ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán
Mục lục
A. Đặt vẫn đề
B. Giải quyết vẫn đề
i- Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu
II- Kiến thức cần nắm
III- Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
C. Phần chi tiết
Phần I: vận dụng BĐT Cosi để giải toán tìm cực trị
Phần II: Sử dụng BĐT cosi để chứng minh BĐT
Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán
d. kết luận
i- Kết quả đạt đợc
II- Bài học kinh nghiệm
Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA
1
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán
A. Đặt vấn đề
Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có một vai trò rất quan trọng
trong các lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều và rất đa dạng và phong phú.
Trong đó các bài toán loại tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức là những bài toán khó,
để giải đợc các dạng toán đó đòi hỏi chúng ta phải nắm đợc nhiều kiến thức cơ bản và các
phơng pháp để giải.
Có nhiều phơng pháp để giải và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi loại bài toán
mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp. Đối với học sinh trung học cơ sở loại toán tìm cực
trị và chứng minh bất đẳng thức làm đa số các em rất ngại nhng nó lại thờng đợc sử dụng
trong các kỳ thi HSG. Hơn nữa đa số các em khá giỏi lại rất có hứng thú với loại toán này,
bởi nó giúp các em khả năng phân tích, dự đoán, tính lập luận lô rích, khả năng tổng hợp,
khái quát một vấn đề .
Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS, học sinh gặp nhiều khó khăn khi
giải các dạng toán này vì các bài toán tìm cực ttrị và chứng ming bất đẳng thức thờng

không có cách giải mẫu, không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh không xác
định đợc hớng giải bài toán. Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn
chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vạn dụng
kiến thức vào giải các dạng bài toán khác
Với nhiều năm giảng dạy môn toán THCS bản thân tôi đã có cố gắng tìm tòi góp
nhặt đợc một số kinh nghiệm nhỏ để giải bài toán cực trị và chứng minh BĐT. Với kinh
nghiệm này tôi mong giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận với loại toán này và có định h-
ớng rõ hơn khi giải toán.
B- Giải quyết vấn đề
I- Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu
Khi giảng dạy trên lớp 9 chọn, gặp một số bài tập về tìm cực trị và chứng minh
BĐT học sinh còn lúng túng khi ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán.
Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy

Số lợng Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém
35 0 6 11 16 2

Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA
2
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán
Trớc vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hớng dẫn học sinh một số phơng pháp
khi ứng dụng BĐT côsi trong loại toán tìm cực trị và chứng minh BĐT. Để vận dụng BĐT
côsi vào giải toán nh thế nào cho hợp lý đó là đIũu mà tôI trăn trở nhất trong SKKN này.
ở đây qua các ví dụ ngoài việc giải rõ ràng tôi đã cố gắng hớng dẫn các em cách phân tích
bài toán để phân dạng, phân loại đế sử dụng phơng pháp giải hợp lý và một số bài tập đã
đợc nâng lên thành ví dụ tổng quát giúp học sinh khái quát hoá vấn đề một cách nhanh
chóng.
II- Kiến thức cần nắm
Nh chúng ta đã biết từ lớp 8 học sinh đã đợc làm quen với bất BĐT côsi.
abba 2

+
(Với a, b

0)
Mở rộng cho trờng hợp n số không âm a
1
, a
2
, a
n
Ta có a
1
+ a
2
+ +a
n


n
n
aaan ...
21
(dấu = xẩy ra

a
1
= a
2
= = a
n

)
III- Cấu trúc SKKN này gồm 3 phần
Phần I: áp dụng BĐT Côsi để giải bài toán cực trị
Phần II: Sử dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT
Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng bài toán chìa khoá để giải toán
C. Phần chi tiết
Phần I: Vận dụng BĐT Cosi để giải toán tìm cực trị
Trờng hợp 1: Biểu thức cần tìm cực trị có dạng
ba
+
với (a,b là một hằng số
VD1: Tìm giá trị lớn nhất của P
1
=
xx 4754
+
Giải: ĐK:
4
7
4
5

x
Ta có: P
1
2
= 4x + 5 + 7 4x +
)47)(54(2 xx

áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có:

24754)47)(54(2
=++
xxxx
Vậy P
1
2


=+
422
P
1

2

dấu = xẩy ra
2
3
4754
==
xxx
Vậy Max P
1
= 2
Trờng hợp 2: BT cần tìm cực trị có dạng
bx
bax

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của P
2

=
x
x
7
92

ĐK:
x
>
2
9
ở đây ta thấy cần dùng BĐT Cosi để đánh giá P
2
mà ta lại có
9
9)92(
92

