Hệ quy chiếu phi quán tính

vLời cảm ơn
Đầu tiên em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa, các thầy
cô giáo trong khoa đã giúp đỡ em trong những năm học tại khoa Vật lí và
tạo điều kiện cho em đợc làm luận văn này.
Đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn TS. Võ
Thanh Cơng - ngời đã hết lòng giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em để có ý t-
ởng về đề tài và hoàn thành đợc khoá luận này. Em xin chân thanh cám ơn
thầy giáo ThS. Trịnh Ngọc Hoàng và các Thầy Cô trong tổ vật lí đại cơng
đã góp cho em nhiều ý kiến bổ ích để khoá luận hoàn thiện hơn. Em
cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Vật lí và các bạn
đã động viên em hoàn thành đợc khoá luận của mình.
Tuy nhiên, đây là lần đầu tiên thực hiện một đề tài nghiên cứu nên
mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhng luận văn không tránh khỏi những sai
sót. Bởi vậy em rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến cuả các thầy cô giáo
và các bạn sinh viên để luận văn đợc hoàn thiện hơn.
Chân thành cảm ơn.
Vinh, tháng 5 năm 2008
Sinh viên làm khoá luận
1
Phần mở đầu
Hiểu sâu sắc một hiện tợng vật lí mới có thể diễn giải và truyền đạt một
cách chính xác bản chất hiện tợng đó. Trong tự nhiên các hiện tợng vật lí có
thể chia ra làm hai nhóm đối tợng chính: các hiện tợng xảy ra trong hệ quy
chiếu quán tính và các hiện tợng xảy ra trong hệ quy chiếu không quán tính.
Tại sao ánh sáng có thể lan truyền trong vũ trụ (chân không), tại sao khi vật
chuyển động nhanh thì không gian co lại thời gian trể đI và bao nhiêu câu hỏi
nh vậy chỉ có thể lí giải khi thuyết tơng đối ra đời. Hàng ngày nhiều hiện tợng
về lực quán tính xảy ra quanh ta, để lí giải các hiện tợng đó học sinh phải hiểu
đúng bản chất của hiện tợng.
Do đó trong quá trình giải bài tập Vật lí cần lựa chọn cách giải phù hợp.
Vì vậy việc sử dụng kiến thức về thuyết tơng đối vào giải một số bài tập

Vật lí đại cơng sẽ giúp chúng ta có cách nhìn mới về hiện tợng vật lí và sẽ có
đợc u điểm so với cách giải khác. Đó chính là lí do vì sao em chọn đề tài Lí
thuyết tơng đối trong một số bài tập vật lí đại cơng.
Với mục đích trên khoá luận cần nghiên cứu các vấn đề sau:
1.Trình bày tóm tắt lí thuyết về nguyên lí tơng đối Galilê: hệ quy chiếu
quán tính, phép biến đổi Galilê, nội dung nguyên lí tơng đối Galilê, khái niêm
về lực quán tính.
+ Giải một số bài tập về phép biến đổi Galilê.
+ Nêu lí thuyết về lực quán tính và tính chất của chúng trong các hệ
quy chiếu không quán tính.
+ Giải một số bài tập về lực quán tính.
2. Tổng quan sự ra đời, nội dung và các hệ quả của thuyết tơng đối hẹp
Einstein. Biểu diễn một số đại lợng theo quan điểm thuyết tơng đối hẹp
Einstein.
+ Giải một số bài tập theo quan điểm thuyết tơng đối.
Luận văn ngoài phần mở đầu kết luận, còn có hai chơng:
2
Ch ơng I : Tổng quan về lí thuyết tơng đối Galilée. Trong chơng này các
vấn đề đợc trình bày là:
1.1.1 Hệ quy chiếu quán tính
1.1.2 phép biến đổi Galilée
1.1.3 Nguyên lí tơng đối Galilée
1.1.4 Bài tập về phép biến đổi Galilée
1.2 Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính
1.2.1 Hệ quy chiếu không quán tính chuyển động thẳng biến đổi đều
1.2.2 Bài tập về lực quán tính trong hệ qui chiếu không quán tính chuyển
động thẳng biến đổi đều
1.3 Chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu không quán tính quay
1.3.1 Bài tập về lực quán tính quay
Ch ơng II : Thuyết tơng đối Eistein.

Nội dung chơng này là:
2.1 Sự ra đời của thuyết tơng đối hẹp Einstein,
2.2 Thuyết tơng đối hẹp Einstein.
2.3 Các hệ quả của thuyết tơng đối hẹp.
2.4 Kết luận.
2.5 Biểu diễn một số đại lợng theo quan điểm thuyết tơng đối hẹp Einstein
2.6 Bài tập minh họa.
Trong khuôn khổ một khoá luận tốt nghiệp do lần đầu tập làm quen với
phng pháp nghiên cứu khoa học và cũng do thời gian hạn chế nên vẫn còn
nhiều thiếu sót. Nếu đợc đầu t nhiều hơn tôi nghĩ đây là một hớng nghiên cứu
bổ ích và có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa vật lí.

