Nhom Lie va dai so Lie

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (596.55 KB, 33 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ò AU

---



ỂU LUẬ

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

ĐẠI SỐ LIE

–

1.

2. Lê â

3. H L

4.

Lê

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Mục lục

Mục lục. . . . i

Ký hiệu trong tiểu luận. . . . ii

Chương 1.KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE. . . . 1

1.1.Định nghĩa và ví dụ. . . 1

1.2.Liên hệ giữa đại số và đại số Lie. . . 3

1.3.Đại số con và ideal. . . 5

1.4.Đồng cấu và đẳng cấu giữa các đại số Lie. . . 6

1.5.Toán tử vi phân. . . 7

1.6.Đại số Lie thương và tích nữa trực tiếp, cách cho đại số Lie. . . 10

1.7.Đại số Lie giải được và lũy linh . . . 14

1.8.Sơ lược về biểu diễn đại số Lie. . . 15

Chương 2.NHÓM LIE - BIỂU DIỄN NHÓM LIE. . . . 17

2.1.Định nghĩa . . . 17

2.2.Ví dụ. . . 18

2.3.Đại số Lie của nhóm Lie. . . 18

2.4.Ánh xạ mũ. . . 19

2.5.Đồng cấu nhóm Lie. . . 19

2.6.Biểu diễn nhóm Lie. . . 20

Chương 3.LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LIE. . . . 21

3.1.Định nghĩa . . . 21

3.2.Ví dụ. . . 21

3.3.Mơđun trên đại số Lie . . . 22

3.4.Môđum con và môđun thương. . . 24

3.5.Môđun khả phân và môđun bất khả phân. . . 25

3.6.Đồng cấu môđun. . . 27

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG TIỂU LUẬN

Matn(K) Tập tất cả các ma trận vng cấpntrên trườngK

Matn(K)−−−−→móc Lie gl(n,K) Đại số Lie tuyến tính tổng quát cấpntrênK

L(A) Đại số Lie liên kết với đại số A

A(L) Đại số liên kết với đại số Lie L

MorL(L1,L2) Tập tất cả các đồng cấu đại số Lie từL1vào L2trong phạm trùL

MorV := Hom(V1,V2) Tập tất cả các ánh xạ tuyến tính đi từV1vàoV2trong phạm trùV

Der(A) Tập tất cả các toán tử vi phân từ A vào A.

Der(A) −−−−→móc Lie Der(A) Đại số Lie các tốn tử vi phân trên A.

A =L −→ Der(L) Đại số Lie các toán tử vi phân trên L

End(H) Tập tất cả các tốn tử tuyến tính trên H

Tn(K) Tập các ma trận tam giác trên vuông cấpntrên trườngK

Tno(K) Tập các ma trận tam giác trên chặt vuông cấpntrên trườngK

gl(V) Tập tất cả các phép biến đổi tuyến tính từ V vào V

χ(G) Đại số Lie các trường véctơ khả vi trên trường G

GL(n,K) Tập tất cả các ma trận vuông cấpnkhả nghịch

Lie(G) Tập tất cảXχ(G)sao cho X bất biến trái

GL(V) Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính của V

sl(n,K) Tập tất cả các ma trận vng cấpncó vét bằng 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chương 1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE

1.1. Định nghĩa và ví dụ

1.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. ChoKlà một trường (thường giả sửch(K)=0) vàLmộtK-không gian véctơ.
Ta bảo Llà mộtK-đại số Lie nếu Lđược trang bị thêm một phép phân mà gọi là tích Lie (hay là
móc Lie)

[., .]: L×L−→ L

(x,y) 7−→[x,y]

được gọi là móc Lie hay tích Lie củaxvớiysao cho các tiên đề sau thỏa mãn

• (L1):[., .]song tuyến tính.

• (L2):[., .]phản xứng tức là[x,x] =0với mọix ∈ L.

• (L3):[., .]thỏa mãn đồng nhất Jacobi tức là[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] =0.

Nhận xét

• Trên mỗi K-khơng gian véctơ bất kỳ L đều có thể trang bị móc Lie tầm thường

[x,y] = 0với mọix,y∈ Lđể trở thành đại số Lie. Khi đó, ta gọiLlà đại số Lie giao
hốn.

• Xét tiên đề(L2):[x,x] =0vớix ∈ L. Ta có

0= [x+y,x+y] = [x,x] + [x,y] + [y,x] + [y,y]⇒[x,y] =−[y,x]

Khi đó,ch(K) 6=2thì(L2) : [x,x] =0 ⇔(L02) : [x,y] = −[y,x]. Nếuch(K) = 2thì

(L2)⇒(L02).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

• Mỗi đại số Lie là mỗi không gian véctơ nên số chiều của đại số Lie là số chiều của
khơng gian véctơ.

1.1.2. Ví dụ

Ví dụ 1.1.1. Dễ thấy(K,[., .] ≡0)làK-đại số Lienchiều giao hốn.

Ví dụ 1.1.2. R3với móc Lie là tích có hướng của hình sơ cấp là một đại số Lie khơng giao
hốn.

Bài tập 1.1. Chứng minh rằngR3với móc Lie là tích có hướng của hình sơ cấp là một đại
số Lie khơng giao hốn.

Ta định nghĩa móc Lie như sau

[., .] : R3×R3 −→R3

(x,y) 7−→[x,y] = x∧y

Khi đó, móc Lie sẽ thỏa mãn 3 tiên đề sau

• (L1): [., .]song tuyến tính.

Thật vậy, với mọi x(x1,x2,x3),y(y1,y2,y3),z(z1,z2,z3) ∈R3vàα,β∈ Kta có

∗ [αx+βy,z] = (αx+βy)∧z=α(x∧z) +β(y∧z) =α[x,z] +β[y,z].

∗ [x,αy+βz] = x∧(αy+βz) =α(x∧y) +β(x∧z) = α[x,y] +β[x,z].

• (L2): [., .]phản xứng.

Thật vậy, với mọi x∈ R3thì[x,x] =x∧x =0.

• (L3): [., .]thỏa mãn đồng nhất Jacobi.

Thật vậy, với mọi x(x1,x2,x3),y(y1,y2,y3),z(z1,z2,z3) ∈R3ta có

∗ [x,[y,z]] =x∧(y∧z)

∗ [z,[x,y]] =z∧(x∧y)

∗ [y,[z,x]] =y∧(z∧x)

Khi đó,[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] =0.

VậyR3với móc Lie như trên là một đại số Lie. Hơn nữa, nếu[x,y] = 0thìx,yphụ thuộc
tuyến tính hay cùng phương nên R3 với móc Lie như trên là một đại số Lie khơng giao
hốn.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài tập 1.2. Chứng minh rằng Matn(K) với móc Lie như trên là một đại số Lie khơng
giao hốn.

Ta định nghĩa móc Lie như sau

[., .]: Matn(K)×Matn(K) −→ Matn(K)
(a,b) 7−→[a,b] =ab−ba

Khi đó, móc Lie sẽ thỏa mãn 3 tiên đề sau

• (L1): [., .]song tuyến tính. Thật vậy, với mọia,b,c ∈ Matn(K)vàα,β∈ Kta có

[αa+βb,c] = (αa−βb)c−c(αa−βb)

=α(ac−ca) +β(bc−cb)

=α[a,c] +β[b,c]

Tương tự ta cũng kiểm tra được[a,αb+βc] = α[a,c] +β[a,c].

• (L2): [., .]phản xứng. Thật vậy, vì[a,a] = aa−aa=0với mọia ∈ Matn(K).

• (L3): [., .]thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi. Thật vậy, với mọia,b,c∈ Matn(K)ta có

∗ [a,[b,c]] = a(bc−cb)−(bc−cb)a =abc−acb−bca+cba

∗ [c,[a,b]] = c(ab−ba)−(ab−ba)c=cab−cba−abc+bac

∗ [b,[c,a]] = b(ca−ac)−(ca−ac)b=bca−bac−cab+acb

Khi đó,[a,[b,c]] + [c,[a,b]] + [b,[c,a]] =0.

