Bai tap nang cao toan 8 day du

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) tại x = -1,y = 1 3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2. 4. Tìm hệ số của x2 trong đa thức : Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1).. A(B + C) = AB + AC B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Tính : a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x) 2. Rút gọn: A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1) B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2) 3. Tìm hệ số của x3 và x2 trong đa thức sau: Q  x3  3 x 2  2 x  1   x 2   x  2 x 2  3 x  1 Bài 2: 1) 2). 3) 4) 5).  1 3 2 3 4  4 3   a b  ab   a b  4  3  Tính :  2 Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 12 Q 3 x  x  4 y   y  y  5 x  , cho x 4, y  5 5 Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – 1. Cho S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6 -1. BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.  A  B   C  D   AC  AD  BC  BD B. BÀI TẬP Bài 1: 1. Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2). 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 3 4 3. Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4 4. Tìm hệ số của x4 trong đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1) ( 5x3 – x). Bài 2: 1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức A  a  3  9a  8    2  a  (9a  1) bằng – 29. 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: Q  3 x  5   2 x  11   2 x  3  3 x  7  Q  x  4  ( x  2)  ( x  1)( x  3), cho x 1. Bài 3: 1. Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc). 3. Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – 9 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: .Tìm a,b. A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3. Bài 3: 3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 1. Tính : B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5. a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x 4. Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5 + y) 5. Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = 0 + x + 5. 3. Tìm m sao cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – Bài 4: 7x + 15). 1. Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y Bài 4: 2. Tìm hệ số của x2 trong đa thức: 1. Rút gọn : 3. A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4) Q  5 x 2  a( x  a )    3(a 2  x 2 )  2ax    2ax  4(a  2ax 2 )  B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2). 2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) 4. Tìm m, biết: 2 – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m. luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n. 5. Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : 3. Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2). A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5. 6. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = Bài 5: 1. Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 25. + 1). Bài 5: 4 5 6 3 2 5 2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x). 1. Tính : ( -a x )(- a x + 2a x – 11ax ).. Dương Thị Thuỷ. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3. Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5. BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.   A  B   A2  2 AB  B 2 2.   A  B   A2  2 AB  B 2  A2  B 2  A  B   A  B  3.   A  B   A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3 3.   A  B   A3  3 A2 B  3 AB 2  B3  A3  B3  A  B   A2  AB  B 2   A3  B3  A  B   A2  AB  B 2  B. BÀI TẬP Bài 1: 1. 2. 3. 49 4.. Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2) Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) =. 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x +1. 4. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 thì ay – bx = 0 Bài 5: 1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a). 2. CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c. 3. Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0. Bài 6: 1. Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3 2. Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2 3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = 1 – 3ab. Bài 7: 1. Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3 2. Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3. 3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = 1 + 3ab. Bài 8 : 3 3 1  1  a  b  a  b      2  . 1. Rút gọn :  2 2. Tìm x,biết : x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0. 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 3  4 x  1   4 x  3  16 x 2  3. Tìm giá trị biểu thức:. 1 2 Q  x  3   x  3 ( x  3)  2( x  2)( x  4), cho x  Bài 9 : 2 1. Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125. 2. Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = 0 3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc Bài 2: 2 2 vào x: 1. Rút gọn biểu thức : A (4 x  y )(2 x  y )(2 x  y ) 3  x  1  x3  3x 2  3x  1 2. Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1) 3. Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15 Bài 10: 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 2x + 1. Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = 0 3 2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc. Bài 3: 3. Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 = 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc 0,với mọi a. vào m: Bài 11 : 1. Rút gọn biểu thức : A (2m  5) 2  (2m  5) 2  40 A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + 2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp n2) là một số lẻ 2. Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) 3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x = a6 – 9a3 + 8 +4). 3. Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2 – 4x +5. 26. Bài 4: Bài 12 : 1. Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy 2 2 1. Tính giá trị biểu thức: 2. Chứng minh: (7n – 2) – (2n – 7) luôn luôn chia hết cho 9, với mọi n là giá trị nguyên. Dương Thị Thuỷ. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với 1 x 4 2. Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) = 17. 3. Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1). Bài 13: 1. Tính giá trị biểu thức : 1 Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = 2 2. Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 – 12. 3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x3 + y3. Bài 14 : 1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x. A  x  1  x 2  x  1   x  1  x 2  x  1 2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = 0. 3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2). Bài 15 : 1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) 2. Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23. 3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a3 – b3. Bài 16: Ruùt goïn: a) 2 m ( 5 m+ 2 )+ ( 2m −3 ) ( 3 m− 1 ). Bài 19:Chứng minh biểu thức luôn dương: a) A= 16 x 2+8 x +3 b) c). 2. B= y −5 y +8 C=2 x 2 −2 x+2. d) D=9 x 2 − 6 x+ 25 y2 +10 y + 4 Bài 20: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: 2 a) M =x + 6 x −1 b) N=10 y −5 y 2 − 3 Bài 21:Thu goïn: a) ( 2+1 ) ( 22+1 ) ( 2 4 +1 ) . . . . . ( 232+ 1 ) − 264 b) ( 5+3 ) ( 52 +32 ) ( 54 + 34 ) . . . . . 128 128 ( 564 +364 ) + 5 − 3 2 ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. (Thùc hiÖn trong 6 tiÕt). A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Bµi to¸n 1. Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?T¹i sao nh÷ng c¸ch biÕn đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1) 3 2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5 ) (2) x 5 3 2x2 + 5x – 3 = 2(x2 + x ) (3) 2 2 2 b) ( 2 x + 4 ) ( 8 x − 3 ) − ( 4 x +1 ) 2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4) 2 c) ( 7 y − 2 ) − ( 7 y+ 1 )( 7 y −1 ) 1 2x2 + 5x – 3 = 2(x )(x + 3) (5) 2 3 2 d) ( a+2 ) − a. ( a −3 ) B. Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa Bài 17: CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến thøc thµnh nh©n tư? - Phơng pháp đặt nhân tử chung. x, y: - Phơng pháp dùng hằng đẳng thức. 2 - Ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö. ( 2 x −5 ) ( 2 x+5 ) − ( 2 x − 3 ) − 12 x a) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c nh : - Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng 3 2 b) ( 2 y −1 ) −2 y . ( 2 y − 3 ) − 6 y ( 2 y −2 ) tö. - Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö. c) ( x+ 3 ) ( x 2 −3 x+ 9 ) − ( 20+ x3 ) - Ph¬ng ph¸p gi¶m dÇn luü thõa cña sè h¹ng cã d) bËc cao nhÊt. 2 2 - Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến). 3 y . ( −3 y −2 ) − ( 3 y − 1 ) ( 9 y 2+3 y +1 ) − ( − 6 y − 1 ) - Phơng pháp hệ số bất định. Bài 18: Tìm x: - Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng. 2 - Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc. a) ( 2 x +5 ) ( 2 x −7 ) − ( −4 x −3 ) =16 Ph¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung 2 2 2 2 b) ( 8 x + 3 ) ( 8 x −3 ) − ( 8 x −1 ) =22  Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử 2 chung lµ g× ? Ph¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt c) 49 x + 14 x+1=0 nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ nªu ra 3 2 d) ( x − 1 ) − x . ( x −2 ) − ( x − 2 )=0 một công thức đơn giản cho phơng pháp này kh«ng ? Dương Thị Thuỷ. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö  Néi dung c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu chung thì đa thức đó biểu diễn đợc thành một tích h¹ng tö lµ g× ? của nhân tử chung đó với một đa thức khác. Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để  Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của có thể đặt đợc nhân tử chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ. phép nhân đối với phép cộng các đa thức.  Chó ý: C«ng thøc : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + - Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm F) Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân  Ph¬ng ph¸p: T×m nh©n tö chung. tö chung, phơng pháp dùng hằng đẳng thức để xuất hiện - LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè. nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới. - LÊy c¸c biÕn chung cã mËt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tö. - §Æt nh©n tö chung ra ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F) a) x2 - 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y 2 + 4xy. c)  Chó ý: 8x3 + 4x2 - y3 - y2 - Ph¬ng ph¸p nµy ¸p dông khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc Gi¶i cã nh©n tö chung. a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y) - Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các = x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x sè h¹ng b»ng c¸ch ®a sè h¹ng vµo trong ngoÆc hoÆc ®a – 2 y)(x + 5) vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ. b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2 VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. = x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) a) 3x2 + 12xy. = (2x – 3y)(x + 2y) 3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) b) 5x(y + 1) - 2(y + 1). c) 8x c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y). = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y) Gi¶i ( 2x +y) a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y). = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y). b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2). Ph¬ng ph¸p 4: Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)  Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y). chỉ đợc dùng riêng rẽ từng phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ? Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết.  Néi dung c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p dïng h»ng VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. đẳng thức là gì ? a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab 2c3 + 64ab2 Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào 3 3 3 đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức c) 27x y - a b y. Gi¶i nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc. a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) =  Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b). - Nhận dạng các hằng đẳng thức. b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c - Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không. 2 – 4c + 16). + 4)(c  Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) (9x2 hằng đẳng thức. – 3ab + a2b2). VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. KiÕn thøc N©ng cao. a) x2 – 4x + 4. b) 8x 3 + 27y3. c) 2 2 9x - (x - y) . Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p t¸ch Gi¶i 2 2  Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö a) x – 4x + 4 = (x - 2) 3 3 2 2 b) 8x + 27y = (2x + 3y)(4x – 6xy + 9y ) 2 2 c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x C¸ch 1: T¸ch ax + bx + c = a x + b1x + b2x + c –x +y)(3x + x - y) Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c = (2x + y) C¸ch 2: T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2 (4x - y). VÝ dô 2 VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 a) 2x2 - 3x + 1. HD: nhãm 2 h¹ng tö ®Çu  a3 + b3 = 3(x – z)(x- y)(z – y) b) 6x2 + x - 2 b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3 c) x2 - 2x - 3 = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z) Gi¶i c, a3 + b3 + c3 – 3abc a) 2x2 – 3x + 1 = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x 3 3 = (a + b) + c – 3ab(a +b + c) – 1) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) = (x – 1)(2x – 1). d, x3 + y3 – z3 + 3xyz 2 + x – 2 = 6x 2 + 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x b) 6x = (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = ..... + 2) = (3x + 2) (2x – 1) Ph¬ng ph¸p 3: Nhãm nhiÒu h¹ng tö Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> c) x2 – 2x - 3 = x2 + x – 3x – 3 = .... VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 – 2x – 3 b) x2 - 10x + 16 Gi¶i a)x2 – 2x – 3 = x2 – 2x + 1 – 4 = (x- 1)2 – 22 = (x – 3)(x+1) b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – 9 = (x – 5) 2 – 32 = (x – 8)(x – 2) Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p thªm bít VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) y4 + 64. b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) c) a2b2(b -a) + b2c2(c - b) - a2c2( c - a) Gi¶i a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) 2 - (4y) 2 = (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 + 4y). b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2) + x(x2 – 2 2 2 2 2 z ) - y(x -z ) - z( y – x ) = (y2- x2) ( x – z) + (x 2 – z2)(x – y) = (y – x)( x – z) (y +x – x – z) c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) = a2b2(b- c + c – a) + 2 2 2 2 b c (c – b) – a c ( c – a) =...................... = (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca) Ph¬ng ph¸p 7: §Æt biÕn phô  Trong ®a thøc cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đa về đa thức đơn gi¶n. Sau khi ph©n tÝch ®a thøc nµy ra nh©n tö råi l¹i thay biÕn cò vµo vµ tiÕp tôc ph©n tÝch VÝ dô 1: A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5 C , ( x2 - 2x + 2)4 - 20x2(x2 - 2x + 2)2 + 64 x4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 F , (x2 + x)(x2 + x + 1) - 2. Gi¶i A.§Æt y = x2 + 4x + 8 råi dïng ph¬ng ph¸p t¸ch ph©n tÝch KÕt qu¶: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) B. đặt y = x2 + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.§Æt y = x2 – 2x + 2 C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2) D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F. (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2. (*) §Æt(x2 + x) = y Th× (*) trë thµnh: y(y + 1) – 2 = y2+ y - 1 – 1 = (y2 - 1) + (y – 1) Dương Thị Thuỷ. = (y + 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y + 2). (**) Thay trë l¹i vµo (**) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). VËy(x2 + x)(x2 + x + 1) – 2 = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). VÝ dô 2: a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 b. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) - 3x2 c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 HD: c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2 = 4 (x2 +xy+xz)(x2 +xy 2 2 +xz +yz)+ y z (§Æt t = x2 +xy+xz) = 4t (t + yz) + y2z2 = (2t + yz)2 VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh a. (2x2 + x)2 - 4(2x2 + x) + 3 = 0 b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0 HD: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®a Pt vÒ d¹ng PT tÝch a.  (t - 1)(t- 3) = 0 *. t = 1  2x2 + x = 1  (x +1)(2x-1)= 0 *. t = 3  2x2 + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0 Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng  KiÕn thøc: 1. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)  f(a) = 0 2. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => f (x) (x  a)  Lợc đồ Hoor ne . Sơ đồ Hoóc - ne NÕu ®a thøc bÞ chia lµ a0x3 + a1x2 + a2x + a3, ®a thø chia là x - a ta đợc thơng là b0x2 + b1 x + b2. Theo sơ đồ Hoãc - ne ta cã: a0 a1 a2 a3 a b0 = a0 b1 = ab0 + b2 = ab1 + r = ab2 + a1 a2 a3 céng. a nh©n. . Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thµnh nh©n tö. §èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax 2 + bx + c, muèn xÐt xem đa thức này có phân tích đợc thành nhân tử hay kh«ng thêng dïng ph¬ng ph¸p sau: - TÝnh  = b2 – 4ac. - Nếu   0 thì phân tích đợc. - Nếu  < 0 thì không phân tích đợc. VÝ dô 1: f(x) = x3 -x2 - 4 LÇn lît kiÓm tra víi íc cña – 4 lµ 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4. f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 4 = - 4 => x= -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. f(1) = (1)3- (1)2 - 4 = - 4 => x = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. f(-2) = -16 => x = - 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> f(4) = 44 => x = 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. f(- 4) = - 48 => x = - 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. Đa thức có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x – 2). Sử dụng lợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x 2 – x + 2). VÝ dô 2: Ph©n tÝch f(x) = x3 - 2x - 4 Gi¶i Ta cã f(2) = 0 => x = 2 lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => f (x) (x  2) => f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2) VÝ dô 3: g(x) = 4x3 - 7x2 -x - 2 = (x - 2)(4x2 + x +1) VÝ dô 4 : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24 = (x-2)(x - 3)(x + 4) VÝ dô 5 P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). 2 P = x (y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). Ta thÊy nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× ®a thøc P không thay đổi. Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). (k lµ h»ng sè). => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z x). §óng víi mäi x, y, z, nªn ta cho c¸c biÕn x, y, z gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0 (gi¸ trÞ riªng cña c¸c biÕn x, y, z tuú chän sao cho (x - y)(y - z)( z x)  0). Ta đợc: k = -1 VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - y) (y - z)( z - x) = (y - x)(y z)( z - x). VÝ dô 6 A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) Gi¶i +.NÕu x = y => A = 0 => A  (x - y) +.V× vai trß cña x,y,z nh nhau =>A  (y-z); (z-x) =>A  (x - y)(y-z)(z-x) +.V× cã bËc cao nhÊt lµ 3 cßn bËc cña (x - y)(y-z)(z-x) lµ 3 => A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vµo => k = 1 VËy A = (x - y)(y-z)(z-x) VÝ dô 7 P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) HD: làm tơng tự nh VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đợc k = -1 Phơng pháp 9: Phơng pháp hệ số bất định VÝ dô 1: Ph©n tÝch : x3 – 15x – 18 thµnh ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai Gi¶i Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c)  x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac. Dương Thị Thuỷ. Đồng nhất 2 đa thức ở 2 vế ta đợc: a  b 0(1)  ab  c  15(2) ac  18(3)  Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2) VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6) VÝ dô 2 Ph©n tÝch : x3 – 19x - 30 thµnh ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai Gi¶i Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c)  x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac a  b 0(1)  ab  c  19 (2) ac  30(3) §ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã  Tõ (3) chän a = 2 th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2) VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15) VÝ dô 3 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3. Gi¶i x  1;  3 Ta thÊy kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc  ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ,  nªn ®a thøc cã d¹ng §Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy thµnh thõa sè th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x2 +(ad + bc)x + bd. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta đợc hệ điều kiÖn: ¿ a+c=6 a=−2 a+ c=−6 ac +b+d =12 b=3 ¿ ¿ ac=8   ad + bc=− 14 c=− 4 a+3 c=−14 bd=3 ¿ d=1 ¿ VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3). C¸ch 2 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + 3 = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x 2 - 4x + 1) + 3(x 2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3). VÝ dô 4 a. x3 + 4x2 + 5x +2 b. 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + 8 Gi¶i a.ta cã x = - 1; x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc => x3 + 4x2 + 5x +2  (x+1);(x+2) => x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) .............................. b = 1 b.Ta cã x = 2; x = -1 lµ nghiÖ cña ®a thøc. {. 6. {.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8  (x+1);(x-2) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b) §ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã a = -1; b =- 4. a. b. c. d. e. HD:. x2 + y2 = 0 (x-1)2 + (y+2)2 = 0 4x2 + y2 - 2(2x+y - 1) = 0 x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0. Ph¬ng ph¸p 10: Ph¬ng ph¸p h¹ bËc VÝ dô 1: A 0  5  a) a + a +1. B 0 §a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0 Gi¶i 5 5 4 4 3 3 2 2 a) a + a +1= a + a – a + a – a + a – a + a + 1  x  y 0  x  y 0 = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1)    2 = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 2 + x2(y +1)2 = 0  x 0  y  1 0 e.(x -y) hoÆc 1) VÝ dô 4. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh = ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1). a.x+ xy + y + 2 = 0 b. x + y = xy C. øng dông c. x2 + 21 = y2 ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã thÓ cã Ých HD: Biến đổi về dạng X.Y = a (const) cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc, chia => X, Y  ¦(a) ®a thøc, rót gän ®a thøc. VÝ dô 5. T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh I. T×m x 2 + 21 = y2 a. x VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 + b.(x + 1)y - 2x = 8 HD: a.  (y- x)(y+ x) = 21 > 0 (x + 3)(x - 9) = 0  y +x > y – x > 0 c) x2 + 5x = 6. Gi¶i  y  x 7  y  x 21   a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0  (x + 3)(2 – x) = 0 y  x 3 hoÆc  y  x 1   x +3=0 x=−3 II.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc  2− x=0  x=2 Ph¬ng ph¸p : Thu gän biÓu thøc ¿ ¿ T×m gi¸ trÞ cña biÕn thay vµo S ={-3; 2}. VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = + 3)(x – 9) = 0 -1/2  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + +. Rót gän A = 4x2 + 20 3)(x – 9) = 0 +.Thay A = 21  (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x – VÝ dô 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc. 9) = 0 a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = 1 2  (x + 3)(x - 2x) = 0 1 2 1 5x 2 - 2xy + y   x(x + 3)(x - 2) = 0 25 b) B = víi x= 5 : y = - 5 x=0 x=0 3 2 2 x +3=0 x=−3 x x y xy y3 + + +  x − 2=0  x=2 S ={-3; 0; 2}. 8 4 6 27 víi x = - 8; y = 6 c) C = ¿ ¿ 3 2 ¿ ¿ d) D = x + 15x + 75x + 125 víi x = - 10 ¿ ¿ 3 2 c) x2 + 5x = 6  x2 + 5x – 6 = 0 e) E = x - 9x + 27x - 27 víi x = 13 2  x - x + 6x – 6 = 0  (x2 - x) + (6x – 6) = 0 g) G = 3  x (x - 1) + 6(x – 1) = 0  x -1 - 4x  x -1  x +1 + 3  x -1 x 3 + x +1 v x +6=0 x=−6  (x + 6)( x – 1) = 0  x − 1=0  x=1 S = {-6; íi x = - 2 ¿ ¿ 1}. x -1  x - 2  x 2 + x +1 4 + 2x + x 2 VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau  h) H = víi x = a. (x2 + 2x)2 - x2 - 2x - 2 = 0 1 b. x4 - x3 - x2 - x - 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0] c. x3 - 2x2 - 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ] VÝ dô 3. T×m c¸c cÆp sè (x; y) tho¶ m·n VÝ dô 3 : Cho x - y = 7 . TÝnh. . . Dương Thị Thuỷ. 7. . . .

