ung dung so phuc trong giai toan vat ly

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN VẬT LÍ 2. Phần thứ 2: Nội dung 2.1 Cơ sở lí thuyết y. * Khái niệm về số phức x̄ + Số phức có dạng: = a + bi. Trong đó a là phần thực, b là phần ảo + Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức 2. r= √ a + b. 2. tan ϕ=. b. a , b. + Dạng lượng giác của số phức ¿ a=r cos ϕ b=r sin ϕ ¿{ ¿. x̄. e. iϕ. r . 0. a = a + bi = r(cos + i.sin). Theo công thức Ơle cos + isin =. x̄=a+ bi=r (cos ϕ+i sin ϕ)=reiϕ . y * Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức Hàm điều hoà: x = Acos(t +) biểu diễn dưới dạng véc tơ quay tại thời điểm t = 0:. ⃗ A. b. x.  ⃗ A |⃗A|=A ϕ=( ⃗ A ,0 x ) ¿{. ¿ a=A cos ϕ b= A sin ϕ ¿{ ¿. 0 ta thấy. Vậy t = 0 hàm điều hoà có thể biểu diễn bằng số phức ⃗ t =0. x̄=a+ bi= A (cos ϕ+i sin ϕ)= A . eiϕ x = Acos(t + ). a. x.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> tan ϕ=. b a. A= √ a2+ b2 với a = Acos, b = Asin , ,. 2.2 Nội dung cụ thể 2.2.1 Ứng dụng số phức trong dao động điều hoà 2.2.1.1 Viết phương trình dao động điều hoà. ¿ x= A cos (ωt +ϕ) v =− Aω sin(ωt +ϕ) ⃗ t=0 ¿ x 0 =A cos ϕ v 0 =− Aω sin ϕ Ta có pt dđđh: ⇒ ¿ a=x 0 v b=− 0 ω ¿{ ¿ ⃗ t =0 x̄=a+ bi , a=x 0 Vậy x = Acos(t +  ) v b=− 0 ω ¿{. + Thao tác trên máy tính (VD: trên máy fx570es) - Shift/Mode/4 để chuyển hệ sang đo góc bằng rad - Mode/2 để chuyển hệ sang CMPLX A ∠ϕ - Để hiển thị biên độ và pha ban đầu Shift/2/3 máy hiện. + Ví dụ 1: Treo một con lắc lò xo thẳng đứng tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 = 2 m/s2, tại vị trí cân bằng lò xo dãn 1 cm. Ban đầu người ta kéo vật xuống dưới sao cho lò xo dãn 5 cm rồi truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s hướng lên trên. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều dương hướng xuống dưới, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật. Viết phương trình dao động. ω=. k g π2 = = =10 π Giải: - (rad/s) m Δl0 0 ,01. √ √ √.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b=−. v0 =4 - Vì x0 = 4 cm , v0 = - 40 cm/s nên a = 4 , ω. 1 4 √ 2 ∠ π - Ta ấn máy 4 + 4i Shift/2/3 máy hiển thị 4. (. x=4 √ 2 cos 10 πt +. π 4. ).  cm. + Ví dụ 2: Một vật m gắn vào một đầu của một lò xo nhẹ dao động với chu kì 1 s. Người ta kích thích dao động bằng cách kéo vật m khỏi VTCB ngược chiều dương một đoạn 3 cm rồi thả nhẹ. Chọn gốc toạ độ ở VTCB, gốc thời gian là lúc thả vật. Viết phương trình dao động. ω=. 2π =2 π Giải: - rad T. - ta có x0 = - 3 cm, v0 = 0 →3 ∠ π ⇒ x=3 cos( 2 πt+ π ) - Ấn máy -3 Shift/2/3 cm. + Ví dụ 3: Cho một con lắc lò xo vật nhỏ có khối lượng m = 250 g, độ cứng K = 25 N/m. Từ vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật chọn gốc toạ độ ở VTCB, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật.. ω=. k 25 = =10 Giải: - rad/s m 0. 25. √ √. b=−. b =− 4 - Ta có x0 = 0, v0 = 40 cm/s  ω. 4 ∠−. π π ⇒ x=4 cos(10 t − ) - Ấn máy: -4i Shift/2/3 Máy hiển thị cm 2 2. 2.2.1.2 Tìm điều kiện kích thích ban đầu. + Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t- ) cm. Tìm điều kiện kích thích ban đầu.