Khai thác sai lầm của học sinh trong dạy học ứng dụng cuả đạo hàm vào giải các bài toán thực tiễn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
-----------

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG DIỆP

KHAI THÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀO GIẢI
CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI- 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
-----------

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG DIỆP

KHAI THÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀO GIẢI
CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TỐN
Chun ngành: Lí luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140209.01

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI- 2020


LỜI CẢM ƠN
Sau 2 năm học tập và trƣởng thành tại trƣờng Đại học Giáo Dục em đã
đƣợc các thầy cơ trong và ngồi khoa chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, em xin bày tỏ
lịng biết ơn sâu sắc đối với khoa và các thầy cơ giáo.
Để hồn thành đƣợc luận văn này, em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ rất lớn
của thầy cơ, gia đình và các bạn. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc
nhất tới TS. Nguyễn Văn Hùng - ngƣời thầy trực tiếp hƣớng dẫn tơi rất tận
tình trong suốt thời gian qua. Thầy cũng là ngƣời đã quan tâm, giúp đỡ và
nhất là việc định hình cũng nhƣ cung cấp tài liệu giúp em hồn thành luận văn
này.
Gia đình và bạn bè ln là nguồn cổ vũ lớn lao về mặt tinh thần và vật
chất trong suốt thời gian qua để em có thể học tập và hoàn thành tốt luận văn
này.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn này không tránh khỏi những
thiếu sót và những hạn chế, rất mong đƣợc các thầy cô và các bạn chỉ bảo và
bổ sung cho bản luận văn đƣợc hoàn thiện hơn.
Cuối cùng em xin gửi những lời chúc tốt đẹp nhất tới thầy cơ, gia đình
và các bạn.
Hà Nội, ngày 24 tháng11 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Thị Phƣơng Diệp

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Từ viết tắt

STT

Nguyên nghĩa

1

ĐH

Đạo hàm

2

GD

Giáo dục

3

GD&ĐT

Giáo dục và đào tạo

4

GV

Giáo viên

5

HS

Học sinh

6

SL

Sai lầm

7

THPT

Trung học phổ thông

8

TN

Thực nghiệm

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ
Bảng 2.1. Nội dung phiếu điều tra ...................................................................... 58

Bảng 2.1. Kết quả điều tra câu 1 phiếu khảo sát GV .......................................... 59
Bảng 2.3. Kết quả điều tra câu 2 phiếu khảo sát GV .......................................... 59
Bảng 2.4. Kết quả điều tra câu 3 phiếu khảo sát GV .......................................... 60
Bảng 2.5. Kết quả điều tra câu 4 phiếu khảo sát GV .......................................... 60
Bảng 2.6. Kết quả điều tra câu 5 phiếu khảo sát GV .......................................... 61
Bảng 2.7. Kết quả điều tra câu 6 phiếu khảo sát GV .......................................... 61
Bảng 2.8. Kết quả điều tra câu 7 phiếu khảo sát GV .......................................... 61
Bảng 2.9. Kết quả điều tra câu 8 phiếu khảo sát GV .......................................... 62
Bảng 2.10. Kết quả điều tra câu 9 phiếu khảo sát GV ........................................ 62
Bảng 2.11. Kết quả điều tra câu 10 phiếu khảo sát GV ...................................... 63
Bảng 2.12. Kết quả điều tra câu 1 phiếu khảo sát HS......................................... 63
Bảng 2.13. Kết quả điều tra câu 2 phiếu khảo sát HS......................................... 63
Bảng 2.14. Kết quả điều tra câu 3 phiếu khảo sát HS......................................... 64
Bảng 2.15. Kết quả điều tra câu 4 phiếu khảo sát HS......................................... 64
Bảng 2.16. Kết quả điều tra câu 5 phiếu khảo sát HS......................................... 65
Bảng 2.17. Kết quả điều tra câu 6 phiếu khảo sát HS......................................... 65
Bảng 2.18. Kết quả điều tra câu 7 phiếu khảo sát HS......................................... 65
Bảng 3.1. Bảng điểm kiểm tra lớp đối chứng và TN .......................................... 67
Bảng 3.2. Bảng điểm trung bình và tỉ lệ phân theo nhóm điểm kiểm tra lớp
đối chứng và thực nghiệm ................................................................................... 67
Biểu đồ tỷ lệ bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ...................... 68

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ................................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ........................................................................ iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 3
4. Câu hỏi nghiên cứu ........................................................................................... 3
5. Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu ...................................................................... 3
6. Giả thuyết nghiên cứu ....................................................................................... 4
7. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 4
8. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................................... 4
9. Bố cục luận văn ................................................................................................. 4
CHƢƠNG 1........................................................................................................... 5
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.................................................................... 5
1.1. Một số công trình nghiên cứu liên quan ........................................................ 5
1.2. Sự cần thiết phát hiện, phòng tránh, khắc phục những sai lầm của học
sinh khi ứng dụng đạo hàm vào giải các bài toán thực tiễn .................................. 6
1.3. Các sai lầm của học sinh trong dạy học ........................................................ 7
1.3.1. Quan điểm 1: Trong quá trình truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng
toán học, cần quan tâm tập luyện cho học sinh những hoạt động và hoạt động
thành phần - mà khi giải Tốn - học sinh thƣờng gặp những khó khăn, vƣớng
mắc hoặc sai lầm trong việc thực hiện các hoạt động này .................................. 15
1.3.2. Quan điểm 2: Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời, tính
chính xác trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh ............... 30
1.3.2.1. Tính kịp thời ........................................................................................... 30
iv


1.3.2.2. Tính chính xác ........................................................................................ 31
1.3.2.3. Tính giáo dục.......................................................................................... 32
1.3.3. Quan điểm 3: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới sai lầm để
học sinh đƣợc thử thách với những sai lầm đó ................................................... 34
1.4. Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................ 37

CHƢƠNG 2......................................................................................................... 39
NHỮNG SAI LẦM THƢỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG KHI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC
TIỄN .................................................................................................................... 39
2.1. Một số kiến thức cơ bản về ứng dụng đạo hàm ........................................... 39
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm ............................................................. 39
2.1.2. Ý nghĩa của đạo hàm ................................................................................. 39
2.1.3. Qui tắc tính đạo hàm và cơng thức tính đạo hàm ..................................... 40
2.1.4. Vi phân ...................................................................................................... 40
2.1.5. Đạo hàm cấp cao ....................................................................................... 41
2.2. Một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thơng khi ứng dụng đạo hàm
vào giải các bài tốn thực tiễn ............................................................................. 41
2.2.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số ................................................. 41
2.2.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức ..................................................... 44
2.2.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm ................................. 45
2.2.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số .................. 47
2.2.5. Sai lầm khi giải bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 52
2.2.6. Sai lầm khi viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ..................... 53
2.2.7. Một số bài toán thực tiễn……………………………………………54
2.3. Thực trạng khai thác sai lầm của học sinh trong dạy học ứng dụng đạo
hàm vào giải các bài toán thực tiễn ..................................................................... 57
2.3.1. Mục đích điều tra ...................................................................................... 57
2.3.2. Nội dung điều tra ....................................................................................... 58
v


2.3.3. Phƣơng pháp điều tra ................................................................................ 58
2.3.4. Đối tƣợng điều tra ..................................................................................... 58
2.3.5. Nội dung phiếu điều tra ............................................................................. 58
2.3.6. Kết quả điều tra ......................................................................................... 58

2.3.6.1 Kết quả điều tra GV ................................................................................ 58
2.3.6.2. Kết quả điều tra học sinh........................................................................ 63
2.3.6.3. Kết luận .................................................................................................. 66
CHƢƠNG 3......................................................................................................... 67
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................................. 67
3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM ..................................................................... 67
3.2. TỔ CHỨC VÀ NỘI DUNG THỰC NGHIỆM ........................................... 67
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm................................................................................. 67
3.2.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 67
3.3. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM .................................................. 69
3.3.1. Đánh giá định tính ..................................................................................... 69
3.3.2. Đánh giá định lƣợng .................................................................................. 70
3.4. KẾT LUẬN CHUNG VỀ THỰC NGHIỆM ............................................... 74
KẾT

LUẬN

VÀ

NGHỊ………………………………………….Error!