Vậy Matn(K)với móc Lie như trên là một đại số Lie. Hơn nữa, với mọi a,b ∈ Matn(K)
sao cho

[a,b] = 0⇔ab−ba =0⇔ab=ba

thìa =b hoặca = I hoặc b = I. Do đó, Matn(K) với móc Lie như trên là một đại số Lie

khơng giao hốn.

Chú ý: Ta cịn ký hiệu Matn(K)bởi gl(n,K)được gọi làđại số Lie tuyến tính tổng quát cấp

ntrênK.

1.2. Liên hệ giữa đại số và đại số Lie

1.2.1. Khái niệm đại số

Định nghĩa 1.2.1. ChoKlà một trường và AmộtK-không gian véctơ. Ta bảo A là đại số trên

KhayK-đại số nếu Ađược trang bị phép nhân

·: A×A −→ A

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

được gọi là tích củaavớibđồng thời thỏa mãn các điều kiện sau

• (A1) :Phép·phân phối với phép+tức là với mọia,b,c ∈ Athì

a(b+c) = ab+acvà(a+b)c =ac+bc

• (A2) :Tính kết hợp của phép· với phép nhân vô hương tức là với mọia,b ∈ Avàα ∈ K

thì

α(ab) = (αa)b =a(αb)

Nhận xét

• Đại số Ađược gọi làđại số kết hợpnếu(ab)c =a(bc)với mọia,b,c ∈ A.

• Đại số Ađược gọi làđại số giao hoánnếuab=bavới mọia,b ∈ A.

• Đại số Ađược gọi làđại số phản giao hốnnếuab=−bavới mọia,b ∈ A.

• Thơng thường người ta xét đại số kết hợp nên gọi tắt là đại số.

• MỗiK-đại số kết hợp là cấu trúc tổng hịa của khơng gian véctơ và vành nếu thêm
tiên đề(A2).

• Một đại số tổng qt nói chung là khơng giao hốn và để do sự sai khác với tính
giao hốn ta xét tốn tử

[a,b] :=ab−ba,∀a,b ∈ A

A giao hoán⇔ [a,b] =0

1.2.2. Liên hệ giữa đại số và đại số Lie

Mệnh đề 1.2.1. MỗiK-đại số kết hợp Ađều trở thànhK-đại số Lie với móc Lie định nghĩa nhờ
toán tử

[a,b] :=ab−ba,∀a,b ∈ A

được ký hiệu L(A)và gọi là đại số Lie liên kết với đại số A.

Chứng minh.ĐểK-đại số kết hợp Ađều trở thànhK-đại số Lie với móc Lie định nghĩa
nhờ tốn tử

[a,b] :=ab−ba,∀a,b ∈ A

Ta kiểm tra 3 tiên đề về móc Lie như sau

• (L1): [., .]song tuyến tính. Thật vậy, vớia,b,c ∈ Avàα,β∈ Kta có

[αa+βb,c] = (αa+βb)c−c(αa+βb)

=α(ac−ca) +β(bc−cb)

=α[a,c] +β[b,c]

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

• (L2): [., .]phản đối xứng. Thật vậy, với mọia∈ Athì[a,a] = aa−aa=0.

• (L3): Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi. Thật vậy, với mọia,b,c ∈ Ata có

∗ [a,[b,c]] = a(bc−cb)−(bc−cb)a =abc−acb−bca+cba

∗ [c,[a,b]] = c(ab−ba)−(ab−ba)c=cab−cba−abc+bac

∗ [b,[c,a]] = b(ca−ac)−(ca−ac)b=bca−bac−cab+acb

Khi đó,[a,[b,c]] + [c,[a,b]] + [b,[c,a]] =0.

Mệnh đề 1.2.2. MỗiK-đại số Lie Lđều có thể xem làK-đại số với phép nhân chính là móc Lie
được ký hiệu A(L)và gọi là đại số liên kết với đại số Lie L. Đại số này không kết hợp, cũng khơng
giao hốn nếu móc Lie khơng tầm thường.

Chứng minh.Ta định nghĩa phép nhân chính là móc Lie tức làab= [a,b]với mọia,b ∈ L.
Ta kiểm tra 2 điều kiện của đại số như sau

• (A1) :Phép nhân phân phối với phép cộng. Thật vậy, với mọia,b,c ∈ Lta có

∗ a(b+c) = [a,b+c] = [a,b] + [a,c] = ab+bc

∗ (a+b)c = [a+b,c] = [a,c] + [b,c] = ac+bc

• (A2) : Phép nhân kết hợp với phép nhân vô hướng. Thật vậy, vớia,b ∈ Lvàα ∈ K

ta có

∗ α(ab) = α[a,b] = [αa,b] = (αa)b

∗ α(ab) = α[a,b] = [a,αb] = a(αb)

Khi đó,α(ab) = (αa)b =a(αb). Dễ thấy đại số này không kết hợp, cũng khơng giao

hốn nếu móc Lie khơng tầm thường.

1.3. Đại số con và ideal

1.3.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1. ChoLlà mộtK-đại số Lie và M là không gian véctơ con của L(khi xemLlà
khơng gian véctơ). Khi đó

• Nếu M đóng kín với móc Lie tức là[a,b] ∈ Mvới mọia,b ∈ Mthì M là đại số con củaL,
ký hiệu M⊂ LhoặcM <L.

• M là ideal của Lnếu[a,m] ∈ Mvới mọia∈ L,m∈ M, ký hiệu MCL.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1.3.2. Ví dụ

Ví dụ 1.3.1. {O}là ideal tầm thường, cịnLC Llà ideal khơng tầm thường.

1.4. Đồng cấu và đẳng cấu giữa các đại số Lie

1.4.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.4.1. Cho L,L0là cácK-đại số Lie. Ánh xạ f : L −→ L0 được gọi làK-đồng cấu
đại số Lie nếu f là ánh xạ tuyến tính và bảo tồn móc Lie, tức là với mọia,b∈ Lvàα,β∈ Kthì

• f(αx+βy) = αf(x) +βf(y)

• f ([a,b]) = [f(a), f(b)]

Ngồi ra, các khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, hạt nhân và ảnh được hiểu như các
khái niệm tương tự đại số tuyến tính.

Nhận xét.Cho f : L −→ L0 làK-đồng cấu đại số Lie. Khi đó

• Im f ={a0 ∈ L0 : ∃a ∈ L, f(a) = a0}là đại số con củaL0.

• Ker f ={a ∈ L: f(a) =0}là ideal của L.

1.4.2. Phạm trù các đại số Lie

Phạm trù các đại số LieLbao gồm

• Ob(L): Họ cácK-đại số.

• MorL(L1,L2) :là cácK-đồng cấu đại số Lie đi từL1vàoL2.

• Phép hợp thành là phép hợp thành cácK-đồng cấu đại số.
Phạm trù các khơng gian véctơVbao gồm

• Ob(V):Họ cácK-khơng gian véctơ.

• MorV(V1,V2):= Hom(V1,V2) :là các ánh xạ tuyến tính đi từV1vàoV2.

• Phép hợp thành là phép hợp thành cácK-ánh xạ tuyến tính.
Khi đó, ta có hai hàm tử sau

j: V−→L (Hàm tử nhúng)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

F :L−→ V (Hàm tử quên cấu trúc)

L7−→ F(L)

L0 7−→ F(L0)
Nhận xét

• F.j=idV

• j.F =F

1.5. Tốn tử vi phân

1.5.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.5.1. Cho A là một K-đại số. Ánh xạ ϕ : A −→ A được gọi là toán tử vi phân

(hay phép lấy đạo hàm trên A) nếu
i) ϕlà ánh xạK-tuyến tính.

ii) ϕthỏa mãn quy tắc Leibniz tức là ϕ(ab) = ϕ(a)b+aϕ(b).

