3 Toán 10 năm 2021 sở GD&ĐT Quảng Nam - TOANMATH.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM. KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021. ĐỀ CHÍNH THỨC. Môn thi : TOÁN 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 20/03/2021. Câu 1 (5,0 điểm). a) Giải phương trình 3 x  1  3 3  x  4  x 2  4 x  3  2  0.  y  2 x  xy  0 b) Giải hệ phương trình  2  x  2 x  y  3  2( y  3 x  2) 2 x  1  0 Câu 2 (4,0 điểm).   x  1  3  x. khi x  3.  x  6 x  12. khi x  3. a) Cho hàm số y  . 2. có đồ thị (C).. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) có tung độ bằng 4. b) Cho parabol ( P ) : y  x  bx  c . Tìm các hệ số b, c để ( P ) đi qua A(2;1) và cắt trục hoành tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC đều, với I là đỉnh của ( P ). 2. Câu 3 (4,0 điểm). 1 trên nửa khoảng 1;   . 2x b) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x  y  xy  3.. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  3x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . y y x x   x  3y y  3x. Câu 4 (3,0 điểm). a) Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC , N nằm trên cạnh CD sao cho NC  2 ND, K là trung điểm của AB . Hai điểm I , J lần lượt là trọng tâm của hai tam giác AMN , BCN .    Hãy biểu thị vectơ IJ theo hai vectơ AB, AD và chứng minh IJ vuông góc với DK .   1500. Điểm M nằm trên cạnh BC b) Cho tam giác ABC có AB  2 3, AC  4, BAC.   1200. Tính độ dài các đoạn thẳng MB , MC . sao cho BAM Câu 5 (4,0 điểm). a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3;1) và đường thẳng (d) có phương trình 2 x  y  1  0 . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng (d) tại B(1;3).. b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại B. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC và I (7;3) là trọng tâm của tam giác ABN . Điểm E thuộc cạnh AC sao cho IE  IA ( E khác A ) và đường thẳng IE có phương trình x  2 y  13  0 . Điểm M thuộc đường thẳng ( d1 ) : x  3 y  12  0 , B thuộc đường thẳng. ( d 2 ) : x  y  2  0 và A có hoành độ lớn hơn 5. Tìm tọa độ các điểm A, B, C. –––––––––––– Hết –––––––––––– Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …..………………………….………. Số báo danh: ……….……….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM. KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN 10 (Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang). Câu. Đáp án a) Giải phương trình 3 x  1  3 3  x  4  x  4 x  3  2  0 2. Điểm 2,5. Điều kiện: 1  x  3.. 3 x  1  4  x2  4x  3  3 3  x  2  0  3( x  1  3  x )  4 ( x  1)(3  x )  2  0 (1) Đặt t . x  1  3  x (t  0)  t 2  2  2 ( x  1)(3  x ). Phương trình (2) trở thành: 3t  2(t 2  2)  2  0. t  2   2t  3t  2  0    t   1 (loai)  2 2. t 2. x  1  3  x  2  x  2 (thỏa).. Câu 1 b) Giải hệ phương trình (5,0 điểm).  y  2 x  xy  0  2  x  2 x  y  3  2( y  3 x  2) 2 x  1  0. 1 , y0 2 y  2 x  xy  0  ( y  x)  ( x  xy )  0  ( y  2 x )( y  x )  0. Điều kiện x .  y  2 x  0 ( y  x  0)  y  4 x Khi đó pt thứ hai viết lại: x 2  2 x  3  2( x  2) 2 x  1  0. x. 2.  4 x  4   2( x  2) 2 x  1  (2 x  1)  0. .  x  2  2x 1 . . 2. 0. x  2 2x 1  x  2   2  x5 x  6x  5  0. Suy ra được nghiệm của hệ: (5 ; 20).. Trang 1/6. 2,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>   x  1  3  x khi x  3 a) Cho hàm số y   2 có đồ thị (C). khi x  3  x  6 x  12 Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) có tung độ bằng 4. . 2,0. y   x  1  3  x ( x  3). y  4  x 1 3  x  4  3  x  x  3 x  3  0  x  3   2 2 3  x  ( x  3) x  7x  6  0.  x  3   x  1  A(1; 4)  x  1  x  6 2  y  x  6 x  12 ( x  3)  x  2(loai) y  4  x 2  6 x  12  4    B(4; 4) x  4 Vậy có hai điểm thỏa đề A(1; 4), B(4; 4). b) Cho parabol ( P ) : y  x  bx  c . Tìm các hệ số b, c để ( P ) đi qua A (2;1) và cắt 2. trục hoành tại hai điểm B , C sao cho tam giác IBC đều, với I là đỉnh của ( P ). Câu 2 (4,0 điểm).  Parabol. y  x 2  bx  c. đi qua A(2;1) nên 2b  c   3 (1).  Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục hoành là x  bx  c  0 (*) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt B, C 2  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    b  4c  0 2. b 4c  b2 I (  ; )  Parabol (P) có đỉnh 2 4  Giả sử : B ( x1 ; 0), C ( x2 ; 0) ; trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của pt (*) Tam giác IBC đều khi IH  BC.. 3 4c  b 2 3   x1  x2 . 