Cac dang toan lien quan den cuc tri

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§2 CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ CÁC DẠNG BÀI TẬP: DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số. DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước).  Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Quy tắc 1: - Tìm TXĐ của hàm số - Tính f '( x) . Tìm các điểm tại đó f '( x) bằng 0 hoặc f '( x ) không xác định. - Lập bảng biến thiên - Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2: - Tìm TXĐ của hàm số. x i 1, 2,3,....... là các nghiệm của - Tính f '( x) . Giải phương trình f '( x ) 0 và ký hiệu i  nó. - Tính. f  x . và. - Dựa vào đấu của. f  xi  f  xi . suy ra tính chất cực trị của điểm. xi. .. LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: 2 3 a) y 3 x  2 x. b). y.  x 2  3x  6 x 2. c). y . x4 3  x2  2 2. 2 d) y  x x  4. 2. 2 e) y  x  2 x  5 f) y x  2 x  x Bài 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: f  x   x  x  2 f  x  2sin 2 x  3 a) b). c). f  x   x  sin 2 x  2. d). f  x  3  2 cos x  cos 2 x.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> GIẢI a) TXĐ: D=R  x  x  2  ..voi..x 0 f  x    x  x  2  ..voi.. x  0. f  x  2 x  2  0  Với x  0 : (vì x  0 ) f  x   2 x  2 f  x  0  x  1  Với x  0 : , x  0 , f  x   0. Bảng biến thiên: x. -1. . y. +. 0 1. y. 0 -. . + 0. Kết luận: f  f   1 1 o Hàm số đạt cực đại tại x  1 , CD f  f  0  0 o Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 , CT b) TXĐ: D=R     f x  0  cos 2 x  0  2 x   k   x   k    f  x  4 cos 2 x 2 4 2 , k  , f  x   8sin 2 x.      8..voi..k 2n f   k   8sin   k   2 4 2  8..voi..k 2n  1 , n   Tính: Kết luận:    x   n fCD  f   n   1 4  4  HS đạt cực đại tại ,    3  fCD 2sin   2n   3  2  3  5 x    2n  1  2  4 2,  HS đạt cực tiểu tại c) TXĐ: D = R 1    f x  0  cos 2 x   cos  x   k   f  x  1  2 cos 2 x 2 3 6 , , k  f  x  4sin 2 x.      f   k  4sin   k 2  2 3  0  x   k 6  3  6 Tính: là điểm cực tiểu        f    k  4sin    k 2   2 3  0  x   k  6   3  6 là điểm cực đại Kết luận:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>    3  k fCD  f    k    k   2 6 2 6  6  + Hàm số đạt cực đại tại ,    3 x   k fCT  f   k    k  2 2 6  6 6 + Hàm số đạt cực tiểu tại , d) TXĐ: D=R f  x  2sin x  2sin 2 x 2sin x  4sin x cos x 2sin x  1  2cos x  x .  x k  x k  sin x 0  f  x  0    1 2   2  cos x  cos x   k 2  1  2 cos x 0 2 3 3  . f  x  2 cos x  4 cos 2 x Xét: +. f  k  2 cos k  4 cos k 2 2 cos k  4  0.  HS đat cực tiểu tại các điểm. x k  ,. fCT  f  k  3  2 cos k  cos k 2 2  2 cos k 2 4  2   1  1 f    k 2  2cos  4 cos 2     4     3  0 3 3   2  2 +  3. 2 x   k 2  HS đat cực đại tại các điểm 3. 2 4 9  2  fCD  f    k 2  3  2 cos  cos  3 3 2  3 .