3
4
Chơng I
Nguyên lí tơng đối galiée
Từ khi định luật Newton ra đời các chuyển động cơ học đều tuân theo định
luật này. Tuy nhiên trong quá trình khảo sát các chuyển động ngời ta pháp
hiện ra một số hiện tợng vi phạm định luật Newton. Đó là các chuyển động
diễn ra trong hệ quy chiếu không quán tính. Để giải thích cấc hiện tợng đó sau
nhiều thời gian nghiên cứu Galile đã đa ra thuyết đối Galiée. Trong thuyết này
thời gian là tuyệt đố còn không gian là tơng đối và để giả thích các hiện tựơng
nêu trên Galilée đa ra khái niệm lực quán tính. Lực quán tính xuất hiện trong
hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính. Với sự ra
đời khái niệm lực quán tính các quy luật chuyển động đợc giải thích một cách
rõ ràng hơn. Để nghiên cứu thuyết tơng đôi Galilée ta cần đề cập tới các vấn
đề sau:
1.1.1 Hệ quy chiếu quán tính
Hệ quy chiếu là một hệ tọa độ dựa vào đó vị trí của mọi điểm trên vật
thể và vị trí của vật thể khác đợc xác định đồng thời có một đồng hồ đo để xác

định thời điểm của sự kiện.
Quan sát định luật chuyển động của các chất điểm sẽ khác nhau trong
những hệ quy chiếu khác nhau. Tuy nhiên tồn tại hệ quy chiếu mà trong đó
chất điểm cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều từ một vị trí ban
đầu bất kì, từ một hớng bất kì của véctơ vận tốc. Hệ quy chiếu nh vậy đợc gọi
là hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu bảo toàn trạng thái chuyển động của
vật).
Nh vậy trong hệ quy chiếu quán tính chất điểm cô lập giữ nguyên trạng
thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Từ những nghiên cứu đó Galilê đã
đa ra thuyết tơng đối gồm các điểm sau:
5
Trong hệ quy chiếu quán tính thời gian nh nhau hay thời gian là tuyệt
đối: t = t
Vị trí của một điểm M nào đó phụ thuộc hệ quy chiếu.
Ví dụ: có hai hệ quy chiếu O, O (hệ O chuyển động với vận tốc V so với hệ
O). Trong hệ O điểm M có toạ độ là x. Trong hệ O toạ độ của điểm M là: x
= x + OO = x + V.t
Vậy vị trí trong không gian là tơng đối.
Khoảng (khỏang cách) có tính tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy
chiếu.
Thật vậy: Lấy hai điểm cố định trên O. Độ dài
L trong O đợc xác định:
L = x
B
- x
A
Lại có: x
A
= x
A

+V.t
x
B
= x
B
+ V.t
Nên độ dài L trong hệ O sẽ là:
L = x
A
x
B
= x
A
x
B
= L
Thuyết tơng đối Galilê khẳng định không gian
chuyển động là tơng đối, thời gian là tuyệt đối.
Một vật đứng yên trong hệ này nhng có thể chuyển động thẳng đều đối với hệ
kia.
1.1.1 Phép biến đổi Galilê
Để khảo sát chuyển động của một vật ta cần đa ra một hệ toạ độ trong đó
phơng trình biểu diễn sự phụ thuộc các thành phần của toạ độ vào thời gian gọi
là phơng trình chuyển động. Trên một chuyển động ta có thể chọn nhiều hệ
toạ độ khác nhau, nhng trong cách chọn hệ toạ độ nh thế nào các phép đo vật
lí phải tuân theo thuyết tơng đối Galilê. Các toạ độ trong các hệ quy chiếu
6
khác nhau cùng mô tả một chuyển động có thể biến đổi cho nhau. Phép biến
đổi đó đợc gọi là phép biến đổi
Galilê.

Để minh hoạ, ta xét hai hệ
quy chiếu K và K, trong đó K
chuyển động thẳng đều với vận tốc
v so với K. Hệ K gắn vào hệ toạ độ
Đêcác vuông góc Oxyz, hệ K gắn
vào hệ toạ độ Đềcác vuông góc
Oxyz sao cho trục Ox trùng với
trục Ox và trùng với véctơ vận tốc
V, Oy song song với Oy, Oz song
song với Oz.
Với cách chọn nh vậy, hai hê quy chiếu K, K đợc gọi là hai hệ quy
chiếu quán tính với nhau, hay là hai hệ quy chiếu quán tính với nhau khi
chúng chuyển động thẳng đều với nhau. Tại thời điểm ban đầu hai hệ hoàn
toàn trùng nhau, sau đó K chuyển động dọc chiều dơng của trục Ox với vận
tốc V (hình1.2), từ đó ta có:
a) Phép biến đổi toạ độ của hệ quy chiếu.
Thong hệ K và K toạ độ của chất điểm lần lợt là: M(x,y,z) và
M(x,y,z), ta có phép biến đổi toạ độ là:
x(t) = x(t) + V.
y(t) = y(t) (1.1.1)
z(t) = z(t)
t = t
Ba phơng trình trên cũng là mối quan hệ giữa phơng trình chuyển động trong
hệ K và hệ K.
b) Phép biến đổi vận tốc.
7
Đạo hàm theo thời gian hệ phơng trình (1.1.1) ta đuợc phơng trình cộng vận
tốc:
v
x

