Cong thuc va Bai tap nguyen ham va tich phan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.2 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM

1. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

( )

c '=0 (c là hằng số) 2/

( )

m m 1

x '=mx

-3/

(

sinx '

)

=cosx

(

cosx '

)

= - sinx 5/

(

)

1
tan x '

cos x
=

(

)

1
cot x '

sin x
=

-7/

( )

x x

a '=a lna

( )

x x

e '=e

(

)

1
ln x '

x
=
2. Các nguyên hàm cơ bản:

( )

ò

dx= +x c

( )

(

)

n 1

n x

2 x dx c n 1

n 1
+

= + ¹

ị

( )

3 dx ln x c

x = +

ò

( )

3' dx 1ln ax b c

ax b+ = a + +

ò

( )

4 e dxx =ex+c

ò

( )

4' eax bdx 1eax b c
a

+ = + +

ò

(

a¹ 0

)

( )

5 a dxx ax c

lna

= +

ị

( )

ò

sinxdx= - cosx c+

( )

ò

sin ax b dx

(

)

= - 1acos ax b

(

)

( )

ò

cosxdx=sinx c+

( )

ò

cos ax b dx

(

)

= a1sin ax b

(

)

( )

2
dx

8 tanx c

cos x = +

ò

( )

9 cot x c

sin x = - +

ò

( )

ò

tanxdx= - ln cosx +c

( )

10'

ò

cot xdx=ln sinx +c

( )

dx 1 x 1

11 ln c

2 x 1

x 1

-= +

-ò

( )

2 2

dx 1 x a

11' ln c

2a x a

x a

-= +

-ò

( )

2
dx

12 ln x x k c

x +k = + + +

ò

( )

13 x2 1dx x x2 1 1ln x x2 1 c

2 2

+ = + + + + +

ò

( )

14 x2 kdx x x2 k kln x x2 k c

2 2

+ = + + + + +

ị

3. Tính chất:

1. ( ) ( )

2. ( ) ( ) ( ) ( )

kf x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx



    

 



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. f(x) = x2 – 3x + 1

x ĐS. F(x) =
x3

3 −
3x2

2 +lnx+C

2. f(x) = 2x

x2 ĐS. F(x) =

2x3

3 −
3

x+C

3. f(x) = x −1

x2 ĐS. F(x) = lnx +

x + C

4. f(x) =

x2−1¿2
¿
¿
¿

ĐS. F(x) = x3

3 −2x+
1

x+C

5. f(x) =

√

x+

√

3x+

√

4x ĐS. F(x) = 2x

3
2

3 +
3x

4
3

4 +
4x

5
4

5 +C

6. f(x) = 1

√

x−

√

x ĐS. F(x) = 2

√

x −3
3

√

x2+C

7. f(x) =

√

x −1¿2
¿
¿
¿

ĐS. F(x) = x −4

√

x+lnx+C

8. f(x) = x −3 1

√

x ĐS. F(x) = x
5
3− x

2
3

+C
9. f(x) = 2 sin2 x

2 ĐS. F(x) = x – sinx + C

10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C

11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 1

2x+
1

4sin 2x+C

12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13. f(x) = 1

sin2x. cos2x ĐS. F(x) = tanx - cotx + C

14. f(x) = cos 2x

sin2x. cos2x ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C

15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = −1

3cos 3x+C

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = −1

5cos 5x −cosx+C

17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = 1

2e

2x− ex

+C

18. f(x) = ex(2 + e

− x

cos2x ¿ ĐS. F(x) = 2e

x + tanx + C

19. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = 1

3e

3x+1

+C
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng

1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3

2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2x −x

3 +1

3. f’(x) = 4

√

x − x và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 8x

√

x

3 −

x2

2 −

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tính I =



f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
1. Đặt t = u(x) ⇒dt=u '(x)dx

2. I =



f[u(x)].u'(x)dx=



f(t)dt
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:



(5x −1)dx 2.

3−2x¿5
¿
¿
dx





√

5−2xdx 4.



√

2x −1

5. 2x

+1¿7xdx
¿



6. x

+5¿4x2dx
¿





√

x2+1 . xdx 8.



x

x2+5dx



3x

√

5+2x3dx 10.

