BT phu dao GT12 C1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ. I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Baøi 1.Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2 a) y  2 x  4 x  5. 3 2 b) y x  2 x  x  2. 1 y  x4  2x2  1 4 d). 4 2 e) y  x  2 x  3. y 1 . 1 1 x. y. 4 3 2 a) y  6 x  8x  3 x  1 2x  1 y x2 d). g) y  2 x  1  3  x    y sin 2 x    x    2 2 k). b) y e). f). y. 2. 2 x  x  26 x 2. g) h) Baøi 2.Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: y. 2 c) y (4  x )( x  1). m). x 1 2 x. y  x  3 . x2  1. y. x2  4. c). 1 1 x. x2  x 1 x2  x 1. x x 2  3x  2. f) y  x  3  2 2  x. 2 h) y  x 2  x. 2 i) y  2 x  x    y sin 2 x  x    x    2 2 l). VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Baøi 1.Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: 3 a) y x  5 x  13. b). y. x3  3x 2  9 x  1 3. c). y. 2x  1 x 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> y. x2  2x  3 x 1. y. x 2  2mx  1 x m. d) e) y 3 x  sin(3 x  1) f) Baøi 2.Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y  5 x  cot( x  1) b) y cos x  x c) y sin x  cos x  2 2 x Baøi 3.Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: x 2  2mx  1 y x m c). mx  4 y 3 2 y  x  3 mx  ( m  2) x  m x m a) b). 3 2 Baøi 4.Tìm m để hàm số y  x  3 x  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. Baøi 5.Tìm m để hàm số:. x3  (m  1) x 2  (m  1) x  1 3 a) đồng biến trên khoảng (1; +). mx  4 y (m 2) x m b) đồng biến trên khoảng (1; +). y. c). y. x 2  2mx  3m 2 x  2m đồng biến trên khoảng (1; +).. VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Baøi 1.Chứng minh các bất đẳng thức sau: x3 2 1  x  sin x  x , với x  0 sin x  tan x  x , với 0  x  6 3 2 a) b) 3 Baøi 2.Chứng minh các bất đẳng thức sau: tan a a   , với 0  a  b  2 a) tan b b. b). a  sin a  b  sin b, với 0  a  b .  2. VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Baøi 1.Giải các phương trình sau: a) x  x  5  5 Baøi 2.Giải các phương trình sau: a). 5. x  1  5 x  2  5 x  3 0. 5 3 b) x  x  1  3 x  4 0. b) ln( x  4) 5  x. Baøi 3.Giải các hệ phương trình sau: 2 x  1  y 3  y 2  y   2 y  1  z3  z2  z  3 2 a) 2 z  1  x  x  x.  x y 3  y 2  y  2   y  z3  z 2  z  2  3 2 b)  z  x  x  x  2. x x x c) 3  4 5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  tan x  tan y y  x  5 2 x  3y   4      x, y  2 d)  2.  y 3 6 x 2  12 x  8  3  z 6 y 2  12 y  8  3 2 c)  x 6z  12 z  8 3 2 HD: a, b) Xét hàm số f (t ) t  t  t d) Xét hàm số f(t) = tant + t. 2 c) Xét hàm số f (t ) 6t  12t  8. II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D. a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0. VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số Tìm cực trị của các hàm số sau:. Baøi 1. 2. 3. a) y 3 x  2 x x4 3 y   x2  2 2 d) Baøi 2.. 3. 2. b) y  x  2 x  2 x  1  x 2  3x  6 y x 2 e) Tìm cực trị của các hàm số sau:. c) f). y y. x4  x2  3 2. 3x 2  4 x  5 x 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3 4 a) y ( x  2) ( x  1) Baøi 3.. y. 4x2  2x  1. 2x2  x  3 b) Tìm cực trị của các hàm số sau:. 3. 2 a) y  x  1. x x b) y e  4e. 2 d) y  x  4sin x. 2 c) y  x  2 x  5. 2 c) y  x  5 x  5  2 ln x. 2 e) y  x  ln(1  x ). VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:. Baøi 1.. 3 2 2 3 a) y x  3mx  3(m  1) x  m x 2  m(m2  1) x  m 4  1 y x m c). Baøi 2.. 3 2 b) y 2 x  3(2m  1) x  6m(m  1) x  1 x 2  mx  m  2 y x  m 1 d). Tìm m để hàm số:. 3 2 2 a) y  x  3(m  1) x  (2m  3m  2) x  m(m  1) có cực đại, cực tiểu. 3 2 2 b) y  x  3mx  (m  1) x  2 đạt cực đại tại x = 2.. 1 x . 2 c) y  mx  2(m  2) x  m  5 có một cực đại x 2  2mx  2 y x m d) đạt cực tiểu khi x = 2. 