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4 ∠− π Giải: Để nhập ấn 4/Shift/(-)/-/= Máy hiển thị -4 bây giờ so sánh. x0 −. v0 i ω.  x0 = -4, v0 = 0. -Ta có kết luận ban đầu kéo vật tới vị trí có li độ -4 cm rồi thả nhẹ π x=4 cos(10 t + ) + Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình cm. Tìm 2. điều kiện kích thích ban đầu. 4∠. π 2. π 2. x0−. v 0 Giải: Để nhập ấn 4/Shift/(-)//= Máy hiển thị 4i bây giờ so i ω. sánh  x0 = 0, v0 = -4. = - 40 cm/s Vậy ta có kết luận ban đầu tại vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s theo chiều âm. π x=4 √ 2 cos (πt − ) + Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình cm. 4. Tìm điều kiện kích thích ban đầu. 4 √ 2 ∠−. π 4. 4 √2. π 4. x0 −. v 0 Giải: Để nhập ấn /Shift/(-)/-/= Máy hiển thị 4i ω. 4i bây giờ so sánh  x0 = 4, v0 = 4. = 4 cm/s Vậy ta có kết luận ban người ta kéo vật tới li độ 4 cm rồi truyền cho vật một vận tốc 4 cm/s theo chiều dương. 2.2.1.3 Tổng hợp dao động điều hoà. π x 1=cos( 2 πt+ π )(cm), x 2= √ 3 cos (2 πt − )(cm) Ví dụ 1: Một vật thực hiện hai dao 2. động điều hoà cùng phương cùng tân số với phương trình . Viết phương trình dao động tổng hợp.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ¿− ¿/−. π 1∠ π + √ 3 ∠− 2. π 2. ¿ √ 3/shift/¿. Giải: Để nhập ta ấn máy 1/shift/(-)/ /+/. 2 2∠ − π Ta ấn = máy hiển thị ấn shift/2/3 máy hiên thị 3. −1 − √ 3 i. x=2 cos(2 πt −. 2π ) Vậy phương trình dao động tổng hợp là: (cm) 3. π x 1=4 cos( πt − ) 2. π x 2=6 cos (πt + ) 2. x 3=2 cos(πt) Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng. thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần số với phương trình: cm, cm, , cm. Viết phương trình dao động tổng hợp π π x=4 ∠ − +6 ∠ +2 ∠ 0=2+2 i 2 2. 2 √2 ∠. π Giải: ta ấn shift/2/3 máy hiển thị 4. π x=2 √2 cos ( πt+ ) Vậy phương trình dao động tổng hợp: cm 4. Ví dụ 3: Tìm dao động tổng hợp của bốn dao động cùng phương sau: π π x 1=10 cos(20 πt − )(cm ), x 2=6 √3 cos (20 πt − )(cm) 6 2 π 5π x 3=4 √ 3 cos(20 πt + )(cm) , x 4 =8 cos (20 πt + )(cm) 3 6. x 1=10∠−. π π π 5π +6 √ 3∠ − +4 √3 ∠ +8 ∠ =3 √ 3+(5 − 6 √3)i Giải: 6 2 3 6. 7 , 49 ∠−0,8. x=7 , 49 cos (20 πt − 0 . 8)(cm). Ấn Shift/2/3 máy hiển thị Vậy. phương trình dao động tổng hợp là: π x 1=a cos (πt + )(cm) 2. π x=2 a cos(πt + )(cm) Ví dụ 4: Một vật thực hiện đồng thời 6. hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số với phương trình và x2. Biết.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> phương trình dao động tổng hợp Xác định dao động thành phần x2. 2∠. π π −1 ∠ = √3 6 2. x 2=a √ 3 cos( πt) Giải: x2 = x – x1 = Vậy. π x 1=3 cos(2 πt − )(cm), x 2=3 √ 3 cos( 2 πt)(cm). Ví dụ 5: Hai chất điểm M1, M2 2. chuyển động trên hai đường thẳng song song rất gần nhau (coi như trùng nhau và trùng với trục Ox) có phương trình lần lượt là Xác định khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình dao động.. M 1 M 2=| Δx|=| x2 − x 1|. π π Δx=3 √ 3 ∠0 −3 ∠ − =6 ∠ 2 6. π M 1 M 2= 6 cos (2 πt + ) Giải: 6. |. |. mà vậy (cm)  khoảng cách lớn nhất bằng 6 cm 2.2.2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU - Cơ sở lí thuyết: Với dòng điện xoay chiều nếu xét giá trị tức thời thì tại một điểm nào đó dòng điện chỉ chạy theo một chiều do đó có thể áp dụng các công thức dòng điện một chiều cho giá trị tức thời + Vd: đoạn mạch RLC nối tiếp thì - i = iR = iL = iC - u = uR + uC + uL -. Z̄. y UL U. ULC. = R + (ZL – ZC)i (i ở đây là phần. ảo vì ZL,ZC nằm trên trục ảo, còn R nằm trên trục số thực). . + Vd: đoạn mạch song song (chúng ta không xét ở đây) 2.2.2.1 Bài toán cộng điện áp trong đoạn mạch xoay chiều:. UC. UR. x.