; 3) trên đờng thẳng

<i>y</i>

= 3 ta ln tìm đợc

hai điểm T1 , T2 trên trục hoành, sao cho các đờng thẳng MT1`, MT2 là tiếp tuyến của

(C). Khi đó hãy viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác MT1T2.

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân (AB = BC =1)

và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lợt là trung điểm của AC và BC.

Trên cạnh SA, SB lần lợt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính thể tích của

tứ diện LMNK.

<b>Bài 5</b>

(1,0 điểm)

Cho n là số nguyên lẻ và n >2. Chøng minh r»ng víi mäi

<i>a</i>

kh¸c 0 lu«n cã:

<b> HÕt</b>

Sở Giáo dục và đào tạo

thanh hoá

Đáp án đề chính thức

Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH

<b>Năm hc: 2008-2009</b>

<b>Mụn thi: Toán </b>

<b>LP : 12 THPT</b>

Ngy thi: 28/03/2009

Đáp án này gồm có 5 trang

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<b>2. (1đ) </b>

Đặt

VËy *

<b>3.(1đ)</b>

[

]

I =

∫

TÝnh J =

<sub></sub>

Đặt

∫

∫

<sub>∫</sub>