chung minh cac diem thang hang

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề 1 Chøng minh c¸c ®iÓm th¼ng hµng 1. Sử dụng tiên đề Ơcơlit và hệ quả  Tiên đề Ơcơlit : Qua một điểm A nằm ngoài đờng thẳng a kẻ đợc duy nhất một đờng thẳng song song với a.  Hệ quả : Qua một điểm A nằm ngoài đờng thẳng a kẻ đợc duy nhất một đờng th¼ng vu«ng gãc víi a. VÝ dô 1. Cho tam gi¸c ABC víi hai trung tuyÕn BD vµ CE. Gäi M vµ N theo thø tù thuộc các tia đối của các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN. Chứng minh rằng A, M, N th¼ng hµng. Lêi gi¶i M A N Tø gi¸c AMBC cã EA = EB, EM = EC (gt) nªn lµ E F h×nh b×nh hµnh. Suy ra AM // BC. (1) Chøng minh t¬ng tù ta cã B C AN // BC. (2) Q Tõ (1) vµ (2) suy ra ba điểm A, M, N thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit). Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao điểm của hai đờng chéo. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của của D trªn BE ; I lµ giao ®iÓm cña AB vµ CF ; K lµ giao ®iÓm cña AF vµ BC. Chøng minh r»ng ba ®iÓm O, K, I th¼ng hµng. A B I Lêi gi¶i Q Q Q K ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt nªn AB = CD, AC = F Q BD vµ OA = OB = OC = OD. Q Ta cã CB  AI (v× ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt)  O CB là đờng cao của CAI. (1) Q FBD vu«ng t¹i F (v× F lµ h×nh chiÕu cña D lªn BE) cã FO lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn D C E 1 1 Q Q Q BD nªn OF = 2 BD  OF = 2 AC. 1 FAC có FO là đờng trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO = 2 AC nên FAC vuông tại F. Suy ra AF  CI hay AF là đờng cao của CAI. (2) K lµ giao ®iÓm cña AF vµ CB nªn tõ (1) vµ (2) suy ra K lµ trùc t©m cña CAI. Do đó IK  AC. (3) MÆt kh¸c, tø gi¸c ABEC cã AB = CE (cïng b»ng CD) vµ AB // CE (v× AB // CD) nªn lµ h×nh b×nh hµnh  BE // AC  BF //AC  ABFC lµ h×nh thang. L¹i cã FDE vu«ng t¹i F, FC lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh DE (v× CD = CE) nªn.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CF = CD  CF = AB (v× AB = CD). Suy ra BAC = FCA (c¹nh huyÒn – c¹nh gãc vu«ng)  AF = BC. Hình thang ABFC có hai đờng chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân. Suy · · ra IAC = ICA  IAC cân tại I  IO là trung tuyến đồng thời là đờng cao. Hay IO  AC. (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra I, K, O th¼ng hµng (®pcm). 2. Sö dông tÝnh chÊt céng ®o¹n th¼ng  TÝnh chÊt : NÕu AM + BM = AB th× M n»m gi÷a A vµ B. VÝ dô 3. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, I vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC vµ AD + BC 2 CD. Chøng minh r»ng nÕu th× M, I, N th¼ng hµng vµ ABCD trë thµnh h×nh thang. Lêi gi¶i MN =. MN =. AD + BC 2 . (1). Gi¶ sö Vì MA = MB, IA = IC nên MI là đờng trung bình cña tam gi¸c ABC.. B Q I Q M Q. C Q N Q D Q. A Q. 1 Suy ra MI // BC vµ MI = 2 BC.. 1 Chøng minh t¬ng tù ta cã IN // AD vµ IN = 2 AD. AD + BC 1 1 = BC + AD 2 2 2 Mµ hay MN = MI + IN. Từ đó suy ra I nằm giữa M vµ N, hay M, I, N th¼ng hµng. Lúc đó ta có BC // AD vì cùng song song với MN. Do đó ABCD trở thành hình thang. MN =. AD + BC 2 VËy nÕu th× M, I, N th¼ng hµng vµ ABCD trë thµnh h×nh thang. C 3. Sử dụng tính chất của hai góc kề bù và hai góc đối đỉnh Q 0 ·AOC + COB · = 180 th× A, O, B th¼ng hµng.  NÕu A B O Q  Nếu C và D nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng Q Q C Q · · AB mµ AOC = BOD (O  AB) th× C, O, D th¼ng hµng. O B Ví dụ 4. Đờng tròn tâm O và đờng tròn tâm O’ cắt nhau A Q D Q tại A và B. Gọi C, D lần lợt đối xứng với B qua O và O’. Chứng Q minh r»ng C, A, D th¼ng hµng. Q B Q MN =. O.