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> π uAM =100 √ 2 cos(100 πt − )(V ) 3. π uMB=100 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) Ví dụ 1: Cho đoạn 6. mạch AM chứa R,C mắc nối tiếp với đoạn mạch MB chứa cuộn dây không thuần cảm. Biết biểu thức , . Viết biểu thức hai đầu đoạn mạch π π 100 √2 ∠− +100 √ 2∠ Giải: Vì AM nối tiếp MB  u = uAM + uMB = 3 6 u=200 ∠−. π 12. u=200 cos (100 πt −. π u=100 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) 4. π ) Vậy biểu thức hai đầu đoạn mạch: (V) 12. u R=100 cos (100 πt)(V ) Ví dụ 2: Đặt vào hai đầu đoạn. mạch xoay chiều chứa một điện trở thuần và một cuộn cảm thuần một điện áp , khi đó điện áp hai đầu điện trở thuần có biểu thức . Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn thuần cảm.. u L=u − uR =100 √2 ∠. π π −100 ∠0=100 ∠ 4 2. π u L=100 cos (100 πt + )(V ) Giải: Vậy biểu 2. thức hai đầu cuộn cảm là: π u=100 √ 2 cos(100 πt − )(V ) 4. u R=100 cos 100 πt Ví dụ 3: Đặt vào hai đầu đoạn. mạch chứa hai phần tử R,C một điện áp có biểu thức , biết biểu thức hai đầu điện trở . Viết biểu thức điện áp hai đầu tụ điện. uC =u − uR =100 √2 ∠−. π π −100 ∠ 0=100∠ − 4 2. π uC =100 cos (100 πt − ) Giải: Vậy 2. biểu thức hai đầu tụ điện là: 2.2.2.2 Tìm biểu thức u,i trong mạch điện xoay chiều. 1 L= ( H ) π. −4. C=. 2 . 10 (F ) π. π u=220 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) Ví dụ 1: Mạch điện xoay 4.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> chiều gồm điện trở thuần R = 50 , cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm , tụ điện có điện dung . Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp 1. Viết biểu thức cường độ dòng điện hai đâu đoạn mạch 2. Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm 3. Viết biểu thức điện áp RC. 1 Z L= Lω= .100 π=100 (Ω) π. ZC =. 1 = ωC. 1 =50( Ω) Giải: 1. - , −4 2. 10 100 π . π. π u u 4 i= = = =4,4 Z̄ R +(Z L − Z C )i 50+( 100− 50)i 220 √ 2 ∠. -. Vậy biểu thức cường độ dòng điện: i = 4,4cos(100t) u L= Z̄ L . i=(100i). i=(100i). 4 . 4=440 i. 440 ∠. π 2. π u L=440 cos(100 πt+ ) 2. shift/2/3 2. máy tính hiển thị . Vậy biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm (V) uRC= Z̄ RC . i=(50− 50i). 4 . 4=220 −220 i. 220 √ 2 ∠−. π 4. π uRC=220 √ 2 cos(100 πt − )(V ) 4. 3. ấn Shift2/3 máy hiển thị Vậy biểu thức là:. L=. 1 (H ) 4π. u=150 √ 2 cos(120 πt)(V ) Ví dụ 2: Khi đặt hiệu điện thế không đổi 30. V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm thì cường độ dòng điện là 1 (A). Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp thì biểu thức cường độ dòng điện trong mạch được xác định như thế nào?. R=. U =30(Ω) I. Z L= L. ω=. u 150 √ 2∠0 π i= = =5 ∠− Z̄ 30+30 i 4. 1 . 120 π =30(Ω) Giải: , 4π π i=5 cos (120 πt − )( A) 4. Vậy bt:. π i=2 √2 cos (100 πt + )( A ) Ví dụ 3: Một đoạn mạch gồm cuộn dây thuần cảm có 3.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> cảm kháng bằng 10 () mắc nối tiếp với tụ điện có dung kháng là 50 (), biết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là . Viết biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch π u=i . Z̄=(2 √ 2 ∠ ).(10 −50)i=40 √ 6 − 40 √2 i 3. 