Hệ thống hóa kiến thức môn giải tích 2

HỆ THỐNG HĨA KIẾN THỨC
MƠN GIẢI TÍCH 2
1
1.1

Vi phân

1. Cấp 1: df = fx dx + fy dy.
2. Cấp 2: d2 f = fxx dx2 + 2fxy dydy + fyy dy 2

1.2

O(0, R)

:

x2 + y 2 ≤ 2Rx

:

5. Hình trịn tâm O(−R, 0)
π ≤ ϕ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ −2R sin ϕ

:

x2 + y 2 ≤ −2Rx

:

4. Hình trịn tâm

0≤ϕ≤π
0 ≤ r ≤ 2R sin ϕ

Đạo hàm Vi phân

Vector Gradient, đạo hàm theo hướng của

1. ∇f (x, y) = (fx , fy , fz ) ,
2. ∇f (x, y, z) = (fx , fy ) ,

Tích phân bội 3 I =

3

∂f
∇f, u
=
∂u
|u|

3.1

∂f
∇f, u
=
∂u
|u|

Tích phân kép I =

2. Hình chiếu giao tuyến của z = z1 và z = z2 :
z1 (x, y) = z2 (x, y) (Sử dụng khi yếu tố 1 khơng tạo ra miền
kín hoặc khơng có).
3. Giao miền tạo bởi 2 yếu tố trên và điều kiện xác định của
z1 (x, y), z2 (x, y)

f (x, y)dxdy

3.2

Trong tọa độ Descartes

2. Tọa độ cầu
x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ
Sử dụng khi có mặt cầu tâm O hoặc tâm (0, 0, ±R)
kết hợp với
a/ Các mặt tọa độ
b/ Các mặt phẳng đi qua trục Oz, VD : y = kx
c/ Nón z = k x2 + y 2

y2 (x)

dx
a

f (x, y)dy
y1 (x)

2. D : c ≤ y ≤ d, x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y)
x2 (y)

d

I=

dy
c

2.2

f (x, y)dx
x1 (y)

CÁCH XÁC ĐỊNH CẬN
(i) Điều kiện của x, y là điều kiện của ϕ trên Oxy giống
tọa độ cực.
(ii) Cho x = 0 trong điều kiện của Ω, lát cắt trên Oyz xác
định ρ, θ.
Lưu ý : ρ là khoảng cách từ gốc O đến đường trịn, θ là
góc quay từ trục Oz về cả 2 phía , (0 ≤ θ ≤ π)

Tọa độ cực cơ bản x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
r2 (ϕ)

β

I=

dϕ
α

f (r cos ϕ, r sin varphi)rdr
r1 (ϕ)

1. Hình tròn tâm O(0, 0) : x2 + y 2 ≤ R2 :

0 ≤ ϕ ≤ 2π
0≤r≤R

3. Thể tích Ω : V =

dxdydz
Ω

O(0, R)

:

x2 + y 2 ≤ 2Rx

:

3. 
Hình trịn tâm O(0, −R)
 π ≤ ϕ ≤ 3π
2
2
0 ≤ r ≤ −2R cos ϕ

:

x2 + y 2 ≤ −2Rx

:

2. Hình tròn tâm
π
π
− ≤ϕ≤
2
2
0 ≤ r ≤ 2R cos ϕ

Đổi biến

1. Tọa độ trụ : Khi miền D đổi sang tọa độ cực

1. D : a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)
I=

dxdy

z1 (x,y)

1. Các pt hoặc bất pt (xác định Ω) không chứa z

D

b

f (x, y)dz
D

Cách xác định D : gồm 3 yếu tố

2. Pt mặt cong S : z = z(x, y)
z = zx (x0 , y0 )(x − x0 ) + zy (x0 , y0 )(y − y0 ) + z0

2.1

z2 (x,y)

I=

Phương trình tiếp diện tại M (x0 , y0 , z0 )

1. Pt mặt cong S : F (x, y, z) = 0
Fx (M )(x − x0 ) + Fy (M )(y − y0 ) + Fz (M )(z − z0 ) = 0

2

Trong tọa độ Descartes

Ω : z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y), hcΩ = D ⊂ Oxy

3. Hướng tăng nhanh nhất của f khi đi qua M là hướng của
∂f (M )
∇f (M ). Giá trị lớn nhất của
là |∇f (M )|
∂u

1.3

f (x, y, z)dxdydz
Ω


4

Tích phân đường

3. Tính I =

f (x, y, z(x, y))

1 + zx2 + zy2 dxdy

D

4.1

Tham số hóa đường cong
Là biểu diễn x, y hoặc x, y, z theo một biến.