√

x¿2

√

x¿

dx
¿



11.



ln3x

x dx 12.



x.e

x2
+1

13.



sin4xcos xdx 14.



sinx

cos5x dx 15.



cot gxdx 16.



costgxdx2x

17.



sinx 18.



cosx 19.



tgxdx 20.



e√x

√

xdx

21.



e

xdx

√

ex−3 22.



etgx

cos2x dx 23.



√

1− x

2. dx 24.



√

4− x2

25.



x2

√

1− x2. dx 26.



dx1

+x2 27.



x2dx

√

1− x2 28.



dxx2

+x+1

29.



cos3xsin2xdx 30.



x

√

x −1. dx 31.



ex

+1 32.



x3

√

x2+1. dx

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I



u(x).v '(x)dx=u(x).v(x)−



v(x).u'(x)dx
Hay:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:



x. sin xdx 2.



xcosxdx 3.



(x2+5)sin xdx 4.



(x2+2x+3)cos xdx



xsin2 xdx 6.



xcos2 xdx 7.



x.exdx



ln xdx



xln xdx 10.



ln2xdx 11.



ln xdx

√

x 12.



e

√xdx

13.



x

cos2x dx 14.



xtg
2xdx

15.



sin

√

xdx 16.



ln(x2+1)dx
17.



ex. cosxdx 18.



x3ex2dx 19.



xln(1+x2)dx 20.



2xxdx

21.



xlg xdx 22.



2xln(1+x)dx 23.



ln(1+x)

x2 dx 24.



x2cos 2 xdx

TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa:

Cho hàm số f x

( )

lên tục trên đoạn é ùê úë ûa,b, F x

( )

là một nguyên hàm của f x

( )

. Tích phân của

( )

f x

trên đoạn é ùê úë ûa,b là một số thực. Kí hiệu:

( )

f x dx

ò

và được xác định bởi :

( )

f x dx=F b - F a

ò

Người ta thường dùng kí hiệu

( )

b
a
F x

é ù

ê ú

ë û (hoặc

( )

b
a
F x

) để chỉ F b

( )

- F a

( )

Khi đó:

( )

b
a
a

f x dx= êéëF x ùúû

ị

2. Các phương pháp tính tích phân:

a. Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức

( )

b
a
a

f x dx= êéëF x ùúû

ị

b. Phương pháp đổi biến.

Tính I = [ ( )]. '( )

b

a f u x u x dx



bằng cách đặt u = u(x)

1. Đặt u = u(x) du u x dx '( )
2. Đổi cận:

x a b
u u(a) u(b)

3. I =  

 

[ ( )]. '( )

b u b

a f u x u x dx  u a f u du



c. Dùng công thức tích phân từng phần:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b b

b
a

a a

udv=é ùê úë ûuv - vdu

ị

*Chú ý: Kí hiệu P x

( )

là đa thức của x thì :

+ Nếu gặp

( )

x
sinx

P x . cosx dx

é ù

ê ú

ë û

ò

thì đặt u=P x

( )

+ Nếu gặp

ị

P x ln x dx

( ) ( )

thì đặt u=ln x

Bài 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1
3
0

(x  x 1)dx



2
2
1

1 1

( )

e

x x dx
x x

  



2
1

x dx



2
3

(2sinx 3cosx x dx)



 



1
0

( x )

e x dx



1
3
0

(x x x dx)



2
1

( x1)(x x1)dx



2
3

(3sinx 2cosx )dx

x



 



2
0

(ex x 1)dx

 



10.

2 3

(x x x x dx)



11.

2
1

( x1)(x x1)dx



12.

3
3
1

x

1 dx

(

).







13.

2

2
2
-1

x.dx

x





14.
2

7x 2 x 5

dx

x





15.

x 2

dx

x



2 





16.

2
2
1

x 1 dx

x

x x

(

).

ln





17.

2 3
3
6

x dx

x

cos

.

sin





18.

4
2
0

tgx dx

x

.

cos





19.

1 x x
x x
0

e

dx










20.

1 x
x x
0

e dx

e

.







21.

2
2
1

dx

4x



8x



22.

x x
0

dx

e

.







22.

dx

1 sin

x







24.



−1
1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

25.



0
2

(2x3− x −2

3)dx 26.



−2

x(x −3)dx 27.



−3
4

(x2−4)dx

28.



1
2

(

x12+

x3

)

dx 29.



x2−2x

x3 dx 30.



e

√e
dx

x

31.