KHUYẾN
Bookmark

not

defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 76

vi

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giai đoạn đổi mới hiện nay, trƣớc yêu cầu của sự nghiệp công
nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc, để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và khoa
học công nghệ thì việc cấp bách là phải nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo.
Cƣơng lĩnh xây dựng đất nƣớc trong thời kỳ quá độ lên Chủ nghĩa xã hội (bổ
sung, phát triển năm 2018) đƣợc Đại hội đại biểu tồn quốc lần thứ XI của Đảng
thơng qua đã dành những dịng khái qt nhất, cơ đọng nhất, và có thể nói là hay
nhất về Giáo dục và đào tạo: “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo
theo nhu cầu phát triển của xã hội; nâng cao chất lượng theo yêu cầu chuẩn
hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, phục vụ đắc lực
sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Tầm quan trọng của giáo dục và đào
tạo trong sự nghiệp của dân tộc đặt lên vai đội ngũ những ngƣời làm công tác
giáo dục nhiều trách nhiệm nặng nề. “Trong các môn khoa học và kĩ thuật, tốn
học giữ một vị trí nổi bật. Nó cịn là mơn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta
nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận,
phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn
luyện trí thơng minh sáng tạo”. Theo tác giả Lê Thống Nhất thì “Các nhà giáo
dạy tốn chính là huấn luyện viên cho mơn học này”.
Điều iđáng ichú iý ilà icó imột isố isai ilầm ithƣờng ibắt igặp iở inhiều ihọc isinh ikhác
nhau, inó ilặp iđi ilặp ilại iqua icác ithế ihệ ihọc isinh ikhác inhau. iChúng ita iđã ibiết, iquá

i

trình inhận ithức icủa icon ingƣời iđi itừ i“cái isai iđến icái iđúng irồi imới iđến ikhái iniệm

i

i

đúng” iq itrình ihọc itốn icủa ihọc isinh iphổ ithơng icũng ivậy, ikhi ihọc itốn icũng

i

mắc iphải inhững isai ilầm inhất iđịnh. iViệc ihọc itập itừ ichính inhững isai ilầm iấy iđối

khi icó ithể imang iđến isự ikhắc isâu ivề ikiến ithức icho ibản ithân ingƣời ihọc.

i

Tuy inhiên, iquan iniệm ithế inào ivề isai ilầm, ivề icách isửa ichữa inó ilại ikhá iđa

i

dạng itrong icộng iđồng icác inhà inghiên icứu icũng inhƣ igiáo iviên. iTrên ithế igiới,

i

nhiều inhà ikhoa ihọc inổi itiếng iđã iphát ibiểu inhiều iý ikiến ibổ iích icho ivấn iđề inày.

i

Chẳng ihạn: iJ.A. iKomensky iđã ikhẳng iđịnh i“Bất ikỳ imột isai ilầm inào icũng icó ithể

i

1

i

làm icho ihọc isinh ihọc ikém iđi inếu inhư igiáo iviên ikhơng ichú iý ingay itới isai ilầm iđó,

i

bằng icách ihướng idẫn ihọc isinh itự inhận ira ivà isửa ichữa, ikhắc iphục isai ilầm” iA.A.

Stoliar inhấn imạnh i“Không iđược itiếc ithời igian iđể iphân itích itrên igiờ ihọc icác isai

i

i

lầm icủa ihọc isinh” i. iTừ inhững ivấn iđề inêu itrên, ichúng itôi ithấy icần ithiết iđặt ira icác

câu ihỏi isau iđây:

i

Sai ilầm iđƣợc inhìn inhận imột icách ikhái iquát inhƣ ithế inào itheo icách inhìn
truyền ithống iở iViệt iNam ivà itheo icác ilý ithuyết ihọc itập?

i

Tri ithức ivề iứng idụng iđạo ihàm iđƣợc iđƣa ivào iứng idụng iđạo ihàm ivào igiải
các ibài itốn ithực itiễn iphổ ithơng iqua icác ikhối ilớp, ibậc ihọc inhƣ ithế inào? iNhằm

i

i

mục iđích igì? iCó inhững idạng, ibài itoán inào iliên iquan iđến iứng idụng iđạo ihàm?
Học isinh ithƣờng igặp inhững isai ilầm inào ikhi igiải iquyết icác itình ihuống igắn

liền ivới inhiệm ivụ iứng idựng iđạo ihàm? iTại isao ihọc isinh ithƣờng iphạm iphải inhững

i

sai ilầm icó itính ichất ilặp ilại inhƣ ivậy? iNhững isai ilầm inảy isinh ira itừ iđâu? iNguyên

i

nhân ichính icủa inó ilà igì? iCó ithể igiải ithích inhƣ ithế inào?

i

Có icách inào ikhắc iphục inhững isai ilầm iđó ihay ikhơng? iThực ihiện inhƣ ithế
nào?

i

Tìm icâu itrả ilời icho inhững icâu ihỏi itrên itheo ichúng itơi ilà ithực isự icần ithiết,
vì inó ikhơng ichỉ icho iphép ihiểu ihơn ivề isai ilầm, imà icòn icho iphép ithấy irõ inhững

i

quan iniệm ihiện ithời icủa imột isố inhà inghiên icứu ivà icác igiáo iviên ikhi inói itới isai

i

lầm icủa ihọc isinh. iĐặc ibiệt ilà isự icần ithiết iphải icó imột inghiên icứu inghiêm itúc ivề

i

các isai ilầm icủa ihọc isinh ikhi ihọc iứng idụng iđạo ihàm itrên icác iphƣơng idiện: ithể

i

hiện, inguyên inhân, ingăn ingừa ivà ikhắc iphục, imà icụ ithể ilà itrong igiải iứng idụng

i

đạo ihàm. iĐiều inày isẽ ilàm ithuận ilợi icho iviệc ithiết ilập ivà itổ ichức inhững itình

i

huống isửa ichữa isai ilầm icủa ihọc isinh imột icách iphù ihợp. iQua iđó igiúp ibổ isung ivà

i

hồn ithiện ivào iphƣơng ipháp igiảng idạy imơn itốn, inâng icao ihiệu iquả icho iviệc idạy

i

học itốn.

i

Xuất iphát itừ inhững ilý ido itrên, itơi ilựa ichọn iđề itài i“Khai thác isai ilầm icủa
i

học isinh itrong idạy ihọc iứng idụng của iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn”

i

để inghiên icứu.
2


2. iMục iđích inghiên icứu i
Từ inhững icâu ihỏi iban iđầu iđặt ira itôi inhận ithấy iviệc itrả ilời ichúng ilà irất icần
thiết, isong itrong iđiều ikiện ihạn ichế icủa imột iluận ivăn, itơi isẽ ichỉ itìm icách itrả ilời

i

i

một isố icâu ihỏi isau ivà iđó icũng ichính ilà imục iđích icủa inghiên icứu itrong iluận ivăn

này.

i

2.1. iSai ilầm icủa ihọc isinh iđƣợc iđánh igiá inhƣ ithế inào itheo icách inhìn itruyền
thống iở iViệt iNam ivà itheo icác ilý ithuyết ihọc itập, iđặc ibiệt itheo iquan iđiểm ididactic

i

toán?

i

2.2. iTri ithức ivề iđạo ihàm iđƣợc iđƣa ivào iứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài
tốn ithực itiễn itrong ichƣơng itrình iphổ ithơng inhƣ ithế inào? i

i

2.3. iCó inhững isai ilầm inào icủa ihọc isinh ikhi igiải icác ibài itoán iứng idụng iđạo
hàm? iCó ithể idự iđốn ivà igiải ithích ingun inhân idẫn iđến isai ilầm inhƣ ithế inào?

i

2.4. iCó inhững ibiện ipháp inào iđể ikhắc iphục isai ilầm icho ihọc isinh itrong iviệc i
ứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itốn ithực itiễn?

i

3. iNhiệm ivụ inghiên icứu i
+ iTìm ihiểu inhững iquan iniệm ivà iphân iloại ivề isai ilầm itrong icác ilý ithuyết ivề
học itập.

i

+ iTìm ihiểu ivà iphân itích imột isố isai ilầm icủa ihọc isinh itrong iứng idụng iđạo
hàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn.

i

4. iCâu ihỏi inghiên icứu i
4.1. iNhững iquan iniệm ivà iphân iloại ivề isai ilầm itrong icác ilý ithuyết ivề ihọc
tập?

i

4.2. iLàm ithế inào iđể iphân itích imột isố isai ilầm icủa ihọc isinh itrong iứng idụng
đạo ihàm iđể igiải icác ibài itoán ithực itiễn?

i

4.3. iĐể ihạn ichế, isửa ichữa inhững isai ilầm iđã ichỉ ira icần ithực ihiện inhững iquan
điểm inào?

i

4.4. iKết iquả ithực inghiệm isƣ iphạm inhƣ ithế inào?
5. iĐối itƣợng, ikhách ithể inghiên icứu i
+ iĐối itượng inghiên icứu: icác ibài itoán iứng idụng iđạo ihàm i
3


+ iKhách ithể inghiên icứu: iPhỏng ivấn icác igiáo iviên ivà inhà iquản ilý igiáo idục.
6. iGiả ithuyết inghiên icứu i
Nếu ilàm isáng itỏ iđƣợc inhững ikhó ikhăn, isai ilầm icủa ihọc isinh iTHPT ikhi ilàm
bài itập iứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn ivà iđề ira iđƣợc inhững

i

biện ipháp isƣ iphạm iphù ihợp iđể ikhắc iphục inhững ikhó ikhăn, isai ilầm inày ithì isẽ igóp

i

phần inâng icao ihiệu iquả idạy ihọc imơn iTốn.

