Bai giang gioi han va dao ham

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Chuyên đề toán phổ thông Phạm Đào Thanh Tú Giới hạn và đạo hàm. Ngày 25 tháng 9 năm 2012. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. 1. Chương 1. Giới hạn Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. 2. Chương 2. Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của dãy số. • Dãy số có giới hạn 0. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của dãy số. • Dãy số có giới hạn 0. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim un = 0 hay lim un = 0 n→∞. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của dãy số. • Dãy số có giới hạn 0. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim un = 0 hay lim un = 0 n→∞. • Dãy số có giới hạn hữu hạn. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của dãy số. • Dãy số có giới hạn 0. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim un = 0 hay lim un = 0 n→∞. • Dãy số có giới hạn hữu hạn • Dãy số có giới hạn vô cực. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của dãy số. • Dãy số có giới hạn 0. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim un = 0 hay lim un = 0 n→∞. • Dãy số có giới hạn hữu hạn • Dãy số có giới hạn vô cực. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của hàm số I Các định nghĩa về giới hạn của hàm số:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của hàm số I Các định nghĩa về giới hạn của hàm số: • Giới hạn của hàm số tại một điểm. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của hàm số I Các định nghĩa về giới hạn của hàm số: • Giới hạn của hàm số tại một điểm. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của hàm số I Các định nghĩa về giới hạn của hàm số: • Giới hạn của hàm số tại một điểm. Định nghĩa Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{x0 }. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 nếu với mọi dãy số (xn ) trong tập hợp (a; b)\{x0 } mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn ) = L. Khi đó ta viết lim f (x) = L. x→x0. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Giới hạn của hàm số I Các định nghĩa về giới hạn của hàm số: • Giới hạn của hàm số tại một điểm. Định nghĩa Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{x0 }. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 nếu với mọi dãy số (xn ) trong tập hợp (a; b)\{x0 } mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn ) = L. Khi đó ta viết lim f (x) = L. x→x0. • Giới hạn của hàm số tại vô cực Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. I Một số định lý về giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R. Khi đó: x→x0. x→x0. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. I Một số định lý về giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R. Khi đó: x→x0. x→x0. • lim [f (x) + g(x)] = L + M x→x0. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. I Một số định lý về giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R. Khi đó: x→x0. x→x0. • lim [f (x) + g(x)] = L + M x→x0. • lim [f (x) − g(x)] = L − M x→x0. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. I Một số định lý về giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R. Khi đó: x→x0. x→x0. • lim [f (x) + g(x)] = L + M x→x0. • lim [f (x) − g(x)] = L − M x→x0. • lim [f (x).g(x)] = L.M x→x0. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. I Một số định lý về giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R. Khi đó: x→x0. x→x0. • lim [f (x) + g(x)] = L + M x→x0. • lim [f (x) − g(x)] = L − M x→x0. • lim [f (x).g(x)] = L.M x→x0. • Nếu M 6= 0 thì lim. x→x0. L f (x) = g(x) M. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Hàm số liên tục • Hàm số liên tục tại một điểm. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Hàm số liên tục • Hàm số liên tục tại một điểm. Định nghĩa Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim f (x) = f (x0 ). x→x0. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Hàm số liên tục • Hàm số liên tục tại một điểm. Định nghĩa Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim f (x) = f (x0 ). x→x0. Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0 .. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Giới hạn của dãy số Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục. Hàm số liên tục • Hàm số liên tục tại một điểm. Định nghĩa Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim f (x) = f (x0 ). x→x0. Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0 . • Hàm số liên tục trên một khoảng. Định lý Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f (a) 6= f (b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f (a) và f (b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = M . Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Khái niệm đạo hàm • Đạo hàm của hàm số tại một điểm. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Khái niệm đạo hàm • Đạo hàm của hàm số tại một điểm. Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). f (x) − f (x0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x → x0 x − x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 , kí hiệu là f 0 (x0 ), nghĩa là f 0 (x0 ) = lim. x→x0. f (x) − f (x0 ) x − x0. .. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Khái niệm đạo hàm • Đạo hàm của hàm số tại một điểm. Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). f (x) − f (x0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x → x0 x − x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 , kí hiệu là f 0 (x0 ), nghĩa là f 0 (x0 ) = lim. x→x0. f (x) − f (x0 ) x − x0. . • Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Khái niệm đạo hàm • Đạo hàm của hàm số tại một điểm. Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). f (x) − f (x0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x → x0 x − x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 , kí hiệu là f 0 (x0 ), nghĩa là f 0 (x0 ) = lim. x→x0. f (x) − f (x0 ) x − x0. . • Ý nghĩa hình học của đạo hàm • Ý nghĩa cơ học của đạo hàm Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 =. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) • Đạo hàm của thương hai hàm số:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) • Đạo hàm của thương hai hàm số:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) • Đạo hàm của thương hai hàm số:  . u(x) v(x). 0. =. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) • Đạo hàm của thương hai hàm số:  . u(x) v(x). 0. =. u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x) v 2 (x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) • Đạo hàm của thương hai hàm số:  . u(x) v(x). 0. =. u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x) v 2 (x). • Đạo hàm của hàm số hợp:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) • Đạo hàm của thương hai hàm số:  . u(x) v(x). 0. =. u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x) v 2 (x). • Đạo hàm của hàm số hợp:. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Các qui tắc tính đạo hàm. • Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:. [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v 0 (x) • Đạo hàm của tích hai hàm số:. [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) • Đạo hàm của thương hai hàm số:  . u(x) v(x). 0. =. u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x) v 2 (x). • Đạo hàm của hàm số hợp:. Với g(x) = f (u(x)) thì g 0 (x) = f 0 [u(x)].u0 (x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x. Nếu u = u(x) thì. (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x. Nếu u = u(x) thì. (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x. Nếu u = u(x) thì. (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) 1 u0 (x) • (tan x)0 = . Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = 2 cos x cos2 u(x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x. Nếu u = u(x) thì. (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) 1 u0 (x) • (tan x)0 = . Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = 2 cos x cos2 u(x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x. Nếu u = u(x) thì. (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) 1 u0 (x) • (tan x)0 = . Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = 2 cos x cos2 u(x) 1 • (cot x)0 = − 2 . Nếu u = u(x) thì sin x 0 u (x) 0 (cot u(x)) = − 2 sin u(x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x. Nếu u = u(x) thì. (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) 1 u0 (x) • (tan x)0 = . Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = 2 cos x cos2 u(x) 1 • (cot x)0 = − 2 . Nếu u = u(x) thì sin x 0 u (x) 0 (cot u(x)) = − 2 sin u(x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Đạo hàm của các hàm lượng giác. • (sin x)0 = cos x. Nếu u = u(x) thì. (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x. Nếu u = u(x) thì. (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) 1 u0 (x) • (tan x)0 = . Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = 2 cos x cos2 u(x) 1 • (cot x)0 = − 2 . Nếu u = u(x) thì sin x 0 u (x) 0 (cot u(x)) = − 2 sin u(x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> Nội dung Chương 1. Giới hạn Chương 2. Đạo hàm. Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm của các hàm lượng giác. Định lý Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = u(x).v(x) cũng có đạo hàm trên J và [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) Xem chi tiết chứng minh. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> Kết luận. Định lý Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = u(x).v(x) cũng có đạo hàm trên J và [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) Chứng minh. Đặt f (x) = u(x)v(x). Ta sẽ tìm đạo hàm của f tại một điểm x tùy ý thuộc J. Khi biến số nhận số gia ∆x thì ∆u = u(x + ∆x) − u(x) nên u(x + ∆x) = u(x) + ∆u Tương tự, do ∆v = v(x + ∆x) − v(x) nên v(x + ∆x) = v(x) + ∆v Ta sẽ sử dụng các Phạm đẳngĐàothức để tính đạophổhàm Thanh trên Tú Chuyên đề toán thông của hàm số f ..