Định nghĩa 1.5.2. Cho Llà mộtK-đại số Lie. Ánh xạ ϕ : L −→ Lđược gọi là toán tử vi phân

(hay phép lấy đạo hàm trên L) nếu
i) ϕlà ánh xạK-tuyến tính.

ii) ϕthỏa mãn quy tắc Leibniz tức là ϕ([a,b]) = [ϕ(a),b] + [a,ϕ(b)].

1.5.2. Ví dụ

Ví dụ 1.5.1. Mọi ánh xạ tuyến tính có thể xem tốn tử vi phân trên đại số Lie giao hốn.

Ví dụ 1.5.2. (Tốn tử phụ hợp) Cho Llà K-đại số Lie. Lấy bất kỳx ∈ L và cố định x. Xét
ánh xạ

adx : L−→ L

y7−→ adx(y):= [x,y]
Mệnh đề 1.5.1. adxlà toán tử vi phân trên Lvới mọix ∈ L.

Chứng minh.Để chứng minhadx là toán tử vi phân trênLvới mọix ∈ Lta cần kiểm tra
2 điều kiện sau

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

ii) adx thỏa mãn quy tắc Leibniz tức là adx([y,z]) = [adx(y),z] + [y,adx(z)] với mọi

y,z∈ L. Thật vậy, áp dụng đồng nhất thức Jacobi ta có

adx([y,z]) = [x,[y,z]] =−[z,[x,y]]−[y,[z,x]]

= [[x,y],z] + [y,[z,x]]
= [adx(y),z] + [y,adx(z)]
Ta gọiadx là toán tử phụ hợp củaLliên kết vớix ∈ L.

1.5.3. Đại số các toán tử vi phân

Cho AlàK-đại số. Đặt Der(A) :={ϕ: A −→ A|ϕlà tốn tử vi phân}. Khi đó,Der(A)là
K- không gian véctơ.

Mệnh đề 1.5.2. Der(A)làK-đại số kết hợp với phép nhân chính là phép hợp thành các ánh xạ.

Chứng minh.Ta định nghĩa phép nhân chính là phép hợp thành các ánh xạ. Ta kiểm tra
2 điều kiện của đại số như sau

• (A1) : Phép nhân phân phối với phép cộng. Thật vậy, với mọi f,g,h ∈ Der(A) và

a∈ A, ta có

∗ [f(g+h)] (a) = f [(g+h)(a)] = f[g(a) +h(a)] = f g(a) + f h(a)nên

f(g+h) = f g+ f h

∗ [(f +g)h] (a) = (f +g) [h(a)] = f h(a) +gh(a)nên

(f +g)h = f h= gh

• (A2) :Phép nhân kết hợp với phép nhân vô hướng. Thật vậy, với mọi f,g ∈ Der(A)

vàa∈ A,α ∈K, ta có

∗ [α(f g)] (a) = f [αg(a)] = (αf) [g(a)] = [(αf)g] (a)nên
α(f g) = (αf)g

∗ [α(f g)] (a) = f [g(αa)] = [f(αg)] (a)nên
α(f g) = f(αg)

Khi đó, α(f g) = (αf)g = f(αg). Hơn nữa, với mọi f ∈ Der(A) nên f là toán tử vi

phân đồng thời là ánh xạK-tuyến tính nên ln thỏa mãn tính chất kết hợp các ánh
xạ. VậyDer(A)làK-đại số kết hợp với phép nhân chính là phép hợp thành các ánh
xạ.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1.5.4. Biểu diễn chính quy

Định lí 1.5.1. ChoLlàK-đại số Lie. Khi đó, ánh xạ

ad : L−→ Der(L)

x7−→ ad(x) = adx

là mộtK-đồng cấu đại số Lie.

Chứng minh.Để chứng minhadlàK-đồng cấu đại số Lie, ta cần kiểm tra 2 điều kiện sau

• adlà ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với mọix,y,z ∈ Lvàα,β∈ Kta có

ad(αx+βy)(z) = ad(αx+βy)(z) = [αx+βy,z]

=α[x,z] +β[y,z]

=adx(z) +ady(z)
=ad(x)(z) +ad(y)(z)

Do đóad(αx+βy) = αad(x) +βad(y).

• adbảo tồn móc Lie. Thật vậy, với mọix,y,zta có

ad([x,y]) (z) = ad[x,y](z) = [[x,y],z]

=−[[z,x],y]−[[y,z],x]
= [x,[y,z]]−[y,[x,z]]

=ad(x).ad(y)(z)−ad(y).ad(x)(z)
= [ad(x)ad(y)−ad(y)ad(x)] (z)
= [ad(x),ad(y)] (z)

Do đóad([x,y]) = [ad(x),ad(y)].

Định nghĩa 1.5.3. Đồng cấu đại số Liead : L −→ Der(L)được gọi là biểu diễn chính quy của

Ltrên chínhL.

Ví dụ 1.5.3. Hãy xác định biểu diễn chính quy của đại số Lie L=R3với móc Lie

[x,y] = x∧y,∀x,y∈ R3

Trong L=R3có cơ sở chính tắce1(1, 0, 0),e2(0, 1, 0)vàe3(0, 0, 1). Khi đó

[e1,e2] = e3,[e2,e3] = e1,[e3,e1] =e2

Với x(x1,x2,x3),y(y1,y2,y3) ∈ R3thì

[x,y] = xy=

x2 x3

y2 y3

x3 x1

y3 y1

x1 x2

y1 y2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Lấy x(x1,x2,x3) ∈ L =R3thì

adx : L−→ L

y7−→ adx(y):= [x,y]
Ma trận củaadxtrong cơ sở chính tắc là

adx = [adx(e1)adx(e2)adx(e3)] =







0 −x3 x2

x3 0 −x1

−x2 x1 0







Đặc biệt

ade1 =







0 0 0

0 0 −1

0 1 0







,ade2 =







0 0 1

0 0 0

−1 0 0







,ade3 =







0 −1 0

1 0 0

0 0 0







Khi đóad : L−→ Der(L) ≡ Mat3(R)vớiadx(x1,x2,x3) =







0 −x3 x2

x3 0 −x1

−x2 x1 0







, trong đó móc
Lie là tốn tử hai ma trận.

Nhận xét

• Im(ad):=đại số Lie LcủaDer(L)≡ Mat3(R)gồm các ma trận phản đối xứng.

• Ker(ad):={x(x1,x2,x3) ∈ L|adx =0}=0nên adđơn cấu.

1.6. Đại số Lie thương và tích nữa trực tiếp, cách cho đại số

Lie

1.6.1. Đại số Lie thương

Cho L là K-đại số Lie và I là ideal của L. Xem L,I là các không gian véctơ nên tồn tại
không gian thương

L/I ={x:= x+I|x ∈ L}

Với phép toán như sau

x+y =x+y

αx =αx

Trên L/I ta xét móc Lie

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

thì L/I được gọi làđại số Lie thươngcủa L theo ideal I. Ta sẽ chứng minh rằng việc định
nghĩa móc Lie như vậy là hợp lý. Thật vậy, nếu có a,b ∈ L/I sao cho x = a,y = b thì

a−x,b−y ∈ I. Do đó

[a,b] = [x+ (a−x),y+ (b−y)] = (x,y) + [x,b−y] + [a−x,y] + [a−x,b−y]

Suy ra

[a,b]−[x,y] = [x,b−y] + [a−x,y] + [a−x,b−y] ∈ I

Bây giờ ta sẽ kiểm tra móc Lie trên thỏa mãn 3 tiền đề về móc Lie như sau

• (L1):Hiển nhiên[., .]song tuyến tính.

• (L2): [., .]phản xứng vì[x,x] = [x,x] = 0với mọix∈ L/I.

• (L3): [., .]thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi. Thật vậy, với mọix,y,z∈ L/I ta có

[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]]
= [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]]
=0

Suy ra[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] =0

Vậy L/Ivới móc Lie như trên làK-đại số Lie.