(t) = v
x
(t) + V
v
y
(t) = v
y
(t) (1.1.2)
v
z
(t) = v
z
(t)
Nếu biểu diễn theo véctơ vận tốc, ta có công thức cộng vận tốc:

Vvv


+= '
c) Công thức cộng gia tốc.
Đạo hàm theo thời gian (1.1.2) ta đợc:
a
y
= a
y
a
y
= a
y
(1.1.3)

a
z
= a
z
Nh vậy gia tốc trong hai hệ quy chiếu quán tính đợc bảo toàn.
Nếu K và K là hai hệ quy chiếu quán tính với nhau thì gia tốc của một
chất điểm trong hai hệ quy chiếu là nh nhau, hay nói cách khác tính quán tính
trong hai hệ quy chiếu quán tính đợc bảo toàn.
1.1.3 Nguyên lí tơng đối Galilê
Từ sự nghiên cứu khảo sát chuyển động cơ học trong các hệ quy chiếu
quán tính, Galilê đã đa ra một nguyên lí, sau này gọi là nguyên lí tơng đối t-
ơng đối Galilê.
Nội dung nguyên lí: tất cả các định luật cơ học đều giống nhau trong
mọi hệ quy chiếu quán tính
Về mặt toán ghọc có nghĩa là: những phơng trình mô tả các định luật
cơ học cổ điển sẽ không đổi dạng đối với phép biến đổi của toạ độ và thời
gian khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính
khác theo công thức biến đổi Galilê.
8
Nguyên lí tơng đối Galilê có vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu
cơ học cổ điển. Trong môn học này phơng trình cơ bản của động lực học đợc
biểu diễn bằng định luật II của Newton:

dt
vmd
F
)(
(

=

Trong đó: m là khối lợng của vật và là đại lợng bất biến

F

là tổng hợp lực tác dụng lên vật
Lực tác dụng lên vật đợc chia làm ba loại sau
Lực phụ thuộc khoảng cách không gian: lực đàn hồi, lực hấp dẫn, lực
tĩnh điện
Lực phụ thuộc vận tốc tờng đối: lực ma sát, lực cản của không khí, lực
nhớt
Lực phụ thuộc thời gian: lực đàn hồi
Mặt khác khoảng cách không gian, vận tốc tơng đối, thời gian đều là
những đại lợng bất biến đối với phép biến đổi Galiliée. Do vậy lực
F

cũng là
lợng bất biến đối với phép biến đổi Galilée.
Vậy phơng trình biểu diễn định luật II Newton là phơng trình bất biến đối
với phép biến đổi Galilê. Từ đó ta có kết luận: trong các hệ quy chiêú quán
tính, các định luật cơ học cổ điển là bất biến với phép biến đổi Galilê
Minh hoạ cho phép biến đổi Galilê ta xét một số dạng chuyển nh sau:
1.1.4 Bài tập về phép biến đổi Galilée
Bài 1.1.1 (Bài tập về phép biến đổi toạ độ)
Tàu A đi theo đờng AC với vận tốc u.
Ban đầu tàu A cách tàu B khoảng AB. Biết
BH vông góc với AC, góc giữa AB và BH là
9

(hình vẽ). Hỏi tàu B phải đi với vận tốc bằng bao nhiêu để gặp đợc tàu A?
Biết tàu B đi theo hớng tạo với HB góc

.
Giải:
Chọn hệ quy chiếu K và K sao cho:
Hệ K gắn với mặt đờng
Hệ K gắn với tàu A
Ban đầu K và K hoàn toàn trùng nhau, sau đó K chuyển động với vận tốc u
so với K theo phơng ox. Xét chuyển động của tàu B trong hệ quy chiếu K và
K.
+ Vận tốc của tàu B trong hệ K là:
v
x
= v.sin

v
y
= v.cos

+ Phơng trình chuyển động của B trong K là:
x = L.sin

+ v
x
.t = L.sin

+ v.sin

.t
y = L.cos

- v
y
.t = L.cos

- v.cos

.t (1.1.4)
áp dụng phép biến đổi Galilê cho toạ độ ta có:
x = x - u.t
y= y (1.1.5)
Khi tàu A gặp tàu B thì:
x = 0
y= 0
Thay (1.1.4) vào (1.1.5) ta đựơc:
L.sin

+ v.sin

.t- u.t = 0
L.cos

- v.cos

.t = 0 (1.1.6)
Giải (1.1.6) ta đợc kết quả:
)sin(
cos.