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Lưu ý: 3. 2. 1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f  x  ax  bx  cx  d ta làm như sau: f  x x  Ax  B  f  x  f  x   f  x   Ax  B  f  x    x   (*). x. f  x 0. Gọi i là nghiệm của pt   ( f  xi   Ax  B  f  xi    xi   . xi. là các điểm cực trị). 0.  f  xi   xi  . Trong đó  x   là phần dư của phép chia Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: ( Vì toạ độ của điểm cực trị. M  x; y . f  x f  x . y  x   f  x  0. thoả pt. , nên từ (*) ta suy ra. y  x   ) 2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số: ax 2  bx  c u  x  y  ax  b v  x. y . u  x  v  x   u  x  v x   v  x  . , y 0  u x  v  x   u  x  v x  0. Gọi. xi. 2. (1). là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:. . u  xi . u xi  v  xi   u  xi  v xi  0 v  xi  Các giá trị cực trị là: u  xi  u  xi  2axi  b y  xi     v  xi  v xi  a. . u  xi  v xi . Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:. y. 2ax  b a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> y  m  2  x 3  mx  2 Bài 1: Cho hàm số: Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu. GIẢI TXĐ: D =  y 3  m  2  x 2  m Đạo hàm: Để hàm số không có cực trị thì phương trình y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.   0  0  4.3m  m  2  0  0 m 2 1 y  x3  mx 2   m 2  m  1 x  1 3 Bài 2: Cho hàm số:. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 GIẢI  TXĐ: D = 2 2 Đạo hàm: y  x  2mx  m  m  1. y 2 x  2m  y 1 0   y 1  0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 m 1  m 2   m  1. . m 2  3m  2 0   2  2m  0. Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x 1 3 2 Bài 3: Cho hàm số y x  3x  3x  2 a) Tìm cực trị của hàm số. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.. GIẢI a) TXĐ: D =  2 Đạo hàm: y  x  6 x  3.  x 1  2 y 0  x 2  2 x  1 0    x 1  2 Cho  Chia f  x  cho f  x  , ta được:. 1 1 f  x   3x 2  3 x  3  x    4 x  1 3 3. Giá trị cực trị là:. f  x0   4 x0  1.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  .  .  f 1  2  3  4 2     f 1  2  3  4 2 . Lập bảng biến thiên  CĐ, CT. b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:. y  4 x  1. y x3  6 x 2  3  m  2  x  m  6. Bài 4: Cho hàm số Xác định m sao cho: a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu.. GIẢI a) TXĐ: D =  y 3x 2  12 x  3  m  2  Đạo hàm: 2 Cho y 0  x  4 x  m  2 0 (*).   4   m  2   2  m Để hàm số có 2 cực trị thì:   0  2  m  0  m  2 b) Chia. f  x. cho. f  x . , ta được:. 2 1 f  x   3x 2  12 x  3  m  2    x    4 x  2mx  m  2 3 3.  giá trị cực trị là: f  x0   4 x0  2mx0  m  2 2 x0  m  2   m  2  m  2   2 x0  1 Gọi. x1 x2 ,. là 2 điểm cực trị. Hàm số có 2 cực trị cùng dấu.  f  x1  . f  x2   0.   m  2   2 x1  1  m  2   2 x2  1  0   m  2. 2.  2 x1 1  2 x2 1  0 2   m  2   4 x1 x2  2 x1  2 x2  1  0 2   m  2   4 x1 x2  2  x1  x2   1  0. (1). 12 x1  x2  4 x1.x2 m  2 3 Mặt khác: , 2   m  2   4  m  2   2.4 1  0 Do đó (1) 17  m    4 2 m 2   m  2   4m  17   0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Kết hợp với điều kiện có cực trị m  2 , ta được: 1 1 y  mx3   m  1 x 2  3  m  2  x  3 3 Bài 5: Cho hàm số:. . 17 m2 4. x  2 x2 1 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả 1 GIẢI  TXĐ: D = y mx 2  2  m  1 x  3  m  2  Đạo hàm: m 0  2   m  1  3m  m  2   0   Hàm số có 2 cực trị m 0  m 0  6 6  1  m 1 2   2 2   2m  4m  1  0 (*). x x. Gọi 1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình y 0 thì:   x1  2 x2 1 1  2  m  1   2  x1  x2  m   3 m  2 4 2  3  x1 3  x2  1   x1.x2  m  m, m Từ (1) và (2) 2  4  3 m  2     1   3    m  m m  Thay vào (3). . 2.  m 2  m . 2 3 (Nhận so với điều kiện).  3m  5m  4 0 2 m 2  m  3 Vậy: x3 x2 y    mx 3 2 Bài 6: Cho hàm số: (ĐH Y - Dược) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m. GIẢI TXĐ: D =  2 Đạo hàm: y  x  x  m. Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ x  m.  y 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa m  x1  x2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>    0    y m   0 s  m 2.  1  4m  0    m 2  2m  0  1   m  2. 1  m  4   m   2  m  0  1 m   2 .  m2. Vậy  m   2 y  f  x  2 x3  3  m  1 x 2  6  m  2  x  1 Bài 7: Cho hàm số: (1) Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu. song song với đường thẳng y  3 x  4 GIẢI TXĐ: D =  y 6 x 2  6  m  1 x  6  m  2  Đạo hàm: x 2   m  1 x   m  2  0  y  0  Cho 2. 2.    m  1  4  m  2   0   m  3  0  m 3. Hàm số (1) có cực trị 1 f  x  Lấy (1) chia cho 6 ta được: 1 2 y   2 x  m  1 f  x    m  3 x  m 2  3m  3 6 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 2 y   m  3 x  m 2  3m  3 (d). Để (d) song song với đường thẳng y  3 x  4 thì: 2   m  3  3  m  3  3  m 3  3 y. x 2  3x  5 x2. Bài 8: Cho hàm số: a) Tìm cực trị của hàm số. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị. GIẢI a) TXĐ: D  \   2 y . x 2  4 x 1.  x  2. Đạo hàm: Giá trị cực trị là: y  xo  . 2.  x  2  3 y 0  x 2  4 x  1 0    x  2  3 ,. u x0  2 x0  3  v x0  1.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> . . y  2. . 3  1  2 3. . y  2  3  1  2 3 , Lập bảng biến thiên  CĐ, CT. b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: x 2  mx  m y x m Bài 9: Cho hàm số:. y 2 x  3.  m 0  . Tìm m để hàm số:. a) Có cực đại và cực tiểu. b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. GIẢI a) TXĐ:. D  \  m. x 2  2mx  m 2  m. y .  x  m. 2. 2 2 Đạo hàm: , y 0  x  2mx  m  m 0 (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có 2 nghiệm phân biệt.    0  m 2  m 2  m  0  m  0. . . b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi: y 0 có 2 nghiệm phân biệt Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y 0 vô nghiệm). y  0      0  y . m  0   2 m  4 m  0 . m  0  0m4  0  m  4. mx 2  2mx  m  1 y x 1 Bài 10: Cho hàm số:. Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu GIẢI TXĐ:. D  \  1. y . mx 2  2mx  3m  1.  x  1. 2. 2 Đạo hàm: , y  0  mx  2mx  3m  1 0 Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi y 0 có 2 nghiệm phân biệt. y 0 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt) 1  2 m    m0  1   0    4 m  m  0  y   m   4    4   0  y  m  0   m  0. Vậy. m. 1 4.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>

<span class='text_page_counter'>(11)</span>