tailieungloi

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. 1. Tọa độ của điểm, vectơ.   u  a2  b2  c2 u  a ; b; c  - Độ dài vectơ : A x ;y ;z B x ;y ;z C x ; y ;z - Cho  A A A  ,  B B B  ,  C C C  Tọa độ trung điểm I của đoạn AB, và trọng tâm G của tam giác ABC. x A  xB  xC x A  xB   x  x  G I   3 2   y  yB  yC y  yB   G  yG  A I  yI  A 2 3   z A  zB z A  z B  zC    zI  2  zG  3   ;   AB  xB  x A ; y B  y A ; zB  z A  - Tọa độ vectơ AB :  2 2 2 AB  AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A  - Độ dài đoạn AB:   u  a; b; c  v  a; b; c - Tích có hướng của 2 vectơ ,   b c c a a b  u , v   ; ;        b c c a a b   bc  bc; ca  ca; ab  ab   - Ứng dụng của tích có hướng: +Diện tích hình bình bình hành: Hình bình hành ABCD có diện tích:       S ABCD   AB, AD   AB . AD .sin AB, AD. . . +Diện tích tam giác: Tam giác ABC có diện tích:.  1  1  SABC   AB, AC   AB . AC .sin 2 2   +Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b, c đồng phẳng.  AB, AC .    a, b  .c 0      V   AB, AD  . AA ' +Thể tích khối hộp: Khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích:   V   AB, AC  . AD. +Thể tích tứ diện: Khối tứ diện  ABCD có thể tích:   u a; b; c  v  a; b; c u.v aa  b.b  c.c - Tích vô hướng của 2 vectơ   , : u a; b; c  v  a; b; c - Góc giữa hai vectơ  ,  :  u.v aa  bb  cc cos u , v     u.v a 2  b 2  c 2 . a2  b2  c2 2. Mặt cầu..  . 2. 2. 2. x  a    y  b    z  c  R 2 và bán kính R có phương trình  2 2 2  Dạng thứ hai: x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 (2)  Mặt cầu tâm. I  a; b; c .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2 2 2 I a; b; c  Với điều kiện a  b  c  d  0 , thì (2) là phương trình mặt cầu tâm  , bán kính. R  a 2  b2  c2  d . I a; b; c  Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm  và đi qua một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng. M  xM ; y M ; z M   : Ax  By  Cz  D 0 Chú ý: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng   được tính theo công thức A.xM  B. yM  C.z M  D d  M ;       A2  B 2  C 2 I a; b; c  Dạng 1: Mặt cầu đi qua một điểm M và có tâm cho trước  * Cách giải: - Bán kính mặt cầu là R MI A 1;2;  3 M 0;2; 2  Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm  và đi qua điểm  . M 0; 2;2   Mặt cầu đi qua điểm  nên có bán kính R MA  26.  x  1 2   y  2  2   z  3 2 26 A 1;  2;  1 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết   Phương trình mặt cầu tâm:. và. B  3;0;  3.  Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I của đoạn AB.Tọa độ tâm  Bán kính mặt cầu R IA  3. . I  2;  1;  2 . 2 2 2 x  2    y  1   z  2  3   Phương trình mặt cầu cần tìm: I a; b; c  P : Ax  By  Cz  D 0 Dạng 2: Mặt cầu có tâm  và tiếp xúc với mặt phẳng   .. * Cách giải: P - Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp   . M  0;  1;1 Ví dụ 3: Viết pt mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  y  2 z  1 0 . P  Mặt cầu tiếp xúc với mp   nên bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm M đến mp 0    1  2.1  1 2 R d  M , P      2  2 2 1 1    2  P : 6 2 2 2 x 2   y  1   z  1  3  Phương trình mặt cầu cần tìm Bài tập: Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7). 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF . Câu 2: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mp(P) có phương trình: 2 2 2 (S): ( x  1)  ( y  2)  ( z  2) 36 ; (P): x + 2y + 2z + 18 = 0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khỏang cách từ T đến mp(P) 2.Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) Câu 3: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; -2; 3) và đường thẳng d: x 1 y  2 z  3   2 1 1 1.Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d 2.Tính khỏang cách từ A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. 3. Phương trình mặt phẳng.  M  xM ; y M z M  n  A; B; C  Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến . A x  xM   B  y  yM   C  z  zM  0 PTTQ của mp là  Một số dấu hiệu: P d - Mặt phẳng   vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường thẳng   . Khi đó vectơ  AB hoặc vectơ chỉ phương ud của  d  là vectơ pháp tuyến của mp  P  .  n P Q Q - Mặt phẳng   song song với mặt phẳng   , khi đó vectơ pháp tuyến Q của mp   P cũng là vectơ pháp tuyến của mp   . P A 1;2;  3 Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng   đi qua điểm  và : x 1 y z2   d : 2 1 3 a) vuông góc với đường thẳng Q : x  y  3 z 0 b) song song với mặt phẳng   A 0;1;1 B   1;2;0  c) vuông góc với đường thẳng AB với  , Lời giải:  d u  2;  1;3  a) Đường thẳng có vectơ chỉ phương . P  d P u  2;  1;3      nên   nhận làm vectơ pháp tuyến. P A 1; 2;  3 Mặt khác   đi qua điểm  . P  Vậy phương trình tổng quát của   : 2 x  y 3z  9 0 P // Q Q n  1;  1;  3 b)      nên vectơ pháp tuyến của   , cũng là vectơ pháp tuyến của  P . P A 1; 2;  3  Mặt khác   đi qua điểm  . P  Vậy phương trình tổng quát của   : x  y  3z  8 0 P  AB P AB   1;1;  1 c)   nên   nhận làm vectơ pháp tuyến P A 1; 2;  3 Mặt khác   đi qua điểm  . P  Vậy phương trình tổng quát của   : x  y  z  4 0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  P  xác định bởi hai vectơ P song hoặc nằm trên   . Dạng 2: Mặt phẳng Cách giải:.   u , v không cùng phương và có giá song.   n  u , v .   