+

=
u
v

Bài toán 1.1.2 (Bài tập về phép biến đổi vận tốc)
10
Một ngời chèo thuyền qua sông có dòng
nớc chảy. nếu ngời ấy chèo theo hớng AB (AB
vuông góc với dòng sông, hình vẽ) thì sau thời
gian t
1
=10 phút thuyền sẽ tới vị trí C cách B
khoảng s =120m. nếu ngời âý chèo thuyền về
phía ngợc dòng một góc

, sau thời gian t
2
=
12.5 phút thuyền sẽ tới đúng vị trí B. coi vận tốc
của thuyền với dòng sông là không đổi. tính:
a) bề rộng l của dòng sông
b) vận tốc v của thuyền đối với dòng nớc.
c) Vận tốc u của nớc đối với bờ sông
d) Góc

Giải:

Chọn hệ quy chiếu K gắn với bờ sông, hệ K gắn với dòng nớc, sao cho:
Tại thời điểm ban đầu t = 0 thì K và K hoàn toàn trùng nhau
O trùng A, Ox trùng Ax, Oy song song với AB

Theo phép biến đổi Galilê ta có:
x = x + u.t (1.1.6)
y = y
và v
x
= v
x
+u (1.1.7)
v
y
= v
y

Trờng hợp thứ nhất: thuyền đợc chèo theo hớng vuông góc với AB
Ta có:

11
v
x
= 0 và v
x
= u (1.1.8)
v
y
= 0 v
y
= v
Thay (1.1.7) vào (1.1.6) ta đợc: x = BC = u.t
1
Thay số ta đợc: u = 0,2 (m/s)

+ trờng hợp thứ 2: thuyền đợc chèo theo phơng tạo với AB góc

Ta có AB = v.t
1
(1.1.8)
v
x
= - v. sin

(1.1.9)
v
y
= v. cos

thay vào công thức (1.1.7) ta có:
v
x
= -v.sin

+u (1.1.10)
v
y
= v.cos

thay vào công thức (1.1.6) ta đợc:
x = (-v.sin

+ u).t
2
(1.1.11)

AB = v.cos

.t
2
(1.1.12)
Từ (1.1.8) và (1.1.12) góc

đợc xác định theo công thức:
cos

=
t
t
2
1
= 0.8 =>

= 36,86 (1.1.13)
khi đó ta tính đợc vận tốc của thuyền đối với dòng nớc là:
v =

sin
u
= 0,333 (m/s)
độ rộng của bờ là: AB = 0,333.600 =1,998 (m)
Bài tập 1.1.3 (Bài tập về phép biến đổi vận tốc)
một máy bay bay ngang với vận tốc v
1
độ cao h so với mặt đất, muốn
thả bom trúng một tàu đang chạy trên mặt biển với vận tốc v

2
trong cùng một
mặt phẳng thẳng đứng với máy bay. Hỏi máy bay phải cắt bom khi nó cách tàu
một khoảng cách theo phơng ngang l là bao nhiêu? bỏ qua sức cản của không
khí.
12
Giải:
Chọn hệ quy chiếu K gắn với mặt biển, hệ K gắn với tàu sao cho:
K chuyển động với vận tốc v
2
so với K.
Trục Oy vuông góc với mặt biển
Trục Ox trùng phơng và chiều của tàu
áp dụng công thức cộng vận tốc Galilê cho máy bay ta có:
v
x
= v
x
+ v
2
(1.1.14)
v
y
= v
y
* Nếu máy bay và tàu chuyển động cùng chiều thì tính đợc vận tốc máy bay
trong hệ K là:
v
x
= v

1
v
2
v
y
= v
y
= g.t
Trong hệ K phơng trình chuyển động của bom là:
x = (v
1
v
2
).t + l (1.1.15)
y = h-
2
1
g.t
2
để bom trúng máy bay sau thời gian t
1
thì:
y(t
1
) = 0
x(t
1
) = 0
Giải phơng trình trên ta có kết quả:
t

1
=
g
h.2
và l = (v
2
v
1
)
g
h.2
* Nếu máy bay và tàu chuyển động ngợc chiều thì vận tốc máy bay trong hệ
K tính đợc:
v
x
= - (v
1
+ v
2
)
v
y
= v
y
= g.t
Trong hệ K lúc này phơng trình chuyển động của bom là:
13

x = - (v
1

+ v
2
).t + l (1.1.16)
y = h-
2
1
g.t
2
để bom trúng tàu tại thời điểm t
1
thì:
y(t
1
) = 0
x(t
1
) = 0
Giải phơng trình này ra ta đợc kết quả:
t
1
=
g
h.2
và l = (v
1
+ v
2
).
g
h.2