<span class='text_page_counter'>(8)</span> A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37 B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 ) VÝ dô 4: a) Cho x + y = 7, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441. b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2 N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 VÝ dô 5 Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn. a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) P=0 b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1) Q=-8 c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) A=0 d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x B=2. 1 1  2 2  + 2x   4x - x    3 9  e) M =  3 2 M = 27.  3 1   8x   27  . D. Bµi tËp ¸p dông Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (3x - 1)2 - (5x + 3)2 b) (2x + y 4z)2 - (x + y - z)2 c) ( x2 + 2 2 2 2 xy) - (x - xy - 2y ) d) x4 - x22x-1 Bµi 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y. víi x=88 vµ y=-76 b) B = x2 + xy -7 x - 7y. 3 2 víi x= 7 vµ y= 2 4 5 Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 - (a + b)xy + aby2 b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy - x + y c) (x - z)2 - y2 + 2y - 1 d) x 3 + y3 + 3y2 + 3y + 1 Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: A = x2 - 5x - 2xy + 5x + y2 + 4, biÕt x - y = 1 B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biÕt x - y = 7. Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (1 + x2)2 - 4x(1 - x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z 2 c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x 2 - 2xy + y2 2 2 m + 2mn - n Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.. Dương Thị Thuỷ. a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x 4 - 2x3 + 2x -1 ROI c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 d) x 3 + 4x2 + 5x + 2 Bµi 8. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biÕt x - y=1 ROI b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), biÕt x - y=7 Bµi 9. Cho x = y = z = 0. Chøng minh r»ng x 3+ x2y - y2x xyz + y3 = 0 Bµi 10. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th×. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0. Bµi 11. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - 8 Bµi 12. T×m c¸c hÖ sè a,b,c,d sao cho ®a thøc: f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + 4 là bình phơng đúng cña ®a thøc g(x) = x2 + cx + d Bµi 13. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (x2 - 8)2 + 36. b) 81x4 + 4. 5 c) x + x + 1 Bµi 14. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35 C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 Bµi 15. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 Bài 16. Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0. 2 a) 3 x 2 +5 x −2 b) 3 x − 7 x+2 x 2 −7 x +12 ¿2 ¿ x − 3 ¿2 4 x−4¿ −¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 17. Cho biÓu thøc: A= 2 2 4x x+ 2 2− 3 x x − 4 x2 + 2 . + 3 . 2 x − 4 x −4 x −4 x x−2 a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức đợc xác định. b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt |2 x −1|=3 2 Bài 18 a) Tìm x để 2 x +3 10 x +12 =0 . x −4x b) Tìm các số nguyên x để x 4 − 16 cã gi¸ trÞ nguyªn. x 4 − 4 x 3 +8 x 2 −16 x +16 Bµi 19. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 + 25 +10x - y2 - 2y – 1 b) x2 + 4y2 2 4xy - z + 6z - 9 Bµi 20. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña c¸c biÕn: (x + y – z t)2 - (z + t – x - y)2.. [. 8. ][. ].

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề: một số phơng pháp phân tích ®a thøc mét biÕn thµnh nh©n tö. C¸c ph¬ng ph¸p: - T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. - Thªm, bít cïng mét h¹ng tö. - §æi biÕn sè. - Hệ số bất định. - XÐt gi¸ trÞ riªng (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn). I) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö: §èi víi c¸c ®a thøc mµ c¸c h¹ng tö kh«ng cã nh©n tö chung, khi ph©n tÝch ra nh©n tö ta thêng ph¶i t¸ch một hạng tử nào đó ra thành nhiều hạng tử khác để nhóm víi c¸c hạng tử đã có trong đa thức để cho trong các nhóm có nhân tử chung, từ đó giữa các nhóm có nhân tử chung mới hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức quen thuéc. VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = 2x2 - 3x + 1. Gi¶i: C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø hai: -3x = -2x - x. Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1). C¸ch 2: Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x] = (x - 1)(2x - 1). Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c ra nh©n tö, ta t¸ch h¹ng tö bx thµnh b1x + b2x sao cho b1b2 = ac Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: a) 4x2 - 4x - 3; c) 3x2 - 5x - 2; b) 2x2 - 5x - 3; d) 2x2 + 5x + 2. VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4. Gi¶i: Ta lÇn lît kiÓm tra víi x = 1; 2; 4 ta thÊy f(2) = 0. Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích ra nh©n tö, f(x) chøa nh©n tö x - 2. Từ đó: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4) = x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2). Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 cã nghiÖm nguyªn lµ x = x0 th× x0 lµ mét íc cña hÖ sè tù do a0, khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã chứa nhân tử x - x0. Vì vậy đối với những đa thức mét biÕn bËc cao, ta nªn t×m lÊy một nghiệm của nó để định hớng việc phân tích ra nh©n tö. Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: a) x3 + 2x - 3; e) x3 - 9x2 + 6x + 16; b) x3 - 7x + 6; f) x3 - x2 - x - 2;. Dương Thị Thuỷ. c) x3 - 7x - 6; (NhiÒu g) x3 + x2 - x + 2; c¸ch) h) x3 - 6x2 - x + 30. 3 2 d) x + 5x + 8x + 4; VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5. Gi¶i: Theo vÝ dô 2, ta thÊy c¸c sè 1; 5 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc. Nh vËy ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, tuy vËy ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ kh¸c. Ta chứng minh đợc điều sau đây:. Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 c p x= (d¹ng tèi gi¶n) th× p lµ mét íc cña hÖ sè tù do q hÖ sè cao nhÊt an. Khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) 1 5 Trë vÒ vÝ dô 3: XÐt c¸c sè ± ; ± , ta thÊy 3 3 1 là nghiệm của đa thức, do đó khi ph©n tÝch ra 3 nh©n tö, ®a thøc chøa nh©n tö 3x - 1. Từ đó: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = (3x3 - x2) - (6x2 2x) + (15x - 5) = x2(3x - 1) 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) = (3x - 1)(x2 2x + 5). Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: a) 6x2 - x - 1; e) 2x3 - 5x2 + 5x - 3 2 b) 6x - 6x - 3; f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1; c) 15x2 - 2x - 1; g) 3x3 - 2x2 + 5x + 2; 3 2 d) 2x - x + 5x + 3; h) 27x3 - 27x2 + 18x 4; §¸p sè: a) (2x - 1)(3x + 1); e) (2x - 3)(x2 - x + 1); b) (2x + 3)(3x - 1); f) (2x + 1)(x2 + x + c) (3x + 1)(5x - 1); 1); d) (2x + 1)(x2 - x + 3); g) (3x + 1)(x2 - x +2); h) (3x - 1)(9x2 - 6x + 4); II) Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö: Mục đích: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là xuÊt hiÖn hiÖu cña hai b×nh ph¬ng. III) Phơng pháp đổi biến: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiÖn cho viÖc ph©n tích ra nhân tử, sau khi phân tich ra nhân tử đối với đa thøc míi, thay trở lại biến cũ để đợc đa thức với biến cò. VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128. Gi¶i: Ta cã: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128. §Æt x2 + 10x + 12 = y, ®a thøc trë thµnh:. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y 4)(y + 4). IV) Phơng pháp hệ số bất định: VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3. Gi¶i: VÝ dô 4’: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: NhËn xÐt: C¸c sè 1; 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1. cña ®a thøc f(x) nªn ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, Gi¶i: còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ. Nh vËy nÕu f(x) ph©n tÝch Cách 1: f(x) = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = đợc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)( x2 + 4 2 2 x + 2x (3x - 1) + (3x - 1) . cx + d), víi a, b, c, d  Z. Khai triển dạng này ra ta đợc đa thức: x4 + (a+c)x3 2 + (ad+bc)x + bd. 2 2 + (ac+b+d)x §ång nhÊt ®a thøc = (x + 3x - 1) . nµy víi f(x) ta đợc hÖ ®iÒu kiÖn: C¸ch 2: Gi¶ sö x ≠ 0; Ta cã: ¿ 6 1 a+c=−6 + 2 ) = x2[(x2 + f(x) = x2(x2 + 6x + 7 x x ac+ b+d=12 1 1 ad+ bc=− 14 ) + 6(x ) + 7]. x bd=3. x2 ¿{{{ 1 1 §Æt x = y, suy ra: x2 + = y2 + 2. Do 2 ¿ x x XÐt bd = 3, víi b, d  Z, b  {1; 3}. Víi b = 3 đó đa thức trở thành: th× d = 1, hÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh: f(x; y) = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + ¿ 2 3x) a+c=− 6 = [x(x ac=8 1 ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) 2. a+3 c=−14 . x ¿{{ Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: ¿ 2 2 2 2 a) (x + x) d) x + 2xy + y - x - y - 12; Tõ đó t×m đợc: a = -2; c = -4. VËy f(x) = (x2 - 2x + 2 2(x + x) e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 3)( x2 - 4x + 1). 15; 4a) + a4; Ta tr×nh bµy lêi gi¶i nh sau: 2 b) (x + x + 1) f) (x2+y2+z2)(x+y+z)2 + f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) 2 2 ( x + x + 2) (xy+yz+zx) ; 3 (2x + 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) - 12; = x2(x2 - 4x + 1) c) (x + 2)(x + 2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) 2x(x 3)(x + 4)(x + = (x2 - 4x + 1)(x2 5) - 24; g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2) 2x +3). (x + y + z)2 + (x + y + z)4. Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö, dïng phơng pháp hệ số bất định: §¸p sè: a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + c) x4 - 8x + 63; a) Đặt x2 + x = y. Ta phân tích đợc thành: (x2 + x - 5) 2 2x + 1; (x + x + 3). d) (x+1)4 + (x2 + x b) §Æt x2 + x + 1 = y. §¸p sè: (x2 + x + 5)(x+2)(xb) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x +1)2. 1). + 1; c) Biến đổi thành: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24; §Æt x2 + 7x + 11 = y. §¸p sè: (x2 + 7x + 16)(x + 1) §¸p sè: (x + 6). 2 2 a) (2x + x + 1) . Cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p t¸ch: 5x2 = d) §Æt x + y = z. §¸p sè: (x + y + 3)(x + y -4) 2 2 2 2 2 4x2 + x2. e) §Æt x + 5ax + 5a = y. §¸p sè: (x + 5ax +5a ) . f) Đặt x2+y2+z2 = a; xy + yz + zx = b. Ta đợc: a(a + b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1). 2 2 2b) + b = (a + b) = … c) (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9). 4 4 4 2 g) Đặt các biểu thức đối xứng: x + y + z = a; x + d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1). y2 + z2 = b; x + y + z = c. C¸ch kh¸c: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x Ta cã: A = 2a - b2 -2bc2 + c4 = (2a - 2b2) + (b2 2 + 2x(x + 1) + 1 +1) 2bc2 + c4) = 2(a - b2) + (b - c2)2. = (x + 1)2[(x + 1)2 Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy 2 2 + x ] + (2x + 2x + 1) + xz + yz). = (x2 + 2x + 1)(2x2 2 2 2 2 2 2 Ta đợc M = -4(x y + x z + y z ) + 4(xy + xz + 2 + 2x + 1) + 2x + 1) + (2x yz)2 = (2x2 + 2x + 1)(x2 = 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y + 2x +2). + z). V) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8).. Dương Thị Thuỷ. 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn, cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh) VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Gi¶i: NhËn xÐt: NÕu thay x bëi y th× P = 0, nªn P chia hÕt cho x - y H¬n n÷a nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P không thay đổi (Ta nói đa thức P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh). Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết cho y - z vµ z - x. Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với tËp hîp c¸c biÕn. Ta cã: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y) (y - z)(z - x) (*) đúng với mọi x, y, z  R nªn ta chän các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong. Chó ý: C¸c gi¸ trÞ cña x, y, z ta cã thÓ chän tuú ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh P = 0 là đợc. Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*), ta tìm đợc a = - 1 VËy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z).. Bµi tËp 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hÕt cho mét sè chÝnh ph¬ng kh¸c 1 víi mäi sè n nguyªn d¬ng. (181) Bµi tËp 9: T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho khi ph©n tÝch đa thức (x + a)(x - 4) - 7 ra nhân tử ta đợc (x + b)(x + c). <182> Bµi tËp 10: T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c sao cho khi ph©n tÝch ®a thøc x3 + ax2 + bx2 + c thµnh nhân tử ta đợc (x + a) (x + b)(x + c). <183> Bµi tËp 11:(184)Sè tù nhiªn n cã thÓ nhËn bao nhiªu gi¸ trÞ, biÕt r»ng khi ph©n tÝch ®a thøc x2 + x - n ra nhân tử ta đợc (x - a)(x + b) với a, b là c¸c sè tù nhiªn vµ 1 < n < 100 ? Bài tập 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, trong đó a và b là hai sè tù nhiªn liªn tiÕp vµ c = ab. CMR: √ A lµ mét sè tù nhiªn lÎ. Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên A. KiÕn thøc c¬ b¶n - Nắm đợc tính chất chia hết trong tập hợp số nguyªn - Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập B. Ph¬ng ph¸p chung I. Chøng minh tÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn. Bµi tËp 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b). Gi¶i: NhËn xÐt: víi a = 0 th× Q = 0, cho nªn a lµ mét nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biÕn nªn Q = k.abc. Chọn a = b = c = 1 đợc k = 4. Vậy Q = 4abc.. Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n  N. hoÆc n  Z) §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, ta thêng phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nõu m lµ mét hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) Bµi tËp tù luyÖn: chia hết cho tất cả các số đó Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (173): NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê a) 4x4 - 32x2 + 1; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 2 còng tån t¹i mét béi cña k + x + 1) ; b) x6 + 27; 2 2 d) (2x - 4) + 9; VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (174): 3 2 2 a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4 + A = n (n - 7) - 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn 324. n Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (175): Gi¶i: a) x5 + x4 + 1; d) x5 - x4 - 1; Ph©n tÝch ra thõa sè: 5040 = 24.32.5.7 b) x5 + x + 1; e) x7 + x5 + 1; Ta cã: ROI c) x8 + x7 + 1; A = n[n2(n2 - 7)2 - 36] f) x8 + x4 + 1; Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (176): = n[(n3 - 7n)2 - 62] a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy = n(n3 - 7n - 6)(n3 - 7n + 6) + y3 - 1. Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (172): A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc b»ng c¸ch Ta l¹i cã: n3 - 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3) đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n. Bµi tËp 6**: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (178): n3 - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3) a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3) + 1. Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp céng thªm 1 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. (180) Dương Thị Thuỷ. 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> §©y chÝnh lµ tÝch cña b¶y sè nguyªn liªn tiÕp. Trong b¶y sè nguyªn liªn tiÕp - Tån t¹i mét béi cña 5 nªn A chia hÕt cho 5 - Tån t¹i mét béi cña 7 nªn A chia hÕt cho 7 - Tån t¹i hai béi cña 3 nªn A chia hÕt cho 9 - Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên A chia hÕt cho 16 A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cïng nhau nªn A chia hÕt cho 5.7.9.16 = 5040 ¸p dông: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× a) a2 - a chia hÕt cho 2 b) a3 - a chia hÕt cho 3 c) a5 - a chia hÕt cho 5 d) a7 - a chia hÕt cho 7 Gîi ý: Ph©n tÝch thµnh tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiếp, khi đó tồn tại các số là bội của 2, 3, 5, 7 VÝ dô 2: Sè chÝnh ph¬ng a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph¬ng chia cho 3 chØ cã thÓ cã sè d b»ng 0 hoÆc 1 b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph¬ng chia cho 4 chØ cã thÓ cã sè d b»ng 0 hoÆc 1 Gi¶i: Gäi A lµ sè chÝnh ph¬ng A = n2 (n  N) a) XÐt c¸c trêng hîp:. Lu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hÕt cña mét luü thõa. an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 .b2 +....+ a.bn-2 + bn-1) víi n  N* an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 .b2 - .... - a.bn-2 + bn-1) víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n (a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + ... + cn-1abn-1 + bn Các hệ số ci đợc xác định bởi tam giác Pa-xcan ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt ta cã: an - bn Chia hÕt cho a - b (a  b) a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a  - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi sè cña a) VÝ dô: Bµi tËp ¸p dông: 1/ Cho A = 11100 -1 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000 2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n 3/ Chøng minh r»ng víi n  N: a) 11n+1 + 122n+1 chia hÕt cho 133 b) 34n+2 + 2.43n+1 chia hÕt cho 17. c) 3.52n+1 + 23n+1 chia hÕt cho 17 II. T×m sè d VÝ dô: T×m sè d khi chia 2100 a) Cho 9 b) Cho 25 c) Cho 125 n = 3k (k N)  A = 9k2 chia hÕt cho 3 n = 3k  1 (k N)  A = 9k2  6k +1 chia Gi¶i: a) Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 - 1 cho 3 d 1 Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho 3 chØ cã thÓ cã sè d = BS 9 + 7 b»ng 0 hoÆc 1 Sè d khi chia 2100 cho 9 lµ 7 b) XÐt c¸c trêng hîp b) Luü thõa cña 2 s¸t víi mét béi sè cña 25 lµ 210 = n = 2k (k N) )  A = 4k2 chia hÕt cho 4 1024 = BS 25 - 1 n = 2k + 1 (k N)  A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1 cho 4 d 1 VËy sè d khi chia 2100 cho 25 lµ 1 VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho 4 chØ cã thÓ cã sè d b»ng 0 c) Dïng c«ng thøc Niu-t¬n: hoÆc 1 ¸p dông: Trong c¸c sè sau cã sè nµo lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng? M = 19922 + 19932 + 19942 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 Dương Thị Thuỷ. 50.49 2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + ... + 2 .52 - 50.5 + 1 Ta thÊy 48 sè h¹ng ®Çu tiªn chøa luü thõa cña 5 víi sè mò lín h¬n 3 nªn chia hÕt cho 125. hai sè h¹ng tiÕp theo còng chia hÕt cho 125, sè h¹ng cuèi cïng lµ 1. 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> VËy sè d khi chia 2100 cho 125 lµ 1 Bµi tËp ¸p dông: a) T×m sè d cña phÐp chia Sn = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4 b) Chøng minh r»ng: 52n + 5n + 1 chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho 3 III. T×m ch÷ sè cuèi cïng trong biÓu diÔn thËp ph©n cña mét sè Ph¬ng ph¸p: XÐt sè tù nhiªn A = nk víi n, k  N C¸ch 1: Muèn t×m ch÷ sè cuèi cïng cña A ta chØ cÇn biÓu diÔn A díi d¹ng:. 1) T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n. 2) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 171983 + 111983 - 71983 3) T×m ba ch÷ sè cuèi cïng cña sè A = m100 trong đó m là một số tự nhiên khác 0 IV. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B A = n3 + 2n2 - 3n + 2 B = n2 - n Biến đổi n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n2 - n)(n + 3) + 2. Muèn A chia hÕt cho B th× 2 ph¶i chia hÕt cho n2 A = 10a + b = ab Th× b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A n hay n(n - 1) do đó 2 phải chia hết cho n k k k Ta viÕt A = n = (10q + r) = 10t + r n 1 -1 2 -2 0 -2 1 -3 Th× ch÷ sè cuèi cïng cña A còng chÝnh lµ ch÷ sè cña cïng n-1 n(n 1) 0 2 2 6 cña rk Lo¹i Lo¹i VËy n = -1 ; n = 2 - NÕu A = 100b + ab = abc th× bc lµ hai ch÷ sè Bµi tËp: cuèi cïng cña A 1) Tìm số nguyên dơng n để n5 + 1 chia hết cho n3 + - ............... 1 C¸ch 2: 2) T×m sè tù nhiªn n sao cho Khi lÊy k lÇn lît nh÷ng gi¸ trÞ tù nhiªn kh¸c nhau a) 2n - 1 chia hÕt cho 7 th× trong biÓu diÔn thËp ph©n cña sè A = nk ch÷ sè cuèi b) 2n - 1 chia hÕt cho 7 cïng hoÆc mét ch÷ sè cuèi cïng xuÊt hiÖn tuÇn hoµn. Ta chØ cÇn t×m chu k× cña hiÖn tîng nµy vµ A ë trêng hîp nµo c) n2 - 3n + 6 chia hÕt cho 5 với giá trị k đã cho d) n3 - n + 1 Chia hÕt cho 7 C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d e) 2.3n + 3 chia hÕt cho 11 VÝ dô: T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña 2100 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n f) 10n - 1 chia hÕt cho 81 Gi¶i: g) 10n - 1 chia hÕt cho 11 100 100 Ba ch÷ sè tËp cïng cña 2 lµ sè d cña phÐp chia 2 cho h) 10n -1 chia hÕt cho 121 1000 V. Tính chia hết đối với đa thức Theo vÝ dô trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè ch½n, 1. T×m sè d cña phÐp chia mµ kh«ng thùc hiÖn phÐp nªn ba ch÷ sè t©n cïng cña nã chØ cã thÓ lµ 126, 376, 626 chia hoÆc 876 Mµ 2100 chia hÕt cho 8 nªn ba ch÷ sè tËn cïng cña nã còng Ph¬ng ph¸p: * §a thøc chia cã d¹ng x - a víi a lµ h»ng sè ph¶i chia hÕt cho 8. Trong bèn sè trªn chØ cã 376 tho¶ m·n Sè d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng gi¸ ®iÒu kiÖn trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a VËy ba ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 376 * §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lªn Bµi tËp:. Dương Thị Thuỷ. 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> C¸ch 1: T¸ch ®a thøc bÞ chia thµnh nh÷ng ®a thøc chia hÕt cho ®a thøc chia C¸ch 2: XÐt c¸c gi¸ trÞ riªng Chó ý: an - bn Chia hÕt cho a - b (a  b). Gi¶i:. = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - (x2n)2 = (x4n + x2n +1) (x4n - x2n +1) x4n + x2n +1 = x4n + 2x2n +1- x2n = (x2n + 1)2 - (xn)2 a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a  - b) = (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) VÝ dô 1: VËy x8n + x4n + 1 chia hÕt cho x2n + xn + 1 Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ * Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa sè b»ng 0 th× ®a thøc Êy chia hÕt cho x - 1 thøc chia hÕt cho ®a thøc chia Gi¶i: n n-1 VÝ dô 2: Gäi f(x) = a0x + a1x + ... + an-1x + an Chøng minh r»ng x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho ®a thøc x2 Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0 + x + 1 víi mäi sè tù nhiªn m, n Sè d cña phÐp chia f(x) cho x - 1 lµ Gi¶i: r = f(1) = a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0 x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 + 1 - x2 + x2 + x VËy f(x) chia hÕt cho x - 1 +1 VÝ dô 2: = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè +x+1 luü thõa bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè luü thõa bËc lÎ th× Ta thÊy x3m - 1 vµ x3n - 1 chia hÕt cho x3 - 1 f(x) chia hÕt cho x + 1 Do đó x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x2 + x + 1 2. T×m th¬ng vµ sè d cña phÐp chia c¸c ®a thøc VËy x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1 Ph¬ng ph¸p: * Sử dụng các biến đổi tơng đơng, chẳng hạn để - §Æt phÐp chia chøng minh f(x) chia hÕt cho g(x), cã thÓ chøng minh f(x) - Dùng sơ đồ Hoóc-ne + g(x) chia hÕt cho g(x) hoÆc §a thøc bÞ chia f(x) - g(x) chia hÕt cho g(x) a0 x n  a1 x n  1  a2 x n  2  ...  an  1 x  xVÝ dô 3: §a thøc chia lµ x - a th¬ng lµ Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x) f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 n 1 n 2 b0 x  b1 x  ...  bn  2 x  bn  1 sè d r g(x) = x9 + x8 + x7 + .... + x + 1 Gi¶i: Víi f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 +... + x11 - x b0 = a0 = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + ... + x(x10 b1 = a.b0 + a1 - 1) b2 = a.b1 + a2 Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x10 - 1, .................. mµ x10 - 1 chia hÕt cho g(x) bn-1 = a.bn-2 + an-1 VËy f(x) chia hÕt cho g(x) r = abn-1 + an * Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều 3. Chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc lµ nghiÖm cña ®a thøc bÞ chia Ph¬ng ph¸p: VÝ dô: * Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 chøng cã mét nh©n tö lµ ®a thøc chia ming r»ng f(x) chia hÕt cho x2 - x VÝ dô 1: Gi¶i: Chøng minh r»ng x8n + x4n + 1 chia hÕt cho x2n + xn + 1 víi mäi mét sè tù nhiªn n. Dương Thị Thuỷ. x8n + x4n + 1. 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> §a thøc x2 - x cã hai nghiÖm lµ x = 0 vµ x = 1. Ta sÏ chøng minh x=0 vµ x = 1 còng lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x). Dương Thị Thuỷ. 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chủ đề 2: Giải phơng trình A. KiÕn thøc c¬ b¶n - Nắm đợc khái niệm phơng trình bậc nhất một ẩn, ph¬ng tr×nh tÝch, ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. - Cã kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh mét c¸ch thµnh th¹o B. Néi dung I. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh a2x + b = a(x + b) Gi¶i: a2x + b = a(x + b)  a2x + b = ax + ab  a2x - ax = ab - b  ax(a - 1) = b(a - 1) (1) NÕu a  0, a  1th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. x. b a. NÕu a = 1 th× (1) cã d¹ng 0x = 0, ph¬ng tr×nh nghiÖm đúng với mọi x NÕu a = 0 th× (1) cã d¹ng 0x = -b, ph¬ng tr×nh nghiÖm đúng với mọi x nếu b = 0, vô nghiệm nếu b  0 KÕt luËn: NÕu a  0, a  1th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. x. b a. Nếu a = 1 hoặc a = 0 và b = 0, phơng trình nghiệm đúng víi mäi x NÕu a = 0 vµ b  0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i ph¬ng tr×nh:. Dương Thị Thuỷ. a+x a  x 3a   2 a-1 a 1 a  1 x-a x  b x  c b)   3 b+c c  a a  b x-a x  b x  c 3x c)    b+c c  a a  b a  b  c a+b-x a+c-x b+c-x 4x d)   1  c b a abc a). II. Ph¬ng tr×nh tÝch §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh tÝch mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: A(x).B(x)... = 0 (1) Trong đó A(x), B(x), ... là các đa thức C¸ch gi¶i: Gi¶i tõng ph¬ng tr×nh A(x) = 0, B(x) = 0, .... råi lÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña chóng. Chó ý: ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã vai trß quan träng trong viÖc ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh tích. Ngoài ra ta còn dùng phơng pháp đặt ẩn phụ VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56 Gi¶i: (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56  x3 + 9x2 + 27x + 27 - x3 - 3x2 - 3x- 1 = 56  6x2 + 24x -30 = 0  6(x2 + 4x - 5) = 0  x2 - x + 5x - 5 = 0  x(x - 1) + 5(x - 1) = 0  (x - 1)(x + 5) = 0 KÕt luËn: S = {1; -5} Chó ý: Có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ x + 2 = y (x + 2 lµ trung b×nh céng cña x + 3 vµ x + 1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Gi¶i: §Æt x - 7 = y, ph¬ng tr×nh trë thµnh: (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16. 1.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Rút gọn ta đợc: y + 6y - 7 = 0 §Æt y = z (z  0), ta cã z2 + 6z - 7 = 0  (z - 1)(z + 7) = 0 Ph¬ng tr×nh nµy cho z1 = 1, z2 = -7 (lo¹i) Víi z = 1, nªn y =  1 Từ đó x1 = 8 ; x2 = 6 Chó ý: Khi gi¶i ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng (x + a)4 + (x + 4. 2. 2. y x  b)4 = c ta thờng đặt ẩn phụ ¸p dông: Gi¶i ph¬ng tr×nh:. C¸ch 2: Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 (v× x = 0 không là nghiệm của phơng trình) ta đợc:.  2 1   x  x2     y x  §Æt. 1  3  x    4 0 x . 1 1 x 2  2 y2  2 x x th× , ta đợc:. y2 - 3y + 2 = 0 nªn y1 = 1; y2 = 2 Víi y1 = 1, ta cã x2 - x + 1 = 0, v« nghiÖm Víi y = 2, ta cã x2 - 2x + 1 = 0 nªn x = 1 Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i ph¬ng tr×nh. ab 2. a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2. a) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0. b) (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82. b) x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + 1 = 0. c) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1. c) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0. d) (x - 2,5)4 + (x -1,5)4 = 1 * Phơng trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng). d) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5 + 6 = 0 3. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu 1 C¸c bíc gi¶i: - Tìm điều kiện xác định của phơng trình Trong phơng trình đối xứng nếu a là nghiệm thì a cũng là - Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phơng trình rồi nghiÖm khö mÉu thøc + Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một - Giải phơng trình vừa nhận đợc trong c¸c nghiÖm lµ x = -1 - Nghiệm của phơng trình là các giá trị tìm đợc của + Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đa đợc về phẩn thoả mãn điều kiện xác định. VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1. y x . ơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:. x  1 x 3 2   (1) x  2 x  4 ( x  2)(4  x ). x Gi¶i:. a) 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0 b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0 Gi¶i: a) Biến đổi phơng trình thành: (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0. x3 . 