i

7. iPhạm ivi inghiên icứu i
Chƣơng iứng idụng iđạo ihàm itrong ichƣơng itrình iTốn itrung ihọc iphổ ithơng.
8. iPhƣơng ipháp inghiên icứu
+ iNghiên icứu ilí iluận: iNghiên icứu icác itài iliệu ivề ilý iluận ivà iphƣơng ipháp
giảng idạy imơn iTốn; icác itài iliệu iđề icập iđến isai ilầm icủa ihọc isinh iđể inắm ibắt

i

thêm icác ikiểu isai ilầm icủa ihọc isinh ikhi iứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán

i

thực itiễn; icác itài iliệu ivề iTâm ilý ivà iGiáo idục ihọc, icác iquan iđiểm iđổi imới ivề

i

phƣơng ipháp idạy ihọc iToán ilàm icơ isở iđể iđề ixuất icác iquan iđiểm ihạn ichế ivà isửa

i

chữa isai ilầm icủa ihọc isinh.

i

+ iNghiên icứu ithực itiễn igiảng idạy: iTìm ihiểu ithực itrạng ivề inhững isai ilầm
của ihọc isinh ithơng iqua ihình ithức idự igiờ ivà ithăm ilớp, iqua icác ibài ikiểm itra icủa

i

học isinh. iĐồng ithời itrao iđổi ikinh inghiệm ivới imột isố igiáo iviên ivề inhững isai ilầm

i

thƣờng igặp icủa ihọc isinh ikhi iứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn.

i

+ iThực inghiệm isư iphạm: iThực inghiệm isƣ iphạm iđể ikiểm inghiệm itính ikhả
thi ivà ihiệu iquả icủa inhững ibiện ipháp isƣ iphạm iđã iđề ixuất inhằm ikhắc iphục ivà isửa

i

chữa inhững isai ilầm icủa ihọc isinh ikhi ihọc iứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác iBT ithực

i

tiễn.

i

9. Cấu trúc của đề tài
Ngoài iphần imở iđầu, ikết iluận, iluận ivăn iđƣợc itrình ibày i03 ichƣơng inhƣ isau:
Chƣơng i1: iCơ isở ilí iluận ivà ithực itiễn

Chƣơng i2: iNhững isai ilầm ithƣờng igặp icủa ihọc isinh itrung ihọc iphổ ithông ikhi
ứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn.

i

i

Chƣơng i3: iThực inghiệm isƣ iphạm.
4


CHƢƠNG i1
CƠ iSỞ iLÝ iLUẬN iVÀ iTHỰC iTIỄN
1.1. iMột isố icơng itrình inghiên icứu iliên iquan
Những icơng itrình inghiên icứu iđề icập itới isai ilầm icủa ihọc isinh itrong igiải
Toán icịn itƣơng iđối iít, itrong icác icơng itrình iđó iphải ikể itới iLuận ián iTiến isĩ icủa

i

của iLê iThống iNhất: i“Rèn iluyện inăng ilực igiải iToán icho ihọc isinh iphổ ithơng

i

i

trung ihọc ithơng iqua iviệc iphân itích ivà isửa ichữa icác isai ilầm icủa ihọc isinh ikhi igiải

i

Toán” i(1996). iLuận ián inày iđã ixem ixét icác isai ilầm icủa ihọc isinh iở itừng ichủ iđề

kiến ithức, ichẳng ihạn, ichủ iđề iphƣơng itrình, ibất iphƣơng itrình, igiới ihạn, ihàm isố, i...

i

Cách iphân ichia icủa itác igiả iLê iThống iNhất icó iƣu iđiểm ilà igiúp icho ingƣời iđọc icó

i

thể ivận idụng iở imức iđộ inào iđó ivào ithực itiễn igiảng idạy, inghiên icứu. iTuy inhiên,

i

sự ihạn ichế icủa inó ilại ilà iở ichỗ: isố ilƣợng ichủ iđề ikiến ithức ilà irất inhiều ikhó imà ikể

i

hết, inếu igộp ichúng ilại iđể ithành ichủ iđề ilớn ithì inhiều ikhi imắc iphải isự ichung

i

chung imà ikhơng icó iđiều ikiện ixem ixét ihết iđặc itrƣng icủa itừng idạng. iĐặt ivấn iđề

i

xem ixét ihết icác ikiểu isai ilầm itrên imọi ichủ iđề ilà iviệc ilàm ibất ikhả ithi. iTrong iLuận

i

án icủa imình, itác igiả iLê iThống iNhất iđã iđƣa ira ibốn ibiện ipháp isƣ iphạm ivà itám idấu

i

hiệu iđể inhận ibiết isai ilầm inhƣng ichƣa ithực isự iđi isâu ivào imột ikiểu isai ilầm inào ivà

i

chƣa iphân itích imột icách ibao iquát icác inguyên inhân idẫn itới inhững isai ilầm iđó, imà

i

i

một ingun inhân ikhơng ikém iphần iquan itrọng iảnh ihƣởng itới ichất ilƣợng igiải ibài

tập iToán iđó ilà inguyên inhân ido iảnh ihƣởng ivề imặt itâm ilí. iNhóm itác igiả iTrần

i

Phƣơng i- iLê iHồng iĐức itrong iSai ilầm ithường igặp ivà icác isáng itạo ikhi igiải iToán

i

i

(2004) icũng iđề icập iđến imột isố isai ilầm icủa ihọc isinh. iTrong icơng itrình inày, icác

tác igiả iđã iđƣa ira imột isố ikĩ ithuật ichọn iđiểm irơi iđể itránh isai ilầm ikhi isử idụng icác

i

Bất iđẳng ithức iCôsi ivà iBunhiacơpski. iNgồi ira iphải ikể itới inhóm itác igiả iLê iĐình

i

Thịnh i- iTrần iHữu iPhúc i iNguyễn iCảnh iNam itrong icơng itrình iMẹo ivà ibẫy itrong

i

i

các iđề ithi imơn iTốn i(1992), itrong icơng itrình inày icác itác igiả iđã iđƣa ira ithuật ingữ

“bẫy” ivà iphân itích ikhá inhiều iví idụ ivà icho irằng, imỗi ikhi ihọc isinh imắc isai ilầm ilà

i

đồng inghĩa ivới iviệc isa ibẫy, i“bẫy” itrong icác ibài itốn ilà icác itình ihuống iđƣợc icác

i

tác igiả icài iđặt imà inếu ihọc isinh ikhông ivững ikiến ithức icơ ibản ithì isẽ imắc iphải isai

i

5


lầm. iVới icách isắp ixếp isai ilầm itheo itừng ichủ iđề ikiến ithức inhƣ icác itác igiả inói itrên

i

thì ikhơng ithể igiải ithích imột icách itƣờng iminh, idễ ihiểu ihết itất icả icác ikiểu isai ilầm

i

cho ihọc isinh iđể itừ iđó ihọ icó iý ithức iphịng itránh icác isai ilầm inày, imặt ikhác ichƣa iđề

i

cập iđƣợc imột isố ikiểu isai ilầm ithƣờng igặp inhƣ: isai ilầm ingôn ingữ, isai ilầm iliên

i

quan iđến icác ithao itác itƣ iduy, isai ilầm iliên iquan iđến iphân ichia itrƣờng ihợp iriêng,

i

... i i i

i

Nhƣ ivậy itrên iphƣơng idiện ilí iluận, icác ivấn iđề icơ ibản icó iliên iquan iđến iđề itài
nghiên icứu icủa ichúng itôi icũng iđã iđƣợc inghiên icứu iở imột imức iđộ inào iđó. iTuy

i

nhiên ichƣa icó imột icơng itrình inào inghiên icứu icác isai ilầm inhìn itừ igóc iđộ ihoạt

i

động itốn ihọc, ixem ixét icác isai ilầm itheo iphƣơng idiện ichất ilƣợng itiến ihành icác

i

hoạt iđộng itoán ihọc i– icụ ithể ilà ikhai ithác inhững isai ilầm icủa ihọc isinh ikhi iứng idụng

i

đạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn. iNói imột icách ikhác, icác icơng itrình

i

nghiên icứu ivề isai ilầm icủa ihọc isinh ikhi igiải iToán ithƣờng ixem ixét itheo iphƣơng

i

diện ichủ iđề ikiến ithức, icòn icách itiếp icận icủa iLuận ivăn inày isẽ itheo iphƣơng idiện

i

khác, iđó ilà iphƣơng idiện ihoạt iđộng. i i

i

1.2. iSự icần ithiết iphát ihiện, iphòng itránh, ikhắc iphục inhững isai ilầm icủa ihọc
i

sinh ikhi iứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn
Dạy iToán ilà idạy ihoạt iđộng itoán ihọc, ihoạt iđộng itoán ihọc ichủ iyếu icủa ihọc

sinh ilà ihoạt iđộng igiải itoán. iKiến ithức itoán ihọc icủa ihọc isinh iđạt iđƣợc iđến imức iđộ