1.6.2. Tích nữa trực tiếp các đại số Lie

Định nghĩa 1.6.1. Cho A và H làKđại số Lie.End(H)là tốn tử tuyến tính trên H với móc Lie
cho bởi toán tử (Der(H) ⊂ End(H)). Giả sửθ : A −→ End(H)làK-đồng cấu đại số Lie. Đặt

L= A⊕Hlà tổng trực tiếp khi xem A, H làK-không gian véctơ, tức là

L={a+h|a∈ A,h∈ H}
với cấu trúcK-tuyến tính như sau

• (a,h) + (b,k) = (a+b,h+k),∀(a,h),(b,k) ∈ L

• α(a,h) = (αa,αh),∀(a,h)∈ L,α ∈K

Trên L ta trang bị móc Lie như sau

[(a,h),(b,k)] = ([a,b], 0) + (0,[h,k]) + (0,θ(a)(k)) + (0,−θ(b)(h)),∀(a,h),(b,k)∈ L

thì L trở thànhKđại số Lie. Khi đó, L được gọi là tích nữa trực tiếp của A với H bởiθ.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

• (L1):Dễ dàng kiểm tra được[., .]song tuyến tính.

• (L2): [., .]phản xứng vì

[(a,h),(a,h)] = ([a,a], 0) + (0,[h,h]) + (0,θ(a)(h)) + (0,−θ(a)(h)) = (0, 0),∀(a,h) ∈ L

• (L3): [., .]thỏa đồng nhất thức Jacobi. Thật vậy, với mọi(a,h),(b,k),(c,l) ∈ Lta có

∗ [(a,h),[(b,k),(c,l)]] = · · · ·
∗ [(c,l),[(a,h),(b,k)]] = · · · ·
∗ [(b,k),[(c,l),(a,h)]] = · · · ·

Suy ra[(a,h),[(b,k),(c,l)]] + [(c,l),[(a,h),(b,k)]] + [(b,k),[(c,l),(a,h)]] = 0

Vậy L với móc Lie như trên làK-đại số Lie.
Nhận xét.

• Khiθ ≡0là đồng cấu khơng thì L là tích nữa trực tiếp của A với H.

• Hai ánh xạ

iA : A −→ L iH : H −→ L

a 7−→iA(a) := (a, 0) h 7−→iH(h):= (0,h)

Ta thường đồng nhất A ≡ Im(iA) tức là đồng nhấta ≡(a, 0)vàH ≡ Im(iH) tức là
đồng nhấth ≡(0,h).

Mệnh đề 1.6.1. Chứng minh rằng

A≡ Im(iA) <LvàH ≡ Im(iH)CL

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh A ≡ Im(iA) < L. Hiển nhiên Im(iA) là khơng
gian véctơ con củaL. Ta kiểm tra Im(iA)đóng kín với móc Lie. Thật vậy, với mọi

(a, 0),(b, 0) ∈ Im(iA)thì

[(a, 0),(b, 0)] = ([a,b], 0) + (0,[0, 0]) + (0,θ(a)(0)) + (0,−θ(b)(0))

≡[a,b] +θ(a)(0)−θ(b)(0)

= [a,b]∈ Im(iA)

Tiếp theo ta chứng minh H ≡ Im(iH) C L. Hiển nhiên H là khơng gian véctơ con của L.
Ta cịn kiểm tra[(b,k),(0,h)] ∈ Im(iH)với mọi(b,k) ∈ L,(0,h)∈ Im(iH). Thật vậy

[(b,k),(0,h)] = ([b, 0], 0) + (0,[k,h]) + (0,θ(b)(h)) + (0,−θ(0)(k))

≡([b, 0], 0) + [k,h] +θ(b)(h)−θ(0)(k)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1.6.3. Vài cách cho đại số Lie

Có hai cách cho đại số Lie.

• Cách cho đại số Lie nhờ hằng số cấu trúc. Để cho đại số Lie nchiều trên trườngK,
trước hết ta cần cho K-không gian véctơ nchiều L với cơ sở (e1,e2, ...,en) sau đó ta
xác định móc Lie trên L, cụ thể ta cần định nghĩa

ei,ej

:=
n

∑

k=1

ckijekvới1≤i <j ≤n
BộnC2n =

n2(n−1)

2 vô hướng

Cijk|1≤i <j ≤n, 1≤k ≤nogọi làhằng số cấu trúc

của L. Đồng nhất thức Jacobi đối với bộ baei,ej,ek, 1 ≤i < j<k≤ncho ta

ei,ej

,ek

[ek,ei],ej

ej,ek

,ei

⇔h

∑

cijlel,ek

−

∑

cikmem,ej

∑

cpjkep,ei

⇔

∑

clij[el,ek]−

∑

cmik

em,ej

∑

cjkp

ep,ei

⇔

∑ ∑

clijcqlkeq−

∑ ∑

cmikcqmjeq+

∑ ∑

cjkpcqpieq =0

⇔

∑

q=1

∑

clijcqlk −

∑

cmikcmjq +

∑

cpjkcqpieq =0

⇔

∑

clijcqlk−

∑

cmikcqmj+

∑

cpjkcqpi =0 ∈K

Trong đó,ckii =0,∀i =1,n,k =1,nvàcijk =−ckji, 1 ≤i< j ≤n,k =1,n. Tóm lại, để
choK-đại số Lienchiều ta cần cho cơ sở(e1,e2, ...,en) và bộn2(n−1) vơ hướngckij
sao cho








ckii =0

ckij =−ckji

∑clijcqlk−∑cmikcqmj+∑cjkpcqpi =0

Lúc đó, với mọix =∑xiei,y =∑yjej ∈ Lthì
[x,y] =h

∑

xiei,

∑

yjej

∑

ckijxiyjek

• Cách cho đại số Lie nhờ tích nữa trực tiếp. Giả sử A, H là haiK-đại số Lie đã biết và

θ : A −→End(H), ký hiệu L =H là tích nữa trực tiếp của A với H bởiθ.

Ví dụ 1.6.1. Chẳng hạn, xét đại số Lie 3 chiều R3 với móc Lie là tích có hướng của hình
học sơ cấp. Chọn cơ sở chính tắce1(1, 0, 0),e2(0, 1, 0),e3(0, 0, 1). Khi đó

∗ [e1,e2] =e3nên c121 =c212 =0,c312 =1.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

∗ [e1,e3] =−e2nên c131 =c313 =0,c213 =−1.

Tóm lại, đại số Lie nêu trên có hằng cố cấu trúc

(

c312 =1,c123 =1,c213 =−1

còn lại bằng 0

1.7. Đại số Lie giải được và lũy linh

1.7.1. Xây dựng khái niệm

Cho L làK-đại số Lie. Đặt

L1 =L1= [L,L] :={[x,y]|x,y∈ L};

L2 := [L1,L1],L2:= [L,L1]; ...

Ln := [Ln−1,Ln−1],Ln := [L,Ln−1],∀n>1

Mệnh đề 1.7.1.

i) Ln C L,Ln CL,Ln C Ln.

ii) ....⊂ L2⊂ L1 ⊂L (1)

....⊂ L2⊂ L1 ⊂L (2)

iii) ∃m∈ N∗,∃p ∈N∗sao cho

Lm =Lm+1 =· · · =L∞ vàLp= Lp+1 =· · · =L∞

Định nghĩa 1.7.1.

• (1) được gọi là chuỗi các iedal dẫn xuất (chuỗi dẫn xuất) của L.

• (2) được gọi là chuỗi các iedal hợp thành (chuỗi hợp thành) của L.

1.7.2. Đại số Lie giải được và lũy linh

Định nghĩa 1.7.2. L được gọi là đại số Lie giải được nếuL∞ =0.

Định nghĩa 1.7.3. L được gọi là đại số Lie lũy linh nếuL∞ =0.

Nhận xét

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

• L là đại số Lie giải được⇔ ∃m∈ N∗ đểLm = Lm+1 =· · · =0. Sốmnhỏ nhất thỏa
điều kiện đó gọi làbậc giải được của L.

• L là đại số Lie lũy linh ⇔ ∃p ∈ N∗ để Lp = Lp+1 = · · · = 0. Số p nhỏ nhất thỏa

điều kiện đó gọi làbậc lũy linh của L.