Bài tập 1.1.4 (Bài tập về phép biến đổi vận tốc)
một xe chạy đều trên mặt nằm ngang có một cái ống. Hỏi ống phải đặt
trong mặt phẳng nào và nghiêng một góc bao nhiêu để cho những giọt ma rơi
thẳng đứng lọt vào đáy ống mà không chạm phải thành ống? Biết vận tốc hạt
ma là v
1
và vận tốc xe là v
2
.
Giải:
Chọn hệ quy chiếu K gắn với mặt đất, hệ K gắn với xe. K chuyển
động với vận tốc v
2
so với K. trục Ox theo phơng chuyển động, trục Oy vuông
góc với mặt đất.
áp dụng công thức cộng vận tốc Galilê cho vận tốc của hạt ma là:
v
x
= v
x
+ v
2
v
y
= v
y
vận tốc hạt ma trong hệ quy chiếu K là:
v
x
= 0

v
y
=-v
y

vận tốc giọt ma trong hệ K là:
v
x
=-v
2
14
v
y
=- v
1
để ống không bị ớt thì trong hệ K phơng rơi của hạt ma trùng với ph-
ơng đặt ống. Góc

đợc xác định sao cho tg

=
v
v
v
v
x
y
2
1
.

'
'
. Vậy khi đặt ống trong
mặt phẳng thẳng đứng với góc

so với trục chuyển động thì lòng ống không -
ớt.
1.2 Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.
Các định luật cơ học newon chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính. Hệ
quy chiếu chuyển động không thẳng và không đều so với hệ quy chiếu quán
tính thì không phải là hệ quy chiếu quán tính. Khi chất điểm chuyển động
trong hệ quy chiếu nh vậy thì không thể áp dụng đợc các định luật Newton. để
có thể áp dụng đựơc các định luật Newton trong hệ quy chiếu không quán tính
theo phép biến đổi Galilê thì ta nhận thấy phải đa vào khái niệm lực quán tính.
Với lực quán tính, xét hai loại hệ quy chiếu quán tính nh sau:
1.2.1 Hệ quy chiếu không quán tính chuyển động thẳng biến đổi đều. xét
hệ quy chiếu K chuyển động thẳng đều với gia tốc
A

so với hệ quy chiếu K.
khi đó công thức cộng vận tốc của Galilê sẽ là:
v
x
(t) = v
x
(t) + V(t)
v
y
(t) = v
y

(t) (1.2.1)
v
z
(t) = v
z
(t)
lấy đạo hàm (1.2.1) theo t đợc:
a
x
= a
x
+ A
a
y
= a
y
(1.2.2)
a
z
= a
z
15
trong đó A =
dt
dV
gọi là gia tốc quán tính. Công thức (1.2.2) đợc viết dới dạng
véctơ là:
Aaa

+= '
Đối với hệ quy chiếu quán tính K ta có định luật II Newton:
amF


=
,
trong hệ K định luật II là:
)( AmamF



+=
. Lúc này định luật quán tính của
Newton trong hệ K và K sẽ khác nhau. nếu một vật đứng yên hoặc chuyển
động thẳng đều trong hệ K thì sẽ chuỵển động có gia tốc trong hệ K. hai hệ
quy chiếu này không quán tính với nhau. Trong khi đó theo nguyên lí của
Galilê lực
F

là một đại lợng bất biến.
Trong hệ K chất điểm có gia tốc
'a

đợc xác định:
Aaa



+='

, lúc đó
amAamam



+= )(
hay định luật Newton không bảo toàn. Nếu ta đặt
AmF
qt


=
, ta có:
qt
FFam


+='
. Phơng trình này giống phơng trình định luật II
Newton. Khi đó lực
qt
F
gọi là lực quán tính.
Trờng hợp đặc biệt khi K chuyển động với gia tốc
)0,0,(AAA

=
, lúc này
lực quán tính sẽ là:
AmF

qt


=
có đặc điểm:
độ lớn bằng khối lợng vật đó nhân với gia tốc chuyển động của hệ,
phơng trùng với phơng chuyển động của hệ
chiều ngợc chiều véctơ gia tốc, hay cùng chiều chuyển động nếu vật
chuyển động chậm dần đều, ngợc chiều chuyển động nếu chuyển động
nhanh dần đều.
Khi hệ quy chiếu chuyển động biến đổi đều thì lực quán tính bằng
không.
Nh vậy để định luật II Newton trong mọi hệ quy chiếu thì tổng hợp lực tác
dụng lênn vật, ngoài các lực thông thờng ta còn phải kể thêm lực quán tính.
Khi giải các bài toán lực quán tính cần chú ý:
16
lực quán tính không có phản lực vì không thể chỉ ra đợc một vật cụ thể
nào đó tác dụng lên vật với lực đã cho.
Lực quán tính chỉ xuất hiện trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển
động thnẳng so với hệ quy chiếu quán tính với gia tốc A
Lực quán tính tác dụng lên vật đặt trong hệ quy chiếu mà không phụ
thuộc vào vị trí vật trong hệ.
1.2.2 Bài tập về lực quán tính trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển
động thẳng biến đổi đều
Bài toán 1.2.1
Một hòn bi khối lợng m đợc treo vào trần một toa tàu. Nếu tàu đứng yên
hoặc chuyển động thẳng đều thì viên bi nằm cân bằng. Nếu toa tàu chuyển
động với gia tốc
A