1. Đường phẳng
a/Tọa độ Descartes : y = y(x), x ∈ [a, b]
hay x = x(y), y ∈ [c, d]
b/Đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 :
x = a + R cos t, y = b + R sin t
t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π]

x2
y2
c/Ellipse 2 + 2 = 1 :
a
b

x = a cos t, y = b sin t
t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π]

6

Tích phân mặt loại 2
I=

P dydz + Qdzdx + Rdxdy
S

6.1

Cách tính

Bước 1 Chọn cách viết pt S, VD z = z(x, y)
Bước 1 Xác định hình chiếu Dxy của S lên mp tọa độ tương
ứng
Bước 1 Tính I = ±

(P, Q, R)(−zx , −zy , 1)dxdy

Dxy

2. Đường không gian (giao tuyến của 2 mặt)
Lấy + nếu S lấy phía trên theo hướng Oz
Cách 1 : Nếu có 1 pt mặt chứa 2 biến, xem nó như đường
phẳng để tham số hóa, dùng pt cịn lại tìm tham số cho
6.2 Công thức Gauss-Oxtrogratxki
biến thứ 3
Cách 2 : xác định hình chiếu giao tuyến lên một mp tọa
Yêu cầu : S là mặt biên của Ω, lấy phía ngồi
độ, ts hóa cho hc này rồi dùng 1 pt mặt để tìm ts cho biến
thứ 3.
I=
Px + Qy + Ry dxdydz
Ω

4.2

Tích phân đường loại 2
B

I=

P (x, y)dx + Q(x, y)dy theo đường cong C
A

1. Cách tính

xB

a/ C : y = y(x) ⇒ I =

P (x, y(x))dx+Q(x, y(x))y (x)dx
xA

C là biên của mặt cong hữu hạn S :z=z(x,y), lấy
nhìn từ
phía dương của Oz (nhìn từ trên xuống). Ln chọn phía trên
của S
I = P dx + Qdy + Rdz
C

(Ry − Qz )dydz + (Pz − R x)dzdx + (Q x − P y)dxdy
S

tB

P (x(t), y(t))x (t)dt + Q(x(t), y(t))y (t)dt
tA

Nếu lấy

C

D

Lưu ý: C phải là đường kín (hoặc nhiều đường kín).
Nếu C khơng kín thì ghép đường (nên là các đường dạng
x = a hay y = a và theo chiều của C so với miền D)
3. Tích phân khơng phụ thuộc đường đi
B1: Kiểm tra Q x = P y
B2: Tính I bằng cách đổi đường đi (đường gấp khúc

x = a, y = b đi từ A đến B) hoặc chọn hàm U thỏa
dU = P dx + Qdy và I = U (B) − U (A).

Tích phân mặt loại 1
I=

f (x, y, z)ds
S

Cách tính
1. Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x =
x(y, z), y = y(z, x) ).
2. Xác định hình chiếu D của Slên mp tọa độ tương ứng (VD
chiếu lên mp z = 0)
Xác định từ 3 yếu tố :
(i) Pt mặt chắn mà khơng chứa z
(ii) Hình chiếu giao tuyến giữa S và các mặt chắn mà pt
chứa z
(iii) Giao với điều kiện xác định của z(x, y).

=−

:
C

S

=

Lưu ý :

2. Cơng thức Green : C là biên ngồi,
của miền hữu hạn
D (nếu có biên trong thì C gồm cả 2 biên và biên trong lấy
)
I = P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
Qx − Py dxdy

5

Công thức Stokes

=I=

b/ C : x = x(t), y = y(t)
⇒I=

6.3

S

D


7

Chuỗi số

7.1

Chuỗi cơ bản

1. Chuỗi điều hòa

1
nα

α > 1 : HT
α ≤ 1 : PK

2. Chuỗi cấp số nhân

xn

|x| < 1 : HT
|x| ≥ 1 : P K

7.2

Cách chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ

1. Tiêu chuẩn D’Alembert : khi số hạng tổng qt có chứa
tích vơ hạn.
2. Tiêu chuẩn Cauchy : khi số hạng tổng quát có chứa dạng
uvnn
3. Tiêu chuẩn Leibnitz : chuỗi đan dấu nhưng Không xuất
hiện dấu hiệu của 2 tc trên.
4. Tiêu chuẩn so sánh : cách sử dụng
a/Rút gọn số hạng tổng quát trước khi dùng D’A hoặc
Cauchy.

b/Thành phần chính của số hạng tổng quát chứa nα
c/Áp dụng cho chuỗi không âm (giữ nguyên dấu nếu thay
∼). d/Nếu áp dụng cho cho
|an | thì chỉ kết luận khi
chuỗi so sánh hội tụ.

7.3

Phát biểu định lý
0 : chuỗi phân kỳ. (an → 0 không

1. Điều kiện cần : an
kết luận được gì.)
2. TC D’Alembert :
Dn =

an+1
an



< 1 : HT

> 1 : P K
→D:

Dn ≥ 1 : P K


= 1 →

Dn < 1 : oKL

3. TC Cauchy : Cn =

n

|an | → C : KL giống TC D’A

4. TC Leibnitz : (−1)n an , 0 ≤ an ↓ 0 ⇒ : hội tụ
(an
0 : PK, an → 0 nhưng không ↓ : o KL)
5. an ∼ bn :

an và

bn cùng bản chất (bn =

bn = xn )

8

Chuỗi lũy thừa

8.1

1
hay
nα

an (x − x0 )n

Miền hội tụ

1. Bán kính hội tụ
an
R = lim
an+1
hay R = lim n |an |
2. Khoảng hội tụ : (x0 − R, x0 + R) (chuỗi đã pk bên ngoài
[x0 − R, x0 + R])
3. Miền hội tụ : xét thêm sự hội tụ của 2 chuỗi số tại 2
đầu Khoảng hội tụ (Tại 2 đầu không thể sử dụng C và D
nhưng có thể dùng Cn , Dn )

8.2

Chuỗi Taylor

8.3

Tính tổng chuỗi