1
16

√

x. dx 32.



e2

√

x+5−7x

x dx 33.



1
8

(

4x − 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN:

1.
2
3 2
3

sin xcos xdx






2.
2
2 3
3

sin xcos xdx





3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx





3.
4
0
tgxdx




4.
4
6
cotgxdx





6
0

1 4sinxcosxdx






6.
1
2
0
1

x x  dx



7.
1
2
0
1

x  x dx



8.
1

3 2
0
1

x x  dx



9.
1 2
3
0 1
x
dx
x 



10.
1
3 2
0
1

x  x dx



11.
2
3

1
1
1dx

x x 



12.
1
2
0
1
1x dx



13.
1
2
1
1

2 2dx

x x




 
14.
1
2
0

1
1dx
x 



15.
1
2 2
0
1
(1 3 ) x dx



16.
2
sin
4
x
e cosxdx





17.
2
4
sin
cosx
e xdx






18.
2
1
2
0
x

e  xdx



19.
2
3 2
3

sin xcos xdx






20.
2
sin
4
x

e cosxdx





21.
2
4
sin
cosx
e xdx





22.
2
1
2
0
x

e  xdx



23.

3 2
3

sin xcos xdx






24.
2
2 3
3

sin xcos xdx






25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx





26.
4
0
tgxdx




27.
4
6
cotgxdx





28.
6
0

1 4sinxcosxdx






29.
1
2
0

x x  dx



30.
1
2
0
1

x  x dx



31.
1
3 2
0
1

x x  dx



32.
1 2
3
0 1
x
dx

x 



33.
1
3 2
0
1

x  x dx



34.
2
3
1
1
1dx

x x 



35. 1

1 ln
e
x
dx
x





36. 1

sin(ln )
e
x
dx
x



37. 1

1 3ln ln

e
x x
dx
x




38.
2ln 1
1

e e x

dx
x





39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x




40.
2
2
1
(1 ln )

e

dx
cos  x



41.

11 1
x

dx
x

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

42.

0 2 1
x
dx
x



43.
1
0
1

x x dx



44.
1
0
1
1 dx

x  x



45.
1
0
1
1 dx

x  x



46.
3
1
1
x
dx
x




47. 1

1 ln
e
x
dx
x




48. 1

sin(ln )
e x
dx
x



49. 1

1 3ln ln

e
x x
dx
x




50.

2ln 1
1

e e x

dx
x




51.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x




52.
1
2 3
0

5 



x

dx

53.





2
4

sin 1 cos







x xdx

54.

4 

x dx



55.

4 

x dx



56.
1
2
0

1 dx

x





57.



−1
0

e2x+3

58.



0
1

e− xdx

59.

3
0

x dx

(2x 1)



60.
1
0
x dx

2x 1



61.

1
0

x 1 xdx



62.
1
2
0

4x 11 dx

x 5x 6


 



63.
1
2
0

2x 5 dx

x 4x 4


 



64.
3 3
2
0
x dx

x 2x 1



65.
6
6 6
0

(sin x cos x)dx






66.
3
2
0

4sin x dx
1 cosx





67.
4
2
0
1 sin2xdx
cos x





68.
2
4
0
cos 2xdx




69.
2
6

1 sin2x cos2xdx
sin x cosx



 




70.
1
x
0
1 dx

e 1



71.

cos4x −sin4x

(¿)dx



0
π
4
¿

72.



0
π
4
cos2x

1+2sin 2xdx

73.



π

sin 3x

2 cos 3x+1dx

74.



π

cosx

5−2 sinx dx

75.



−2
0

2x+2

x2+2x −3dx

76.



−1
1

x2+2x+5

77.

3 2

cos xsin xdx





78.
2
5
0
cos xdx




79.
4
2
0

sin 4x dx
1 cos x






80.
1
3 2
0

x 1 x dx



81.

2 3
0

sin 2x(1 sin x) dx






82.
4
4
0
1 dx
cos x




83.
e
1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

85.

e 2

1 ln xdx
x





86.

5 3 6

x (1 x ) dx



87.
6
2
0

cosx dx

6 5sin x sin x


 



88.
3 4
0

tg x dx
cos2x



89.
4
0
cos sin

3 sin 2

x x dx

x






90.



0
π
2

sin 2x

√

cos2x

+4 sin2x

91.



ln 3
ln 5

ex+2e− x−3

92.

