Chuyen de Day so toan 6

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi
D y các số viết theo qui luật<b>ã</b>

<b>VÝ dô 1 : TÝnh tæng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )</b>
Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2

Vi n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng

gi¶ sư víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k 2₍₂₎
ta cần phải chøng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2_{( 3)}
ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2_{+ (2k +1)}

vì k2_{+ ( 2k +1) = ( k +1)}2_{nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1)}2
theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh

vËy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2

T¬ng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán
học .

1, 1 + 2+3 + .... + n = <i>n</i>(<i>n</i>+1)
2

2, 12_{+ 2} 2_{+ ... + n}2₌ <i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6

3, 13₊₂3_{+ ... + n}3₌

[

<i>n</i>(<i>n</i>+1)
2

]

2

4, 15 _{+ 2}5_{+ .... + n}5 ₌ 1

12 .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )
VÝ dơ 2 : tÝnh tỉng :

S = _{10 .11}1 +_11.121 +_{12 .13}1 +.. .. . ..+_{99 . 100}1
Ta cã : 1

10 .11=
1
10 <i>−</i>

1

11 ,
1
11.12=

1
11 <i>−</i>

1

12 ,
1
99 .100=

1
99 <i>−</i>

1
100
Do đó :

S = 1
10 <i>−</i>
1
11+
1
11<i>−</i>
1

12+. .. .. . .+
1
99<i></i>
1
100=
1
10 <i></i>
1
100=

9
100
Dạng tổng quát

Sn = _{1 . 2}1 + 1

2. 3+.. . .. .+
1

<i>n</i>(<i>n</i>+1) ( n > 1 )

= 1- 1
<i>n</i>+1=

<i>n</i>
<i>n</i>+1

VÝ dơ 3 : tÝnh tỉng
Sn = 1

1 . 2. 3+
1
2 .3 . 4+

1

3 . 4 . 5+. . .. ..+

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ta cã Sn = 1
2

(

1
1. 2<i>−</i>

1
2 .3

)

+

1
2

(

1
2. 3<i>−</i>

1

3 . 4

)

+. .. .. . ..+
1
2

(

1
<i>n</i>(<i>n</i>+1)<i>−</i>

1
(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

Sn = 1
2

(

1
1. 2<i>−</i>

1
2 .3+

1
2. 3<i>−</i>

1

3 . 4+. . .. ..+
1
<i>n</i>(<i>n</i>+1)<i>−</i>

1
(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

Sn = 1
2

(

1
1. 2<i>−</i>

1

(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

)

=

<i>n</i>(<i>n</i>+3)
4(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

VÝ dơ 4 : tÝnh tỉng

Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )
Ta cã : 1! = 2! -1!

2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!

... ... ...

n.n! = (n + 1) –n!

VËy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +... + ( n+1) ! – n!
= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1

VÝ dơ 5 : tÝnh tỉng

Sn =

1. 2¿2
¿

2. 3¿2
¿
¿
¿

3

¿

Ta cã :

<i>i</i>+1¿2
¿
¿
2i+1
[<i>i</i>(<i>i</i>+1)_]2=

1
<i>i</i>2<i>−</i>

1
¿

i = 1 ; 2 ; 3; ....; n

Do đó Sn = ( 1-

<i>n</i>+1¿2

(¿¿)
1
<i>n</i>2<i>−</i>

1

¿

1
22¿+

(

1
22<i>−</i>

1

32

)

+. .. . .+¿
= 1-

<i>n</i>+1¿2
¿

<i>n</i>+1¿2
¿
¿

1

¿

<b>III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

S = 1+2+22_{+... + 2}100 _{( 4)}
ta viÕt l¹i S nh sau :

S = 1+2 (1+2+22_{+... + 2}99 ₎

S = 1+2 ( 1 +2+22_{+ ... + 2}99 _{+ 2} 100 _{- 2}100 ₎
=> S= 1+2 ( S -2 100 _{) ( 5)}

Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101

 S = 2101_-1
VÝ dơ 7 : tÝnh tỉng

Sn = 1+ p + p 2_{+ p}3_{+ ... + p}n _{( p} ₁₎
Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :

Sn = 1+p ( 1+p+p2_{+.... + p}n-1 ₎

Sn = 1 + p ( 1+p +p2_{+... + p}n-1_{+ p}n_–pn₎

 Sn = 1+p ( Sn –pn₎

 Sn = 1 +p.Sn –p n+1

 Sn ( p -1 ) = pn+1_-1

 Sn = <i>P</i>
<i>n</i>+1

<i>−</i>1
<i>p −</i>1
VÝ dơ 8 : TÝnh tỉng

Sn = 1+ 2p +3p 2_{+ .... + ( n+1 ) p}n_{, ( p} ₁₎
Ta cã : p.Sn = p + 2p 2 _{+ 3p}3_{+ ... + ( n+ 1) p}n +1

= 2p –p +3p 2_–p2_{+ 4p}3_–p3_{+ ... + (n+1) p}n _{- p}n_{+ (n+1)p}n_–pn_{+ ( n+1) p}n+1
= ( 2p + 3p2_+4p3_{+ ... +(n+1) p}n_{) – ( p +p + p + .... p}n_{) + ( n+1) p}n+1

= ( 1+ 2p+ 3p2_+4p3_{+ ... + ( n+1) p}n _{) – ( 1 + p+ p}2_{+ .... + p} n_{) + ( n +1 ) p}n+1
p.Sn=Sn- <i>Pn</i>+1<i>−</i>1

<i>P −</i>1 +(<i>n</i>+1)<i>P</i>

<i>n</i>+1 _{( theo VD 7 )}

L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 _- <i>pn</i>+1<i>−</i>1
<i>P −</i>1
 Sn =

<i>P −1</i>¿2
¿

(<i>n</i>+1)<i>Pn</i>+1

<i>p −</i>1 <i>−</i>

<i>pn</i>+1<i>−1</i>
¿

VÝ dô 9 : TÝnh tæng :

Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n( n+1)
VÝ dơ 10 : TÝnh tỉng :

Sn =1.2+2.5+3.8+...+n(3n-1)
ta cã : Sn =

_∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>i</i>(3<i>i−</i>1)=

∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

(3<i>i</i>2<i>− i</i>)

= 3

_∑

<i>i</i>=1

<i>n</i>

<i>i</i>2<i>−</i>

_∑

<i>i</i>== 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Sn = 3<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6 <i>−</i>

<i>n</i>(<i>n</i>+1)
2 =<i>n</i>

2
(<i>n</i>+1)

VÝ dô 11 . TÝnh tæng

Sn = 13+ ₊₂3₊₅3_{+... + (2n +1 )}3
ta cã :

Sn = [( 13₊₂ 3₊₃3₊₄3_+....+(2n+1)3_{] –[2}3₊₄3₊₆3_+....+(2n)3_]
= [13₊₂3₊₃3₊₄3 _{+ ... + (2n +1 )}3_{] -8 (1}3₊₂3₊₃3₊₄3_{+...+ n}3₎

Sn =

2<i>n</i>+2¿2
¿

<i>n</i>+1¿2
¿

8<i>n</i>2¿

2<i>n</i>+1¿2¿
¿
¿

( theo (I) – 3 )

=( n+1) 2_(2n+1)2_{– 2n}2_(n+1)2
= (n +1 )2_(2n2_{+4n +1)}

V/ Vận dụng trực tiếp cơng thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học
sinh lớp 6 )

 C¬ së lý thuyÕt :

+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số
đơn vị , ta dùng công thức:

Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1
số đơn vị , ta dùng công thức:

Tổng = ( số đầu số cuối ) .( sè sè h¹ng ) :2
VÝ dơ 12 :

TÝnh tæng A = 19 +20 +21 +.... + 132

Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng )m
A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng

B = 1 +5 +9 +...+ 2005 +2009

sè sè h¹ng cđa B lµ ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503
B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515

VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm tốn

Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )
Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +... + n (n + 1)

Chøng minh : c¸ch 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)
= k( k+1) [(<i>k</i>+2)<i>−</i>(<i>k −</i>1)]

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1). (<i>k</i>+2)<i>−</i>(<i>k −</i>1)
3
= <i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)

3 <i>−</i>

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k −</i>1)

3 *

 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)
=> 1.2 =

1.2.3 0.1.2
3  3

2.3.4 1.2.3
2.3

3 3

...

( 1)( 2) ( 1) ( 1)
( 1)

3 3

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n n</i>
<i>n n</i>

 

   

  

S =

1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)

3 3 3

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n n</i>

    

 

VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :

k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)

Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [(<i>k</i>+3)<i>−</i>(<i>k −</i>1)]

= k( k+1) ( k +2 ) .4
Rót ra : k(k+1) (k+2) = <i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)(<i>k</i>+3)

4 <i>−</i>

(<i>k −</i>1)<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)
4

¸p dơng : 1.2.3 = 1 . 2. 3 . 4

4 <i>−</i>

0. 1 .2 .3
4
2.3.4 = 2 . 3. 4 .5

4 <i>−</i>

1. 2. 3 . 4
4

...
n(n+1) (n+2) = <i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

4 <i>−</i>

(<i>n −</i>1)<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)
4

Cộng vế với vế ta đợc S = <i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)
4

<b>* Bài tập đề nghị :</b>

TÝnh c¸c tæng sau

1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ... + 202
2, a, A = 1+2 +22₊₂3_{+...+ 2}6.2 _{+ 2} 6 3
b, S = 5 + 52_{+ 5}3 _{+ ... + 5} 99 _{+ 5}100
_{c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76}

3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,....
5, S = 1

1 . 2+
1
2. 3+

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6, S = 4
5 . 7+

4

7 . 9+.. . .+
4

59 . 61
7, A = 5

11.16+
5
16 .21+

5

21. 26+. .. . ..+
5
61 .66
8, M = 1

30+
1
31+

1

32+.. .. .+
1
32005
9, Sn = 1

1 . 2. 3 .+
1

2. 3 . 4+. .. ..+

1
<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

10, Sn = 2
1 . 2. 3+

2

2 .3 . 4+. . .. .+
2
98 . 99. 100
11, Sn = _{1 . 2. 3 . 4}1 + 1

2 . 3. 4 .5+. .. .. .+

1

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)(<i>n</i>+3)

12, M = 9 + 99 + 999 +... + 99... ...9

50 ch÷ sè 9
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14
TÝnh S100 =?

Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng tốn có liên quan
đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng tốn tìm x :

14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +... + ( x+100 ) = 5070
b, 1 + 2 + 3 + 4 +...+ x = 820

c, 1 + 1
3+

1
6+

1

10+. .. .. .+
2
<i>x</i>(<i>x</i>+1)=1

1989
1991

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15, Chøng minh : a, A = 4+ 22₊₂3₊₂4 _{+... + 2}20_{lµ luü thõa cña 2}
b, B =2 + 22_{+ 2} 3_{+ ... + 2} 60 ⋮ _{3 ; 7; 15}
c, C = 3 + 33₊₃5_{+ ....+ 3}1991 ⋮ _{13 ; 41}
d, D = 119_{+ 11}8₊₁₁7_{+...+ 11 +1} ⋮ ₅
Cho häc sinh chøng minh hai c«ng thøc: <i>m</i>

<i>b</i>(<i>b</i>+<i>m</i>)=
1
<i>b−</i>

1
<i>b</i>+<i>m</i>.

2<i>m</i>

<i>b</i>(<i>b</i>+<i>m</i>)(<i>b</i>+2<i>m</i>)=
1
<i>b</i>(<i>b</i>+<i>m</i>)<i>−</i>

1

(<i>b</i>+<i>m</i>)(<i>b</i>+2<i>m</i>) .

Hớng dẫn: Biến đổi vế phải về bằng vế trái.
II. áp dụng lm bi tp:

Bài 1: Tính các tổng sau bằng phơng pháp hợp lí nhất:
a, A= 1

1 . 2+
1
2. 3+

1

3 . 4+. . .+
1
49 .50 <i>;</i>
b, B= 2

3 . 5+
2
5 . 7+

2

7 . 9+.. .+
2
37 .39 .
c, C= 3

4 . 7+
3
7 . 10+

3

10 . 13+. ..+
3
73 . 76 .
Híng dẫn: áp dụng công thức 1.
Bài 2: Tính các tổng sau:

a, C= 7
10 .11+

7
11.12+

7

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

b, D = 6
15 .18+

6
18 . 21+

6

21 .24 +. ..+
6
87 . 90 .
c, E = 32

8. 11+
32
11.14 +

32

14 . 17+. ..+
32
197 . 200 .
Hớng dẫn: áp dụng công thức 1.

Bài 3: TÝnh c¸c tỉng sau:
a, F = 1

25 .27+
1

27 .29+

1

29. 31+. ..+
1
73 . 75 .
b, G = 15

90 . 94+
15
94 . 98+

15

98 . 102+.. .+
15

146 .150 .
c, H = 10

56+
10
140+

10

260+.. .+
10
1400 .

Híng dÉn: ¸p dơng công thức 1.

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi n N ta lu«n cã:
1

1 . 6+
1
6 . 11+

1

11.16+.. .+

1

(5<i>n</i>+1)(5<i>n</i>+6)=

<i>n</i>+1
5<i>n</i>+6 .

Hớng dẫn: Biến đổi vế trái về bằng vế phải.
Vế trái = 1

5.(
5
1 . 6+

5
6 . 11+

5

11.16+.. .+

5

(5<i>n</i>+1).(5<i>n</i>+6))

( áp dụng cơng thức 1 để tính trong ngoặc ).
Bài 5:Tìm x N biết:

x- 20_11.1320
13. 15

<i>−</i>20

15 .17 <i>−</i>. ..<i>−</i>
20
53 .55=

3
11 .
Hớng dẫn:

Bài 6: Tìm x N biÕt:
1

21+
1
28+

1
36 +.. .+

2
<i>x</i>(<i>x</i>+1)=

2
9 .
Híng dÉn:

Bµi 7: Chøng minh r»ng:
a, A = 1

1 . 2. 3+
1
2 .3 . 4+

1

3 . 4 . 5+. . .+
1

18. 19 .20 <
1
4 .
b, B = 36

1 . 3. 5+
36

3 . 5. 7+

36

5. 7 . 9+. . .+
36

25. 27 . 29 <3.
Hớng dẫn: áp dụng công thức 2.

Bài 8: Chøng minh r»ng:
a, M= 1

22+
1
32+

1
42+. ..+

1

<i>n</i>2 <1 ( n N; n 2).

b, N=

2<i>n</i>¿2
¿
¿
1

42+
1
62+

1
82+.. .+

1
¿

(n N;n 2).

c, P= 2<i>!</i>
3<i>!</i>+

2<i>!</i>
4<i>!</i>+

2<i>!</i>
5<i>!</i>+.. .+

2<i>!</i>

<i>n!</i><1 ( n N;n 3).
Híng dÉn: a, M< 1

1 . 2+
1
2. 3+

1
3 . 4+. . .+

1
(<i>n −</i>1).<i>n</i> .

b, N = 1
22.(

1
22+

1
32+

1
42+.. .+

1

<i>n</i>2) (áp dụng phần a lµm tiÕp).
c, P = 2!.

1
2 . 3+

1
3 . 4+

1

4 . 5+.. .+
1
(<i>n −</i>1).<i>n</i>
1

3<i>!</i>+
1
4<i>!</i>+

1
5<i>!</i>+. ..+

1
<i>n !≤</i>2 .¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

1
26+

1
27+

1
28+. ..+

1
50=1<i>−</i>

1

2+

1
3<i>−</i>

1
4+.. .+

1
49<i>−</i>
1
50 .
Híng dÉn:
1
26+
1
27 +
1
28+. ..+

1
50
= 1+ 1

2+
1
3+. . .+

1
50 <i>−</i>(1+

1
2+

1
3+.. .+

1
25)
= 1+ 1

2+
1
3+. . .+

1
50 <i>−</i>2(

1
2+

1
4+

1
6+. ..+

1
50)
<i>⇒</i> ®pcm.

Bµi 1: TÝnh:

A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
HD:

3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)

3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101

Bµi 2: TÝnh:

A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
HD:

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
Bµi 3: TÝnh:

A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
HD:

A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
Bµi 4: TÝnh:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
HD:

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101

Bµi 5: TÝnh:

A = 12₊₂2₊₃2_+...+992₊₁₀₀2
HD:

A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
Bµi 6: TÝnh:

A = 22₊₄2₊₆2_+...+982₊₁₀₀2
HD:

A = 22₍₁2₊₂2₊₃2_+...+492₊₅₀2₎
Bµi 7: TÝnh:

A = 12₊₃2₊₅2_+...+972₊₉₉2
HD:

A = (12₊₂2₊₃2_+...+992₊₁₀₀2_)-(22₊₄2₊₆2_+...+982₊₁₀₀2₎
A = (12₊₂2₊₃2_+...+992₊₁₀₀2_)-22₍₁2₊₂2₊₃2_+...+492₊₅₀2₎
Bµi 8: TÝnh:

A = 12_-22₊₃2_-42_+...+992_-1002
HD:

A = (12₊₂2₊₃2_+...+992₊₁₀₀2_)-2(22₊₄2₊₆2_+...+982₊₁₀₀2₎
Bµi 9: TÝnh:

A = 1.22_+2.32_+3.42_+...+98.992
HD:

A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bµi 1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI LÀ SỐ

CHÍNH PHƯƠNG

Trong chương trình Tốn lớp 6, các em đã được học về các bài toán liên quan
tới phép chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0 và đặc biệt là được
giới thiệu về số chính phương, đó là số tự nhiên bằng bình phương của một số tự nhiên
(chẳng hạn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …).

Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài tốn : Chứng minh một
số khơng phải là số chính phương. Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức mà các
em đã được học. Những bài tốn này sẽ làm tăng thêm lịng say mê mơn tốn cho các
em.

<b>1. Nhìn chữ số tận cùng</b>

Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay <b>số </b>

<b>chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.</b>

Từ đó các em có thể giải được bài toán kiểu sau đây :

<b>Bài toán 1 :</b> Chứng minh số : n = 20042_{+ 2003}2_{+ 2002}2_{- 2001}2_{khơng phải là}
số chính phương.

<b>Lời giải :</b> Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ;
20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n khơng phải là số
chính phương.

<b>Chú ý :</b> Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ;
6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một
chút nữa :

<b>Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2_.</b>

<b>Bài toán 2 :</b> Chứng minh số 1234567890 khơng phải là số chính phương.

<b>Lời giải :</b> Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0)
nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890
khơng phải là số chính phương.

<b>Chú ý :</b> Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0),
nhưng khơng chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 khơng là số
chính phương.

<b>Bài tốn 3 :</b> Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó
khơng phải là số chính phương.

Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà
không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia
hết cho 9, do đó số này khơng phải là số chính phương.

<b>2. Dùng tính chất của số dư</b>

Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây :

<b>Bài toán 4 : </b>Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 khơng phải là số
chính phương.

Chắc chắn các em sẽ dễ bị “choáng”. Vậy ở bài toán này ta sẽ phải nghĩ tới điều
gì ? Vì cho giả thiết về tổng các chữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia
cho 3 hoặc cho 9. Nhưng lại khơng gặp điều “kì diệu” như bài tốn 3. Thế thì ta nói
được điều gì về số này ? Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đó ta có lời giải.

<b>Lời giải :</b> Vì <b>số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1</b> mà thơi
(coi như bài tập để các em tự chứng minh !). Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên
số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho khơng phải là số chính phương.

Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán :

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Bài toán 6 :</b> Chứng minh số : n = 20044_{+ 2004}3_{+ 2004}2_{+ 23 khơng là số chính}
phương.

Bây giờ các em theo dõi bài toán sau để nghĩ tới một “tình huống” mới.

<b>Bài tốn 7 :</b> Chứng minh số :

n = 44_{+ 44}44_{+ 444}444_{+ 4444}4444_{+ 15 khơng là số chính phương.}

<b>Nhận xét :</b> Nếu xét n chia cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế
là không “bắt chước” được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận
cùng các em sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như

các bài toán 1 ; 2. Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chính là 3. Một<b> số </b>

<b>chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư như thế nào nhỉ ?</b> Các em có thể tự

chứng minh và được kết quả : số dư đó chỉ có thể là<b> 0 hoặc 1</b>. Như vậy là các em đã

giải xong bài tốn 7.

<b>3. “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp”</b>

Các em có thể thấy rằng : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2_{< k}

< (n + 1)2_{thì k khơng là số chính phương. Từ đó các em có thể xét được các bài toán}

sau :

<b>Bài toán 8 :</b> Chứng minh số 4014025 khơng là số chính phương.

<b>Nhận xét :</b> Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng
dư 1. Thế là tất cả các cách làm trước đều khơng vận dụng được. Các em có thể thấy
lời giải theo một hướng khác.

<b>Lời giải :</b> Ta có 20032_{= 4012009 ; 2004}2_{= 4016016 nên 2003}2_{< 4014025 <}

20042_{. Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương.}

<b>Bài tốn 9 :</b> Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với
mọi số tự nhiên n khác 0.

<b>Nhận xét :</b> Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận ra
A + 1 là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8). Các em lớp 6, lớp 7
cũng có thể chịu khó đọc lời giải.

<b>Lời giải :</b> Ta có :

A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2_{+ 3n)(n}2_{+ 3n + 2) + 1 = (n}2_{+ 3n)}2_{+ 2(n2 +}

3n) +1 = (n2_{+ 3n +1)}2_.

Mặt khác :

(n2_{+ 3n)}2_{< (n}2_{+ 3n)}2_{+ 2(n}2_{+ 3n) = A.}

Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ : (n2_{+ 3n)}2_{< A < A + 1 = (n}2_{+ 3n +1)}2_{. =>}

A không là số chính phương.

Các em có thể rèn luyện bằng cách thử giải bài toán sau :

<b>Bài toán 10 :</b> Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n4_{- 2n}3_{+ 3n}2_{- 2n là số chính}
phương.

Gợi ý : Nghĩ đến (n2_{- n + 1)}2_.

<b>Bài toán 11 :</b> Chứng minh số 235_{+ 23}12_{+ 23}2003_{khơng là số chính phương.}

Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4.

<b>Bài tốn 12 :</b> Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một
số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho khơng có hai mảnh nào ghi số giống nhau.
Chứng minh rằng : Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số
chính phương.

<b>Bài toán 13 :</b> Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên
tiếp khơng thể là số chính phương.

Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4.

<b>Bài toán 14 :</b> Chứng minh rằng số 333333_{+ 555}555_{+ 777}777_{khơng là số chính}
phương.

Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … một chục (?)

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Để kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi mơn tốn ngay từ đầu bậc
THCS và cho tơi được nói riêng với các q thầy cơ : ngun tắc chung để chứng minh
một số tự nhiên không là số chính phương, đó là dựa vào một trong các điều kiện cần
để một số là số chính phương (mà như các quý thầy cô đã biết : mọi điều kiện cần trên
đời là dùng để … phủ định !). Từ đó các q thầy cơ có thể sáng tạo thêm nhiều bài
toán thú vị khác.

Bµi 2 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Các bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một số khơng phải là
số chính phương trong TTT2 số 9. Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán
chứng minh một số là số chính phương.

<b>Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa. </b>

Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào
định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài tốn.

<b>Bài toán 1 :</b> Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +
1 là số chính phương.

<b>Lời giải :</b> Ta có :

an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n2_{+ 3n) (n}2_{+ 3n + 2) + 1}

= (n2_{+ 3n)}2_{+ 2(n}2_{+ 3n) + 1}

= (n2_{+ 3n + 1)}2

Với n là số tự nhiên thì n2_{+ 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a}

n là số chính

phương.

<b>Bài tốn 2 :</b> Chứng minh số : là số chính phương.

<b>Lời giải :</b>

Ta có :

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt.</b>

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiên
nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính
phương”.

<b>Bài tốn 3 :</b> Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2_{+ m =}

4n2_{+ n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.}

<b>Lời giải :</b>

Ta có : 3m2_{+ m = 4n2 + n}

tương đương với 4(m2_{- n2) + (m - n) = m}2

hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2_(*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia
hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có : m2_{chia hết cho d}2_{=> m chia hết cho d.}

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên
chúng đều là các số chính phương. Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài tốn thú vị
về số chính phương :

1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương :

2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b
= 1/c. Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay khơng ?

3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3n_{+ 4 khơng là số chính phương.}

4) Tìm số tự nhiên n để n2_{+ 2n + 2004 là số chính phương.}

5) Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương.

Bµi 3 : TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về
dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và khơng có
trong chương trình. Vì thế có khơng ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp 6 và lớp 7 khó
có thể hiểu và tiếp thu được.

Qua bài viết này, tơi xin trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bài
tốn “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS.

Chúng ta xuất phát từ tính chất sau :

<b>Tính chất 1 :</b>

<i>a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ </i>
<i>số tận cùng vẫn khơng thay đổi. </i>

<i>b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận </i>
<i>cùng vẫn không thay đổi. </i>

<i>c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) </i>
<i>thì chữ số tận cùng là 1. </i>

<i>d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) </i>
<i>thì chữ số tận cùng là 6.</i>

Việc chứng minh tính chất trên khơng khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìm

chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am_{, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.}

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6.

- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9, vì am_{= a}4n + r_{= a}4n_.ar_{với r = 0, 1, 2, 3 nên từ tính}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

- Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên, từ tính chất 1d =>

chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar_.

<b>Bài tốn 1 :</b> Tìm chữ số tận cùng của các số :
a) 799_{b) 14}1414_{c) 4}567

<b>Lời giải : </b>

a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 :

99_{- 1 = (9 - 1)(9}8_{+ 9}7_{+ … + 9 + 1) chia hết cho 4}

=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799_{= 7}4k + 1_{= 7}4k_.7

Do 74k_{có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 7}99_{có chữ số tận cùng là 7.}

b) Dễ thấy 1414_{= 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 14}1414_{= 14}4k_{có chữ số tận cùng}

là 6.

c) Ta có 567_{- 1 chia hết cho 4 => 5}67_{= 4k + 1 (k thuộc N)}

=> 4567_{= 4}4k + 1_{= 4}4k_{.4, theo tính chất 1d, 4}4k_{có chữ số tận cùng là 6 nên 4}567_{có chữ số}

tận cùng là 4.

Tính chất sau được => từ tính chất 1.

<b>Tính chất 2 : </b><i>Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N)</i>
<i>thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.</i>

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ
số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.

<b>Bài tốn 2 :</b> Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21_{+ 3}5_{+ 4}9_{+ … + 2004}8009_.

<b>Lời giải : </b>

<i>Nhận xét :</i> Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều

có dạng n4(n - 2) + 1_{, n thuộc {2, 3, …, 2004}).}

Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng
giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :

(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 =
9009.

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3.

<b>Tính chất 3 :</b>

<i>a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận </i>
<i>cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ </i>
<i>số tận cùng là 3. </i>

<i>b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận </i>
<i>cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ </i>
<i>số tận cùng là 2. </i>

<i>c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 </i>
<i>sẽ khơng thay đổi chữ số tận cùng. </i>

<b>Bài tốn 3 :</b> Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23_{+ 3}7_{+ 4}11_{+ … + 2004}8011_.

<b>Lời giải : </b>

<i>Nhận xét :</i> Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều

có dạng n4(n - 2) + 3_{, n thuộc {2, 3, …, 2004}).}

Theo tính chất 3 thì 23_{có chữ số tận cùng là 8 ; 3}7_{có chữ số tận cùng là 7 ; 4}11_{có chữ}

số tận cùng là 4 ; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6
+ 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4
+ 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.

* Trong một số bài tốn khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo.

<b>Bài toán 4 :</b> Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2_{+ n + 1 chia hết cho}

19952000_.

<b>Lời giải :</b> 19952000_{tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Ta có n2_{+ n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n}2₊

n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2_{+ n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n}2_{+ n + 1 không}

chia hết cho 5.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2_{+ n + 1 chia hết cho 1995}2000_.

Sử dụng tính chất <i>“một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ;</i>

<i>6 ; 9”</i>, ta có thể giải được bài tốn sau :

<b>Bài toán 5 :</b> Chứng minh rằng các tổng sau khơng thể là số chính phương :

a) M = 19k_{+ 5}k_{+ 1995}k_{+ 1996}k_{(với k chẵn)}

b) N = 20042004k_{+ 2003}

Sử dụng tính chất <i>“một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ;</i>

<i>7 ; 9”</i>, ta tiếp tục giải quyết được bài toán :

<b>Bài toán 6 :</b> Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : p8n_+3.p4n_{- 4}
chia hết cho 5.

* Các bạn hãy giải các bài tập sau :

<b>Bài 1 :</b> Tìm số dư của các phép chia :

a) 21_{+ 3}5_{+ 4}9_{+ … + 2003}8005_{cho 5}

b) 23_{+ 3}7_{+ 4}11_{+ … + 2003}8007_{cho 5}

<b>Bài 2 :</b> Tìm chữ số tận cùng của X, Y :

X = 22_{+ 3}6_{+ 4}10_{+ … + 2004}8010

Y = 28_{+ 3}12_{+ 4}16_{+ … + 2004}8016

<b>Bài 3 :</b> Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau :

U = 21_{+ 3}5_{+ 4}9_{+ … + 2005}8013

V = 23_{+ 3}7_{+ 4}11_{+ … + 2005}8015

<b>Bài 4 :</b> Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn :

19x_{+ 5}y_{+ 1980z = 1975}430_{+ 2004.}

* Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận
cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này.

<b>* Tìm hai chữ số tận cùng </b>

<b>Nhận xét :</b> Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng
của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.

Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x
thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x =

am_{như sau :}

<i><b>Trường hợp 1 :</b></i> Nếu a chẵn thì x = am_∶₂m_{. Gọi n là số tự nhiên sao cho a}n - 1_∶_25.

Viết m = pn_{+ q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a}q_∶_{4 ta có :}

x = am_{= a}q_(apn_{- 1) + a}q_.

Vì an - 1_∶_{25 => a}pn_{- 1}_∶_{25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên a}q_(apn_{- 1)}_∶_100.

Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp
theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.

<i><b>Trường hợp 2 :</b></i> Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1_∶_100.

Viết m = un_{+ v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có :}

x = am_{= a}v_(aun_{- 1) + a}v_.

Vì an_{- 1}_∶_{100 => a}un_{- 1}_∶_100.

Vậy hai chữ số tận cùng của am_{cũng chính là hai chữ số tận cùng của a}v_{. Tiếp}

theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av_.

Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài tốn là chúng ta phải
tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ

số tận cùng của aq_{và a}v_.

<b>Bài toán 7 : </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Lời giải :</b> a) Do 22003_{là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất}

sao cho 2n_{- 1}_∶_25.

Ta có 210_{= 1024 => 2}10_{+ 1 = 1025}_∶_{25 => 2}20_{- 1 = (2}10_{+ 1)(2}10_{- 1)}_∶_{25 => 2}3₍₂20

- 1) ∶ 100. Mặt khác :

22003_{= 2}3₍₂2000_{- 1) + 2}3_{= 2}3₍₍₂20₎100_{- 1) + 2}3_{= 100k + 8 (k Є N).}

Vậy hai chữ số tận cùng của 22003_{là 08.}

b) Do 799_{là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7}n_{- 1}

∶ 100.

Ta có 74_{= 2401 => 74 - 1}_∶_100.

Mặt khác : 99_{- 1}_∶_{4 => 9}9_{= 4k + 1 (k Є N)}

Vậy 799_{= 7}4k + 1_{= 7(7}4k_{- 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07.}

<b>Bài tốn 8 : </b>

Tìm số dư của phép chia 3517_{cho 25.}

<b>Lời giải :</b> Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517_{. Do số này lẻ nên theo}

trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n_{- 1}_∶_100.

Ta có 310_{= 9}5_{= 59049 => 3}10_{+ 1}_∶_{50 => 3}20_{- 1 = (3}10_{+ 1) (3}10_{- 1)}_∶_100.
Mặt khác : 516_{- 1}_∶_{4 => 5(5}16_{- 1)}_∶₂₀

=> 517_{= 5(5}16_{- 1) + 5 = 20k + 5 =>3}517_{= 3}20k + 5_{= 3}5₍₃20k_{- 1) + 3}5_{= 3}5₍₃20k_{- 1) + 243, có}
hai chữ số tận cùng là 43.

Vậy số dư của phép chia 3517_{cho 25 là 18.}

Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.

Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai
chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng.
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4.
Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây
(bạn đọc tự chứng minh).

<b>Tính chất 4 :</b> Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a20_{- 1}_∶_25.

<b>Bài tốn 9 :</b> Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002

b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003

<b>Lời giải :</b>

a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2_{chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a}100_{- 1 chia hết cho 4 ; nếu a}

chia hết cho 5 thì a2_{chia hết cho 25.}

Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ∶ 25.

Vậy với mọi a Є N ta có a2_(a100_{- 1)}_∶_100.

Do đó S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042.

Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12 +

22_{+ 3}2_{+ ... + 2004}2_{. áp dụng công thức :}

12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ ... + n}2_{= n(n + 1)(2n + 1)/6}

=>12_{+ 2}2_{+ ... + 2004}2_{= 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30.}

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30.

b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) + 23

+ 33_{+ 2004}3_{. Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S}

2 cũng chính là hai chữ số tận cùng

của 13_{+ 2}3_{+ 3}3_{+ ... + 2004}3_.

áp dụng công thức :

=> 13_{+ 2}3_{+ ... + 2004}3_{= (2005 x 1002)}2_{= 4036121180100, tận cùng là 00.}

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00.

Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận
cùng để nhận biết một số khơng phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận
biết điều đó thơng qua việc tìm hai chữ số tận cùng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Tính chất 5 :</b> Số tự nhiên A khơng phải là số chính phương nếu :
+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ;

+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ;
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ;
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ;
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.

<b>Bài toán 10 :</b> Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7n_{+ 2}
khơng thể là số chính phương.

<b>Lời giải :</b> Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta có 74_{- 1}

= 2400 ∶ 100. Ta viết 7n_{+ 2 = 7}4k + r_{+ 2 = 7}r₍₇4k_{- 1) + 7}r_{+ 2.}

Vậy hai chữ số tận cùng của 7n_{+ 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7}r_{+ 2 (r = 0,}

2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n_{+ 2 khơng thể là số}

chính phương khi n khơng chia hết cho 4.

<b>* Tìm ba chữ số tận cùng</b>

<b>Nhận xét :</b> Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ
số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000.

Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ
số tận cùng của y (y ≤ x).

Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng

của số tự nhiên x = am_{như sau :}

<i><b>Trường hợp 1 :</b></i> Nếu a chẵn thì x = am_{chia hết cho 2}m_{. Gọi n là số tự nhiên sao}

cho an_{- 1 chia hết cho 125.}

Viết m = pn_{+ q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a}q_{chia hết cho 8 ta có :}

x = am_{= a}q_(apn_{- 1) + a}q_.

Vì an_{- 1 chia hết cho 125 => a}pn_{- 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên}

aq_(apn_{- 1) chia hết cho 1000.}

Vậy ba chữ số tận cùng của am_{cũng chính là ba chữ số tận cùng của a}q_{. Tiếp theo, ta}

tìm ba chữ số tận cùng của aq_.

<i><b>Trường hợp 2 :</b></i> Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an_{- 1 chia hết cho 1000.}

Viết m = un_{+ v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có :}

x = am_{= a}v_(aun_{- 1) + a}v_.

Vì an_{- 1 chia hết cho 1000 => a}un_{- 1 chia hết cho 1000.}

Vậy ba chữ số tận cùng của am_{cũng chính là ba chữ số tận cùng của a}v_{. Tiếp theo, ta}

tìm ba chữ số tận cùng của av_.

Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4.

<b>Tính chất 6 : </b>

Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100_{- 1 chia hết cho 125.}

<b>Chứng minh :</b> Do a20_{- 1 chia hết cho 25 nên a}20_{, a}40_{, a}60_{, a}80_{khi chia cho 25 có}
cùng số dư là 1

=> a20_{+ a}40_{+ a}60_{+ a}80_{+ 1 chia hết cho 5. Vậy a}100_{- 1 = (a}20_{- 1)( a}80_{+ a}60_{+ a}40₊

a20_{+ 1) chia hết cho 125.}

<b>Bài tốn 11 : </b>

Tìm ba chữ số tận cùng của 123101_.

<b>Lời giải :</b> Theo <i>tính chất 6</i>, do (123, 5) = 1 => 123100_{- 1 chia hết cho 125 (1).}
Mặt khác :

123100_{- 1 = (123}25_{- 1)(123}25_{+ 1)(123}50_{+ 1) => 123}100_{- 1 chia hết cho 8 (2).}

Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 123100_{- 1 chi hết cho 1000}

=> 123101_{= 123(123}100_{- 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N).}

Vậy 123101_{có ba chữ số tận cùng là 123.}

<b>Bài toán 12 : </b>

Tìm ba chữ số tận cùng của 3399...98_.

<b>Lời giải :</b> Theo <i>tính chất 6</i>, do (9, 5) = 1 => 9100_{- 1 chi hết cho 125 (1).}

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 9100_{- 1 chia hết cho 1000 => 3}399...98_{= 9}199...9_{= 9}100p +

99_{= 9}99₍₉100p_{- 1) + 9}99_{= 1000q + 9}99_{(p, q Є N).}

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98_{cũng chính là ba chữ số tận cùng của 9}99_.

Lại vì 9100_{- 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9}100_{là 001 mà 9}99_{= 9}100_{: 9}

=> ba chữ số tận cùng của 999_{là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9}99_{là 9, sau đó}

dựa vào phép nhân để xác định ).

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98_{là 889.}

Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián
tiếp theo các bước : Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng
của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị
đúng.

<b>Bài toán 13 : </b>

Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200_.

<b>Lời giải :</b> do (2004, 5) = 1 (<i>tính chất 6</i>)

=> 2004100_{chia cho 125 dư 1}

=> 2004200_{= (2004}100₎2_{chia cho 125 dư 1}

=> 2004200_{chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004}200

chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376.

Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộng
để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên.

Sau đây là một số bài tập vận dụng :

<b>Bài 1 :</b> Chứng minh 1n_{+ 2}n_{+ 3}n_{+ 4}n_{chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết}
cho 4.

<b>Bài 2 :</b> Chứng minh 920002003_{, 7}20002003_{có chữ số tận cùng giống nhau.}

<b>Bài 3 :</b> Tìm hai chữ số tận cùng của :
a) 3999_{b) 11}1213

<b>Bài 4 :</b> Tìm hai chữ số tận cùng của :
S = 23_{+ 2}23_{+ ... + 2}40023

<b>Bài 5 :</b> Tìm ba chữ số tận cùng của :

S = 12004_{+ 2}2004_{+ ... + 2003}2004

<b>Bài 6 :</b> Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101_{cũng bằng}
ba chữ số tận cùng của a.

<b>Bài 7 :</b> Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùng

của A200_.

<b>Bài 8 : </b>Tìm ba chữ số tận cùng của số :
199319941995 ...2000

<b>Bài 9 :</b> Tìm sáu chữ số tận cùng của 521_.

Bµi 4 : MỘT DẠNG TỐN VỀ ƯCLN VÀ BCNN

Trong chương trình số học lớp 6, sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất
(ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng tốn tìm hai số ngun
dương khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN.

<b>Phương pháp chung để giải : </b>

1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho
để tìm hai số.

2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN

và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là :<b> ab = (a, b).[a, b]</b>, trong đó (a, b) là ƯCLN

và [a, b] là BCNN của a và b. Việc<b> chứng minh</b> hệ thức này khơng khó :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+_{; (m, n) = 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Từ (*) => ab = mnd2_{; [a, b] = mnd}

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2_{= ab}

=> ab = (a, b).[a, b] . (**)

<i>Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa.</i>

<b>Bài tốn 1 :</b> Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Lời
giải : Do vai trị của a, b là như nhau, khơng mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.

Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+_{; (m, n) =}

1.

Theo định nghĩa BCNN :

[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80.

<b>Chú ý :</b> Ta có thể áp dụng cơng thức (**) để giải bài tốn này : ab = (a, b).[a, b]

=> mn.162_{= 240.16 suyy ra mn = 15.}

<b>Bài toán 2 :</b> Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6.

<b>Lời giải :</b> Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.

Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+_{; (m, n) = 1 ; m ≤ n.}

Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n =
6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18.

<b>Bài tốn 3 :</b> Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.

<b>Lời giải :</b>

Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.

Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2.
Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.

<b>Chú ý :</b> Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN :

Theo (*) ta có ab = mnd2_{= 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.}

<b>Bài tốn 4 :</b> Tìm hai số ngun dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5.

<b>Lời giải :</b> Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+_{; (m, n) = 1.}
Vì vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b
= 25.

<b>Chú ý :</b> phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1.

<b>Bài toán 5 : </b>Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140.

<b>Lời giải :</b> Đặt (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d.
Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.

<b>Bài tốn 6 :</b> Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16.

<b>Lời giải :</b> Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.

Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+_{; (m, n) = 1 ; m ≤ n.}

Vì vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8

Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b =
80

<b>Bài tốn 7 :</b> Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.

<b>Lời giải :</b> Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+_{; (m, n) = 1.}
Khơng mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n.

Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)

=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}.

Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường
hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa mãn các điều kiện
của m, n). Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24

<b>Bài tốn 8 :</b> Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140.

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+_{; (m, n) = 1.}

Do đó : a - b = d(m - n) = 7 (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)

=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .

<b>Bài tập tự giải : </b>

1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45.

2/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 448, ƯCLN của chúng bằng 16 và chúng có các
chữ số hàng đơn vị giống nhau.

3/ Cho hai số tự nhiên a và b. Tìm tất cả các số tự nhiên c sao cho trong ba số, tích của
hai số ln chia hết cho số cịn lại.

Bµi 5 : NGUN LÍ ĐI - RÍCH - LÊ

<b>Ngun lí Đi-rích-lê</b> phát biểu như sau : “Nếu có m vật đặt vào n cái ngăn kéo và m > n
thì có ít nhất một ngăn kéo chứa ít nhất hai vật”. Nguyên lí Đi-rích-lê chỉ giúp ta chứng
minh được sự tồn tại “ngăn kéo” chứa ít nhất hai vật mà khơng chỉ ra được đó là “ngăn
kéo” nào. Các bạn hãy làm quen việc vận dụng nguyên lí qua các bài toán sau đây.

<b>Bài toán 1 :</b> Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng tồn tại ít
nhất 2 số có hiệu chia hết cho 10.

<b>Lời giải :</b>

Với 11 số tự nhiên khi chia cho 10 ta được 11 số dư, mà một số tự nhiên bất kì khi chia
cho 10 có 10 khả năng dư là 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 9.

Vì có 11 số dư mà chỉ có 10 khả năng dư, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn tại ít nhất 2 số
khi chia cho 10 có cùng số dư do đó hiệu của chúng chia hết cho 10 (đpcm).

<b>Bài toán 2 :</b> Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 19941994...199400...0 chia hết
cho 1995.

<b>Lời giải :</b>

Xét 1995 số có dạng : 1994 ; 19941994 ; ... ; .

Nếu một trong các số trên chia hết cho 1995 thì dễ dàng có đpcm.

Nếu các số trên đều khơng chia hết cho 1995 thì khi chia từng số cho 1995 sẽ chỉ có
1994 khả năng dư là 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 1994.

Vì có 1995 số dư mà chỉ có 1994 khả năng dư, theo ngun lí Đi-rích-lê tồn tại ít nhất 2
số khi chia cho 1995 có cùng số dư, hiệu của chúng chia hết cho 1995. Giả sử hai số đó
là :

Khi đó : = 1994...199400...0 chia hết cho 1995 (đpcm).

<b>Bài toán 3 :</b> Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho (1999^k - 1) chia hết
cho104.

<b>Lời giải :</b> Xét 104 + 1 số có dạng :

19991 ; 19992 ; ... ; 1999104 + 1.
Lập luận tương tự bài toán 2 ta được :

(1999m - 1999n) chia hết cho 104 (m > n)
hay 1999n (1999m-n - 1) chia hết cho 104

Vì 1999n và 104 nguyên tố cùng nhau, do đó (1999m-n - 1) chia hết cho 104.
Đặt m - n = k => 1999^k - 1 chia hết cho 104 (đpcm).

<b>Bài toán 4 :</b> Chứng minh rằng tồn tại một số chỉ viết bởi hai chữ số chia hết cho

2003.

<b>Lời giải :</b> Xét 2004 số có dạng 1 ; 11 ; 111 ; ... ;
Lập luận tương tự bài toán 2 ta được :

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Bài toán 5 :</b> Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p ta có thể tìm được một số
được viết bởi hai chữ số chia hết cho p.

<b>Bài toán 6 :</b> Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên không chia hết cho 2 và 5 thì
tồn tại bội của nó có dạng : 111...1.

<b>Bài tốn 7 :</b> Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 1997k (k thuộc N) có tận cùng
là 0001.

<b>Bài toán 8 :</b> Chứng minh rằng nếu các số nguyên m và n nguyên tố cùng nhau
thì tìm được số tự nhiên k sao cho mk - 1 chia hết cho n.

<i>Các bạn hãy đón đọc số sau :</i> Nguyên lí Đi-rích-lê với những bài tốn hình học
thú vị.

Bµi 6 : NGUN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ

& NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC THÚ VỊ

Ngun lí có thể mở rộng như sau : Nếu có m vật đặt vào n cái ngăn kéo và m >
k.n thì có ít nhất một ngăn kéo chứa ít nhất k + 1 vật. Với mở rộng này, ta cịn có thể
giải quyết thêm nhiều bài tốn khác. Sau đây xin giới thiệu để bạn đọc làm quen việc
vận dụng nguyên lí Đi-rích-lê với một số bài tốn hình học.

<b>Bài tốn 1 :</b> Trong tam giác đều có cạnh bằng 4 (đơn vị độ dài, được hiểu đến

cuối bài viết) lấy 17 điểm. Chứng minh rằng trong 17 điểm đó có ít nhất hai điểm mà
khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1.

Lời giải : Chia tam giác đều có cạnh bằng 4 thành 16 tam giác đều có cạnh bằng
1 (hình 1). Vì 17 > 16, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn tại ít nhất một tam giác đều cạnh
bằng 1 có chứa ít nhất 2 điểm trong số 17 điểm đã cho. Khoảng cách giữa hai điểm đó
ln khơng vượt q 1 (đpcm).

Bài tốn 2 : Trong một hình vuông cạnh bằng 7, lấy 51 điểm. Chứng minh rằng
có 3 điểm trong 51 điểm đã cho nằm trong một hình trịn có bán kính bằng 1.

<b>Lời giải :</b> Chia hình vng cạnh bằng 7 thành 25 hình vng bằng nhau, cạnh

của mỗi hình vng nhỏ bằng 5/7 <i>(hình 2). </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Vậy bài tốn được chứng minh. Hình trịn này chính là hình trịn bán kính bằng 1, chứa
hình vng ta đã chỉ ra ở trên.

<b>Bài toán 3 :</b> Trong mặt phẳng cho 2003 điểm sao cho cứ 3 điểm bất kì có ít nhất
2 điểm cách nhau một khoảng không vượt quá 1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình
trịn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1002 điểm.

<b>Lời giải :</b> Lấy một điểm A bất kì trong 2003 điểm đã cho, vẽ đường tròn C1 tâm A
bán kính bằng 1.

+ Nếu tất cả các điểm đều nằm trong hình trịn C1 thì hiển nhiên có đpcm.

+ Nếu tồn tại một điểm B mà khoảng cách giữa A và B lớn hơn 1 thì ta vẽ đường

trịn C2 tâm B bán kính bằng 1.

Khi đó, xét một điểm C bất kì trong số 2001 điểm cịn lại. Xét 3 điểm A, B, C, vì AB > 1

nên theo giả thiết ta có AC ≤ 1 hoặc BC ≤ 1. Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1 hoặc

C2. => 2001 điểm khác B và A phải nằm trong C1 hoặc C2. Theo ngun lí Đi-rích-lê ta

có một hình trịn chứa ít nhất 1001 điểm. Tính thêm tâm của hình trịn này thì hình trịn
này chính là hình trịn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1002 điểm trong 2003 điểm đã cho.

<b>Bài tốn 4 :</b> Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng sao cho mỗi đường
thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 . Chứng minh rằng,
trong 17 đường thẳng đó có 5 đường thẳng đồng quy.

<b>Lời giải :</b> Gọi M, Q, N, P lần lượt là các trung điểm của AB, BC, CD, DA<i> (hình 3).</i>
Vì ABCD là hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD.

Gọi d là một trong 17 đường thẳng đã cho. Nếu d cắt AB tại E ; CD tại F ; PQ tại L thì
LP, LQ lần lượt là đường trung bình của các hình thang AEFD, EBCF. Ta có :

S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 hoặc S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 hoặc là LQ /
LP = 1/3.

Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 khi đó L trùng

với L1 hoặc L trùng với L2. Nghĩa là nếu d cắt AB và CD thì d phải qua L1 hoặc L2.

Tương tự, trên MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3

khi đó nếu d cắt AD và BC thì d phải qua K1 hoặc K2.

Tóm lại, mỗi đường thẳng trong số 17 đường thẳng đã cho phải đi qua một trong 4 điểm
L1 ; L2 ; K1 ; K2.

Vì 17 > 4.4 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê, trong 17 đường thẳng đó sẽ có ít nhất 5

đường thẳng (5 = 4 + 1) cùng đi qua một trong 4 điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường thẳng

đồng quy, đpcm).

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>Bài 1 :</b> Trong hình chữ nhật có kích thước 3 x 5, lấy 7 điểm bất kì. Chứng minh
rằng có hai điểm cách nhau một khoảng không vượt quá

<b>Bài 2 :</b> Trong mặt phẳng tọa độ, cho ngũ giác lồi có tất cả các đỉnh là các điểm
nguyên (có hoành độ và tung độ là số nguyên). Chứng minh rằng trên cạnh hoặc bên
trong ngũ giác cịn ít nhất một điểm nguyên khác nữa.

<b>Bài 3 :</b> Tờ giấy hình vng có cạnh bé nhất là bao nhiêu để có thể cắt ra được 5
hình trịn có bán kính bằng 1.

<b>Bài 4 :</b> Trên một tờ giấy kẻ ơ vng, chọn 101 ơ bất kì. Chứng minh rằng trong
101 ơ đó có ít nhất 26 ơ khơng có điểm chung.

Bµi 7 : BÀN LUẬN VỀ BÀI TOÁN "BA VỊ THẦN"

Chúng ta đều đã biết bài toán thú vị : “Ba vị thần” sau :

Ngày xưa, trong một ngơi đền cổ có 3 vị thần giống hệt nhau. Thần thật thà (TT) luôn
luôn nói thật, thần dối trá (DT) ln ln nói dối và thần khơn ngoan (KN) lúc nói thật lúc
nói dối. Các vị thần vẫn trả lời câu hỏi của khách đến lễ đền nhưng khơng ai xác định
được chính xác các vị thần. Một hơm có một nhà hiền triết từ xa đến thăm đền. Để xác

định được các vị thần, ông hỏi thần bên trái :

- Ai ngồi cạnh ngài ?
- Đó là thần TT (1)
Ông hỏi thần ngồi giữa :
- Ngài là ai ?

- Ta là thần KN (2)

Sau cùng ông hỏi thần bên phải :
- Ai ngồi cạnh ngài ?

- Đó là thần DT (3)
Nhà hiền triết thốt lên :

- Tôi đã xác định được các vị thần.

Hỏi nhà hiền triết đã suy luận như thế nào ?