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Q C Q Lêi gi¶i. A Q. D Q. Vì C đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BC. Suy ra BC là đờng kính của (O). 1 BC 0 · 2 Ta cã OA = OB = OC = nªn tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A  BAC = 90 . 0 · Chøng minh t¬ng tù ta cã BAD = 90 . 0 · · · Do đó : CAD = BAC + BAD = 180  C, A, D thẳng hàng. 4. Sử dụng sự đồng quy của các đờng trung tuyến, các đờng cao, các đờng phân gi¸c trong tam gi¸c Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo ; E là điểm đối xứng của A qua B ; F là giao điểm của BC và ED ; G là giao điểm của BC và OE ; H lµ giao ®iÓm cña EC vµ OF. Chøng minh r»ng A, G, H th¼ng hµng. Lêi gi¶i Vì O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD nên OA = OC E suy ra EO lµ trung tuyÕn cña EAC. Q E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của H EA suy ra CB lµ trung tuyÕn cña EAC. Q G lµ giao ®iÓm cña CB vµ EO nªn G lµ träng t©m G B C cña EAC. (1) F Q Q Q Q MÆt kh¸c, ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn CD // O AB, CD = AB, mµ B lµ trung ®iÓm cña AE nªn suy Q ra CD // BE, CD = BE. Do đó tứ giác BECD là hình A D bình hành. Từ đó F là trung điểm của hai đờng chéo Q Q ED vµ BC cña h×nh b×nh hµnh BECD. Ta có OF là đờng trung bình của CAB nên OF // AB  OH // AE  HE = HC. Do đó AH là trung tuyến của EAC. (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra A, G, H th¼ng hµng (®pcm). 1. Sử dụng tính chất về đờng chéo của hình bình hành Ví dụ 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên đờng chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. KÎ EH  AB, FK  CD (H  AB, K  CD). Gäi O lµ trung ®iÓm cña EF. Chøng minh r»ng ba ®iÓm H, O, K th¼ng hµng. Lêi gi¶i V× EH  AB, FK  CD vµ AB // CD nªn EH // FK (1) H A B · · XÐt HBE vµ KDF cã BE = DF, KDF = HBE , Q Q Q F O E · · DKF = BHE = 90 0 Q Q Q  HBE = KDF (c¹nh huyÒn – gãc nhän) D C K Q Q Q.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  HE = KF (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra HEKF lµ h×nh b×nh hµnh  trung ®iÓm cña EF còng lµ trung ®iÓm cña HK. VËy E, H, K th¼ng hµng (®pcm). 2. Sö dông ph¬ng ph¸p diÖn tÝch Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD. Các đờng thẳng AB và CD cắt nhau tại M, các đờng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. Gäi I, J, K theo thø N tù lµ trung ®iÓm cña BD, AC, MN. Chøng minh r»ng Q I, J, K th¼ng hµng. Lêi gi¶i E K’ Q A Gäi K’ lµ giao ®iÓm cña IJ víi MN. Gäi E, F lÇn B Q Q K lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ N, M tới đờng Q F Q I Q th¼ng IJ. DÔ thÊy M, N n»m vÒ hai phÝa cña IJ. Q J Q Ta cã : M D C Q Q Q S NIJ = S NDC - S NDI - S NJC - S CIJ - S CID = S NDC -. 1 1 1 1 S NBD - S NAC - S AIC - S CBD 2 2 2 2. = S NDC - S NAB = S ABCD -. 1 1 1 1 S ABD - S ABC - (S ADC - S ADIC ) - S CBD 2 2 2 2. 1 1 1 1 (S ABD - S BCD ) + S ABCD - (S ABC + S ADC ) = S ABCD . 2 4 2 4. 1 S MIJ = S ABCD . 4 Chøng minh t¬ng tù ta cã 1 1 NF.IJ = ME.IJ 2 Do đó SNIJ = SMIJ hay 2  ME = NF  SNKJ= SMKJ. Hai tam gi¸c NKJ vµ MKJ cã chung chiÒu cao h¹ tõ J nªn tõ trªn suy ra NK’ = MK’. Mµ MK = NK (gt) nªn K  K’. VËy ba ®iÓm I, J, K th¼ng hµng. 3. Sử dụng định lí Talet, định lí Ta lét đảo và hệ quả của định lí Ta let Ví dụ 9. Ba điểm A, B, C cùng thuộc đờng thẳng a, ®iÓm O kh«ng thuéc a. Chøng minh r»ng nÕu ba ®iÓm C Q OM ON OP P = = Q M, N, P tháa m·n hÖ thøc OA OB OC th× M, N, B P th¼ng hµng. N Q Q Lêi gi¶i O A M Q Q Q.