1 2. Ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = -2 ; b) C¸ch 1: §a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (x + 1)2(x2 - x + 1) = 0 Ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 Dương Thị Thuỷ. §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ x  2, x  4 Biến đổi phơng trình (1) ta đợc: (x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2 Thu gọn phơng trình ta đợc: 2x(x - 2) = 0 (2) NgiÖm cña (2) x1 = 0 ; x2 = 2 x1 = 0 tho¶ m·n §KX§; x2 = 2 kh«ng tho¶ m·n §KX§ VËy S = {0} Bµi tËp: Gi¶i ph¬ng tr×nh víi c¸c tham sè a, b. 1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> a) b). 1 1 1 1    a b x ab x x+a x  3  2 x+3 x  a. Khi gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, ngoµi ẩn đã chọn đôi khi ngời ta còn biểu thị những đại lợng cha biết khác bằng chữ. Điều lý thú là các chữ đó tuy tham gia vµo qu¸ tr×nh gi¶i to¸n nhng chóng l¹i kh«ng cã mÆt trong đáp số của bài toán. VÝ dô 2: Một ngời đi nửa quãng đờng AB với vận tốc 20 km/h, vµ ®i phÇn cßn l¹i víi vËn tèc 30 km/h. TÝnh vËn tèc trung bình của ngời đó trên cả quãng đờng. Gi¶i: Gäi vËn tèc trung b×nh ph¶i t×m lµ x (km/h). Ta biểu thị một nửa quãng đờng AB là a km (a > 0).. 4) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: a) C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Bíc 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn. - Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết. - Lập phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại a lîng. Thời gian ngời đó đi nửa đầu quãng đờng là 20 Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh. Bíc 3: Chän kÕt qu¶ thÝch hîp vµ tr¶ lêi a VÝ dô 1: Vào thế kỉ thứ III trớc công nguyên, vua xứ Xi-ra- giờ, thời gian ngời đó đi nửa sau quãng đờng là 30 giờ, cót giao cho Ac-si-met kiÓm tra xem chiÕc mò b»ng vµng a a 2a   cña m×nh cã pha thªm b¹c hay kh«ng. ChiÕc mò cã träng Ta cã ph¬ng tr×nh: 20 30 x lợng 5 niutơn (theo đơn vị hiện nay), khi nhúng ngập trong Giải phơng trình ta đợc x = 24 níc th× träng lîng gi¶m ®i 0,3 niut¬n Vậy vận tốc trung bình của ngời đó trên cả quãng 1 đờng là 24km/h. BiÕt r»ng khi c©n trong níc, vµng gi¶m 20 träng l- Bµi tËp: 1) Một khách du lịch đi từ A đến B nhận thấy cứ 1 15 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i cïng chiÒu vît qua, cø 10 10 phót l¹i gÆp mét xe buýt ch¹y ngîc l¹i. BiÕt r»ng c¸c xe îng, b¹c gi¶m träng lîng. Hái chiÕc mò chøa bao buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi hành sau những nhiªu gam b¹c (vËt cã khèi lîng 100 gam tr× träng lîng khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đờng b»ng 1 niut¬n) (trên chiều từ A đến B cũng nh chiều ngợc lại). Hỏi cứ sau Gi¶i: Gäi träng lîng b¹c trong mò lµ x (niut¬n) (0 < x < bao nhiªu ph¸t th× c¸c xe buýt l¹i lÇn lît rêi bÕn? 2) Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 5). Träng lîng vµng trong mò lµ 5 - x (niut¬n) phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng Khi nhóng ngËp trong níc, träng lîng b¹c gi¶m cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ngîc l¹i. C¸c xe x 5 x này chuyển động đều với cùng vận tốc nh nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 10 (niut¬n), träng lîng vµng gi¶m 20 (niut¬n) phót l¹i gÆp mét xe ®i tõ B vÒ phÝa m×nh. Hái cø bao nhiªu x 5 x  0,3 phút lại có một xe đi từ A vợt qua ngời đó? Ta cã ph¬ng tr×nh: 10 20 Giải phơng trình ta đợc x = 1 VËy träng lîng b¹c trong mò lµ 1 niut¬n. ChiÕc mò chøa 100 gam b¹c. Chó ý:. Dương Thị Thuỷ. 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức A. Môc tiªu Học sinh nắm đợc các tính chất của bất đẳng thức, nắm đợc các hằng bất đẳng thức, các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Biết chứng minh bất đẳng thức một cách thành th¹o. B. KiÕn thøc c¬ b¶n I. Các tính chất của bất đẳng thức - TÝnh b¾c cÇu: a > b ; b > c  a > c - Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số. a 0 a a. a b a  b. a > b  0 ; c > d  0  ac > bd - N©ng lªn luü thõa bËc nguyªn d¬ng hai vÕ cña bÊt đẳng thức: a > b > 0  an > bn a > b  an > bn víi n lÎ. ab.  an > bn víi n ch½n - So s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè víi sè mò d¬ng:. Xẩy ra đẳng thức khi ab  0 Xẩy ra đẳng thức khi ab > 0 và. a b. 2. Một số hằng bất đẳng thức khác có thể sử dụng nh một bổ đề để giải toán. a2 + b2  2ab; 2.  ab   2  ab   Hay (a + b)2  4ab (bất đẳng thức C«-si); 1 1 4   a b a  b víi a, b > 0. a>b;c>da+c>b+d - Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a>b;c<da-c>b–d - Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế kh«ng ©m. Xẩy ra đẳng thức khi a  0. ab a  b. a>ba+cb+c - Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a > b ; c > 0  ac > bc a > b ; c < 0  ac < bc - Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều,. Xẩy ra đẳng thức khi a = 0. a b  2 b a víi a, b > 0 (a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bunhi-a-cốp-xki) III. Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: 1. Dùng định nghĩa §Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng minh A-B>0 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)  -1 Gi¶i: XÐt hiÖu (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 5x + 6) + 1 Đặt x2 - 5x + 5 = y ta đợc. a > 1  am > an a = 1  am = an 0 < a < 1  am < an 2 - Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu (y - 1)(y + 1) + 1 = y  0 VËy (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)  -1 hai vÕ cïng dÊu 2. Dùng phép biến đổi tơng đơng 1 1 VÝ dô 2:  Cho c¸c sè d¬ng a vµ b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = 1 a > b , ab > 0  a b NÕu m > n > 0 th×:. II.. Các hằng bất đẳng thức:. 1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a  0 ; -a  0, cần nhớ các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối: 2. Dương Thị Thuỷ.  1  1   1  a   1  b  9   Chøng minh r»ng:  (1). 2. Ta cã:. 1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> MÆt kh¸c ta cã: (a - b)2  0  2ab  a2 + b2  a2 + 2ab + b2  2(a2 + b2) Mà 2(a2 + b2)  4 (giả thiết), do đó a2 + 2ab + b2  4 M©u thuÉn víi (1) VËy a + b  2 C. Bµi tËp ¸p dông: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) Chứng minh bất đẳng thức. a+1 b 1  1  1   1  a   1  b  9  a . b 9     ab + a + b + 1  9ab (v× ab > 0)  a + b + 1  8ab (v× a + b = 1)  2  8ab  1  4ab  (a + b)2  4ab (v× a + b = 1)  (a - b)2  0 luôn đúng Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Xẩy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b 3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức VÝ dô 3:. a2 b2 c 2 c b a  2 2   2 b c a b a c 2) Chứng minh các bất đẳng thức với a, b , c là các số d¬ng:. 1 a4  b4  8 Cho a + b > 1. Chøng minh r»ng: Gi¶i: Ta cã. a). a+b+1>0 (1) B×nh ph¬ng hai vÕ: (a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1 (2) MÆt kh¸c (a - b)2  0  a2 - 2ab + b2  0 (3) Céng tõng vÕ (2) vµ (3). a b c   1,5 bc ca ab. b) 3) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh r»ng: a). 1 1 1 1 1 1      ab c b c  a c a  b a b c. 1 2(a2 + b2) > 1  a2 + b2 > 2 (4) B×nh ph¬ng hai vÕ cña (4) 1 a4 + 2a2b2 + b4 > 4. Gîi ý: 1 1 4   áp dụng bất đẳng thức x y x  y với x, y > 0 b). (5). MÆt kh¸c (a2 - b2)2  0  a4 - 2a2b2 + b4  0 Céng tõng vÕ (5) vµ (6). (6). a b c   3 b c  a a c  b a b  c. 1 1 2(a4 + b4) > 4  a4 + b4 > 8 4. Dïng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng VÝ dô 4: Cho a2 + b2  2. Chøng minh r»ng: a + b  2 Gi¶i: Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế ta đợc: a2 + 2ab + b2 > 4 (1). Dương Thị Thuỷ. 1 1 1    9 a b c.  a  b  c  . a b c   2 bc c a ab. c) 4) Cho a + b + c = 1. Chøng minh r»ng. a 2  b2  c 2 . 1 3. 5) Chøng minh r»ng víi a, b, c > 0 th×. 2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> a). a2 b2 a b    b2 a2 b a. b). a2 b2 c 2   a  b  c b c a. c). a2 b2 c2 abc    bc c a ab 2. Dương Thị Thuỷ. 2.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> -. -. Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất A. Môc tiªu Học sinh nắm đợc thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhá nhÊt cña mét biÓu thøc Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cña mét biÓu thøc B. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 1. Cho biÓu thøc f(x,y,...) Ta nãi M lµ GTLN cña biÓu thøc f(x,y,...) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau: Với mọi x, y,... để f(x,y,...) xác định thì f(x,y,...)  M (M lµ h»ng sè) (1) Tån t¹i x0 , y0 .... sao cho f(x0, y0, ....) = M (2) 2. Cho biÓu thøc f(x,y,...) Ta nãi M lµ GTNN cña biÓu thøc f(x,y,...) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau: Với mọi x, y,... để f(x,y,...) xác định thì (1’). b) B = -5x2 - 4x + 1 = 2. 4 4  9 2 9 9    5  x 2  x     5  x     5 25  5 5 5 5   9 2  Max B = 5 khi vµ chØ khi x = 5 ¸p dông: Cho tam thøc bËc hai P = ax2 + bx + c a) T×m GTNN cña P nÕu a > 0 b) T×m GTLN cña P nÕu a < 0 2. §a thøc bËc cao h¬n hai VÝ dô 2: T×m GTNN cña A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) Gi¶i: Ta cã: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12) §Æt x2 - 7x + 6 = y th×. f(x,y,...)  m (m lµ h»ng sè) - Tån t¹i x0 , y0 .... sao cho f(x0, y0, ....) = m (2’) Chó ý: NÕu chØ cã ®iÒu kiÖn (1) vµ (1’) th× cha thÓ nãi g× vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc Ch¼ng h¹n ta xÐt biÓu thøc A = (x - 1)2 + (x - 3)2. A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36  -36 VËy Min A = -36  x2 - 7x + 6 = 0  x1 = 1; x2 = 6 3. Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè mÉu lµ tam thøc bËc hai VÝ dô 3:. MÆc dï A  0 nhng cha thÓ kÕt luËn GTNN cña A = 0 vì không tồ tại giá trị nào của x để A = 0 C. Néi dung I. Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc chøa mét biÕn 1. Tam thøc bËc hai VÝ dô 1:. Gi¶i:. a) T×m GTNN cña A = 2x2 - 8x + 1. A T×m GTNN cña. A. a) A = 2x2 - 8x + 1 = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7. 2 2  9 x 2  6 x  5  3 x  1 2  4. Ta thÊy (3x - 1)2  0 nªn (3x - 1)2 + 4  4. 1 Do đó.  3x  1. b) T×m GTLN cña B = -5x2 - 4x + 1 Gi¶i:. 2 6 x  5  9x2. A  .  -7 Min A = -7 khi vµ chØ khi x = 2. 2.  4. 1 4. 2 .  3x  1. 2.  4. 2 4. 1 2. Min A . 1 1  3x-1 =0  x= 2 3. 4. Ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph¬ng cña mét nhÞ thøc Dương Thị Thuỷ. 2.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> VÝ du 4: T×m GTNN cña. c) T×m GTNN cña A + B 2) T×m GTNN cña c¸c biÓu thøc A = (x + 8)4 + (x + 5)4 B = (x - 1)(x - 3)(x2 - 4x + 5). 3x 2  8 x  6 A 2 x  2x 1. C  x  3  x 7. Gi¶i: Ta cã:. 2 D  x2  x  1  x  x 2 2 2 2 4 x  2cña GTLN  2 3 x 2  8 x  6  2 x  4 x  2    x  4 x 3) T×m GTNN, A 2   2  2 2 x  2x 1 1 x  x  1  x12 27. A. Min A = 2 khi vµ chØ khi x = 2 x2  9 II. Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét 2 3 x  2x  3 biÓu thøc cã quan hÖ rµng buéc gi÷a c¸c B biÕn x2 1 VÝ dô 1: 4) T×m GTNN cña T×m GTNN cña A = x3 + y3 + xy biÕt r»ng x 1 1 +y=1 A  ab    Gi¶i:  a b  víi a, b > 0 Sử dụng kiều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A:. . 1 1 1 B  a  b  c      a b c. A. = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 - xy + y2 + xy = x 2 + y2 §Õn ®ay cã nhiÒu c¸ch gi¶i: C¸ch 1: Biểu thị y theo x rồi đa về tam thức bậc hai đối với x: Thay y = x - 1vào biểu thức A ta đợc. 1 1 1 1 B  a  b  c  d       a b c d víi a, b, c, d > 0. 2. 1 2. . 2. . 1 1 2 ,y= 2. Min A = khi vµ chØ khi x = C¸ch 2: Sử dụng các điều kiện đã cho làm xuất hiện một biÓu thøc míi cã chøa A: Bµi tËp: 1) Cho x + y + z = 3 a) T×m GTNN cña A = x2 + y2 + z2 b) T×m GTLN cña B = xz + yz + zx. Dương Thị Thuỷ. víi a, b, c >. 0.  1 1 1 A x   x  1 2 x  x  1 = 2  x-     2 2 2 2. 2. . 2.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Chủ đề 5: Phơng pháp diện tích trong chứng minh h×nh häc A. Môc tiªu - Sử dụng các công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng để chứng minh h×nh häc - Cã kü n¨ng sö dông c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch để chứng minh hình học B. Sử dụng các công thức tính diện tích để chøng minh h×nh häc. VÝ dô 1: Cho tam giác đều ABC. a) Chøng minh r»ng nÕu ®iÓm M thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC th× tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao tam giác. b) Quan hệ trên thay đổi nh thế nào nếu điểm M thuéc miÒn ngoµi tam gi¸c Gi¶i: Gäi a vµ h lµ c¹nh vµ chiÒu cao cña tam gi¸c ABC, MA’, MB’, MC’ là các khoảng cách từ M đến BC, AC, AB a) NÕu M thuéc miÒn trong ABC th× A. C' B' M C. B. A'. SMBC + SMAC + SMAB = SABC. 1 1 1 1 BC. MA ' AC. MB ' AB. MC '  BC. AH 2 2 2 2 a a   MA ' MB ' MC '   h 2 2   MA ' MB ' MC '  h . Dương Thị Thuỷ. 2.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> b) NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn trong gãc A (miÒn 2) th×: 5 A. 4. 3 1. B C'. A'. 6. C B'. 7. 2 M. SMAC + SMAB - SMBC = SABC. 1 1 1 1 AC. MB ' AB. MC ' BC. MA '  BC. AH 2 2 2 2 a a   MB ' MC ' MA '   h 2 2   MB ' MC ' MA '  h . T¬ng tù: NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn trong gãc B (miÒn 3) th×: NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn trong gãc C (miÒn 4) th×: Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc A (miền 5) thì:.  MA '.  MA ' MC '. MB '  h.  MA ' MB '. MC '  h. MB ' MC '  h. Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc B (miền 6) thì:.  MB '. MA ' MC '  h. Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc C (miền 7) thì:.  MC '. MA ' MB '  h. Bµi tËp: 1) C¸c ®iÓm E, F n»m trªn c¸c c¹nh AB, BC cña h×nh b×nh hµnh ABCD sao cho AF = CE. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AF, CE. Chøng minh r»ng ID lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AIC. Dương Thị Thuỷ. 