<b>Lời giải :</b> Gọi 3 vị thần theo thứ tự từ trái sang phải là : A, B, C.
Từ câu trả lời (1) => A không phải là thần TT.

Từ câu trả lời (2) => B không phải là thần TT.

Vậy C là thần TT. Theo (3) đ B là thần DT đ A là thần KN

<b>Nhận xét :</b> Cả 3 câu hỏi đều tập trung xác định thần B, phải chăng đó là cách hỏi “thơng
minh” của nhà hiền triết để tìm ra 3 vị thần ? Câu trả lời khơng phải, mà là nhà hiền triết
gặp may do 3 vị thần đã trả lời câu hỏi không “khôn ngoan” !

Nếu 3 vị thần trả lời “khôn ngoan” nhất mà vẫn đảm bảo tính chất của từng vị thần thì
sau 3 câu hỏi, nhà hiền triết cũng khơng thể xác định được vị thần nào. Ta sẽ thấy rõ
hơn qua phân tích sau về 2 cách hỏi của nhà hiền triết :

1. Hỏi thần X :
- Ngài là ai ?

Có 3 khả năng trả lời sau :

- Ta là thần TT => không xác định được X (Cách trả lời khôn nhất)
- Ta là thần KN => X là thần KN hoặc DT

- Ta là thần DT => X là KN
2. Hỏi thần X :

- Ai ngồi cạnh ngài ?

Cũng có 3 khả năng trả lời sau :

- Đó là thần TT => thần X khác thần TT

- Đó là thần KN => khơng xác định được X (cách trả lời khơn nhất)
- Đó là thần DT => không xác định được X (cách trả lời khôn nhất)

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

gặp may (do sự trả lời ngờ nghệch) thì chỉ cần sau 2 câu hỏi nhà hiền triết cũng đủ để
xác định 3 vị thần. Các bạn tự tìm xem trường hợp đó các câu trả lời của các vị thần là
như thế nào nhé.

Bài toán cổ này thật là hay và dí dỏm, nhưng nếu các vị thần trả lời theo các phương án
“khơn ngoan” nhất thì có cách nào để xác định được 3 vị thần sau 1 số ít nhất câu hỏi

được không ?

Rõ ràng là không thể đặt câu hỏi như nhà hiền triết được.
Phải hỏi như thế nào để thu được nhiều thông tin nhất ?
Bây giờ ta đặt vấn đề như sau :

Mỗi lần hỏi chỉ được hỏi 1 vị thần và chính vị đó trả lời. Cần hỏi như thế nào để sau một
số ít nhất câu hỏi ta xác định được các vị thần. Bài toán rõ ràng là không dễ chút nào,
nhưng tôi tin rằng các bạn sẽ tìm ra nhiều phương án tối ưu đấy ! Sau đây là một
phương án của tôi.

Hỏi thần A :

- Ngài là thần KN ?
- Nhận được câu trả lời.
Hỏi thần B :

- Ngài là thần KN ?
- Nhận được câu trả lời.

Sau đó tơi chỉ cần hỏi thêm 1 hoặc 2 câu nữa là xác định được chính xác 3 vị thần. Như
vậy số câu hỏi nhiều nhất là 4. Các bạn có thể rút số câu hỏi xuống dưới 4 được

không ?

Xin mời các bạn hãy giải trí bài tốn này bằng một phương án tuyệt vời nào đó (Nhớ là
chỉ hỏi một thần và chính vị đó trả lời)

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24></div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Chuyên đề 3: <b>TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VAØ </b>
<b>BỘI </b>

Tiết 13: <b>TÍNH CHẤT CHIA HẾT</b> <b>– ƯỚC VAØ </b>
<b>BỘI </b>

<i><b>A. KIẾN THỨC CƠ BẢN</b><b> :</b><b> </b></i>

<i>1) Định nghĩa</i>: Cho hai số tự nhiên a và b (b 0_).

.

<i>a b q</i>  <i>a b</i> _{a là bội của b}_ _{b là ước của a.}

<i>2) Tính chất</i>: 1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính
nó.

2/ Nếu <i>a b</i> <i>vàb c</i>  <i>a c</i>

3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a _{m và b}_{m thì}<i>a b m</i>  <i>vàa b m</i> 

6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai
số ấy chia hết cho m

thì số còn lại cũng chia hết cho m.

7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia
không chia hết cho m

thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia

hết cho m.

8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích
chia hết cho m.

9/ Neáu <i>a m b n</i> ,   <i>ab mn</i>
<i>Hệ Quả</i>: Nếu <i>a b</i>  <i>an</i><i>bn</i>

Nếu <i>a m a n m n</i> ,  ,( , ) 1  <i>a mn</i>
<b>B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng:</b>

a) <i>ab</i> <i>ba</i> chia heát cho 11.

b) <i>ab</i> <i>ba</i> Chia hết cho 9 với a > b.
Giải:

a) Ta coù <i>ab</i> <i>ba</i>= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) ₁₁

Vậy <i>ab</i> <i>ba</i> _11.

b) Ta có : <i>ab</i> <i>ba</i>= (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) ₉

<i>Chú ý : Nếu ab cd</i> 11 <i>abcd</i> 11
Ví dụ 2: Tìm n _{N để:}

a) n + 4 _n _{b) 3n + 7}_n

Giaûi:

a) n + 4 _n _{, n}_{n => 4}_{n => n}_{Ö(4) =}



1;2; 4



b) 3n + 7 _{n; 3n}_{n => 7}_{n => n}_{Ư(7) =}



1;7



C/ BÀI TẬP:

1) Cho <i>abc</i> deg 7. <i>Cmr abc</i>deg 7

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

3) Cho số <i>abc</i>27Chứng minh rằng số <i>bca</i>27
Giải:

: deg 1000 deg 1001 ( deg )
7.143 ( deg )

<i>abc</i> <i>abc</i> <i>abc</i> <i>abc</i>
<i>abc</i> <i>abc</i>

    

  

<i>1)Tacó</i>

Mà : 7.143<i>abc</i>7 và <i>abc</i> deg 7. <i>Vaäy</i> <i>abc</i>deg 7

2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: <i>ab</i>.( 0 < a _{9, 0}_b_{9, a,b}

_N)

Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược
lại ta được số: <i>abba</i>

1000 100 10

1001 110 7.11.13 11.10 11

: 11

<i>abba</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b a</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>abba</i>

   

    


<i>Vaäy</i>

3) <i>abc</i>27

0 27

1000 0 27

999 0 27

27.37 27

27 ( 27.37 27)

<i>abc</i>

<i>a bc</i>
<i>a a bc</i>

<i>a bca</i>
<i>bca</i> <i>Do</i> <i>a</i>



 

  

 









 

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, cịn
tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, cịn
tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì khơng chia hết cho 10.

3) Tìm n _{N để:}

a) 27 – 5n _n _{b) n + 6}_{n + 2}
c) 2n + 3 _{n – 2} _{d) 3n + 1}_{11 – 2n}
4) Cmr neáu <i>ab cd eg</i>  11<i>thì abc</i>deg 11

5) Cho <i>abc</i> deg 37. <i>Cmr abc</i>deg 37

6) Cho 10 k_{– 1}__{19 với k > 1 CMR: 10}2k_{– 1}_₁₉

7) Cho n là số tự nhiên. CMR:

a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho 2.

b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu <i>ab</i> 2<i>cd</i>  <i>abcd</i>67

<b>Giaûi: </b>

1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) ₃

Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 ₃

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.

Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n
chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4.

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn
tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì khơng chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n
là số tự nhiên.

Ta coù: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2)₁₀

Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n
là số tự nhiên.

Ta coù: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) +
5 _10.

3) a) 27 – 5n _{n ; 5n}_{n => 27}_{n => n}_{Ö(27) =}



1;3;9; 27



_{nhưng 5n < 27}
nên n < 6

Vaäy n 



1;3



b) n + 6 _{n + 2 => n + 2 + 4}_{n + 2, maø n +2}_{n + 2 => 4}_{n + 2 => n}

+ 2 



1; 2; 4



=> n 



0; 2



c) 2n + 3 _{n – 2 => 2(n – 2) + 7}_{n -2 => 7}_{n - 2 => n – 2}



1;7



_{=> n}

3;9



d*_{) 3n + 1}__{11 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 2n)}<i>_–</i> <i>_–</i> __{11 – 2n => 35}_

11 – 2n

=> 11 – 2n 



1;5;7;35



nhưng vì n < 6 neân n 



5;3; 2



4) : deg 10000 100 9999 99 ( )

9999 11; 99 11;( ) 11

<i>Ta</i> <i>abc</i> <i>ab</i> <i>cd eg</i> <i>ab</i> <i>cd</i> <i>ab cd</i> <i>eg</i>

<i>Do</i> <i>ab cd</i> <i>eg</i>

       

 

  

<i>có</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Vậy : <i>abc</i>deg 11

5) : deg 1000 deg 999 ( deg)
27.37 ( deg)

27.37 37; ( deg) 37; : deg 37

<i>Ta</i> <i>abc</i> <i>abc</i> <i>abc</i> <i>abc</i>

<i>abc</i> <i>abc</i>

<i>Do</i> <i>abc</i> <i>abc</i> <i>abc</i>

    

  



  

<i>có</i>

<i>Vậy</i>

6) Ta có: 102k_{1 = 10}<i>_–</i> 2k_{– 10}k_{+ 10}k_{-1 = 10}k₍₁₀k_{– 1) + (10}k _{– 1)}

Do 10k _{- 1}__{19 neân 10}k₍₁₀k_{– 1) + (10}k _{– 1)}_₁₉

Vaây 102k_{– 1}_₁₉

7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )

Khi n chaün => n = 2k (k _N).

Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15)
Chia hết cho 2.

Khi n lẽ => n = 2k + 1 (k _N).

Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k
+ 16)

= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia heát cho 2.

b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)

+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một
số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2.

+ Trường hợp: n = 3k (k _{N) thì n chia hết cho 3 nên A chia}
hết cho 3. (1)

Trường hợp: n khơng chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n =
3k + 2

Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k +
2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia heát cho 3.

(2)

Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)
(3k + 4) chia heát cho 3 nên A chia hết cho 3.

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.

8) Ta coù <i>abcd</i> 100<i>ab cd</i>
Maø: <i>ab</i> 2<i>cd</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Tiết 15: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT
<b>A/ LÝ THUYẾT:</b>

1 2 1 0

0 0

1 0 1 0

2 1 0 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0

... :

2 2, 5 5

4 4, 25 25

8 8, 125 125

3 ... 3

9 ... 9

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i> <i>a a a</i>

<i>A</i> <i>a</i> <i>A</i> <i>a</i>

<i>A</i> <i>a a</i> <i>A</i> <i>a a</i>
<i>A</i> <i>a a a</i> <i>A</i> <i>a a a</i>
<i>A</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>A</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>






 

 

 

     

     

   

   

   

 

 

<i>n</i>

<i>Goïi A = a</i> <i>Tacó</i>

+ 0 chia hÕt cho b víi b là số tự nhiên khác 0.
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho a th× a = b.

+ NÕu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hÕt cho c.

+ NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hÕt cho c mµ (b,c) = 1 th× a chia hÕt cho (b.c).
+ NÕu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hÕt cho c.

+ NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m víi mäi k lµ sè tù nhiªn.
+NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho m th× (a <i>±</i> b) chia hÕt cho m.
+ NÕu a chia hÕt cho m, b kh«ng chia hÕt cho m th× (a <i>±</i> b) kh«ng chia hÕt cho m.
+ NÕu a chia hÕt cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hÕt cho (m.n).

+ NÕu (a.b) chia hÕt cho m vµ m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hc b
chia hÕt cho m.

+ NÕu a chia hÕt cho m th× <i>_an</i> _{chia hÕt cho m víi n là số tự nhiên.}

+ Nếu a chia hết cho b th× <i>_an</i> _{chia hÕt cho}

<i>bn</i> với n là số tự nhiên.

<b>II. Khi hc sinh ó nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đa ra</b>
<b>một vài phơng pháp thơngf dùng để giải các bài toán chia hết: </b>

<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.</b>

Để chứng minh a chia hết cho b( b  0) ta biểu diễn số a dới dạng một tích
các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b( hoặc chia hết cho b).

<b>VÝ dô 1: Chøng minh r»ng (3n)</b>100_{chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n.}
<b>Giải: Ta cã (3n)</b>100_{= 3}1000_{. n}1000_{= 3}4_.3996_.n1000_{= 81.3}996_.n1000_.

Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3996_.n1000_{chia hết cho 81.}

<i>⇒</i> (3n)1000_{chia hÕt cho 81.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Ta có : 165_{+ 2}15_{= (2}4₎5_{+ 2}15_{= 2}20_{+ 2}15_{= 2}15₍₂5_{+1) = 2}15_{. 33}
Vì 33 chia hết cho 33 _ 215_{. 33 chia hết cho 33}

Vậy 165_{+ 2}15_{chia hết cho 33.}
<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 2: Dựa vào tính chất cđa quan hƯ chia hÕt.</b>

* <i><b>Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, hiƯu:</b></i>

- Để chứng minh a chia hết cho b(b  0) ta biểu diễn số a dới dạng một tổng
của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đeèu chia hết cho b.

- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các
số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng
còn lại đều chia hết cho b.

<b>Ví dụ 3 : Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170. Hỏi số đó có chia hết</b>
cho 85 khơng? Vì sao?

Giải: Gọi số đó là a (a là số tự nhiờn).

Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiªn).
Ta cã: 255 chia hÕt cho 85 nªn 255.k chia hÕt cho 85.

170 chia hÕt cho 85.

<i>⇒</i> (255.k + 170) chia hÕt cho 85 (TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng).
Do vËy a chia hÕt cho 85.

<b>VÝ dơ 4: Chøng minh r»ng tỉng cđa ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.</b>
Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)
= (3a + 3) chia hÕt cho 3 (TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng).
Tõ bµi tập, này giáo viên có thể đa học sinh vào tình huống : Có phải tổng
của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?

Qua đó gợi trí tị mị, đa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải

quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm
bài tập sau:

<b>VÝ dô 5: Tỉng cđa 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hết cho 4 hay không ?</b>
<b>Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.</b>

Tỉng cđa 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ:

a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6).

Do 4 chia hÕt cho 4 nªn 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên
(4a + 6) không chia hết cho 4.

<i></i> Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hÕt cho 4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

* <i><b>Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tÝch:</b></i>

§Ĩ chøng minh a chia hÕt cho b (b 0) ta cã thÓ chøng minh b»ng mét
trong c¸c c¸ch sau:

+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a
chia hết cho n.

+ BiÓu diÔn a = a1.a2 , b = b1.b2 , råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1 ; a2 chia
hÕt cho b2 .

<b>VÝ dô 6: Chøng minh (495a + 1035b) chia hÕt cho 45 víi mäi a , b lµ số tự nhiên.</b>
Giải:

Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hÕt cho 9 víi mäi a.

V× 1035 chia hÕt cho 9 nªn 1035.b chia hÕt cho 9 víi mäi b.
Nªn: (495a + 1035b) chia hÕt cho 9.

Chøng minh t¬ng tù ta cã: (1980a + 1995b) chia hÕt cho 5 víi mäi a, b.
Mµ (9, 5) = 1.

<i>⇒</i> (495a + 1035b) chia hÕt cho 45.

VÝ dô 7: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
<b>Giải: </b>

Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.

Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).

Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hÕt cho 2.
Mµ 4 chia hÕt cho 4 nªn 4n.(n + 1) chia hÕt cho (4.2)

<i>⇒</i> 4n.(n + 1) chia hÕt cho 8.

<i>⇒</i> 2n.(2n + 2) chia hÕt cho 8.
<b>Ph</b>

<b> ơng pháp 3: Dùng định lý về chia có d.</b>

§Ĩ chøng minh n chia hÕt cho p, ta xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d khi chia n cho p.
VÝ dô 8: Chøng minh r»ng:

a. TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 3.
b. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hÕt cho 4.

Gi¶i:

a. Gäi ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1, n + 2.
TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ: n.(n + 1).(n + 2).

Mét sè tù nhiªn khi chia cho 3 cã thĨ nhËn mét trong c¸c sè d 0; 1; 2.
- NÕu r = 0 th× n chia hÕt cho 3 <i>⇒</i> n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3.
- NÕu r = 1 thf n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

- NÕu r = 2 th× n = 3k + 2 (k là số tự nhiên).
<i>⇒</i> n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hÕt cho 3.
<i>⇒</i> n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3.

<i><b>Tãm l¹i:</b></i> n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3 với mọi n là số tự nhiên.

b. Chứng minh t¬ng tù ta cã n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là
số tự nhiên.

Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng
tổng quát.

Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia
hết cho n.

<b>III. Khi hc sinh ó nắm vững các phơng pháp thờng dùng để chứng minh chia hết,</b>
<b>giáo viên có thể ra một số bài tốn về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ</b>
<b>thống, đợc đào sâu các kiến thức về phép chia hết</b>.

<b>Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số </b> 34<i>x</i>5<i>y</i> chia hết cho 36.

<b>Gi¶i: Vì (4, 9) = 1 nên </b> 34<i>x</i>5<i>y</i> chia hÕt cho 36 <i>⇔</i> 34<i>x</i>5<i>y</i> chia hÕt cho 9 vµ

34<i>x</i>5<i>y</i> chia hÕt cho 4.