i

nào iđƣợc ithể ihiện irõ inét inhất iqua ichất ilƣợng igiải itốn. iVai itrị icủa ibài itập itrong

i

dạy ihoc itốn ilà ivơ icùng iquan itrọng itheo iP. iM. iEcđơnnhiev: i“Bài itập iđược icoi ilà

i

i

một imắt ixích ichính icủa iq itrình idạy ihọc iTốn”. iTuy inhiên, inói inhƣ ivậy ikhơng

có inghĩa ilà itách irời iviệc idạy ihọc igiải iToán ivới idạy ihọc icác ikhái iniệm ivà iđịnh ilý

i

toán ihọc. iBởi ilẽ, imột ikhi ihọc isinh imắc iphải ikhó ikhăn, isai ilầm ikhi igiải imột ibài

i

toán icụ ithể inào iđó iđồng inghĩa ivới iviệc ihọc isinh iđã ichƣa inắm ivững ihoặc ichƣa

i

vận idụng iđƣợc inội idung ilý ithuyết iđã ihọc ivào ithực ihành igiải iTốn. iDo iđó, ikhi

i

phát ihiện ithấy ihọc isinh icịn imắc iphải inhiều ikhó ikhăn ivà isai ilầm itrong igiải iTốn

i

thì ingƣời igiáo iviên inên inhấn imạnh ilại inhững iđiểm icần ichú iý itrong iquá itrình idạy

i

học ikhái iniệm ivà iđịnh ilý itoán ihọc.

i

6


Đặt ira ivấn iđề inghiên icứu inhững ikhó ikhăn ivà isai ilầm icủa ihọc isinh ikhi iứng
dụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn ilà ithật isự icần ithiết, ibởi ilẽ, ithực itiễn

i

sƣ iphạm icho ithấy ihọc isinh ikhi iứng idụng iđạo ihàm ivào igiải icác ibài itoán ithực itiễn

i

hay imắc iphải irất inhiều ikiểu isai ilầm. Từ inhững isai ilầm ibình ithƣờng ivề itính itốn

i

đến inhững isai ilầm ido ibiến iđổi, ido isuy iluận ivà ithậm ichí icó inhững ikiểu isai ilầm irất

i

tinh, ikín iđáo ikhơng idễ iphát ihiện. iTất icả inhững ikiểu isai ilầm iấy, inhìn inhận ikhách

i

quan, ilà ido ingƣời ihọc. iTuy inhiên, itrong iđó icó imột iphần itrách inhiệm ikhơng inhỏ

i

của igiáo iviên. iBởi ivì igiáo iviên ichƣa ichú itrọng imột icách iđúng imức iviệc iphát

i

hiện, iuốn inắn ivà isửa ichữa ikịp ithời icác isai ilầm icủa ihọc isinh ingay itrong icác igiờ

i

học iToán; ihoặc igiáo iviên iphát ihiện isai ilầm icủa ihọc isinh inhƣng ichƣa ilàm irõ

i

nguyên inhân, inguồn igốc ichính idẫn iđến isai ilầm iđó, ihoặc ichỉnh isửa imột icách iqua

i

loa. iVì inhững iđiều inày inên iở ihọc isinh ikhông ikhắc iphục iđƣợc isai ilầm imà itệ ihại

i

hơn ilại itiếp itục isai ilầm. iChính ivì ithế inên iJ. iA. iKơmenxki iđã iviết: i“Bất ikỳ imột isai

i

i

lầm inào icũng icó ithể ilàm icho ihọc isinh ikém iđi inếu inhư igiáo iviên ikhông ichú iý

i

ngay iđến isai ilầm iđó, ivà ihướng idẫn ihọc isinh inhận ira, isửa ichữa ikhắc iphục isai

i

lầm”.
Nhƣ ivậy, icó ithể ikhẳng iđịnh irằng, inghiên icứu inhững isai ilầm icủa ihọc isinh iđể

từ iđó ichọn ilựa icách igiảng idạy ithích ihợp ilà imột iviệc ilàm icấp ithiết. iBởi ivì, inếu ita

i

hình idung itốt, ilƣờng itrƣớc iđƣợc inhững isai ilầm ithì ita isẽ icó icách iđể iphịng itránh,

i

ngăn ingừa; icịn inếu ikhơng ithì iđơi ikhi irơi ivào itình itrạng i“sai ilầm inối itiếp isai

i

lầm”, ivà ido iđó ihạn ichế iđến ichất ilƣợng igiáo idục.

i

1.3. iCác i isai ilầm icủa ihọc isinh itrong idạy ihọc
Chúng ita ibiết irằng i“Dạy ihọc iToán ilà idạy ihoạt iđộng iTốn ihọc” i(A. iA.
Stơliar, i1969, itr. i12) ilà imột iluận iđiểm icơ ibản iđã iđƣợc imọi ingƣời ithừa inhận, ihoạt

i

động itoán ihọc ichủ iyếu icủa ihọc isinh ilà ihoạt iđộng igiải ibài itập iTốn. iTrong imơn

i

Tốn iở itrƣờng iphổ ithơng icó inhiều itình ihuống iđiển ihình, inhƣng icó ithể ixem igiải

i

Toán ilà ihoạt iđộng itoán ihọc ichủ iyếu. iĐây ilà imột iluận iđiểm iđúng iđắn iđã iđƣợc imọi

i

ngƣời ithừa inhận. i i i

i

7

Có inhiều iý ikiến icho irằng, iphƣơng ipháp idạy ihọc iđƣợc isử idụng itrong inhà
trƣờng inói ichung icịn ilạc ihậu. iMặc idù inhiều igiáo iviên itâm ihuyết ivới inghề ivà icó

i

hiểu ibiết isâu isắc ivề ibộ imơn, iđã icó inhững igiờ idạy itốt; inhƣng inhìn ichung, iphần

i

lớn igiáo iviên ivẫn isử idụng iphƣơng ipháp ithuyết itrình ivà ithậm ichí ilà i“thầy iđọc i-

i

trò ichép” inhƣ inhiều itài iliệu iđã igọi. iĐó ilà inhững ihiện itƣợng iđáng ilo ingại, imà

i

nguyên inhân icó ithể ilà ibắt inguồn itừ inhững ivấn iđề isau iđây:

i

Một ilà, iphần ilớn igiáo iviên ichỉ inghĩ iđến iviệc idạy iđúng, idạy iđủ, idạy icái igì
chứ ichƣa inghĩ iđến iviệc idạy inhƣ ithế inào;

i

Hai ilà, ichƣa iphá iđƣợc ivòng iluẩn iquẩn icủa iviệc ituyển ichọn, iđào itạo, ibồi
dƣỡng igiáo iviên. iDo inhiều ikhó ikhăn ikhách iquan inên ichất ilƣợng iđào itạo, iđặc ibiệt

i

là ichất ilƣợng iđào itạo inghiệp ivụ itrong icác itrƣờng iSƣ iphạm ichƣa icao;

i

Ba ilà, icác ihoạt iđộng ichỉ iđạo, inghiên icứu, ibồi idƣỡng igiảng idạy icòn inặng ivề
tìm ihiểu, ilàm iquen ivà ikhai ithác inội idung ichƣơng itrình ivà iSách igiáo ikhoa. iThiếu

i

sự ichuẩn ibị iđồng ibộ iđối ivới icác imắt ixích itrong imối iquan ihệ irất ichặt ichẽ ilà imục

i

tiêu, inội idung, iphƣơng ipháp, iphƣơng itiện igiảng idạy i… iViệc icụ ithể ihóa, iquy

i

trình ihóa inhững iphƣơng ipháp idạy ihọc itốt iđể igiúp igiáo iviên isử idụng itrong igiảng

i

dạy ichƣa ilàm iđƣợc ibao inhiêu. iNgoài ira icũng ithiếu icác ithông itin icần ithiết ivề iđổi

i

i

mới iphƣơng ipháp idạy ihọc inói iriêng ivà iđổi imới igiáo idục inói ichung itrên ithế igiới; i