2 x  x m y x 1 e) có một giá trị cực đại bằng 0. 4. Baøi 3.. 2. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:. 3 2 a) y x  3 x  3mx  3m  4  x 2  mx  5 y x 3 c). Baøi 4.. 3 2 b) y mx  3mx  (m  1)x  1 x 2  (m  1) x  m 2  4 m  2 y x 1 d). Tìm a, b, c, d để hàm số:. 4 1 3 2 y  ax  bx  cx  d a) đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 27 tại x = 3 4 2 b) y ax  bx  c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = x 2  bx  c y x 1 c) đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.. d). y y. e) Baøi 5.. 3.. ax 2  bx  ab bx  a đạt cực trị tại x = 0 và x = 4. ax 2  2 x  b x2 1. đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. Tìm m để hàm số :. 3 2 2 2 a) y x  2(m  1) x  (m  4m  1) x  2(m  1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1 1   (x  x ) x1 x2 2 1 2. .. 1 y  x 3  mx 2  mx  1 x  x 8 3 b) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: 1 2 . 1 1 y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  3 3 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1  2 x2 1 . c) VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số : x2  x  1 y x 2 c). 3 2 2 3 a) y  x  2 x  x  1 b) y 3 x  2 x Baøi 2.Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: 3 2 2 3 a) y  x  3mx  3(m  1) x  m. x 2  mx  6 y x m b). 3 2 Baøi 3.Tìm m để hàm số y 2 x  3(m  1) x  6(m  2) x  1 có đường thẳng đi qua hai. điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1.. III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ 1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R).  f ( x ) M , x  D M max f ( x )   D x0  D : f ( x0 ) M a)  f ( x ) m, x  D m min f ( x )   D x0  D : f ( x0 ) m b) 2. Tính chất: max f ( x )  f (b), min f ( x )  f (a) [a;b ] a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [a;b ] . max f ( x )  f (a), min f ( x )  f (b) [a;b ] b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì [a;b] . VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.  Tính f (x).  Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  Tính f (x).  Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).  So sánh các giá trị vừa tính và kết luận. M max f ( x ) max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) [ a;b ]. m min f ( x ) min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ) [ a;b]. Baøi 1.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 2 a) y x  4 x  3. 3 4 b) y 4 x  3x x 1 y 2 x  2x  2 e). 2 d) y  x  x  2. 4 2 c) y x  2 x  2. y. 2 x2  4x  5 x2 1. f). x2  x 1 1 y ( x  0) x x2  x 1 g) h) Baøi 2.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: y x 2 . y. x4  x2 1. i). x3  x. 3 2 a) y 2 x  3 x  12 x  1 trên [–1; 5]. 3 b) y 3 x  x trên [–2; 3]. 4 2 c) y  x  2 x  3 trên [–3; 2] 3x  1 y x  3 trên [0; 2] e). 4 2 d) y  x  2 x  5 trên [–2; 2] x 1 y x  1 trên [0; 4] f). g). y. 1  x  x2 y 1  x  x 2 trên [0; 1] h). 4 x2  7x  7 x 2 trên [0; 2]. 2 i) y  100  x trên [–6; 8] Baøi 3.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:. a). y. 2 sin x  1 sin x  2. ( x  0). y b). k) y  2  x  4  x 1. 2 c) y 2sin x  cos x  1. cos2 x  cos x  1. 3 3 e) y sin x  cos x. d) y cos 2 x  2sin x  1 y f). x2  1 x4  x2 1. 2 2 2 2 g) y 4 x  2 x  5  x  2 x  3 h) y  x  4 x  x  4 x  3. VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức Baøi 1. Giả sử. P. D  ( x; y; z) / x  0, y  0, z  0, x  y  z 1. . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:. x y z   x 1 y 1 z 1 ..  1 1 1  P 3       x 1 y 1 z 1  HD: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:. 1 1 1     9  x 1 y 1 z 1 .  ( x  1)  ( y  1)  (z 1) .