Ta cã: 34<i>x</i>5<i>y</i> chia hÕt cho 4 <i>⇔</i> 5y chia hÕt cho 4 <i>⇔</i> y  {2<i>;</i>6} .
34<i>x</i>5<i>y</i> chia hÕt cho 9 <i>⇔</i> (3 + 4 + x + 5 + y) chia hÕt cho 9.

<i>⇔</i> (9 + 13 + x + y) chia hÕt cho 9.  (3 + x + y) chia hết cho 9
Vì x, y N và 0 x; y  9 Nªn x + y thuéc {6<i>;</i>15}

NÕu y = 2 th× x = 4 hc x = 13 ( > 9 - Lo¹i ).
NÕu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9.

Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956.

Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba
số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211.

Gi¶i:

Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là: <i>a</i>0<i>b ;</i>ab 0<i>;</i>ba 0<i>;b</i>0<i>a</i> .
T ổng của các số đó là:

<i>a</i>0<i>b</i>+ab 0+ba 0+<i>b</i>0<i>a</i> = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a

= 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211.
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2).

Gi¶i:

Ta cã 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
Mµ 5.(n +2) chia hÕt cho (n +2).

Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) <i>⇔</i> 4 chia hết cho (n + 2) <i>⇔</i> (n + 2)
là ớc của 4.

<i>⇔</i> (n +2)  {1<i>;</i>2<i>;</i>4}

<i>⇒</i> n  {0<i>;</i>2} .

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Bài 4: Tìm số tự nhiên n để <i>n</i>+15

<i>n</i>+3 lµ số tự nhiên .

Giải: Để <i>n</i>+15

<i>n</i>+3 là số tự nhiên thì (n + 15) chia hÕt cho (n + 3).

<i>⇒</i> [(n + 15) - (n + 3)] chia hÕt cho (n + 3).
<i>⇔</i> 12 chia hÕt cho (n +3) .

<i></i> (n + 3) là Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12.
<i>⇔</i> n  0; 1; 3; 9.

VËy víi n 0; 1; 3; 9thì <i>n</i>+15

<i>n</i>+3 là số tù nhiªn.

Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết
cho 5; 7; 9.

Giải:

Giả sử ba số viết thêm là abc .

Ta cã: 579 abc_⋮5<i>;</i>7<i>;</i>9<i>⇒</i>579 abc chia hÕt cho 5.7.9 = 315.

Mặt khác: 579 abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hÕt cho
315.

Mµ 315.1838 chia hÕt cho 315 <i>⇒</i> (30 + abc ) chia hÕt cho 315  30 + abc 

(315).

Do 100  abc  999  130  30 + abc  1029

 30 + abc  315; 630; 945.

<i>⇒</i> abc<i></i>{285<i>;</i>600<i>;</i>915} .

Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915.
<b>B/ Ví du</b>:

<i>Ví dụ1</i>:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27. biết rằng
hai chữ số ở giữa của nó là 97.

Giải: Gọi n là số phải tìm. Vì n chia hết cho 5 và cho 27 nên n phải tận
cùng bằng 0 hoặc 5 và chia hết cho 9, do đó ta có số n =

*975 <i>Hoặc số</i> <i>n</i>*970_.

Khi: n = *975 9 => (* + 9 + 7 + 5)  9 => * = 6. Thử lại 6975 không chia hết
cho 27.

Khi: n = *970 9 => (* + 9 + 7 + 0)  9 => * = 2. Thử lại 2970 chia hết cho 27.
Vây số 2970 là số phải tìm.

<i>Ví dụ 2</i>: Cho số tự nhiên <i>ab</i>_{bằng ba lần tích các chữ số của nó.}
a) CMR: b chia hết cho a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Giải: a) Theo đề bài ta có: <i>ab</i>_{= 3ab}

=> 10a + b = 3ab (1)
=> 10a + b  a

=> b a

b) Do b = ka neân k < 10. Thay b = ka vào (1), ta có:
10a + ka = 3a.ka

=> a(10 + k) = 3ak. a
=> 10 + k = 3ak

=> 10 + k  k

=> 10  k Vậy k là ước của 10.

<i>Ví dụ 3: </i>Chứng minh rằng: với n  N thì số 92n – 1 chia hết cho cả 2 và 5.

Giải: Có: 92n_{– 1 = (9}2₎n_{– 1 = 81}n _{- 1 = ….1 - 1 = …0}

Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.

<b>C/ BAØI TAÄP</b>:

1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a/ Số 275<i>x</i> chia hết cho 5; cho 25; cho125.

b/ Số 9 4<i>xy</i> chia hết cho 2, cho4, cho 8.

<b>Giaûi</b>: 1)<b> </b>a/ 275<i>x</i>  5  <i>x</i>



0;5



; 275<i>x</i>  25  <i>x</i>

 

0 ; 275<i>x</i>  125  <i>x</i>

 

0

b/ 9 4 2<i>xy</i>   <i>x y</i>, 



0;1; 2;...;9



; 9 4 4<i>xy</i>   <i>x</i>



0;1; 2;...;9 ,



<i>y</i>



0, 2, 4,6,8



9 4 8<i>xy</i>   <i>x</i>



0; 2; 4;6;8 ;



<i>y</i>



2;6



<i>hoặc x</i>



<i>1;3;5;7;9</i>



;<i>y</i>



0; 4;8



Tiết 16: LUYỆN TẬP

1) Cho n N, chứng minh rằng:

a/ 5n_{– 1}_₄

b/ n2_{+ n + 1 không chia hết cho 4.}
c/ 10n _{- 1}_₉

d/ 10n_{+ 8}_₉
2) Chứng minh rằng:

a/ 1028_{+ 8}_₇₂
b/ 88_{+ 2}20 _₁₇

3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2_{+ n + 6 không chia hết cho 5.}
4) CMR: a/ 94260_{– 351}37_{chia hết cho 5.}

b/ 995_{- 98}4 _{+ 97}3_{- 96}2 _{chia hết cho 2 và 5.}

<b>Giải:</b>

1) a/ + Với n = 0, ta có: 50_{– 1 = 1 – 1 = 0}_₄
+ Với n = 1, ta có: 51_{-1 = 5 – 1 = 4}__4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

b/ Ta có n2_{+ n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên}
tích chẳn, do đó n2_{+ n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4.}

c/ Ta coù 10n _{- 1 = 100…0 – 1 = 99…..9}_
9

n chữ số 0 n chữ số
9

d/ Ta có: 10n_{+ 8 = 100…0 + 8 = 100…08}_₉
n chữ số 0 n-1 chữ số 0

2) a/ Ta có: 1028_{+ 8 = 100…0 + 8 = 100……08}__{9 (1)}
28 chữ số 0 27 chữ số 0

Soá 1028_{+ 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)}
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028_{+ 8 chia heát cho 72.}

b/ 88_{+ 2}20_{= (2}3₎8_{+ 2}20_{= 2} 24 _{+ 2}20_{= 2}20₍₂4_{+ 1) = 2}20_{. 17}_₁₇
vaây 88_{+ 2}20_{chia heát cho 17.}

3) Với mọi số tự nhiên n thì n 2_{+ n = n(n + 1) đây là}<i><b>_{tích của hai số tự}</b></i>

<i><b>nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6.</b></i> Do đó n 2_{+ n + 6 tận cùng}
bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5.

4) a/ 94260_{– 351}37_{= 942}4.15_{– 351}37_{= ….6}15_{- …1 = …6 - …1 = …5}_₅
b/ 995_{- 98}4 _{+ 97}3_{- 96}2_{= …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0}

Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.

Tiết 17: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ.

17.18.19.20

PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUN TỐ

A/ <b>LÝ THUYẾT: </b>

+ Số ngun tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là
1 và chính nó.

+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.
+ Để chứng tỏ số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra
một ước khác 1 và a.

Chú ý: 10n_{= 10….0 = 2}n_.5n

n chữ số 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

M = ax_.by_….cz_{thì các ước của M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1).}

+ Nếu ab <i>P</i>_{với P là số nguyên tố thì hoặc a}_<i>_P</i>_{hoặc b}_<i>_P</i>_.
Đặc biệt: Nếu an _<i>_P</i>_{thì a}_<i>_P</i>

<b>B/ VÍ DỤ</b>:

<i>Ví dụ 1: Cho A = 5 + 5</i>2_{+ 5}3_+……+5100

a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?
b) Số A có phải là số chính phương khơng?

Giải: a) Có A > 5; A  5 ( Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là

hợp số.

b) Có 52 __{25, 5}3 __25;…..;5100__{25, nhưng 5}__{25 nên A}_₂₅
Số A  5 nhưng A  25 nên A không là số chính phương.

<i>Ví dụ 2</i>:<i> </i> Số 54 có bao nhiêu ước.

Giải: Có: 54 = 2 .33_{. Số ước của 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 ước.}
Tập hợp các ước của 54 là: Ư(54) =



1;2;3;6;9;18; 27;54



<i>Ví dụ 3</i>: Tìm số ngun tố p sao cho p + 2 , p + 4 cũng là số nguyên tố.
Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k
+ 2 với k là số tự nhiên.

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là
số nguyên tố.

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là
hợp số, trái với đề bài.

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là
hợp số, trái với đề bài.

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.

<b>C/ BÀI TẬP</b>:

<b>1)</b> Tổng của 3 số ngun tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số
đó?

<b>2)</b> Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không?

<b>3)</b> Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố.

<b>a)</b> p + 2 vaø p + 10.

<b>b)</b> P + 10 vaø p + 20.

4) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên
tố. Chứng minh p + 1chia hết cho 6.

5) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + 8 là
hợp số.

6) Cho a, n N*, biết an 5. Chứng minh: a2 + 150  25.

<b>Giaûi:</b>

1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 là số chẳn nên một trong ba số
nguyên tố đó phải có một số chẳn

đó là số 2. số 2 là số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đã cho.
2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 là số lẽ nên một
trong hai số nguyên tố đó phải là số 2 khi đó số thứ hai là: 2003 – 2 =
2001 chia hết cho 3 nên là hợp số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k +
2 với k là số tự nhiên.

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là
số nguyên tố.

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là
hợp số, trái với đề bài.

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10
là hợp số, trái với đề bài.

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.

b/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k +
2 với k là số tự nhiên.

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều
là số nguyên tố.

Nếu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 20
là hợp số, trái với đề bài.

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10
là hợp số, trái với đề bài.

Vaäy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.

4) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẽ, => p + 1 là số chẵn nên p +
1 2 (1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k N)

Daïng p = 3k + 1 không xãy ra.

Dạng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra p + 1  6

5) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k N)

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề
bài.

Vậy p có dạng 3k + 1 khi đó p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp
số.

6) Có an__{5 mà 5 là số nguyên tố nên a}__{5 => a}2 __25.
Mặt khác 15025 nên a2 + 150 25.

<b>A. Ôn tập và bổ túc lũy thừa với số mũ tự nhiên</b>:
*

n

a_{    }a.a.a...a

( a_{0, n}_N*)

( n thừa số a)
 <b>ao = 1</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

 Lũy thừa tầng :
n

m

a

₌

_a

(m )n

<b>B. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:</b>

<i>1.Chữ số tận cùng của các số tự nhiên có tận cùng bằng 0;1;5;6 khi </i>
<i>nâng lên lũy thừa:</i>

- Cho HS tính các lũy thừa sau ( <i>Sử dụng máy tính</i>)

2 3 4

2 2 3

2 2 4

2 3 4

10 ...0;10 ...0;10 ...0;...
11 ...1;11 ...1;11 ...1;...
15 ...5;15 ....5;15 ...5;...
16 ...6;16 ...6;16 ...6;...



  



   _



   _



   _ _ _{Các số tự nhiên có chữ số}
tận cùng là 0;1;5;6 khi nâng lên lũy thừa bất kì( 0) thì giữ

nguyên chữ số tận cùng của nó.

<b>Ví dụ</b>: <i>Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau</i>:
a) 156 7_; _b)10619

c) 156 7 _{+ 1061}9 _{d) 156} 7 _{. 1061}9

 _{Giáo Viên hướng dẫn Học Sinh áp dụng tính chất trên:}

a) 156 7_{có chữ số tận cùng là 6}

b) 1061 9_{có chữ số tận cùng là 1}

c) Theo câu a) và b)  _{Chữ số tận cùng của lũy thừa :156}7 _{+ 1061}9

là 7

d) Theo kết quả câu a) và b)  Chữ số tận cùng của lũy thừa :156 7 .

1061 9_{là 6.}

<b>Các bài tập tương tự:</b>

a) 7130_{;b) 26} 35_{; c) 86} 33

d) 71 30 _{+ 26} 35_;

7
6

5

e)231 _;f) ₆75

425
g) 71 30_{+ 26}35 _{; h ) 86}33_{. 71}30 _{; k)}

7
6

5

231 ₊₄₂₅675

<i>2.Chữ số tận cùng của các số tự nhiên có tận cùng là 2; 4;8 khi nâng </i>
<i>lên lũy thừa 4n (n # 0) đều có chữ số tận cùng là 6</i>

* Cho Học Sinh tính:

2 4 _{= …6 ; 2}8 _{= …6 ; 2} 12 _{= …6}

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

8 4 _{= …6; 8} 8 _{= …6;} ₈ 12 _{= …6}

 _{Các số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 2;4;8 khi nâng}
lên lũy thừa 4n ( n # 0) đều có chữ số tận cùng là 6

* Tương tự cho Học Sinh tính : ( Vận dụng chữ số tận cùng của
một tích)

34 _{=…1 ; 3}8 _{= …1;} ₃12 _{= …1}

74 _{= …1;} ₇8 _{= …1 ;} ₇12 _{= …1}

94 _{= …1 ; 9}8_{= …1 ; 9}12 _{= …1}

 _{Các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 nâng lên lũy thừa}
4n (n # 0) có chữ số tận cùng là 1

<b>* Chú ý: </b>

- Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9
:

+ Nếu nâng lên lũy thừa lẽ đều có chữ số tận cùng là chính nó
+ Nếu nâng lên lũy thừa chẵn thì có chữ số tận cùng là 6 và 1

- Một số chính phương thì khơng có chữ số tận cùng là 2; 3;
7; 8

<b>Bài tập vận dụng:</b>

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
74 30_{; 49}31 _;87 31 _{; 58} 33 _{; 23}35

Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa tầng sau:

7
6
5

234 _;₅₇₉675

Bài 3: Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10

a) 51 n + 47 102 (n  N)

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Bài 4 : Cho S = 1 + 31_{+ 3} 2_{+ 3} 3 _{+ …+ 3}30

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<b>ĐỀ KIỂM TA 15 PHÚT</b>

Bài 1: Tìm các chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
a)

7
6
5

345 _b)₇₈₉41

c) 87 32 _{d) 87} 32 _{+ 789} 41

Bài 2 : Chứng tỏ rằng tổng sau không chia hết cho 10
A = 405 n _{+ 2} 405 _{+ m} 2 _{( n,m}__{N , n # 0)}

Bài 3 : Tính :

P = 2.2 2_{. 2}3 _{. 2}10 _.52_{. 5} 3_{. 5} 4_{. 5} 5_…510 _{có bao nhiêu chữ số}

0?

<b>ĐÁP ÁN:</b>
<b>Bài 1:</b>

 a) Số 345 có tận cùng là 5, nâng lên lũy thừa bất

kì( # 0) có chữ số tận cùng là 5.

 b)Có: 78941 = 789 4.10.789 = (…1).789 = …9
 c)Có: 8732 = 87 4.8 =…1

 d) Từ kết quả câu b) và c) có chữ số tận cùng của
tổng

 87 32 + 789 41 = (…1) +(…9) = …0

<b>Bài 2: </b>

 405 = …5

 2405 = 2 404 . 2 = 2 4.101 . 2 = (…6).2 = …2

 m2 (số chính phương )có chữ số tận cùng khác 3

 Vậy A có chữ số tận cùng khác

0  

<b>Bài 3: </b>

 2.22.23…210 = 21+2+3+…+10 = 255
 52.54.56…514 = 52+4+6+…+14 = 556

 A = 255 .556 = 255 .255. 5 = 1055 . 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

<i>Tiết 5</i>:

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ

NHIÊN

A/ <i><b>KIE N THƯ C CÔ BA N</b></i>Á Ù Û <b>:</b><i><b> </b></i>

1. Định nghóa: <i>an</i>  a.a……….a ( n _N*)

n thừa số
2. Quy ước: a1_{= a ; a}0_{= 1 ( a}_₀₎

3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:

. ( , *)

: ( , *, , 0)

<i>m</i> <i>n</i> <i>m n</i>

<i>m</i> <i>n</i> <i>m n</i>

<i>a a</i> <i>a</i> <i>m n N</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>m n N m n a</i>





 

   

4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n _{= a}n_{. b}n

5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am ₎n_{= a}m.n

6. Lũy thừa tầng: ( )

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>a</i> <i>a</i>

7. Số chính phương là số mà bằng bình phương
của một số tự nhiên.

Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính
phương.