Bốn ilà, icác ikiểu iđánh igiá ivà ithi icử icũng iảnh ihƣởng irõ irệt itới iphƣơng ipháp

giảng idạy; iđánh igiá ivà ithi icử inhƣ ithế inào ithì isẽ icó ilối idạy itƣơng iứng iđối iphó inhƣ

i

thế iấy. i i

i

Tóm ilại, ivới ikiểu idạy ihọc ithầy itruyền ithụ ikiến ithức icòn itrò ithụ iđộng ingồi
nghe, inhững igì ithầy igiảng ithƣờng ikhơng icó isự itranh iluận igiữa ithầy ivà itrị, iđiều

i

thầy inói icó ithể icoi ilà ituyệt iđối iđúng i… iMột iphƣơng ipháp igiảng idạy itự iphát, idựa

i

vào ikinh inghiệm, ikhông ixuất iphát itừ imục itiêu iđào itạo, ikhơng icó icơ isở ikiến ithức

i

về inhững iquy iluật ivà inguyên itắc icủa ilý iluận idạy ihọc isẽ ilàm icho iquá itrình ihọc itập

i

trở inên inghèo inàn, ilàm igiảm iý inghĩa igiáo idục icũng inhƣ ihiệu iquả ibài igiảng. i

i

Trong ivài ithập ikỷ igần iđây, idựa itrên inhững ithành itựu icủa iTâm ilý ihọc, iLý
luận idạy ihọc iđã ichứng itỏ irằng, icó ithể iđạt iđƣợc imục iđích itrên ibằng icách iđặt ihọc

i

8


sinh ivào ivị itrí icủa ichủ ithể ihoạt iđộng itrong iq itrình idạy ihọc, ithơng iqua ihoạt

i

i

động itích icực icủa ibản ithân imà ichiếm ilĩnh ikiến ithức iđồng ithời ihình ithành ivà iphát

triển inăng ilực. iHoạt iđộng ihoá ingƣời ihọc ilà imột ihƣớng icơ ibản iđổi imới iphƣơng

i

pháp idạy ihọc iở icác itrƣờng iTrung ihọc iphổ ithông iđể itạo ira imột ichất ilƣợng imới

i

trong idạy ihọc. i

i

Nếu itrƣớc iđây ichủ iyếu iphổ ibiến icác iphƣơng ipháp idạy ihọc imà iở iđó ingƣời

học itiếp inhận itri ithức imột icách ithụ iđộng, imột ichiều itheo ithuật ingữ icủa imột isố

i

nhà ilý iluận idạy ihọc ithì iđó ilà iphƣơng ipháp ilấy igiáo iviên ilàm itrung itâm ithì igiờ iđây

i

các itài iliệu igiáo idục ivà idạy ihọc iở inƣớc ingoài icũng inhƣ itrong inƣớc ithƣờng inói itới

i

việc icần ithiết ichuyển itừ idạy ihọc ilấy igiáo iviên ilàm itrung itâm isang idạy ihọc ilấy

i

học isinh ilàm itrung itâm. iĐây ilà imột ixu ihƣớng itất iyếu icó ido ilịch isử. i

i

Trên icơ isở iđó inhững ikhẩu ihiệu imới, inhiều inguyên itắc, iphƣơng ipháp imới ibắt
đầu iđƣợc iđề icao itheo itinh ithần ilấy ihọc isinh ilàm itrung itâm, icoi inhƣ imột isự iđối

i

trọng ilại iphƣơng ipháp itruyền ithống. iNhà isƣ iphạm inổi itiếng iđầu ithế ikỷ iXX iở iMĩ ilà

i

J. iDewey iđề ira iphƣơng ichâm: i“… Học isinh ilà imặt itrời, ixung iquanh inó iquy itụ imọi

i

phƣơng itiện igiáo idục i…”, icó imột ithời iđƣợc ixem inhƣ ilà imột icách itân icủa igiới isƣ

i

phạm. iVới ilý ithuyết ilấy ihọc isinh ilàm itrung itâm, ingƣời ita iđề icao ikinh inghiệm icủa

i

học isinh, ikêu igọi idạy itheo inhu icầu, ihứng ithú icủa ihọc isinh. iĐã icó inhững ikhẩu ihiệu

i

khá ihấp idẫn ivà ilý ithú icủa ihọc isinh: i“Nói, ikhơng iphải ilà idạy ihọc; inói iít ihơn, ichú iý

i

nhiều iđến iviệc itổ ichức ihoạt iđộng icủa ihọc isinh” i… i i24, itr. i13. i i

i

Theo iNguyễn iBá iKim: i“Phƣơng ipháp idạy ihọc icần ihƣớng ivào itổ ichức icho
ngƣời ihọc ihọc itập itrong ihoạt iđộng ivà ibằng ihoạt iđộng itự igiác, itích icực, ichủ iđộng

i

và isáng itạo”. iĐịnh ihƣớng inày icịn igọi ilà ihọc itập itrong ihoạt iđộng ivà ibằng ihoạt

i

động, ihay icịn igọi ilà: ihoạt iđộng ihóa ingƣời ihọc.

i

Mỗi inội idung idạy ihọc iđều iliên ihệ ivới inhững ihoạt iđộng inhất iđịnh. iPhát ihiện
những ihoạt iđộng itrong imột inội idung ilà ivạch iđƣợc imột icon iđƣờng iđể ingƣời ihọc

i

chiếm ilĩnh inội idung iđó ivà iđạt iđƣợc inhững imục itiêu idạy ihọc ikhác, icũng iđồng ithời

i

là icụ ithể ihóa iđƣợc imục itiêu idạy ihọc inội idung iđó ivà ichỉ ira imột icách ikiểm itra ixem

i

mục itiêu idạy ihọc icó iđạt iđƣợc ihay ikhông ivà iđạt iđến imức iđộ inào. iCho inên iđiều icăn

i

9


bản icủa iphƣơng ipháp idạy ihọc ilà ikhai ithác inhững ihoạt iđộng itiềm itàng itrong imỗi

i

nội idung iđể iđạt iđƣợc imục itiêu idạy ihọc. iQuan iđiểm inày ithể ihiện irõ inét imối iliên ihệ

i

giữa imục itiêu, inội idung ivà iphƣơng ipháp idạy ihọc. iNó ihồn itồn iphù ihợp ivới iluận

i

điểm icơ ibản icủa iGiáo idục ihọc icho irằng icon ingười iphát itriển itrong ihoạt iđộng ivà

i

học itập idiễn ira itrong ihoạt iđộng.

i

Việc isửa ichữa isai ilầm ilà imột ihoạt iđộng iquan itrọng, ichẳng ihạn iG. iPolia icho
rằng: i“Con ingƣời iphải ibiết ihọc iở inhững isai ilầm ivà ithiếu isót icủa imình” i[31,

i

tr.204], iA. iA. iStoliar iphát ibiểu: i“Khơng iđƣợc itiếc ithời igian iđể iphân itích itrên igiờ

i

học icác isai ilầm icủa ihọc isinh” i[47, itr. i105], icòn itheo iJ. iA. iKomenxki ithì: i“Bất ikì

i

i

một isai ilầm inào icũng icó ithể ilàm icho ihọc isinh ikém iđi inếu inhƣ igiáo iviên ikhơng

chú iý ingay iđến isai ilầm iđó, ivà ihƣớng idẫn ihọc isinh inhận ira, isửa ichữa ikhắc iphục

i

sai ilầm” i(dẫn itheo iNguyễn iAnh iTuấn i2003). i i i

i

Để ithực ihiện iquan iđiểm ihoạt iđộng ihóa ingƣời ihọc, ichẳng ihạn, icó iquan iđiểm
hoạt iđộng icủa iNguyễn iBá iKim iđƣợc ithể ihiện iở icác iTƣ iTƣởng ichủ iđạo isau iđây:

i

• iCho ihọc isinh ithực ihiện ivà itập iluyện inhững ihoạt iđộng ivà ihoạt iđộng ithành
phần itương ithích ivới inội idung ivà imục itiêu idạy ihọc; i

i

• iGợi iđộng icơ icho icác ihoạt iđộng ihọc itập;
• iDẫn idắt ihọc isinh ikiến itạo itri ithức, iđặc ibiệt ilà itri ithức iphương ipháp inhư
phương itiện ivà ikết iquả icủa ihoạt iđộng;

i

• iPhân ibậc ihoạt iđộng ilàm icăn icứ iđiều ikhiển iquá itrình idạy ihọc i[15, itr. i134]. i i i i
Các inguyên itắc isửa ichữa isai ilầm icho ihọc isinh, icũng inhƣ iphƣơng ipháp idạy
học inói ichung iphải iphản iánh iđƣợc: icấu itrúc ibên ingồi ivà icấu itrúc ibên itrong, iđặc

i

biệt ilà iđối ivới icấu itrúc ibên itrong iphải ichỉ ira iđƣợc icác ithao itác itrí ituệ, icách ithức itổ

i

chức ilơgíc icủa isự inhận ithức ivà ilĩnh ihội icủa ihọc isinh.