• Tên gọi "giải được" có nguồn gốc từ tính giải được các phương trình trên nhóm Lie
tương ứng với đại số Lie.

• Tên gọi "lũy linh" là do tính chất sau

L lũy linh ⇔adx lũy linh, tức là∀x ∈ L,∃m inN∗đểadmx =0

Ví dụ 1.7.1. Đặt Tn(K) := a= (aij)n ∈ Matn(K)|aij =0, 1 ≤ j<i≤n gọi là tập ma

trận các tam giác trên. Tno(K) :=

a= (aij)n ∈ Matn(K)|aij =0 , 0 ≤ j ≤ i ≤ ngọi làtập

ma trận các tam giác trên chặt. Hiển nhiênTno(K) ⊂Tn(K) ⊂Matn(K).
Mệnh đề 1.7.2.

i) Tn(K)là đại số Lie con củaMatn(K)và là đại số Lie giải được.

ii) Tno(K)là đại số Lie con củaMatn(K)và là đại số Lie lũy linh.

1.8. Sơ lược về biểu diễn đại số Lie

1.8.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.8.1. Cho L là mộtK-đại số Lie vàV là không gian véctơ. Mỗi đồng cấu đại số Lie

f : L −→ gl(V)được gọi là một biểu diễn của L trong không gian véctơ V. Khi đó, V được gọi là
khơng gian biểu diễn của L.

Khi f đơn cấu thìL≡ Imhgl(V)ithì ta nói f làbiểu diễn khớp.

Ghi chú. End(V) := gl(V) là K-đại số tuyến tính trên V. Với lấy móc Lie là toán tử ta
nhận được đại số Liegl(V). Khi cố định một cơ sở của V(dimV =n)thì

gl(V) ≡ gl(n,K) ≡Matn(K)

Mệnh đề 1.8.1. Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn khớp trong một khơng
gian véctơ hữu hạn chiều nào đó, tức là mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có thể xem là đại số con
của đại số các ma trận.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

i) Mọi đại số Lie giải được hữu hạn chiều đều tồn tại ít nhất một biểu diễn khớp mà ảnh là con
của đại số Lie các ma trận tam giác trên, tức là mọi đại số Lie giải được đều có thể xem là con
của đại số Lie các ma trân tam giác trên.

ii) Mọi đại số Lie lũy linh hữu hạn chiều đều tồn tại ít nhất một biểu diễn khớp mà ảnh của nó
là con của đại số Lie các ma trận tam giác trên chặt, tức là mọi đại số Lie lũy linh đều có thể

xem là con đại số Lie các ma trân tam giác trên chặt.

Kết hợp mệnh đề 1.8.1 và mệnh đề 1.8.2 để nghiên cứu đại số Lie hữu hạn chiều chỉ
nghiên cứu đại số Lie các ma trận và đại số con của nó.

1.8.2. Ví dụ kinh điển

Xét đại số Lienchiều tổng quát L trên trườngK. ChọnV =Lxem làK-không gian véctơ.
Khi đó

ad : L −→ Der(L) ⊂gl(V)

x 7−→ad(x):=adx

Vìadlà một đồng cấu đại số Lie nênadlà một biểu diễn của L trong chính nó. Ta đã biết

adlà biểu diễn chính quy hay biểu diễn phụ hợp của L nên

Ker(ad) :={x ∈ L|ad(x) =0}

={x ∈ L|adx(y) = [x,y] =0,∀y ∈ L}
=Z(L)

Như vậy,adkhớp⇔Z(L) = 0.

Lấy đối ngẫu thìV∗ = HomK(V)là đối ngẫu của V. Xét

ad∗ : L−→ gl(V∗)

x7−→ ad∗(x)

Trong đó ad∗ được xác định bởi

ad∗(x): V∗ −→ V∗

f 7−→ ad∗(x)(f)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Chương 2

NHÓM LIE - BIỂU DIỄN NHÓM LIE

2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1. Mỗi nhóm Lie G là một nhóm (với phép nhân) đồng thời là một đa tạp vi phân
sao cho các phép tốn sau là khả vi.

· : G×G−→ G

(x,y)7−→ xy

(·)−1 : G−→ G
x7−→ x−1

Nhận xét

• Số chiều của nhóm Lie là số chiều của đa tạp vi phân.

• Có thể thay tính khả vi của phép tốn·và(·)−1bởi tính khả vi ca ỏnh x

GìG G

(x,y)7 xy1

ã Khỏi nim nhúm Tụpụ (l nhóm, đồng thời là đa tạp vi phân với hai phép tốn trên
là liên tục) có trước khái niệm nhóm Lie.

• Lalà phép tịnh tiến trái, đồng thời là vi phôi.

La : G−→ Gvớia ∈ Gvà cố địnha

x7−→ La(x) :=ax

Ra là phép tịnh tiến phải, đồng thời là vi phôi.

Ra : G−→ Gvớia ∈ Gvà cố định a

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

• Xétχ(G)là đại số Lie các trường véctơ khả vi trên G. Xem La∗,Ra∗ là các tương ứng

La∗ : χ(G) −→χ(G)

X 7−→La∗(X)

Ra∗ : χ(G) −→χ(G)

X 7−→Ra∗(X)

ở đó,La∗,Ra∗ được xác định như sau

La∗(X) : G −→G

x 7−→La∗(X)x :=La∗(Xa−1x)

Ra∗(X) : G −→G

x 7−→Ra∗(X)x :=Ra∗(Xxa−1)

2.2. Ví dụ

Ví dụ 2.2.1. G= (Rn,+)là nhóm Lie giao hốnn- chiều.
Ví dụ 2.2.2. G= (Rn,·)là nhóm Lie giao hốn1- chiều.
Ví dụ 2.2.3. G=S1 =

(x,y) ∈ R2|x1+y2 =1 là nhóm Lie giao hốn 1 - chiều.

Ví dụ 2.2.4. G = S3 = (x,y,z,t)∈ R4|x2+y2+z2+t2 =1 là nhóm Lie khơng gian

hốn 3 - chiều.

Ví dụ 2.2.5. G = GL(n,K) = A = (aij)n|Akhả nghịch thì(G,·) là nhóm khơng giao
hốnn2- chiều. Bây giờ ta sẽ chứng minhGL(n,K)là đa tạp vi phân. Thật vậy, ánh xạ

det : Mat(n,R) ≡Rn2 −→R

A 7−→detA:=

∑

σ∈sn

sign(σ)a1σ(1)· · ·anσ(n)

det−1(R):={A∈ Mat(n,R)|detA 6=0} ≡ GL(n,R) ⊂ Mat(n,R)

Vậy GL(n,R)là đa tạp con mởn2- chiều củaRn2 ≡ Mat(n,R).

2.3. Đại số Lie của nhóm Lie

Cho G là nhóm Lie và X ∈ χ(G). Khi đó, X gọi làbất biến tráinếu La∗(X) = X,∀a ∈ G.

Đặt

Lie(G) :=

X ∈ χ(G)|Xbất biến trái

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Định nghĩa 2.3.1. Lie(G)là đại số Lie của nhóm Lie G.

Nhận xét.Để cho X ∈ Lie(G)chỉ cần choXe với elà đơn vị của G. Lúc đó,Xx = La∗(Xe)

và

Lie(G) −→Te(G)

X 7−→Xe
là đẳng cấu tuyến tính.

Ví dụ 2.3.1. Lie(Rn,+) =Rnlà đại số Lie giao hốn n- chiều.
Ví dụ 2.3.2. Lie(Rn,·) = Rlà đại số Lie giao hốn 1 - chiều.
Ví dụ 2.3.3. Lie(GL(n,R)) = gl(nR)≡ Mat(n,R)

2.4. Ánh xạ mũ

Định nghĩa 2.4.1. Cho G là nhóm Lie vàX ∈ Lie(G). Khi đó, X đầy và sinh ra nhóm 1 - tham
số(x(t))t∈R ⊂G. Ta định nghĩaexp(X) :=x(0)với

exp : Lie(G) −→ G
X 7−→exp(X)

gọi là ánh xạ mũ.