<b>B/</b>

<b> Ví dụ:</b>

<i>Ví dụ 1: </i>Tìm x biết: 2.3x_{= 162}
Giải: 2.3x_{= 162 => 3}x_{= 162 :2}
3x_{= 81= 3}4
=> x = 4

<i>Ví dụ 2</i>:<i> </i> Viết tích sau dưới dạng một lũy thừa: 25_{. 8}4

Giải: 25_{. 8}4_{= 2}5_{. (2}3₎4_{= 2}5_{. 2}12_{= 2}17

<b>C/ Baøi tập: </b>

1) Tìm x _{N biết:}

a/ 2x_{– 15 = 17} _{b/ (7x -11 )}3_{= 2}5_.52_{+ 200}

2) Trong các số sau, những số nào bằng nhau, số
nào nhỏ nhất, số nào lớn nhất?

24_{; 3}4_{; 4}2_{; 4}3_{; 99}0_{; 0}99_{; 1}n_{( n là số tự nhiên khác 0)}
3) Viết số 729 dưới dạng một lũy thừa với 3 cơ số
khác nhau và số mũ lớn hơn 1.

4) Chứng tỏ mỗi tổng hoặc hiệu sau là một số
chính phương:

a) 32_{+ 4}2
b) 132_{– 5}2

c) 13_{+ 2}3_{+ 3}3_{+ 4}3 _Giaûi:

1) a/ 2x_{– 15 = 17}

=> 2x_{= 32}
=> 2x _{= 2}5
=> x = 5

b/ (7x -11 )3_{= 2}5_.52_{+ 200}

(7x -11 )3₌₁₀₀₀

(7x -11 )3_{= 10}3
7x – 11 = 10
x = 3
2) HS tự giải

3) 729 = 272_{= 9}3_{= 3}6
4) Ta coù:

a) 32_{+ 4}2_{= 9 + 16 = 25 = 5}2_.

Vậy tổng 32_{+ 4}2 _{là một số chính phương.}
b) 132_{– 5}2_{= 169 - 25 = 144 = 12}2

Vậy hiệu 132_{- 5}2 _{là một số chính phương.}
c) 13_{+ 2}3_{+ 3}3_{+ 4}3_{= 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10}2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

<i>Tieát 6:</i><b> </b>

<b>LUYỆN TẬP</b>

1) Viết các tổng hoặc hiệu sau đây dưới dạng
một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1.

a/ 172_-152
b/ 43_{– 2}3_{+ 5}2

2) Viết dưới dạng một lũy thừa của một số:
a/ 256_.1253_{b/ 625}5_{: 25}7 _{c/ 12}3_{. 3}3
3) Tìm x _{N biết:}

a) (2x + 1)3_{= 125} _{b) (x – 5)}4 _{= (x - 5)}6_{c) x}15₌
x

d/ x10_{= x} _{e/ (2x -15)}5_{= (2x -15)}3_.
4) Tính

3

3 1 2

2 3 1

)2 , )6 , ) 7

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

5) Tính giá trị của biểu thức:
A =

2 7 15
14 2

11.3 .3 9
(2.3 )



<b>Giaûi:</b>

1/ a) 172_-152_{= 64 = 8}2_{= 4}3_{= 2}6

_{b) 4}3_{– 2}3_{+ 5}2_{= 81 = 9}2_{= 3}4

2) a/ 256_.1253_{= (5}2₎6_.(53₎3_{= 5}12_.59_{= 5}21
b/ 6255_{: 25}7_{= 5}6 

c/ 123_{. 3}3_{= 6}6
3)

a) (2x + 1)3_{= 125}
(2x + 1)3_{= 5} 3
2x + 1 = 5
2x = 4
x = 2

b) (x – 5)4 _{= (x - 5)}6
(x – 5)6 _{- (x - 5)}4_{= 0}
(x – 5)4

2

(x - 5) 1

  

  ₌

0

………….

x = 5 hoặc x = 6

c) x15_{= x}
x15_{– x = 0}
x(x14_{– 1) = 0}
x = 0 hoặc x = 1

d/ x10_{= x}
x10_{– x = 0}
x( x9_{– 1) = 0}

x = 0 hoặc x9_{- 1 = 0}
x = 0 hoặc x = 1

e/ (2x -15)5_{= (2x -15)}3
(2x -15)5_{- (2x -15)}3_{= 0}
(2x -15)3

2

(2x -15) 1

  

  _{= 0}

(2x -15)3_{= 0 hoặc (2x -15)}3_{– 1}
= 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

3

1

3
2 8
2 8

3 3

1 1 1

4) ) 2 2 256.
) 6 6 216.

) 7 7 7 7

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>

 

 

  

5) Coù: A =

22 7 15 29 2 15 28 2

14 2 2 28 28

11.3 .3 9 11.3 (3 ) 3 (11.3 3 ) 24
6

(2.3 ) 2 .3 4.3 4

  

   

Tiết 7.

SO SÁNH HAI

LŨY THỪA

A) <i><b>KIE N THƯ C CƠ BA N:</b></i>Á Ù Û

1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa
chúng về dạng hai lũy thừa

có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ
(lớn hơn 0) rồi mới so sánh.

Nếu am_{= a}n _{thì m = n, hoặc nếu a}n_{= b} n

thì a = b

Nếu m > n thì am_{> a}n _{(a> 1)}

Nếu a > b thì an_{> b} n _{(n > 0)}

2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a
< b thì a.c < b.c (với c > 0)

B) <i><b>Ví dụ:</b></i>

<i>Ví dụ1</i>: So sánh: a/ 27 11 _{vaø 81}8
b/ 6255_{và 125}7

Giải: a/ Có 2711_{= (3}3₎11_{= 3}33_{; 81}8_{= (3}4₎8_{= 3}32_{. Do 3}33_{> 3} 32_{neân 27} 11 _>
818_.

b/ Coù 625 5_{= (5}4₎5 _{= 5}20_{; 125}7_{= (5}3₎7_{= 5}21_{. Do 5}21_{> 5}20_{neân 125}7_>
6255_.

<i>Ví dụ 2</i>: So sánh: 7300_{và 3}500
Giải:

3500_{= (3}5₎100_{= 243}100_;

7300_{= (7}3₎100_{= 343}100_{. Vì 343}100_{> 243}100_{. Vậy 7}300_{> 3}500
C) <i><b>Bài tập:</b></i>

1) So sánh:

a/ 536_{vaø 11} 24 _{b/ 5}23_{vaø 6.5}22_. _{c/ 31}11_{vaø 17}14_.
d/ 7245_{– 72}44 _{vaø 72}44_{– 72}43_. 

2) Tìm x <i>N</i>_bieát:
a/ 16x_{< 128}4

b/ 5x_{. 5}x + 1 _{. 5}x + 2 __{100………0 : 2}18_.

18 chữ số 0
Giải:

1) a/ 536 _{> 11} 24

b/ 523_{= 5.5}22_{< 6.5}22_{. vaäy 5} 23_{< 6.5}22

c/ 3111_{< 32}11_{= (2}5₎11_{= 2}55_;

1714_{> 16}14 _{= (2}4₎14_{= 2} 56_{. Vaäy 17}14_{> 31}11
d/ 7245_{– 72}44 _{= 72}44_{(72 – 1) = 72}44_{. 71.}
7244_{– 72}43_{.= 72} 43_{( 72 -1) = 72}43_{. 71.}

Do 7244_{. 71 > 72}43_{. 71 vaäy: 72}45_{– 72}44 _{> 72}44_{– 72}43_.
2) a/ Coù 16x_{= (2}4₎x_{= 2} 4x_{, 128}4_{= (2}7₎4_{= 2}28_.

Do 16x_{< 128}4_{neân 2} 4x_{< 2}28_{suy ra: 4x < 28 Suy ra x < 7.}
Vì x_{N và x < 7. Vậy x}



0;1;2;3; 4;5;6



</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

18 chữ số 0
Suy ra 5 3x + 3_₁₀ 18 _{: 2} 18

5 3x + 3_₅18
3x + 3 ₁₈

x _5.

Vì x_{N và x}_{5 vậy x}



0;1;2;3;4;5



Tiết 8:

<b>LUYỆN TẬP</b>

1) So sánh: a) 7.213_{và 2}16 _{b/ 199}20_{vaø 2003}15_.
c/ 32n _{vaø 2}3n_(n__N*₎

2) So sánh hai biểu thức:

10 10 10 10

9 4 8

3 .11 3 .5 2 .13 2 .65
,

3 .2 2 .104

<i>B</i>  <i>C</i> 

3) Cho A = 3 + 32_{+ 3}3 _{+ …….+3}100_.

Tìm số tự nhiên n, biết 2A + 3 = 3n_.

4) Cho S = 1 + 2 + 22 _{+ 2}3_{+ …. + 2}9_{. Hãy so sánh S với 5. 2}8_.
Giải:

1) a/ Coù: 216_{= 2}3_.213_{= 8. 2}13_{Do 7.2}13_{< 8. 2}13_{. Vaäy 7.2}13_{< 2}16

b/ 19920_{< 200}20_{= (8.25)}20_{= (2}3_.52₎20_{= 2}60_.540

200315_{> 2000}15_{= (16.125)}15_{= (2}4_.53₎15 _{= 2}60_.545_.
Vì 260_.545_{> 2}60_.540_{. Vậy 2003}15_{> 199}20_.
c/ Coù 32n _{= 9}n_{; 2}3n_{= 8}n_{=> 9}n_{> 8}n_(n__N*₎
Suy ra 32n _{> 2}3n_(n__N*₎

2)

10 10 10

9 4 9

10 10 10 2

8 8

3 .11 3 .5 3 (11 5)
3
3 .2 3 .16

2 .13 2 .65 2 (13 65) 2 .78
3
2 .104 2 .104 104

<i>B</i>

<i>C</i>

 

  

 

   

Vậy B = C

3) Có A = 3 + 32_{+ 3}3 _{+ …….+3}100_.
3A = 32_{+ 3}3 _{+ 3}4 _+…….+3101_.
Suy ra: 3A – A = 3101_{– 3}

Hay: 2A = 3101_{– 3 => 2A + 3 = 3}101_{, mà theo đề bài ta có:}
2A + 3 = 3n_.

Suy ra: 3101_{= 3}n_{=> n = 101.}

4) Coù: S = 1 + 2 + 22 _{+ 2}3_{+ …. + 2}9
Suy ra: 2. S = 2 + 22 _{+ 2}3_{+ 2}4_{+ …. + 2}10_.
2S – S = 210_{– 1. Hay S = 2}10_{– 1 < 2}10

Mà 210_{= 2}2_{. 2}8_{< 5. 2}8_{. Do đó: S < 2}10_{< 5.2}8_.
Vậy S < 5. 28_.

CHUYÊN ĐỀ 3

CHỮ SỐ TÂN CÙNG.

Tiết 9:

TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG

A/ <i><b>KIẾN THỨC CƠ BẢN</b><b> :</b><b> </b></i>

1) <i><b>Tìm chữ số tận cùng của tích</b></i><b>:</b>
+ Tích các số lẽ là một số lẽ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

+ Tích của một số chẳn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẳn.
+ Tích của một số tận cùng bằng 0 với bất kỳ số tự nhiên nào cũng tận
cùng bằng 0.

2) <i><b>Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:</b></i>

<b>a) Tìm một chữ số tân cùng:</b>

+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 Khi nâng lên lũy thừa bất
kỳ( khác 0) thì vẫn có tận cùng bằng 0; 1; 5 ; 6.

+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thừa 4n đều có
tận cùng là 1.

…34n_{= ….1;} _…..74n_{= ….1;} _…94n_{= …1}

+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4n (n0) đều

có tận cùng laø 6.

…24n_{= ….6;} _…..44n_{= ….6;} _…84n_{= …6.}

+ Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 khi nâng lên lũy thừa lẽ thì có
chữ số tận cùng bằng chính nó.

<b>B/ Ví dụ </b>: <i><b>Tìm một chữ số tân cùng</b>:</i>

1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7430_{; 49}31_{; 87}32_{; 58}33_{; 23}35_.

2) CMR 8102_{– 2} 102 _{Chia hết cho 10.}

<i>Giải:</i>

1) Coù : 7430_{= 74}4.7_.742_{= (…6). (…6) = (…6);}

4931_{= (….9);}

8732_{= 87}4.8_{= (…1);}

5833_{= 58}32_{. 58 = 58}4.8_{. 58 = (…6). 58 = (…8);}

2335_{= 23}32_{. 23}3_{= (…1) .(…7) = (…7).}

2) 8102_{= 8}100_.82 _{= 8}4.25_.82_{= (…6). 64 = ….4}

2 102_{= 2}100_.22 _{= 2}4.25_.22_{= (…6) . 4 = ….4.}

Vậy 8102_{– 2} 102 _{có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.}

<b>C/ Bài Taäp</b>:

1) CMR A = 51n_{+ 47}102 _(n__{N) Chia heát cho 10.}

2) Chứng tỏ rằng 175_{+ 24}4_{– 13}21 _{chia hết cho 10.}

<b>Giaûi</b>:

1) 51n_{= ….1}

47102 _{= 47}100_.472_{= 47}4.25_.472_{= (….1).( …9) = …9}

Vaäy A = ….1 + ….9 = ….0 nên chia hết cho 10.

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

= (…7) + (…6) – (..1). 13 = (…7) + (…6) – (..3) = (…3) + (…
3) = (…0).

Vậy số 175_{+ 24}4_{– 13}21 _{chia heát cho 10.}

Tieát 10:

LUYÊN TẬP

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:
a) 74n _{- 1 chia hết cho 10.}

b) 34n+1_{+ 2 chia heát cho 5.}

c) 24n+1_{+ 3 chia heát cho 5}

d) 24n+2_{+ 1 chia heát cho 5}

e) 92n+1_{+ 1 chia hết cho cả 2 và 5.}

2) Tìm các số tự nhiên n để n10_{+ 1 chia hết cho 10.}

3) Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và n2 _{- n chia hết cho 5. Tìm chữ số tận}
cùng của n?

<b>Giaûi: </b>

1) a/ Coù 74n _{- 1 = (…1) – 1 = (…0) neân chia heát cho 10.}

b/ 34n+1_{+ 2 = 3}4n_{.3 + 2 = (…1). 3 + 2 = (…3) + 2 = …5 nên chia hết cho 5.}

c/ 24n+1_{+ 3 = 2}4n_{. 2 + 3 = (…6). 2 + 3 = (…2) + 3 = (…5) nên chia hết cho 5.}

d/ 24n+2_{+ 1 = 2}4n_.22_{+ 1 = (…6). 4 + 1 = (…4) + 1 = (..5) nên chia hết cho 5.}

e/ 92n+1_{+ 1 = (…9) + 1 = (…0) nên chia hết cho 10. ( vì 2n + 1 là số lẽ).}

2) Có n10_{+ 1 chia hết cho 10 => n}10_{= n}5.2_{= (n}5₎2_{có tận cùng bằng 9.}

=> n5_{tận cùng bằng 3 hoặc 7 => n tận cùng bằng 3 hoặc 7.}

3) Có n2_{– n = n.(n – 1) chia hết cho 5 nên n hoặc n – 1 chia hết cho 5}

Do đó n tận cùng là 0 ; 5 hoặc n – 1 tận cùng là 0 ; 5.
=> n tận cùng là 0 ; 5 hoặc 1; 6 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Tiết 11:

TÌM HAI CHỮ SỐ TÂN CÙNG TRỞ LÊN

A/ <i><b>KIẾN THỨC CƠ BẢN</b><b> :</b><b> </b></i>

<b>1) Tìm hai chữ số tân cùng:</b>

+ Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng
tận cùng bằng 01; 25; 76.

+ Các số 320_{(hoặc số 81}5_{); 7}4_{; 51}2_{; 99}2_{có tận cùng bằng 01.}

+ Các số 220_{; 6}5_{; 18}4_{; 24}2_{; 74}2_{; 68}4_{có tận cùng bằng 76.}

+ Số 26n_{( n > 1) có tận cùng bằng 76.}

<b>2) Tìm ba chữ số tân cùng trở lên:</b>

+ Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa nào khác 0
cũng tận cùng bằng 001; 376; 625.

+ Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng
bằng 0625.

+ Một số chính phương thì không có tận cùng là 2; 3; 7; 8

<b>B/ Ví dụ</b>: <i><b>Tìm hai chữ số tân cùng</b>:</i>

a) Tìm hai chữ số tân cùng của 2100_.

b) Tìm hai chữ số tân cùng 71991_.

Giải<b>: </b>a) Ta có: 210_{= 1024. Bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận}

cùng bằng 76.

Do đó 2100_{= (2}10₎10_{= 1024}10_{= (1024}2₎5_{= (…76)}5_{= …76}

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

b) 74_{= 2401. Số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng}

tận cùng bằng 01. Do đó: 7 1991_{= 7}1998_.73_{= (7}4₎497_{. 343 = ( …01)}497_{. 343}

= (…01). 343 = …43.

Vậy 71991_{có tận cùng bằng 43.}

<b>C/ Bài Tập:</b>

1) Tìm hai chữ số tận cùng của:

a) 5151_{; b) 6}666_; _{c) 14}101_{. 16}101_; _d) ₉₉99

99 _; _{e) 5}n_{, với n > 1}

Giaûi:

1) a) 5151_{= (51}2₎25_{. 51 =}









25

...01 .51...01 .51 ...51

;
b) 6666_{= (6}5₎133_{. 6 = (..76)}133_{. 6 = (…76) . 6 = …56}

c) 14101_{. 16}101_{= (14 . 16)}101_{= 224}101_{= (224}2₎50_{.224 = (…76)}50_{.224 = (…76) .}

224 = …24;

d) 999999 992<i>k</i>1 (99 ) .99 (...01) .99 (..01).99 ...992 <i>k</i> <i>k</i>

     _;

e) 5n_{=….25. (n > 1).}

<b>Chuyên đề 1</b>

<b>So s¸nh hai l thõa</b>

<b>A. Mơc tiªu.</b>

- Khi häc kiÕn thøc vỊ l thõa víi sè mị tù nhiªn tõ mét trong loại bài tập
mà các em thờng gặp là so s¸nh hai luü thõa.