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> B. E. A H. I. F. K. D. C. Gîi ý: §Ó chøng tá D thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc AIC , ta vÏ DH  AF, DK  IC, råi chøng minh DH = DK. Hai đoạn thẳng này là các đờng cao của AFD và CED có cạnh đáy tơng ứng là AF và CE, do đo chỉ cần chứng minh SAFD = SCED (các diện tích này đều bằng nửa SABCD) 0  2) Cho ABC cã A 90 , D lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ C. Chøng minh r»ng tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ A vµ tõ. C đến BD lớn hơn đờng cao kẻ từ A và nhỏ hơn đờng cao kẻ từ C của ABC K F A D E B. C H. Gợi ý: Gọi AH, CK là các đờng cao của ABC. Kẻ AE và CF vuông góc với BD. Ta cần chứng tỏ AH < AE + CF < CK CÇn biÓu diÔn c¸c ®o¹n th»ng AE, CF, AH, CK theo diÖn tÝch ABC §Ò c¬ng «n tËp häc k× I A) §¹i sè Bµi 1 : T×m x biÕt: a) 2x (x-5) - x(3+2x) = 26 b) 5x (x-1) = x- 1 c) 2(x+5) - x2- 5x = 0 2 2 3) - (x+5) = 0 e) ( 3x – 1 )( 2x + 7 ) – ( x + 1 )( 6x – 5 ) = 16 f) ( x + 4 )2 – ( x + 1 ) ( x – 1) = 16 2 g) ( 2x – 1 ) – 4 ( x + 7 ) ( x – 7 ) = 0 h ) 5( x + 3 ) - 2x ( 3 + x ) = 0 2 i) ( x – 4 ) – 36 = 0 j) x( x – 5 ) – 4x + 20 = 0 k) ( 2x + 5 ) ( 2x – 5 ) + ( 4 x5 – 2 x4 ) : (-x3) = 15 Bµi 2: Chøng minh r»ng biÓu thøc: A = x(x - 6) + 10 lu«n lu«n d¬ng víi mäi x. B= 4x2- 4x +3 > 0 víi mäi x  R Bµi 3 : Với giá trị nào của a để đa thức ( 3x3 + 10x2 + a – 5) chia hết cho đa thức ( 3x + 1 ) Bµi 4 : Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: x x 4xy x +1 2x + 3 3 x-6 2 2 2 2 a) 2x + 6 + x + 3x b) 2x + 6 2x + 6x c) x - 2y + x + 2y + 4y - x x3 - 8 x 2 + 4x  2 e) 5x + 20 x + 2x + 4 x - 3  3x - 1 1   2  2x + 1 x 9 3-x   Bµi 5) Cho biểu thức : A = a) Tìm điều kiện xác định của A & Rút gọn A 1 1 3x - 6 ❑ ❑ 3x + 2 4 - 9x 2 d) 3x - 2. Dương Thị Thuỷ. 2. x2 + x 3x + 3 : 2 f) 5x -10x + 5 5x - 5. d) (2x-.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 1 b) Tìm x để A = 9 va` Tính giá trị của biểu thức A với x = 2. x - 2  x2  2  x+2 +  2 : 2 2 x x x + x   x 1 Bai 6) Cho biểu thức B = a/ Tìm điều kiện xác định của B & Rút gọn B b/ Tính giá trị của biểu thức B với x = 2008 x +1 1 −3 x x −1 + : Bai`7) Cho phân thức P = x −1 x 3+ x x 2 +1 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định. b) Rút gọn biểu thức P. Tính giá trị của P tại x = 6. c) Tìm x để phân thức có giá trị là số nguyên. x 2 −2 x+1 Bai`8) Cho phân thức: x3 − x .a) Tìm x để phân thức được xác định. .b) Tìm x để phân thức có giá trị bằng 0. c) Rút gọn phân thức. x +1 1 −3 x x −1 + : x −1 x 3+ x x 2 +1 d) Chứng minh đẳng thức. 1 1 1 a2 1 = − e) Tính. a+ + n(n+1) n n+1 1− a a+1 Bai 9) a) Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số? Dạng tổng quát. b) Rút gọn. 2 2 a+ac − b − bc x x +4 1 1 − − 2 = 2 Chứng minh hằng đẳng thức. 2 2 2 3 a −b x −2 x x − 4 x x =2 x x +2 x 1) a) Phát biểu quy tắc đổi dấu? & Áp dụng. Rút gọn: 2 x −1 − x − y ; 2 b −a x −x x 2 −1 =0 2) Tìm giá trị của x để phân thức: x2 − x Bai`10. Tìm a để đa thức 6x3 + x2 - 29x + a chia hết cho đa thức 2x - 3 3 6x x − + Bµi 11 . Cho biÓu thøc A= x − 3 9 − x 2 x +3 1 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã nghÜa. b) Rót gän A.c) T×m x sao cho A = . d) T×m 2 giá trị nguyên của x để A nhận giá trị dơng. SGK –tr62 Bµi tËp 58 -> 64 SBT : bµi 54 ,55 ,56 ,59 ,61 64 ,65, 66, 67 B) H×nh Häc : Bai`1) Cho đường cao AH. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành. b) Tứ giác MHPN là hình gì? vì sao? Bai` 2 ) Cho tam giac ABC đường cao AH. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành. b) Tứ giác MHPN là hình gì? vì sao? c) ABC th/m d/kien g× th× AMPN lµ h×nh ch÷ nhËt , thoi , vu«ng? Bai` 3) -Cho hcn ABCD. QuaA vẽ Ax// BD, Ax cắt đường thẳng CB tại E. a) Chứng minh ABDE làhbh , Chứng minh  ACE cân c) Vẽ AM   BD (M thuộc BD); BN  AE (N thuộc AE).Chứng minh AMBN là hcn. (. (. Dương Thị Thuỷ. ). ). 2.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Bài 4) Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AM. Gọi I là trung điểm AC, K là điểm đối xứng của M qua I. a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh AKMB là hình bình hành. c) Tam giác ABC với điều kiện gì để tứ giác AKCM là hình vuông ? d) Cho AM = 4,5cm; MB = 2cm. Tính diện tích tam giác ABC. Bµi 5 . Cho tam gi¸c ABC ,I n»m gi÷a B vµ C Qua I vẽ đờng thẳng // AB cắt AC ở H ,đờng thẳng // AC cắt AB ở K Tø gi¸c AHIK lµ h×nh g× ? I ë ®©u thuéc BC th× AHIK lµ h×nh thoi ? Tam gi¸c ABC cã ®iÒu kiÖn g× th× AHIK lµ h×nh ch÷ nhËt ? Bµi 6 . Cho tam gi¸c ABC M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB .P vµ Q lÇn lît thuéc BM vµ CN sao cho BP = 1/3 BM ; CQ = 1/3 CN a) MNPQ lµ h×nh g× ? v× sao? b) Tam gi¸c ABC ph¶i tháa m·n ®/k g× th× th× MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt? c) Tam gi¸c ABC, BM , CN tháa m·n ®k g× th× MNPQ lµ h×nh thoi , h×nh vu«ng Bµi 7. Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD),E lµ trung ®iÓm cña AB. a) C/m  EDC c©n b) Gäi I,K,M theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC,CD,DA. Tg EIKM lµ h×nh g×? V× sao? c) Tinh S ABCD,SEIKM biet EK = 4, IM = 6. Ba`i 8 . Cho tam giác ABC đường trung tuyến AE. Gọi M là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của E qua M. a. Tứ giác AEBD là hình gì ? Vì sao ? b. Chứng minh : AC // DE ; ADEC la` hinh` binh` hanh` c. Tam giỏc ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ AEBD là hỡnh thoi . Là hình vuụng? từ đó tớnh diện tớch tứ giỏc AEBD biết AE = 5cm và BC = 6cm.N là trung điêmAC D’ đối xứng E qua N cm :D ,A ,D’ thẳng hàng Bai` 9 . Cho ABC cân tại A , đường cao AH . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB , AC ; I là điểm đối xứng của H qua E . Chứng minh rằng : a) Tứ giác EFCB là hình thang cân b) AIBH là hình chữ nhật c) Tứ giác IACH là hình gì ? d) AFHE laø hình thoi. Bµi 10 .Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cãi AB= 2 AD .E, F thø tù lµ trung ®iÓm AB , CD. a)C¸c tø gi¸c AEFD , AECF lµ h×nh g×? t¹i sao? b) M lµ giao ®iÓm cña AF vµ DE , Giao ®iÓm cña BF ,CE lµ N. C/m EMFN lµ h×nh ch÷ nhËt c)ABCD cã thªm d/k g× th× EMFN lµ h×nh vu«ng? Bài 11 . Tam giác ABC có góc a = 900 ,AM trung tuyến. D là trung điểm AB ,E đối xứng M qua D a) c/m E đối xứng M qua AB b) AEMC , AEBM lµ h×nh g×?v× sao? c) Cho BC = 4 cm tÝnh chu vi t gi¸c AEBM d) Tam gi¸c ABC cã ®/k g× th× AEBM lµ h×nh vu«ng? e) AB =3cm AC =4cm Tính diện tích t giác AEBM và độ dài đoạn thẳng AM H×nh SGK + SBT : «n tËp ch¬ng II. ĐỀ CƯƠNG HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2009- 2010 I. LÝ THUYẾT : A. Một số câu hỏi lý thuyết và áp dụng lý thuyết I/ Đại số Câu 1: Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ. Dương Thị Thuỷ. 2.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Câu 2 Nêu 2 quy tắc biến đổi tương đương để giải một phương trình ? Áp dụng giải phương trình 4 - 3x = x - 6 ? Câu 3 Định nghĩa hai phương trình tương đương ? Hai phương trình cho dưới đây có tương đương hay không ? Vì sao ? 3x - 6 = 0 và x2 - 4 = 0 1 2− x = Câu 4 Điều kiện xác định của một phương trình là gì ? Áp dụng tìm ĐKXĐ của phương trình ? x x +1 Câu 5 : Nêu các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ? Áp dụng giải phương trình x x 2x + = ? 2 x − 6 2 x+ 2 ( x+ 1)( x −3) Câu 6 Nêu các bước để giải một bài toán bằng cách lập phương trình ? Câu 7: Nêu định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ? Cho ví dụ. Câu 8 Định nghĩa hai bất phương trình tương đương ? Áp dụng hãy chứng tỏ hai bất phương trình cho dưới đây là 2 bất phương trình tương đương : - 3x + 2 > 5 và 2x + 2 < 0 Câu 9 Phát biểu hai quy tắc biến đổi để giải bất phương trình ? Áp dụng giải bất phương trình ax + b  0 ( với a  0 và ẩn là x ) ? Câu 10: Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số a? 4x Áp dụng: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức: A = -2x + 5 + trong hai trường hợp x 0, x  0 II. Hình học: Câu 1 Phát biểu ,vẽ hình , ghi GT, KL, định lý Ta-lét thuận ? Áp dụng cho tam giác ABC có M AB và N AC. Biết MN // BC và AM = 4cm, AN = 5cm, NC = 3cm. Tính độ dài AB Câu 2 Phát biểu,vẽ hình , ghi GT , KL, định lý Ta-lét đảo ? Áp dụng cho tam giác ABC có M AB và N BC sao cho AM = 2, BM = 4, BN = 6 và CN = 3. Chứng tỏ MN // AC ? Câu 3 Phaùt bieåu ,vẽ hình , ghi GT , KL heä quaû cuûa ñ/l ta leùt. Câu 4 Phát biểu tính chất đường phân giác trong tam giác ? Áp dụng cho tam giác ABC, đường phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở I. Biết DI = 9cm, BC = 15cm. Tính độ dài AB ? Câu 5 Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng ?Áp dụng cho ABC có AB:AC:BC = 4 :5:6 MNK đồng dạng vớiABC và có chu vi bằng 90cm.Tính độ dài mỗi cạnh của MNK Câu 6 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-c -c ) của hai tam giác ? Áp dụng cho ABC và MNK có độ dài các cạnh lần lượt là : AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 6cm và MN = 10cm, NK = 6cm, MK = 12cm. Hỏi tam giác ABC đồng dạng với tam giác nào ? Câu 7 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( g-g) của hai tam giác ? Áp dụng cho hai tam giác cân ABC và DEF có góc A bằng góc E. Hỏi ABC đồng dạng với tam giác nào ? Câu 8 Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-g-c ) của hai tam giác ? Câu 9 Phát biểu các trường hơp đồng dạng của hai tam giác vuông ? Câu 10 Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó có quan hệ như thế nào ? Áp dụng cho ABC đồng dạng với RPQ với tỉ số đồng dạng bằng 2,5. Biết diện tích của RPQ bằng 50cm2. Hãy tính diện tích của ABC ? Câu 11: Các vị trí của hai đường thẳng trong không gian? Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng song song? Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc? Câu 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ. Hãy viết : a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng  BC ? c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng  mp(ADQM) Câu 13 - Hình lập phương có mấy mặt, mấy cạnh, mấy đỉnh? Các mặt là những hình gì ? - Hình hộp chữ nhật có mấy mặt, mấy cạnh , mấy đỉnh ? - Hình lăng trụ đứng tam giác có mấy cạnh, mấy đỉnh, mấy mặt ? B/ Một số bài tập luyện tập I/ Đại số 1. Giải các phương trình sau: Dương Thị Thuỷ. 2.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> a) 6x – 3 = -2x + 6. b) 2(x – 1) + 3( 2x + 3) = 4(2 – 3x) - 2 7x  1 16  x 2(1  2 x ) 2  3x 2(3x  1)  2x   2  5 4 6 2 ; d) 6 ; e). c) 3 – 2x(25 -2x ) = 4x2 + x – 40 3x  2 2 x 1 2    3x 2 3 f) 3 ; 1 2 4 x  1 x  1 2( x 2  2)     2 x  7 2 x 4 ; g) 2 x  3 x(2 x  3) x h) x  2 x  2 i) (x-2)(2x-3) = ( 4-2x)(x-2) k) ; 5  2 x 1  x 5x l) m) = 3x + 4 2. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: 3  x 2 x 1  5 ; a) 12 – 3x < 7 ; b) 3(x -1) – 4(2 – 4x) > 3(x+ 2) ; c) 2 3x  2 4x  5 7  x 2 x 1 x  1    3 4 ; e) 3 5 ; f) 3 2 d) 4 ; g) (x - 3)(x + 3) < (x + 2)2 + 3 3) Giải các bài toán tìm x đưa về BPT : 2 1/ Tìm x để phân thức : không âm 5−2x 2 >1 2/ Tìm x biết x −1 x −5 3/ Cho A = .Tìm giá trị của x để A dưong. x −8 4/ Tìm x sao cho giá trị biểu thức 2-5x nhỏ hơn giá trị biểu thức 3(2-x) 5/ Tìm x sao cho giá trị biểu thức -3x nhỏ hơn giá trị biểu thức -7x + 5 6/ Tìm x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 4 – 7x không lớn hơn giá trị của biểu thức 4x – 2 b ) Giá trị của biểu thức - 4x + 3 không vượt quá giá trị của biểu thức 5x – 7 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 1) Một người đi xe đap từ A đến B với vận tốc 12km/h.Khi từ B trở về A người ấy đi với vận tốc 9km/h. Vì thế thời gian về mất nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ. Tính quãng đường từ A đến B. 2 2). Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 30 . Tỉ số của hai số là 3 . 3). Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 80 và hiệu của chúng là 30. 4). Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 5 đơn vị thì dược 2 phân số mới bằng phân số 3 . Tìm phân số ban đầu. 5). Một đội máy cày dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính dtích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch . 6). Số lượng dầu trong thùng thứ nhất gấp đôi số lượng dầu trong thùng thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ nhất 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số lượng dầu trong hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu lúc đầu ở mỗi thùng. 7). Một người đi ôtô từ A đến B với vân tốc trung bình là 50km/h. Lúc về ôtô đi với vận tốc nhanh hơn lúc đi là 10km /h. Nên thời gian về ít hơn hơn thời gian đi là 1giờ.Tính quãng đường AB. 8). Một ngưòi đi ôtô từ A đến B với vtốc dự định là 48 km/h. Nhưng sau khi đi được 1 giờ với vận tốc ấy, người đó nghỉ 10 phút và tiếp tục đi tiếp. Để đến B kịp thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính qđường AB. 9). Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa bến A và bến B. Biết vận tốc dòng nước là 2km/h. 10) Một người đi xe máy từ A đến B với quãng đường dài 270km. Cùng lúc đó 1 người thứ hai đi ô tô từ B về A với vận tốc trung bình nhanh hơn vtốc của người đi xe máy là 10km/h. Biết sau 3giờ thì hai xe gặp nhau . Tính vtốc mỗi xe. Dương Thị Thuỷ. 3.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 11/ Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m .Chiều dài hơn chiều rộng 11m .Tính diện tích khu vườn. 12/ Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5h. Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h. BÀI TẬP HÌNH HỌC : Bài 1: Cho  ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: a)  ADB  AEC b) HE.HC = HD.HB c) H, M, K thẳng hàng. d)  ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác HBCK là hình thoi ? Là hình chữ nhật. Bài 2: Cho  ABC ( Â=900 ), AB = 12cm, AC = 16cm, tia phân giác của  cắt BC tại D. a) Tính tỉ số diện tích của 2 tam giác ABD và ACD. Tính độ dài cạnh BC b) Tính độ dài BD, CD. c)Tính chiều cao AH của  ABC Bài 3 : Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ. Hãy viết : a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng  BC ? c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng  mp(ADQM) Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 5cm , đường phân giác AD. Đường vuông góc với DC cắt AC ở E . a) Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng . b) Tính độ dài các đoạn thẳng BC , BD c) Tính độ dài AD d) Tính diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác ABDE Δ ABC vuông tại A có đường cao AH .Cho biết AB=15cm, AH=12cm a) Chứng minh Δ AHB, ΔCHA đồng dạng b) Tính độ dài đoạn thẳng HB;HC;AC . c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=5cm ;trên cạnh BC lấy điểm F sao cho CF=4cm.Chứng minh Δ CE F vuông. Bài 5 :. Cho. d) Chứng minh :CE.CA=CF Bài 6 : Cho hình chữthẳng nhật DH, ABCD c) Tính độ dài đoạn AH.có AB = 8cm, BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác BàiADB. 7 : Cho ABC vuông ở A có AB = 8cm, AC = 15cm, đuờng cao AH. a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD a/. Tính BC, AH; b/. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H nên AB, AC. Tứ giác AMNH là hình gì? Tính độ dài MN. c/. Chứng minh rằng A M.AB = AN.AC. Bài 8 : Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD. Phân giác của góc ADB và góc BDC lần lượt cắt AB, BC ở M và N. Biết AB = 8cm, AD = 6cm. a/. Tính độ dài các đoạn BD, BM; b/. Chứng minh MN // AC; c/. Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó. Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm,AD = 24cm,E là trung điểm của AB.Tia DE cắt AC ở F cắt CB ở G. a/. Tính độ dài các đoạn DE, DG, DF; b/. Chứng minh rằng: FD2 = FE.FG. Bài 10 : Cho ABC vuông ở A ; AB = 48 cm ; AC = 64cm . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 27 cm ; trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 36 cm . a/ Chứng minh ABC đồng dạng ADE b/ Tính độ dài các đoạn BC ; DE . c/ Chứng minh DE // BC. d/ Chứng minh EB Dương Thị Thuỷ.  BC . 3.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Cho ABC ( AB < AC ), Phân giác AD . Trên nưả mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ   tia Cx sao cho BCx BAD . Gọi I là trung điểm của Cx và AD . Chứng minh : a/ ADB đồng dạng với ACI ; ADB đồng dạng với CDI . b/ AD2 = AB.AC – DB.DC . Bài12:Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnhAB = 8cm,cạnh bên SA = 5cm a/. Tính trung đoạn SH của hình chóp; b/. Tính đường cao SO của hình chóp; c/. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp Bài 13 : Cho một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông cân vớt độ dài cạnh góc vuông là AB = AC = 6cm và chiều cao của lăng trụ là AA’ = 12cm. Tính: Diện tích xung quanh; diện tích toàn phần; Thể tích của lăng trụ. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ SỐ 1 A. LÝ THUYẾT ( 2 điểm)( Chọn một trong 2 câu sau) Câu1: Phát biểu định nghĩa phương trình bật nhất môt ẩn .Cho ví dụ Câu2: Phát biểu tính chất đường phân giác của một góc trong tam giác. Vẽ hình ghi giả thuyết , kết luận. Phần 2 : TỰ LUẬN ( 8 điểm ) Bài 1 : 2 điểm: Giải các phương trình sau: a) 2x +1 = 15-5x x −3 x +2 b) + =2 x −2 x Bài 2 : 1điểm Giải bất phương trinh và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số 2 x − 7 3 x −7 ≥ 6 2 Bài3: 1.5điểm: Giải bài toán băng cách lập phương trình. Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít .Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu. Bài4: 3.5điểm Cho Δ ABC vuông tại A,vẽ đường cao AH của Δ ABC . a) Chứng minh Δ ABH đồng dạng với ΔCBA b) Tính độ dài BC,AH,BH. Biết AB=15cm,AC=20cm c) Gọi E,Flà hai điểm đối xứng của H qua AB và AC. Tính diện tích tứ giác EFCB Bài 11 :. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : Giải các phương trình sau : a/ 3x – 2 = 2x + 5 2 b/ ( x – 2 ) ( x–6)=0 3 x −3 x +2 + =2 c/ x −2 x Bài 2 : a/Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số 3x – (7x + 2) > 5x + 4 b/Chứng minh rằng : 2x2 +4x +3 > 0 với mọi x Bài 3 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Tổng của hai chồng sách là 90 quyển . Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ nhất 10 quyển thì số sách ở chồng thứ nhất sẽ gấp đôi chồng thứ hai . Tìm số sách ở mỗi chồng lúc ban đàu . Bài 4: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó . Bài 5 : Cho Δ ABC có AB=12cm , AC= 15cm , BC = 16cm . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =3cm . Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N , cắt trung tuyến AI tại K . a/ Tính độ dài MN b/ Chứng minh K là trung điểm của MN Dương Thị Thuỷ. 3.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> c/ Trên tia MN lấy điểm P sao cho MP= 8cm . Nối PI cắt AC tại Q chứng minh Δ QIC đồng dạng với Δ AMN ĐỀ SỐ 3 A/Lý thuyết: (2 điểm) Câu 1: (1 điểm) Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn. Cho ví dụ. Câu 2: (1 điểm) Viết công thức tính thể tích hình lập phương cạnh a. Áp dụng: Tính thể tích hình lập phương với a = 15 cm B/ Bài toán: (8 điểm) Bài 1: (1.75đ) Giải các phương trình sau: a/ x – 3 = 18 b/ x(2x – 1) = 0 x −1 x −2 + =2 c/ x x+1 Bài 2: (1.5đ) a/ Giải bất phương trình sau: – 4 + 2x < 0. Hãy biểu diễn tập nghiệm trên trục số x −5 b/ Cho A = .Tìm giá trị của x để A dưong. x −8 Bài 3: (1.25đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một đoàn tàu đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Lúc về đoàn tàu đó đi với vận tốc 35 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 12 phút. Tính quãng đưòng AB. Bài 4: (3.5đ) Cho tam giác ABC, có Â = 900, BD là trung tuyến. DM là phân giác của góc ADB, DN là phân giác của góc BDC (M AB, N BC). a/ Tính MA biết AD = 6, BD = 10, MB = 5. b/ Chứng minh MN // AC c/ Tinh tỉ số diện tích của tam giác ABC và diện tích tứ giác AMNC. ĐỀ SỐ 4 x x 2x + = Bài 1 Giải phương trình: 2( x −3) 2 x+ 2 ( x+1)(x − 3) Bài 2 Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình 12km/h. Lúc trở về, người đó đi bằng xe máy với vận tốc trung bình là 40km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 3 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB. Bài 3 Cho tứ giác ABCD có AC BD, gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. ĐỀ SỐ 5 æ1 ö 1 x 4 ÷ ç ÷ ç ÷: x 2 - 1 ç è ø x + 1 x 1 Bài 1 Cho biểu thức A= với x≠1, x≠-1, x≠4 a. Rút gọn biểu thức A b. Tính A khi x=6 Câu 2 Hai nhóm công nhân đóng gạch xây dựng, mỗi giờ nhóm thứ I đóng được nhiều hơn nhóm thứ II là 10 viên gạch. Sau 3 giờ làm việc tổng số gạch hai nhóm đóng được là 930 viên. Hỏi mỗi nhóm trong một giờ đóng được bao nhiêu viên gạch? Câu 3 Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD và BC, đáy lớn CD gấp đôi dáy nhỏ AB. a) Tính các góc của hình thang. b) Đáy lớn DC = 20 cm. Tính chu vi hình thang. c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh OC = 2OA ĐỀ SỐ 6 Dương Thị Thuỷ. 3.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 2 x 1 x  1  1 3 2 Câu 1: Giải Bất phương trình: Câu 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 6 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 7 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B . Biết vận tốc dòng chảy của nước là 2 km/h. Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Chứng minh: a) ∆AHC ~ ∆BAC b) ∆AHC ~ ∆BHA ĐỀ SỐ 7 2 x 6 3 x  2 Câu 1: Giải phương trình: x Câu 2: Tìm số học sinh của lớp 8A biết rằng học kì I số học sinh giỏi bằng 1/10 số học sinh cả lớp. Sang học kì II có thêm 2 ban phấn đấu trở thành học sinh giỏi nửa, do đó số học sinh giỏi bằng 15% số học sinh cả lớp. Bài 3. :(4 điểm). Trên 1 cạnh của 1 góc có đỉnh A đặt đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm. Trên cạnh thứ 2 của góc đó đặt các đoạn thẳng AD = 4cm, AF = 6cm. a. Chứng minh rằng AEF ADC. b.Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác IDF và IEC Câu 4; Tính thể tích hình chóp đều bên, biết đường cao AO = 12cm, BC = 10cm. A. B. D O H C. ĐỀ SỐ 8 5 3 − =0 Câu 1: Giải phương trình 2 x − 4 x+ 2 Câu 2: Một đội công nhân dự định mỗi ngày đắp 45 m đường. Khi thực hiện mỗi ngày đội đắp được 55 m vì vậy đội không những đã đắp xong đoạn đường đã định trước thời hạn 1 ngày mà còn đắp thêm được 25 m nữa. Hỏi đoạn đường mà đội dự định đắp dài bao nhiêu mét? 1 Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có AB = CD. Cho AB = 6 cm; BC = 5 cm. 2 a)Tính chu vi hình thang b)Tính đường cao AH và diện tích hình thang. c)Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua O và song song với đáy hình thang cắt BC tại M. Tính BM. AC BD + =3 d)Chứng minh OC OD. Ngµy so¹n Ngµy gi¶ng: Buæi 1. Dương Thị Thuỷ. 3.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> định lý ta lét trong tam giác I- Môc tiªu - Củng cố và khắc sâu định lí đảo và hệ quả của định lý Talét - RÌn kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho HS - RÌn tÝnh cÈn thËn, chÝnh x¸c cho HS II- ChuÈn bÞ GV: B¶ng phô, thíc HS: Thớc; Ôn lại định lí đảo của định lí Talét, hệ quả. III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Bài 1:. Ph¬ng ph¸p. Cho đoạn thẳng MN lấy P sao cho MP 2 MP NP  Np 5 . TÝnh MN vµ MN Bµi 2:. A. Trªn c¹nh AB cña tam gi¸c ABC lÊy D. H¹. K H. BH, DK vu«ng gãc víi AC. VÏ DD’//BC. DK DD '  Chøng minh BH BC. D'. D. C. B. Bµi 3:. A. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia Ba 4. AB 4  lÊy M sao cho BM 3 . VÏMN//BC (N 3. a. BiÕt MN=2,7. TÝnh BC b. BiÕt BC=1,7. TÝnh MN. C. B. thuéc AC).. M. N. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã AB=9cm,AC=12cm.. A 8. 3. Trªn AB lÊy R sao cho AR=3cm. Trªn AC. R. lÊy N sao cho NC=8cm.. N J. a. Chøng minh: NR//BC b. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ; AI c¾t NR B Dương Thị Thuỷ. I. 3. C.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> RJ t¹i J. TÝnh NR Bµi 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB.. A. ED 1  Trªn DC lÊy E sao cho CD 2 Gäi M lµ. B. M. N. giao ®iÓm cña AE vµ BD ; N lµ giao ®iÓm cña BE vµ AC. a. Chøng minh: ME.AB MA.EC vµ. D. E. C. ME.NB NE.MA b. Chøng minh: MN//DC Cñng cè ? Định lý ta lét đợc dùng để giải dạng bài tập nào ? ? Hệ qủ củađịnh lý ta lét đợc dùng để giải dạng bài tập nào ? ? Định lý đảo của định lý ta lét đợc dùng để giải dạng bài tập nào ? Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp. Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng: Buæi 2 tính chất đờng phân giác I- Môc tiªu - Củng cố cho HS về định lý Talét, hệ quả của định lý Talét, định lý đờng phân giác trong tam gi¸c. - áp dụng tính chất đờng phân giác để làm bài tập tính toán. - Rèn cho HS kỹ năng vận dụng định lý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đờng thẳng song song. II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, thíc, com pa HS: Thíc, com pa Dương Thị Thuỷ. 3.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Bµi 1: Cho tam g¸c ABC cã trung tuyÕn AM.. Ph¬ng ph¸p A. Vẽ phân giác ME của góc AMC đờng th¼ng vu«ng gãc víi ME t¹i M c¾t AB. E. D. t¹i D . Chøng minh DE//BC. B. M. Bµi 2:. C. A. Cho tam giác ABC có BE, CF là các đờng phân giác. E. Chøng minh r»g:. F. AB.EC.FA = AC.FB.EA B. C. Bµi 3:. M. Cho tam gi¸c ABC. §êng ph©n gi¸c ngoµi gãc B c¾t c¹nh Ac t¹i M. Chøng. A. MA BA  minh: MC BC X. C B. H. Bµi 4 :Cho tam gi¸c ABC. §êng cao AH. Trªn. a AM BH  c¹nh AC lÊy M sao cho AC BC. m. a) Chøng minh : HM//AB. d 4. BH 1  b) BiÕt HM=4 vµ BC 3 c) Chøng minh trung tuyÕn CD cña tam gi¸c ABC còng lµ trung tuyÕn cña tam. b. gi¸c CMH HD : Dương Thị Thuỷ. 3. h. c.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Bài 5 : Cho hình thang ABCD có đờng trung i. b×nh MN ( M thuéc AD) , hai c¹nh bªn DA vµ CB kÐo dµi c¾t nhau t¹i I. BiÕt AB<CD.. a m. Chøng minh a) IM.NC = IN.AM. d. HD : a). im MA  in NC. n. c. b) HD : 2MN IB AB  CD IC  IB 1    DC IC DC IC AB  CD IC  IB AB  CD CD    DC IC IC  IB IC. 2MN IB 1  IC b) DC. im.nc = in.ma . b. hay. im MA  in NB . Dựa vào định lý Ta lét với tam gi¸c IMN 2MN IB 1  IC b) DC Gi¶i : Theo hệ quả của định lý ta lét ta có : IB AB CD AB AB  CD     IC CD IC IB IB  IC CD 2MN 2MN IB  IC IB    1  CD IC IC Hay IC IB  IC Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng:. Buæi 3 Tam giác đồng dạng I- Môc tiªu - Củng cố cho HS về đinghj nghĩa , tính chất, về tam giác đồng dạng - áp dụng các trờng hợp đồng dạng của 2 tam giác để làm bài tập tính toán. - Rèn cho HS kỹ năng vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đờng thẳng song song….. II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, thíc, com pa HS: Thíc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Dương Thị Thuỷ. 3.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Néi dung Bµi 1 : Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tû sè k. BiÕt chu vi tam gi¸c ABC b»ng 12cm. a. Chøng minh: AB  AC  BC k A ' B ' A ' C '  B ' C ' b. TÝnh chu vi tam gi¸c A’B’C’ víi 2 k 3. Ph¬ng ph¸p. Bµi 3: Cho tam giác ABC vuông tại Acó đờng cao AH. Chøng minh: a. ABC đồng dạng với CAB AB BC  b. AH AC. c. b. c'. b'. Bµi 2: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tû sè k . BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 24 cm2. S ABC k 2 a. Chøng minh: S A' B 'C ' b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c A’B’C’ 2 k 3 víi. a. a'. a. a'. c'. b' b h. c. a. Bµi 4: Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A, đáy nhỏ AD , đờng chéo BD vuông gãc víi c¹nh bªn BC. Chøng minh:   a. ABD BCD b. Tam giác ABD đồng dạng tam gi¸c BCD c. BD2 = AB.DC. a. b. c. d. Dương Thị Thuỷ. c. b. 3.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn AM. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AM ; BI c¾t AC t¹i E. Gäi F lµ trung ®iÓm cña BE. a) Chøng minh: + Tam giác BFM đồng dạng với tam gi¸c BEC; + Tam giác IFM đồng dạng với tam gi¸c IEA AE b) TÝnh tû sè AC Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã B>900. VÏ CE vu«ng gãc víi AB, VÏ CF vu«ng gãc víi AD, VÏ BI vu«ng gãc víi AC. a) Chøng minh: + Tam giác ABI đồng dạng với tam gi¸c ACE; + Tam giácEAFC đồng dạng với tam gi¸c CIB. ai dc af ac   ad b) ae ac ; ci a. . . Cho tam gi¸c ABC cã B 2c . Trªn tia đối của tia BA lấy K sao cho BK = BC. Chøng minh : a) Tam giác ABc đồng dạng với tam gi¸c AKC 2. b. b) AC AB.AK. c. k Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp. Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng:. Buæi 4 Tam giác đồng dạng I- Môc tiªu - Củng cố cho HS về đinghj nghĩa , tính chất, về tam giác đồng dạng - áp dụng các trờng hợp đồng dạng của 2 tam giác để làm bài tập tính toán. - Rèn cho HS kỹ năng vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đờng thẳng song song….. II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, thíc, com pa HS: Thíc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung. Ph¬ng ph¸p. Bµi 1 : Cho hình bình hành ABCD. Từ A vẽ đờng thẳng cắt đờng chéo BD tại I, cắt c¹nh BG t¹i J, c¾t phÇn kÐo dµi c¹nh DC t¹i K. Chøng minh a) BI.AI = DI.IJ ; DI.AB = DK.BI. AB KC  KJ b) AJ Bµi 2: Cho h×nh thang ABCD cã 2 c¹nh bªn AD vµ Bc c¾t nhau t¹i M. §êng th¼ng qua M cắt cạnh đáy Dc và AB tại E và F.. DC DE EC   Chøng minh: AB AF FB. Bµi 3: Cho tam giác ABC vuông tại Acó đờng cao AH. Chøng minh: a. AHB đồng dạng với CHA AB HB  b. AC HC. Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H, träng t©m G. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, N lµ trung ®iÓm cña AC, O lµ giao điểm các đờng trung trực của tam giác. Chøng minh: a. Tam giác AHB đồng dạng với tam OM gi¸c OMN vµ tÝnh tû sè AH GM MN  b. Chøng minh: GA AB c. Tam giác AHG đồng dạng với tam gi¸c MOG Bài 5: Cho hình thang ABCD có đờng. a. b. chÐo BD vu«ng gãc víi c¹nh bªn BC, BiÕt BD2= AB.DC. Chøng Minh ABCD lµ h×nh thang vu«ng HD: BD2= AB.DC BD DC   AB BD. c. d.   L¹i cã: ABD BDC. => ABD BDC(g.g) 0   => A DBC(90 ). Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp. Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng:. Buæi 5 Tam giác đồng dạng I- Môc tiªu - Củng cố cho HS về đinghj nghĩa , tính chất, về tam giác đồng dạng - áp dụng các trờng hợp đồng dạng của 2 tam giác để làm bài tập tính toán. - Rèn cho HS kỹ năng vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đờng thẳng song song….. II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, thíc, com pa HS: Thíc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung. Ph¬ng ph¸p. Bµi 1 : Cho hình bình hành ABCD. Từ A vẽ đờng thẳng cắt đờng chéo BD tại I, cắt c¹nh BC t¹i J, c¾t phÇn kÐo dµi c¹nh DC t¹i K. Chøng minh a)AI2 = KI.KJ b) BJ.DK=BA.DA HD : AI2 = KI.KJ Bµi 2: Cho h×nh thang ABCD cã 2 c¹nh bªn AD vµ Bc c¾t nhau t¹i M. §êng th¼ng qua M cắt cạnh đáy Dc và AB tại E và F.. DC DE EC   Chøng minh: AB AF FB Bµi 3: Cho tam giác ABC vuông tại Acó đờng cao AH. Chøng minh: c. AHB đồng dạng với CHA AB HB  d. AC HC Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H, träng t©m G. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, N lµ trung ®iÓm cña AC, O lµ giao điểm các đờng trung trực của tam giác. Chøng minh: a) Tam giác AHB đồng dạng với tam OM gi¸c OMN vµ tÝnh tû sè AH GM MN  b) Chøng minh: GA AB Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> c) Tam giác AHG đồng dạng với tam gi¸c MOG Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên tia đối. a. cña tia BA lÊy K sao cho BK=BC. BiÕt AC2= AB.AK. Chøng minh a) Tam giác ABC đồng dạng với tam gi¸c ACK b.   b) B 2C. c. k. Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp trong s¸ch bµi tËp TOÁN 8 I/ ĐẠI SỐ: A/ Lý thuyết: 1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ. 2. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn? Cho ví dụ. 3. Hai quy tắc biến đổi phương trình. 4. Một phương trình bậc nhất một ẩn có mấy nghiệm. 5. Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý điều gì? Nêu các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu? 6. Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình? 7. Nêu quy tắc cộng, quy tắc nhân đối với bất đẳng thức. 8. Thế nào là hai phương trình tương đương? Hai bất phương trình tương đương? Cho ví dụ 9. Phát biểu quy tắc chuyển vế để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự trên tập số? 10. Phát biểu quy tắc nhân để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự trên tập số. B/ Bài tập : 1. Giải các phương trình sau: a) 7x + 21 = 0 l) (2x - 1) 2 – (2x + 1)2 = 4(x - 3) b) -2x + 14 = 0 m) (2x - 1)(x - 2) = 0 c) 6534 = − x n) (3,5x – 0,7)(x – 0,5) = 0 d) 3x + 1 = 7x – 11 o) 3x(2x + 5) – 5(2x + 5) = 0 e) 15 – 8x = 9 – 5x p) (x - 3)(2x - 5)(3x + 9) =0 f) 1,2 – (x – 0,8) = -2 (0,9 + x) q) ) g) 3,6 – 0,5 (2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x) k) (x +2) (3 – 4x) + (x2 + 4x + 4) = 0 i). 2,5(x 3) 3(x 4) 9 (5x 15,3) − + − Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> 2. Giải các bài toán sau đây bằng cách lập phương trình: Web side xem điểm: Trang1Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 Bài 1: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc trung bình là 15km/h. Lúc về người đó chỉ đi với vaän toác trung bình laø 12 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB. Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h và sau đó quay trở về từ B về A với vận tốc 40 km/h. Cả ñi vaø về mất 5h 24’. Tính chiều dài quãng đường AB. Bài 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi coøn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, ô tô tăng thêm vận tốc 10 km/h trên quãng đường còn lại, do đó đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. ( Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km) (x > 120)) Baøi 4 : Lúc 7 giờ sáng một chiếc cano xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau 36 km, rồi ngay lập tức quay trở về đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của cano khi xuôi dòng, biết rằng vận tốc nước chảy là 6km/h. Bài 5: Một đội thợ mỏ theo kế hoạch mỗi ngày phải khai thác 50m3 than. Do cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày đội đã khai thác được 57m3 than, vì thế đội đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức dự định 13m3 . Tính số m3 than đội phải khai thác theo kế hoạch. Bài 6: Thùng thứ nhất chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo. Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số goùi keïo nhiều gấp 3 lần số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất. Hỏi có bao nhiêu gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất, biết raèng số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp 2 lần số gói kẹo còn lại trong thùng thứ hai. Bài 7: Một lớp học có 53 học sinh. Nếu thêm vào 3 học sinh nam và bớt đi 4 học sinh nữ thì số học sinh nữ baèng số học sinh nam. Tính số học sinh nam và nữ của lớp. (ĐS: 23 nam và 30 nữ) Bài 8: Tìm hai số biết tổng của chúng là 100 và nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm vào số thứ hai 5 ñôn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai. Bài 9: Một số có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ soá cho nhau thì được một số nhỏ hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đó. Bài 10: Một khu vườn HCN có chu vi là 82m, chiều dài hơn chiều rộng là 11m. Tính diện tích khu vườn đó. Bài 11: a) Khi mới nhận lớp 8A, cô chủ nhiệm dự định chia lớp thành 3 tổ có số học sinh như nhau. Nhưng sau đó lớp nhận thêm 4 học sinh nữa. Do đó cô chủ nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành 4 tổ. Hỏi lớp 8A hiện có bao nhiêu học sinh . Biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn 2 học sinh. b) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24km/h . Biết thời gian tổng cộng hết 5h30phút . Tính quãng đường AB ? c) Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó 3 đơn vị . Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được 1 phân số mới bằng 2 1 Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> . Tìm phân số ban đầu ? d) Hiện nay tuổi của ba gấp 3 lần tuổi con . Sau mười năm nữa thì tuổi cha chỉ còn gấp 2 lần tuổi con . Tính tuổi con hiện nay ? e) Đầu năm , giá xe máy tăng 5% nhưng cuối năm lại giảm 5 % . Vì vậy giá một xe máy vào cuối nămlại rẻ hơn trước lúc tăng giá là 50000đồng. Hỏi giá một xe máy trước lúc tăng giá là bao nhiêu? Web side xem điểm: Trang2Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 3. Giải các bất phương trình sau đây và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: Bài 1: a) 2x – 7 ≥0 d) 2 ≤ 3 3 2 + x b) -3x – 9 > 0 f) 2(3x – 1) < 2x + 4 4/. Với những giá trị nào của x để: i/. Giá trị của biểu thức 8 5x − là số dương, là số âm. ii/. Gía trị của biểu thức 2(x 1)(x 1) 3 + − − nhỏ hơn giá trị tương ứng của biểu thức 5x (2x 1)(3 x). iii/. Giá trị của biểu thức 22(2x 1) 6 lớn hơn giá trị tương ứng của biểu thức 8(x 3)(x 3). iv/. Hiệu hai biểu thức 3x 2 − x vaø x - 4x 3 − baèng tích cuûa chuùng. 5/. Tìm giá trị nguyên của x thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình: 5x 2 + 4x 35 vaø 8x 2 + 2x 5 6/. Chứng minh rằng: a) 24x 12x 11 0 + + > ... x ... Q b) 2 2x 1 3x 2x 3x 1 ≤... x... Q 7/ Tìm x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 1 – 2x không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3 b) Giá trị của biểu thức 2 – 5x nhỏ hơn giá trị của biểu thức 3(2 - x) 8/ Giải phương trình: a) 2 3 5 − = + x x b) 6 3 + = − x x c). 3,5x 1,5x 10; = + d). 5 x 4x; − = II/ HÌNH HỌC: A/ Lý thuyết: 1. Phát biểu và viết tỉ lệ thức biểu thị hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’. 2. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận của định lí Talét trong tam giác. 3. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận của định lí Talét đảo 4. Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận về hệ quả của định lí Talét . 5. Phát biểu định lí về tính chất của đường phân giác trong tam giác (vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận) 6. Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng. 7. Phát biểu định lí về đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh (hoặc kéo dài hai cạnh) còn lại. 8. Phát biểu các định lí về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác. 9. Phát biểu định lí về trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông (trường hợp cạnh huyền và một cạnh góc vuông) Web side xem điểm: Trang3Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 A . TRAÉC NGHIEÄM: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu sau: Caâu 1: Xem hình veõ cho bieát DE // BC, AB = 40mm, AC = 50mm, BC = 24mm, AD = 18mm, x=AE, y=DE. Giaù trò cuûa x, y laø: Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> A. x = 22,5mm ; y = 10,8mm B. x = 20mm ; y = 10mm C. x = 20,5mm ; y = 10,5mm D. x = 19,5mm ; y=10,25mm Câu 2: Cho ∆ABC, ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là , 2 ; 3 và ∆A’B’C ’, ∆A"B"C" với tỉ số đồng dạng laø : 3 ; 5. Vaäy ∆ A"B"C" , ∆ABC theo tæ soá laø bao nhieâu? A. 2 ; 5 B. 10 ; 9 C. 9 ; 10 D. Moät tæ soá khaùc. Caâu 3: Xem hình veõ, cho bieát AB = 25mm, AC = 40mm, BD = 15mm vaø AD laø phaân giaùc cuûa goùc BAD. Vaäy x =? A. x = 18mm B. x = 24mm C. x = 28mm D. x = 32mm Câu 5: Hai tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là 3, tổng độ dài hai cạnh tương ứng là 24cm. Vậy độ dài hai cạnh đó là: A. 18cm; 6cm B. 14cm; 10cm C.16cm; 8cm D.Moät keát quaû khaùc. Câu 6: Bóng của một cây trên mặt đất có độ dài 8m, cùng thời điểm đó một cọc sắt 2m vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,4m. Vậy chiều cao của cây là bao nhiêu? A. 30m ; B. 36m ; C. 32m ; D. 40m Câu 7: Hai tam giác vuông cân, tam giác thứ nhất có độ dài cạnh góc vuông là 8cm, tỉ số chu vi của tam giác thứ nhất và tam giác thứ hai là 1 ; 3 . Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác thứ hai là: A. 24 2 cm B.12 2 cm C. 8 ; 2 ; 3 ; cm D.14,2 cm Câu 8: Hai tam giác vuông cân, độ dài cạnh huyền của tam giác thứ nhất gấp 3 lần độ dài cạnh huyền của tam giác thứ hai. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác tam giác thứ nhất và tam giác thứ hai, câu nào sau đây đúng? A. S1 = 3S2 B. S2 = 3S1 C. S1 = 9S2 D. S2= 9S1 Câu 9: Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 12cm và tam giác đều A’B’C’. Gọi S1, S2 là diện tích ∆ABC vaø ∆ A’B’C’. Cho biết S1 = 9S2. Vậy độ dài cạnh tam giác A’B’C’ là: A. 12 ; 9 B. 4cm ; C.36cm ; D.108cm Câu 10: Tỉ số hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là 1 ; 2 . Chu vi tam giác thứ nhất là 16cm, thì chu vi tam giác thứ hai là:A.8cm ; B.16cm ; C.32cm ; D. Đáp số khác Câu 11: Tỉ số hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là 1 ; 3 .Diện tích tam giác thứ nhất là 20cm2 , thì diện tích tam giác thứ hai là: A. 40cm2 ; B. 60cm2 ; C. 90cm2 ; D. Đáp số khác Câu 12: Công thức Sxq = 2p.h, trong đó p là nửa chu vi đáy, h là chiều cao là công thức tính dtích xung quanh cuûa:Web side xem điểm: Trang4Trường THCS Nguyễn Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 A. Hình lăng trụ đứng ; B. Hình hộp chữ nhật C. Hình lập phương; D. Cả 3 câu đều đúng. Caâu 13: Moät hình laäp phöông coù caïnh laø 3cm. Vaäy theå tích cuûa hình laäp phöông laø: A. 9cm2 B. 18cm2 C. 27cm2 Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> D. Moät keát quaû khaùc. Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm,BC =10cm,AA’= 4cm.Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là: A. 96cm2 B. 120cm2 C. 144cm2 D. 192cm2 Câu 15: Một hình lập phương có diện tích toàn phần là 600mm2 . Thể tích hình lập phương là bao nhiêu? A. 100mm3 B. 1000cm3 C. 1200m3 D. 3600cm3 B/ Bài tập: Bài 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác AHC. Bài 2/ Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N. Biết AM = 3cm, MB = 2cm, AN = 7,5cm, NC = 5cm. a) Chứng minh MN // BC. b) Gọi I là trung điểm của BC, K là giao điểm của AI và MN.Chứng minh K là trung điểm của MN. Bài 3/ Hình thang ABCD (AB // CD) có AB =2,5 cm, AD = 3,5 cm, BD = 5 cm, DAB = DBC a) Chứng minh ∆ADB ∆ BCD b) Tính độ dài các cạnh BC, CD Bài 4/ Cho tam giác vuông ABC (Â = 900), AB = 12 cm, AC = 16 cm. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, AH là đường cao của tam giác ABC. a) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD. b) Tính BC, BD, CD, AH. Bài 5/ Trên một cạnh của một góc có đỉnh là A đặt đoạn thẳng AE = 3 cm, AC = 8 cm. Trên cạnh kia đặt các đoạn thẳng AD = 4 cm, AF = 6 cm a) Hỏi tam giác ACD và tam giác AEF có đồng dạng không? Vì sao? b) Gọi I là giao điểm của CD và EF. Tính tỉ số chu vi của hai tam giác IDF và IEC Bài 6/ Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4 cm, BC = 6 cm. Kẻ tia Cx BC ( tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng BC), lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9 cm. a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDB. b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Tính IB, IC. Bài 7/ Cho hình chữ nhật ABCD có hai AB = 8 cm, BC = 6 cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB. a) Chứng minh Tam giác AHB và tam giác ADB đồng dạng b) Chứng minh AD2 = DH . DB c) Tính DH và AH Bài 8: Cho ∆ABC cân ở A, có AB = AC = 100cm, BC = 120cm, hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H. a/. Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH; b/. Tính độ dài các đoạn HD, AH, BH, HE. Bài 9: Cho ∆ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH, đường phân giác BD. a/. Tính độ dài các đoạn AD, DC; b/. Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh AB.BI = BD.HB; c/. Chúng minh tam giác AID là tam giác cân. Bài 10: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Đường cao BH chia cạnh đáy CD thành hai đoạn DH = 16cm, HC = 9cm. Biết BD ⊥ BC. a/. Tính đường chéo AC và BD của hình thang; Dương Thị Thuỷ. 4.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> b/. Tính diện tích của hình thang; c/. Tính chu vi của hình thang. Bài 11: Cho ∆ABC vuông ở A có AB = 8cm, AC = 15cm, đuờng cao AH. a/. Tính BC, AH; b/. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H nên AB, AC. Tứ giác AMNH là hình gì? Tính độ dài MN. c/. Chứng minh rằng A M.AB = AN.AC. Bài 12: Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD. Phân giác của góc ADB và góc BDC lần lượt cắt AB, BC ở M và N. Biết AB = 8cm, AD = 6cm. a/. Tính độ dài các đoạn BD, BM; b/. Chứng minh MN // AC; Web side xem điểm: Trang5Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán 8 c/. Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó. Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm,AD = 24cm,E là trung điểm của AB.Tia DE cắt AC ở F cắt CB ở G. a/. Tính độ dài các đoạn DE, DG, DF; b/. Chứng minh rằng: FD2 = FE.FG. Bài 14: Cho VABC vuông ở A ; AB = 48 cm ; AC = 64cm . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 27 cm ; trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 36 cm . a/ Chứng minh VABC đồng dạng VADE b/ Tính độ dài các đoạn BC ; DE . c/ Chứng minh DE // BC. d/ Chứng minh EB ⊥ BC . Bài 15: Cho VABC ( AB < AC ), Phân giác AD . Trên nưả mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tia Cx sao cho · · BCx BAD = . Goïi I laø trung ñieåm cuûa Cx vaø AD . Chứng minh : a/ VADB đồng dạng với VACI ; VADB đồng dạng với VCDI . b/ AD2 = AB.AC – DB.DC . Baøi 16: Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có các cạnh bằng 5cm. Gọi O và O’ lần lượt là giao điểm caùc đường chéo AC vớt BC và A’B’ với C’D’. a/. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương; b/. Tính theå tích cuûa hình choùp O’.ABCD; c/. Tính theå tích cuûa hính choùp B’.ABC. Baøi 18: Baøi 19: Web side xem điểm: Trang6 Cho một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông cân vớt độ dài caïnh goùc vuoâng laø AB = AC = 6cm vaø chieàu cao cuûa laêng truï laø AA’ = 12cm. Tính: Diện tích xung quanh; diện tích toàn phần; Thể tích của lăng trụ. Hình bên biểu diễn một hình chóp cụt đều. Biết AD = 6dm, A’B’ = 3dm, SO’ = 4,5dm, O’O = 4,5dm. Tính theå tích hình choùp cuït. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh AB = 8cm, cạnh bên SA = 5cm. Dương Thị Thuỷ. 5.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> a/. Tính trung đoạn SH của hình chóp; b/. Tính đường cao SO của hình chóp; c/. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp.. DẠNG I: Giải các phương trình sau Bài 1 a) 2x +1 = 15-5x d/ 2x + 5 = 20 – 3x. b/ 3x – 2 = 2x + 5 e/- 4x + 8 = 0. g/ x(2x – 1) = 0. h/ 3x – 1 = x + 3. j/ 2(x +1) = 5x - 7. k) 2x + 6 = 0. m) 2x - 3 = 0. n) 4x + 20 = 0. p) 15 - 7x = 9 - 3x Bài 2. c) 7(x - 2) = 5(3x + 1) f/ x – 3 = 18 - 5x 5 x −4 16 x+ 1 = i/ 2 7 2 x +1 x − 2 3 −2 x − = −x l) 6 4 3 2 x−5 3− x o/ 1 + = 6 4 x 1 x  2  3 r) 2. 2x  1 x4 q) 3 + x = 2. 1 )( 2y + 5 ) = 0 c) 4y2 +1= 4y 2 d) y2 – 2y = 80 g) (2y – 1)2 – (y + 3)2 = 0 h) 2y2 11y = 0 2 i) (2y - 3)(y +1)+ y(y - 2) = 3(y +2) j) (y ❑2 - 2y + 1) – 9 = 0 Bµi 3 1 4 x  3  x  1 5( x  2) |x − 3|=x −1 x  3  1 x  3  2x  3 a) b) c) d) 2 a) y(y2-1) = y2 - 5y + 6 = 0. b) y( y -. x  2 3. e) ¿ 5 x −5∨¿ 0 i) |x − 3|=x −1 Bài 4 x −3 x +2 + =2 a) x −2 x. f). x 2 x − 3 2 x +3 − = d) x +1 x − 1 x 2 −1. x −1 x −2 + =2 f/ x x+1. b/ ( x – 2 ) (. g) |x +5| = 3x - 2 2 x–6)=0 3. x +3 x −2 2 3 + − =5 =2 i) x +1 x x +1 x −1 2x x 4 + =1+ 2 x − 1 2 x +1 ( 2 x −1 ) ( 2 x +1 ) 2 1 3 x −11 3 x −1 2 x+5 − = − =1 k) l) x +1 x −2 ( x +1)(x −2) x −1 x −3 h). n). x+ 2 1 2 − = x −2 x x( x −2). o). x −2 +¿ x+ 2. 3 x2 −11 = 2 x −2 x − 4. h). x  3  2 x  3 2 x  5. x −3 x +2 + =2 x −2 x x x 1  2 x g) x  1 c/. j). m). x 4 x 2x 2   2 p) x 1 x  1 x  1. 2 2 2 2x 4 2 x −5 x −x x 7x −3x + 2 = − = q) 2 x −1 x +2 x −3 x +3 x+3 x − 3 9− x DẠNG II: Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số Bài 1: Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số. p). Dương Thị Thuỷ. 5.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> a). 2 x − 7 3 x −7 ≥ 6 2. 2 x +2 3 3 x − 2 + < 5 10 4 5 g) − x <20 6 3( x  1) x2 1  4 3 j) 3  x 1 x  2 1  10 5 l) 2 >1 n) x −1. b)3x – (7x + 2) > 5x + 4. d). q) 3x + 4 > 2x +3 .. e) 2x + 5 h). 2 x 1 2 x  2 c) 5 - 3. 7. <1. f)2x – 3 ≥ 0. 2 x − 1 3 x+1 > 3 2. i) – 4 + 2x < 0.. k) 2x + 3( x – 2 ) < 5x – ( 2x – 4 ) m) 2(2x - 3 )( x + 4 ) < ( x - 2 )2 + 1 o) x(x - 2) – (x + 1)(x + 2) <12. r) 3x-. x +2 3( x − 2) ≤ +5 − x 3 2. p) 5x - (10x - 3 ) > 9 - 2x s) 4x - 8. 3(3x - 1 ) - 2x + 1. 2 x +2 3 3 x − 2 2−x 3−2x + < < u) 3x – (7x + 2) > 5x + 4 v) 5 10 4 3 5 Bài 2 a) Tìm x sao cho giá trị biểu thức 2-5x nhỏ hơn giá trị biểu thức 3(2-x) x −5 b) Cho A = .Tìm giá trị của x để A dưong x −8 2 c) Tìm x để phân thức : không âm 5−2x d) Chứng minh rằng : 2x2 + 4x +3 > 0 với mọi x DẠNG III: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1 Hiệu của hai số bằng 50.Số này gấp ba lần số kia. Tìm hai số đó ? Bài 2 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5h. Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h. Bài 3 Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m .Chiều dài hơn chiều rộng 11m .Tính diện tích khu vườn. Bài 4 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB Bài 5 Một người đi xe đạp từ A đén B với vận tốc trung bình 12km/h . Khi đi về từ B đến A . Người đó đi với vận tốc trung bình là 10 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 15 phút . Tính độ dài quảng đường AB ? Bài 6 Lúc 7giờ. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km rồi ngay lập tức quay về bên A lúc 11giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng. Biết rằng vận tốc nước chảy là 6km/h ( 2đ) Bài 7 Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 15km/h và sau đó quay trở về từ B đến A với vận tố12km/h. Cả đi lẫn về mất 4giờ30 phút .Tính chiều dài quãng đường ? Bài 8 Tổng số học sinh của hai lớp 8A và 8B là 78 em. Nếu chuyển 2 em tờ lớp 8A qua lớp 8B thì số học sinh của hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh của mỗi lớp? Bài 9 Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít .Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu. Bài 10 Tổng của hai chồng sách là 90 quyển . Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ nhất 10 quyển thì số sách ở chồng thứ nhất sẽ gấp đôi chồng thứ hai . Tìm số sách ở mỗi chồng lúc ban đàu . Bài 11 Một xe ô tô đi từ A đến B hết 3g12ph .Nếu vận tốc tăng thêm 10km/h thì đến B sớm hơn 32ph. Tính quãng đường AB và vận tốc ban đầu của xe ? Bài 12 Lúc 7 giờ sáng, một chiếc canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau 36km, rồi ngay lập tức quay trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng, biết rằng vận tốc nước chảy là 6km/h. Bài 13 Một người đi từ A đến B ,nếu đi bằng xe máy thì mất thời gian là 3giờ 30 phút , còn đi bằng ô tô t). Dương Thị Thuỷ. 5.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> thì mất thời gian là 2 giờ 30 phút .Tính quãng đường AB ,biết rằng vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 km /h .Bài 14 Một đoàn tàu đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Lúc về đoàn tàu đó đi với vận tốc 35 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 12 phút. Tính quãng đưòng AB. Bài 15 Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20’ . Tính quảng đường AB Bài 16 Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h . Sau khi đi được 2/3 quãng đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h . Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó , biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút Bài 17 Một hình chữ nhật có độ dài một cạnh bằng 5cm và độ dài đường chéo bằng 13cm . Tính diện tích của hình chữ nhật đó . Bài 18 Có 15 quyển vở gồm hai loại : loại I giá 2000 đồng một quyển , loại II giá 1500 đồng một quyển . Số tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng . Hỏi có mấy quyển vở mỗi loại ? DẠNG IV: Các bài toán hình học phẳng Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 15cm, AC = 20cm.Vẽ tia Ax//BC và tia By vuông góc với BC tại B, tia Ax cắt By tại D. a, Chứng minh ∆ ABC  ∆ DAB b. Tính BC, DA, DB. C. AB cắt CD tại I. Tính diện tích ∆ BIC Bài 2 Cho hình chữ nhật có AB = 8cm; BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB a/ Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD b/ Chứng minh AD2 = DH.DB c/ Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8 cm. Trên tia đối của AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3AB. Kẻ DH vuông góc với BC. a/ Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBD b/ Tính BC, HB, HD, HC c/ Gọi K là giao điểm của DH và AC. Tính tỉ số diện tích của AKD và ABC Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B. a/ Chứng minh Δ BDM đồng dạng với Δ CME b/ Chứng minh BD.CE không đổi. c/ Chứng minh DM là phân giác của góc BDE. Bài 5 Cho Δ ABC vuông tại A có đường cao AH .Cho biết AB=15cm, AH=12cm \a) Chứng minh Δ AHB, ΔCHA đồng dạng \b) Tính độ dài đoạn thẳng HB;HC;AC . \c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=5cm ;trên cạnh BC lấy điểm F sao cho CF = 4cm.Chứng minh Δ CEF vuông. \d) Chứng minh :CE.CA = CF Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. AH là đường cao của ADB. a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD b) Chứng minh AD2 = DH.DB c) Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. a) Tìm AD ? Biết AB=6cm AC= 8cm b) Chứng minh : Δ ABC đồng dạng với ΔDBF c) Chứng minh : DF. EC = FA.AE .   Bài 8 : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có góc DAB DBC và AD = 3cm, AB = 5cm, BC = 4cm. a) Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD. b) Tính độ dài của DB, DC. c) Tính diện tích của hình thang ABCD, biết diện tích của tam giácABD bằng 5cm2. Bài 9 Cho Δ ABC vuông tại A,vẽ đường cao AH của Δ ABC . a) Chứng minh Δ ABH đồng dạng với Δ CBA b) Tính độ dài BC,AH,BH. Biết AB=15cm,AC=20cm c) Gọi E,Flà hai điểm đối xứng của H qua AB và AC. Tính diện tích tứ giác EFCB Dương Thị Thuỷ. 5.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> Bài 11 Cho Δ ABC có AB=12cm, AC= 15cm, BC = 16cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =3cm. Từ M kẻ đường thẳng // với BC cắt AC tại N, cắt trung tuyến AI tại K . a/ Tính độ dài MN b/ Chứng minh K là trung điểm của MN c/ Trên tia MN lấy điểm P sao cho MP= 8cm . Nối PI cắt AC tại Q c/m ΔQIC đồng dạng với Δ AMN  Bài 12 Cho hình thang ABCD cóÂ = D =90º. Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh : a / ΔABD ~ ∆DAC Suy ra AD2 = AB . DC b/ Gọi E là hình chiếu của B xuống DC và O là trung điểm của BD . Chứng minh ba điểm A, O , E thẳng hàng. c/ Tính tỉ số diện tích hai tam giác AIB và DIC.? d) Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD. e) Tính độ dài của DB, DC. Bài 15 Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có góc DAB bằng góc DBC và AD= 3cm, AB = 5cm, BC = 4cm. a/ Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD. b/ Tính độ dài của DB, DC. c/ Tính diện tích của hình thang ABCD, biết diện tích của tam giácABD bằng 5cm2. Bài 16 Cho tam giác ABC, có Â = 900, BD là trung tuyến. DM là phân giác của góc ADB, DN là phân giác của góc BDC (M AB, N BC). a/ Tính MA biết AD = 6, BD = 10, MB = 5. b/ Chứng minh MN // AC c/ Tinh tỉ số diện tích của tam giác ABC và diện tích tứ giác AMNC. Bài 17 Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ các đường cao BH và CK ( H  AC , K  AB) a/ Chứng minh BKC CHB theo tí số đồng dạng bằng 1. b/ Chứng minh KH // BC c/Cho biết BC = a , AB = AC =b . Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a và b. Bài 18 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 5cm , đường phân giác AD. Đường vuông góc với DC cắt AC ở E . e) Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng . f) Tính độ dài các đoạn thẳng BC , BD g) Tính độ dài AD h) Tính diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác ABDE Bài 19 Cho tam giác ABC vuông tai A có AB = 6 cm; AC = 8cm. Trên một nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ax song song với BC. Từ C vẽ CD Ax ( tại D ) 1) Chứng minh hai tam giác ADC và CAB đồng dạng. 2) Tính DC. 3) BD cắt AC tại I. Tính diện tích tam giác BIC. Bài 20 Cho ABC vuông tại A có AB = 9cm ; BC = 15cm . Lấy M thuộc BC sao cho CM = 4cm , vẽ Mx vuông góc với BC cắt AC tại N. a/Chứng minh CMN đồng dạng với CAB , suy ra CM.AB = MN.CA . b/Tính MN . c/Tính tỉ số diện tích của CMN và diện tích CAB . Bài 21 Cho hình thang cân ABCD có AB// CD và AB< CD, đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC.Vẽ Đường cao BH. Δ HBC a/ Chứng minh Δ BDCS b/ Cho BC =15; DC =25.Tính HC, HD c/ Tính diện tích hình thang ABCD 2)Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là d1= 6 cm và d2= 8 cm.Tìm diện tích S và chiều cao h của hình thoi đó? ( 1đ ) Δ ABC Bài 22 cho vuông tại A có AB> AC , M là điểm tuỳ ý trên BC . Qua M kẻ Mx ⊥ BC và cắt AB tại I cắt CA tại D . Δ MDC a) Chứng minh Δ ABC Dương Thị Thuỷ. 5.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> B) Chứng minh : BI .BA =BM . BC 0 S 60cm 2 C) Cho góc ACB = 60 và CDB . Tính. S ΔCMA. DẠNG V: Các bài toán hình học ko gian Bài 1Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 20 cm, cạnh bên SA= 24 cm. a/ Tính chiều cao SO rồi tính thể tích của hình chóp b/ Tính diện tích toàn phần của hình chóp Bài 2 Cho hình lăng trụ đứng đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.Thể tích hình lăng trụ là 60cm ❑2 .Tìm chiều cao của hình lăng trụ ? Bài 3 Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó . Bài 4 a) Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó b) Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước là 3 cm; 4 cm; 5cm . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật đó là Bài 5 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3cm,4cm,và 6cm.Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật Bài 6 Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng có chiều cao 6m đáy là tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là 3cmvà 4cm . Bài 7 Một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông ( như hình vẽ ). Độ dài A' C' hai cạnh góc vuông của đáy là 5cm, 12cm , chiều cao của lăng trụ là 8cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đó 8cm B' Bài 8 Một lăng trụ đứng có chiều cao 6 cm, đáy là tam giác vuông có hai cạnh A góc vuông lần lượt là 3cm và 4 cm C 5cm 12cm a) Tìm diện tích xung quanh của hình lăng trụ. B b) Tìm thể tích của hình lăng trụ Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh của tứ giác đáy bằng 4 cm và độ dài đường cao bằng 6 cm . Tính thể tích hình chóp đều đó . DẠNG VI: Các bài toán rút gọn biểu thức Bài 1: x +2 x −5 x −8 + − a) 3x 5x 4x 2x 5 2 − : 3+ 2 1−x 2 x − 5 x+3 2 x −3 x +2 5 1 − 2 + d) x +3 x + x − 6 2 − x. (. Dương Thị Thuỷ. )(. 2. b). 6 x −3 4 x −1 : x 3 x2. c). ) e). x ( x+5x − 5−5 x +10x −25 ).( 1− 5x ) 2. 5.

<span class='text_page_counter'>(56)</span>