Nhận xét

• exp(tX) = x(t),∀t∈ R.

• expvi phơi địa phương.

Ví dụ 2.4.1. G=GL(n,R),Lie(G) = gl(n,R)thì

exp : gl(n,R) −→ GL(n,R)

A7−→exp(A) :=
n

∑

k=1

Ak
k!

2.5. Đồng cấu nhóm Lie

2.5.1. Đồng cấu nhóm Lie

Định nghĩa 2.5.1. Mỗi đồng cấu nhóm Lie là đồng cấu nhóm, đồng thời là ánh xạ khả vi.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2.5.2. Tính chất tự nhiên của ánh xạ exp

f //

Lie(G1)

exp

f∗ //

Lie(G2)

exp

trong đó, f : G1 −→G2đồng cấu nhóm Lie và

f∗ : Lie(G1) −→ Lie(G2)

X 7−→ f∗X

với(f∗X)e := f∗(Xe).

2.6. Biểu diễn nhóm Lie

Định nghĩa 2.6.1. Cho G là nhóm Lie, V là khơng gian véctơ thực và GL(V) là nhóm các tự
đẳng cấu tuyến tính của V. Mỗi đồng cấu ρ : G −→ GL(V) được gọi là biểu diễn (tuyến tính)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Chương 3

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LIE

3.1. Định nghĩa

Định nghĩa 3.1.1. Cho L là đại số Lie trên trườngKvà V là không gian véctơ. Đồng cấu đại số
Lie ϕ: L −→ gl(V)là một biểu diễn của L. Khi đó, V cũng được gọi là biểu diễn của L.

Nhận xét

• NếuKerϕ=0thì ϕđược gọi là biểu diễn khớp.

• NếuL <gl(V)và với ánh xạ đồng nhấtid : gl(V) −→ gl(V)thì ánh xạ hạn chế

ϕ≡id|L : L −→ gl(V)

x 7−→ ϕ|L(x) :=id(x)

gọi là đồng cấu đại số Lie tầm thườngvà là biểu diễn tự nhiên. Biểu diễn tự nhiên này
luôn là biểu diễn khớp.

• Đồng cấu đại số Lie ϕ: L −→ gl(n,K)được gọi làbiểu diễn ma trận.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 3.2.1. Ánh xạ phụ hợp

ad : L−→ gl(L)

x 7−→ad(x):= adx

với mọiy∈ Lthìadx(y) := [x,y]là đồng cấu đại số Lie. Khi đó,adđược gọi làbiểu diễn phụ

hợpcủa L. DoKer(adx) = Z(L)nên adxlà biểu diễn khớp khi và chỉ khiZ(L) =0. Chẳng
hạn, khi xét L =sl(2,C)có cơ sở là(h,e, f)vớih =

1 0

0 −1

,e=

0 1
0 0

, f =

0 0
1 0

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

adh : sl(2,C) −→sl(2,C)

a 7−→adh(a) := [h,a]
Khi đó



















adh(h) = [0] =0h+0e+0f

adh(e) =

0 2
0 0

=0h+2e+0f
adh(f) =

0 0

−2 0

=0h+0e−2f

Suy ra ma trận biểu diễn của adh =







0 0 0

0 2 0

0 0 −2







. Bằng cách làm tương tự ta có thể tìm
được ma trận biểu diễn củaade,adf.

Ví dụ 3.2.2. Mỗi đại số Lie đều có biểu diễn tầm thường bằng cách định nghĩa

ϕ: L −→ gl(K)

x 7−→ ϕ(x) :=0

Đây không phải là biểu diễn khớp với L khác không.

3.3. Môđun trên đại số Lie

Định nghĩa 3.3.1. Cho L là đại số Lie trên trườngKvà V là không gian véctơ. Một môđun Lie
L hay L-môđun làK-khơng gian véctơ V cùng với ánh xạ

θ : L×V V

(x,v) 7(x,v) :=xÃv

tha món 3 iu kin sau

ã (M1): (x+ày)Ãv=(xÃv) +à(yÃv)

ã (M2): xÃ(v+àw) = (xÃv) +à(xÃw)

ã (M3): [x,y]Ãv=xÃ(yÃv)yÃ(xÃv)

vi mix,y L,v,w Vv,à K.

Nhn xột

ã iu kin(M1)v(M2)cho ta l ỏnh x song tuyến tính.

• NếuL <gl(V)thì dễ dàng kiểm tra được V là L-mơđun, trong đóx·vlà ảnh củav

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

• Từ(M2)suy ra với mỗix ∈ Lthì ánh xạv 7−→x·vlà tự đồng cấu tuyến tính trên V.

Vì vậy, các phần tử của L tác động lên V bằng một ánh xạ tuyến tính.
Mệnh đề 3.3.1. V là biểu diễn của L và trở thành L-môđun nếu ta định nghĩa

x·v:= ϕ(x)(v), vớix ∈ L,v∈ V

Chứng minh.Do V là biểu diễn của L nên ϕ: L −→ gl(V)là đồng cấu đại số Lie. Bây giờ

ta kiểm tra 3 điều kiện của L - mơđun như sau

• (M1): (αx+βy)·v=α(x·v) +β(y·v),∀x,y ∈ L,v,w∈ V vàα,β∈K. Thật vậy

(αx+βy)·v= ϕ(αx+βy)(v)

=αϕ(x)(v) +βϕ(y)(v)

=α(x·v) +β(y·v)

• (M2):Tương tự ta cũng kiểm tra được x·(αv+βw) =α(x·v) +β(x·w).

• (M3): [x,y]·v=x·(y·v)−y·(x·v)với mọix,y∈ L,v ∈ V. Thật vậy

x·(y·v)−y·(x·v) = ϕ(x)(y·v)−ϕ(y)(y·v)

= ϕ(x)ϕ(y)(v)−ϕ(y)ϕ(x)(v)

= (ϕ(x)ϕ(y)−ϕ(y)ϕ(x)) (v)

= ϕ([x,y]) (v)

= [x,y]·v

Mệnh đề 3.3.2. V là L-môđun và trở thành biểu diễn của L nếu

ϕ: L−→ gl(V)

x7−→ ϕ(x)

trong đó, ϕ(x)được xác định bởi ánh xạ tuyến tínhv 7−→x·vvới mọiv ∈ V.

Chứng minh.Để V là biểu diễn của L ta chứng minh ϕlà đồng cấu đại số Lie. Hiển nhiên
ϕlà ánh xạ tuyến tính, ta chứng minhϕbảo tồn móc Lie, tức là ϕ([x,y]) = [ϕ(x),ϕ(y)],

với mọix,y ∈ L. Thật vậy, với mọiv ∈V ta có

ϕ([x,y]) (v) = [x,y]·v

=x·(y·v)−y·(x·v)

= ϕ(x)ϕ(y)(v)−ϕ(y)ϕ(x)(v)

= (ϕ(x)ϕ(y)−ϕ(y)ϕ(x)) (v)

= [ϕ(x),ϕ(y)] (v)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

3.4. Môđum con và môđun thương

Định nghĩa 3.4.1. Cho V là L-môđun của đại số Lie L và W là khơng gian véctơ con của V. Khi
đó, W được gọi là môđun con của V nếu với mỗix ∈ Lvàw ∈W thìx·w ∈W.

Nhận xét

• Trong ngơn ngữ của lý thuyết biểu diễn đại số Lie người ta cịn gọimơđun conlàbiểu
diễn con.

• Đại số Lie L trở thành L-mơđun với biểu diễn phụ hợp thì mơđun con của L là ideal
của L.

Ví dụ 3.4.1. Nếu đại số Lie L trở thành L-mơđun với biểu diễn phụ hợp thì mọi ideal của
L đều là mơđun con của L.

Ví dụ 3.4.2. Lấy L = Tn(K) và đặtV =Kn thì V là L-môđun tự nhiên. Cho(e1,e2, ...,en)
là cơ sở tự nhiên củaKn. Với mỗir =1,nta đặtWr :=Span{e1,e2, ...,er}thìWr là mơđun
con củaKn.