=
x
x
Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA
3
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán
áp dụng BĐT Cosi cho hai số không âm ta có
3
3
3
92
2

1
9
9)92( xxx
=






+



Vậy P
2

21
1
7.
3
=
x
x
dấu = xẩy ra
9
=
x
vậy min P
2

=
21
1
ở đây ta cũng có thể giải
bài toán ở góc độ tổng quát nh sau:
VD3: Tìm giá trị lớn nhất của P
3
=
bx
n

ã
Với a, b, n > 0 và x
a
n

Ta thấy
n
n
nax
nax

=
áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có
n
ax
n
n
nax
n

n
nax
2
2
1
=






+



vậy P
2

nb
a
bx
n
ax
2
:
2
=
dấu = xẩy ra
a

n
xn
n
n 2ã
==


vậy Max P
3
=
nb
a
2
Trờng hợp 3: BĐT đã cho là tổng của nhiều phân thức.
* Phơng pháp giải:
3.1 Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử bằng nhau
VD4: Cho x > 0 tìm GTNN của P
3
= 3x +
3
81
x
3
3
81
x
xxxP
+++=
áp dụng BĐT Cosi cho 4 số không âm ta có:
123.4

81
...4
4
3
3
==
x
xxxP
dấu= xẩy ra
3
81
3
==
x
x
x
vậy Min P
3
= 12
3.2 Tạo ra một hạng tử là nghịch đảo của hạng tử đã cho
VD5: Cho a > 0; 0 < x < k. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
4
=
x
k
xk
ax
+

ở đây ta thấy cần

phải tạo ra một hạng tử có dạng
x
xk

(là nghịch đảo của
xk
x

)
Mặt khác ta lại có
1
=


x
xk
x
k
vậy
1
4
+

+

=
x
xk
xk
ax

P
áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có:
1...21.2
4
++=+



a
x
xk
xk
ax
P
dấu = xẩy ra
1
+
=

=


a
k
x
x
xk
xk
ax
vậy Min

12
4
+=
aP
VD6: Cho 0 < x < 1 tìm giá trị nhỏ nhất của B =
xx
4
1
3
+

ta có
B =
7
)1(4
1
3
+

+

x
x
x
x
áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dơng ta có

34734
)1(4
.

1
3
2
)1(4
1
3
+=




+

B
x
x
x
x
x
x
x
x
Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA
4
Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán
dấu = xẩy ra
( )
2
3
)1(4

1
3
ax
x
x
x
x
=

=


vậy Min B = 7 + 4
3
Chú ý: Vấn đề kỹ thuật làm thế nào để biết tách
7
)1(4
1
34
1
3
+

+

=+

x
x
x

x
xx
?
Ta đặt
c
x
xaab
x
ax
xx
+

+

=+

)(
1
34
1
3
sau đó đồng nhất hệ số ta đợc a = b = 1; c = 7
VD7: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
yx
z
xz
y
zy
x
P

+
+
+
+
+
=
222
5
Ta thấy muốn vận dụng BĐT Cosi để dánh giá đợc P
5
thì cần phải làm triệt tiêu các mẫu
của các hạng tử vì vậy ta phải cộng thêm mỗi hạng tử một lợng thích hợp
x
xzy
zy
x
=
+
+
+
4
2
4
22

y
yxz
zx
y
=

+
+
+
4
2
4
22
z
zyx
yx
z
=
+
+
+
4
2
4
22
1
22
)(2
55
=
++
++
++
+
zyx
Pzyx

zyx
P
dấu = xẩy ra
3
2
===
zyx
vậy min
1
5
=
P
Chú ý: Khi gặp loại bài tập này đa số học sinh sẽ rất lúng túng vì không biết sẽ thêm vào
BT nào cho phù hợp để nhằm thoả mãn cả 2 ĐK.
+ ) Vận dụng đợc BĐT Cosi để dánh giá P
5
+) x + y + z = 2
Trở về với ví dụ trên ta thấy tại sao mẫu số của biểu thức cần thêm vào phải là 4 mà
không phải là một số chính phơng khác. Đến đây học sinh vẫn phải biết kỹ thuật phân
tích ngợc vấn đề. Giả sử BT cần thêm là
a
yx
a
zx
a
zy
+

+

+
lúc Min

dấu = xẩy ra nghĩa là:
zyxa
a
zy
zy
x
+=
+
=
+
.
2
(1) tơng tự

zxya
+=
.
(2)

xyza
+=
.
(3)
Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có:
yxyxxyyxa
===
0)(

(vì
0
>
a
); Lập luận tơng tự y = z; z = x
Vậy thay vào (1) ta có
422.
===
aaxxa
Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA
5