<span class='text_page_counter'>(51)</span> Kết luận. Ví dụ 1 y=. −x2 + 2x + 3 x3 − 2. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 y=. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 y=. =. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 y=. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 y=. =. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(56)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 3 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 y=. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(57)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 3 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 y=. =. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(58)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 3 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 4 3 −2x + 2x + 4x − 4 − 3x4 + 6x3 + 9x2 = (x3 − 2)2 y=. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(59)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 3 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 4 3 −2x + 2x + 4x − 4 − 3x4 + 6x3 + 9x2 = (x3 − 2)2 y=. =. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(60)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 3 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 4 3 −2x + 2x + 4x − 4 − 3x4 + 6x3 + 9x2 = (x3 − 2)2 4 3 2 x − 4x − 9x + 4x − 4 = (x3 − 2)2 y=. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(61)</span> Kết luận. Ví dụ 1 −x2 + 2x + 3 x3 − 2 0  −x2 + 2x + 3 0 ⇒y = x3 − 2 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 3 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 4 3 −2x + 2x + 4x − 4 − 3x4 + 6x3 + 9x2 = (x3 − 2)2 4 3 2 x − 4x − 9x + 4x − 4 = (x3 − 2)2 y=. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(62)</span> Kết luận. Ví dụ 2. y = 3 sin2 x cos x + cos2 x. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(63)</span> Kết luận. Ví dụ 2. y = 3 sin2 x cos x + cos2 x =⇒ y 0 = 3(sin2 x)0 cos x + 3 sin2 x(cos x)0 + (cos2 x)0. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(64)</span> Kết luận. Ví dụ 2. y = 3 sin2 x cos x + cos2 x =⇒ y 0 = 3(sin2 x)0 cos x + 3 sin2 x(cos x)0 + (cos2 x)0 = 6 sin x cos2 x − 3 sin3 x − 2 cos x sin x. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(65)</span> Kết luận. Ví dụ 2. y = 3 sin2 x cos x + cos2 x =⇒ y 0 = 3(sin2 x)0 cos x + 3 sin2 x(cos x)0 + (cos2 x)0 = 6 sin x cos2 x − 3 sin3 x − 2 cos x sin x = sin x(6 cos2 x − 3 sin2 x − 2 cos x). Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(66)</span> Kết luận. Kết luận. Công cụ giới hạn và đạo hàm rất quan trọng đối với học sinh lớp 11 và sau này. Chuyên đề đã chứng minh một số định lý về giới hạn và đạo hàm. Chuyên đề chưa đi sâu về chứng minh đạo hàm của hàm hợp và các kết quả về vi phân, đạo hàm cấp cao.. Phạm Đào Thanh Tú. Chuyên đề toán phổ thông.

<span class='text_page_counter'>(67)</span>