i

Có inhiều iquan iđiểm ikhác inhau iđối ivới iviệc ichỉ ira icác isai ilầm icủa ihọc isinh,
chẳng ihạn, iR. iA. iAxanop icho irằng: i“việc itiếp ithu itri ithức imột icách icó iý ithức iđƣợc

i

kích ithích ibởi iviệc itự ihọc isinh iphân itích imột icách icó isuy inghĩ inội idung icủa itừng

i

sai ilầm imà ihọc isinh iphạm iphải, igiải ithích inguồn igốc icủa icủa icác isai ilầm inày ivà itƣ

i

duy, ilí iluận ivề ibản ichất icủa icác isai ilầm” i(dẫn itheo iLê iThống iNhất i1996), icòn i

i

10

A. iA. iStơliar ikhẳng iđịnh irằng: i“Cần icó ibiện ipháp inhằm idạy ihọc imơn itốn
dựa itrên icác isai ilầm, ikhi icác isai ilầm icủa ihọc isinh ixuất ihiện” i[47, itr. i93]. i

i

Sai ilầm ivà isửa ichữa isai ilầm icủa ihọc isinh ikhi igiải iTốn iđƣợc inhìn itừ inhiều
góc iđộ icủa icác iphƣơng ipháp idạy ihọc, ichẳng ihạn, inhìn itừ igóc iđộ icác ilí ithuyết ivề

i

học:

i

• iThuyết iHành ivi iquan iniệm irằng: iSai ilầm icủa ihọc isinh ilà imột ihiện itƣợng itiêu
cực, icó ihại icho iviệc ilĩnh ihội ikiến ithức ivà ido iđó icần itránh ivà inếu igặp ithì icần ikhắc

i

phục. iTrong idạy ihọc itheo imột isố inhà igiáo idục ingƣời iĐức imà itiêu ibiểu ilà iAphơgut

i

Lai icho irằng: i“việc ichú iý itới icác isai ilầm icủa ihọc isinh itrong igiờ ihọc icó iảnh ihưởng

i

xấu itới iviệc itiếp ithu ibài igiảng”. iĐặc ibiệt iquan iđiểm inày iđề inghị ikhông iviết ilại ilời

i

giải isai ilên ibảng ivì iđiều inày ilàm icủng icố ithêm isai ilầm itrong iý ithức icủa ihọc isinh

i

(dẫn itheo iLê iThống iNhất i1996). iCòn inguyên inhân isai ilầm ithƣờng iđƣợc icho ilà ido

i

học isinh imơ ihồ, ikhông inắm ivững ikiến ithức iđã ihọc, ido ithiếu ihụt ikiến ithức, ido ivô iý

i

không icẩn itrọng, i... iĐôi ikhi ilại iquy icho igiáo iviên itrình ibày ikhơng ichính ixác, idạy

i

q inhanh ihay igiải ithích ikhơng iđủ irõ iràng. i i i i i

i

Xu ihƣớng idạy ihọc itƣơng ithích ivới iquan iniệm inày ivề isai ilầm ithƣờng iđƣợc igọi
là i“sƣ iphạm itừng ibƣớc inhỏ”. iTheo iđó, imục itiêu idạy ihọc imột ikiến ithức iđƣợc iphân

i

thành icác imục itiêu ibộ iphận, icác imục itiêu ibộ iphận iđến ilƣợt inó ilại iđƣợc iphân ithành

i

các imục itiêu icon, i... iđể ilàm isao iđể icho ihọc isinh icó ithể ilĩnh ihội ikiến ithức icần igiảng

i

dạy ibằng icách iđi idần idần, ilần ilƣợt itừ iđơn igiản iđến iphức itạp imà ikhơng iphạm isai

i

lầm inào. iNgƣời ita itìm imọi icách iđể itránh isai ilầm. iCòn inếu ilỡ isai ilầm ixuất ihiện, ithì

i

cách igiải iquyết ithơng ithƣờng ilà idạy ilại, iôn iluyện ilại ihay icung icấp icác ikiến ithức ibổ

i

trợ icho iđến ikhi ihọc isinh icó iđƣợc ilời igiải ihay, icâu itrả ilời iđúng i(phản ixạ iđáp ilại inhƣ

i

mong iđợi). iChẳng ihạn, itheo iLê iThống iNhất, inguyên inhân isai ilầm icủa ihọc isinh ilà

i

do: ikhông inắm ivững icác ikhái iniệm, iđịnh ilí, ithiếu icác ikiến ithức ivề ilơgíc. i iBiện

i

pháp isửa ichữa isai ilầm ilà: itruyền ithụ iđầy iđủ ivà ichính ixác icác ikhái iniệm, iđịnh ilí; idự

i

đốn ivà iphịng itránh isai ilầm, ibiết isử idụng icác iquy itắc isuy iluận, i...

i

Hoặc, icó iquan iđiểm icho irằng ihọc isinh iphạm iphải isai ilầm itrong icác isuy iluận ilà
vì ihọ ithiếu ihoặc ikhơng inắm ivững ikiến ithức ivề iLơgíc iTốn ivà ido iđó, iđể ikhắc iphục

i

11


cần iđƣa ivào ichƣơng itrình icác isớm icàng itốt inội idung iLơgíc iTốn ivà idạy ithật ikĩ inó.

i

Tuy inhiên, imột iphản iví idụ ilà iở iPháp, isau inhiều ithập iniên inhấn imạnh iđặc ibiệt iđến

i

vai itrò icủa idạy icác iyếu itố ilơgíc, icác ichƣơng itrình itốn iTrung ihọc iphổ ithơng isau

i

năm i1990 iđều ighi irõ i“cấm imọi itrình ibày ivề iLơgíc iTốn”. iTrong ikhi imà inhiều

i

nghiên icứu ichỉ ira irằng ingƣời iCộng ihịa iPháp irất iquan itâm iđến ikhó ikhăn ivà isai ilầm

i

của ihọc isinh itrong idạy ihọc isuy iluận ivà ichứng iminh. iNhƣng, ithay ivì igia ităng idạy

i

học icác iyếu itố ilơgíc ithì ihọ ilại iloại ibỏ inó iđi. iNói icách ikhác, ithể ichế idạy ihọc iở iPháp

i

đang icố igắng ithoát ikhỏi inhững ihạn ichế icủa iquan iđiểm isƣ iphạm idựa itrên iThuyết

i

Hành ivi ingay itừ isự ilựa ichọn ivà itổ ichức icác inội idung itoán ihọc icần igiảng idạy.

i

• iThuyết iKiến itạo iquan iniệm irằng: iSai ilầm ikhơng ichỉ iđơn igiản ido ithiếu ihiểu
biết, imơ ihồ ihay ingẫu inhiên isinh ira imà icòn ilà ihậu iquả icủa ikiến ithức itrƣớc iđã itừng

i

có ihữu iích ivà iđem ilại ithành icông, inhƣng ibây igiờ itỏ ira isai ihoặc iđơn igiản ilà ikhơng

i

cịn ithích ihợp inữa. iTrong ihoạt iđộng icủa igiáo iviên icũng inhƣ icủa ihọc isinh, isai ilầm

i

bao igiờ icũng icũng igóp iphần ihình ithành inên inghĩa icủa ikiến ithức ilĩnh ihội iđƣợc.

i

“Sai ilầm ilà isự ithể ihiện icủa imột ikiến ithức i(tự iphát ihay iđã icó itừ itrƣớc iđó) icủa ihọc

i

sinh, ikiến ithức imà icần iphá ihủy ihay ilàm imất isự iổn iđịnh iđể ithay ithế inó ibằng ikiến

i

thức ithích iứng ihơn” i(dẫn itheo iLê iVăn iTiến i2006)

i

Nhƣ ivậy, ingoài iviệc ichỉ ira inguồn igốc icăn ibản ikhác icủa isai ilầm i(Thuyết iKiến
tạo icũng ixét iđến imột isố inguồn igốc iquan itrọng ikhác inhƣ ido ihạn ichế icủa ichủ ithể i(về

i

tâm ilí, ivề inhận ithức, i...) ihay ihậu iquả icủa ihợp iđồng ididactique, i...), iThuyết iKiến itạo

i

cịn icó imột icái inhìn itích icực ivề inó. iSai ilầm ithực isự iđóng imột ivai itrị iquan itrọng ivà

i

cần ithiết icho ihọc itập, inhất ilà ikhi inó ilà ihậu iquả icủa inhững ichƣớng ingại ihình ithành

i

từ ikiến ithức icũ. iDo iđó, ivấn iđề ikhơng iphải ilà iphịng itránh isai ilầm, imà ilà ichủ iđộng

i

tổ ichức icho ihọc isinh igặp isai ilầm ivà isửa ichữa inó inhƣ ithế inào. iNhƣ iG. iBachelard

i

nhấn imạnh: i“cần iphải itổ ichức idạy ihọc ithông iqua iviệc iphá ihủy imột icách icó ihệ

i

thống icác isai ilầm” i(dẫn itheo iLê iVăn iTiến i2006).

i

Mặt ikhác, itrƣớc imột isai ilầm icủa ihọc isinh, inếu inhƣ iThuyết iHành ivi iđi itìm
nguyên inhân itừ inhững ikiến ithức ihọc isinh inắm ikhông ivững ihay ithiếu ihụt, ihoặc itừ

i

12

sự ibất icẩn, i... icủa ichủ ithể, ithì iThuyết iKiến itạo ilại inhấn imạnh ivào iviệc itìm icâu itrả

i

lời icho icác icâu ihỏi isau:

i

- Những iquy itrình i(hay idạng ithức) ihành iđộng inào, inhững iquan iniệm inào
đƣợc ihọc isinh ivận idụng iđã igóp iphần itạo ira isai ilầm inày?

i

- Những igiả ithuyết inào icó ithể iđặt ira ivề inguồn igốc icủa inhững iquy itrình ihay
quan iniệm iđó?