2+sinx¿2
¿
¿
sin 2x



0
π
2
¿

93.



π

ln(tgx)

sin 2x dx

94.



π

(1−tg8x)dx

95.



π

sinx −cosx

√

1+sin 2x dx

96.



π

sin 2x+sinx

√

1+3 cosx dx

97.



π

sin 2xcosx

1+cosx dx

98.



0
π
2

(esinx+cosx)cos xdx

99.



1
2

x

√

x −1dx

100.



e

√

1+3 lnxlnx

x dx

101.



π

1−2sin2x

1+sin 2x dx

102.

2
0

1 x dx



103.
1
2
0
1 dx

1 x



104.
1
2
0
1 dx

4 x



105.
1
2
0
1 dx

x  x 1



106.

1
4 2
0
x dx

x x 1



107.
2
0
1

1 cosx sinxdx


 



108.
2
2
2
2
0
x dx

1 x



109.

2 2

x 4 x dx



110.
2
3
2
2
1 dx

x x 1



101.
3 2
2
1

9 3x dx

x




112.
1
5
0
1

(1 xx dx)






113.
2
2
2
3
1
1dx

x x 



114.
2
0

cos
7 cos2
x dx
x





115.
1 4
6
0
1

1 x dxx






116. 0 2

cos
1 cos
x dx
x






117.



−1
0

x2

+2x+2
upload.123doc.net.



0
1

√

1+3x

119.



1
2

x

√

x −1

x −5 dx

120.
8
2
3
1
1dx

x x 



121.
7 3
3 2
0 1
x dx
x




122.
3
5 2
0
1

x x dx



123.
ln2
x
0
1 dx

e 2



124.
7
3
3
0
1
3 1
x dx
x





125.
2
2 3

0
1

x x  dx



126.



√5
2√3

x

√

x2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1.
3
3
1

ln

e

x

dx

x



2. 1

ln

e

x

xdx



3.
1
2
0

ln(

1)

x



dx



4.
2
1

ln

e

x

xdx



5.
3
3
1

ln

e

x

dx

x



6. 1

ln

e

x

xdx



7.
1
2
0

ln(

1)

x



dx



8.
2
1

ln

e

x

xdx



9.
2
0

(

x c

osx)s inx

dx







10. 1

1 (

) ln

e

x

xdx

x





11.
2
2
1

ln(

x



x dx

)



12.
3

2
4

tan

x

xdx






13.



2
3

ln(x2− x)dx

14.
2
0

cos

x

xdx





15.
1
0
x

xe dx



16.



π

(x+cos3x)sin xdx

17.



0
1

x.e3xdx

18.



π

(x −1)cosxdx

19.



π

(2− x)sin 3 xdx

20.



π

x. sin 2 xdx

21.



e

xln xdx

22.



e

(1− x2). lnx. dx

23.



1
3

4x. lnx. dx

24.



0
1

x. ln(3+x2).dx

25.



1
2

(x2+1).ex.dx

26.



π

x. cosx.dx 27.



π

x2. cosx.dx

28.



π

(x2+2x). sinx.dx

29.



0
2

(2x+7)ln(x+1)dx

30.

2
2
0

x cos xdx





31.
1
x
0

e sin xdx



32.
2
0
sin xdx




33.
e

2
1

x ln xdx



34.
3
2
0

x sin xdx
cos x





35.
2
0

xsin x cos xdx





36.
4
2

x(2 cos x 1)dx






37.
2
2
1
ln(1 x)dx
x




38.
1
2 2x
0

(x 1) e dx



39.
e
2
1

(x ln x) dx



40.
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx





41.
2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x



42.
1
2
0
xtg xdx



43.



0
1

(x −2)e2xdx

44.



0
1

xln(1+x2)dx

45.



e
lnx

</div>

Cong thuc va Bai tap nguyen ham va tich phan

<b>CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM </b>

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

( )

ò

( )

(

)

ị

( )

ò

( )

ò

( )

ò

( )

ò

(

)

( )

ị

( )

<sub>ò</sub>

( )

ò

(

)

(

)

( )

<sub>ò</sub>

( )

ò

(

)

(

)

( )

ò

( )

ò

( )

ò

( )

ò

( )

-ò

( )

-ò

( )

ò

( )

ò

( )

ị











<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√