thì viên bi nằm cân bằng khi dây treo lệch góc

so với
phơng thẳng đứng. Ta giải thích sự lệch của sợi dây.
Giải:
Khi toa tàu đứng yên thì hòn bi
chịu tác dụng của trọng lực
P

và lực căng
dây treo
T

. Lúc này
P

và
T

cân bằng với
nhau nên hòn bi cân bằng.
Khi toa tàu chuyển động vớigia
tốc
A

. Xét trong hệ quy chiếu gắn với toa
tàu, là hệ quy chiếu không quán tính. Trong
hệ quy chiếu này hòn bi chịu tác dụng của
các lực:
Trọng lực

gmP


.=
phơng thẳng đứng
Lực căng dây treo
T

phơng sợi dây
Lực quán tính
Amf
qt


.=
17
Nhận thấy:
QfP
qt



=+
là lực nghiêng góc

so với phơng thẳng đứng vì
P

vuông góc với
qt

f

. Do vậy để hòn bi nằm cân bằng thì lực
T

phải là lực trực
đối của
Q

. Vậy lực
T

lệch góc

so với phơng thẳng đứng, hay nói cách khác
dây treo lệch góc

so với phơng thẳng đứng.
Bài tập 1.2.2
Cơ chế máy Atút treo trong thang
máy, đầu dây vắt qua ròng rọc là 2 vật
khối lợng lần lợt là m
1
, m
2
(hình vẽ). Coi
sợi dây không co giãn, khối lợng ròng
rọc và dây treo không đáng kể. Thang
máy chuyển động đi lên nhanh dần đều
với gia tốc

A

. Xác định gia tốc
21
, aa


của các vật đối với mặt đất và độ lớn lực
căng dây treo T
Giải:
Xét trong hệ quy chiếu gắn với thang máy, trục toạ độ thẳng đứng, chiều
dơng hớng lên trên, giả sử vật m
1
đi lên. Các lực tcạc dụng vào vật m
1
, m
2
là:
m
1
: +Trọng lực
gmP


.
11
=
+ Lực quán tính:
Amf
qt

.
11
=
+Lực căng dây treo:
1
T


m
2
: +Trọng lực
gmP


.
22
=
+Lực quán tính:
Amf
qt

.
22
=
+Lực căng dây treo:
2
T

Phơng trình chuyển động của chất điểm m

1
, m
2
lần lợt là:
18
m
1
:
11111
.amfTP
qt



=++
(1.2.3)
m
2
:
22222
.amfTP
qt



=++
(1.2.4)
Do
21
aa

=
và
21
TT

=
nên chiếu (1.2.3) và (1.2.4) lên trục toạ độ ta có:
T m
1
.g m
1
.A = m
1
.a
T m
2
.g m
2
.A = m
2
.a
=>(m
2
m
1
).(g + A) = (m
1
+ m
2

).a

)(
21
21
Ag
mm
mm
a +
+

=
Vì:
Aaa
Aaa




+=
+=
2
1
nên:
Nếu m
1
> m
2
thì:
AAg

mm
mm
a
AAg
mm
mm
a
++
+

=
++
+

=
)(
)(
21
21
2
21
21
1
Nếu m
1
> m
2
thì:
AAg
mm

mm
a
AAg
mm
mm
a
++
+

=
++
+

=
)(
)(
21
21
2
21
21
1
Bài tập 1.2.3
Cho cơ hệ nh hình vẽ, khối lợng của các vật lần lợt là M, m
1
,m
2
.

Ban đầu

giữ cho hệ thống đứng yên. Thả cho cơ hệ chuyển động thì nêm chuyển động
với gia tốc A bằng bao nhiêu? Tính gia tốc của vật đối với nêm theo gia tốc A
của nêm. Với tỉ số nào của m
1
, m
2
thì nêm đứng yên và các vật trợt trên 2 mặt
nêm. Bỏ qua ma sát khối lợng ròng rọc và dây nối.
Giải:
19
Giả sử m
1
.sin

> m
2
.sin

tức vật m
1
đi xuống, m
2
đi lên. Khi đó tổng hình
chiếu của các lực lên phơng ngang bằng 0 nên khối tâm của hệkhông thay đổi.
Do đó nêm đi sang phải.
Vật m
1
và m
2
chịu tác dụng của các lực: Trọng lực, lực căng dây treo, phản lực

của mặt nêm, lực quán tính. Phơng trình chuyển động của các vật lần lợt là:
m
1
:
111111
. amTQPF
qt