i

Một iđiểm ikhác ibiệt icăn ibản igiữa iThuyết iHành ivi ivà iThuyết iKiến itạo ilà icách
thức isữa ichữa isai ilầm. iTrong ikhi iThuyết iHành ivi inhấn imạnh ivào iviệc idạy ilại ivà

i

gia ităng iluyện itập icủng icố, ido iđó icần inhấn imạnh ivai itrị ichủ iđạo icủa igiáo iviên, ithì

i

Thuyết iKiến itạo ichủ itrƣơng isửa ichữa isai ilầm ibằng icách iđặt ihọc isinh ivào inhững

i

tình ihuống ihọc itập igắn iliền ivới isai ilầm iđó. iTình ihuống inhắm itới itạo ira iở ihọc isinh

i

những ixung iđột inhận ithức, icho iphép ihọ itự inhận ira ikhông ichỉ isai ilầm imà ichủ iyếu ilà

i

nhận ira icác iquy itrình ihay iquan iniệm imà ihọ iđã ivận idụng isẽ idẫn itới inhững ikết iquả

i

mâu ithuẫn ihay inghịch ilí. iCác itình ihuống icũng iphải itạo ithuận ilợi icho ihọ itự iphá ihủy

i

hay iđiều ichỉnh iquy itrình, iquan iniệm icũ icủa imình iđể ixây idựng ikiến ithức imới ithích

i

ứng ihơn. iNhƣ ivậy, iThuyết iKiến itạo iđặc ibiệt inhấn imạnh iđến ivai itrò ichủ iđộng icủa

i

chủ ithể i(ngƣời ihọc) itrong iviệc isửa ichữa isai ilầm. i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i

Sai ilầm ivà isửa ichữa isai ilầm inhìn itừ iphương ipháp idạy ihọc igiải iquyết ivấn iđề:
Phƣơng ipháp idạy ihọc igiải iquyết ivấn iđề idựa itrên itình ihuống icó ivấn iđề itrong
dạy ihọc. iKhi ihọc isinh imắc isai ilầm ilà ixuất ihiện itình ihuống icó ivấn iđề, icó ithể ido igiáo

i

viên itạo ira ihoặc itự inó inảy isinh itừ ilơgíc ibên itrong icủa iviệc igiải iToán. iSai ilầm icủa

i

học isinh itạo ira imâu ithuẫn ivà imâu ithuẫn inày ichính ilà iđộng ilực ithúc iđẩy iquá itrình

i

nhận ithức icủa ihọc isinh. iSai ilầm icủa ihọc isinh ilàm inảy isinh inhu icầu icho itƣ iduy imà

i

theo iX. iL. iRubinstêin: i“Tƣ iduy isáng itạo iluôn ibắt iđầu ibằng imột itình ihuống igợi ivấn

i

đề” i[16, itr. i151]. iTheo iNguyễn iAnh iTuấn, ithuộc inhóm inăng ilực iphát ihiện ivà igiải

i

quyết ivấn iđề itrong ihọc iTốn icó i“Năng ilực iphát ihiện ivà isửa ichữa isai ilầm, inhƣợc

i

điểm itrong icách igiải ibài itốn, itrong iq itrình itìm ihiểu igiới ihạn icách igiải iquyết ivấn

i

đề ivà inăng ilực isửa ichữa isai ilầm” i[42, itr. i14]. i i i

i

13


Sai ilầm icủa ihọc isinh ixuất ihiện ithì isẽ ikhêu igợi iđƣợc ihoạt iđộng ihọc itập imà ihọc
sinh isẽ iđƣợc ihƣớng iđích, igợi iđộng icơ iđể itìm ira isai ilầm ivà iđi itới ilời igiải iđúng. iTìm

i

ra icái isai icủa imình iđều ilà isự ikhám iphá. iTừ isự ikhám iphá inày ihọc isinh ichiếm ilĩnh

i

đƣợc ikiến ithức imột icách itrọn ivẹn ihơn. i

i

Sai ilầm inhìn itừ igóc iđộ iLý ithuyết iTình ihuống: iTrong iTừ iđiển ithì ichướng ingại
và ikhó ikhăn ilà ihai itừ iđồng inghĩa. iKhi imột ivấn iđề imới iđƣợc iđặt ira, iviệc igiải iquyết

i

nó icó ithể icần ihay ikhơng icần isự itổ ichức ilại imột ilí ithuyết ihay isự iđiều ichỉnh iquan

i

niệm ivề imột isố ikhái iniệm itoán ihọc icó iliên iquan.

i

Ta inói irằng icó imột ikhó ikhăn, inếu ivấn iđề iđƣợc igiải iquyết imà ikhơng iđịi ihỏi
xem ixét ilại iquan iđiểm icủa ilí ithuyết iđang ixét ihay icủa inhững iquan iniệm ihiện ihành.

i

Ta inói icó imột ichướng ingại inếu ivấn iđề ichỉ iđƣợc igiải iquyết isau ikhi ita icấu itrúc
lại inhững iquan iniệm ihay ithay iđổi ilại iquan iniệm ilí ithuyết. i

i

Có iba ikiểu ichƣớng ingại itùy itheo inguồn igốc. iMột isố ichƣớng ingại icó ithể itránh
đƣợc, imột isố ikhác ithì ikhơng:

i

- Chƣớng ingại ivề imặt iphát itriển icá ithể iliên ihệ ivới iphát itriển itâm ilí icủa iđối
tƣợng;

i

- Chƣớng ingại isƣ iphạm iliên ihệ ivới isự ichuyển ihóa isƣ iphạm icủa itri ithức. iĐó
là ichƣớng ingại icó ithể itránh iđƣợc ibằng icách ihành iđộng itrên inhững itình ihuống idạy

i

học;

i

- Chƣớng ingại ikhoa ihọc iluận iliên ihệ ivới isự iphát itriển ilịch isử icủa ikhái iniệm.
Ở icấp iđộ ingƣời ihọc, imột ichƣớng ingại iloại inày i“là ithành itố” icủa ikiến ithức ihiểu

i

theo inghĩa ingƣời inào iđã igặp inó ivà iđã ivƣợt iqua ithì icó imột ikiến ithức ikhác ivới ingƣời

i

chƣa ihề igặp inó i[16, itr. i139]. i i

i

Sai ilầm iở iđây icó ithể ihiểu itheo icác ichƣớng ingại icủa iLí ithuyết iTình ihuống, iở

i

đây ichủ iyếu ichúng ita iquan itâm itới inhững ichƣớng ingại imà ihọc isinh icó ithể itránh

i

đƣợc itrong iq itrình itìm ikiếm itri ithức iTốn ihọc inói ichung ivà igiải iTốn inói iriêng.

i

Xác iđịnh icác ichƣớng ingại, ivà inguồn igốc icủa inó i itrong idạy ihọc imơn iTốn ilà iviệc

i

làm ihết isức icần ithiết. iVì inhờ iđó, igiáo iviên icó ithể itìm icác ibiện ipháp isƣ iphạm ithích

i

hợp. iĐể ixác iđịnh ichƣớng ingại, ita icó icác icách isau iđây:

i

14


- Nghiên icứu ilịch isử iphát itriển icủa ikhái iniệm iđể iphát ihiện ichƣớng ingại imà
các inhà iToán ihọc iđã igặp iphải itrong iq itrình iphát itriển ikhái iniệm iđó, ichƣớng ingại

i

này ithƣờng itrở ithành ichƣớng ingại ivề inhận ithức icủa ihọc isinh ikhi ihọc itập ikhái iniệm

i

đó.

i

- Nghiên icứu inhững isai ilầm icó icùng ibản ichất icủa iđa isố ihọc isinh ixung iquanh

khái iniệm inào iđó i[4, itr. i86]. i i i

i

Trong idạy ihọc igiáo iviên icần ilàm inảy isinh inhững ichƣớng ingại isƣ iphạm ivà icần
biết idự ikiến, ibiết ixây idựng inhững itình ihuống ixóa ibỏ inhững ichƣớng ingại ikhông

i

tránh iđƣợc. i

i

Tuy inhiên, ichúng ita ikhông ixem inhẹ, iƣu iđiểm icủa icác iphƣơng ipháp idạy ihọc,
lý ithuyết idạy ihọc itrên ivào imục iđích iphát ihiện ivà isửa ichữa isai ilầm.