80 √ 2∠−. π 6. π u=80 √2 cos( 100 πt − )(V ) Giải: Ấn shift/2/3 máy hiện thị Vậy bt là: 6. 2.2.2.3 Bài toán hộp đen. π u=100 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) Ví dụ 1: Một hộp đen chứa hai trong ba phần tử R,L,C 4. mắc nối tiếp. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều thì cường độ dòng điện qua hộp đen là i = 2cos(100t)(A). Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị của các đại lượng đó.. u Z̄ = = i. 100 √ 2 ∠. π 4. 2 ∠0. =50+50 i. Z̄ =R +( Z L − Z C )i Giải: Mà nên hộp đen chứa R = 50.  , chứa L với ZL=50 . π u=100 √ 2 cos(100 πt − )(V ) Ví dụ 2: Một hộp đen chứa hai trong ba phần tử 4. R,L,C mắc nối tiếp. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều thì cường độ dòng điện qua hộp đen là i = 2cos(100t)(A). Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị của các đại lượng đó.. u Z= = i. 100 √ 2 ∠− 2 ∠0. π 4. =¿. Giải: 50 – 50i Vậy hộp đen chứa R = 50 , ZC = 50 . π u=200 √ 6 cos (100 πt + )(V ) 6. i=2 √2 cos (100 πt −. π Ví dụ 3: Một hộp đen chứa hai ) 6.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> trong ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều thì cường độ dòng điện qua hộp đen là (A). Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị của các đại lượng đó. π u 6 Z̄ = = =86 , 6+150 i=50 √3+ 150i i π 2 √ 2∠ − 6 200 √ 6 ∠. 50 √ 3 Giải: Vậy đoạn mạch chứa R. = , và ZL = 150 . C=. 10− 4 ( F) π. 2 L= (H ) π. Ví dụ 4: Cho một. M. A. C. N. X. B. L. đoạn mạch như hình vẽ: ; . Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều uAB = 200cos(100t) (V) thì biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là i = 4cos100t (A). X là một trong ba phần tử R0,L0,C0 mắc nối tiếp. Xác định phần tử hộp X và giá trị của nó. ZC =. 1 = ωC. 1 10− 4 100 π . π. =100(Ω). 2 Z L= Lω= .100 π=200 (Ω) Giải: , π. u 200 Z̄ = = =50 −50 i i π 2 √ 2 ∠+ 4.  ZNB = Z – ZAN =50 – 50i – (200-100)i = 50 – 150i Vậy X chứa R = 50 , ZC = 150  2.2.2.4 Bài toán tổng hợp. C1 =. 10−3 √3 ( F) 6π. π π uAM =120 √ 6 cos (100 πt − )(V ) , uMB=120 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) Ví dụ 3 6. 1: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp, đoạn mạch AM gồm điện trở R1 = 60 () mắc nối tiếp với tụ điện , đoạn mạch MB gồm một hộp kín X chứa hai trong ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp. Biết . Xác định phần tử của hộp X.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> và giá trị của nó. ZC =. 1 =20 √ 3(Ω) Giải: ωC. π 120 √ 6∠ − uAM 3 π i= = =3 √ 2 ∠− Z̄ AM 60 −20 √ 3 i 6 π u 6 Z̄ MB = MB = =20+ 20 √3 i i π 3 √ 2∠− 6 120 √ 2 ∠. Vậy R = 20 (),. Z L=20 √3(Ω). π uAM =180 √ 2 cos(100 πt+ )(V ); u MB=60 √ 2 cos(100 πt)(V ) Ví dụ 2: Đoạn mạch AB 2. gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp, đoạn mạch AM gồm R1=90  mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần ZL1 = 90 , đoạn mạch MB chứa hai trong ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi thì . Tìm công suất tiêu thụ của đoạn mạch. 180 √ 2∠. i=. uAM = Z̄ AM 90+ 90i. π 2. =2∠. π Giải: 4. π u=u AM + uMB=180 √ 2∠ + 60 √2 ∠ 0=268 , 328 ∠ 1 ,249 2. P = UIcos = 268,328cos(1,249-/4)=240 W Chú ý: với thao tác trên máy ta nhớ u vào A. Khi lấy biên độ là abs(A), lấy góc là arg(A)..

<span class='text_page_counter'>(12)</span>