Hiển nhiên Wr là không gian véctơ con của Kn, ta chứng minh với mọi x ∈ Tn(K) và

w ∈ Wr thì x·w ∈ Wr. Do Kn là L-mơđun tự nhiên nên x·v := ϕ(x)(v) với mọi x ∈

Tn(K),v∈ Kn, trong đó ϕ: Tn(K) −→ gl(Kn)là biểu diễn tự nhiên củaTn(K). Do vậy

x·w= ϕ(x)(w)

= ϕ(x)(w1e1+· · ·+wrer)

=w1ϕ(x)(e1) +· · ·+wrϕ(x)(er)
=w1e1+· · ·+wrer ∈Wr

Định nghĩa 3.4.2. Giả sử W là môđun con của L-môđun V ta trang bị cho không gian thương

V/W cấu trúc của L-môđun như sau

x·(v+W) := (x·v) +W,∀x ∈ L,v∈ V

Khi đó,V/Wtrở thành L-mơđun thương.

Trước tiên, ta chứng minh việc định nghĩa cấu trúc L-môđun trên không gian thương

V/W là hợp lý. Thật vậy, lấy tùy ýv+W =u+W ∈ V/Wnênv−u∈ Wta có

x·(v+W)−x·(u+W) = x·(v−u) +W =0+W ∈W

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

• (M1): (αx+βy)·(v+W) =α[x·(v+W)] +β[y·(v+W)]với mọix,y ∈ L;u,v∈

V vàα,β∈ K. Thật vậy

(αx+βy)·(v+W) = [(αx+βy)·v] +W

= [α(x·v) +β(y·v)] +W

=α(x·v) +W+β(y·v) +W

=α[x·(v+W)] +β[y·(v+W)]

• (M2):Tương tự ta cũng chứng minh được

x·[α(v+W) +β(u+W)] =α[x·(v+W)] +β[x·(v+W)]

• (M3) : [x,y]·(v+W) = x·[y·(v+W)]−y·[x·(v+W)] với mọi x,y ∈ L và

v+W ∈V/W. Thật vậy

[x,y]·(v+W) = ([x,y]·v) +W

= [x·(y·v)−y·(x·v)] +W

=x·[(y·v) +W]−y·[(x·v) +W]
=x·[y·(v+W)]−y·[x·(v+W)]

Ví dụ 3.4.3. Giả sử I là ideal của đại số Lie L và I là môđun con của L khi xem L là
L-môđun với biểu diễn phụ hợp. Khi đó, khơng gian véctơ thươngL/Ilà L-mơđun thương
cấu trúc L-môđun như sau

x·(y+I) :=ad(x)(y) +I = [x,y] +I,∀x,y∈ L

Dễ dàng kiểm tra được việc định nghĩa cấu trúc L-môđun là hợp lý và thỏa mãn 3 điều
kiện của L-môđun. Hơn nữa, L/I cũng là đại số Lie nên nó cũng trở thành L/I-môđun.
Đồng thời, môđun thươngL/Ilà biểu diễn phụ hợp của L/I trên chính nó.

3.5. Mơđun khả phân và mơđun bất khả phân

Định nghĩa 3.5.1. Môđun Lie V được gọi là khả phân (hay còn gọi là đơn) nếu V khác khơng và
khơng có mơđun con nào ngồi{0}và V.

Nhận xét.

a) Một biểu diễn của đại số Lie L được gọi làkhả phânnếu nó khơng chứa một biểu diễn
con thực sự.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ví dụ 3.5.1. Nếu V là L-mơđun 1-chiều thì V là khả phân. Chẳng hạn, biểu diễn tầm

thường ln khả phân.

Ví dụ 3.5.2. Nếu L là đại số Lie đơn và trở thành L-môđun với biểu diễn phụ hợp là khả
phân. Chẳng hạn,sl(2,C)là mơđun khả phân.

Ví dụ 3.5.3. Nếu L là đại số Lie phức giải được thì tất cả biểu diễn khả phân của L là
1-chiều.

Mệnh đề 3.5.1. V là môđun khả phân nếu và chỉ nếu bất kỳ v 6= 0mà v ∈ V thì mơđun con

U =hvichứa tất cả phần tử của V.

Chứng minh.

• ⇒)Do V là mơđun khả phân nên chỉ có 2 mơđun con là{0}và V. Hơn nữa,U =hvi

là môđun con khác không của V nênU =V. Vậy U chứa tất cả các phần tử của V.

• ⇐) Hiển nhiên {0} là mơđun con V, ta chứng minh rằng bất kỳ môđun con khác
khơng nào của V cũng chính là V. Lấy bất kỳ môđun con thực sự W của V nên tồn
tại 0 6= v ∈ W. Do đó, mơđun conU = hvichứa tất cả phần tử của V nênU = V

(U = hvi là môđun khác không). Hơn nữa,U ⊂ W nên W = V. Vậy V là môđun
khả phân.

Định nghĩa 3.5.2. Nếu V là L-môđun sao choV =U⊕Wvới U, W là hai L-mơđun con của V
thì V được gọi là tổng trực tiếp của L-môđun U và W.

Nhận xét.NếuV = L

α∈I

Uα thì V gọi là tổng trực tiếp của họ L-môđun con{Uα}α∈I.
Định nghĩa 3.5.3. L-môđun V được gọi là bất khả phân nếu không tồn tại môđun con khác không
U, W của V sao choV =U⊕W.

Định nghĩa 3.5.4. L-môđun V được gọi là khả quy hồn tồn (hay cịn gọi là nửa đơn) nếu

V =S1⊕S2· · · ⊕Sk vớiSilà môđun khả phân
Nhận xét

• Một biểu diễn V của L gọi làkhả phân hồn tồnnếu nó là tổng trực tiếp của các biểu
diễn khả phân.

• Nếu V là mơđun khả phân thì V là mơđun bất khả phân.

Ví dụ 3.5.4. Cho L =d(n,K)là đại số con củagl(n,K). Môđun tự nhiên V = Kn là khả
quy hồn tồn vì nếu Si := Span{ei} thì Si là mơđun con khả phân 1-chiều của V và

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

3.6. Đồng cấu môđun

Định nghĩa 3.6.1. Cho L làK-đại số Lie và W, V là L-môđun. Đồng cấu L-môđun hay đồng cấu
Lie là ánh xạ tuyến tínhθ: V −→ Wthỏa mãn

θ(x·v) = x·θ(v)với mọiv∈ Vvàx∈ L

Nhận xét

• Một đồng cấu của biểu diễn ϕV : L −→ gl(V),ϕW : L−→ gl(W)của đại số Lie L là
ánh xạ tuyến tính

θ : V −→W

thỏa mãnθ◦ ϕV = ϕW◦θ.

• Các khái niệm toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu, Ker, Im được hiểu như các khái niệm
trong đại số tuyến tính.

Định lí 3.6.1. (Định lí đẳng cấu)

i) Nếu θ : V −→ W đồng cấu L-mơđun thì Kerθ là L-mơđun con của V và Imθ là L-môđun

con của W và có phép đẳng cấu L-mơđunV/Kerθ ∼= Imθ.

ii) Nếu U và W là mơđun con của V thìU+WvàU∩Wlà mơđun con của V và

(U+W)/W ∼=U/(U∩W)

iii) Nếu U và W là môđun con của V sao cho U ⊆ W thì W/U là môđun con của V/U và
môđun thương(V/U)/(W/U)là đẳng cấu vớiV/W.

Chứng minh.

i) Theo đại số tuyến tính thìKerθ,Imθlần lượt là khơng gian véctơ con củaV,W.

• Với mọi u ∈ Kerθ vàx ∈ Lthìθ(x·u) = x·θ(u) = 0nên x·u ∈ Kerθ. Do vậy,

Kerθlà L-mơđun con của V.

• Với mọi p∈ Imθ vàx ∈ Lthì∃v∈ V : θ(v) = p. Hơn nữa

θ(x·v) = x·θ(v) = x·p ∈ Imθ

Do vậy,Imθlà L-môđun của của W.