i

Các iquan iđiểm inhằm iphát ihiện ivà isửa ichữa isai ilầm iđã iphân itích itrên iđều idựa
trên iquan iđiểm ihoạt iđộng icủa iNguyễn iBá iKim. iDo iđó icác inguyên itắc isửa ichữa isai

i

lầm icho ihọc isinh ikhi igiải iToán ithì icần iphải itạo iđộng icơ ihọc itập isửa ichữa icác isai

i

lầm. iHọc isinh ithấy iviệc isửa ichữa isai ilầm ilà imột inhu icầu ivà icần iphải itham igia inhƣ

i

một ichủ ithể imột icách itự inguyện, isay imê ihào ihứng. iTạo icho ihọc isinh icó iđộng icơ

i

hồn ithiện itri ithức. iCần ilấy ihoạt iđộng ihọc itập icủa ihọc isinh iđể ilàm icơ isở icho iquá

i

trình ilĩnh ihội itri ithức. iHơn inữa icác inguyên itắc iphải itập itrung ivào iphát itriển ihoạt

i

động, irèn iluyện icác ikĩ inăng ihọc itập icủa ihọc isinh. i i i i

i

1.4. iNhững iquan iđiểm ichủ iđạo itrong iviệc iphòng itránh, isửa ichữa icác isai
lầm icủa ihọc isinh itrung ihọc iphổ ithơng ikhi igiải itốn iứng idụng iđạo ihàm i

i

i

1.4.1. iQuan iđiểm i1: iTrong iquá itrình itruyền ithụ itri ithức ivà irèn iluyện ikĩ inăng

i

toán ihọc, icần iquan itâm itập iluyện icho ihọc isinh inhững ihoạt iđộng ivà ihoạt iđộng

i

thành iphần i- imà ikhi igiải iToán i- ihọc isinh ithường igặp inhững ikhó ikhăn, ivướng

mắc ihoặc isai ilầm itrong iviệc ithực ihiện icác ihoạt iđộng inày i

i

Quan iđiểm itrên iphù ihợp ivới iTƣ iTƣởng ichủ iđạo ithứ iNhất itrong ibốn iTƣ

i

Tuởng ichủ iđạo icủa iquan iđiểm ihoạt iđộng ido iNguyễn iBá iKim iđề ixuất. iNội idung

i

của iTƣ iTƣởng ichủ iđạo inày ilà: iCho ihọc isinh itập iluyện inhững ihoạt iđộng ivà ihoạt

i

động ithành iphần itương ithích ivới inội idung ivà imục iđích idạy ihọc. iDẫn idắt ihọc isinh

i

15


chiếm ilĩnh itri ithức, iđặc ibiệt ilà itri ithức iphƣơng ipháp inhƣ iphƣơng itiện ivà ikết iquả

i

của ihoạt iđộng.

i

Ta ibiết irằng, inhững ihoạt iđộng itƣơng ithích ivới inội idung ibao igồm: i

i

- iNhận idạng ivà ithể ihiện; i

i

- iNhững ihoạt iđộng itốn ihọc iphức ihợp; i

i

- iNhững ihoạt iđộng itrí ituệ iphổ ibiến itrong iToán ihọc; i

i

- iNhững ihoạt iđộng itrí ituệ ichung ivà iriêng iđối ivới imơn itốn; i

i

- iNhững ihoạt iđộng ingôn ingữ. i

i

Các idạng ihoạt iđộng itrên icó iliên iquan iđến icác idạng isai ilầm iđã ichỉ ira ichẳng

i

hạn, ihoạt iđộng itrí ituệ iphổ ibiến inhƣ iphân ichia itrƣờng ihợp, iquan ihệ imật ithiết ivới isai

i

lầm ivề iphân ichia itrƣờng ihợp iriêng; ihoạt iđộng itƣ iduy ihàm iliên iquan iđến isai ilầm ivề

i

nhận ithức isự itƣơng iứng; ihoặc ihoạt iđộng itoán ihọc iphức ihợp iliên iquan iđến isai ilầm

i

về isuy iluận ihoặc isai ilầm ivề isử idụng iđịnh inghĩa, iđịnh ilí, i...

i

Phân itích icác ihoạt iđộng ithành inhững ithành iphần: iTrong iquá itrình ihoạt

i

động, inhiều ikhi imột ihoạt iđộng inày icó ithể ixuất ihiện inhƣ imột ithành iphần icủa ihoạt

i

động ikhác. iPhân itích iđƣợc imột ihoạt iđộng ithành inhững ihoạt iđộng ilà ibiết iđƣợc icách

i

tiến ihành ihoạt iđộng itồn ibộ, inhờ iđó icó ithể ivừa iquan itâm irèn iluyện icho ihọc isinh

i

hoạt iđộng itoàn ibộ ivừa ichú iý icho ihọ itập iluyện itách iriêng inhững ihoạt iđộng ithành

i

phần ikhó ihoặc iquan itrọng ikhi icần ithiết.

i

Lựa ichọn ihoạt iđộng idựa ivào imục iđích: iNói ichung, imỗi inội idung ithƣờng

i

tiềm itàng inhiều ihoạt iđộng. iTuy inhiên, inếu ikhuyến ikhích itất icả icác ihoạt iđộng inhƣ

i

thế ithì icó ithể isa ivào itình itrạng irải imành imành, ilàm icho ihọc isinh ithêm irối iren. iĐể

i

khắc iphục itình itrạng inày, icần isàng ilọc inhững ihoạt iđộng iđã iphát ihiện iđƣợc iđể itập

i

trung ivào imột isố imục iđích inhất iđịnh. iViệc itập itrung ivào inhững imục iđích inào iđó

i

căn icứ ivào itầm iquan itrọng icủa imục iđích inày iđối ivới iviệc ithực ihiện inhững imục

i

đích icịn ilại.

i

Tập itrung ivào inhững ihoạt iđộng iTốn ihọc: iTrong ikhi ilựa ichọn ihoạt iđộng,

i

để iđảm ibảo isự itƣơng ithích icủa ihoạt iđộng iđối ivới imục iđích idạy ihọc, ita icần inắm

i

đƣợc ichức inăng imục iđích ivà ichức inăng iphƣơng itiện icủa ihoạt iđộng ivà imối iliên

i

16


hệ igiữa ihai ichức inăng inày. iTrong imơn iTốn, inhiều ihoạt iđộng ixuất ihiện itrƣớc ihết

i

nhƣ iphương itiện iđể iđạt iđƣợc inhững iyêu icầu iToán ihọc: iKiến itạo itri ithức, irèn

i

luyện ikỹ inăng itoán ihọc. iMột isố itrong inhững ihoạt iđộng inhƣ ithế inổi ibật ilên ido

i

tầm iquan itrọng icủa ichúng itrong iTốn ihọc, itrong icác imơn ihọc ikhác icũng inhƣ

i

trong ithực itế ivà iviệc ithực ihiện ithành ithạo inhững ihoạt iđộng inày itrở ithành imột

i

trong inhững imục iđích idạy ihọc. iĐối ivới inhững ihoạt iđộng inày ita icần iphối ihợp

i

chức inăng imục iđích ivà ichức inăng iphƣơng itiện itheo icơng ithức icủa iFaust: i“Thực

i

hiện ichức inăng imục iđích icủa ihoạt iđộng itrong iquá itrình ithực ihiện ichức inăng

i

phƣơng itiện” i(15, itr. i129]). iChẳng ihạn,

i

i

a. iVấn iđề irèn iluyện ihoạt iđộng iphân ichia itrường ihợp

i

Qua iphân itích iở iChƣơng i1, ikhi iphân ichia itrƣờng ihợp iriêng, ihọc isinh imắc

sai ilầm ido inhiều inguyên inhân. iCần irèn iluyện ihoạt iđộng inày iđể itừ iđó ihọc isinh icó

i

khả inăng iphịng itránh ichủ iđộng icác isai ilầm iđó. i

i

Theo iĐ. iP. iGoocki itrong iLơgíc ihọc: i“Điều iquan itrọng ikhi iphân ichia ikhái

i

niệm ilà itìm ira idấu ihiệu iđể icó ithể iđứng itrên iquan iđiểm iđó ichia ingoại idiên icủa

i

khái iniệm icần iphân ichia ithành inhững ibộ iphận ilấp iđầy ingoại idiên icủa inó”[11, itr.

i

61]. i

i

Trong iquá itrình iphân ichia i(phân iloại) iphải ituân itheo imột iquy itắc inhất iđịnh:

i

• iSự iphân ichia i(phân iloại) iphải itriệt iđể, ikhơng iđƣợc ibỏ isót;

i

• iSự iphân ichia i(phân iloại) ikhơng iđƣợc itrùng ilặp;

i

• iCùng imột ilúc ikhông iđƣợc iđƣa ivào icác idấu ihiệu ikhác inhau iđể iphân ichia

i

(phân iloại);

i

• iPhân ichia iphải iliên itục i[6, itr. i141]. i

i

Nhƣ ivậy, iđiều iquan itrọng itrong ihoạt iđộng iphân ichia itrƣờng ihợp iriêng inói

i

chung ivà igiải iTốn ibiện iluận inói iriêng ilà iviệc iphát ihiện itiêu ichí ilàm ilàm icơ isở

i

cho isự iphân ichia, ituy inhiên isau ikhi itìm ira itiêu ichí irồi, ithì icác ikĩ inăng ikhác icũng

i

khơng iđƣợc ixem inhẹ i(chẳng ihạn, ithực ihiện icác iphép ibiến iđổi itƣơng iđƣơng, ikĩ

i

năng itính itốn). iTuy iđã iđịnh ihình iđƣợc itiêu ichí iđể iphân ichia itrƣờng ihợp, inhƣng

i

17