=+++
(1.2.5)
m
2
:
222222
.amTQPF
qt




=+++
(1.2.6)
+ Chiếu (1.2.5) và (1.2.6) lên các mặt nêm ta có:
m
1
.g.sin

+ m
1
.Acos

T
1
= m
1
.a
1
(1.2.7)
m
2
.g.sin

+m
2
.A.cos

T
2
= m
2
.a
2
(1.2.8)
Do dây không giãn nên T
1
= T
2

= T và a
1
= a
2
= a, thay vào (1.2.7) và (1.2.8) ta
đợc:

21
21
2121
21
2121
..
cos..cos..sin.sin..
cos..cos..sin.sin..
mm
mm
mAmAmmg
T
mm
mAmAmmg
a
+
++
=
+
++
=

(1.2.9)
Chiếu (1.2.7) và (1.2.8) lên phơng vuông góc với mặt nêm:
Q
1
= m
1
.(g.cos

A.sin

)
Q
2
= m
2
.(g.cos

A.sin

)
+ Phơng trình chuyển động của nêm:
20

AMTPQQN




.'
21

=++++
Chiếu xuống phơng ngang với Q
1
= Q
1
và Q
2
= Q
2

Q
1
.sin

Q
2
.sin

+ T(cos

cos

) = M.A
(1.2.10)
Thay giá trị của Q
1
, Q
2
, T vào (1.2.10) ta đợc:

)cos(cos.)sinsin)((
)coscos)(sinsin(
.
21
2
2
2
121
2121


++++
+
=
mmmmMmm
mmmm
gA
Điều kiện để nêm đứng yên là: A = 0

m
1
sin

m
2
sin

= 0. Khi
đó thay vào biểu thức (1.2.8) ta đợc: a = 0

nêm đứng yên thì các vật cũng
không chuyển động, hay nói cách khác không xảy ra trờng hợp nêm đứng yên
các vật chuyển động vì: khối tâm của hệ không di chuyển theo phơng ngang.
Bởi vậy, nếu khối tâm của 2 vật dịch chuyển thì khối tâm của nêm dịch
chuyển theo chiều ngợc lại.
Bài tập 1.2.4
Một tấm ván khối lợng M có thể chuyển động không ma sát trên mặt
phẳng nằm ngang. Trên mép tám ván đặt vật khối lợng m (hình vẽ). Hệ số ma
sát giữa vật và ván là k. Hỏi giá trị nhỏ nhất F
min
của lực F theo phơng ngang
cần đặt vào vật m để nó bắt đầu trợt trên tấm ván là bao nhiêu? Vật sẽ có vận
tốc là bao nhiêu khi nó bắt đầu trợt trên tấm ván trong trờng hợp lực F = 2.F
min
tác dụng lên nó. Biết chiều dài tấm ván là l
Giải:
Chọn hệ quy chiếu gắn
với tấm ván, chiều dơng là chiều
chuyển động của vật. Khi tác
dụng vào vật m lực
F

làm vật
chuyển động thì giữa vật và ván
21
xuất hiện lực ma sát
ms
F

. Lực ma sát

ms
F

tác dụng vào ván gây gia tốc cho ván
đợc xác định:

M
km
gA
M
F
M
F
A
msms
.
.
'
===
Xét trong hệ quy chiếu gắn với tấm ván, vật chịu tác dụng của các lực:
- Trọng lực
gmP


.=
- Phản lực
N

- Lực ma sát
ms

F

- Lực
F

Phơng trình chuyển động của vật m:
amFFFNP
mms


=++++ '
á
(1.2.11)
Chiếu (1.2.11) lên phơng ngang: F F
ms
F
qt
= m.a
Để vật trợt trên ván thì:
a > 0
qtmsqtms
qtms
FFFFFF
m
FFF
+

00
Hay F

m.g.k + m.g.A (do N = m.g)
Vậy F = m.(k + A) = m.g( k + m/M)
d) Khi F = 2.F
min
= 2.m.k (1 + m/M)
Gia tốc của vật đối với đất: a
1
= a + A = g.k.(1 + m/M ) + g.k(.m/M)
Vận tốc của vật đối với đất: v = a
1
.t
Quãng đờng vật đi đợc trong hệ quy chiếu gắn với ván:
2
2
1
ats =
Khi vật rời ván thì s = l

)/1(.
.2.2
1
Mmkg
l
a
l
tt
+
===

Khi vật rời ván thì vận tốc của vật là:

)(
).2(...2
)/1(.
.2
)1(..
111
mMM
mMkgl
Mmkg
l
M
m
kgtavv
+
+
=
+
+===
1.2.2 Hệ quy chiếu không quán tính quay
22
Giả sử hệ K quay quanh hệ K với vận tốc góc
)(t


. Công thức cộng vận
tốc của Galilée (1.2.1) đợc viết lại:
rVV

+=

'
(1.2.12)
Đạo hàm theo thời gian (1.2.12) đợc:
)(
'
r
dt
d
dt
Vd
dt
Vd



+=

(1.2.13)
Để định luật Newton đúng trong trờng hợp này thì trong tổng hợp lực tác dụng
ngoài các lực thông thờng ta cần phải cộng thêm lực quán tính:
)( rmF
qt



=

. Nhận thấy lực quán tínhgồm hai lực:

)()( rmrmF





=

(1.2.14)
Số hạng thứ nhất của lực quán tính trong (1.2.14) có đặc điểm:
+ Phơng trùng phơng tiếp tuyến
+ Chiều ngợc chiều hớng tâm
+ Độ lớn bằng m.