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 3 1 3 min P  4.  P  4 . Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 3 . Vậy D  5 ( x; y ) / x  0, y  0, x  y   4  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Baøi 2. Cho D =  4 1 S  x 4y ..  x  x  x  x  4 y   1  1  1  1 . 4 1  1  4( x  y )    25  25  x x x x 4y   x 4y  HD:  1  S  5. Dấu “=” xảy ra  x = 1, y = 4 . Vậy minS = 5. VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị Baøi 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: x2  x 1 2 x 2  7 x  23 2sin x  cos x  1 y y y 2 2 sin x  2 cos x  3 x  x 1 x  2 x  10 a) b) c) VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT Baøi 1.Giải các phương trình sau: 1 x 5  (1  x )5  4 4 x x 16 a) x  2  4  x 2 b) 3  5 6 x  2 c) Baøi 2.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 2 a) x  2 x  1 m. c). 3 x  6 x . b). 2 x  2x . (3  x )(6  x ) m. (2  x )(2  x ) m. d). 7  x  2  x  (7  x )(2  x ) m Baøi 3.Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R: 2 a) x  2 x  1  m. 2 b) m 2 x  9  x  m. 4 c) mx  4 x  m 0. IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ 1. Định nghĩa: U x ; f ( x0 ) Điểm  0 đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị 2. Tính chất:  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x 0, f(x0) = 0 và f(x) U x ; f ( x0 ) đổi dấu khi x đi qua x0 thì  0 là một điểm uốn của đồ thị hàm số..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3 2  Đồ thị của hàm số bậc ba y ax  bx  cx  d (a  0) luôn có một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thị.. Baøi 1.Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau: 3 2 4 2 5 4 a) y x  6 x  3 x  2 b) y  x  6 x  3 c) y 3 x  5x  3 x  2 Baøi 2.Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra: x3 8 y   (m  1) x 2  (m  3) x  3 2 3 3 ; I(1; 3) a) y x  3 x  3mx  3m  4 ; I(1; 2). b) Baøi 3.Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn: x 2  mx  1 x5 4 y y   x 4  (4 m  3) x 3  5 x  1 5 3 x2 1 a) b) Baøi 4.Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng: 2 x 1 x 1 2 x 2  3x y y y x2  x 1 x2 1 x2 1 a) b) c) Baøi 5.Tìm m, n để đồ thị của các hàm số: 4 3 2 a) y  x  2 x  6 x  mx  2m  1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2). x3 2 y   x 2  mx  3 3 có điểm uốn ở trên đường thẳng y x  2 . b). V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 1. Định nghĩa: x  x0  Đường thẳng đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim f ( x )  lim f ( x )   lim f ( x )  lim f ( x )   x  x0  x  x0  x  x0  x  x0  ; ; ; y y0  Đường thẳng đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim f ( x ) y0 lim f ( x ) y0 x   x  ;  Đường thẳng y ax  b, a 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f ( x ) nếu ít. nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim  f ( x )  (ax  b) 0 lim  f ( x )  (ax  b) 0 x   ; x   2. Chú ý: P( x ) y  f (x)  Q( x ) là hàm số phân thức hữu tỷ. a) Nếu x  x0  Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng .  Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.  Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x )  ax  x   x x   f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x )  ax  x   x x   hoặc Baøi 1.Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 2x  5 10 x  3 y y x 1 1 2x a) b) x2  4x  3 ( x  2)2 y x 1 1 x d) e) Baøi 2.Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: x 2x y y 2 x  4x  5 9  x2 a) b) Baøi 3.Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 4x  2 y 2 x2  9 a) y  x  4 x b) Baøi 4.Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: y. 2x 1. y. 2x  3 2 x. c) 7x2  4 x  5 y 2  3x f) y c) y c). x2  4x  5 x2  1 1 x2  4x  3. e x  e x 2 2 2x  1 a) b) c) y ln( x  5 x  6) Baøi 5.Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: 3 2  x2 x 3 y y y 2 2 2 2 4 x  2(2m  3) x  m  1 b) 3 x  2(m  1) x  4 c) x  x m  2 a) y. y ln. x 2  (3m  2) x  2m  1 y x 5 Baøi 6.Tìm m để đồ thị của hàm số sau có tiệm cận xiên Baøi 7.Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục toạ độ: 3x 2  x  1  3x 2  x  4 y y x 1 x 2 a) b) Baøi 8.Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S đã chỉ ra: x 2  mx  1 x 2  (2m  1) x  2m  3 y y x 1 ;S=8 x 1 a) b) ;S=8 Baøi 9.Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số: x2  x 1 2 x 2  5x  4 y y x 1 x 3 a) b).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm tập xác định của hàm số.  Xét sự biến thiên của hàm số: + Tính y. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định. + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.  Vẽ đồ thị của hàm số: +(NC) Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương). – Tính y. – Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y. + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn. 3 2 2. Hàm số bậc ba y ax  bx  cx  d (a 0) :  Tập xác định D = R.  Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.  Các dạng đồ thị: a>0 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y  D’ = b2 – 3ac > 0. I 0. y’ = 0 có nghiệm kép  D’ = b2 – 3ac = 0. x. a<0 y 0 I. x.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> y’ = 0 vô nghiệm  D’ = b2 – 3ac < 0. y. y I 0. I 0. x. x. 4 2 3. Hàm số trùng phương y ax  bx  c (a 0) :  Tập xác định D = R.  Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.  Các dạng đồ thị:. a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt y  ab < 0. y’ = 0 chỉ có 10nghiệm x  ab > 0 y. 0. 4. Hàm số nhất biến. y. y. 0. x. 0. x. y. x. ax  b (c 0, ad  bc 0) cx  d :.  d R \    c .  Tập xác định D = d a y c và một tiệm cận ngang là c . Giao điểm của  Đồ thị có một tiệm cận đứng là hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.  Các dạng đồ thị: x .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> y. y. 0. 0. x ad – bc > 0. 5. Hàm số hữu tỷ. y. x ad – bc < 0. ax 2  bx  c (a.a ' 0, tử không chia hết cho mẫu) a' x  b' :.  b' R \    a' .  Tập xác định D = x .  Đồ thị có một tiệm cận đứng là là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.  Các dạng đồ thị:. b' a ' và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm cận. a.a > 0. a.a < 0. y = 0 có 2 nghiệm phân biệt. y = 0 vô nghiệm. y. 0. y. x. 0. Baøi 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: 3 2 a) y  x  3 x  9 x  1. 3 2 b) y  x  3 x  3 x  5. 3 2 c) y  x  3x  2. x.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> x3 1  x2  3 3 d) y ( x  1) (4  x ) e) Baøi 2.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: y. 2. 4 2 a) y x  2 x  1. 4 2 b) y x  4 x  1. 2 2 4 2 d) y ( x  1) ( x  1) e) y  x  2 x  2 Baøi 3.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: x 1 2x 1 y y x 2 x 1 a) b). 1  2x 3x  1 y y 1  2x x 3 d) e) Baøi 4.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: x2  x 1 y x 1 a) 1 x 1 d) Baøi 5.Vẽ đồ thị của các hàm số: y  x  1  3. a) y  x  3 x  2 x 1 y x 1 d). x2  x  2 y x 1 b). 3 2 f) y  x  3 x  4 x  2. c). y. x4 5  3x2  2 2. 4 2 f) y  2 x  4 x  8. c) f). y y. 3 x x 4. x 2 2x 1. x2  x  2 y x 1 c). x2 y 1 x e). f). 3 2 b) y   x  3x  2. 4 2 c) y  x  2 x  3. y e). x2  x  2 x1. y. x2  2x x 1. x 2  3x  3 y x 2 f).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị. Baøi 3.Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:  x2 3  3x   y   2x  4 2 2 y    y 4 x 3  3 x  x 1 y  x  1  2  y  x  2 x  4 y  x  2 2 2 a)  b)  c)  Baøi 4.Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:  x3 x2  2x  y    2x 1 3 2  y   y x3  3x  2   1 13   y m  x    x 2   y 2 x  m y m( x  2)   2  12   a) b) c) Baøi 5.Tìm m để đồ thị các hàm số: ( x  2)2  1 y ; y mx  1 x 2 a) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 2 x 2  3x  m ; y 2 x  m x 1 b) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. mx 2  x  m y ; y mx  2 x 1 c) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu. 2 mx  x  m y x 1 d) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Baøi 6.Tìm m để đồ thị các hàm số: y. 3 2 a) y  x  3 x  mx  2m; y  x  2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt. 3 2 b) y mx  3mx  (1  2m) x  1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 2 2 c) y ( x  1)( x  mx  m  3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 3 2 2 d) y  x  2 x  2 x  2m  1; y 2 x  x  2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt. 3 2 2 2 e) y  x  2 x  m x  3m; y 2 x  1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt. Baøi 7.Tìm m để đồ thị các hàm số: 4 2 a) y  x  2 x  1; y m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt. 4 2 3 b) y x  m(m  1) x  m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 4 2 2 c) y x  (2m  3) x  m  3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Baøi 8.Tìm m để đồ thị của các hàm số: 3x  1 y ; y  x  2m x 4 a) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 4x  1 ; y  x  m 2 x b) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất. y. 3 2 Baøi 9.Tìm m để đồ thị của hàm số y  x  3mx  6mx  8 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.. 2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ  Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)  Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau: Dạng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1) y Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ (C) c. giao điểm của hai đường: (d) : y = m m A c. (C): y = f(x) yCĐ c. c. c. d: y = m  d là đường thẳng cùng phương với trục hoành. xA x  Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm yCT của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1) c. Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m. Chú ý:  Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:   x   thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với   x  .  Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.. VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Baøi 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 3 a) y x  3 x  1; x  3 x  1  m 0. 3 3 b) y  x  3 x  1; x  3 x  m  1 0. 3 3 2 3 3 c) y x  3 x  1; x  3x  m  2m  2 0 d) y  x  3 x  1; x  3 x  m  4 0 x4 y   2 x 2  2; x 4  4 x 2  4  2m 0 4 2 4 2 2 e) f) y x  2 x  2; x  2 x  m  2 0 Baøi 2.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 2  5x  7 y ; x 2  (m  5) x  3m  7 0 x  3 a). 2 x2  4x  2 y ; 2x  3 b). 2 x 2  2(m  2) x  3m  2 0.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> c). y. x2 1 ; x. (m  1) x 2  2 x  1 0. x2  2x  4 ; x 2  2(m  1) x  4(m  1) 0 2 x  4 d) Baøi 3.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x2 y ; 2sin2   2m cos   m  2 0 (0   ) 2x  1 a) y. 2 x 2  3x y ; cos 2  (m  3) cos   2m  1 0 (0   ) x 2 b) Baøi 4.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a) b). (C ) : y . x 2  3x  6 x 2  3x  6 x 2  3 x  6 ; (T ) : y  ;  2m 0 x 1 x1 x 1. (C ) : y . x 2  5x  4 x 2  5x  4 x 2  5x  4 ; (T ) : y  ;  m  2 0 x x x. 3 2 3 2 3 2 c) (C ) : y  x  3 x  6; (T ) : y  x  3 x  6 ; x  3 x  6  m  3 0 3. 3. 3 2 2 2 d) (C ) : y 2 x  9 x  12 x  4; (T ) : y 2 x  9 x  12 x  4; 2 x  9 x  12 x  m 0 x 2 y  f (x)  x 1. Baøi 5.Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x  3y 0 .. c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình: 3x 2  (m  2) x  m  2 0 x 1 x  1. Baøi 6.Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. y  f ( x) . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x  2 y 0 . c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 x 2  (m  1) x  m  1 0. x2 y  f (x)  x 1. Baøi 7.Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1). c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (1  m) x 2  (1  m) x  1 0. VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị Baøi 1.Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: 3 2 a) 2 x  3(m  1) x  6mx  2 0. 3 2 b) x  3 x  3(1  m) x  1  3m 0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 3 2 c) 2 x  3mx  6(m  1) x  3m  12 0 3. 3 2 d) x  6 x  3(m  4) x  4m  8 0. 2. 3 e) 2 x  3(m  1) x  6(m  2) x  2  m 0 f) x  3mx  2m 0 Baøi 2.Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm: 3 2 2 3 a) x  (m  1) x  (2m  3m  2)x  2m(2m  1) 0 b) x  3mx  2m 0 3 2 3 2 c) x  (2m  1)x  (3m  1) x  (m  1) 0 d) x  3 x  3(1  m) x  1  3m 0 Baøi 3.Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 2 2 2 a) x  3mx  3(m  1) x  (m  1) 0 3 2 c) 2 x  3(m  1) x  6(m  2) x  2  m 0. 3 2 b) x  6 x  3(m  4) x  4m  8 0 1 3 x  x  m 0 d) 3. 3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG. VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) M x ;y Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm 0  0 0  :  Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.  Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).  Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).   có hệ số góc k  f (x0) = k (1)  Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x ) kx  m   f '( x ) k (*)  Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của . Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau: +  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan +  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a 1  +  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = a k a tan  +  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì 1  ka Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0).  Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0) A( x A ; y A )   đi qua nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (2)  Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của .. A( x A ; y A ). ..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. A( x A ; y A )  Phương trình đường thẳng  đi qua và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:.  f ( x ) k ( x  x A )  y A   f '( x ) k  Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .. (*). Baøi 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: 3 2 4 2 a) (C): y 3 x  x  7 x  1 tại A(0; 1) b) (C): y x  2 x  1 tại B(1; 0) 3x  4 2 y y x  1  2 x  3 tại C(1; –7) 2 x  1 tại D(0; 3) c) (C): d) (C): Baøi 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: x 2  3x  3 y x 2 a) (C): tại điểm A có xA = 4. 3( x  2) x  1 tại điểm B có yB = 4 b) (C): x 1 y x  2 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. c) (C): y. d) (C): y 2 x . 2 x 2  1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.. 3 e) (C): y x  3 x  1 tại điểm uốn của (C). 1 9 y  x 4  2x2  4 4 tại các giao điểm của (C) với trục hoành. f) (C): Baøi 3.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: 3 2 a) (C): y 2 x  3 x  9 x  4 và d: y 7 x  4 . 3 2 2 b) (C): y 2 x  3 x  9 x  4 và (P): y  x  8 x  3 . 3 2 3 2 c) (C): y 2 x  3 x  9 x  4 và (C’): y x  4 x  6 x  7 . Baøi 4.Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra: 5 x  11 y 2 x  3 tại điểm A có xA = 2 . a) (C): 2 b) (C): y  x  7 x  26 tại điểm B có xB = 2. Baøi 5.Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước: 2x  m 1 y x  1 tại điểm A có xA = 2 và S = 2 . a) (C): 3 b) (C): y  x  1  m( x  1) tại điểm C có xC = 0 và S = 8. Baøi 6.Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra: 2x  1 y 3 2 y  2 x  3 x  5 x  2 ; k = –3 a) (C): ; k = 12 b) (C):.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> x2  3x  4 2 x  1 ; k = –1 c) (C): d) (C): y  x  4 x  3 ; k = 2 Baøi 7.Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho trước: x3 2x  1 3 y   2 x 2  3x  1 y y  x  2 3 x  2 ; d: 4 a) (C): ; d: y = 3x + 2 b) (C): y. x2  2x  3 1 3 y y  x 4  3x 2  2 x  y  5  0 4 x  6 ; d: 2 2 ; d: y = –4x c) (C): d) (C): +1 Baøi 8.Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d cho trước: x3 x 2x  1 y   2 x 2  3x  1 y   2 y 3 8 x  2 ; d: y  x a) (C): ; d: b) (C): x2  3 x2  x  1 y x  1 ; d: y = –3x x  2 ; d: x – 2 c) (C): d) (C): Baøi 9.Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox góc : x3 3x  2 y   2 x 2  x  4;  600 (C ) : y  ;  450 3 x 1 a) (C): b) Baøi 10. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước: x 2  (2m  1) x  2  m y x 1 a) (C): tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C). y. 2 x 2  mx  1 x 3 ; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 . Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d. y. b) (C): Baøi 11. cho trước: (3m  1) x  m 2  m y (m 0) x m (C): tại điểm A có yA = 0 và d: y x  10 . Baøi 12. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra: 3 a) (C): y  x  3 x  2 ; A(2; –4). c) (C):. y. x 2 x  2 ; C(–6; 5). 2. 2  b) (C): y  2  x ; B(0; 4) 2 x  x 2 y x  1 ; D(2; 2) d). VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc (NC) Baøi 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:. a). (C1 ) : y x 3  (3  m)x 2  mx  2; (C2 ) : trục hoành. b). (C1 ) : y x 3  m( x  1)  1; (C2 ) : y  x  1. c). (C1 ) : y x 3  2 x 2  2 x  1; (C2 ) : y x  m. Baøi 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:. a). (C1 ) : y x 4  2 x 2  1; (C2 ) : y 2mx 2  m. b). (C1 ) : y ( x  1)2 ( x  1)2 ; (C2 ) : y 2 x 2  m.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> c) d). (C1 ) : y . (2m  1) x  m 2 ; (C2 ) : y x x 1. (C1 ) : y . x2  x 1 ; (C2 ) : y x 2  m x 1. VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C1): y = f(x) và C2): y = g(x) Baøi 1.Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị: a). (C1 ) : y x 2  5 x  6; (C2 ) : y  x 2  5x  11. b). (C1 ) : y  x 2  5 x  6; (C2 ) : y  x 2  x  14. c). (C1 ) : y x 2  5 x  6; (C2 ) : y  x 3  3 x  10. VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước Baøi 1.Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho trước: x 2  3x  6 1 y y x x  1 ; d: 3 a) (C): b) (C):. y. x2  x  1 x  1 ; d là tiệm cận xiên của (C). x2  x  1 y x  1 ; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). c) (C): x2  x  1 x d) (C): ; d: y = x Baøi 2.Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho trước: x2  x 1 y 3 2 x a) (C): y  x  x  x  10 ; d: y 2 x b) (C): ; d: y = –x y. VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): 3 2 3 a) (C ) : y  x  3 x  2 b) (C ) : y  x  3x  1 Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): x2  x  2 x 1 (C ) : y  (C ) : y  x  1 ; d là trục hoành x  1 ; d là trục tung a) b). c). (C ) : y . 2 x2  x x  1 ; d: y = 1. d). (C ) : y . x 2  3x  3 x  2 ; d: x = 1. x 3 x  1 ; d: y = 2x + 1 e) Baøi 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C): (C ) : y .

<span class='text_page_counter'>(21)</span> a) c). (C ) : y . x2  6 x  9  x  2 ; d là trục tung. (C ) : y . b). 2x 1 x  2 ; d: x = 3. d). (C ) : y . x 2  3x  3 x  1 ; d là trục tung. (C ) : y . 3x  4 4 x  3 ; d: y = 2. 4. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên P( x ) y Q( x ) có toạ độ là những số nguyên: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ P( x ) a y  A( x )  Q( x ) thành dạng Q( x ) , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.  Phân tích x     Khi đó  y    Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước y. số của a.  Thử lại các giá trị tìm được và kết luận. Baøi 1.Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên: x 2 x  10 x 2 y y y x 1 x 2 x 2 a) b) c) d). y. x2  x 1 x 2. e). y. x2  2x x 1. f). y x  1 . 4 x 1. VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b Baøi 1.Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: x 4 (C ) : y  ; d : x  2 y  6 0 3 ( C ) : y  x  x ; d : x  2 y  0 x 2 a) b) x2 x2  x  1 ; d : y x  1 (C ) : y  ; d : y x  1 x 1 x 1 c) d) Baøi 2.Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Viết phương trình đồ thị (C) đối xứng với (C) qua đường thẳng d: (C ) : y .