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> OM ON = Thật vậy, theo định lí Talet đảo thì từ OA OB ta suy ra MN // AB. Tơng tự MP // AC. Nhng A, B, C thẳng hàng nên M, N, P thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit). Ví dụ 10. (Bổ đề hình thang) : Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau. Chứng minh rằng giao điểm của hai đờng I thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đờng chéo và Q trung điểm của hai đáy nằm trên cùng một đờng thẳng. A M B Lêi gi¶i Q Q Q Giả sử hình thang đã cho là ABCD (AB // CD, AB < CD) có J I, J tơng ứng là giao điểm của hai đờng thẳng chứa hai cạnh và D QN C của hai đờng chéo ; Q Q Q Gäi M vµ N lÇn lît lµ giao ®iÓm cña IJ víi AB vµ CD. AM BM IM = (= ) IN vµ Do AB // CD nên áp dụng hệ quả của định lí Talet ta có : DN CN AM BM JM AM BM IM = (= ) = (= ) CN DN JN hay DN CN IN . 4. Sö dông ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Ví dụ 11. Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) và bất kì đờng A thẳng nào đi qua hai trong những điểm đó đều chứa một điểm Q đã cho. Chứng minh rằng tất cả các điểm đã cho cùng nằm trên một đờng thẳng. H Q Lêi gi¶i C D Giả sử tất cả các điểm không cùng nằm trên một đờng B Q Q Q thẳng. Qua mỗi cặp điểm đã cho vẽ một đờng thẳng (có một số Q Q hữu hạn đờng này) và chọn khoảng cách khác 0 từ các điểm đã cho đến các đờng thẳng nµy. Giả sử khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng BC, trong đó A, B, C là các điểm đã cho là khoảng cách nhỏ nhất. Trên đờng thẳng BC còn có một điểm D nào đó. Tõ A kÎ AQ vu«ng gãc víi BC t¹i Q. Hai trong c¸c ®iÓm B, C, D n»m cïng mét phÝa đối với điểm Q, chẳng hạn C và D nh hình vẽ, khi đó ta có CQ < DQ. Hạ CH vuông góc với AD tại H. Dễ thấy CH < AQ. Điều này mâu thuẫn với việc chọn điểm A và đờng thẳng BC. Từ đó ta có điều phải chứng minh. 5. Sö dông c¸c tÝnh chÊt sau – Ba điểm cùng thuộc một đờng thẳng thì thẳng hàng. – Ba điểm cùng cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng (cùng thuộc đờng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng) th× th¼ng hµng. – Ba điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách đều a thì thẳng hàng. – Ba điểm cùng cách đều hai đờng thẳng song song thì thẳng hàng..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> – Ba điểm cùng cách đều hai cạnh của một góc (cùng thuộc đờng phân giác của gãc) th× th¼ng hµng.. Bµi tËp 1. Cho ∆ABC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng hình vu«ng ABDE ; trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa ®iÓm B dùng h×nh vu«ng ACMN. Dùng h×nh b×nh hµnh AEIG. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CD vµ BM. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm I, A, K, H th¼ng hµng. 2. Trªn c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cña h×nh vu«ng ABCD ta lÊy lÇn lît c¸c ®iÓm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo. Chứng minh r»ng M, O, P th¼ng hµng. 3. Cho góc vuông xAy. Một điểm B cố định trên Ax, còn một điểm C chuyển động trên Ay. §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB vµ AC lÇn lît ë M vµ N. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C chuyển động trên Ay. 0 · · 4. Trong h×nh vu«ng ABCD lÊy ®iÓm E sao cho EBC = ECB = 15 . Trªn nöa mÆt ph¼ng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác đều CDF. Chứng minh rằng B, E, F thẳng hàng. 5. Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Đờng thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD và AB lÇn lît t¹i E vµ F. §êng th¼ng kÎ tõ D song song víi BC c¾t AC vµ AB lÇn lît t¹i P vµ Q. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng. 6. Trên một đờng thẳng lấy bốn điểm theo thứ tự là A, E, F, B. Dựng các hình vuông ABCD, EFGH sao cho chúng nằm cùng ở một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng đã cho. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AG vµ BH. Chøng minh r»ng : a) C, O, E th¼ng hµng. b) D, O, F th¼ng hµng. 7. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Lấy điểm F điểm đối xứng với C qua E. Tõ ®iÓm F kÎ Fx vµ Fy lÇn lît song song víi AD vµ AB. Gäi I lµ giao ®iÓm cña Fx vµ AB ; K lµ giao ®iÓm cña FI vµ AD. Chøng minh r»ng I, K, E th¼ng hµng.. 8. Cho ∆ABC vu«ng t¹i A, c¹nh huyÒn BC = 2AB. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm D sao cho 1· 1· · · ABD = ABC ACE = ACB 3 3 ; trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho . Gäi F lµ giao ®iÓm của BD và CE ; G và H theo thứ tự là các điểm đối xứng của F qua các cạnh BC và AC. Chøng minh r»ng : a) Ba ®iÓm H, D, G th¼ng hµng. b) Tam gi¸c EDF c©n..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 9. Cho gãc vu«ng xOy tam gi¸c. M thuéc Ox; A, B thuéc Oy. §êng th¼ng ®i qua A vµ vuông góc với AM cắt đờng thẳng đi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H là giao ®iÓm cña AP víi MB ; K lµ giao ®iÓm cña AM víi BP ; I, K, E lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MP, AB vµ KH. Chøng minh r»ng I, E, N th¼ng hµng. 10. Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông xEy quay quanh đỉnh E có cạnh Ex cắt FG và GH theo thứ tự tại M và N, còn cạnh Ey cắt các đờng FG và GH theo thứ tự tạ P và Q. Gäi I vµ K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña PN vµ QM. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm F, H, K, I th¼ng hµng. 11. Cho tø gi¸c ABCD vµ mét ®iÓm O n»m bªn trong tø gi¸c sao cho c¸c tam gi¸c ABO, BCO, CDO, DAO cã diÖn tÝch b»ng nhau. Chøng minh r»ng hoÆc ba ®iÓm A, O, C th¼ng hµng, hoÆc ba ®iÓm B, O, D th¼ng hµng. 12. Cho tam giác ABC và ba điểm A’, B’, C’ lần lợt nằm trên các đờng thẳng BC, CA, AB (A’, B’, C’ không trùng với các đỉnh của tam giác sao cho trong ba điểm đó có đúng một điểm hoặc cả ba điểm nằm ngoài tam giác). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ A' B B 'C C ' A × × =1 để ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng là : A 'C B 'A C ' B . (§Þnh lÝ Mª – nª – la uýt) 13. Cho ABC có ba góc nhọn, các đờng cao BD và CE. Gọi I là điểm thuộc đoạn BC ; H lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE ; N thuéc ®o¹n AH ; M thuéc ®o¹n DE. Chøng minh r»ng M, I, N th¼ng hµng. 14. Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông Exy quay quanh đỉnh E. Cạnh Ex cắt các đờng thẳng FG và GH theo thứ tự tại M và N ; cạnh Ey cắt các đờng thẳng FG và GH theo thø tù ë P vµ Q. Gäi I vµ K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña PN vµ QM. Chøng minh r»ng 4 ®iÓm F, H, K, I th¼ng hµng. 0 · 15. Cho xOy = 90 . LÊy ®iÓm M thuéc Ox, A vµ B cïng thuéc Oy. §êng th¼ng ®i qua A và vuông góc với AM cắt đờng thẳng đi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H là giao ®iÓm cña AP vµ MB ; K lµ giao ®iÓm cña AM vµ BP ; I, E, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MP, AB vµ KH. Chøng minh r»ng I, E, N th¼ng hµng..

<span class='text_page_counter'>(8)</span>