.r (khi chất điểm chuyển động trên mặt phẩng vuông
góc với trục quay).
Lực này gọi là lực quán tính li tâm.
Số hạng thứ hai của lực quán tính (1.2.14)
+ Phơng trùng phơng tiếp tuyến quỹ đạo tại điểm đó
+ Chiều ngợc chiều chuyển động.
Ta gọi lực này là lực Coriolis
Nh vậy khi chọn hệ quy chiếu quay quanh hệ quy chiếu đứng yên (hệ quy
chiếu quán tính), ta phải kể đến lực quán tính li tâm và lực Coriolis
Lực Coriolis
c
f

có đặc điểm sau:

Lực
Vf
c



do đó
c
f

tác dụng lên vật không làm thay đổi độ lớn vận tốc
mà chỉ tác dụng làm thay đổi hớng chuyển động

c
f

không sinh công vì
Vf
c




c
f

không có phản lực quán tính

c
f

phụ thuộc vào vận tốc V

23
Khi vật đặt trong hệ quy chiếu không quán tính, phơng trình chuyển động của
vật trong hệ quy chiếu này là:
0=+
qt
FF

, trong đó:

F

: tổng hợp tất cả các lực thực tác dụng vào vật

qt
F

: lực quán tính tác dụng vào vật
Bài tập về lực quán tính quay
Bài toán 1.2.5
Một bàn quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc

có giá treo hòn
bi khối lợng m (hình vẽ). Khi đó hòn bi đứng yên so với bàn quay nhng dây
treo lệch góc so với phơng thẳng đứng. Ta sẽ giải thích hiện tợng trên trong hệ
quy chiếu gắn với bàn quay và gắn với mặt đất.
Giải:
Xét trong hệ quy chiếu gắn với bàn quay, hòn bi chịu tác dụng các lực:

+ Trọng lực
gmP


.=
+ Lực căng dây treo
T

+ Lực quán tính li tâm:
rwmF
qt


..
2
=
Do hòn bi đứng yên so với bàn quay
nên:
0)(0




=++=++
qtqt
FPTFTP

Hợp lực của
qt
FP

+
là
Q

có phơng lệch
so với phơng thẳng đứng góc

(do
qt
FP


). Góc

đợc xác định
g
r
P
F
tag
qt
.
2


==
. Do đó khi hhòn bi
đứng yên thì
T

trực đối so với
Q

nên
T


phải nghiêng góc

so với phơng thẳng
đứng.
24
Xét trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất.
Khi đó hòn bi chuyển động cùng với bàn quay. Hòn bi chịu tác dụng của
+ Trọng lực
gmP


.=
,
+ Lực căng dây treo
T

.
Hợp lực của chúng là lực hớng tâm làm bi quay tròn với gia tốc
r.
2

Tacó:

rmamTP


...

==+
(1.2.15)
Chiếu (1.2.15) xuống phơng thẳng đứng, do đó
T

phải nghiêng góc

so với
phơng thẳng đứng. Góc

đợc xác định:
g
r
gm
rm
P
Q
tg
.
.
..


===

Bài tập 1.2.6
Một đĩa tròn phẳng bán kính R, nằm ngang quay đều với vận tốc góc


quanh trục thẳng đứng đi qua tâm đĩa. Trên mặt đĩa đặt một hòn bi có khối l-
ợng m. Hệ số ma sát giữa hòn bi và mặt đĩa là
à
. Với những giá trị nào của


để sao cho hòn bi đặt ở vị trí nào trên đĩa thì nó cũng không bị văng ra?
Giải:
Chọn hệ quy chiếu Oxy gắn với đĩa (hình vẽ). Vì đĩa quay nên Oxy là hệ quy
chiếu không quán tính. Hòn bi không văng ra ngoài nghĩa là nó đứng yên đối
với đĩa. Lúc này tác dụng vào hòn bi gồm các lực:
+ Trọng lực
P


+ Phản lực
N


+ Lực ma sát
ms
F


+ Lực quán tính li tâm
lt

F


Trong quá trình chuyển động
của hòn bi thì trọng lực và
phản lực không nằm cân bằng
với nhau nên để hòn bi không
bị văng ra khỏi đĩa thì:
25