2 4 2. (4c  b2 )2 3 (4c  b 2 )2 3  ( x1  x2 )2  4 x1 x2  .   (b 2  4c). 16 4 16 4  (b 2  4 c) 2  12(b 2  4c )  b 2  4c  12 (2) .  2b  c   3.  b  8 b  0 hoặc  .  c  13  c  3 b  4c  12. Từ (1) và (2) ta có hệ : . 2. Trang 2/6. 2,0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  3x . f ( x )  3x . 1 trên nửa khoảng 1;   . 2x. 1,5. 1 5x  x 1      2x 2  2 2x . 5.1 x 1 7 2   2 2 2x 2 x  1  Dấu “ = ” xảy ra khi  x 1  x  1.   2 2 x . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên nửa khoảng 1;   là b) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy  3. Câu 3 (4,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . x x  x  3y. Đặt t  x  y , t  0 , ta có: 3  x  y  xy  x  y . y y y  3x. . ( x  y )2 t2 t 4 4.  t 2  4t  12  0  (t  6)(t  2)  0  t  2 . Suy ra x  y  2 (dấu “=” xảy ra khi x  y  1 ). P. . x x  x  3y. y y y  3x. . 2 x2 2 y2  4 x( x  3 y ) 4 y ( y  3x). 4x2 4 y2 (bất đẳng thức Côsi)  5 x  3 y 5 y  3x. 4( x  y )2 a 2 b2 (a  b)2 (bất đẳng thức với x  0, y  0 )   8( x  y ) x y x y x y  1 2 Suy ra: P  1 , P  1  x  y  1 . Vậy min P  1 khi x  y  1 . . Trang 3/6. 7 . 2 2.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của BC , N nằm trên cạnh CD sao cho NC  2 ND, K là trung điểm của AB . Hai điểm I , J lần lượt là    trọng tâm của hai tam giác AMN , BCN . Hãy biểu thị IJ theo hai vectơ AB, AD ; chứng minh IJ vuông góc với DK ..    IJ  AJ  AI 1    1     AB  AC  AN  AA  AM  AN 3 3      1 1 1  AB  AC  AM 3 3 3. . . .  . 1,5. . 1  1   1   1   AB  AB  AD   AB  AD  3 3 3 2 . . . 1  1  AB  AD 3 6.   1  1  1   IJ .DK  ( AB  AD)( AB  AD ) 3 6 2 1 1  AB 2  AD 2  0 6 6 Suy ra IJ vuông góc với DK ..   1500. Điểm b) Cho tam giác ABC có AB  2 3, AC  4, BAC   1200. Tính MB , MC . BC sao cho BAM Câu 4 (3,0 điểm). MB S AMB  MC SAMC. BC . M nằm trên cạnh. 1  . AB. AM .sin BAM 3 2   1  2 . AM . AC.sin MAC 2.   2 13 AB 2  AC 2  2. AB. AC.cos BAC. 3 6 13 BC  5 5 2 4 13 MC  BC  5 5 Cách khác : S ABC  S AMB  S AMC 1   1 . AB. AM .sin BAM   1 .AM .AC.sin MAC   . AB. AC.sin BAC 2 2 2 1 1 1  .2 3.4.sin1500  .2 3. AM .sin1200  . AM .4.sin 300 2 2 2 MB . 1 1 1 3 1 1 4 3  .2 3.4.  .2 3. AM .  . AM .4.  AM  2 2 2 2 2 2 5   6 13 AB 2  AM 2  2. AB. AM .cos BAM 5   4 13 MC  AM 2  AC 2  2. AM . AC .cos MAC 5 MB . Trang 4/6. 1,5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3;1) và đường thẳng (d) có phương trình 2 x  y  1  0 . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc. 1,5. với đường thẳng (d) tại B(1;3). + Gọi I ( a ; b ) là tâm của đường tròn (C).   BI  (a  1; b  3)  + (d) có một vectơ chỉ phương là u  (1; 2) + Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) tại B(1;3) nên   BI .u  0  1( a  1)  2(b  3)  0  a  2b  7 (1) + Đường tròn (C) đi qua A(3;1) nên AI  BI  a  b  0 (2) 7 7 7 Từ (1) và (2) suy ra a  b  . Suy ra I ( ; ). 3 3 3. 2 5 . 3 7 7 20 Suy phương trình đường tròn (C): ( x  )2  ( y  )2  3 3 9 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại B. Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC và I (7;3) là trọng tâm của tam giác ABN . Điểm E thuộc cạnh AC sao cho IE  IA ( E khác A ) và đường thẳng IE có phương trình x  2 y  13  0 . Điểm M thuộc đường thẳng ( d1 ) : x  3 y  12  0 , B Bán kính của đường tròn là R  IA . thuộc đường thẳng ( d 2 ) : x  y  2  0 và A có hoành độ lớn hơn 5. Tìm tọa độ Câu 5 các điểm A, B, C. (4,0 điểm). (HV: 0,25 điểm)   90 0 . Chứng minh được tứ giác BINE nội tiếp và suy ra BIE Viết được phương trình đường thẳng BI là 2 x  y  11  0. Mặt khác B thuộc ( d 2 ) : x  y  2  0 ,suy ra B(3; 5). M thuộc (d1 )  M (12  3m; m)    m  3  M (3;3) MB.MI  0     m  1  M (9;1).  A(3;11) (loai)  . Vậy M (9;1), A(15;7).  A(15;7)   MN  3MI  N (3; 7) Suy ra ptđt AC là y  7  C (  9; 7).. Trang 5/6. 2,5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ghi chú:  Trong những ý chưa phân rã ra 0,25đ thì nếu cần Ban Giám khảo có thể thống nhất rã ra chi tiết 0,25đ, nhưng lưu ý tổng điểm cả ý đó vẫn không đổi ;  Nếu học sinh có cách giải khác đúng, chính xác và logic thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho điểm phù hợp với Hướng dẫn chấm.. Trang 6/6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>