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 3 2 a) (C ) : y 3 x  5 x  10 x  2; d : x  2. b). (C ) : y . 2 x 2  3x  7 ; d : x 2 x 1. VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Baøi 1.Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I: 3 2 a) (C ) : y  x  4 x  x  2;. I (2; 4). 3 2 c) (C ) : y x  3 x  2 x  1;. I O(0; 0). b). (C ) : y . x2  x  2 ; x 1.  5 I  0;   2. (C ) : y . x 4 ; x 1. I O(0; 0). d) VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách. Baøi 1.Cho đồ thị (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M. 2 a) (C ) : y x  1;. A O(0; 0). 2 b) (C ) : y  x ;. A(3; 0). 2 A(9;1) c) (C ) : y 2 x  1; Baøi 2.Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhất. x2  4x  5 (C ) : y  ; d : y  3 x  6 4 2 x 2 a) (C ) : y 2 x  3 x  2 x  1; d : y 2 x  1 b) 2 c) (C ) : y x  x ;. d : y 2( x  1). d). (C ) : y . x 1 ; d : y  2 x  3 x 1. VIII. ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ 3 2 Baøi 1.Cho hàm số: y  x  mx  4, a là tham số. a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 3. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:. x 3  mx 2  4 0 ĐS:. b) m < 3.. 3 2 Baøi 2.a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  x  6 x  9 x  1 . b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số? ĐS: b) một tiếp tuyến. 3 Baøi 3.Cho hàm số: y  x  3x (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).. b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình: y m( x  1)  2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> ĐS:. b). A( 1; 2); m  1 . 2 2 3. 4 2 (1) Baøi 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  x  2 x  1 b) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt.. x 4  2 x 2  1 log4 m (2) ĐS:. b) 4 < m < 16.. 4 2 (1) Baøi 5. Cho hàm số: y  x  5 x  4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4 điểm phân biệt. c) Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau. 9 7  m4 m 4 ĐS: b) 4 c). 1 3 y  x 4  mx 2  2 2 (1) Baøi 6. Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.  3 A  0;  b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua  2  tiếp xúc với (C). c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. 3 3 y  ; y 2 2 x  2 2 ĐS: b) c) m  0. 3x  4 y (H ) x 1 Baøi 7. Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b) Với giá trị nào của a, đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị (H)? c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H). ĐS: b) –28 < a  0 c) y = –28x + 59. x 2 y (C ) x 1 Baøi 8. a) Khảo sát và vẽ đồ thị . b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2). ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2). 1 y  x  2  (C ) x Baøi 9. Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ. c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.  1 1 M ;  ĐS: b)  2 2  c) k  2  5. y. x 2  (m  1) x  4m 2  4 m  2 x  (m  1). Baøi 10. Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2..

<span class='text_page_counter'>(24)</span> b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +) 2. 3 7. ĐS: b). 3 2. m . x2  2x  2 x 1 Baøi 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: . b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C). y. ĐS:. b). SIAB 2 2.. x2  2x  2 1 y  x 1  (C ) x 1 x 1 Baøi 12. Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của nó.   2 3 2 2 3 2 M1   1  ; ;  ; M2   1    2 2   2 2  ĐS: b) x 2  (m  1) x  mx  1 (Cm ) x m Baøi 13. Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2. b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = 2 ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số. c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu. y. ĐS:. 9 2 b) 2. c) m   3  2 3 hay m   3  2 3. x2  4x 1 y x 2 Baøi 14. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất.  3 5  5 5 M1   ;  ; M2   ;    2 2  2 2 . ĐS: b) 2 x 2  mx  2 x 1 Baøi 15. Cho hàm số: với m là tham số. a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số trên có diện tích bằng 4. b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3. ĐS: a) m = –6 hay m = 2. y. x2  x 1 x Baøi 16. Cho hàm số: . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. b) Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm: y. t 4  (m  1)t 3  3t 2  (m  1)t  1  0.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> ĐS:. b). m . 3 7 hay m  . 2 2. 3 2 2 2 2 Baøi 17. Cho hàm số: y  x  3mx  3(1  m )  m  m (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 3 2 3 2 b) Tìm k để phương trình  x  3x  k  3k 0 có 3 nghiệm phân biệt. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).. ĐS:. b)  1  k  3; k 0; k 2;. 2 c) y  2 x  m  m. 4 2 2 Baøi 18. Cho hàm số: y  mx  (m  9) x  10 (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. ĐS: b) m   3 hay 0  m  3.. (2m  1) x  m2 (1) x 1 Baøi 19. Cho hàm số: (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x. 4 S 1  4 ln 3 ĐS: b) c) m  1. y. mx 2  x  m x 1 Baøi 20. Cho hàm số: (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. 1   m  0. ĐS: b) 2 y. 3 2 Baøi 21. Cho hàm số: y  x  3 x  m (1) (m là tham số) a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. ĐS: a) m > 0.. x2  2x  4 (1) x 2 Baøi 22. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. ĐS: b) m > 1. y.  x 2  3x  3 y 2( x  1) Baøi 23. Cho hàm số: (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1. ĐS:. b). m. 1 5 2 ..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 1 y  x 3  2 x 2  3 x (1) 3 Baøi 24. Cho hàm số: có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 8  : y  x  ; k  1. 3 ĐS: b) 3 2 Baøi 25. Cho hàm số: y  x  3mx  9 x  1 (1) (với m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. ĐS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2..

<span class='text_page_counter'>(27)</span>