P Vectơ pháp tuyến của   là , tích có hướng của hai vectơ u , v . Một số dấu hiệu thường gặp: P d , d - Mp   song song với hai đường thẳng  1   2  không cùng phương. P  ,  - Mp   vuông góc với hai mặt phẳng     không song song. Bài tập: Câu 1. Cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1). 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. 2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). 1. Chứng minh tam giác ABC Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.  vuông.  2. Gọi M là điểm sao cho MB  2 MC . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC. 4. Phương trình đường thẳng.   M  xM ; y M ; z M  u  a; b; c    Đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương .  x  xM  at   y  yM  bt   z  z M  ct  t    - Phương trình tham số của   :  , x  xM y  yM z  zM     a b c - Phương trình chính tắc của : Yêu cầu: Từ các phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng phải biết lấy vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường. M x ; y ;z Dạng 1: Đường thẳng đi qua điểm  M M M  và có vectơ chỉ phương xác định trước. Một số dấu hiệu thường gặp:      . - Đường thẳng đi qua hai điểm M, N, khi đó vectơ MN là vectơ chỉ phương  của  - Đường thẳng   vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó vectơ pháp tuyến nP của (P) là  vectơ chỉ phương của   .  - Đường thẳng   song song với đường thẳng (d), khi đó vectơ chỉ phương của (d) cũng là  vectơ chỉ phương của   .  Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng   , biết:  A 1;2;  3 B  0;1;  2  a)   đi qua hai điểm  ,  M 1;  1;1  : x  3 y  z 0 b)   đi qua điểm  và vuông góc với mặt phẳng   .  x 2t  d  :  y  1  t  z 2  N 0;0; 2   c)   đi qua điểm  và song song với đường thẳng.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>   1;  1;1 a) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nên nhận vectơ AB  làm vectơ chỉ  x 1  t   y 2  t  z  3  t  t     A 1; 2;  3 phương.   đi qua  nên có ptts  ,  P P n  1;  3;1 b)      nên nhận vectơ pháp tuyến của   làm vectơ chỉ phương.  x 1  t   y  1  3t    đi qua điểm M  1;  1;1 nên có ptts:  z 1  t ,  t     u  2;1;0  c) Đường thẳng (d) cóvectơ chỉ phương .    //  d  nên nhận u  2;1;0  làm vectơ chỉ phương.    đi qua điểm N  0;0;2  nên có  x 0  2t   y 0  t  z 2 t   phương trình tham số:  , ..  . Bài tập: Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm E(1;0;2) , M(3;4;1) và N(2;3;4). 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN. Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5)và đường thẳng  x 1  2t  d  :  y  3  t  z 6  t  . 1. Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. 5. Góc, khoảng cách. + Góc giữa 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0:   nP .nQ AA ' BB ' CC ' cos  ( P), (Q)      2 nP . nQ A  B 2  C 2 . A '2  B ' 2  C '2    u  ( a , b , c ); u ' ( a ', b ', c ') : + Góc giữa 2 đường thẳng () và (’) lần lượt có VTCP:  u.u ' aa ' bb ' cc ' cos  ( ), ( ')      2 u . u' a  b 2  c 2 . a ' 2  b '2  c '2   n  ( A , B , C ) u + Góc giữa mp (P) có VTPT và đường thẳng () có VTCP: (a, b, c) :  n.u Aa  Bb  Cc sin  ( P), ()      2 n.u A  B 2  C 2 . a 2  b2  c2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> + Khoảng cách từ điểm. M  xM ; y M ; z M . d ( M ;( P))  tính theo công thức:. đến mặt phẳng A.xM  B. yM  C .zM  D.  P  : Ax  By  Cz  D 0. được. A2  B 2  C 2.  u + Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng () có VTCP và đi qua điểm M0 là:.    MM 0 , u    d ( M ,(  ))   u. . + Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: (d 1) qua điểm M1, có VTCP u1 ; (d2) qua     u1 , u2  .M1M 2    d ((d1 ),(d 2 ))    u1 , u2    điểm M2, có VTCP u 2 : Bài tập: Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0. 1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P). Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2 x  2 y  z  7 0 . 1. Viết phương trình đường thẳng MN. 2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mp(P). A  2;  1;3 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm , mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  10 0 . 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P). 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). 6. Tương giao giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Bài toán tổng hợp Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4; 3; 2), B(3; 0; 0), C(0;3; 0) và D(0; 0; 3). 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD. 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng qua ba điểm B, C, D. Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6). 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG. Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; -1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 1. Viết phương trình đường thẳng OG. 2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C. 3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S)..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm    : x  2 y  2 z  6 0 .. E  1; 2;3. và mặt phẳng. mp    1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với .  2) Viết phương trình tham số của đường thẳng   đi qua điểm E và vuông góc với mp    . ------------------------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>