Ta định nghĩa ánh xạ

ϕ:V/Kerθ −→ Imθ

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

định nghĩa này là hợp lí bởi vì nếu cóv+Kerθ =u+Kerθ thìv−u ∈ Kerθ. Do vậy
ϕ(x+Kerθ) = θ(v) = θ(u) = ϕ(u+Kerθ)

Ta chứng minh ϕ là đẳng cấu L-môđun. Thật vậy, do θ là ánh xạ tuyến tính nên ϕ

cũng là ánh xạ tuyến tính. Mặt khác

x·ϕ(v+Kerθ) = x·θ(v)

=θ(x·v)

= ϕ(x·(v+Kerθ))

Do đó, ϕlà đồng cấu L-mơđun. Ta lại có

Kerϕ={v+Kerθ ∈ V/Kerθ|ϕ(v+Kerθ) =0} ={v+Kerθ ∈V/Kerθ|θ(v) =0}

={v+Kerθ ∈V/Kerθ|v∈ Kerθ}=0

Suy ra ϕđơn cấu. Hơn nữa, với mọiy ∈ Imθthì∃v ∈V :θ(v) =ytức là
ϕ(v+Kerθ) = y∈ Imϕ

Suy ra ϕtồn cấu. Vậy ϕlà đẳng cấu L-mơđun tức làV/Kerθ ∼= Imθ.

ii) Dễ kiểm tra được rằngU+WvàU∩W là môđun con của V, ta chứng minh

(U+W)/W ∼=U/(U∩W)

Ta định nghĩa ánh xạ

f :U −→ (U+W)/W
u7−→ f(u):=u+W

định nghĩa này là hợp lí bởi vì nếu cóu= p ∈ Uthì f(u) = u+W = p+W = f(v),
ta sẽ chứng minh f là đồng cấu L-môđun. Thật vậy, với mọiu,p ∈ Uvàα,β ∈ Kta

có

f(αu+βp) = (αu+βp) +W =α(u+W) +β(p+W) = αf(u) +βf(p)

nên f là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, với mọiu ∈Uvàx ∈ Lthì

f(x·u) = (x·u) +W = x·(u+W) = x· f(u)

Do đó, f là đồng cấu L-môđun. Mặt khác

Ker f ={u ∈U|f(u) = 0}

={u ∈U|u+W =0}

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Áp dụng i) ta đượcU/(U∩W) ∼= Im f. Ta lại có, với mọiu+w+W ∈ (U+W)/W

thì

u+w+W =u+W = f(u)∈ f(U)

nên f toàn cấu tức là Im f =U+W/W. VậyU/U∩W ∼=U+W/W

iii) Dễ kiểm tra được rằngW/Ulà môđun con củaV/U, ta chứng minh

(V/U)/(W/U) ∼=V/W

VìU ⊆W nên tồn tại ánh xạ

g :V/U −→V/W

v+U 7−→g(v+U) :=v+W

ta sẽ chứng minhg là đồng cấu L-mơđun. Dễ kiểm tra đượcglà ánh xạ tuyến tính,
bây giờ ta chứng minh rằng với mọiv+U ∈ V/Uvàx∈ Lthì

g(x·(v+U)) =x·g(v+U)

Thật vậy,g(x·(v+U)) = (x·(v+U)) +W =x·(v+W) = x·g(v+U). Hơn nữa

Kerg={v+U|g(v+U) =0}

={v+U|v+W =0}

={v+U|v ∈W} =W/U

Áp dụng i) ta được (V/U)/(W/U) ∼= Img. Mặt khác, với mọi v+W ∈ V/W thì

v+W =g(v+U) ∈ g(V/U)nên gtoàn cấu tức là Img=V/W. Vậy

(V/U)/(W/U) ∼=V/W

3.7. Bổ đề Shur’s

Bổ đề 1. (Bổ đề Shur’s)Cho L là đại số Lie phức và S là L-môđun khả phân. Ánh xạ

θ :S −→ S

là đồng cấu L-môđun nếu và chỉ nếuθchính là phép nhân vơ hướng với phép biến đổi đồng nhất,

tức làθ =λ1S vớiλ∈ C.
Chứng minh.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

• ⇒)Doθlà đồng cấu L-mơđun nên có thể xemθlà ánh xạ tuyến tính của khơng gian

véctơ phức. Do đó, θcó giá trị riêng, giả sử là λ. Khi đó,θ−λ1S cũng là đồng cấu
L-môđun và Ker(θ−λ1S)chứa véctơ riêng ứng với giá trị riêngλcủaθ và cũng là

mơđun con khác rỗng của S. Vì S khả phân nên Ker(θ−λ1S) = S. Suy raθ = λ1S
vớiλ ∈C.

Bổ đề 2. Cho L là đại số Lie phức và V là L-môđun khả phân. Nếu z ∈ Z(L) thì ztác động bởi
phép nhân vơ hướng trên V, tức là∃λ ∈Csao choz·v=λv,∀v ∈V.

Chứng minh.Do V là L-môđun khả phân nên với mỗiz∈ Z(L)thì ánh xạ tuyến tính

ϕz : V −→V

v 7−→ ϕz(v):=z·v
là đồng cấu L-mơđun bởi vì với x∈ Lthì

z·(x·v) = x·(z·v)−[x,z]·v =x·(z·v) + [z,x]·v=x·(z·v)

Áp dụng bổ đề Shur’s∃λ∈ Csao cho ϕz(v) = λ1V(v), tức là

</div>

Nhom Lie va dai so Lie

<b> </b>

<b> </b>

<b> Ò AU </b>

---



<b> ỂU LUẬ </b>

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

ĐẠI SỐ LIE

<b> – </b>

1.

2.

Lê â

3. H L

<b>4. </b>

<b> </b>

Lê

<b>Mục lục</b>

<b>MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG TIỂU LUẬN</b>

<b>Chương 1</b>

<b>KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE</b>

<b>1.1. Định nghĩa và ví dụ</b>

<b>1.1.1. Định nghĩa</b>

<b>1.1.2. Ví dụ</b>

<b>1.2. Liên hệ giữa đại số và đại số Lie</b>

<b>1.2.1. Khái niệm đại số</b>

<b>1.2.2. Liên hệ giữa đại số và đại số Lie</b>

<b>1.3. Đại số con và ideal</b>

<b>1.3.1. Định nghĩa</b>

<b>1.3.2. Ví dụ</b>

<b>1.4. Đồng cấu và đẳng cấu giữa các đại số Lie</b>

<b>1.4.1. Định nghĩa</b>

<b>1.4.2. Phạm trù các đại số Lie</b>

<b>1.5. Tốn tử vi phân</b>

<b>1.5.1. Định nghĩa</b>

<b>1.5.2. Ví dụ</b>

<b>1.5.3. Đại số các toán tử vi phân</b>

<b>1.5.4. Biểu diễn chính quy</b>

<b>1.6. Đại số Lie thương và tích nữa trực tiếp, cách cho đại số</b>

<b>Lie</b>

<b>1.6.1. Đại số Lie thương</b>

<b>1.6.2. Tích nữa trực tiếp các đại số Lie</b>

<b>1.6.3. Vài cách cho đại số Lie</b>

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

<b>1.7. Đại số Lie giải được và lũy linh</b>

<b>1.7.1. Xây dựng khái niệm</b>

<b>1.7.2. Đại số Lie giải được và lũy linh</b>

<b>1.8. Sơ lược về biểu diễn đại số Lie</b>

<b>1.8.1. Định nghĩa</b>

<b>1.8.2. Ví dụ kinh điển</b>

<b>Chương 2</b>

<b>NHÓM LIE - BIỂU DIỄN NHÓM LIE</b>

<b>2.1. Định nghĩa</b>

<b>2.2. Ví dụ</b>

∑

<b>2.3. Đại số Lie của nhóm Lie</b>

<b>2.4. Ánh xạ mũ</b>

∑

<b>2.5. Đồng cấu nhóm Lie</b>