- Giáo viên cần bổ sung cho học sinh về kiến thức so sánh hai luỹ thừa.
- Từ đó học sinh vận dụng linh hoạt vào giải bài tập.

<b>B. Nội dung chuyền đạt.</b>

<i><b>I. KiÕn thøc c¬ bản.</b></i>

1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cïng
sè mị.

+ NÕu hai l thõa cã cïng c¬ sè (lớn hơn 1) thì luỹu thừa nào có số mũ lín
h¬n sÏ lín h¬n.

+ NÕu hai l thõa cã cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ sè lín h¬n sÏ
lín h¬n.

2. Ngồi hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính
chất đơn điệu của phép nhõn.

(a<b thì a.c<b.c với c>0).

Ví dụ: So sánh 3210_{và 16}15_{, số nào lớn hơn.}
Hớng dẫn:

Nếu m>n thì am_>an_(a>1).

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách
đa 3210_{và 16}15_{về luỹ thừa cùng cơ số 2.}

3210_{= (2}5₎10_{= 2}50
1615_{= (2}4₎15_{= 2}60

V× 250_{< 2}60_{suy ra 32}10_{< 16}15_.

<i><b>II. ¸p dơng lµm bµi tËp.</b></i>

<b>Bµi 1: So s¸nh c¸c sè sau, số nào lớn hơn?</b>
a) 2711_{và 81}8_{. b) 625}5_{vµ 125}7

c) 536_{vµ 11}24 _{d) 3}2n_{vµ 2}3n _(n__N*₎
Hớng dẫn:

a) Đa về cùng cơ số 3.

b) §a vỊ cïng c¬ sè 5.
c) §a vỊ cïng sè mũ 12.
d) Đa về cùng số mũ n

<b>Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?</b>
a) 523 _{vµ 6.5}22

b) 7.213_{vµ 2}16
c) 2115_{vµ 27}5_.498
Híng dÉn:

a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522_.
b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213_.
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số l 7 v 3.

<b>Bài 3: So sánh các số sau, số nào lớn hơn.</b>
a) 19920_{và 2003}15_.

b) 339_{và 11}21_.
Híng dÉn :

a) 19920_{< 200}20_{= (2}3_.52₎20_{= 2}60_{. 5}40_.

200315_{> 2000}15_{= (2.10}3₎15_{= (2}4_{. 5}3₎15 _{= 2}60_.545
b) 339_<340_{= (3}2₎20_{= 9}20_<1121_.

Bài4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
72 45_-7244_{vµ 72}44_-7243_.

Híng dÉn:

7245_-7244₌₇₂45_(72-1)=7245_.71.
7244_-7244₌₇₂44_(72-1)=7244_.71.
Bài5:Tìm x <i>N</i> biết:

a, 16x_<1284.

_{b, 5}x_.5x+1_.5x+2 _100...0:218.
Híng dÉn:

a, Đa 2vế về cùng cơ số 2.

<i>⇒</i> luỹ thừa nhỏ hơn <i>⇒</i> số mũ nhỏ hơn.
Từ đó tìm x.

b, Đa 2vế về cùng cơ số 5 <i></i> x.
Bài6:Cho S=1+2+22₊₂3_+...+29_.
H·y so s¸nh S víi 5.28_.

Híng dÉn: 2S=2+22₊₂3₊₂4_+....+210_.

<i>⇒</i> 2S-S=210_-1(210₌₂2_.28_=4.28_<5.28_).

Bµi7: Gọi m là các số có 9chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. HÃy
so sánh m với 10.98_.

Hớng dẫn:Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu.
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu....
<i>⇒</i> m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=99_.

Mµ 99 _{= 9.9}8 _{< 10.9}8_.
VËy: m < 10.98_.

Bµi8: H·y viÕt sè lín nhÊt bằng cách dùng3 chữ số1,2,3với điều kiện mỗi chữ số
dùng 1 lần và chỉ1 lần.

Hng dn:Vit tt c c bao nhiêu: +Trờng hợp khơng có luỹ thừa.
+Có dùng luỹ thừa.

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

2chữ số.
Hãy so sánh các số đó.

Sè lín nhÊt lµ 321_.

Bµi9: So s¸nh a) 3131_{vµ 17}39_{. b)} 1

221 vµ
1

535
Híng dÉn: a) 3131_<3231₌₂155_{; 17}39_>1639_{= 2}156_.

b) So s¸nh 221_{víi 5}35

<b>Chuyên đề 2:</b>

<b>Chữ số tận cùng của một tích,một luỹ thừa</b>.
<b>I.Đặt vấn đề.</b>

- Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một

hay nhiều chữ số tận cùng của nó.Chẳng hạn, khi so số muốn biết có trúng những
giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng.Trong tốn học,khi xét một số
có chia hết cho 2;4;8 hoặc chia hết cho 5;25;125 hay không ta chỉ cần xét 1,2,3 chữ
số tận cùng của s ú.

- Trang bị cho học sinh những kiến thức tìm chữ số tận cùng của một tích, một luü
thõa.

- Học sinh nắm vững kiến thức này để áp dụng giải bài tập có liên quan.
<b>II. Nội dung cần truyền đạt.</b>

I.KiÕn thøc cơ bản.

1.Tìm chữ số tận cùng của tích.
- Tích các số lẻ là một số lẻ.

Đặc biệt tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số
tận cùng là 5.

- Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.

Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có
chữ số tận cùng là 0.

2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa:chú ý đến những số đặc biệt.
a,Tìm một chữ số tận cùng.

-Các số có tận cùng là 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào(khác0) cũng tận cung bằng
.0 ; 1 ; 5 ; 6.

- Các số có tận cùng bằng 2 ; 4 ; 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc có số tận cùng bằng
6.

- Các số có tận cùng bằng 3 ; 7; 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc số có tận cùng bằng
1.

b. T×m hai chữ số tận cùng .

- Các số có tận cùng là 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0 ) cũng tận cùng
b»ng 01 ; 25 ; 76 .

c. T×m ba chữ số tận cùng trở lên.

- Các số có tận cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng
bằng 001 ; 376 ; 625.

- Sè cã ch÷ sè tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào ( kh¸c 0) cịng tËn cïng
b»ng 0625.

3. Mét sè chính phơng thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8.
II. ¸p dơng lµm bµi tËp .

Bµi1 : Chøng tá r»ng c¸c tỉng sau chia hÕt cho 10.
a) 175_{+ 24}4_{- 13}21_.

b) 51n _{+ 47}<b>102_.</b>

<b> Híng dÉn: Chøng tá chữ số tận cùng của tổng bằng 0.</b>
Bài2 : Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n :

a) 74n_{- 1 chia hÕt cho 5.}
b) 34n+1_{+ 2 chia hÕt cho 5.}

c) 24n+1_{+ 3 chia hÕt cho 5.}
d) 24n+2 _{+ 1 chia hÕt cho 5.}
e) 92n+1_{+ 1 chia hÕt cho 10.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

Chøng tá tỉng e) cã ch÷ số tận cùng là 0.
Baì4: Tìm chữ số tận cùng của các sô sau:

7 5
6 7
a) 234<b>5</b>

<b>_{b) 579}</b>

<b>6</b>

Híng dÉn: 7

<b> 56_{là một số lẻ đều có dạng 2n + 1 (n}</b> _N*₎
5

67_{là một số chẵn có dạng 2n ( n} _N*₎
Bµi5 : Tìm hai chữ số tận cùng của .

99

a) 5151_{b) 99}99_{c) 6}666_{d) 14}101_{. 16}101

Hớng dẫn : đa về dạng (an₎m_{, trong đó a}n _{có hai chữ số tận cùng là 01 hoặc 76 .}
Bài 6: Tích của các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số
?

* Hớng dẫn : Dùng P2_{để loại trừ.}

- Nếu tích là 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số
tận cùng là 5 do đó tích phải có tận cùng là 5 , trái đề bài ,vậy thừa số của tích nhỏ
hơn 5.

- Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 hoặc tận cùng
bằng 9 , trái đề bài.

- Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 trái đề
bài.

Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số ví dụ: (...9 ). ( ...1 ). (...3 ) = 7.

Bµi 7: TÝch A = 2.22_{. 2}3_{. ... . 2}10_{x 5}2_{. 5}4_{. 5}6_{. ... .5} 14_{tËn cùng là bao nhiêu chữ số 0.}
Híng dÉn: TÝch cđa 1 thõa sè 2 vµ 1 thừa số 5 có tận cùng là 1 chữ số 0.

Bµi 8: Cho S = 1 + 31₊₃2_{+ 3}3_{+...+ 3}30_.

Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S khơng phải là số chính phơng.
Hớng dẫn: 2S = 3S - S =331 _{-1 =3}28_{. 3}3_-1.

= ( 34₎7_{. 27 -1 = ...1. 27 -1 = ...6.}
<i>⇒</i> 2S = ...6 <i>⇒</i> S = ...3.

Sè chÝnh ph¬ng không có tận cùng là 3 <i></i> đpcm.

Bi 9: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 000, có bao nhiêu chữ số tận cùng bằng 1
mà viết đợc dới dạng 8m₊₅n_(m,n _N*_)?

Híng dÉn: 5n_{cã tËn lµ 5 víi n} _N*_.

<i>⇒</i> 8m_{cã tËn cïng lµ 6} <i>_⇒</i> _{m = 4k (k} _N*_).
V× 85_{> 10 000} <i>_⇒</i> _{m = 4.}

<i>⇒</i> các số phải đếm có dạng 84_{+ 5}n_{với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 số.}

Bài10: Có số tự nhiên n nào thoả mãn:

n2_{= 20072007... 2007kh«ng?}
Híng dÉn: n2_{= 20072007... 2006.}

n2_{là số chính phơng có tËn cïng lµ 6} ⋮ _2.

<i>⇒</i> n2 ⋮ _{4. Mµ 20072007... 2006 không chia hết cho 4 ( vì 06}
kh«ng chia hÕt cho 4).

Vậy không có số tự nhiên nào
Bài 11: Tìm 4 chữ số tận cùng của số:
A = 51994_.

HíngdÉn: 54_{= 0625 tËn cïng lµ 0625}

55_{= 3125 tËn cïng lµ 3125}
56_{tËn cïng lµ 5625}

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

...
Chu k× của hiện tợng lặp lại là 4

Suy ra 54m_{tËn cïng lµ 0625} <i>_⇒</i> ₅4m+2_{tËn cïnglµ 5625}
Mà 1994 có dạng 4m+2 <i>⇒</i> 51994_{tËn cïng là 5625}

Bài 12: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n5_{là nh nhau.}
Hớng dẫn: Cách 1: XÐt ch÷ sè tËn cïng cđa n <i></i> chữ số tận cùng tơng ứng
của n5_.

Cách2: Đa về chứng minh ( n5_{- n )} ⋮ ₁₀
Biến đổi n5 _{- n = n.(n-1).(n +1).(n}2+1_).

Bµi tËp giải tơng tự các bài tập trên:
Bài 13:Tìm chữ số cuối cùng của số:

9

a) A = 99
4

b) B = 23
Bài14: Tìm hai ch÷ tËn cïng cđa sè :
a) M = 2999
b) N = 3999

Bài 15: Cho số tự nhiên n .Chứng minh r»ng :

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

<b>Chuyên đễ 3</b>

<b>Nguyên lí điriclê và bài toán chia hết.</b>
<b>A. Đặt vấn đề: </b>

Sau khi học xong về phép chia ngoài việc rèn luyện các kĩ năng tính tốn
thành thạo phép chia giáo viên cần phải mở rộng kiến thức liên quan đến phép chia
nh phép đồng d, mối liên hệ nguyên lí điriclê và bài toán chia hết... giúp học sinh
rèn khả năng t duy sáng tạo để làm đợc những bài tập nâng cao.

B.Nội dung cần truyền đạt.
<b> B. Kiến thức cơ bản.</b>

NÕu nhèt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r <q ) th× Ýt nhÊt còng cã
mét lång nhèt tõ q+1 con thá trë lªn.

* Chú ý cho học sinh: Khi giải bài tốn vận dụng ngun lí điriclê cần suy nghĩ
để làm xuất hiện " thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhng khi trình bày
lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ tốn học thơng thờng.

VÝ dụ: Cho 9 số tự nhiên bất kì. Chứng minh r»ng cã thĨ chän ra 2 sè mµ hiƯu
cđa chóng chia hÕt cho 8.

Phân tích: Coi 9 số là 9 con thỏ. Chín con thỏ này đợc nhốt trong mấy lồng ?
Ta biết rằng khi chia một số cho 8 thì số d chỉ có thể là một trong8 số:0 ; 1 ; 2 ; 3
; 4 ; 5 ; 6 ; 7 . Có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số d nên theo ngun lí
điriclê thì cũng có ít nhất 2 số chia cho 8 có cùng số d . Hiệu 2 số này chia hết cho
8.

Tr×nh bày lời giải:

Khi chia một số tự nhiên bất kì cho 8 thì số d r chØ cã thĨ lÊy mét trong 8 gi¸ trị
là:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 mµ cã 9 sè tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số d nên theo
nguyên lí điriclê thì ít nhất cũng cã 2 sè chia cho 8 cã cïng sè d.HiÖu 2 sè nµy chia

hÕt cho 8.

§a cho häc sinh nhËn xÐt trong n + 1 sè tù nhiªn , bao giê cịng cã thĨ chän ra
hai sè mµ hiƯu cđa chóng chia hÕt cho n ( n N*_).

<b>C.Bài tập áp dụng:</b>

Bài 1:Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít nhất hai số có
chữ sè tËn cïng gièng nhau.

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt trong phÐp chia cho 10.

Cã 11 sè chia cho 10 cã Ýt nhÊt hai sè cã cïng sè d <i>⇒</i> hiÖu hai sè nµy chia hÕt
cho 10. Hay hiƯu hai số có chữ số tận cùng là 0 <i></i> hai số này có chữ số tận cùng
giống nhau.

Cách 2: Có 11 số mà một số tự nhiên bất kì chỉ có chữ số tận cùng là một trong 10
số đó là: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9.

<i></i> đpcm.

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Híng dÉn: XÐt d·y sè gåm 14 sè h¹ng:

2 ; 22 ; 222 ; 2222 ;...; 22 .. .. .. . .. .. . 2

⏟

❑
14 ch÷ sè 2.

Cã 14 sè xÐt , trong phÐp chia cho 13 <i>→</i> cã hiÖu hai sè chia hÕt cho 13.
Mµ hiƯu hai sè ( sè lín trõ sè nhá ) cã d¹ng:

22 ... 2000 ... 0 = 22 ... 2 . 10n_.

<i>⇒</i> 22 ... 2 . 10n ⋮ _{13 mµ ( 10}n_{, 13 ) =1.}
<i>⇒</i> 22 ... 2 13 ( đpcm ).

Bài 3: Cho d·y sè : 10 ; 102_{; 10}3_{; ... ;10}20_.

Chøng minh r»ng tån t¹i mét sè chia cho 19 d 1.
Híng dÉn:

D·y sè cã 20 sè, xÐt trong phÐp chia cho 19 <i>⇒</i> cã Ýt nhÊt hai sè cã cïng
sè d <i>⇒</i> hiƯu hai sè chia hÕt cho 19. Mµ hiƯu hai sè cã d¹ng:

10m_-10n_{= 10}n_{( 10}m-n _{-1 ).}

<i>⇒</i> 10n₍₁₀m-n_{-1 )} ⋮ _{19 mµ (10}n_{, 19 ) =1.}
<i>⇒</i> 10m-n_-1 ⋮ _19.

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

Bài 4: cho 3 số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8.
Híng dÉn:

Mét sè lỴ chia cho 8 thì số d chỉ có thể là một trong 4 sè 1 ; 3 ; 5 ; 7. Ta chia 4
sè d nµy lµm 2 nhãm ( hai lång ).

Nhãm 1 d 1 hc d 7.
Nhãm 2 d 3 hc d 5.

Cã ba sè lỴ ( ba "thá" ) mµ chØ cã hai nhãm sè d ( hai "lång" ) nên tồn tại hai số
cùng thuộc một nhóm <i></i> đpcm.

Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số cã tỉng hc
hiƯu chia hÕt cho 12.

Hớng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơ 3 chia cho 12 thì số d chỉ có thể là mét trong
4 sè 1 ; 5 ; 7 ; 11 chia thành 2 nhóm: nhóm d 1 hoặc d 11; nhãm d 5 hc d 7.

<i>⇒</i> ®pcm.

Bài 6: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì ln chọn ra đợc hai số có tổng
chia hết cho 2.

Hớng dẫn: Có 2 lồng là chẵn - lẻ.
Vµ cã ba thá lµ ba sè.

Bài 7: Cho bảy số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng ta ln chọn đợc 4 số có tổng
chia hết cho 4.

Hớng dẫn: Gọi 7 số đó là a ❑₁ , a ❑₂ , a ❑₃ , a ❑₄ , a ❑₅ , a ❑₆ , a ❑₇ .
Theo bài tập trên ta chọn đợc 2 số có tổng chia hết cho 2 Chẳng hạn
a ❑₁ _{+ a} ❑₂ _{= 2k} ❑₁ _{.Còn 5 số lại chọn đợc hai số chia hết cho hai, chẳng hạn}

a ❑₃ + a ❑₄ = 2k ❑₂ . Còn ba số , lại chọn đợc 2 số, chẳng hạn chia hết cho 2,
chẳng hạn a5+ a6 = 2k3. Xét ba số k1, k2,k3 ta lịa chọn đợc 2 số chia hết cho 2 chẳng
hạn k1+k2=2m nh vậy:

2k1+2k2 = 4m.

Hay a1+a2+a3+a4=4m chia hÕt cho 4

Bài 8: Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn đợc ba số có tổng chia
hết cho 3

Híng dÉn: BÊt kú số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k, 3k+1,
3k+2 ( kN)

Trờng hợp 1: Có Ýt nhÊt 3 sè cïng mét d¹ng  Tỉng cđa 3 sè nµy chia hÕt
cho 3.

Trờng hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất là
một số  Tổng 3 số ở 3 dạng có ít nhất là một số  Tổng 3 số ở 3 dạng chia hết
cho 3.

Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kỳ. Chứng minh rằng ln chọn đợc 4 số có tổng
chia hết cho 4.

Híng dÉn: Mét sè lỴ chia hÕt cho 4 thì số d chỉ là 1 hoặc 3. Tức là số lẻ chỉ
có một trong 2 dạng 4k+1 hc 4k+2.

Nếu có ít nhất bốn số thuộc cùng 1 dạng tổng của 4 số đó chia hết cho 4.
Nếu khơng nh vậy thì mỗi dạng có ít nhất 2 số, ta chọn 2 số ở dạng này và 2
số ở dạng kia thì tổng của 4 số này chia hết cho 4.

Bài 10: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của 1 con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta gieo
súc sắc xuống bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cúng tìm đợc 1 hay
nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5.

Híng dÉn: Gäi c¸c sè trên 5 mặt là a1, a2, a3, a4, a5.

Xét 5 tỉng:

S1= a1.
S2= a1+a2
S3=a1+a2+a3.
S4=a1+a2+a3+a4.
S4=a1+a2+a3+a4+a5.

- Nêu có 1 trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài tốn đã giải song.

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Bài 11. Có tồn tại hay không sè cã d¹ng

20072007....200700...0 chia hÕt cho 2005.
Híng dÉn:

XÐt d·y sè 2007, 20072007, 200720072007,..., 20072007 . .. 2007

⏟

2006so 2007

trong phÐp chia cho 2005... cã it nhÊt hiÖu hai sè chia hÕt cho 2005 . HiƯu hai sè
nµy ( sè lín trõ sè nhá ) cã d¹ng 20072007...200700...0.

Bai 12: Chøng minh tån t¹i mét sè tù nhiªn x < 17 sao cho
25x_-1 ⋮ ₁₇

Híng dÉn : XÐt d·y sè gåm 17 sè h¹ng sau :

25 ; 252_{; 25}3_{;...; 25}17 
Chia sè h¹ng cđa d·y (1) cho 17

Vì (25,17) =1 nên (25n _{,1) = 1} <i>_∀</i> _n _{N vµ n} _{1 .}
XÐt trong phÐp chia cho 17 ....d·y sè trªn cã Ýt nhÊt hai sè chia cho 17
cã cïng sè d .

Gọi 2 số đó là 25m_{và 25}n_{với m , n} _{N và 1} _{m <n} ₁₇
<i>⇒</i> 25n_{- 25}m ⋮ ₁₇

<i>⇔</i> 25m_{( 25}n - m_{-1 )} ⋮ _{17 vì ( 25}m_{, 17 ) = 1} <i>_⇒</i> _đpcm.
<b>Chuyên đề 4</b>

<b>Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số</b>

A. Đặt vấn đề:

Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh "hai
tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số trờng hợp cụ thể, tuỳ theo
đặc điểm của các phân số, ta cịn có thể so sánh bằng một số phơng pháp khác. Tính
chất bắc cầu của thứ tự thờng đợc sử dụng, trong đó phát hiện ra phân số trung gian
để làm cầu nối là vấn đề quan trọng.

<b>B. Nội dung cần truyền đạt.</b>
I. Kiến thức cơ bản.

1. Dïng sè 1 lµm trung gian.
a) NÕu <i>a</i>

<i>b</i> > 1 vµ
<i>c</i>

<i>d</i> < 1 th×

<i>a</i>
<i>b</i> >

<i>c</i>

<i>d</i>
b) NÕu <i>a</i>

<i>b</i> = 1 + M ;
<i>c</i>

<i>d</i> = 1 +N
mà M>N thì <i>a</i>

<i>b</i>>
<i>c</i>
<i>d</i>

M v N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho.

<b>* NÕu hai ph©n sè có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có</b>
<b>"phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn.</b>

Ví dụ:
199

198 = 1 +
1

198 ;

200

199 = 1 +
1
199
Vì 1

198 >
1

199 nên
199
198 >

200
199
c) NÕu <i>a</i>

<i>b</i> = 1- M ;
<i>c</i>

<i>d</i> = 1 + N nÕu M > N th×
<i>a</i>
<i>b</i> <

<i>c</i>
<i>d</i>

M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phân

số đã cho.

<b>* Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có </b>
<b>"phần bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn.</b>

VÝ dơ:
2005

2006 = 1 -
1

2006 ;
2006

2007 = 1 +
1
2007
V× 1

2006 >
1

2007 nªn
2005
2006 <

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

VÝ dơ : So s¸nh 18

31 và
15

37
Giải: Xét phân số trung gian 18

37 ( Phân số này có tử là tử của phân số thứ
nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2). Ta thấy:

18
31 >

18
37 vµ

18
37 >

15

31 suy ra
18
31 >

15

37 ( tính chất bắc cầu)
(Ta cũng có thể lấy phân số 15

31 làm phân số trung gian).
b) VÝ dơ : So s¸nh 12

47 và

19
17
Giải: cả hai phân số 12

47 và
19

77 u xp x
1

4 nên ta dùng phân số
1

4 làm trung gian.
Ta có: 12

47 >
12
48 =

1
4
19

77 <
19
76 =

1
4

Suy ra 12

47 >
19
77
II. Bài tập áp dụng:

Bài 1: So sánh
a) 64

85 vµ
73

81 b)
<i>n</i>+1

<i>n</i>+2 vµ

<i>n</i>

<i>n</i>+3 ( n N*)

Híng dÉn: b) Dïng ph©n sè 64

81 (hoặc
73

85 ) làm phân số trung gian.
b) dïng ph©n sè <i>n</i>+1

<i>n</i>+3 (hoặc

<i>n</i>

<i>n</i>+2 ) làm phân số trung gian.

Bài 2: So sánh
a) 67

77 vµ
73

83 b)
456

461 vµ
123

128 c)

2003 .2004<i>−</i>1
2003 .2004 vµ
2004 . 2005<i>−</i>1

2004 . 2005

Hớng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng
so sánh "phần bù"của hai phân s ti n v .

Bài 3: So sánh:

a) 11

12 vµ
16

49 b)
58

89 vµ
36
53
Híng dÉn: a) Hai phân số 11

32 và
16

49 u xp x
1

3 nên ta dùng phân số
1

3 làm trung gian .

b) Hai ph©n sè 58
89 vµ

36

53 đều xấp xỉ

2

3 nên ta dùng phân số
2

3 làm phân số trung gian .
Baì 4: So sánh các phân sè .
A = 2535 .232323

353535. 2323 ; B =
3535

3534 ; C =
2323
2322
Híng dÉn : Rót gän A = ...= 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

C = 1 + 1
2322
Từ đó suy ra : A < B < C.

Bài 5: So sánh :

A = 5 .(11. 13<i>−</i>22 .26)

22. 26<i>−</i>44 . 52 vµ B =

1382<i>−</i>690
1372<i>₋</i>₅₄₈

Híng dÉn : Rót gän A = ...= 5

4 = 1 +
1

4
B = ...= 138

137 = 1 +
1
137
V× 1

4 >
1

137 nên A > B
Bài 6: So s¸nh .

a) 53
57 vµ

531

571 ; b)
25

26 vµ

25251

26261
Híng dÉn :

a) 53
57 =

530

570 = 1 -
40

570 ;
531

571 = 1 -
40
571
b) 25

26 = 1 +
1

26 = 1 +
1010

26260 ;

25251

26261 = 1 +

1010
26261
Bµi 7: Cho a , b , m N*

H·y so s¸nh <i>a</i>+<i>m</i>

<i>b</i>+<i>m</i> víi

<i>a</i>
<i>b</i> .
Híng dÉn : Ta xÐt ba trêng hỵp <i>a</i>

<i>b</i> =1 ;
<i>a</i>

<i>b</i> < 1 ;
<i>a</i>

<i>b</i> > 1.
a) Trêng hỵp : <i>a</i>

<i>b</i> = 1 <i>⇔</i> a = b th×
<i>a</i>+<i>m</i>

<i>b</i>+<i>m</i> =

<i>a</i>
<i>b</i> = 1
b) Trêng hỵp : <i>a</i>

<i>b</i> < 1 <i>⇔</i> a < b <i>⇔</i> a + m = b + m
<i>a</i>+<i>m</i>

<i>b</i>+<i>m</i> = 1 -

<i>b −a</i>

<i>b</i>+<i>m</i> ;

<i>a</i>

<i>b</i> = 1 -
<i>b− a</i>

<i>b</i>
c) Trêng hỵp : <i>a</i>

<i>b</i> > 1 <i>⇔</i> a > b <i>⇔</i> a+m > b + m <i>⇒</i> ...
Bµi 8: Cho A = 10

11<i>₋</i>₁
1012<i>₋</i>₁ <i>; B</i>=

1010
+1
1011

+1 .

H·y so s¸nh A víi B.

Hớng dẫn: Dễ thấy A<1. áp dụng kết quả bài trên nếu <i>a</i>

<i>b</i><1 thì
<i>a</i>+<i>m</i>

<i>b</i>+<i>m</i>>

<i>a</i>

<i>b</i> với
m>o.

Bài 9:So sánh các phân số sau mà không cần thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh ë mÉu.
A = 54 . 107<i>−</i>53

53 .107+54 . B =

135 .269<i>−</i>133
134 . 269+135 .

Híng dÉn: Tư cđa ph©n sè A

54.107-53 = (53 +1).107 - 53 =...
Tö cđa ph©n sè B

135.269-133= (134+1).269 - 133=...
Bài 10: So sánh:

a, ( 1

80 )7 víi (
1

243 )6. b, (
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

a =(
1
81 ¿
7
= 1
328
1
80 ¿
7
>¿

( ₂₄₃1 ¿6= 1
330 .
b,
3
8¿
5
=243
215
¿


5

243¿
3
=243
315
¿
.
Chän ph©n sè 243

315 làm phân số trung gian để so sánh.
Bài 11: Chứng tỏ rằng: 1

15+
1
16+

1
17+. ..+

1
43+

1
44 >¿

5
6 .
Híng dÉn:

Tõ 5
6=

3
6+
2
6=
15
30+
15
45 .
= ( 1

30+. .. .+
1
30)+(

1
45+. ..+

1
45) .
Từ đó ta thấy:

¿
1

15+
1
16+.. .+

1
29>

1
30+

1
30 +.. .+

1

30 ¿ Cã 15 ph©n số).
1

30+
1
31+. ..+

1
44>

1
45+

1
45+. ..+

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

<b>Chuyờn 5</b>

<b>Tổng các phân sè viÕt theo quy luËt.</b>

<b>A.Đặt vấn đề:</b>

Khi học phép cộng phân số một dạng bài tập mà các em đã gặp là bài tốn tính
tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng đợc viết theo quy luật. Loại bài tập này
có thể coi là khó so với học sinh đại trà vì phải tìm ra quy luật của nó từ đó tìm ra
cách giải.

- Vì vậy giáo viên cần bổ sung cho học sinh kiến thức để phát hiện quy luật từ đó
đa ra cách giải.

<b>B. Nội dung cần truyền đạt:</b>
I. Kiến thức cơ bản:

Cho häc sinh chøng minh hai c«ng thøc: <i>m</i>
<i>b</i>(<i>b</i>+<i>m</i>)=

1
<i>b−</i>

1
<i>b</i>+<i>m</i>.

2<i>m</i>

<i>b</i>(<i>b</i>+<i>m</i>)(<i>b</i>+2<i>m</i>)=
1
<i>b</i>(<i>b</i>+<i>m</i>)<i>−</i>

1

(<i>b</i>+<i>m</i>)(<i>b</i>+2<i>m</i>) .

Hớng dẫn: Biến đổi vế phải về bằng vế trái.
II. áp dụng làm bi tp:

Bài 1: Tính các tổng sau bằng phơng pháp hỵp lÝ nhÊt:
a, A= 1

1 . 2+
1
2. 3+

1

3 . 4+. . .+
1
49 .50 <i>;</i>
b, B= 2

3 . 5+
2
5 . 7+

2

7 . 9+.. .+
2
37 .39 .
c, C= 3

4 . 7+
3
7 . 10+

3

10 . 13+. ..+
3
73 . 76 .
Híng dÉn: áp dụng công thức 1.
Bài 2: Tính các tổng sau:

a, C= 7
10 .11+

7
11.12+

7

12 .13 +.. .+
7
69 .70 .
b, D = 6

15 .18+
6
18 . 21+

6

21 .24 +. ..+
6
87 . 90 .
c, E = 3

2
8. 11+

32
11.14 +

32

14 . 17+. ..+
32
197 . 200 .
Hớng dẫn: áp dụng công thức 1.

Bài 3: TÝnh c¸c tỉng sau:
a, F = 1

25 .27+
1
27 .29+

1

29. 31+. ..+

1
73 . 75 .
b, G = 15

90 . 94+
15
94 . 98+

15

98 . 102+.. .+
15

146 .150 .
c, H = 10

56+
10
140+

10

260+.. .+
10
1400 .
Híng dÉn: ¸p dụng công thức 1.

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi n N ta lu«n cã:
1

1 . 6+
1
6 . 11+

1

11.16+.. .+

1

(5<i>n</i>+1)(5<i>n</i>+6)=

<i>n</i>+1
5<i>n</i>+6 .

Hớng dẫn: Biến đổi vế trái về bằng vế phải.
Vế trái = 1

5.(
5
1 . 6+

5
6 . 11+

5

11.16+.. .+

5

(5<i>n</i>+1).(5<i>n</i>+6))

( áp dụng cơng thức 1 để tính trong ngoặc ).
Bài 5:Tìm x N biết:

x- 20_11.1320
13. 15

<i>−</i>20

15 .17 <i>−</i>. ..<i>−</i>
20
53 .55=

3
11 .
Híng dÉn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

1
21+

1
28+

1
36 +.. .+

2
<i>x</i>(<i>x</i>+1)=

2
9 .
Híng dÉn:

Bµi 7: Chøng minh r»ng:
a, A = 1

1 . 2. 3+
1
2 .3 . 4+

1

3 . 4 . 5+. . .+
1

18. 19 .20 <
1
4 .
b, B = 36

1 . 3. 5+
36
3 . 5. 7+

36

5. 7 . 9+. . .+
36

25. 27 . 29 <3.
Hớng dẫn: áp dụng công thức 2.

Bài 8: Chứng minh r»ng:
a, M= 1

22+
1
32+

1
42+. ..+

1

<i>n</i>2 <1 ( n N; n 2).
b, N=

2<i>n</i>¿2
¿
¿

1
42+

1
62+

1

82+.. .+

1

¿

(n N;n 2).

c, P= 2<i>!</i>
3<i>!</i>+

2<i>!</i>
4<i>!</i>+

2<i>!</i>
5<i>!</i>+.. .+

2<i>!</i>

<i>n!</i><1 ( n N;n 3).
Híng dÉn: a, M< _{1 . 2}1 + 1

2. 3+
1
3 . 4+. . .+

1
(<i>n −</i>1).<i>n</i> .

b, N = 1

22.(

1
22+

1
32+

1
42+.. .+

1

<i>n</i>2) (áp dụng phần a lµm tiÕp).
c, P = 2!.

1
2 . 3+

1
3 . 4+

1

4 . 5+.. .+
1
(<i>n −</i>1).<i>n</i>
1

3<i>!</i>+

1
4<i>!</i>+

1
5<i>!</i>+. ..+

1
<i>n !≤</i>2 .¿

.)
Bµi 9: Chøng minh r»ng:

1
26+

1
27+

1
28+. ..+

1
50=1<i>−</i>

1
2+

1
3<i>−</i>

1
4+.. .+

1
49<i>−</i>
1
50 .
Híng dÉn:
1
26+
1
27 +
1
28+. ..+

1
50
= 1+ 1

2+
1
3+. . .+

1
50 <i>−</i>(1+

1
2+

1

3+.. .+

1
25)
= 1+ 1

2+
1
3+. . .+

1
50 <i>−</i>2(

1
2+

1
4+

1
6+. ..+

1
50)
<i>⇒</i> ®pcm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62></div>

<!--links-->